2.6.1实数-
数学北师大八年级上册2.6《实数》练习题
2.6 实数基础题知识点1 实数的概念及分类1．实数－是(A)A ．无理数B ．分数C ．整数D ．正数2．(上海中考)下列实数中，是有理数的为(D)A. B.43C ．πD ．03．下列说法正确的是(D)A ．实数包括有理数、无理数和零B ．有理数包括正有理数和负有理数C ．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D ．无论是有理数还是无理数都是实数4．下列判断中，你认为正确的是(C)A ．0的倒数是0 B.的值是±3C.＞1D.3π是分数5．把下列各数按有理数、无理数、正实数、负实数分别填入相应的集合内：0，－7.5，，4，179，32，－273，0.31，－3π，4.··21，(53－)0，－|－4|.(1)有理数集合{0，－7.5，4，32，－273，0.31，4.··21，(53－)0，－|－4|…}；(2)无理数集合{，179，－3π…}；(3)正实数集合{，4，179，32，0.31，4.··21，(53－)0…}；(4)负实数集合{－7.5，－273，－3π，－|－4|…}．知识点2 实数的相反数、倒数和绝对值6．(青岛中考)－的绝对值是(C)A ．－51B ．－C. D ．57．下列各组数中互为相反数的是(D)A ．3和B ．－31和－3C ．－3和－273D ．－|－3|和－(－3) 8．实数的相反数是－，倒数是71，绝对值是．知识点3 实数与数轴的关系9．到原点的距离等于的实数为±．10．如图，以数轴上的单位线段长为宽，以2个单位线段长为长，作一个矩形，以数轴原点为圆心，以矩形的对角线为半径画弧，交数轴的正半轴于A 点，则点A 表示的数是．11．如何在数轴上画出表示的点？解：如图，在数轴上，过表示3的点A 作数轴的垂线段，且AB ＝2，连接OB ，则OB ＝，以O 为圆心，OB 的长为半径作弧与数轴的正半轴交于点C ，则点C 就表示.12．画一条数轴，把－21，，3各数和它们的相反数在数轴上表示出来，并比较它们的大小，用“＜”号连接．解：因为－21的相反数是21，的相反数是－，3的相反数是－3；它们在数轴上表示为：所以－3＜－＜－21＜21＜＜3.中档题13．|1－|的相反数为(A)A ．1－ B.－1C ．1＋D ．－1－14．下列说法正确的是(D)A ．(2π)0是无理数B.33是有理数C.是无理数D.－83是有理数15．下面说法中，不正确的是(D)A ．绝对值最小的实数是0B ．算术平方根最小的实数是0C ．平方最小的实数是0D ．立方根最小的实数是016．下列说法错误的是(B)A ．a 2与(－a)2相等B.与互为相反数C.a 3与－a 3是互为相反数D ．|a|与－|a|互为相反数17．如图，在数轴上点A 和点B 之间的整数是2．18．请写出一个实数a ，使得实数a －1的绝对值等于1－a 成立，你写出的a 的值是答案不唯一，只要写出的a 的值不大于1即可．19．把下列各数分别填在相应的括号内：，－3，0，43，0.3，722，－1.732，，－163，|－13|，－，－2π，3＋，0.101 001 000 1….(1)整数{－3，0，，|－13|，…}；(2)分数{0.3，722，－1.732，…}；(3)正数{，43，0.3，722，，|－13|，3＋，0.101 001 000 1…，…}；(4)负数{－3，－1.732，－163，－，－2π，…}；(5)有理数{－3，0，0.3，722，－1.732，，|－13|，…}；(6)无理数{，43，－163，－，－2π，3＋，0.101 001 000 1…，…}．20．计算：(1)2＋3－5－3；解：原式＝－3.(2)|－2|＋|－1|.解：原式＝1.综合题21．如图，已知A 、B 、C 三点分别对应数轴上的实数a 、b 、c.(1)化简：|a －b|＋|c －b|＋|c －a|；(2)若a ＝2 017x ＋y ，b ＝－z 2，c ＝－4mn ，且满足x 与y 互为相反数，z 是绝对值最小的负整数，m 、n 互为倒数，试求98a ＋99b ＋100c 的值；(3)在(2)的条件下，在数轴上找一点D ，满足D 点表示的整数d 到点A ，C 的距离之和为10，并求出所有这些整数的和．解：(1)由数轴可知：a －b ＞0，c －b ＜0，c －a ＜0，所以原式＝(a －b)－(c －b)－(c －a)＝a －b －c ＋b －c ＋a＝2a －2c.(2)由题意可知：x ＋y ＝0，z ＝－1，mn ＝1，所以a ＝0，b ＝－(－1)2＝－1，c ＝－4.所以98a＋99b＋100c＝－99－400＝－499.(3)满足条件的D点表示的整数为－7或3，整数的和为－4.。
实数的概念和分类 (3)
2.6实数 教学设计第（一）课时教学设计思想本节内容需三课时讲授；本课时是对这段时间以来学过的数作一归纳性的总结，这个总结过程可由学生自己通过对具体的数比较的基础上引入，分清带根号的数不一定是无理数，对提出实数的概念（有理数和无理数的总称）表示接受和理解。
通过议一议，掌握数的分类要遵循的规则，领会分类的思想；在此过程中，通过对上述数的特点的分析，指出实数的绝对值和相反数的意义与在有理数范围内的意义是一样的，设计有针对性的例题和习题巩固对这些概念的认识，会求一个数的绝对值、相反数及倒数。
同时让学生思考，数的绝对值与相反数往往与数轴有密切的联系，进而让学生议一议“有理数能填满整个数轴吗？”，引出实数与数轴的关系，“每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的。
”，掌握如何在数轴上画出如：，等数，真切感受实数在数轴上的存在和实际大小，掌握实数大小比较的方法。
教学目标 （一）知识与技能1．能对实数按要求进行分类.2．知道在实数范围内、相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.3．明白实数和数轴上的点是一一对应的并能根据它们在数轴上的位置来比较大小. （二）过程与方法1.通过对实数进行分类，培养学生的分类意识.2.用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想.（三）情感、态度与价值观通过对实数进行分类的练习，让学生进一步领会分类的思想.鼓励学生要从不同角度入手，寻求解决问题的多种途径.训练学生的多角度思维，为他们以后更好地工作作准备.教学重点1．实数概念的建立. 2．实数的分类.3．在实数范围内，求相反数、倒数、绝对值. 教学难点1．实数概念的建立. 2．实数的分类.10 3教学方法 指导法. 教具准备 投影片. 教学安排 3课时. 教学过程 Ⅰ.导入新课在前面我们学了有理数和无理数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，如π.在学了平方根和立方根之后，我们知道、这样的数也不是有理数，因为没有哪一个整数或分数的平方为2，立方为3.而且用估算的方法还知道、是无限不循环小数，因此这些数也是无理数.那是不是说带有根号的数就是无理数呢？也不全是.如=2，2是有理数，一般来说开方开不尽的数就是无理数，如等.在小学学了非负数，上初一引入了负数，数的范围扩充到有理数范围，那么引入无理数之后数的范围扩充到什么范围呢？本节课就来研究此问题以及与之有关的问题.Ⅱ.自主学习课本70,73页 1．实数的概念把下列各数分别填入相应的集合内：…有理数和无理数统称为实数（real number ），即实数可以分为有理数和无理数. 2．实数的分类［师］在有理数的分类中可以按正数、负数、零进行分类，也可按整数和分数进行分类，那么在实数范围内是不是也能这样分类呢？下面我们把上面各数填入下面相应的集合内.23323345,73737737773.0,0,94,8,5,520,2,25,,7,41,233---π填完之后大家发现了什么？［生］无理数也有正负之分，0既不能填入正数集合，也不能填入负数集合. ［师］因此，从正、负方面来考虑，实数可以分为正实数、零、负实数. 即实数另外从定义也可以进行分类.实数这就是实数的两种分法. 3．在实数范围内的几个概念.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.（1）相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0.（2）倒数：若a≠0，则a 与互为倒数.（3）绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即｜a ｜=想一想［师］请大家思考并回答：⎪⎩⎪⎨⎧负实数零正实数⎩⎨⎧无理数有理数a 1⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(a a a a a［生］（1）－，；（2）互为倒数；（3）π，0；（4）－a，｜a｜；（5）4．实数与数轴上的点之间的关系.［师］请大家认真观察图，然后再回答.（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？［生］因为根据勾股定理得OB2=1+1=2，所以OB=，OA=OB，故OA=，A点对应的数是无理数，它介于整数1和2之间.［生］如果把所有有理数都标到数轴上，那么数轴填不满.因为有理数不包括A点.［师］每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的.在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.Ⅲ.课堂练习22a12221．判断下列说法是否正确. （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）无理数都是实数； （5）实数都是无理数.解：（1）错.如1.333…是无限小数但是有理数； （2）是正确的；（3）错误的. 如 －、都是带根号的数，但它们不是无理数；（4）正确；（5）错.如，0，－3等都是实数，但不是无理数.2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值.（1）； （2）； （3）.解：（1）的相反数为－，倒数为，绝对值为； （2）=－2的相反数为2，倒数为－，绝对值为2； （3）=7，7的相反数为－7，倒数为；绝对值为7.3．在数轴上作出对应的点.解：如图，点A 所表示的点即为对应的点.432743738-497771738-21497155解：（1）∵（7）2=56.25，而56.25＞50 ∴，即7＞； （2）－=－3.1428…，－π=－3.1415…∴－π＞－；（3）采用平方法∵（2）2=60，（3）2=54而60＞54 ∴2＞3； （4）∵6+2=5+（1+2）以下采用平方法比较2与1+2的大小.215025.56 21507227221561565565（2）2=24，（1+2）2=1+4+20=21+4，又24=21+3，而3＜4∴5+2＜6+2.说明：被开方数较大的算术平方根较大. Ⅳ.课时小结本节课学了如下内容： 1．实数的概念. 2．实数的两种分类.（1）按大小分为：正实数，0，负实数. （2）按定义分为：有理数和无理数.3．在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义仍然和在有理数范围内的意义相同. 4．实数和数轴上的点是一一对应的. 5．根据实数在数轴上的位置比较实数的大小. Ⅴ.课后作业 习题2.8 Ⅵ.活动与探究1．写出适合下列条件的数.（1）大于－小于的所有整数； （2）小于的所有自然数； （3）大于－的所有负整数； （4）绝对值小于的所有整数.分析：首先找到满足条件的最大数和最小数，然后再将它们之间的所有满足条件的数都写出来.解：（1）∵－＜－＜∴大于－且小于的所有整数是：－3，－2，－1，0，1，2.655556513520117134,95135（2）∵∴小于的所有自然数是：4，3，2，1，0. （3）∵－∴大于－的所有负整数是：－3，－2，－1.（4）∵绝对值小于的数x ，满足－＜x ＜，而－＜－＜∴绝对值小于的所有整数是：－2，－1，0，1，2. 说明：两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 2．求满足下列各式的x 的值.（1）｜x ｜= （2）｜x 2－5｜=4分析：根据绝对值的概念，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数.所以（1）中的x 既可以是正实数，也可以是负实数.（2）把（x 2－5）视作一个整体，类似于（1）.解：（1）∵｜x ｜= ∴x=± （2）∵｜x 2－5｜=4∴x 2－5=±4 当x 2－5=4时x 2=9∴x=±3 当x 2－5=－4时x 2=1∴x=±1∴满足等式的x 的值为－3，－1，1，3说明：互为相反数的二数的绝对值相等，即｜a ｜=｜－a ｜. 3．已知x 是实数，化简｜3x －1｜－｜2x+1｜.分析：设法脱掉绝对值符号，但x 的范围没有具体给定，所以应讨论，具体方法是：252016<<20911-<1177774,477333（1）找零点：令3x －1=，x=，令2x+1=0，x=－；（2）描零点：在数轴上找出零点；（3）分区间：两个零点把实数轴所表示的数分成三个区间：x≤－，－＜x≤，x ＞；（4）作化简：在各个区间上分别去绝对值符号，进行化简.解：（1）当x≤－时，3x －1＜0，2x+1≤0原式=（1－3x ）+（2x+1）=2－x.（2）当－＜x≤时，3x －1≤0，2x+1＞0原式=（1－3x ）－（2x+1）=－5x.（3）当x ＞时，3x －1＞0，2x+1＞0原式=（3x －1）－（2x+1）=x －2.说明：在实数范围内的运算中，去绝对值符号时根据字母的取值范围确定绝对值符号内数的正、负、零，进行变形.否则就要分类讨论，借助于数轴把实数分为若干个区间，在每个区间内根据数的范围分别去掉绝对号，再进行合并同类项即可，这样形象、直观、简明，且可保证不重不漏.板书设计31212121313121213131。
北师大版八年级数学上册：2.6《实数》教学设计1
北师大版八年级数学上册：2.6《实数》教学设计1一. 教材分析《实数》是北师大版八年级数学上册第二章第六节的内容，本节主要介绍了实数的概念、分类和性质。
通过本节的学习，使学生能够理解实数的概念，掌握实数的分类和性质，为后续的函数、方程等知识的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了有理数的概念和运算，对数的概念和运算也有一定的了解。
但实数的概念对学生来说是一个全新的概念，需要通过实例和讲解使其理解和接受。
