高中数学选修2-2 北师大版变化的快慢与变化率作业(含答案)

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2.1变化的快慢与变化率-北师大版高中数学选修2-2练习

1第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率课后训练案巩固提升1.若函数f (x )=2x 2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx ,1+Δy ),则Δy Δx等于( )A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2(Δx )2解析:∵Δy=f (1+Δx )-f (1)=2(1+Δx )2-1-2+1=4Δx+2(Δx )2,∴ΔyΔx =4Δx+2(Δx )2Δx=4+2Δx. 答案:C2.一个物体的运动方程为s=t 2-t+1,其中s 的单位是米,t 的单位是秒.则物体在3秒末的瞬时速度是( ) A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒D.4米/秒解析:∵ΔsΔt =(3+Δt )2-(3+Δt )+1-(32-3+1)Δt=5Δt+Δt 2Δt =5+Δt ,∴当Δt →0时,ΔsΔt →5.答案:C3.将半径为R 的球加热,若球的半径增加ΔR ,则球的表面积增量ΔS 等于( ) A.8πR ΔRB.8πR ΔR+4π(ΔR )2C.4πRΔR+4π(ΔR)2D.4π(ΔR)2解析:ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B.答案:B4.物体甲,乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是()A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度解析:在0到t0范围内,甲,乙所走的路程相同,时间相同,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程比乙的大,所以甲的平均速度大.答案:C5.导学号88184017已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标为()A.(1,3)B.(-4,33)C.(-1,3)D.不确定解析:设点M的坐标为(t0,2t02+1),则Δy Δx=2(t0+Δx)2+1-2t02-1Δx=4t0Δx+2(Δx)2Δx=4t0+2Δx,由题意知4t0=-4,即t0=-1.2故点M的坐标为(-1,3).答案:C6.函数y=f(x)=ln x+1从e到e2的平均变化率为.解析:∵Δx=e2-e,Δy=f(e2)-f(e)=(ln e2+1)-(ln e+1)=ln e=1,∴ΔyΔx =1e2-e.答案:1e2-e7.一物体的运动曲线为s=3t-t2,则该物体的初速度为.解析:∵Δs=3(0+Δt)-(0+Δt)2-(3×0-02)=3Δt-(Δt)2,∴当Δt趋于0时,ΔsΔt =3Δt-(Δt)2Δt=3-Δt趋于3.答案:38.已知甲厂生产一种产品,产品总数y与时间x(1≤x≤12,单位:月)的图像如图所示,则下列说法正确的是.①前3个月内增长越来越快.②前3个月内增长越来越慢.③产品数量一直增加.④第3个月到第8个月内停产.解析:前3个月内函数图像越来越平,增长越来越慢,第3个月到第8个月内总数未变化,所以这段时间内停产;第8个月到第12个月内总数增加越来越快,故正确的应为②④.答案:②④349.已知函数f (x )=2x 在区间[1,t ]上的平均变化率为-23,则t= .解析:∵反比例函数y=k x (k ≠0)在区间[m ,n ]上的平均变化率为-k mn ,∴-21×t =-23,解得t=3.答案:310.设某产品的总成本函数为C (x )=1 100+x 21 200,其中x 为产量数,则生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为 .解析:ΔCΔx =C (1 000)-C (900)1 000-900 =1 100+1 00021 200-(1 100+90021 200)100=1912.答案:191211.已知函数y=f (x )=3x 2+2,求该函数在x 0=1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率k 1,k 2,k 3,并比较大小.解函数y=f (x )=3x 2+2在区间[x 0,x 0+Δx ]上的平均变化率为f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=[3(x 0+Δx )2+2]-(3x 02+2)Δx=6x 0+3Δx. 当x 0=1,Δx=12时,函数在区间[1,1.5]上的平均变化率k 1=6×1+3×0.5=7.5;当x 0=2,Δx=12时,函数在区间[2,2.5]上的平均变化率k 2=6×2+3×0.5=13.5;当x 0=3,Δx=12时,函数在区间[3,3.5]上的平均变化率k 3=6×3+3×0.5=19.5.∵7.5<13.5<19.5,∴k 1<k 2<k 3.12.航天飞机升空后一段时间内,第t s 时的高度h (t )=5t 3+30t 2+45t+4,其中h 的单位为m,t 的单位为s .(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?(2)求前2 s内的平均速度;(3)求第2 s末的瞬时速度.解(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度;h(1)表示航天飞机升空1 s后的高度;h(2)表示航天飞机升空2 s 后的高度.(2)航天飞机升空后前2 s内的平均速度为v=ℎ(2)-ℎ(0)2-0=5×23+30×22+45×2+4-42=125(m/s).故航天飞机升空后前2 s内的平均速度为125 m/s.(3)∵航天飞机升空后在t=2 s时的位移增量与时间增量的比值为v=ℎ(2+Δt)-ℎ(2)Δt=5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)Δt=5(Δt)3+60(Δt)2+225ΔtΔt=5(Δt)2+60Δt+225,∴当Δt→0时,v→225,因此第2 s末的瞬时速度为225 m/s.∴航天飞机升空第2 s末的瞬时速度为225 m/s.13.导学号88184018柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠状液体.如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位:℃)满足y=f(x)={80x2+20,0≤x≤1,-2049(x2-2x-244),1<x≤8.(1)求开始加热后15分钟时沥青温度的瞬时变化率;(2)求开始加热后第4小时沥青温度的瞬时变化率.解(1)因为0≤x≤1时,f(x)=80x2+20,5615分钟=0.25小时.Δy Δx =f (0.25+Δx )-f (0.25)Δx=80(0.25+Δx )2+20-(80×0.252+20)=80[0.5Δx+(Δx )2]Δx=40+80Δx ,当Δx 趋于0时,Δy Δx趋于40.故开始加热后15分钟时的瞬时变化率为40. (2)因为1<x ≤8时 ,f (x )=-2049(x 2-2x-244),当x=4时,ΔyΔx =-2049[(4+Δx )2-2(4+Δx )-244]+2049(42-2×4-244)Δx=-2049[6Δx+(Δx )2]Δx=-2049(6+Δx ),当Δx 趋于0时,Δy Δx趋于-12049,即开始加热后第4小时的瞬时变化率为-12049.。

2019-2020学年高中北师大版数学选修2-2学案：2.1变化的快慢与变化率含解析

本章内容编排上分为五部分：一是变化的快慢与变化率;二是导数的概念及其几何意义;三是计算导数；四是导数的四则运算法则；五是简单复合函数的求导法则。

教材通过实例分析,让我们经历从用变化率刻画事物变化的快慢、从平均变化率到瞬时变化率的认识过程，进而给出导数概念和导数的几何意义．为了进一步理解导数就是瞬时变化率，从而解决瞬时变化率的问题，我们可以首先从平均变化率开始，通过对自变量的改变量取极限进而得到平均变化率的极限值——瞬时变化率，教材专门安排了一节“计算导数”，使我们学会利用平均变化率取极限的方法计算一些简单函数的导数，并给出了导数的概念．对于一般函数的导数的计算，教材没有进行推导，而是直接给出基本初等函数的导数公式表，并通过四则运算法则和复合函数求导法则计算相关函数的导数，这些运算法则的主要定位是应用，不要求严格的推导，只是通过一些实例产生感性的认识．对于复合函数，要求能求简单的复合函数(仅限于形如f（dx＋b））的导数．本章的学习重点是导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算;学习的难点是对导数定义的理解.Q错误!错误!你登过泰山吗？登山过程中,你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小"的豪迈．当爬到“十八盘”时,你感觉怎样？是平缓的山好攀登,还是陡峭的山好攀登？你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？X错误!错误!1．平均速度平均速度的定义:物体从某一时刻开始运动，设s(t)表示此物体经过时间t走过的路程，当时间从t变为t1时，物体所走的路程从s（t0)变为s(t1），这段时间内物体的平均速度是：平均速度＝错误!.2．平均变化率(1)定义:对于函数y＝f（x)，我们把式子f x2－f x1x2－x1称为函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1.可把Δx看作相对于x1的一个“增量”；类似的，Δy＝f （x2）－f（x1）．于是平均变化率可以表示为错误!＝错误!.(2）函数的平均变化率的几何意义：函数的平均变化率就是过(x1,f（x1））、（x2，f(x2））两点的直线的斜率．3．瞬时变化率定义：一般地，对于一个函数y＝f(x)，在自变量x从x0到x0＋Δx的变化过程中，平均变化率为错误!＝f x＋Δx－f x0Δx.当Δx趋于0时，平均变化率错误!＝错误!趋近的值称为函数y＝f(x)在x＝x0点的瞬时变化率．Y错误!错误!1．质点运动规律为s（t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为（ A ）A．6＋Δt B．6＋Δt＋错误!C．3＋Δt D．9＋Δt［解析］平均速度错误!＝错误!＝3＋Δt2＋3－32－3Δt＝错误!＝6＋Δt。

高中数学选修2-2 北师大版第2章 §1 变化的快慢与变化率作业(含答案)

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.函数y＝f(x)＝3x在x从1变到3时的平均变化率等于()A.12B.24C.2D.－12【解析】Δy＝f(3)－f(1)＝33－31＝24，则ΔyΔx＝243－1＝12.故选A.【答案】 A2.函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为()A.3B.2C.1D.4【解析】由已知得m2－1－（12－1）m－1＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2.【答案】 B3.将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于()A.8πRΔRB.8πRΔR＋4π(ΔR)2C.4πRΔR＋4π(ΔR)2D.4π(ΔR)2【解析】球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.【答案】 B4.函数y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率估计是()A.2B.3C.4D.5【解析】 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝3(2＋Δx )＋1－(3×2＋1)＝3Δx ，则Δy Δx＝3Δx Δx ＝3，∴当Δx 趋于0时，Δy Δx趋于3.故选B. 【答案】 B 5.一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度为( )A.7 m/sB.6 m/sC.5 m/sD.8 m/s【解析】 Δs Δt ＝1－（3＋Δt ）＋（3＋Δt ）2－（1－3＋32）Δt＝Δt ＋5. 当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于5，所以此物体在3 s 末的瞬时速度为5 m/s. 【答案】 C二、填空题6.物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是________.【导学号：94210034】【解析】由题意可得，Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs Δt ＝4.42＝2.2. 【答案】 2.27.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]上的平均变化率为94，则a ＝______.【解析】 Δy Δx ＝f （a ）－f （2）a －2＝a 2－2a ＋3－（22－2×2＋3）a －2＝a 2－2a a －2＝a ＝94. 【答案】 948.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图2-1-3所示.在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为-v 1，-v 2，-v 3，其三者的大小关系是________.图2-1-3【解析】 ∵-v 1＝s （t 1）－s （t 0）t 1－t 0＝k MA ， -v 2＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1＝k AB ， -v 3＝s （t 3）－s （t 2）t 3－t 2＝k BC ，由图像可知：k MA <k AB <k BC ，∴-v 3>-v 2>-v 1. 【答案】 -v 3>-v 2>-v 1三、解答题9.比较y ＝x 3与y ＝x 2在x ＝2附近平均变化率的大小.【解】当自变量x 从x ＝2变化到x ＝2＋Δx 时，y ＝x 3的平均变化率k 1＝（2＋Δx ）3－23Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12， y ＝x 2的平均变化率k 2＝（2＋Δx ）2－22Δx ＝Δx ＋4. ∵k 1－k 2＝(Δx )2＋5Δx ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ＋522＋74>0， ∴k 1>k 2.∴在x ＝2附近y ＝x 3的平均变化率较大.10.已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s).(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求Δs Δt； (2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度.【解】 Δs Δt ＝s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt。

高中数学第2章变化的快慢与变化率同步练习北师大版选修2-2

变化的快慢与变化率同步练习1．在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy ）,则yx ∆∆为（） A ．21+∆+∆x x B ．21-∆-∆x xC ．2+∆xD ．x x ∆-∆+12２．物体的运动规律是)(t s s =，物体在[]t t t ∆+,时间内的平均速度是（）Ａ．t t s t s v ∆∆=∆∆=)( Ｂ．t t s t t s v ∆-∆+=)()( Ｃ．t t s v )(= Ｄ．当0→∆t 时，0)()(→∆-∆+=t t s t t s v３．一质点的运动方程是235t s -=，则在一段时间[]t ∆+1,1内相应得平均速度为：（）Ａ．63+∆t Ｂ．63+∆-t Ｃ．63-∆t Ｄ．63-∆-t４．在求平均变化率中，自变量的增量x ∆（）Ａ．0>∆x Ｂ．0<∆x Ｃ．0=∆x Ｄ．0≠∆x５．将半径为R 的球加热，若球半径增加R ∆，则球的体积增量V ∆等于（）Ａ．342RR ∆π Ｂ．R R ∆24π Ｃ．24R π Ｄ．R R ∆π4６．若物体的位移公式为)(t s s =，从0t 到t t ∆+0，这段时间内，下列说法错误的是（）Ａ．)()(00t s t t s s -∆+=∆叫做物体的位移Ｂ．)()(00t s t t s s -∆+=∆叫做位置增量Ｃ．t t st t s t s ∆-∆+=∆∆)()(00叫做这段时间内物体的平均速度Ｄ． t s∆∆一定与t ∆无关７．求x x y 22-=在2到49之间的平均变化率。