同时，实数的分类和性质也需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.知识与技能：理解实数的概念，掌握实数的分类和性质。
2.过程与方法：通过实例和讲解，使学生理解和接受实数的概念，通过练习巩固实数的分类和性质。
3.情感态度与价值观：培养学生的抽象思维能力，提高学生对数学的兴趣。
四. 教学重难点1.实数的概念和分类。
2.实数的性质。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和练习法进行教学。
通过问题引导学生思考，通过案例分析让学生理解实数的概念，通过练习巩固实数的分类和性质。
六. 教学准备3.练习题。
七. 教学过程导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾有理数和数的概念，为新课的学习做好铺垫。
呈现（15分钟）1.利用多媒体课件呈现实数的定义和分类，用实例解释实数的概念。
2.引导学生通过观察和思考，总结实数的性质。
操练（15分钟）1.让学生分组讨论，列举出实数的分类和性质。
2.每组选一名代表进行汇报，其他组进行评价和补充。
巩固（15分钟）1.让学生独立完成练习题，检验对实数概念、分类和性质的理解。
2.教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并进行讲解。
拓展（10分钟）1.让学生思考：实数和数轴之间的关系。
2.引导学生通过画数轴，分析实数在数轴上的位置与实数的性质之间的关系。
小结（5分钟）1.教师引导学生总结本节课所学的内容，实数的概念、分类和性质。
2.学生分享学习收获和感受。
家庭作业（5分钟）1.完成课后练习题。
第二章实数
§2.2平方根学习目标：1、了解数的平方根的概念，会用根号表示数的平方根2、了解开方与乘方是互逆运算，会利用这个关系求平方根学习重点与难点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根. 学习过程： 一、探索新知1.因为( -3)2=______,32=_______;所以( )2=92．完成40页“想一想” 3．写出平方根的概念。
4．写出下列各数的平方根：（1）81；（2）0.49;(3) 425；（4）0；（5）—45．完成40页“议一议”6．_______________，读作____________________；a 是________，_______表示正的平方根; _______表示负的平方根 7.什么叫开平方运算? 二 知识运用1．求下列各数的平方根(参照41页例3)（1）0.0064；(2) 2(5)-；(3)7；1242．下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根： （1）－64；（2）2(4)-；（3）210- 3．完成42页“想一想”三、巩固练习：42页随堂练习 四、小结§2.2算术平方根学习目标：1.了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根.2.能用平方运算去求数的算术平方根学习重点与难点：算术平方根的定义，会计算数的算术平方根 一、知识回顾1、一个正数的平方根有_________2、求下列各数的平方根。
(1)4916; (2) 600; (3) 610-; (4) 5. 二、探索新知一个正数a 有_____平方根，其中_____的平方根叫算术平方根，记作_____，读作_____，0的算术平方根是_____ 三、知识运用 1、讲解P38例1 2、求下列各式的值(1)10000 (2)-144 (3)12125(4)625± (5)8149±3、讲解P 39例2四、巩固练习：P 39页1、2 五、小结§2.3立方根 学习目标：1、了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根.2、能用立方运算求数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算. 学习重点与难点：立方根的概念与会计算数的立方根 一、知识回顾1、什么是平方根？2、怎样表示一个正数a 的平方根？ 二、探索新知1、写出立方根的概念并举例说明？2、完成P 44“做一做”3、完成P44“议一议”4、表示3a _____________，读作_____________，5、什么叫开立方？ 三、知识运用1、讲解P 45例1分析“求立方根要通过_____________运算实现。
2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.1双曲线的标准方程学案含解析新人教B版
2．6 双曲线及其方程2.6.1 双曲线的标准方程必备知识·自主学习导思1.双曲线的定义是什么？ 2．双曲线的标准方程有哪些？1.双曲线的定义如果F 1，F 2是平面内的两个定点，a 是一个正常数，且2a ＜|F 1F 2|，则平面上满足||PF 1|－|PF 2||＝2a 的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F 1，F 2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F 1F 2|称为双曲线的焦距．(1)如何理解“绝对值”？提示：若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支． (2)把“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“大于|F 1F 2|”或常数为0，结果如何？提示：①若将“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F 1F 2|”改为“大于|F 1F 2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．③若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x 轴 y 轴 标准方程x 2a 2 －y 2b 2 =1 (a>0,b>0)y 2a 2 －x2b 2 ＝1 (a>0,b>0)图形焦点坐标 F 1(-c,0),F 2(c,0)F 1(0,-c),F 2(0,c)a,b,c 的关系式 a 2+b 2=c 2如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？提示：焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同．( ) (2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C 的轨迹是双曲线．( ) (3)双曲线x 2a 2 －y2b 2 ＝1的焦点在x 轴上，且a>b.( )提示：(1)×.双曲线中b 2＝c 2－a 2，椭圆中b 2＝a 2－c 2.(2)×.因为|AB|＝2＝|AC|－|BC|，所以C 点的轨迹是两条射线．(3)×.在双曲线x 2a 2 －y 2b 2＝1中，焦点在x 轴上，且a>0，b>0，但是不一定a>b.2．(教材例题改编)设动点M 到点A ()0，－5 的距离与它到点B ()0，5 的距离的差等于6，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x 29 －y 216 ＝1 B ．y 29 －x216＝1C ．y 29 －x 216 ＝1()y>0 D ．x 29 －y216 ＝1()x>0【解析】选C.因为||MA|－|MB||＝6<10＝|AB|， 所以M 点轨迹是焦点在y 轴上的双曲线的上半支， 其中a ＝3，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2 ＝4，所以M 点轨迹方程为y 29 －x 216＝1()y>0 .3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________.【解析】令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点．令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝4， 则符合条件的双曲线中a ＝2，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上， 所以双曲线的方程为x 24 －y 212 ＝1.答案：x 24 －y 212＝1关键能力·合作学习类型一 双曲线的定义及其应用(逻辑推理)1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．482．已知动圆E 与圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆B ：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心E 的轨迹方程为________．【解析】⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝24.2．由圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2，可得圆心A(－4，0)，半径＝ 2 ；由圆B ：(x －4)2＋y 2＝2可得圆心B(4，0)，半径＝ 2 .设动圆的半径为R ，由题意可得|EA|＝R ＋2 ，|EB|＝R －2 ，所以|EA|－|EB|＝22 ＜2×4，由双曲线的定义可得，动圆的圆心E 在以点A(－4，0)，B(4，0)为焦点的双曲线的右支上， 因为a ＝2 ，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝14，所以动圆圆心E 的轨迹方程为x 22 －y 214 ＝1(x ≥2 ).答案：x 22 －y 214＝1(x ≥2 )1．利用双曲线的定义求双曲线方程的基本步骤 (1)寻求动点M 与定点F 1，F 2之间的关系．(2)根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a(常数，a>0).(3)判断：若2a<2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c.(4)根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程． 2．求解双曲线中焦点三角形面积的两种方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S△PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式S△PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF 1|2＋|PF 2|2与|PF 1|·|PF 2|的关系． 【补偿训练】已知P 是双曲线x 216a 2 －y29a 2 ＝1()a>0 上的点，F 1、F 2是其左、右焦点，且PF 1·PF 2＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．3 D ．4 【解析】1·PF 2＝0得PF 1⊥PF 2，由勾股定理得||PF 1 2＋||PF 2 2＝||F 1F 2 2＝()216a 2＋9a 2 2＝100a 2.由双曲线的定义得⎪⎪⎪⎪⎪⎪||PF 1－||PF 2 ＝8a ，所以64a 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ·||PF 2 ＝100a 2－2||PF 1 ·||PF 2 ，所以||PF 1 ·||PF 2 ＝18a 2，则△PF 1F 2的面积为12||PF 1 ·||PF 2 ＝9a 2＝9，因为a>0，所以a ＝1.类型二 待定系数法求双曲线的标准方程(数学运算) 【典例】求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为26，且经过点M(0，12)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－4 2 )，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5 . 【思路导引】(1)判断焦点的位置，由c 和a 的大小，利用b 2＝c 2－a 2求得b ，写出方程． (2)设出双曲线的方程利用待定系数法求得参数，解得方程．【解析】(1)因为双曲线经过点M(0，12)，所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，所以c ＝13，所以b 2＝c 2－a 2＝25.所以双曲线的标准方程为y 2144 －x 225 ＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝116，m ＝－19，所以双曲线的标准方程为y 216 －x 29＝1.把本例(2)的条件改为“双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154 ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5 两点”，求双曲线的标准方程．【解析】若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2 －y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9 (舍去).若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2 －x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29 －x 216 ＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29 －x 216＝1.待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB<0)； ②与双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y2b 2＋k ＝1(－b 2<k<a 2).