８．求x y cos =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π内的平均变化率。

９．求xy 1=在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率。

１０．国家环保总局对长期超标准排放污物，污染严重而又未进行治理的单位，规定出一定期限，强令再次期限内完成排污治理。

下图是国家环保总局在规定的排污达标日期前，对甲乙两企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？１１．高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度为105.69.4)(2++-=t t t h试估计在下列时刻运动员高度的瞬时变化率：（1） t = 1 ；（2）t = 2.1 。

北师版高中数学选修2-2课后习题版第二章 §1 变化的快慢与变化率

第二章DIERZHANG变化率与导数§1变化的快慢与变化率课后篇巩固提升1.函数y=x2在区间[x0,x0+Δx](Δx>0)上的平均变化率为k1,在[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则( )A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.k1与k2的大小关系不确定k1=f(x0+Δx)-f(x0)Δx =(x0+Δx)2-x02Δx=2x0+Δx,k2=f(x0)-f(x0-Δx)Δx =x02-(x0-Δx)2Δx=2x0-Δx,则k1-k2=4Δx.因为Δx>0,所以k1>k2.故选A.2.一个物体的运动方程为s=t2-t+1,其中s的单位是米,t的单位是秒.则物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.4米/秒解析∵Δs Δt=(3+Δt )2-(3+Δt )+1-(32-3+1)Δt=5Δt+Δt 2Δt=5+Δt,∴当Δt→0时,Δs Δt→5.3.将半径为R 的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积增量ΔS 等于( ) A.8πRΔRB.8πRΔR+4π(ΔR)2C.4πRΔR+4π(ΔR)2D.4π(ΔR)22-4πR 2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B.4.物体甲,乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是( )A.在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度0到t0范围内,甲,乙所走的路程相同,时间相同,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程比乙的大,所以甲的平均速度大.5.已知曲线y=2的坐标为( )A.(1,3)B.(-4,33)C.(-1,3)D.不确定M的坐标为(t0,2t02+1),则Δy Δx =2(t0+Δx)2+1-2t02-1Δx=4t0Δx+2(Δx)2Δx=4t0+2Δ的坐标为(-1,3).6.已知函数y=f(x)=-x2+x在区间[t,1]上的平均变化率为2,则t= .Δy=f(1)-f(t)=(-12+1)-(-t2+t)=t2-t,所以ΔyΔx =t2-t1-t=-t.又因为ΔyΔx=2,所以t=-2.7.一物体的运动曲线为s=3t-t2,则该物体的初速度为.-(0+Δt)2-(3×0-02)=3Δt -(Δt)2,∴当Δt 趋于0时,Δs Δt=3Δt -(Δt )2Δt=3-Δt 趋于3.8.已知甲厂生产一种产品,产品总数y 与时间x(1≤x≤12,单位:月)的图像如图所示,则下列说法正确的是 . ①前3个月内增长越来越快. ②前3个月内增长越来越慢. ③产品数量一直增加. ④第3个月到第8个月内停产.3个月内函数图像越来越平,增长越来越慢,第3个月到第8个月内总数未变化,所以这段时间内停产;第8个月到第12个月内总数增加越来越快,故正确的应为②④.9.已知函数f(x)=2x在区间[1,t]上的平均变化率为-23,则t= .y=k x(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率为-kmn,∴-21×t=-23,解得t=3.10.设某产品的总成本函数为C(x)=1 100+x 21200,其中x 为产量数,则生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为 .=C (1000)-C (900)1000-900=1100+100021200-(1100+90021200)100=1912.11.已知函数y=f(x)=3x 2+2,求该函数在x 0=1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率k 1,k 2,k 3,并比较大小.y=f(x)=3x 2+2在区间[x 0,x 0+Δx]上的平均变化率为f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=[3(x 0+Δx )2+2]-(3x 02+2)Δx=6x 0+3Δx.当x 0=1,Δx=12时,函数在区间[1,1.5]上的平均变化率k 1=6×1+3×0.5=7.5;当x 0=2,Δx=12时,函数在区间[2,2.5]上的平均变化率k 2=6×2+3×0.5=13.5;当x 0=3,Δx=12时,函数在区间[3,3.5]上的平均变化率k 3=6×3+3×0.5=19.5.∵7.5<13.5<19.5,∴k 1<k 2<k 3.12.航天飞机升空后一段时间内,第t s时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?(2)求前2 s内的平均速度;(3)求第2 s末的瞬时速度.表示航天飞机发射前的高度;h(1)表示航天飞机升空1s后的高度;h(2)表示航天飞机升空2s后的高度.(2)航天飞机升空后前2s内的平均速度为v=h(2)-h(0)2-0=5×23+30×22+45×2+4-42=125(m/s).故航天飞机升空后前2s内的平均速度为125m/s.(3)∵航天飞机升空后在t=2s时的位移增量与时间增量的比值为v=ℎ(2+Δt)-ℎ(2)Δt=5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)Δt=5(Δt)3+60(Δt)2+225ΔtΔt=5(Δt)2+60Δt+225,∴当Δt→0时,v→225,因此第2s末的瞬时速度为225m/s. ∴航天飞机升空第2s末的瞬时速度为225m/s.13.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠状液体.如果开始加热后第x 小时的沥青温度(单位:℃)满足y=f(x)={80x 2+20,0≤x ≤1,-2049(x 2-2x -244),1<x ≤8.(1)求开始加热后15分钟时沥青温度的瞬时变化率; (2)求开始加热后第4小时沥青温度的瞬时变化率.因为0≤x≤1时,f(x)=80x 2+20,15分钟=0.25小时.Δy Δx =f (0.25+Δx )-f (0.25)Δx=80(0.25+Δx )2+20-(80×0.252+20)Δx=80[0.5Δx+(Δx )2]Δx=40+80Δx,当Δx 趋于0时,Δy Δx趋于40.故开始加热后15分钟时的瞬时变化率为40. (2)因为1<x≤8时, f(x)=-2049(x 2-2x-244),当x=4时,ΔyΔx=-2049[(4+Δx )2-2(4+Δx )-244]+2049(42-2×4-244)Δx=-2049[6Δx+(Δx )2]Δx=-2049(6+Δx),当Δx趋于0时,ΔyΔx 趋于-12049,即开始加热后第4小时的瞬时变化率为-120 49.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 2．函数f (x )＝22x x -+ 在点 (1，2) 处的切线方程为（）A ．x +y +1=0B ．x -y -1=0C ．x -y +1=0D ．x +y -1=03．设()ln f x =()2f '=（）A ．45 B ．15C ．25D ．354．已知函数()2018sin xf x x e x -=++，令()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，，()()1n n f x f x +'=，则()2019f x =（） A ．sin x x e --+B ．sin x x e --C ．cos x x e ---D ．cos x x e --+5．若点P 在曲线32y x x =-+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为（） A ．02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．3024πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，，C ．34，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30224πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦，， 6．已知曲线()3:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（） A ．38B ．1C ．98D ．1587．221(1)1lim 1(1)1n n n→∞+--+的值为（） A ．0B ．1C ．12D ．不存在8．设函数2()sin f x x ππ=-在(0,)+∞上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(,0)x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为（） A．5BCD．109．曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为A ．21y x =-+B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-10．函数()(cos )x f x a x e =+，若曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则实数a =（）A ．12B ．12- C ．12D ．11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（） A ．eB ．1e-C ．1-D ．e -12．已知点P 在曲线y=41x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是（） A ．[0,4π) B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 二、填空题13．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．14．函数()2xf x e x =-的图象在点()()0,0f 处的切线为_____．15．在平面直角坐标系中，曲线21x y e x =++在0x =处的切线方程是___________． 16．抛物线2yx 上的点到直线20x y --=的最短距离为________________．17．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()322f x x x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______________.18．已知函数y=f （x ）的图象在点M （2，f （2））处的切线方程是y=x+4，则f （2）+f′（2）=__．19．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式1()3'(1)f x xf x=+，则'(2)f 的值等于__________．20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf ，则(3)f '=_______．三、解答题21．求下列函数的导数：（1）2=e x y ；（2）()313y x =-.22．设(4)ln ()31x a xf x x +=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y ++=垂直．（1）求a 的值；（2）若对于任意的[1,),()(1)x f x m x ∈+∞≤-恒成立，求m 的取值范围．23．已知曲线 y = （1）求曲线在()1,5的切线方程；（2）求过点 ()0,5P 且与曲线相切的切线方程． 24．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：“=0a ”是“函数()y f x =有且只有一个零点” 的充分必要条件. 25．已知曲线382y x x =-+ （1）求曲线在点0x =处的切线方程；（2）过原点作曲线的切线:l y kx =，求切线方程.26．已知函数24(),(1)2,'(1)13f x ax ax b f f =-+==； (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=.故选：C. 【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.2．C解析：C 【分析】求出()'fx ，()'1f ，点斜式写出切线方程，再化为一般式，即得答案.【详解】()()2'2,21f x x x f x x =-+∴=-， ()'12111f ∴=⨯-=.∴函数()f x 在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的方程，属于基础题.3．C解析：C 【分析】令()u x =，可求得()u x ='()f x '，可求得()2f '．【详解】∵()f x =()u x =，则()ln f u u =，∵()1f uu'=，()12u x ='=，由复合函数的导数公式得：()21xf x x =='+， ∴()225f '=．故选：C ．【点睛】本题考查复合函数的导数，掌握复合函数的导数求导法则是关键，属于中档题．4．C解析：C 【分析】计算出()1f x 、()2f x 、()3f x 、()4f x ，找出规律，进而可求得()2019f x . 【详解】令()sin xg x x e -=+，()()1g x g x '=，()()21g x g x '=，()()32g x g x '=，，()()1n ng x g x +'=， ()()20171cos 2018x f f x x e x x -'==-+，()()201621sin 20182017x f x e x f x x -'==-++⨯， ()()201532cos 201820172016x f f x x e x x -'==--+⨯⨯， ()()201443sin 2018201720162015x f f x x e x x -'==++⨯⨯⨯，，由上可知，()()4n n g x g x +=，且()()()()201820182017201912018,n n n f x g x n x n n N -*=+⨯⨯⨯-≤≤∈，()()20182017sin 20182017201620151x x x f f x e -'∴==-++⨯⨯⨯⨯⨯， ()2019cos x f e x x -=--．故选：C ．【点睛】本题考查导数的计算，根据题意得出导数的周期性是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.5．B解析：B 【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义，结合二次函数的性质和正切函数的图象和性质即可得到结论．【详解】解：32y x x =-+的导数为231y x '=-，设(,)P m n ，可得P 处切线的斜率为231k m =-，则1k-，由tan k α=，(0απ<且)2πα≠即为tan 1α-，由正切函数的性质可得02πα≤<或34παπ≤< 可得过P 点的切线的倾斜角的取值范围是30,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，. 故选：B ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及二次函数的性质和正切函数的图象和性质，考查运算能力，综合性较强．6．D解析：D 【分析】设切点()3000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a . 【详解】()23f x x a '=-，设切点为()3000,x x ax a -+，()2003f x x a '∴=-∴过切点的切线方程为：()()()3200003y x ax a x a x x --+=--，切线过点()1,1A ，()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，整理为：32002310x x -+= ，化简为：()()2001210x x -+= ，01x ∴=或012x =-，()13f a '=-，1324f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，由两条切线的倾斜角互补，得 3304a a -+-=，解得158a =.故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.7．A解析：A 【分析】化简得到221lim 221n n n n →∞+-+，利用极限公式得到答案. 【详解】22222112(1)121lim lim lim 0112221(1)12n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+-++===-+-+-+ 故选：A 【点睛】本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力.8．D解析：D 【分析】由导数的几何意义可得：曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-，由导数的应用可得：当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到切线l 的距离为||PQ 的最小值，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】解:令2sin 0x ππ-=，(0)x >．则x k ππ=，即x k =，(*)k N ∈，则x 的最小值为1，即0x =1，又'()2cos f x x π=-，所以'(1)2f =，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-，由23ln 2y x x =-，则'13y x x =-，令132x x -=，解得1x =，此时32y =，即当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到直线l 的距离为||PQ 的最小值，由点到直线的距离公式可得：min ||PQ=故选D. 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属中档题.9．A解析：A 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-，所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A. 【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.10．A解析：A 【解析】【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】由函数的解析式可得：()(cos sin )x f x a x x e '=+-，曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则： 3130322f a e ππ'⎛⎫⎛⎫=+-⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：312a -=. 故选A . 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数与函数切线的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C 【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x'='+，令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e=-+，令x e =，则()2ln 1f e e e e=-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．D解析：D 【详解】试题分析：因为，所以34παπ≤<，选A. 考点：导数的几何意义、正切函数的值域.二、填空题13．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b ）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的解析：2 【解析】【分析】根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式进行解答．【详解】因为()()f x g x alnx a'=+，所以2()a x b g x x a-'=+．又因为0a >，0b >，所以g '（b ）22a b b a ab a b b-=+=+，所以斜率的最小值是2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．14．【解析】【分析】求出原函数的导函数得到f′（0）为切线斜率再求得f(0)即可求解切线方程【详解】f （x ）＝ex ﹣x2f′（x ）＝ex ﹣2x ∴k ＝f′（0）＝1又切点坐标为（01）∴函数f （x ）＝ex 解析：10x y -+=【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到f ′（0）为切线斜率，再求得f(0)，即可求解切线方程．【详解】f （x ）＝e x ﹣x 2，f ′（x ）＝e x ﹣2x ， ∴k ＝f ′（0）＝1，又切点坐标为（0，1），∴函数f （x ）＝e x ﹣x 2图象在点（0，f （0））处的切线方程是y ﹣1＝x ﹣0，即x- y +1=0．故答案为x- y +1=0．【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，在曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．15．【分析】根据导数几何意义得切线斜率再根据点斜式得结果【详解】因为所以因此在x ＝0处的切线斜率为因为x ＝0时所以切线方程是【点睛】本题考查导数几何意义考查基本求解能力属基础题解析：32y x =+【分析】根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果. 【详解】因为21x y e x =++，所以2x y e '=+，因此在x ＝0处的切线斜率为023k e =+=，因为x ＝0时2y =，所以切线方程是233 2.y x y x -=∴=+ 【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本求解能力.属基础题.16．【分析】当抛物线上点的切线与直线平行时这个点到直线的距离最短求出切点坐标利用点到直线的距离公式求出切点到直线的距离即最短距离【详解】由得令则所以抛物线上的点到直线的距离最短最短为故填【点睛】本题考查解析：8【分析】当抛物线上点的切线与直线20x y --=平行时，这个点到直线20x y --=的距离最短.求出切点坐标，利用点到直线的距离公式求出切点到直线的距离，即最短距离【详解】由2y x =，得2y x '=．令1y '=，则12x =，所以抛物线2y x =上的点11,24⎛⎫⎪⎝⎭到直线20x y --=的距离最短，最短为=【点睛】本题考查了导数的几何意义的应用，考查了点到直线的距离公式，解答本题的关键是理解曲线上的点到直线的最短距离，与这条直线和其平行且与曲线的相切的直线间的距离的关系.17．【分析】先求出当时的解析式然后再求出切线方程【详解】函数是定义在上的奇函数当时当时则当时即切线方程为即故答案为【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程本题较为解析：740x y --=【分析】先求出当0x >时的解析式，然后再求出切线方程【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数∴当0x <时，()322f x x x =-当0x >时，0x -<，()()()323222f x x x x x -=---=--则当0x >时，()322f x x x =+()1123f =+=()234f x x x '=+，()17f '=即切线方程为()371y x -=-，即740x y --= 故答案为740x y --= 【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式，再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程，本题较为基础，只要掌握解题方法即可18．7【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率可得再由切点在切线上可得进而得到所求值详解：的图象在点处的切线方程是可得则所以答案是点睛：该题考查的是有关导数的几何解析：7 【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得'(2)1f =，再由切点在切线上，可得(2)6f =，进而得到所求值.详解：()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线方程是4y x =+，可得(2)246f =+=，'(2)1f =，则(2)'(2)617f f +=+=，所以答案是7.点睛：该题考查的是有关导数的几何意义，利用函数在某点处的导数等于该点处切线的斜率，再者就是切点在切线上，从而求得结果.19．【解析】由题得所以故填解析：54【解析】由题得22111()31(1)311=12f x f f f f x =-+∴=-+'''∴''（）（）（）.所以213135()(2)=2424f x f x ''=-+∴=-+，故填54. 20．-6【解析】则解得则故答案为解析：-6 【解析】()()()()232'2,'62'2f x x xf f x x f =+∴=+ ，则()()'2622'2f f =⨯+ ，解得()'212f =- ，则()()'624,'318246f x x f =-∴=-=- ，故答案为6- . 三、解答题21．（1）22x e ；（2）29(13)x --或281549y x x '=-+-．【解析】分析：（1）根据复合函数（指数函数与一次函数的复合）求导法则求导数，（2）根据复合函数（幂函数与一次函数的复合）求导法则求导数. 详解：（1）2'22e (2)e 22e x x x y x =⋅=⋅='；（2）()()22'313(13)913y x x x =--=--'．或281549y x x '=-+-．点睛：本题考查复合函数求导法则，注意函数如何复合的. 22．（1）a=0（2）m≥1 【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导数几何意义得f′（1）=1，求得a 的值；（2）先分离变量4ln ,(1)(1)(31)x x m x x x ≥>-+ ，再利用导数研究函数4ln ,(1)(1)(31)x xy x x x =>-+单调性，最后根据洛必达法则求函数最大值，即得m 的取值范围．试题（1）f′（x ）=由题设f′（1）=1，∴，∴a=0．（2），∀x ∈[1，+∞），f （x ）≤m （x ﹣1），即4lnx≤m （3x ﹣﹣2）设g （x ）=4lnx ﹣m （3x ﹣﹣2），即∀x ∈[1，|+∞），g （x ）≤0， ∴g′（x ）=﹣m （3+）=，g′（1）=4﹣4m①若m≤0，g′（x ）＞0，g （x ）≥g （1）=0，这与题设g （x ）≤0矛盾②若m ∈（0，1），当x ∈（1，），g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，g （x ）≥g（1）=0，与题设矛盾．③若m≥1，当x ∈（1，+∞），），g′（x ）≤0，g （x ）单调递减，g （x ）≤g （1）=0，即不等式成立综上所述，m≥1．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 23．（1）5250x y -+=．（2）54200x y -+=．【解析】试题分析：（1）求出5y x =的导函数，将x 1=代入导函数可得切线斜率为52k =，结合切点坐标()1,5，利用点斜式可得结果；（2）因为点 ()0,5P 不在曲线 5y x = 上，可设切点坐标为 (),M t u ，根据（1）的方法求得切线斜率为52t，利用斜率公式可得切线斜率为 5u t -，所以 55552u t t t t--==，解方程求出4t =，利用点斜式可得结果. 试题（1）切点坐标为，则由 5y x =得 0052x x y x ==所以 52k =．所求切线方程为 ()5512y x -=- 即 5250x y -+=．（2）因为点 ()0,5P 不在曲线 5y x =上，需设切点坐标为 (),M t u ，则切线斜率为2t．又因为切线斜率为5u t-，所以5552u t t tt-==．所以2t t -=，得 4t =．所以切点坐标为 ()4,10M ，斜率为 54．所以切线方程为 ()51044y x -=-．即 54200x y -+=．【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及切线方程，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.本题是根据(1)求出切线方程后，再利用等差数列求通项的.24．（Ⅰ）1y =-；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据切线的几何意义得到切线的斜率()00k f ='=，()01f =-，所以切线方程为1y =-；（2）先证充分性再证必要性，含参讨论，函数图像和x 轴的交点情况。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试(包含答案解析)