(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．1．求c ＝ 6 ，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．【解析】依题意可设双曲线的方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0).则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 25 －y 2＝1.2．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)c ＝5，b ＝3，焦点在x 轴上；(2)a ＝2 5 ，经过点A(2，－5)，焦点在y 轴上． 【解析】(1)因为双曲线的焦点在x 轴上，c ＝5，b ＝3， 所以a 2＝c 2－b 2＝16，所以双曲线的标准方程为：x 216 －y 29 ＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为由题设知，a ＝2 5 ，且点A(2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b2＝1，所以解得a 2＝20，b 2＝16，所以所求双曲线的标准方程为y 220 －x 216 ＝1.类型三 利用双曲线的标准方程求参数(数学运算)【典例】x 29－m ＋y24－m ＝1表示双曲线，则m 的取值X 围是( )A ．m ＜4B ．m ＞9C ．4＜m ＜9D ．m ＜4或m>92．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是________.【思路导引】1.根据双曲线的定义可知，要使方程表示双曲线，需9－m 和4－m 异号，进而求得m 的X 围．2．方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则1＋k 和1－k 同号，进而求得k 的X 围． 【解析】x 29－m ＋y 24－m ＝1表示双曲线，所以(9－m)(4－m)＜0，解得4＜m ＜9.2．方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则(1＋k)(1－k)>0，所以(k ＋1)(k －1)<0，所以－1<k<1. 答案：(－1，1)方程表示双曲线的条件及参数X 围求法(1)对于方程x 2m ＋y2n ＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)对于方程x 2m －y2n ＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值X 围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值X 围．求满足下列条件的参数的值．(1)已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值；(2)椭圆x 24 ＋y 2a 2 ＝1与双曲线x 2a －y22 ＝1有相同的焦点，求a 的值．【解析】(1)若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k＝1，所以k2＋k ＝32，即k ＝6；若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1，所以－k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2 ＝32，即k ＝－6.综上所述，k 的值为6或－6.(2)由双曲线方程知焦点在x 轴上且c 2＝a ＋2(a ＞0). 由椭圆方程，知c 2＝4－a 2，所以a ＋2＝4－a 2， 即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去). 因此a 的值为1.备选类型 与双曲线有关的轨迹问题(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2 ，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．【思路导引】建立直角坐标系，根据双曲线的定义求解．【解析】以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2 2 ，0)，B(22 ，0).由正弦定理，得sin A ＝|BC|2R ，sin B ＝|AC|2R，sin C＝|AB|2R(R 为△ABC 的外接圆半径).因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ，所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝|AB|2＝22 <|AB|.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点).由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(x>a)，因为a ＝2 ，c ＝22 ，所以b 2＝c 2－a 2＝6.即所求轨迹方程为x 22 －y 26＝1(x>2 ).求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程． 提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．△ABC 的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A ．x 29 －y 216 ＝1 B ．x 216 －y29＝1C ．x 29 －y 216 ＝1(x>3) D ．x 216 －y29＝1(x>4)【解析】选C.由条件可得，圆与x 轴的切点为T(3，0)， 由相切的性质得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6<10＝|AB|， 因此点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支． 由2a ＝6，2c ＝10，得a ＝3，b ＝4， 所求的双曲线方程为x 29 －y 216 ＝1.考虑到点C 不在直线AB 上，即x ＞3.课堂检测·素养达标1．若方程y 24 －x2m ＋1 ＝1表示双曲线，则实数m 的取值X 围是( )A ．－1<m<3B ．m>－1C ．m>3D ．m<－1【解析】选B.依题意应有m ＋1>0，即m>－1.2．已知F 1(－8，3)，F 2(2，3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．一条射线【解析】1，F 2是定点且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射word - 11 - / 11 线． 3．已知左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线C ：x 2a 2 －y 2＝1(a>0)过点⎝⎛⎭⎪⎫15，－63 ，点P 在双曲线C 上，若||PF 1 ＝3，则||PF 2 ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【解析】选C.由左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线C ：x 2a 2 －y 2＝1(a>0)过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫15，－63 ，可得：15a 2 －69 ＝1，解得a ＝3，b ＝1，c ＝10 ，a ＋c ＞3，点P 在双曲线C 上，若|PF 1|＝3，可得点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|＝2a ＋|PF 1|＝6＋3＝9.4．已知双曲线的方程为x 2－y 24 ＝1，如图，点A 的坐标为(－5 ，0)，B 是圆x 2＋(y － 5 )2＝1上的点，点M 在双曲线的右支上，则|MA|＋|MB|的最小值为________.【解析】设点D 的坐标为( 5 ，0)，则点A ，D 是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a ＝2.所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B 是圆x 2＋(y －5 )2＝1上的点，圆的圆心为C(0， 5 )，半径为1， 故|BD|≥|CD|－1＝10 －1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥10 ＋1，当点M ，B 在线段CD 上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为10 ＋1. 答案：10 ＋1。
实数的概念及性质
实数实数无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率及一些含的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；实数的概念：有理数和无理数统称为实数．实数的分类：0正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．无理数大小的比较方法：（1）比较两个数的平方的大小：a ＞0，b ＞0，若2()a ＞2()b ，则a b ；若2()a＜2()b，则a b；若2()a＝2()b＞，则a b．（2）比较被开方数的大小：a＞0，b＞0，若a＞b，则a b；若a＜b，则a b；若a＝b，则a b．（3）作差法：若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．（4）作商法：a＞0，b＞0，若ab＞1，则a＞b；若ab＝1，则a＝b；若ab＜1，则a＜b．注意：（1）没有最小的实数，0是绝对值最小的实数；（2）带根号的数不一定是无理数（3）一个实数的立方根只有一个；负数没有平方根．考点一对实数定义的考查【例1】.判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（）（2）0属于正实数．（）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是1．（）（5）若2x则2x．（）【巩固1】下列说法错误的是（）A．实数都可以表示在数轴上B．数轴上的点不全是有理数C．坐标系中的点的坐标都是实数对D．2是近似值，无法在数轴上表示准确【巩固2】下列说法正确的是（）A．无理数都是无限不循环小数B．无限小数都是无理数C．有理数都是有限小数D．带根号的数都是无理数【巩固3】下列实数317，，3.14159，8，327，21，0.101101110……中无理数有（）．A．个B．个C．个D．个2345【例2】.有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（）A ． 1B ．2C ． 3D ．4考点二对实数性质的考查【例1】.3的相反数是________；15的倒数是________；35的绝对值是________．【例2】.3.141＝______；|2332|______．【例3】.若3||3x ，则x ＝______；若||31x ，则x ＝______．【例4】.若直径为2个单位长度的圆上的点A 从表示5的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一点B ，则B 点表示的实数是（）A ．52B ．45C ．52D ．54【例5】.如图，数轴上A 、B 两点对应的实数分别为a ，b ，则下列结论不正确．．．．的是（）A ．0ab B ．0abC ．0a bD ．||||0a b 【巩固1】如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( ) A ．23B ．13C ．23D ．13【巩固1】325的相反数是．【巩固2】23的倒数是．【巩固3】52的绝对值是．【巩固4】256的相反数是；倒数是；绝对值是．1 1 2B A CA OB考点三实数的分类【例1】.把下列各数填入相应的集合：－1、4、5、π、 3.14、12、32、12、7.0、0、38．（1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）整数集合｛｝；（4）正实数集合｛｝；（5）负实数集合｛｝．【例2】.把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4，153，1．414，，0.6，3，34，【巩固1】下列各数：23，722，327，414.1，3，12122.3，9，9641.3中，无理数有个，有理数有个，负数有个，整数有个.【巩固2】下列实数1907，3，0，49，21，31，1.1010010001…（每两个1之间的0的个数逐次加1）中，设有m 个有理数，n 个无理数，则nm =考点四比较大小【例3】.估计77的大小应在（）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【巩固1】估计29的值在（）A ．在4.5和5.0之间B ．在5.0和5.5之间C ．在5.5和6.0之间D ．在6.0和6.5之间【巩固2】实数2.6，7和22的大小关系是（）A ．2.6227B ．2.6722C ．72.622D ．7222.6【例4】.一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在（）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间【例5】.（1）若实数a<b<0，则|a| |b|；大于17小于35的整数是；（2）比较大小：633411253【例6】.若01x ，则1x 、x 、2x 的大小关系是【例7】.如果a 是15的整数部分，b 是15的小数部分，a b =__________．【例8】.已知a b ，为两个连续整数，且10ab ，则ab_______．【例9】.414、226、15三个数的大小关系是（）A. 41415226B. 22615414C.41422615D.22641415考点五对计算的考查【例1】.