一、选择题1．已知()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=-，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（） A ．12e-B ．2e -C ．2e --D ．12e--2．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+3．已知曲线()2ln f x a x x=-在1x =处的切线与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为256，则正数a 的值为（） A ．1B ．2C ．2D ．44．已知方程223150x ax a -+=的两实根为1x ，2x ，若函数()(1)(1)f x x x x =-+在1x x =与2x x =处的切线相互垂直，满足条件的a 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（） A ．20162017B ．20172018C ．20182019D ．201920206．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（） A ．e B ．1e-C ．1-D ．e -7．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为 A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形8．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（）. A ．1B 2C ．2D ．229．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（）A ．2B ．2C ．(42e - D ．(42e +10．已知定义在()0+∞，上的函数()()26ln 4x m g x f x x x =+=-，，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（）A ．5B ．3C ．3-D ．5-11．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．2017201812．曲线l (n )f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为 A ．0x y += B ．1x = C ．20x y --=D ．1y =-二、填空题13．已知函数()f x 的导函数是()'f x ，且满足()sin cos 4f x x x π'⎛⎫=+⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______. 14．若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是________.15．若直线y kx b =+是曲线ln 3y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =______16．曲线21x y e -=+在点（0，2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为_____________.17．三棱锥A BCD -中，AB CD ==2==AC BD ，AD BC ==体外接球的表面积为_______________.18．已知在R 上可导， ()()()3311F x f x f x =-+-，则()1F '=__________．19．函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1,n a n +为正整数，若116a =，则135+a a a +=________.20．已知点P 在曲线sin y x =上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．三、解答题21．对于函数()ln f x x =，21()2g x ax bx =+（0a ≠），()()()h x g x f x =-. （1）当曲线()y h x =在点(1,(1))h 处的切线方程为3y x =时，求,a b ；（2）当1a b +=，且0a >时，过曲线()y f x =上任一点P 作x 轴的垂线l ，l 与曲线()y g x =交于点Q ，若P 点在Q 点的下方，求a 的取值范围.22．已知函数()2ln f x x ax ax =+- ，其中a R ∈ .（1）当1a = 时，求函数()f x 在1x = 处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围. 23．设函数f （x ）=++b ，g （x ）=kx ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x ﹣y+e ﹣3=0（e 为自然对数的底数）（Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若x ＞0时，f （x ）＞g （x ），求k 的取值范围． 24．已知函数.（1）若函数在处有极值，求的值；（2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值.25．求证：曲线3y x x =-在x =1处的切线方程与直线112y x =-+垂直. 26．（1）求曲线1y x=在点()11--，处的切线方程；（2）求经过点（4，0）且与曲线1y x=相切的直线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求导得到()()'121f x f x'=-，取1x =得到()11f '=，代入数据计算得到答案. 【详解】()()21ln f x xf x '=-，则()()'121f x f x'=-，取1x =，则()()11211f f ''=-，则()11f '=，故()12f x x '=-，12f e e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查了求导函数值，计算()'11f =是解题的关键.2．A解析：A 【分析】根据归纳推理进行求解即可．【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．3．A解析：A 【分析】根据导数的几何意义，求出曲线在在x ＝1处的切线方程，进而可知点A ，B 的坐标，因此由△OAB 的面积为256，列出方程，即可解出a ．【详解】因为()'fx 22a x x=+，所以k ＝()'1f ＝a +2，而f （1）＝﹣2，故切线方程为：y +2＝（a +2）（x ﹣1），由此可得点A （42a a ++，0），B （0，﹣4﹣a ）．由于a ＞0， S △OAB 12=⨯|﹣4﹣a |×|42a a ++|256=，化简得，3a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝1．故选：A ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，求出切线方程即可表示出△OAB 的面积．4．D解析：D【分析】由题得123x x a +=，2123a x x =，再根据两切线互相垂直得到()222212129320x x x x -++=，把韦达定理代入化简即得解.【详解】3()f x x x =-，2'()31f x x =-，依题知()()221231311x x --=-，即()222212129320x x x x -++=.∵12x x +=，2123a x x =， ∴()22222212121252233x x x x x x a a a +=+-=-=，∴42320a a -+=.解得22a =，21a =，即a =1a =±，经检验每个值都符合题意，故满足条件的a 有4个. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．D解析：D 【分析】根据切线斜率可求得b ；进而可得到()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求得数列的前2019项的和.【详解】由题意得：()2f x x b '=+ ()123f b '∴=+=，解得：1b =()2f n n n ∴=+ ()()21111111f n n n n n n n ∴===-+++ 2019111111112019112233420192019120202020S ∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+本题正确选项：D 【点睛】本题考查裂项相消法求数列前n 项和的问题，关键是能够利用导数的几何意义求得数列的通项公式.6．C解析：C 【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x'='+，令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e=-+，令x e =，则()2ln 1f e e e e=-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．D解析：D 【解析】【分析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状．【详解】函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则131''cos sin ''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=，则2366C ππππ=--=，则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形，故选D ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．8．C解析：C 【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案．【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．对函数ln y x =求导得1y x'=，令1y '=，得1x =，所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，，该点到直线l的距离为因此，()()22a c b d -+-的最小值为22＝．故选C ．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．9．B解析：B 【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0，当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离，∴d min故选B. 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．10．D解析：D 【分析】分别求得()f x 和()g x 的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入()f x 求得m 的值. 【详解】()()2,64f x x g x x ''==-，令624x x=-，解得1x =，这就是切点的横坐标，代入()g x 求得切点的纵坐标为4-，将()1,4-代入()f x 得14,5m m +=-=-.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.11．A解析：A 【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+，所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，所以(1)23f b '=+=，解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++，所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．D解析：D 【解析】由题可得11'()1x f x x x-=-=，则切线的斜率为'(1)0f =，又(1)1f =-，所以切线方程为1y =-，故选D ．二、填空题13．【分析】先求导得然后将代入解出再代入求解的值【详解】由题意可得则即所以故故答案为：【点睛】本题考查导数的求解问题解答时注意在原函数解析式中为常数得到是前提解出是关键【分析】先求导得()cos sin 4f x x x π''⎛⎫=⎪⎝⎭，然后将4x π=代入，解出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，再代入()'f x 求解6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可得()cos sin 4f x x x π''⎛⎫= ⎪⎝⎭，则cos sin 4444f ππππ''⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4f π'⎛⎫=⎪⎝⎭，所以1()cos sin 2f x x x '=-，故1cos sin 6626f πππ'⎛⎫=-=⎪⎝⎭.【点睛】本题考查导数的求解问题，解答时注意在原函数解析式()sin cos 4f x x x π'⎛⎫=+⎪⎝⎭中，4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭为常数，得到()cos sin 4f x x x π''⎛⎫= ⎪⎝⎭是前提，解出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭是关键.14．【解析】【分析】分别求出导数设出各自曲线上的切点得到切线的斜率结合切点满足曲线方程再设出两条切线方程变形为斜截式从而根据切线相同则系数相等可得切点坐标的关系式整理得到关于一个坐标变量的方程借助于函数解析：1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的范围．【详解】1(),()22f x g x x x''==+，设切点分别是()()211222,ln ,,2ln x x x x x a ++，所以切线方程分别为：()()()()211222211ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-，化简为()()212211ln 1,22ln y x x y x x x a x =+-=+-+，所以21212122ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ，得()222ln ln 221a x x =-+-，令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<，1()201f x x x '=-<+，所以f (x )在(1,0)-单调递减，(0)ln 21,(1)f f =---→+∞，ln 21y >--，故ln ln 21a >--，解得12a e>. 所以本题答案为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-，若求曲线y =f (x )过点(m ，n )的切线，应先设出切点()()00,x f x ，把(m ，n )代入()()()000y f x f x x x '-=-，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.15．【分析】对两条曲线对应的函数求导设出两个切点的横坐标令它们的导数相等求出两条曲线在切点处的切线方程对比系数求得的值【详解】依题意设直线与相切切点的横坐标为即切点为设直线与相切切点的横坐标为即切点为令解析：2ln 3-【分析】对两条曲线对应的函数求导，设出两个切点的横坐标，令它们的导数相等，求出两条曲线在切点处的切线方程，对比系数求得b 的值. 【详解】依题意，()()''11ln 3,ln 11x x x x +=+=⎡⎤⎣⎦+，设直线y kx b =+与ln 3y x =+相切切点的横坐标为0x ，即切点为()00,ln 3x x +，设直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点的横坐标为1x ，即切点为()()11,ln 1x x +，令01111x x =+，解得101x x =-，故直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点为()001,ln x x -.由此求出两条切线方程为()()0001ln 3y x x x x -+=-和()0001ln 1y x x x x -=-+；即001ln 2y x x x =++和000111ln y x x x x =-++，故0001ln 21ln x x x +=-++，013x =，故0ln 22ln3b x =+=-.【点睛】本小题主要考查两条曲线共切线方程的问题，考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于中档题.16．【分析】对函数求导求写出切线方程与y=0y=x 联立求交点的坐标即可求面积【详解】∵∴∴切线的斜率且过点（02）∴切线为∴∴切线与x 轴交点为（10）与的交点为∴切线与直线和围成的三角形的面积为故答案为解析：13【分析】对函数求导，求()0f ' ，写出切线方程，与y=0,y=x 联立求交点的坐标，即可求面积.【详解】∵21x y e -=+，∴22x y e -=-'，∴切线的斜率02x k y ='==-，且过点（0，2），∴切线为22y x -=-，∴22y x =-+，∴切线与x 轴交点为（1，0），与y x =的交点为22,33⎛⎫⎪⎝⎭，∴切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为1211233S =⨯⨯=.故答案为1.3【点睛】本题考查了导数的几何意义，在某点处的切线，属于基础题.17．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为解析：6π【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为=，表面积为246r ππ= 18．0【解析】由题知则故本题应填解析：0 【解析】由题知()()()2323'3'13'1F x x f x x f x =---，则()()()'13'03'00F f f =-=．故本题应填0．19．21【解析】则斜率为切线方程为令得是以16为首项以为公比的等比数列【点睛】求曲线在某点处的切线问题可利用导数的几何意义去处理利用导数求出斜率利用直线方程的点斜式写出切线方程求出直线与x 轴的交点的横坐解析：21 【解析】2y x '=，则斜率为2n k a =，切线方程为22()n n n y a a x a -=-，令0y =，得111,22n n n n a a a a ++==，{}n a 是以16为首项，以12为公比的等比数列，1351116161621416a a a ++=+⨯+⨯=.【点睛】求曲线在某点处的切线问题，可利用导数的几何意义去处理，利用导数求出斜率，利用直线方程的点斜式写出切线方程，求出直线与x 轴的交点的横坐标，得出1n a +与n a 的关系，借助数列的知识判断数列为等比数列，写出等比数列的首项与公比，求出所要求的和.20．【解析】由题意可得：即切线的斜率取值范围为据此可知倾斜角的取值范围是解析：3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，【解析】由题意可得：[]'cos 1,1y x =∈-，即切线的斜率取值范围为[]1,1-，据此可知倾斜角a 的取值范围是3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，. 三、解答题21．(1) 2a =，2b =;(2) (0,2). 【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义确定,a b 的值；（2）原问题等价于0x ∀>，()()()h x g x f x =-= 21ln 02ax bx x +->，研究函数()h x 的单调性与最值即可.试题（Ⅰ）()21ln 2h x ax bx x =+-，则()112h a b =+ ()()111h x ax b h a b x=+-='+'⇒-，依题意得 1232213a ab b a b ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+-=⎩．（Ⅱ）已知条件可转化为0x ∀>，()()()h x g x f x =-= 21ln 02ax bx x +->．由1a b +=得()()211ln 2h x ax a x x =+--． ()()()1111ax x h x ax a x x+-=+--='．又0a >，由()01h x x ='⇒=；由()01h x x >'⇒>；由()001h x x <⇒<<'．则()h x 在区间()0,1上是减函数，在区间()1,+∞上为增函数，则()()min 1112h x h a ==-+，则有11022a a -+>⇒<，又0a >得02a <<．故a 的取值范围是()0,2． 22．(1)1y x =- ；(2)0a < . 【解析】试题分析：(1)首先利用导函数求得切线的斜率为1，然后利用点斜式可得切线方程为1y x =-； (2)求解函数的导数，然后讨论函数()221t x ax ax =-+的性质可得实数a 的取值范围是0a < .试题（1）当()0,ln a f x x ==则()10f = 又()1,f x x'=则切线的斜率1k =，所以函数()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-．（2）()2ln f x x ax ax =+-，0x >，则()221ax ax f x x'-+=，令()221t x ax ax =-+，①若0a =，则()22110t x ax ax =-+=>，故()'0f x >，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，所以函数()f x 在()0+∞，上无极值点，故0a =不符题意，舍去； ②若0a <，()2211212148t x ax ax a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，该二次函数开口向下，对称轴14x =，111048t a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()0t x =在()0+∞，上有且仅有一根0x =()0'0f x =，且当00x x <<时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()00x ，上单调递增；当0x x >时，()0t x <，()'0f x <，函数()f x 在()0x +∞，上单调递减；所以0a <时，函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点0x =意；③若0a >，()2211212148t x ax ax a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，该二次函数开口向上，对称轴14x =．（ⅰ）若111048t a ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭，即08a <≤，()104t x t ⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，故()'0f x ≥，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，所以函数()f x 在()0+∞，上无极值点，故08a <≤不符题意，舍去；（ⅱ）若111048t a ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，即8a >，又()010t =>，所以方程()0t x =在()0+∞，上有两根2184a a a x a --=，2284a a a x a+-=，故()()12''0f x f x ==，且当10x x <<时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()10x ，上单调递增；当12x x x <<时，()0t x <，()'0f x <，函数()f x 在()12x x ，上单调递减；当2x x >时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()2x ，+∞上单调递增；所以函数()f x 在()0+∞，上有两个不同的极值点，故8a >不符题意，舍去，综上所述，实数a 的取值范围是0a <．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．23．（Ⅰ）a=b=﹣1；（Ⅱ）k 的范围是（﹣∞，]．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出f （x ）的导数，求得切线的斜率和切点，由已知切线的方程，解方程可得a ，b ；（Ⅱ）由题意可得x ＞0时，﹣﹣1＞kx ，即e x ﹣1﹣x ＞kx 2，由h （x ）=e x ﹣1﹣x ，求出导数，可得e x ≥1+x ，由m （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣kx 2，求得导数，讨论2k 与1的关系，即可求得k 的范围．解：（Ⅰ）f （x ）=++b 的导数为f′（x ）=﹣，在点（1，f （1））处的切线斜率为﹣a ，切点为（1，e+a+b ），由切线方程为x ﹣y+e ﹣3=0，可得﹣a=1，e+a+b=e ﹣2，解得a=b=﹣1；（Ⅱ）x ＞0时，f （x ）＞g （x ），即为x ＞0时，﹣﹣1＞kx ，即e x ﹣1﹣x ＞kx 2，由h （x ）=e x ﹣1﹣x 的导数为h′（x ）=e x ﹣1，当x ＞0时，h′（x ）＞0，h （x ）递增；当x ＜0时，h′（x ）＜0，h （x ）递减．可得h （x ）在x=0处取得最小值0，即有h （x ）≥0成立，即e x ≥1+x ，e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0恒成立，由m （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣kx 2，m′（x ）=e x ﹣1﹣2kx ，当2k≤1时，由e x ≥1+x ，可得e x ﹣1﹣2kx≥e x ﹣1﹣x ＞0，则m （x ）在x ＞0时递增，即有m （x ）＞m （0）=0，即有e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0恒成立；当2k ＞1时，e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0不恒成立．综上可得，k 的范围是（﹣∞，]．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 24．（1）b ＝－11 （2）【解析】解：(1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，于是，根据题设有，解得或.当时，f′(x)＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；当时，f′(x)＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．所以b ＝－11.(2)由题意知f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，所以F(a)＝2xa ＋3x 2＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立．因为x≥0，所以F(a)在a ∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数， ①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；②当F(a)为增函数时，F(a)min ＝F(－4)＝－8x ＋3x 2＋b≥0，即b≥(－3x 2＋8x)max 对任意x ∈[0,2]都成立，又－3x 2＋8x ＝－3(x －)2＋≤，所以当x ＝时，(－3x 2＋8x)max ＝，所以b≥.所以b 的最小值为.25．证明见解析. 【分析】求出曲线3y x x =-在x =1处的切线的斜率k ，若112k ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，即可证明切线与直线112y x =-+垂直.【详解】证明：3'2,31y x x y x =-∴=-.∴曲线3y x x =-在x =1处的切线的斜率23112k =⨯-=，121,2⎛⎫⨯-=-∴ ⎪⎝⎭曲线3y x x =-在x =1处的切线与直线112y x =-+垂直.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线的位置关系，属于基础题. 26．（1）20x y ++=；（2）440x y +-= 【分析】（1）求出函数在1x =-处的导数值，即为切线斜率，再由切点写出切线方程；（2）因为点(4,0)并不在曲线上，故该点不是切点.设切点坐标为001(,)x x ，求得导数，即为切线的斜率，写出切线方程，将(4,0)代入方程，即可求出切点的坐标，进而写出切线方程. 【详解】解：1y x =，21y x'∴=- （1）当1x =-时，得在点()11--，处的切线的斜率为1-， ∴切线方程为：1(1)y x +=-+，即20x y ++=；（2）设切点为001(,)x x ，则切线的斜率为201x -∴切线方程为020011()y x x x x -=--，切线过点(4,0)，020011(4)x x x ∴-=--，解得02x =， ∴所求切线方程为11(2)24y x -=--，即440x y +-=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，注意“在”和“过”点的切线的区别，属于基础题.。

高中数学选修2-2 北师大版变化的快慢与变化率课后练习(含答案)

第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率一、基础过关1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0B ．1C ．2D ．Δx3．在曲线y ＝x 2＋2的图像上取一点(1,3)及附近一点(1＋Δx,3＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx4．函数y ＝2x 2－x 在x ＝2附近的平均变化率是( )A ．7B ．7＋ΔxC ．7＋2ΔxD ．7＋2(Δx )25．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( )A ．4B ．6C ．24D ．486．自由落体运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt，则Δt 趋于0时，v 趋于9.8 m/s ，它是( )A ．0～1秒内的平均速度B ．1～(1＋Δt )秒内的速度C ．1秒这一时刻的瞬时速度D ．1～(1＋Δt )秒内的平均速度7．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为____________________．二、能力提升8. 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定9．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________.10．自由落体运动物体在t ＝4 s 时刻的瞬时速度为________．(取g ＝9.8 m/s 2) 11．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．12．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t <3) 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．。

【金版优课】高二数学北师大版选修2-2课时作业：2.1 变化的快慢与变化率 Word版含解析

选修2-2 第二章 §1 课时作业7一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44解析：∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41. 答案：B2．某物体的运动规律是s ＝s (t )，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( ) A ．v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )ΔtB ．v ＝s (Δt )ΔtC ．v ＝s (t )tD ．v ＝s (t ＋Δt )－s (Δt )Δt解析：由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt ，故选A.答案：A3．已知函数f (x )＝2x 2＋3的图像上一点(1,5)与邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx 等于( )A ．4＋2ΔxB ．4＋(2Δx )2C ．4xD ．4解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2＋3－(2×12＋3)＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx ，故选A. 答案：A4．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：由定义可知k 1＝2x 0＋Δx ，k 2＝2x 0－Δx ，因为Δx 可正、可负但不可为0，所以k 1与k 2大小不确定．故选D.答案：D 二、填空题5．质点运动规律s ＝12gt 2，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________(g ＝10m/s 2)．解析：Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×[6Δt ＋(Δt )2]＝30Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt ＝30＋5Δt .答案：30＋5Δt6．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如右图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为______．解析：由平均速度的定义结合图像知v 3>v 2>v 1. 答案：v 3>v 2>v 17．[2014·济宁高二月考]若正方体的棱长从x ＝1到x ＝a 时正方体的体积膨胀率为21，则a 的值为________．解析：ΔV ＝a 3－1，∴ΔV Δx ＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21.∴a 2＋a －20＝0. ∴a ＝4或a ＝－5(舍)．答案：4 三、解答题8．已知f (x )＝x 2－3x ＋5，求函数f (x )从1到2的平均变化率．解：Δx ＝2－1＝1， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (2)－f (1)，＝22－3×2＋5－(12－3×1＋5)＝0. ∴Δy Δx＝0. ∴函数f (x )从1到2的平均变化率为0.9．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解：从出生到第3个月的时间变化量Δt ＝3－0＝3，从出生到第3个月的体重变化量ΔW ＝6.5－3.5＝3，则从出生到第3个月的体重的平均变化率ΔW Δt ＝33＝1.从第6个月到第12个月的时间变化量Δt ＝12－6＝6，从第6个月到第12个月的体重变化量ΔW ＝11－8.6＝2.4，则从第6个月到第12个月的体重平均变化率 ΔW Δt ＝2.46＝0.4.。

北师大版数学高二-(北师大)选修2-2 作业 2.1变化的快慢与变化率

1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．0解析：Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1. 答案：A2．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，Δs Δt为( )A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度B ．在t 时刻物体的瞬时速度C ．当时间为Δt 时物体的速度D ．在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度解析：Δs Δt中Δt 趋于0时得到的数值是物体在t 时刻的瞬时速度．答案：B3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )A ．4B ．13C ．15D ．28解析：Δs ＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15.∴Δs Δt ＝153－2＝15. 答案：C4．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8 m/sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m/sD ．4.8 m/s解析：Δs Δt ＝2[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.22)Δt ＝－4.8－2Δt .当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－4.8. 答案：A5．函数y ＝1x 在区间[1,3]上的平均变化率为________．解析：Δy Δx ＝13－13－1＝－13. 答案：－13 6．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]上的平均变化率为94，则a ＝________. 解析：在区间[2，a ]上的平均变化率Δy Δx ＝a 2－2a ＋3－3a －2＝a ，由已知可得a ＝94. 答案：94[] 7．已知函数f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)分别求y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6及⎣⎡⎦⎤π6，π2上的平均变化率． (2)比较两个平均变化率的大小，说明其几何意义．解：(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， k 1＝f ⎝⎛⎭⎫π6－f (0)π6－0＝12－0π6－0＝3π. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，k 2＝f ⎝⎛⎭⎫π2－f ⎝⎛⎭⎫π6π2－π6＝1－12π3＝32π. (2)由(1)可知：k 2<k 1，作出y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图像如图所示．可以发现，y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上随着x 的增大，函数值变化得越来越慢． 8．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋3(t －3)2， 0≤t ＜3.求： (1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3×(0＋Δt －3)2－29－3×(0－3)2Δt＝3Δt －18，当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－18， ∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2Δt＝3Δt －12，当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.。

高中数学北师大版选修2-2学案2.1 变化的快慢与变化率 Word版含解析

§变化的快慢与变化率.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率. (重点).知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量.(重点、难点)[基础·初探]教材整理函数的平均变化率阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题..定义：对一般的函数＝()来说，当自变量从变为时，函数值从()变为()，它的平均变化率为.改变量称作自变量的，通常我们把自变量的变化－()记作，函数值的变化Δ记作，改变量－()称作函数值的这样.Δ函数值示为函数的平均变化率就可以表，自变量的改变量与的改变量之比即.，＝作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[.，.]上变化的快慢判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()由Δ＝－，知Δ可以为.( ) ()Δ＝()－()是Δ＝－相应的改变量，Δ的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零.( ) ()对山坡的上、下两点，中，＝可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度.( )【答案】()×()√()√教材整理函数瞬时变化率阅读教材“练习”以下至“练习”以上部分，完成下列问题..定义：对于一般的函数＝()，在自变量从变到的过程中，若设Δ＝－，Δ＝()－(), 则函数的平均变化率是＝＝.，Δ当趋于时平均变化率就趋于函数在的瞬时变化率.点.作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.一质点运动规律是＝＋(的单位为，的单位为)，则在＝时的瞬时速度估计是.【解析】Δ＝(＋Δ)－()＝(＋Δ)＋－(＋)＝Δ＋(Δ)，∴＝＝＋Δ，当Δ趋于时，趋于.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()已知函数()＝＋，分别计算()在自变量从变到和从变到时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.【精彩点拨】()由Δ＝(＋Δ)－()。