计算题（1）32716949（2）233)32(1000216【例2】.化简：（1）2551（2）103104（3）12233420112012【巩固3】已知等腰三角形一边长为a ，一边长b ，且22(2)90ab b．求它的周长．考点六综合运用【例3】.写出符合条件的数．（1）小于25的所有正整数；（2）绝对值小于22的所有整数．【例4】.一个底为正方形的水池的容积是3150m 3，池深14m ，求这个水底的底边长．【例5】.已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求32()(3)a b的值．【例6】.若31.8158481.22，则31815848_____.【例7】.已知2a 的平方根是2，27ab的立方根是3，求22a b 的算数平方根．【巩固4】已知3m nAnm 是3nm的算术平方根，237m n Bm n 是7m n 的立方根，求B+A 的平方根．【巩固5】已知3xa ，2y b (0y )，且2(4)8a b (4b a )，33()18a b ，求xy 的值.【巩固6】若1211ab ac ，求23abc 的值．【巩固7】设a 、b 是有理数，并且a 、b 满足等式2522b b a ，求a+b 的平方根习题133的相反数是，|33|= 57的相反数是，21的绝对值=习题2设3对应数轴上的点A ，5对应数轴上的点B ，则A 、B 间的距离为习题3下列说法中,正确的是()A.实数包括有理数,0和无理数B.无限小数是无理数C.有理数是有限小数D.数轴上的点表示实数.习题4下列命题中，错误的命题个数是（）（1）2a 没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作10100（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；（4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个．课后巩固习题5设a 是实数，则|a|-a 的值（）A ．可以是负数B ．不可能是负数C ．必是正数D ．可以是整数也可以是负数习题6数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是．习题7设m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，求m-n 的值.习题8如图，数轴上两点表示的数分别为和，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（）A ．B ．C ．D ．习题9已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2|1|a a 的结果为（）A ．1B ．1C ．12aD ．21a 习题10实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（）A ．0a bB ．0a bC ．0ab D ．a b习题11若a 为217的整数部分，1b 是9的平方根，且a bb a||，求b a的算术平方根．A B ，132313231311aCA OB（第8题图）a110b （第10题图）。
北师大版八年级数学上册：2.6《实数》教学设计2
北师大版八年级数学上册：2.6《实数》教学设计2一. 教材分析《实数》是北师大版八年级数学上册第二章第六节的内容，本节主要让学生了解实数的定义，理解实数与数的区别，掌握实数的性质，如大小比较、加减乘除运算等。
教材通过引入实数的概念，使得学生对数的认识更加深入，为后续的函数、方程等知识的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了有理数、无理数等基础知识，对数的概念有一定的了解。
但实数作为一个全新的概念，需要学生从更高的角度去理解和把握。
此外，实数的性质和运算规则需要学生在已有知识的基础上进行推理和归纳，因此，学生在学习本节内容时可能会有一定的难度。
三. 教学目标1.理解实数的定义，掌握实数的性质。
2.能够进行实数的大小比较、加减乘除运算。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.实数的定义和性质。
2.实数的运算规则。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究实数的定义和性质。
2.运用实例解析法，让学生通过实际问题理解实数的运算规则。
3.采用小组合作学习法，培养学生团队合作、交流分享的良好学习习惯。
六. 教学准备1.准备相关实数的教学案例和实例。
2.制作PPT，展示实数的定义、性质和运算规则。
3.分组安排，便于学生进行小组合作学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示实数的定义，引导学生回顾已学的有理数、无理数等知识，为新知识的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数的性质，如大小比较、加减乘除运算等，让学生初步了解实数的特点。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的实例，亲自进行实数的运算，巩固实数的性质和运算规则。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，总结实数的性质和运算规则，教师巡回指导，解答学生的疑问。
5.拓展（10分钟）利用实际问题，让学生运用实数知识解决问题，提高学生运用知识的能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。
2.6.1实数
①有理数集合：{ ②无理数集合：{ ③正实数集合：{ ④负实数集合：{
①⑤⑥⑦⑧ ②③④ ②④⑤⑦ ①③⑥
...} ...} ...} ...}
2、求下列各数的相反数，倒数和绝对值
①3.8 ② 21 ③3
27 ⑤ 1000
3
④ 3
3、在数轴上作出 - 10 对应的点
作业布置
完成《全品学练考》 （课时作业）
小组合作学习（3分钟）
1、把下列各数分别填入相应的集合内：
①
3
1 2② ③ ④ 0⑤ 4
3
2⑥
20 3
⑦ - 5⑧- 8⑨
4 ⑩0.737737773 9
有理数集｛ ②④⑧⑨ 无理数集｛ ①③⑤⑥⑦⑩
｝ ｝
2、实数还可以怎样分类？
正实数，0，负实数
教师精讲
3、在实数范围内，相反数，倒数，绝对 值的意义和有理数范围内的相反数，倒数， 绝对值的意义完全一样. ①相反数： 与 a 互为相反数；0的相反 a 数仍是0； 1 ②倒数：当a≠0时， 与 互为倒数 a a （0没有倒数）； ③绝对值：正数的绝对值是它本身；负数 的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
第二章
实数
义，能对实数 按要求进行分类 2．了解有理数的运算法则在实 数范围内仍然适用 3．能利用化简对实数进行简单 的四则运算
温故知新：（2分钟）
1、什么是有理数？有理数怎 样分类？ 2、什么是无理数？带根号的 数都是无理数吗？
自主学习(5分钟) 1、预习课本 2、思考问题 ①什么是实数？ ②0是实数吗？
小组讨论
1、将所有的有理数都标到数轴上，那么数 轴能被填满了吗？ 若不满，除了有理数剩下的是什么数？ （讨论猜测）
八年级数学实数教案5篇
八年级数学实数教案5篇一节数学课不但要把该节的内容让学生能够接受,更重要的是启发学生去思考,引导学生从抽象的理论到实践的过程,对于方法的探索采用从特殊到一般的思想,下面是小编给大家整理的八年级数学实数教案5篇,希望大家能有所收获!八年级数学实数教案1一.教材分析1.教材的地位和作用本节课是北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》的第六节内容.在本节之前学生已学习了平方根.立方根,认识了无理数,了解了无理数是客观存在的,从而将有理数扩充到实数范围,使学生对数认识进一步深入.中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的,同时实数内容也是今后学习一元二次方程.函数的基础.2.教学目标:(根据新课程标准的要求,结合本节教材的特点,以及八年级学生的认知规律,我制定如下目标).知识技能:(1)了解无理数和实数的概念以及实数的分类.(2)知道实数与数轴上的点具有一一对应关系.数学思考:(1)经历对实数进行分类的过程,发展学生的分类意识.(2)经历从有理数逐步扩充到实数的过程,了解人类对数的认识是不断发展的.解决问题:通过无理数的引入,使学生对数的认识由有理数扩充到实数.情感态度:(1)通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用.(2)敢于面对数学活动中的困难,并能有意识地运用已有知识解决新问题.3.教学重点.难点重点:了解实数意义,能对实数进行分类,明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数.难点:用数轴上的点来表示无理数.二.学情分析在学习本节课前,学生已掌握对一个非负数开平方和对一个数开立方运算.课本对学生掌握实数要求不高.只要求学生了解无理数和实数的意义.但实数的知识却贯穿中学数学始终,所以我们只能逐步加深学生对实数的认识.本节主要引导学生熟知实数的概念和意义,为后面学习打下基础.三.教法学法分析:教法分析:根据本节课的教学内容和学生的实际水平,我采用的是引导发现法.类比法和多媒体辅助教学.(1)在教学中通过设置疑问,创设出思维情境,然后引导学生动脑.动手,使学生在开放.民主.和谐的教学氛围中获取知识,提高能力,促进思维的发展.(2)借助多媒体辅助教学,增大教学的容量和直观性,增强学习兴趣,从而达到提高教学效果和教学质量的目的.(3)教具:三角板.圆规.多媒体.学法分析:我们在向学生传授知识的同时,必须教给他们好的学习方法,让他们学会学习.享受学习.因此,在本节课的教学中引导学生〝仔细看.动脑想.多交流.勤练习〞的学习,增强参与意识,让他们体验获取知识的历程,掌握思考问题的方法,逐渐培养他们〝会观察〞.〝会类比〞.〝会分析〞.〝会归纳〞的能力.四.教程分析:针对本节教材的特点,我把教学过程设计为以下五个环节:北师大版八年级数学上册第二章《2.6实数》说课稿一.创设问题情景,引出实数的概念内容:问题:(1)什么是有理数?有理数怎样分类?(2)什么是无理数?带根号的数都是无理数吗?意图:回顾以前学习过的内容,为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备.学生回答:无理数是无限不循环小数.带根号的数不一定是无理数.3.把下列各数分别填入相应的集合内.有理数集合.无理数集合,,,,,,,,,,0,0.3737737773……(相邻两个3之间7的个数逐次增加1)意图:通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合,建立实数概念.教师引导学生得出实数概述并板书:有理数和无理数统称实数(realnumber).教师点明:实数可分为有理数与无理数.最后多媒体展示具体分类,并对有理数和无理数从小数的角度进行说明.二.议一议,1.在实数概念基础上对实数进行不同分类.无理数与有理数一样,也有正负之分,如是正的,是负的.教师提出以下问题,让学生思考:(1)你能把,,,,,,,,,,0,0.3737737773……(相邻两个3之间7的个数逐次增加1)等各数填入下面相应的集合中?正数集合:负数集合:(2)0属于正数吗?0属于负数吗?(3)实数除了可以分为有理数与无理数外,实数还可怎样分?意图:在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类.上面的数中有0,0不能放入上面的任何一个集合中,学生容易遗漏,强调0也是实数,但它既不是正数也不是负数,应单独作一类.提醒学生分类可以有不同的方法,但要按同一标准不重不漏.让学生讨论回答后,教师引导学生形成共识:实数也可以分为正实数.0.负实数.2.了解实数范围内相反数.倒数.绝对值的意义:在有理数中,有理数a的的相反数是什么,不为0的数a的倒数是什么.在实数范围内,相反数.倒数.绝对值的意义和有理数范围内的相反数.倒数.绝对值的意义完全一样.例如,和是互为相反数,和互为倒数.,,,.三.想一想让学生思考以下问题1.a是一个实数,它的相反数为,绝对值为;2.如果,那么它的倒数为.意图:从复习入手,类比有理数中的相关概念,建立实数的相反数.倒数和绝对值等概念,它们的意义和有理数范围内的意义是一致的让学生回答后,教师归纳并板书:实数a的相反数为,绝对值为,若它的倒数为(教师指明:0没有倒数)增加练习:(多媒体展示)第一组1.的绝对值是2.a是一个实数,它的绝对值是第二组:1.的相反数是,绝对值是2.绝对值等于的数是,3.的绝对值是4.正实数的绝对值是,0的绝对值是,负实数的绝对值是例题:求下列各数的相反数.倒数.绝对值(1)(2)(3)学生上黑板完成,教师巡视学生如何书写,对发现的问题及时处理,最后与学生共同纠正.明晰:实数和有理数一样,可以进行加.减.乘.除.乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.(媒体展示两个举例)四.议一议.探索用数轴上的点来表示无理数1.每个有理数都可以用数轴上的点表示,那么无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢?你能在数轴上找到表示.和这样的无理数的点吗?2.多媒体展示的做法和和的做法如图OA=OB,数轴上A点对应的数是多少?让学生充分思考交流后,引导学生达成以下共识:探讨用数轴上的点来表示实数,将数和图形联系在一起,让学生进一步领会数形结合的思想,利用数轴也可以直观地比较两个实数的大小.(1)A点对应的数等于,它介于1与2之间.(2)每一个有理数都可以用数轴上的点表示(3)每一个无理数都可以用数轴上的点来表示(4)每个实数都可以用数轴上的点来表示,每一个实数都可以用数轴上的点来表示;反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的.(4)和有理数一样,在数轴上,右边的点比左边的点表示的数大.五.随堂练习(多媒体展示)第一组:判断题:①实数不是有理数就是无理数.②无理数都是无限不循环小数.③无理数都是无限小数④带根号的数都是无理数.⑤无理数一定都带根号.⑥两个无理数之积不一定是无理数.⑦两个无理数之和一定是无理数.