高二数学北师大版选修2-2同步精练2.1变化的快慢与变化率 Word版含答案

.正方体的棱长从增加到时，正方体的体积平均膨胀率为()．．．．．．若正方体的棱长从＝到＝时正方体的体积平均膨胀率为，则的值为()．．．．．以上都不对．函数＝在到＋Δ之间的平均变化率为，在－Δ到之间的瞬时变化率为，则()．．＞．＜．＝．不确定．观察函数()的图像(如图)，平均变化率表示()．．直线的点斜式方程．直线的斜截式方程．直线的两点式方程．直线的斜率．设函数＝()，当自变量由改变到＋Δ时，函数的改变量Δ为()．．(＋Δ) ．()＋Δ．()Δ ．(＋Δ)－()．已知曲线＝－上两点()，′(＋Δ＋Δ)，当Δ＝时，割线′的斜率为，当Δ＝时，割线′的斜率为．．已知函数＝－，当＝时，＝.．一水库的蓄水量与时间关系图像如图所示，试指出哪一段时间(以两个月计)蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？．一质点按规律＝＋做直线运动(位移单位：米，时间单位：秒)．求：()该质点在前秒内的平均速度；()质点在秒到秒内的平均速度；()质点在秒时的瞬时速度．．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度(单位：℃)为＝()＝－＋(≤≤)．计算第和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．参考答案.答案：解析：设正方体的棱长为，体积为，则Δ＝－＝，Δ＝－＝，＝..答案：解析：Δ＝－＝－，Δ＝－，∴＝，则＝或＝－(舍去)．.答案：解析：∵Δ＝(＋Δ)－()＝(＋Δ)－＝Δ＋(Δ)，∴＝＋Δ，∴为Δ趋于时的平均变化率，∴＝.∵Δ＝()－(－Δ)＝－(－Δ)＝Δ－(Δ)，∴＝－Δ，∴为Δ趋于时的平均变化率，∴＝.故＝..答案：解析：＝∠＝..答案：.答案：解析：＝＝＋Δ.当Δ＝时，＝.当Δ＝时，＝＋＝..答案：＋Δ＋(Δ)解析：Δ＝(＋Δ)－－(－)＝(Δ)＋Δ＋(Δ)，∴＝＋Δ＋(Δ)..答案：解：由图像可以看出，月至月水库的蓄水量增长最快，蓄水效果最好，月至月水库的蓄水量减少最快，蓄水效果最差．.答案：解：()质点在前秒内的平均速度为＝(米秒)．()质点在秒到秒内的平均速度为＝(米秒)．()＝＋Δ.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数()2f x x bx =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（）A ．20192020B ．20182019C ．20172018D ．201820172．已知直线2y x b =+与函数2,0()ln ,0x x f x x a x ⎧-≤=⎨+>⎩的图象相切，且有两个不同的切点，则实数a 的值为（）． A ．ln 2 B ．2 C ．2ln 2- D ．2ln 2+3．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-4．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+5．已知221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点)f 处的切线的斜率为（）A ．19-B ．29-C ．19D ．296．设P 为曲线2:2C y x x =+上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则点P 横坐标的取值范围为( ) A．1,⎫++∞⎪⎣⎭B．1,⎫-+∞⎪⎣⎭C．1⎤-+⎥⎣⎦ D．1⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦7．设点P是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（）. A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2[0,),23πππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x limx∆→+∆-=∆,则()0'f x = （）A ．2B ．1C ．12D ．09．曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+ B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-10．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．以上均有可能11．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[0，π)C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[0，4π]∪[2π，34π]12．已知,a b ∈R ，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4πx =-处相切，设()2x g x e bx a =++，若在区间[1，2]上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立．则实数m（）A ．有最大值1e +B ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e -二、填空题13．已知函数()2sin cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与直线(0)y ax a =>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，3x ，则()123123tan x x x x x x +-=+-________． 14．已知221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点)f处的切线的斜率为___________．15．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x >时，()3ln f x x x=-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为______.16．若曲线()4f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为______．17．函数()2xf x e x =-的图象在点()()0,0f 处的切线为_____．18．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()322f x x x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______________.20．已知在R 上可导， ()()()3311F x f x f x =-+-，则()1F '=__________．三、解答题21．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．22．已知a R ∈，函数()()(x x f x e ax xe =-.（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 1，求a 的值；（2）设()x g x xe =()1g x >对x ∈R 恒成立；（3）若1(0,)a e∈，证明：()2f x a >对x ∈R 恒成立.23．已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点()4,0n -，且()()*02,f n n N '=∈.（1）求()f x 的解析式；设数列{}n a 满足()2nn a f n =-⋅'，求数列{}n a 的前n 项和.24．求下列函数的导数：（1）()(1sin )(14)f x x x =+-；（2）()21x xf x x =-+. 25．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈. （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由. 26．已知函数()x f x xe =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【分析】利用导数的几何意义，可求出直线l 的斜率，进而由l 与直线320x y -+=平行，可求出b ，从而可得到()1111f n n n =-+，进而求出2019S 即可.【详解】由题意，()2f x x b '=-，则()12f b '=-，所以直线l 的斜率为2b -，又直线320x y -+=的斜率为3，所以23b -=，解得1b =-.则()2f x x x =+，故()211111f n n n n n ==-++，所以201911111111201911223342019202020202020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前n 项和，属于中档题.2．D解析：D 【分析】先由题意得出直线与分段函数的两部分图象均相切，再利用方程根的判别式及导数的几何意义求解．【详解】由題意，知直线2y x b =+与函数()f x 在(,0]-∞，(0,)+∞上的图象均相切，由直线2y x b =+与2y x =-的图象相切得，联立方程组22y x y x b⎧=-⎨=+⎩，整理得220x x b ++=，由440b ∆=-=，解得1b =，此时切点为(1,1)A --，直线方程为21y x =+，设直线21y x =+与ln y x a =+的图象切于点()00,B x y ，由函数ln y x a =+，则1y x '=，所以012x =，所以012x =，所以点B 的坐标为1,ln 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为点B 在直线21y x =+上，所以1ln 2212a -=⨯+，解得2ln 2a =+．故选：D ．【点睛】本题主要考查了分段函数与导数的几何意义，考查考生的逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力，运算求解能力．3．B解析：B 【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率为k a =-，结合垂直关系，即可得出a 的值. 【详解】()2(1)af x x x'=--，则在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a =-由切线与直线210x y ++=垂直，可得2a -=，则2a =-故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据归纳推理进行求解即可．【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．5．B解析：B 【分析】先用换元法，求得22()1xf x x=+，再求导，进而求得曲线()y f x =在点)f 处的切线的斜率. 【详解】令11xt x-=+，则1,1tx t-=+ 所以.2221121()1111t t t f t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭所以22()1xf x x =+ 所以()()22221()1x f x x -'=+，∴29f '=-.故选：B 【点睛】本题主要考查求函数解析式和导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据倾斜角范围可求得切线斜率的范围，根据导数的几何意义可利用导函数构造不等式求得所求横坐标的取值范围. 【详解】设切线的倾斜角为θ，则,32ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴切线斜率)k ∈+∞ 22y x '=+22x ∴+≥2122x ≥=-即P点横坐标的取值范围为1,⎫-+∞⎪⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、导数的几何意义的应用；关键是能够根据直线斜率与倾斜角的关系确定切线斜率的取值范围.7．B解析：B 【解析】【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【详解】解：2333y x '=-，tan 3α∴-，2[0,),23ππαπ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．8．C解析：C 【分析】根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx ∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆ 即()()()000021'22x f x x f x f x lim x∆→+∆-==∆ 故选C 【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.9．A解析：A 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-，所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A. 【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.10．A解析：A 【解析】【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ， ∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ，恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交．故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A.12．A解析：A 【分析】求f （x ）导数，利用导数的几何意义可得a 和b 的值，求g （x ）的导数和单调性，可得函数g(x)的最值，然后解不等式min 2max )2)m gx m g x ≤⎧⎨-≥⎩（（即可得m 的最值．【详解】∵sin ()tan cos x f x x x ==，∴222cos sin (sin )1()cos cos x x x f x x x-⋅-='=， ∴()24a f π'=-=，又点(,1)4π--在直线πy ax b 2=++上， ∴-1=2 ⋅()4π-+b+π2，∴b ＝﹣1， ∴g （x ）＝e x ﹣x 2+2，g'（x ）＝e x ﹣2x ，g''（x ）＝e x ﹣2，当x ∈[1，2]时，g''（x ）≥g''（1）＝e ﹣2＞0， ∴g'（x ）在[1，2]上单调递增，∴g'（x ）≥g （1）＝e ﹣2＞0，∴g （x ）在[1，2]上单调递增，min 22max )(1)12)(2)2m gx g e m g x g e ≤==+⎧⎨-≥==-⎩（（解得m e ≤-或e≤m≤e+1，∴m 的最大值为e+1，无最小值，故选A. 【点睛】本题考查导数的运用，考查利用导数求切线的斜率和单调区间，最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．二、填空题13．1【分析】化简与直线恰有三个公共点其中为一公共点根据对称性所求式子化为且直线与相切切点的坐标根据导数几何意义可求出的关系式即可求解【详解】均为奇函数所以为一公共点另两个公共点关于原点对称所以为直线与解析：1 【分析】化简()sin 2f x x =-，与直线(0)y ax a =>恰有三个公共点，其中0x =为一公共点，根据对称性133,0x x x =->，所求式子化为33tan 22x x ，且13,x x 直线(0)y ax a =>与()f x 相切切点的坐标，根据导数几何意义，可求出3x 的关系式，即可求解. 【详解】()2sin cos 2cos sin sin 222f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),f x y ax =均为奇函数，所以0x =为一公共点，另两个公共点关于原点对称，133,0x x x =->，所以13,x x 为直线(0)y ax a =>与()f x 相切切点的横坐标，3333sin 2()2cos 2,()2cos 2x f x x f x x a x -''=-=-==， 333332cos2sin 2,tan 22x x x x x ∴==，()12331233tan tan 212x x x x x x x x +-==+-.故答案为:1.【点睛】本题考查函数图象的交点、函数的性质、导数的几何意义，函数的对称性是解题的关键，属于中档题.14．【分析】利用官员发先求得函数的解析式再求得导函数即可求得在点处的切线的斜率【详解】已知令则所以则∵求得导函数可得∴由导数几何意义可知在点处的切线的斜率为故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解解析：29-【分析】利用官员发先求得函数()f x的解析式，再求得导函数，即可求得在点)f处的切线的斜率. 【详解】已知221111x x f x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，令11xt x-=+，则11t x t -=+，所以()22211211111t t t f t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，则()221xf x x =+∵求得导函数可得()()222221x f x x -'=+，∴29f '=-.由导数几何意义可知在点)f处的切线的斜率为29-，故答案为：29- 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，由导数几何意义求得切线斜率，属于中档题.15．【分析】利用奇函数的定义求出函数在上的解析式然后利用导数可求出的值即为所求结果【详解】当时由于函数为奇函数当时则此时因此曲线在点处的切线斜率为故答案为【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率同时也考查了解析：4【分析】利用奇函数的定义求出函数()y f x =在(),0-∞上的解析式，然后利用导数可求出()1f '-的值，即为所求结果.【详解】当0x >时，()3ln f x x x=-，由于函数()y f x =为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()()()33ln ln f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，此时，()()()2231311f x x x x x '=-⋅-=--，()11341f '∴-=-=-. 因此，曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为4. 故答案为4. 【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，同时也考查了利用奇偶性求函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】设求出的导数可得切线的斜率由两直线平行的条件：斜率相等解的方程可得进而得到切点的坐标【详解】的导数为设可得曲线在点处的切线斜率为由切线平行于直线可得解得即有【点睛】本题考查导数的运用：求切线解析：()1,0【分析】设(,)P m n ，求出()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解m 的方程可得m ，进而得到切点P 的坐标．【详解】4()f x x x =-的导数为3()41f x x '=-，设(,)P m n ，可得曲线在点P 处的切线斜率为341k m =-，由切线平行于直线30x y -=，可得3413m -=，解得1m =，4110n m m =-=-=．即有(1,0)P 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．17．【解析】【分析】求出原函数的导函数得到f′（0）为切线斜率再求得f(0)即可求解切线方程【详解】f （x ）＝ex ﹣x2f′（x ）＝ex ﹣2x ∴k ＝f′（0）＝1又切点坐标为（01）∴函数f （x ）＝ex 解析：10x y -+=【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到f ′（0）为切线斜率，再求得f(0)，即可求解切线方程．【详解】f （x ）＝e x ﹣x 2，f ′（x ）＝e x ﹣2x ， ∴k ＝f ′（0）＝1，又切点坐标为（0，1），∴函数f （x ）＝e x ﹣x 2图象在点（0，f （0））处的切线方程是y ﹣1＝x ﹣0，即x- y +1=0．故答案为x- y +1=0．【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，在曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．18．0【解析】【分析】通过求导数得y ＝x2＋3x 在点（－1－2）处的切线再直线与曲线相切于点求导可得解方程组即可得解【详解】由得∴当时则曲线在点处的切线方程为即设直线与曲线相切于点由得∴解之得∴答案：0解析：0 【解析】【分析】通过求导数得y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线1y x =-，再直线1y x =-与曲线ln y ax x =+相切于点()00,x y ，求导可得000000111a x y x y ax lnx⎧+=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组即可得解.【详解】由23y x x =+得'23y x =+， ∴当1x =-时，'1y =，则曲线23y x x =+在点()1,2--处的切线方程为21y x +=+，即1y x =-，设直线1y x =-与曲线ln y ax x =+相切于点()00,x y ，由ln y ax x =+得1'(0)y a x x=+>， ∴000000111a x y x y ax lnx⎧+=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解之得01x =，00y =，0a =. ∴0a =. 答案：0.【点睛】本题考查导数几何意义的应用，解答此类问题的关键是求出切点坐标．若切点已知，则直接求导即可得切线的斜率，若切点未知，在解题时首先要设出切点，然后根据切点在曲线上及导数的几何意义得到关于切点坐标的方程，求出切点坐标后可得切线方程．19．【分析】先求出当时的解析式然后再求出切线方程【详解】函数是定义在上的奇函数当时当时则当时即切线方程为即故答案为【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程本题较为解析：740x y --=【分析】先求出当0x >时的解析式，然后再求出切线方程【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数∴当0x <时，()322f x x x =-当0x >时，0x -<，()()()323222f x x x x x -=---=--则当0x >时，()322f x x x =+()1123f =+=()234f x x x '=+，()17f '=即切线方程为()371y x -=-，即740x y --= 故答案为740x y --= 【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式，再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程，本题较为基础，只要掌握解题方法即可20．0【解析】由题知则故本题应填解析：0 【解析】由题知()()()2323'3'13'1F x x f x x f x =---，则()()()'13'03'00F f f =-=．故本题应填0．三、解答题21．（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2∪(1,3)∪[2∞). 【解析】试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k 与﹣1k的取值范围，从而可求出k 的取值范围，然后解不等式可求出曲线C 的切点的横坐标取值范围. (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，111k k≥-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2∪(1,3)∪[2∞) 22．（1）0a =（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析:(1)根据导数的几何意义得到())'0111a =-+=；（2）对()x g x xe =0即可；（3）将函数分解为()()()f x g x h x =，分别求两个函数的最小值，乘起来大于2a 即可．（1）∵()()(xxf x e axxe=-+，∴()()('x x f x e a xe =-()()1x x e ax x e +-+，∴())'0111f a =-+=，∴0a =.（2）证明：()()1xg x x e +'=，令()0g x '=得1x =-，令()'0g x >得1x >-，()g x 递增；令()'0g x <，得1x <-，()g x 递减. ∴()()min 11g x g e =-=-+∵ 2.7e ≈，∴11e->，∴()1g x >. （3）证明：()xh x e ax =-，令()'0h x =得ln x a =，令()'0h x >，得ln x a >，()h x 递增；令()'0h x <，得ln x a <，()h x 递减. ∴()()()min ln ln 1ln h x h a a a a a a ==-=-.∵10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ln 1a <-，∴1ln 2a ->，∴()min 2h x a >，∴()20h x a >>. 又()1g x >，∴()()2g x h x a >，即()2f x a >.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 23．(1) ()()2*122f x x nx n N =+∈ (2) ()1122n n S n +=-+ 【解析】试题分析：（1）由()()40,'02f n f n -==列出关于,a b 的方程组,，即可解得,a b 的值，从而可求出()f x 的解析式；（2）由（1）知()f n n '-=，所以可得2nn a n =⋅，利用错位相减法结合等比数列求和公式，即可求数列{}n a 的前n 项和. 试题（1）由()2f x ax b ='+，∴22,1640.b n n a nb =⎧⎨-=⎩解之得1,22a b n ==，即()()2*122f x x nx n N =+∈. （2）()22nnn a f n n =-⋅=⋅'设123222322n n S n =+⋅+⋅++⋅所以()2312222122n n n S n n +=+⋅++-⋅+⋅两式相减123122222n n n S n +-=++++-⋅11222n n n ++=--⋅∴()1122n n S n +=-+【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.24．（1）'()4cos 4sin 4cos f x x x x x ==-+--；（2）21'()2ln 2(1)x f x x =-+. 【分析】(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导. 【详解】(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x. (2)f(x)=1x x +-2x =1-11x +-2x ,则f'(x)=21(1)x +-2xln 2. 【点睛】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 25．(1) 2 ， 2ln2-.（2）当[)0,a e ∈时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当(),a e ∈+∞时，方程()0f x =有两解. 【解析】试题分析: （Ⅰ）求出导函数，利用()f x 在处的切线方程为y x b =+,列出方程组求解,a b ;（Ⅱ）通过0?,?0a a =< ,判断方程的解0a >出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当a ∈[)0?,? e 时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当a e>时，方程有两解. 试题（Ⅰ）因为()()0af x x x x=->'，又()f x 在2x =处得切线方程为y x b =+，所以()()22ln22,2212af a b f =-=+=-='，解得2,2ln2a b ==-. （Ⅱ）当0a =时，()f x 在定义域()0,+∞内恒大于0，此时方程无解. 当0a <时，()()0af x x x x=->'在区间()0,+∞内恒成立，所以()f x 为定义域为增函数，因为()111110,1022a a f fe e ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以方程有唯一解.当0a >时，()2x af x x='-.当(x ∈时，()0f x '<， ()f x 在区间(内为减函数，当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间)x ∈+∞内为增函数，所以当x =()11ln 2fa a =-.当()0,a e ∈时，()11ln 02f a a =->，无方程解；当a e =时，()11ln =02fa a =-，方程有唯一解.当(),a e ∈+∞时，()11ln 02f a a =-<，因为()1102f =>1>，所以方程()0f x =在区间(内有唯一解，当1x >时，设()()1ln ,10g x x x g x x'=-=->，所以()g x 在区间()1,+∞内为增函数，又()11g =，所以ln 0x x ->，即ln 0x <，故()2211ln 22f x x a x x ax =->-.因为21a >>，所以()()22122202f a a a >-=.所以方程()0f x =在区间)+∞内有唯一解，所以方程()0f x =在区间()0,+∞内有两解，综上所述，当[)0,a e ∈时，方程无解. 26．（1）()x x f x e xe '=+；（2）.【分析】（1）因为()x f x xe =，则()()''()x xxx f x x e x e exe =+=+'（2）因为(1)2k f e '==，过点（1，e ）,那么可知切线方程为2(1)y e e x -=- 【详解】（1）()()''()x x xx f x x e x e exe =+=+'.（2）(1)2k f e '==，当1x =时，y e =，因此，这个函数的图象在点1x =处的切线方程是2(1)y e e x -=-，即.本试题主要是考查了函数的导数的求解以及导数的几何意义的运用.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（）A ．150!B ．150C ．50D ．50!2．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln |2|0ab c d a-+-+=，则(a ﹣c )2+(b ﹣d )2的最小值为（） A ．4 B ．92C ．322D ．23．与曲线2yx 相切，且与直线210x y ++=垂直的直线的方程为（）A ．22y x =-B ．22y x =+C ．21y x =-D ．21y x =+4．函数()2221sin cos 622x xf x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．5．曲线()33ln y x x x =-⋅在点(1,0)处的切线方程为（）A ．220x y +-=B ．210x y +-=C ．10x y +-=D ．440x y +-=6．设函数()ln f x x =，且()012,,0,x x x ∈+∞，下列命题： ①若12x x <，则()()122121f x f x x x x ->-； ②存在()012,x x x ∈，12x x <，使得()()120121f x f x x x x -=-； ③若11x >，21>x ，则()()12121f x f x x x -<-；④对任意的1x ，2x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭. 其中正确的命题个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．17．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（） A ．2 B ．－1C ．1D ．－28．曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（） A ．21y x =--B ．21y x =-C ．21y x =-+D ．21y x =+9．已知直线:l y m =，若l 与直线23y x =+和曲线ln(2)y x =分别交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为A ．1B ．2C D 10．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（） A ．3B ．13C ．2D ．1211．若函数()3=-ln 3f x x x x -+-，则曲线()y f x =在点()()-1,-1f 处的切线的倾斜角是（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 12．已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（） A ．0B ．2C ．1D ．3二、填空题13．已知函数()x f x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________. 14．曲线ln y x x =在P 点处的切线与直线220200x y --=平行，则点P 的坐标为______.15．曲线232ln y x x x =-+的切线中，斜率最小的切线方程为__________. 16．经研究发现，三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心，设其为()()0,x f x ，则()0''0f x =，反之也成立，其中()''f x 是函数()f x 的导函数()'f x 的导数.已知()()322221f x x ax a a x a =++-++，若对任意的实数()1m m ≠，函数()f x 在x m =和2x m =-处的切线互相平行，则实数a =______.17．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是28y x =-+，则(3)(3)f f '+=__________．18．已知实数a ，b 满足225ln 0a a b --=，R c ∈，则22()()a c b c -++的最小值为__________．19．已知函数()ln f x x x =+,若函数()f x 在点()()00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行,则0x =____________ 20．已知()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式()3'(2)ln f x xf x =+，则(1)f '的值为___．三、解答题21．已知曲线 5y x =，求：（1）求曲线在()1,5的切线方程；（2）求过点 ()0,5P 且与曲线相切的切线方程．22．已知直线240x y +-=与抛物线212y x =相交于,A B 两点（A 在B 上方）,O 是坐标原点。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（）A ．150!B ．150C ．50D ．50!2．函数()2sin f x k x =+在()0,2处的切线l 也是函数3231y x x x =---图象的一条切线，则k =（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．设点P 是曲线()23xf x e =-+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为()5284100c x x=-（80100x <<）.当净化到95%时所需净化费用的瞬时变化率为（）元/吨. A ．5284B ．1056.8C ．211.36D ．105.685．设函数2()sin f x x ππ=-在(0,)+∞上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(,0)x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为（）A ．5B C D ．106．已知函数()ln ln xxf x e x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点，则a=（） A ．e -B ．eC ．1e e ---D ．1e -7．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（） A ．12e- B ．2e -C ．1-D ．e8．设函数()()431f x x a x a =+-+．若()f x 为偶函数，则()f x 在1x =处的切线方程为（） A ．54y x =-B ．53y x =-C ．42y x =-D ．43y x =-9．函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()0k g x =，则函数()g x 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．10．已知点P 在曲线y=41xe +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是（） A ．[0,4π) B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 11．已知定义在()0+∞，上的函数()()26ln 4x m g x f x x x =+=-，，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（）A ．5B ．3C ．3-D ．5-12．若曲线e x y x ax =-与直线0x y -=相切（e 是自然对数的底数），则实数a 的值为（） A ．eB ．1-C eD ．0二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x >时，()3ln f x x x=-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为______.14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______.15．若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是________.16．函数()2xf x e x =-的图象在点()()0,0f 处的切线为_____．17．曲线332y x x =-+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是______18．曲线()ln f x x ax =+ 存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围_______．19．