⑧数轴上的任何一点都可以表示实数.第二组:1.判断下列说法是否正确:(1)无限小数都是无理数;(2)无理数都是无限小数;(3)带根号的数都是无理数.2.求下列各数的相反数.倒数和绝对值:(1)(2)(3)3.在数轴上作出对应的点.意图:通过以上练习,检测学生对实数相关知识的掌握情况.六.小结1.实数的概念2.实数可以怎样分类3.实数a的相反数为,绝对值,若,它的倒数为.4.数轴上的点和实数一一对应.七.作业课本习题2.81.2.3题结束语:多媒体展示:人生的价值,并不是用时间,而是用深度去衡量的.——列夫托尔斯泰八.板书设计:实数1.实数的概念4.实数与数轴上的点的关系2.实数的分类5.例题3.实数a的相反数为,6.学生练习绝对值,若,它的倒数为八年级数学实数教案2学习目标1 了解无理数和实数的概念2会对实数按照一定的标准进行分类;知道实数和数轴上的点的关系.能估算无理数的大小3了解实数范围内相反数和绝对值的意义学习重点正确理解实数的概念学习难点理解实数的概念问题用计算机把下列有理数写成小数的形式5?3,7,8,_90,9我们知道整数和分数统称有理数,所以任意一个有理数都可以写成有限小数或无限不循环小数的形式,反之,任何有限小数或无限小数也都是有理数.那么无限不循环小数叫什么呢?无理数:无限不循环小数叫做无理数.通过上两节课的学习,我们知道许多数的平方根或立方根都是无限不循环小数,例如 . .? . 等都是无理数,π=3.__926…也是无理数.实数:有理数和无理数统称为实数.有理数有限小数或无限小数依此分类实数无理数无限不循环小数像有理数一样,无理数也有正负之分,由于非0有理数和无理数都有3479_5 正负之分,所以依此分类为正实数正有理数正无理数实数0负有理数负实数负无理数例一.把下列各数填入相应的集合内0.6.-43.0.33. 0._ .π.(1)有理数集合:{}(2)无理数集合:{}(3)整数集合 :{}(4)分数集合:{}(5)实数集合:{}我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示.无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢?事实上,每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.即数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.当数从有理数扩充到实数后,实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示:反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也是一一对应的.与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.当数从有理数扩充到实数以后,有理数关于相反数的绝对值的意义同样适合实数.(1)数a的相反数是-a,(a表示任何实数)(2)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.课堂小结1.这节课你学到的知识有2.这节课你的收获有3.这节课应注意的问题有练习题a1.若实数a满足a??1,则() A.a?0B.a?0C.a?0D.a?02.下列说法正确的是().A.无限小数都是无理数B.带根号的数都是无理数C.无理数是无限小数D.无理数是开方开不尽的数3.和数轴上的点一一对应的是()A 整数B 有理数C 无理数D 实数35?_4.绝对值等于的数是,的相反数是,?8的相反数是;1?2的相反数是_________________,绝对值是.5.如果一个实数的绝对值是3?7,那么这个实数是6.比较大小:-7?4八年级数学实数教案3教学难点:绝对值.教学过程:一. 复习:1.实数分类:方法(1) ,方法(2)注:有限小数.无限循环小数是有理数,可化为分数;无限不循环小数是无理数例1判断:(1) 两有理数的和.差.积.商是有理数;(2) 有理数与无理数的积是无理数;(3) 有理数与无理数的和.差是无理数;(4) 小数都是有理数;(5) 零是整数,是有理数,是实数,是自然数; (6) 任何数的平方是正数; (7) 实数与数轴上的点一一对应; (8) 两无理数的和是无理数. 例2下列各数中:-1,0, , ,1.1_0_ , , ,- , ,2, . 有理数集合{ …}; 正数集合{ …};整数集合{ …};自然数集合{…};分数集合{ …}; 无理数集合{ …};绝对值最小的数的集合{ …};2.绝对值: = (1) 有条件化简例3.①当1 ②a,b,c为三角形三边,化简③如图,化简 + . (2) 无条件化简 ;例4.化简解:步骤①找零点;②分段;③讨论.例5.①已知实数abc在数轴上的位置如图,化简|a+b|-|c-b|的结果为②当-3例6.阅读下面材料并完成填空你能比较两个数__和__的大小吗?为了解决这个问题先把问题一般化,既比较nn+1和(n+1)n的大小(的整数),然后从分析=1,=2,=3,....这些简单的情况入手,从中发现规律,经过规纳,猜想出结论.(1) 通过计算,比较下列①——⑦各组中两个数的大小(在横线上填〝 .=. 〞号〞)①_ _ ;②23 32;③34 43;④45 54;⑤56 65;⑥67 76⑦78 87(2)对第(1)小题的结果进行归纳,猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是: __ __练习:(1)若a -6,化简 ;(2)若a 0,化简(3)若 ;(4)若 = ;(5)解方程 ;(6)化简: .二. 小结:;三.作业:四.教后感:八年级数学实数教案41.体现了自主学习.合作交流的新课程理念.对于例题的处理,改变了传统的教学模式,采用了〝尝试—交流—讲评—讨论〞的方式,充分发挥学生的主体性.参与性.同样采用了〝尝试—发现—归纳〞的方式.使学生清楚新旧知识的区别和联系.当然类比的对象也可能出现差异,这在进一步的类比有理数与数轴的关系时就表现出来了,有理数与数轴上的点不是一一对应的,而实数与数轴上的点是一一对应的.2.重视数学思想方法与算法算理的渗透,本节课在这一方面主要是让学生感知研究数学问题的一般方法(分类.辨析.归纳.化归等),通过让学生不断回顾有理数的相反数.绝对值.混合运算等知识,有意识地让学生类比旧知识,自主学习新知识,很好地发展了学生的类比能力.3.在本节课的设计中,注重引导学生参与探究.归纳(用自己的语言叙述)实数范围内的相反数.绝对值含义,以及实数范围内的混合运算法则.4. 注意学生合作学习的学习方式,让学生在与他人合作中受益,学会交流,学会倾听和接受别人的意见和建议.从课堂上学生的反映情况也看到了不足:1.学生自主探索的时间较少.对于学生,会对实数进行分类,没有大面积利用小组合作提高学生的积极性,有些面面俱到包揽太多,过于低估学生的学习能力,应给学生留有一定的学习空间.2.有些细节的重点地方忽略了,比如学生在表示出根号5,根号_等点时引导学生总结无理数也可在数轴上表示,此处如果再设计一问:反过来说,有理数把数轴填满了吗?引导学生回到本节课题实数与数轴的点一一对应. 3.分层教学对于不同层次的学生应该有不同的要求,在教学中应该多加注意,采取不同的评价方式,并且要有相应的激励方法,学生才能有热情去学习.数学课堂不应仅仅是学习的地方,更应是学生〝生活〞的乐园.让生活走进初中数学课堂,适应学生的学习生活和个性发展的需要,让所有的学生都能在数学课堂中接触生活.感悟生活,学习生活中必需的数学,才能更好地实践课改精神,推进高效课堂的进行.八年级数学实数教案5教学目标(一)知识目标:1.通过拼图活动,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数;并能说出现由.(二)能力训练目标:1.让学生亲自动手做拼图活动,感受无理数存在的必要性和合理性,培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识,能正确地进行推理和判断,识别某些数是否为有理数,训练他们的思维判断能力.(三)情感与价值观目标:1.激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神.3.了解有关无理数发现的知识,鼓励学生大胆质疑,培养他们为真理而奋斗的精神.教学重点1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.教学难点1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.教学方法教师引导,主要由学生分组讨论得出结果.教学过程一.创设问题情境,引入新课[师]同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?[生]在小学我们学过自然数.小数.分数.[生]在初一我们还学过负数.[师]对,我们在小学学了非负数,在初一发现数不够用了,引入了负数,即把从小学学过的正数.零扩充到有理数范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢?下面我们就来共同研究这个问题.二.讲授新课1.问题的提出[师]请大家四个人为一组,拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀,认真讨论之后,动手剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形,好吗?[生]好.(学生非常高兴地投入活动中).[师]经过大家的共同努力,每个小组都完成了任务,请各组把拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.[师]现在我们一齐把大家的做法总结一下:下面请大家思考一个问题,假设拼成大正方形的边长为a,则a应满足什么条件呢?[生甲]a是正方形的边长,所以a肯定是正数.[生乙]因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积,所以根据正方形面积公式可知a2=2.[生丙]由a2=2可判断a应是1点几.[师]大家说得都有道理,前面我们已经总结了有理数包括整数和分数,那么a是整数吗?a是分数吗?请大家分组讨论后回答.[生甲]我们组的结论是:因为_=1,_=4,32=9,…整数的平方越来越大,所以a应在1和2之间,故a不可能是整数.[生乙]因为,…两个相同因数的乘积都为分数,所以a不可能是分数.[师]经过大家的讨论可知,在等式a2=2中,a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数,但在现实生活中确实存在像a这样的数,由此看来,数又不够用了.2.做一做投影片§2.1.1 A(1)在下图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b,则b应满足什么条件?b是有理数吗?[师]请大家先回忆一下勾股定理的内容.[生]在直角三角形中,若两条直角边长为a,b,斜边为c,则有a2+b2=c2.[师]在这题中,两条直角边分别为1和2,斜边为b,根据勾股定理得b2=_+_,即b2=5,则b是有理数吗?请举手回答.[生甲]因为_=4,32=9,4 5 9,所以b不可能是整数.[生乙]没有两个相同的分数相乘得5,故b不可能是分数.[生丙]因为没有一个整数或分数的平方为5,所以5不是有理数.[师]大家分析得很准确,像上面讨论的数a,b都不是有理数,而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前,古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆〝数〞,即〝宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比〞,也就是一切现象都可用有理数去描述.后来,这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示,这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条,据说为此希伯索斯被投进了大海,他为真理而献出了宝贵的生命,但真理是不可战胜的,后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的,我们一方面应积极地学习这些经验,另一方面我们也不能死搬教条,要大胆质疑,如不这样科学就会永远停留在某处而不前进,要向古希腊的希伯索斯学习,学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.三.课堂练习(一)课本P35随堂练习如图,正三角形ABC的边长为2,高为h,h可能是整数吗?可能是分数吗?解:由正三角形的性质可知BD=1,在Rt△ABD中,由勾股定理得h2=3.h不可能是整数,也不可能是分数.(二)补充练习为了加固一个高2米.宽1米的大门,需要在对角线位置加固一条木板,设木板长为a米,则由勾股定理得a2=_+_,即a2=5,a的值大约是多少?这个值可能是分数吗?解:a的值大约是2.2,这个值不可能是分数.四.课堂小结1.通过拼图活动,经历无理数产生的实际背景,让学生感受有理数又不够用了.2.能判断一个数是否为有理数.五.课后作业:见作业本.§2.1 数怎么又不够用了(二)教学目标(一) 知识目标:1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想.2.会判断一个数是有理数还是无理数.(二)能力训练目标:1.借助计算器进行估算,培养学生的估算能力,发展学生的抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考.合作交流的意识和能力.2.探索无理数的定义,以及无理数与有理数的区别,并能辨别出一个数是无理数还是有理数,训练大家的思维判断能力.(三)情感与价值观目标:1.让学生理解估算的意义,掌握估算的方法,发展学生的数感和估算能力.2.充分调动学生的积极性,培养他们的合作精神,提高他们的辨识能力.教学重点1.无理数概念的探索过程.2.用计算器进行无理数的估算.3.了解无理数与有理数的区别,并能正确地进行判断.教学难点1.无理数概念的建立及估算.2.用所学定义正确判断所给数的属性.教学方法老师指导学生探索法教学过程一.创设问题情境,引入新课[师]同学们,我们在上节课了解到有理数又不够用了,并且我们还发现了一些数,如a2=2,b2=5中的a,b既不是整数,也不是分数,那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它的真面目.