已知函数()3f x x =，设曲线()y f x =在点()()11P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点()()22Q x f x ，，记()f x '为函数()f x 的导数，则()()12f x f x ''的值为_____． 20．关于x 的方程2xx a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______________.三、解答题21．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈. （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由. 22．已知函数()()2ln 4,3f x a x x g x x =-=--．（Ⅰ）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围．23．已知函数，，曲线在处的切线方程为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对，恒有成立，求的取值范围．24．设函数()3f x x =的图象上一点()()1,1P f 处的切线l 与()3f x x =的图象的另一交点为Q ．（1）确定点Q 的坐标；（2）求函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积．25．已知函数3()32f x x ax =-+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为30x y m ++=.（Ⅰ）求实数a ，m 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[1,2]上的最值. 26．已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求出()1f '-和()0f ，可得出n a 的表达式，进而可计算得出50a 的值. 【详解】()()()()()123f x x x x x n =++++，其中2n ≥且n *∈N ，()()()()()()()2313f x x x x n x x x n '∴=++++++++()()()121x x x n ++++-，()()11231f n '∴-=⨯⨯⨯⨯-，()()01231f n n =⨯⨯⨯⨯-⨯，则()()110n f a f n'-==，因此，50150a =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题.2．C解析：C 【分析】利用导数的几何意义得出()f x 在()0,2的切线l 的方程，设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y ，结合导数的几何意义得出在点00,x y 的切线方程，并将点()0,2代入切线方程和函数3231y x x x =---，求出01x =-，00y =，再代入2y kx =+，即可得出k 的值. 【详解】∵()cos f x k x '=，∴()0f k '=，所以在()0,2的切线l 的方程为直线2y kx =+ 设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y 由2323y x x '=--，得出0200323x x y x x ='=-- 故切线方程为()()20000323y y x x x x -=---由()()200003200002323031y x x x y x x x ⎧-=---⎪⎨=---⎪⎩整理得3200230x x -+=，即32200022330x x x +-+=所以()()002012330x x x +-+=，所以()20031512048x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得01x =-，00y = 代入2y kx =+，解得2k =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.3．B解析：B 【分析】先对函数进行求导，然后表示出切线的斜率，求出斜率范围，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系求倾斜角范围即可. 【详解】由()23xf x e =+，所以()'=xf x e又P 是曲线()23xf x e =+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，所以点P 处的切线的斜率为tan α==x k e 0x e >，所以tan α>所以角α的取值范围为20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的求法，属于基础题 .4．C解析：C 【分析】根据()c x ，利用导数除法法则求出()c x '，将95代入()c x '即可求得. 【详解】5284()100c x x ''⎛⎫= ⎪-⎝⎭25284(100)5284(100)(100)x x x ''⨯--⨯-=-20(100)5248(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-()2528495211.36(10095)c '==-.故选：C . 【点睛】本题考查复合函数的导数、导数的几何意义及利用导数知识解决相关问题的能力，是中档题.5．D解析：D 【分析】由导数的几何意义可得：曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-，由导数的应用可得：当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到切线l 的距离为||PQ 的最小值，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】解:令2sin 0x ππ-=，(0)x >．则x k ππ=，即x k =，(*)k N ∈，则x 的最小值为1，即0x =1，又'()2cos f x x π=-，所以'(1)2f =，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-，由23ln 2y x x =-，则'13y x x =-，令132x x -=，解得1x =，此时32y =，即当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到直线l 的距离为||PQ 的最小值，由点到直线的距离公式可得：min ||PQ=故选D. 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属中档题.6．A解析：A 【分析】利用导数求出函数()y f x =在点()()1,1T f 处的切线方程，再将原点的坐标代入切线方程可求出实数a 的值. 【详解】()ln ln x x f x e x e a x =-+，()1f e ∴=-，切点为()1,T e -，()ln x xx e af x e x e x x'=+-+，()1f a '=，所以，函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-，由于该直线过原点，则a e -=，解得a e =-，故选A. 【点睛】本题考查切线过点的问题，一般先利用导数求出切线方程，再将所过点的坐标代入切线方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.7．B解析：B 【分析】对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1=x e求得结果. 【详解】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.8．C解析：C 【分析】由奇偶性求得1a =，可得函数()f x 的解析式，求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. 【详解】因为函数()()431f x x a x a =+-+为偶函数，所以()()f x f x -=，可得()3210a x -=，可得1a =，所以函数()41f x x =+，可得()34f x x '=，()12f =；曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为()'14f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程为：()241y x -=-．即42y x =-．故选C ．【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.9．B解析：B 【分析】求出函数的导数，得到函数的解析式，利用奇偶性及特殊函数值进行排除即可．【详解】函数cos sin y x x x =-，可得'sin y x x =-，在点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()000sin k g x x x ==-，函数k 是偶函数，排除A ，D ，当06x π=时，012k π=-<，显然C 不正确，B 正确；故选B ．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数性质的应用，考查计算能力．10．D解析：D 【详解】试题分析：因为，所以34παπ≤<，选A. 考点：导数的几何意义、正切函数的值域.11．D解析：D 【分析】分别求得()f x 和()g x 的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入()f x 求得m 的值. 【详解】()()2,64f x x g x x ''==-，令624x x=-，解得1x =，这就是切点的横坐标，代入()g x 求得切点的纵坐标为4-，将()1,4-代入()f x 得14,5m m +=-=-.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.12．D解析：D 【分析】设切点坐标为()0000,xA x x e ax -，则根据切点在直线0x y -=上可知0000xx x e ax =-，然后再利用0|1x x y ='=列出关于0x 与a 的方程组求解. 【详解】设切点坐标为()0000,xA x x e ax -，()1e xy x a '=+-，则根据题意得：()0000011xx x x e ax x e a ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩，解得000x a =⎧⎨=⎩. 故选：D. 【点睛】本题考查根据曲线的切线方程求参数的值，解答时注意先设出切点的坐标，将切点坐标代入切线方程以及利用切点处的导数值为斜率列出方程组求解即可，另外求解与切线方程有关的问题时，注意“在某一点的切线”与“过某一点的切线”的区别.二、填空题13．【分析】利用奇函数的定义求出函数在上的解析式然后利用导数可求出的值即为所求结果【详解】当时由于函数为奇函数当时则此时因此曲线在点处的切线斜率为故答案为【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率同时也考查了解析：4【分析】利用奇函数的定义求出函数()y f x =在(),0-∞上的解析式，然后利用导数可求出()1f '-的值，即为所求结果.【详解】当0x >时，()3ln f x x x=-，由于函数()y f x =为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()()()33ln ln f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，此时，()()()2231311f x x x x x '=-⋅-=--，()11341f '∴-=-=-. 因此，曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为4. 故答案为4. 【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，同时也考查了利用奇偶性求函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.15．【解析】【分析】分别求出导数设出各自曲线上的切点得到切线的斜率结合切点满足曲线方程再设出两条切线方程变形为斜截式从而根据切线相同则系数相等可得切点坐标的关系式整理得到关于一个坐标变量的方程借助于函数解析：1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的范围．【详解】1(),()22f x g x x x''==+，设切点分别是()()211222,ln ,,2ln x x x x x a ++，所以切线方程分别为：()()()()211222211ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-，化简为()()212211ln 1,22ln y x x y x x x a x =+-=+-+，所以21212122ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ，得()222ln ln 221a x x =-+-，令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<，1()201f x x x '=-<+，所以f (x )在(1,0)-单调递减，(0)ln 21,(1)f f =---→+∞，ln 21y >--，故ln ln 21a >--，解得12a e>. 所以本题答案为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-，若求曲线y =f (x )过点(m ，n )的切线，应先设出切点()()00,x f x ，把(m ，n )代入()()()000y f x f x x x '-=-，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.16．【解析】【分析】求出原函数的导函数得到f′（0）为切线斜率再求得f(0)即可求解切线方程【详解】f （x ）＝ex ﹣x2f′（x ）＝ex ﹣2x ∴k ＝f′（0）＝1又切点坐标为（01）∴函数f （x ）＝ex 解析：10x y -+=【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到f ′（0）为切线斜率，再求得f(0)，即可求解切线方程．【详解】f （x ）＝e x ﹣x 2，f ′（x ）＝e x ﹣2x ， ∴k ＝f ′（0）＝1，又切点坐标为（0，1），∴函数f （x ）＝e x ﹣x 2图象在点（0，f （0））处的切线方程是y ﹣1＝x ﹣0，即x- y +1=0．故答案为x- y +1=0．【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，在曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．17．【解析】【分析】求得函数的导数得到进而得出在点处切线的斜率再利用斜率与倾斜角的关系即可求解【详解】由题意函数则即曲线上的任意一点处切线的斜率设直线的倾斜角为即又因为所以即曲线上的任意一点处切线的倾斜解析：2[0,)(,)23πππ【解析】【分析】求得函数的导数，得到23y x =≥'P处切线的斜率k ≥再利用斜率与倾斜角的关系，即可求解．【详解】由题意，函数32y x =+，则23y x =≥'，即曲线32y x =+上的任意一点P处切线的斜率k ≥设直线的倾斜角为α，即tan α≥ 又因为[0,)απ∈，所以2[0,)(,)23ππαπ∈，即曲线32y x =+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是2[0,)(,)23πππ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，再利用直线的斜率与倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．（﹣∞2﹣）∪（2﹣2）【解析】分析：函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x ）=+a 在区间x ∈（0+∞）上有解并且去掉直线2x ﹣y=0与曲线f （x ）相切的情况解出即解析：（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）【解析】分析：函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x ）=1x+a 在区间x ∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x ﹣y=0与曲线f （x ）相切的情况，解出即可．详解：函数f （x ）=lnx+ax 的导数为f′（x ）=1x+a （x ＞0）． ∵函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线， ∴方程1x+a=2在区间x ∈（0，+∞）上有解．即a=2﹣1x在区间x ∈（0，+∞）上有解． ∴a ＜2．若直线2x ﹣y=0与曲线f （x ）=lnx+ax 相切，设切点为（x 0，2x 0）．则0000122a x x lnx ax⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得x 0=e ．此时a=2﹣1e．综上可知：实数a 的取值范围是（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）．故答案为：（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）．点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-．②已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点11(,())x f x ，即解方程()f x k '=.③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．19．【解析】因为函数所以；则曲线在点处的切线斜率为所以曲线在点处的切线方程为：联立得：即所以则故答案为点睛：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程直线的点斜式方程难度中档；我们在解答这类题的解析：14【解析】因为函数()3f x x =，所以()23f x x '=；则曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线斜率为()21113k f x x =='，所以曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线方程为：321113()y x x x x -=-，联立()3f x x =得：32321111320()(2)0x xx x x x x x -+=⇒-+=，即212x x =-，所以()22221312f x x x =='，则()()1214f x f x =''，故答案为14. 点睛：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，直线的点斜式方程，难度中档；我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来.20．【解析】由题意则临界情况为与相切的情况则所以切点坐标为则此时所以只要图象向左移动都会产生3个交点所以即点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题画出图象我们可以知道在处有一个交点则在处必须有两个交点所解析：(1ln 2,)-+∞【解析】由题意，则临界情况为()2y x a =+与x y e =相切的情况，'2x y e ==，则ln 2x =，所以切点坐标为()ln 2,2，则此时1ln 2a =-，所以只要2y x a =+图象向左移动，都会产生3个交点，所以1ln 2a >-，即()1ln2,-+∞。

高中数学北师大版选修2-2同步训练：(5)变换的快慢与变化率

（5）变换的快慢与变化率1、已知函数()224f x x =-的图像上一点()1,2-及邻近一点()1,2x y +∆-+∆,则yx∆∆等于( ) A. 4 B. 4x C. 42x +∆ D. ()242x +∆2、已知函数()221y f x x ==-的图像上一点()1,1及邻近一点()1,1x y +∆+∆,则yx∆∆等于( ) A. 4 B. 42x +∆ C. 4x +∆ D. ()24x x ∆+∆3、某物体的运动方程是() s s t =,则该物体在t 到t t +∆这段时间内的平均速度是( )A. ()()s t t s t s v t t +∆-∆==∆∆B. ()s t v t∆=∆ C. ()s t v t=∆D. ()()s t t s t v t+∆-∆=∆4、设函数()y f x =,当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时,函数值的改变量y ∆= ( ) A. ()0f x x +∆ B. ()0f x x +∆C. ()0f x x ⋅∆D. ()()00f x x f x +∆-5、物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数()s s t =,则物体在时间间隔[]00,t t t +∆内的平均速度为()A. 0v v =B. t v s ∆=∆ C. sv t∆=∆D.当t ∆趋向于0时,st∆∆的值 6、若物体位移公式为()s s t =,从0t 到0t t +∆这段时间内,下列说法错误的是( ) A.()0s s t t =+∆表示物体在0t t +∆时刻的位移B.()()00s s t t s t ∆=+∆-表示位移的改变量C.()()00s t t s t s t t+∆-∆=∆∆表示这段时间内物体的平均速度 D.st∆∆一定与t ∆无关 7、在平均变化率的定义中,自变量x 在0x 处的改变量x ∆的值( )A.一定大于零B.一定小于零C.可以等于零D.一定不等于零 8、当自变量从0x 变到1x 时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A.在区间[]01,x x 的平均变化率 B.在0x 处的变化率C.在1x 处的变化量D.在区间[]01,x x 上的导数9、若函数221y x =-的图象上一点()1,1及邻近一点()1,1x y +∆+∆,则yx∆∆等于( ) A. 4 B. 4x C. 42x +∆ D. ()242x +∆10、在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =，②2y x =，③3y x =，④1y x=中,平均变化率最大的是( )A.④B.③C.②D.① 11、若 ()0'2f x =,则()00x 0f (x )f x x lim2x∆→-+∆=∆________.12、已知()f x 在0x x =处的导数为4,则0002lim x f x x f x x∆→(+∆)-()=∆__________.13、已知函数221y x =-的图象上一点()1,1及其邻近一点()1,1x y +∆+∆,则y x∆∆等于________.14、已知()210f x x =-+,则()f x 在32x =处的瞬时变化率是________. 15、求函数()2y f x x ==在1,2,3x =附近的平均变化率,当x ∆都为13时,哪一点附近平均变化率最大?答案以及解析1答案及解析：答案：C解析： ()()11f x f y x x +∆-∆=∆∆()()2221422424x x x x x x+∆-+∆+∆===∆+∆∆.2答案及解析：答案：B 解析：∵()()11y f x f ∆=+∆-()()22211211x ⎡⎤=+∆--⨯-⎣⎦()242x x =∆+∆,∴()24242x x y x x x∆+∆∆==+∆∆∆,故应选B.3答案及解析：答案：A解析：由平均速度的定义可知,物体在t 到t t +∆这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.所以()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆.4答案及解析：答案：D解析：函数值的改变量y ∆是表示函数()y f x =在0x x x =+∆的函数值与0x x =的函数值之差,因此有()()00y f x x f x ∆=+∆-.5答案及解析：答案：C解析：平均速度应为sv t∆=∆,选项D 为瞬时速度,故应选C.6答案及解析：答案：D解析：由变量的定义易知D 错误.7答案及解析：答案：D解析：习惯上用x ∆表示21x x -,即21x x x ∆=-,可把x ∆看做是相对于0x 的一个改变量, x ∆可为正,也可为负,但x ∆—定不等于零,故应选D.8答案及解析：答案：A解析：根据平均变化率的定义可知,当自变量从0x 变到1x 时,函数值的增量与相应自变量的增量之比就是函数在区间[]01,x x 上的平均变化率.9答案及解析：答案：C解析：()2211142x y x x x+∆--∆==+∆∆∆10答案及解析：答案：B解析：①的平均变化率为1,②的平均变化率为2.3,③的平均变化率为3.99,④的平均变化率为0.77-.11答案及解析：答案：1- 解析：()()()()00000x 0x 0f x f (x x)f x x f x 11lim lim f 'x 12x 2x 2∆→∆→-+∆+∆-=-=-=-∆∆12答案及解析：答案：8 解析：0002limx f x x f x x ∆→(+∆)-()∆0002lim[2]2x f x x f x x∆→(+∆)-()=⨯∆ ()02248.f x =='⨯=13答案及解析：答案：42x +∆ 解析：21211=4+2x y x x x∆(+∆)--=∆∆∆14答案及解析：答案：3- 解析：∵3322=-x-3f x f y x x⎛⎫⎛⎫+∆- ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝⎭=∆∆∆,∴0lim =-3.x yx∆→∆∆15答案及解析：答案：设在1x =附近的平均变化率为()()()2111112f x f x k x x x+∆-+∆-===+∆∆∆设在2x =附近的平均变化率为()22222(2)(2)4;x f x f k x x x +∆-+∆-===+∆∆∆设在3x =附近的平均变化率为()22333(3)(3)6;x f x f k x x x+∆-+∆-===+∆∆∆∵13x ∆=,∴117233k =+=,2113433k =+=,3119633k =+=, 由于123k k k <<,∴2y x =在3x =附近的平均变化率最大.解析：由Ruize收集整理。

【创新设计】高中数学同步训练：2.1 变化的快慢与变化率 (北师大选修2-2)

第二章变化率与导数§1变化的快慢与变化率双基达标(限时20分钟)1．已知函数y＝2x，当x由2变为1.5时，函数的增量Δy＝()．A．1 B.1 3C．2 D.3 2解析Δy＝21.5－22＝13.答案 B2．若函数f(x)＝2x2的图像上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx，2＋Δy)，则Δy Δx的值为()．A．4 B．4xC．4＋2Δx2D．4＋2Δx解析ΔyΔx＝2(1＋Δx)2－2×12Δx＝4＋2Δx.答案 D3．将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加()．A．8πR·ΔR B．8πR·ΔR＋4π(ΔR)2C．4πR·ΔR＋4π(ΔR)2D．4π(ΔR)2解析ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πR·ΔR＋4π(ΔR)2.答案 B4．某质点的运动方程为s＝－2t2＋1，则该质点从t＝1变到t＝2时的平均速度为________．解析ΔsΔt＝－2×22＋1＋2×12－12－1＝－61＝－6.答案－65．若函数y ＝2x 2－1的图像上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx ，1＋Δy )，则Δy Δx等于________．解析 Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－1－1Δx＝4＋2Δx . 答案 4＋2Δx6．求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近平均变化率最大？解在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx . 若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．综合提高 (限时25分钟)7．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )．A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 解析 v ＝Δs Δt ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝0.410.1＝4.1. 答案 D8．如右图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－2 解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 答案 B9．质点运动规律S ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度为________．答案 6＋Δt10．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．解析由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.答案 111．物体的运动方程是s ＝t ＋1(位移单位：m ；时间单位：s)，求物体在t＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．解 ∵Δs ＝(1＋Δt )＋1－1＋1＝2＋Δt －2(m)，Δs Δt ＝2＋Δt －2Δt ＝(2＋Δt －2)(2＋Δt ＋2)Δt (2＋Δt ＋2)＝12＋Δt ＋2(m/s)， ∴物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt ) s 这段时间内的平均速度为12＋Δt ＋2 m/s. 12．(创新拓展)路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上射影点C 沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率．解 (1)如图所示，设人从C 点运动到B 点的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD ，即y y ＋x＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x . (2)84 m/min ＝1.4 m/s ，在[0,10]内自变量的增量为x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14，f (x 2)－f (x 1)＝14×14－14×0＝72.所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝7214＝14. 即人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率为14.。