二.讲授新课1.导入:[师]请看图大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.[生]因为3个正方形的面积分别为1,2,4,而面积又等于边长的平方,所以面积大的正方形边长就大.[师]大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢?[生]因为a2大于1且a2小于4,所以a大致为1点几.[师]很好.a肯定比1大而比2小,可以表示为1 a 2.那么a究竟是1点几呢?请大家用计算器进行探索,首先确定十分位,十分位究竟是几呢?如1._=1._,1._=1.44,1.32=1.69,1.42=1.96,1.52=2.25,而a2=2,故a应比1.4大且比1.5小,可以写成1.4 a 1.5,所以a是1点4几,即十分位上是4,请大家用同样的方法确定百分位.千分位上的数字. p=[生]因为1.4_=1.9881,1.4_=2._64,所以a应比1.41大且比1.42小,所以百分位上数字为1.[生]因为1.4_2=1.99__,1.4_2=1.993744,1.4_2=1.996569,1.4_2=1.999396,1.4_2=2.0__5,所以a应比1.4_大而比1.4_小,即千分位上的数字为4.[生]因为1.4__=1.99996_4,1.4_32=2.00_4449,所以a应比1.4_2大且比1.4_3小,即万分位上的数字为2.[师]大家非常聪明,请一位同学把自己的探索过程整理一下,用表格的形式反映出来.[生]我的探索过程如下.边长a 面积S1 a2 p= 1 s 41.4 a 1.5 p= 1.96 s2.251.41 a 1.42 p= 1.9881 s2._641.4_ a 1.4_ p= 1.999396 s2.0__51.4_2 a 1.4_3 p= 1.99996_4 s2.00_4449[师]还可以继续下去吗?[生]可以.[师]请大家继续探索,并判断a是有限小数吗?[生]a=1.4_2_56…,还可以再继续进行,且a是一个无限不循环小数.[师]请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时,它的平方恰好等于5?请大家分组合作后回答.(约4分钟)[生]b=2.236_7978…,还可以再继续进行,b也是一个无限不循环小数.[生]边长b不会算到某一位时,它的平方恰好等于5,但我不知道为什么.[师]好.这位同学很坦诚,不会就要大胆地提出来,而不要冒充会,这样才能把知识学扎实,学透,大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b算到某一位时,它的平方恰好等于5,即b是一个有限小数,那么它的平方一定是一个有限小数,而不可能是5,所以b不可能是有限小数.2.无理数的定义请大家把下列各数表示成小数.3,,并看它们是有限小数还是无限小数,是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数,这样可以节省时间.[生]3=3.0, =0.8, = ,,[生]3, 是有限小数, 是无限循环小数.[师]上面这些数都是有理数,所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来,任何有限小数或无限循环小数都是有理数.。
八年级上册 第二章实数2.6.1实数
八年级上册 第二章实数2.6 实数(1)【学习目标】1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
3．了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小。
【重难点】 无理数和实数的概念，实数的分类；对无理数的认识。
正数集合 ｛ ｝负数集合 ｛ ｝2.实数的定义：＿ 和＿ 统称为实数。
3.实数的分类：实数实数做一做：1. 63的相反数是＿ 绝对值是＿ 倒数是＿-3的相反数是＿ 绝对值是＿ 倒数是＿2．在有理数中，数a 的相反数是 绝对值是 当a 不为0时，它的倒数是3．2的相反数是 ，0，—π的绝对值分别是3．3—π的绝对值是 。
学生在讨论交流中总结：实数的相反数、倒数、绝对值的意义与 一自主学习：（相信自己的潜力无穷）（一）自学指导：一、实数的相关概念：1. 把下列各数填入相应的集合中5，-31，л， 37 ，-32 ，4 ，0 ，-7， 0.3030030003… 有理数集合｛ ｝无理数集合｛ ｝样！二、探究——实数与数轴上点之间的对应关系议一议：如图所示，认真观察，探讨下列问题：（1）如图，OA =OB ，数轴上A 点对应的数 它介于哪两个整数之间？（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？无理数都能标到数轴上吗？将—2标到以上数轴上；在以上数轴上作出3对应的点。
学生在讨论交流中总结：（1）每一个实数都可以用数轴上的一个 来表示；反过来，数轴上的每一个 都表示一个实数，即实数与数轴上的 是一一对应的；（2）在数轴上， 边的点表示的数总比 边的点表示的数大。
（二）自学检测：1. 把下列各数填入相应的集合内-3.1， 10，5 ，-9 ，327，﹣л ，0.15 ，-1112,,-,0,-, .4,..0.23有理数集合 无理数集合2、判断题（1）、开方开不尽的数是无理数（ ） （2）、无理数就是开方开不尽的数（ ）（3）无理数都是无限小数。
八年级数学上册 实数(第一课时)教案 北师大版
实数教学设计第（一）课时教学设计思想本节内容需三课时讲授；本课时是对这段时间以来学过的数作一归纳性的总结，这个总结过程可由学生自己通过对具体的数比较的基础上引入，分清带根号的数不一定是无理数，对提出实数的概念（有理数和无理数的总称）表示接受和理解。
通过议一议，掌握数的分类要遵循的规则，领会分类的思想；在此过程中，通过对上述数的特点的分析，指出实数的绝对值和相反数的意义与在有理数范围内的意义是一样的，设计有针对性的例题和习题巩固对这些概念的认识，会求一个数的绝对值、相反数及倒数。
同时让学生思考，数的绝对值与相反数往往与数轴有密切的联系，进而让学生议一议“有理数能填满整个数轴吗？”，引出实数与数轴的关系，“每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的。
”，掌握如何在数轴上画出如：，等数，真切感受实数在数轴上的存在和实际大小，掌握实数大小比较的方法。
教学目标（一）知识与技能1．能对实数按要求进行分类.2．知道在实数范围内、相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.3．明白实数和数轴上的点是一一对应的并能根据它们在数轴上的位置来比较大小.（二）过程与方法1.通过对实数进行分类，培养学生的分类意识.2.用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想.（三）情感、态度与价值观通过对实数进行分类的练习，让学生进一步领会分类的思想.鼓励学生要从不同角度入手，寻求解决问题的多种途径.训练学生的多角度思维，为他们以后更好地工作作准备.教学重点1．实数概念的建立.2．实数的分类.3．在实数范围内，求相反数、倒数、绝对值.教学难点1．实数概念的建立.2．实数的分类.教学方法指导法.教具准备投影片.教学安排3课时.教学过程Ⅰ.导入新课在前面我们学了有理数和无理数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，如π.在学了平方根和立方根之后，我们知道、这样的数也不是有理数，因为没有哪一个整数或分数的平方为2，立方为3.而且用估算的方法还知道、是无限不循环小数，因此这些数也是无理数.那是不是说带有根号的数就是无理数呢？也不全是.如=2，2是有理数，一般来说开方开不尽的数就是无理数，如等.在小学学了非负数，上初一引入了负数，数的范围扩充到有理数范围，那么引入无理数之后数的范围扩充到什么范围呢？本节课就来研究此问题以及与之有关的问题.Ⅱ.讲授新课1．实数的概念把下列各数分别填入相应的集合内：…有理数和无理数统称为实数（real number），即实数可以分为有理数和无理数.2．实数的分类［师］在有理数的分类中可以按正数、负数、零进行分类，也可按整数和分数进行分类，那么在实数范围内是不是也能这样分类呢？下面我们把上面各数填入下面相应的集合内.填完之后大家发现了什么？［生］无理数也有正负之分，0既不能填入正数集合，也不能填入负数集合.［师］因此，从正、负方面来考虑，实数可以分为正实数、零、负实数.即实数另外从定义也可以进行分类.实数这就是实数的两种分法.3．在实数范围内的几个概念.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.（1）相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0.（2）倒数：若a≠0，则a与互为倒数.（3）绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即｜a｜=想一想［师］请大家思考并回答：（1）的相反数是_________，绝对值是_________；（2）与是_________；（3）－π的相反数是_________，它们的和是_________；（4）a是一个实数，它的相反数为_________，绝对值为_________.（5）若a≠0，则它的倒数为_________.［生］（1）－，；（2）互为倒数；（3）π，0；（4）－a，｜a｜；（5）4．实数与数轴上的点之间的关系.［师］请大家认真观察图，然后再回答.（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？［生］因为根据勾股定理得OB2=1+1=2，所以OB=，OA=OB，故OA=，A点对应的数是无理数，它介于整数1和2之间.［生］如果把所有有理数都标到数轴上，那么数轴填不满.因为有理数不包括A点.［师］每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的.在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.Ⅲ.课堂练习1．判断下列说法是否正确.（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数；（4）无理数都是实数；（5）实数都是无理数.解：（1）错.如1.333…是无限小数但是有理数；（2）是正确的；（3）错误的. 如－、都是带根号的数，但它们不是无理数；（4）正确；（5）错.如，0，－3等都是实数，但不是无理数.2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值.（1）；（2）；（3）.解：（1）的相反数为－，倒数为，绝对值为；（2）=－2的相反数为2，倒数为－，绝对值为2；（3）=7，7的相反数为－7，倒数为；绝对值为7.3．在数轴上作出对应的点.解：如图，点A所表示的点即为对应的点.比较下列各组数的大小：（1）；（2）－π与－；（3）2与3；（4）5+2与6+2. 解：（1）∵（7）2=56.25，而56.25＞50∴，即7＞；（2）－=－3.1428…，－π=－3.1415…∴－π＞－；（3）采用平方法∵（2）2=60，（3）2=54而60＞54 ∴2＞3；（4）∵6+2=5+（1+2）以下采用平方法比较2与1+2的大小.（2）2=24，（1+2）2=1+4+20=21+4，又24=21+3，而3＜4∴5+2＜6+2.说明：被开方数较大的算术平方根较大.Ⅳ.课时小结本节课学了如下内容：1．实数的概念.2．实数的两种分类.（1）按大小分为：正实数，0，负实数.（2）按定义分为：有理数和无理数.3．在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义仍然和在有理数范围内的意义相同.4．实数和数轴上的点是一一对应的.5．根据实数在数轴上的位置比较实数的大小.Ⅴ.课后作业习题2.8Ⅵ.活动与探究1．写出适合下列条件的数.（1）大于－小于的所有整数；（2）小于的所有自然数；（3）大于－的所有负整数；（4）绝对值小于的所有整数.分析：首先找到满足条件的最大数和最小数，然后再将它们之间的所有满足条件的数都写出来.解：（1）∵－＜－＜∴大于－且小于的所有整数是：－3，－2，－1，0，1，2.（2）∵∴小于的所有自然数是：4，3，2，1，0.（3）∵－∴大于－的所有负整数是：－3，－2，－1.（4）∵绝对值小于的数x，满足－＜x＜，而－＜－＜∴绝对值小于的所有整数是：－2，－1，0，1，2.说明：两个负数比较大小，绝对值大的反而小.2．求满足下列各式的x的值.（1）｜x｜=（2）｜x2－5｜=4分析：根据绝对值的概念，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数.所以（1）中的x既可以是正实数，也可以是负实数.（2）把（x2－5）视作一个整体，类似于（1）.解：（1）∵｜x｜=∴x=±（2）∵｜x2－5｜=4∴x2－5=±4当x2－5=4时x2=9∴x=±3当x2－5=－4时x2=1∴x=±1∴满足等式的x的值为－3，－1，1，3说明：互为相反数的二数的绝对值相等，即｜a｜=｜－a｜.3．已知x是实数，化简｜3x－1｜－｜2x+1｜.分析：设法脱掉绝对值符号，但x的范围没有具体给定，所以应讨论，具体方法是：（1）找零点：令3x－1=，x=，令2x+1=0，x=－；（2）描零点：在数轴上找出零点；（3）分区间：两个零点把实数轴所表示的数分成三个区间：x≤－，－＜x≤，x＞；（4）作化简：在各个区间上分别去绝对值符号，进行化简.解：（1）当x≤－时，3x－1＜0，2x+1≤0原式=（1－3x）+（2x+1）=2－x.（2）当－＜x≤时，3x－1≤0，2x+1＞0原式=（1－3x）－（2x+1）=－5x.（3）当x＞时，3x－1＞0，2x+1＞0原式=（3x－1）－（2x+1）=x－2.说明：在实数范围内的运算中，去绝对值符号时根据字母的取值范围确定绝对值符号内数的正、负、零，进行变形.否则就要分类讨论，借助于数轴把实数分为若干个区间，在每个区间内根据数的范围分别去掉绝对号，再进行合并同类项即可，这样形象、直观、简明，且可保证不重不漏.板书设计§2.6.1实数（一）一、实数的定义二、实数的分类三、在实数范围内的几个概念.四、实数与数轴上的点之间的关系.五、课堂练习六、课时小结七、作业。
北师大版八年级上册数学2.6实数课件
Q c, d互为倒数
cd 1;
Q m, n为相反数
m n 0.
原式 1 0 1 0
0
2.已知a,b,c在数轴上的对应点如图所示。化简
a b2 b c a c a c2
a c -1
a bo
c
3.已知a o,求 a2 3 a3的值
4.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝
带π型；
2, 0.181818 , 0.3737根73号7型77；3
构造型
有理数集合
无理数集合
2、实数 7, 2, 3的大小关系是（B ）
A、 7 3 2
B、 3 7 2
C、 2 7 3
D、 3 2 7
3、若 a 6, b 4，且ab 0,求a b的值.
4 (1)、-2 -（ 3）0 （-1）2013
自学检测4：（3分钟）
1.化简：
2 1 ___2_____1_, 2 2 3 __3___2__2___.
2.大于 13而小于 5 的所有整数为_-3_,-_2_,-_1_,0_,1_,。2
3. 2 3 的绝对值是 2 3；
相反数是 _3____2_____ 。
4.在实数 1 , 2,0,
对值为 4，求 a b m2 2 cd 的值.
m
导引：要求 a b m2 2 cd 的值，需先根据条件确定a m
＋b，cd 和m的值，根据题意容易得a＋b＝0，cd＝
1，m ＝±4，代入求值即可．
解：因为a，b互为相反数，所以a＋b＝0.
因为c，d互为倒数，所以cd＝1.
因为|m|＝4，所以m＝±4，m2＝16.
知识回顾（1分钟） 1.什么是有理数？
整数和分数统称为有理数.
20-21版：2.6.1 双曲线的标准方程（创新设计）
故 a＝3，b＝4，c＝ a2＋b2＝5.
@《创新设计》
20
课前预习
课堂互动
素养达成
________________. 解析 由题意设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)， 则（ （2－aa7227））22－－（（－－b6b32 2）22）＝21＝，1，解得ab22＝ ＝2755， . 故双曲线的标准方程为2y52 －7x52 ＝1. 答案 2y52 －7x52 ＝1
21
课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则 根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2|| ＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于 c－a). (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－ |PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行 运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
5
课前预习
课堂互动
素养达成
2.双曲线的标准方程 标准方程
焦点在 x 轴上 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
焦点在 y 轴上 ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
@《创新设计》
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1__(_0__，___－___c_)___，F2_(_0__，___c__)____
北师大版八年级数学上册课件：2.6实数(1)(共18张PPT)
无理数集合
问题导学：
你能把下（列各2）数0分属别于填正入数相吗应的？集0属合于内吗负？数吗？
3
2,
4, 9
140实,,数（可703.,3以）73分实,77为数352正还7,7实可732数以,、怎（的20样307相、的,进邻个负两行数个实5逐分3,之次数类间加31呢）8,？
3
1
2, 4
,7,
,
2, 20 ,
合作探究：
请各小组研究如何在数轴上画出表示 5 的点， 并在练习本上画出。
巩固练习：
1、判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数. 2、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
（1） 7（; 2）3 8；（3） 49
课堂小结：
谈谈你这节课的 收获吧！
2.6实数（1）
温故互查：（二人小组完成）
1.（1） 整数和分数 统称有理数; （2）有理数分为 有限小数
和 无限循环小数; （3）有理数包括 正有理数 ﹑
零﹑ 负有理数. (4)无___限__不__循__环__小___数___叫做无理数;
温故互查：（二人小组完成）
有理数的分类方法:
整数 1、有理数
3 4
3
的相反数是__4____.
0的相反数是__0___. 2) 5的绝对值是 5 ， 43的绝对值是___43___.
0的绝对值是___0__.
3) 5的倒数是
1 5
，
3 4
的倒数是____34__.
0有倒数吗?
（B）在有理数中，有理数a的的相反数、绝
对值是什么？不为0的数a的倒数是什么？
a的相反数是 -a
2.6实数(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“实数”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过无法用整数或分数表示的数？”（如√2、π等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索实数的奥秘。
举例：通过在数轴上表示实数，让学生直观地理解实数与数轴之间的关系。
2.教学难点
（1）无理数的理解：无理数的概念较为抽象，学生难以理解。
解决方法：通过具体实例（如√2、π等）和实际操作（如计算近似值），帮助学生理解无理数，并掌握无理数的表示方法。
（2）实数的运算：实数的运算规则较多，学生容易混淆。
解决方法：通过分类讲解、典型例题和练习，让学生掌握实数的运算规律，提高运算能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解实数的基本概念。实数是包括有理数和无理数的数的集合，它是数学中最重要的数集，具有封闭性、可比较性、可运算性等性质。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示实数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调实数的定义和分类、实数的性质和运算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
1.对于实数中较难理解的概念，如无理数，需要更多具体、形象的例子和操作，帮助学生理解。
2.在实数的运算教学中，要增加练习量，让学生在实际操作中掌握运算规则。
3.在实践活动和小组讨论中，注意引导学生深入思考，提高他们的逻辑思维和口头表达能力。
在今后的教学中，我会根据本次教学反思的结果，调整教学策略，以期提高学生的实数学习效果。
五、教学反思
实数的性质课件
第二章 实数
第2课时 实数的性质
1 课堂讲授 实数的性质
实数的大小比较 实数的运算
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
回顾旧知 1. 什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？
无理数是无限不循环小数. 带根号的数不一定是无理数.
知识点 1 实数的性质
知1－导
• 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有
知识点 3 实数的运算
知3－讲
•1.在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运 • 算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混 • 合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，即 • 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算 • 按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的 ．
知3－讲
知1－练
1 (中考·临沂) 2 的相反数是( A )
A. － 2
B. 2
2 － 5 是 5 的( A ) A．相反数 C．负平方根
C. 1
D. 2
2
B．倒数 D．绝对值
知识点 2 实数的大小比较
知2－讲
• 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意 •两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的 •实数大．
知1－讲
解： 因为a，b互为相反数，所以a＋b＝0. 因为c，d互为倒数，所以cd＝1. 因为|m|＝4，所以m＝±4，m2＝16. 所以 a b m2 2 cd =0 16 2 1 m 15 2.
总结
知1－讲
当数从有理数扩充到实数后，有理数中相反数、 倒数和绝对值的意义同样适用于实数；由于本例中a， b，c，d的值不确定，因此在求a＋b，cd的值时，运 用了整体思想．
2022-2023学年八年级数学上《2
2022-2023学年八年级数学上《2.6实数》一．选择题（共7小题）1．（2022•尤溪县模拟）实数﹣6，，﹣，0中，整数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2022•东莞市校级一模）实数3的倒数是（）A．3B．﹣3C．﹣D．3．（2022春•渑池县期中）下列说法中，错误的是（）A．是整数B．的平方根是C．是分数D．是有理数4．（2022•西宁一模）下列四个数中，负整数是（）A．﹣πB．﹣3C．0D．﹣5．（2021秋•成都期末）﹣的绝对值是（）A．﹣B．11C．D．﹣11 6．（2022•海淀区校级一模）下列关于数轴的叙述，正确的有（）个．（1）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则mn＜0，2m+n＜0；（2）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为1；（3）数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，且|d﹣5|＝|d﹣c|，则D点的位置介于C、O之间；A．0B．1C．2D．3 7．（2022•观山湖区模拟）下列运算中，正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．（3.14﹣π）0＝0C．（）﹣1＝﹣2D．﹣＝二．填空题（共7小题）8．（2021春•饶平县校级期中）的相反数是，|π|＝，||＝．9．（2022春•江源区期中）已知a是﹣，b的立方根为﹣2，则a+b的倒数为．10．（2021春•西丰县期中）若a，b为实数，且满足若（2a+3）2+＝0，则＝．11．（2021秋•玄武区校级月考）在9.3，﹣24，0，﹣0.33，0.333…，141421356，2π，3.3030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0），﹣3.1415中属于整数集合的有，属于负分数集合的有，属于无理数集合的有．12．（2022春•港闸区校级月考）﹣||的值为．13．（2022春•中山市期中）如图，把半径等于的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是．14．（2022•洛阳模拟）计算：﹣（）﹣1＝．三．解答题（共6小题）15．（2022春•陇县期中）把下列各数分别填在相应的横线上：，﹣0.23，，，，，2.101101110……（每两个0之间依次多一个1），﹣有理数集合：．无理数集合：．16．（2022春•如皋市校级月考）已知|x|＝，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值．17．（2022春•长葛市期中）把下列各数分别填入相应的集合里．+5，，0，﹣3.14，，﹣12，﹣，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）（1）整数集合：{…}（2）正数集合：{…}（3）无理数集合：{…}18．（2021秋•射阳县校级期末）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式（a+b+cd）x+﹣的值．19．（2022春•襄城县期中）阅读下列材料，完成相应的任务．框中是小云同学的作业．请把实数0，﹣π，﹣3，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．解：老师看了后，找来小云．问道：“小云同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”小云点点头．老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”任务：请你帮小云同学将上面的作业做完．20．（2022春•闵行区校级期中）计算：﹣．2022-2023学年八年级数学上《2.6实数》参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2022•尤溪县模拟）实数﹣6，，﹣，0中，整数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】实数．【专题】实数；数感．【分析】根据整数包括正整数，0和负整数，即可解答．【解答】解：实数﹣6，，﹣，0中，是整数的有：﹣6，0，所以，整数的个数是2个，故选：B．【点评】本题考查了实数，熟练掌握整数包括正整数，0和负整数是解题的关键．2．（2022•东莞市校级一模）实数3的倒数是（）A．3B．﹣3C．﹣D．【考点】实数的性质；倒数．【专题】二次根式；符号意识．【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案．【解答】解：实数3的倒数是：．故选：D．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握倒数的定义是解题关键．3．（2022春•渑池县期中）下列说法中，错误的是（）A．是整数B．的平方根是C．是分数D．是有理数【考点】实数．【专题】实数；数感．【分析】A、根据整数的定义即可判定；B、根据算术平方根、平方根的定义即可判定；C、根据分数的定义即可判定；D、根据有理数的定义即可判定．【解答】解：A、＝﹣3是整数，故A选项不符合题意；B、＝2的平方根是，故B选项不符合题意；C、不是分数，故C选项符合题意；D、﹣是分数，它是有理数，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了实数的有关概念及其分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．4．（2022•西宁一模）下列四个数中，负整数是（）A．﹣πB．﹣3C．0D．﹣【考点】实数．【专题】实数；符号意识．【分析】根据实数的分类可以解答本题．【解答】解：A．﹣π是负无理数；B．﹣3是负整数；C、0既不是正数，也不是负数；D、﹣是负无理数数．故选：B．【点评】本题考查了实数的分类，小于0的整数是负整数，本题熟记负整数的概念是解题的关键．5．（2021秋•成都期末）﹣的绝对值是（）A．﹣B．11C．D．﹣11【考点】实数的性质；算术平方根．【专题】实数；数感．【分析】根据绝对值的性质即可求解．【解答】解：﹣的绝对值是．故选：C．【点评】本题考查了实数的性质，关键是熟悉负数的绝对值是它的相反数的知识点．6．（2022•海淀区校级一模）下列关于数轴的叙述，正确的有（）个．（1）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则mn＜0，2m+n＜0；（2）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为1；（3）数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，且|d﹣5|＝|d﹣c|，则D点的位置介于C、O之间；A．0B．1C．2D．3【考点】实数与数轴；绝对值．【专题】线段、角、相交线与平行线；数感；运算能力．【分析】（1）根据实数m，n在数轴上的对应点的位置和有理数的加法和乘法的计算法则计算即可得到结论；（2）根据数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，可得m+m+2＝0，依此即可求解；（3）根据O、A、B、C四点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．【解答】解：（1）由数轴可知，m＜0＜n，∴mn＜0，∵m＞﹣1，n＞2，∴2m＞﹣2，∴2m+n＞0，故（1）叙述错误；（2）∵数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，∴m+m+2＝0，∴m＝﹣1，故（2）叙述错误；（3）∵|d﹣5|＝|d﹣c|，∴d﹣5+d﹣c＝0，∴d＝，∴D点是线段BC的中点，∴D点的位置介于B、O之间，故（3）叙述错误；故选：A．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．7．（2022•观山湖区模拟）下列运算中，正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．（3.14﹣π）0＝0C．（）﹣1＝﹣2D．﹣＝【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：A．﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项不合题意；B．（3.14﹣π）0＝1，故此选项不合题意；C．（）﹣1＝2，故此选项不合题意；D.﹣＝，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及绝对值的性质和零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．二．填空题（共7小题）8．（2021春•饶平县校级期中）的相反数是﹣，|π|＝π，||＝4．【考点】实数．【分析】根据a的相反数是﹣a、正数的绝对值是它本身等概念即可解答．【解答】解：①根据相反数的定义，的相反数是﹣；②根据绝对值的定义，|π|＝π；③因为（﹣4）3＝﹣64，所以＝﹣4，则||＝4．故答案为：﹣；π；4．【点评】此题主要考查了实数的定义及有关性质，注意理解区分相反数、绝对值的概念，能够正确计算一个数的立方根．9．（2022春•江源区期中）已知a是﹣，b的立方根为﹣2，则a+b的倒数为﹣．【考点】实数的性质；算术平方根；立方根．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用二次根式的性质、立方根的性质化简，进而代入，结合倒数的定义得出答案．【解答】解：∵a是﹣＝﹣5的相反数，∴a＝5，∵b的立方根为﹣2，∴b＝﹣8，∴a+b＝5﹣8＝﹣3，则a+b的倒数为：﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质、立方根的性质、倒数，正确得出a，b的值是解题关键．10．（2021春•西丰县期中）若a，b为实数，且满足若（2a+3）2+＝0，则＝．【考点】实数；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【专题】实数；运算能力．【分析】利用非负数性质先求a，b，再计算．【解答】解：∵（2a+3）2+＝0，∴2a+3＝0，b﹣2＝0．∴a＝﹣，b＝2，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查非负数的性质及算术平方根，掌握相关知识是求解本题的关键．11．（2021秋•玄武区校级月考）在9.3，﹣24，0，﹣0.33，0.333…，141421356，2π，3.3030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0），﹣3.1415中属于整数集合的有﹣24、0，属于负分数集合的有﹣0.33，属于无理数集合的有2π，3.303003003…．【考点】实数．【专题】实数；数感．【分析】根据实数的分类标准解决此题．【解答】解：根据整数的定义，整数有﹣24、0；根据负分数的定义，负分数有﹣0.33；根据无理数的定义，无理数有2π、3.3030030003…．故答案为：﹣24、0；﹣0.33；2π、3.3030030003…．【点评】本题主要考查实数分类，熟练掌握实数分类标准是解决本题的关键．12．（2022春•港闸区校级月考）﹣||的值为﹣．【考点】实数的性质．【专题】计算题；运算能力．【分析】根据绝对值的意义进行解答便可．【解答】解：﹣||＝﹣，故答案为：﹣．【点评】此题考查了绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．13．（2022春•中山市期中）如图，把半径等于的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是1﹣π或1+π．．【考点】实数与数轴．【专题】常规题型．【分析】根据半径为的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，再由圆的周长公式得出周长为π，根据两点间的距离是大数减小数，可得答案．【解答】解：由半径为的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，得A点与1之间的距离是π．由两点间的距离是大数减小数，得当A点在1的左边时表示的数是1﹣π，当A点在1的右边时表示的数是1+π．故答案为：1﹣π或1+π．【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题时利用了数轴上两点间的距离是大数减小数．14．（2022•洛阳模拟）计算：﹣（）﹣1＝﹣4．【考点】实数的运算；负整数指数幂．【专题】实数．【分析】直接利用立方根的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2﹣2＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．三．解答题（共6小题）15．（2022春•陇县期中）把下列各数分别填在相应的横线上：，﹣0.23，，，，，2.101101110……（每两个0之间依次多一个1），﹣有理数集合：，﹣0.23，，，．无理数集合：，，2.101101110……（每两个0之间依次多一个1），﹣，．【考点】实数．【专题】实数；数感．【分析】根据实数的概念进行分类，确定此题结果．【解答】解：由实数的概念可知，整数和分数统称为整数；无限不循环小数为无理数，∴属于有理数集合的是：，﹣0.23，，；属于无理数集合的是：，，2.101101110……（每两个0之间依次多一个1），﹣，故答案为：，﹣0.23，，；，，2.101101110……（每两个0之间依次多一个1），﹣．【点评】此题考查了根据实数的概念进行分类的能力，关键是能准确理解相关概念．16．（2022春•如皋市校级月考）已知|x|＝，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值．【考点】实数的性质；平方根；算术平方根．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案．【解答】解：∵|x|＝，∴x＝±，∵y是11的平方根，∴y＝±，∵x＞y，∴当x＝，则y＝﹣，故x+y＝﹣，当x＝﹣，则y＝﹣，故x+y＝﹣﹣，综上所述：x+y的值为﹣或﹣﹣．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键．17．（2022春•长葛市期中）把下列各数分别填入相应的集合里．+5，，0，﹣3.14，，﹣12，﹣，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）（1）整数集合：{+5，0，﹣12，﹣（﹣6）…}（2）正数集合：{+5，，，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}（3）无理数集合：{，﹣，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}【考点】实数．【专题】实数；数感．【分析】（1）根据整数包括正整数、负整数和0，即可解答；（2）根据正数大于0，即可解答；（3）根据无限不循环小数是无理数，即可解答．【解答】解：（1）整数集合：{+5，0，﹣12，﹣（﹣6）…}，故答案为：+5，0，﹣12，﹣（﹣6）；（2）正数集合：{+5，，，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}，故答案为：+5，，，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）；（3）无理数集合：{，﹣，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}，故答案为：，﹣，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的相关概念及分类是解题的关键．18．（2021秋•射阳县校级期末）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式（a+b+cd）x+﹣的值．【考点】实数的性质；代数式求值；立方根．【专题】实数；运算能力．【分析】根据题意可得a+b＝0，cd＝1，x＝±7，然后代入代数式求值即可．【解答】解：＝7，∵a、b互为相反数，∴a+b＝0，∵c、d互为倒数，∴cd＝1，∵x的绝对值为．∴x＝±7，当x＝7时，原式＝（0+1）×7+﹣＝7﹣1＝6，当x＝﹣7时，原式＝（0+1）×（﹣7）+﹣＝﹣7﹣1＝﹣8，∴所求代数式的值为6或﹣8．【点评】此题主要考查了实数运算和求代数式的值，关键是掌握相反数和为0，倒数积为1．19．（2022春•襄城县期中）阅读下列材料，完成相应的任务．框中是小云同学的作业．请把实数0，﹣π，﹣3，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．解：老师看了后，找来小云．问道：“小云同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”小云点点头．老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”任务：请你帮小云同学将上面的作业做完．【考点】实数与数轴；无理数．【专题】数形结合；数感．【分析】根据π和确定原点，把实数0，一π，﹣3，，2表示在数轴上，根据数轴上的点的位置判断数的大小，左边的点表示的数小于右边的点表示的数．【解答】解：∵一π与是无理数，且一π＜，∴数轴上两个点中，左边的点表示数﹣π，右边点表示数，据此可以找出原点位置，根据题意，在数轴上分别表示各数如下：∴从小到大是：﹣π＜﹣3＜0＜2＜．【点评】本题考查实数的大小比较，数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，解题关键是正确估算已知两点表示的数，和由这两点确定原点位置．20．（2022春•闵行区校级期中）计算：﹣．【考点】实数的运算．【专题】实数；运算能力．【分析】首先计算开平方和开立方，然后计算减法，求出算式的值即可．【解答】解：﹣＝﹣3﹣6＝﹣9．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．。
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教学过程
一、 创设情境，引入新课
师：同学们，从小学到现在我们对数进行了两次扩充，在七年级学习了由于实际生活中的需要我们引入负数，把数的范围由自然数扩充到了有理数，你还记得有理数的分类方法吗？
生：（纷纷回答.）
师：同学们记得很清楚，这就是有理数的按定义两分法和按符号三分法，注意在分类的时候做到不重不漏.（板书
)
师：前几节课由于在直角三角形中勾股定理的应用，实际生活中的需要，引入了无理数，那什么样的数是无理数呢，举例说明.
生1：无限不循环的小数叫无理数. 生2：如
生3：如2 ……
师：那什么样的小数是有理数呢？
整数
分数
有理数
正有理数
负有理数
有理数
生：有限小数和无限循环的小数是有理数.
师：这样数的范围进一步扩大，我们把有理数和无理数统称为实数.
今天我们就来学习实数，看看在实数范围内以前学习的一些知识是否还适用．（板书课题）
【紧扣课题，自然引入，对数进行系统的复习整理，为下一步实数的分类埋好伏笔.从课堂上来看效果还不错，学生自然接受数的又一次扩充.】
二、自主交流，探索新知
活动1、探索实数的分类
师：老师给出一些实数，大家对比有理数的分类，看看你们怎么对他们进行分类？，，，
，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
生：（小组讨论，互相交流。
小组汇报）
师：哪个小组先来汇报自己的成果？
组1：我们组是按有理数和无理数分的，，，，，，，0为有理数，
，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）为无理数.
生：不对，带根号的不是无理数嘛！（学生有歧义）
师：，能计算出来吗？
2
3
师：对，他们就是有理数披了件无理数的衣服，其实还是有理数，就像披着羊皮的狼，大家的眼睛可要放亮一些，不要被骗哦！
生：（理解并记下笔记）
师：实数除了可以分为有理数与无理数外，实数还可怎样分？（板书实数的两分法）
生：（讨论回答）
师：（引导学生形成共识：实数也可以分为正实数、0、负实数.板书三分法.）
【通过和有理数分类的类比，进而得到需要的新知识，可以锻炼学生类比的思想，也可以提高学生的猜想归纳能力.从课堂上来看大多数学生都能根据自己的理解得到正确的结论.怎样能让学生对实数分类准确，做到不重不漏？】
活动2、在实数范围内相反数，倒数，绝对值的意义
师：当有理数扩充到实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义还是一样的，看看大家还记得这些老朋友吗？
1、a 是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ；
2、如果0≠a ，那么它的倒数为 . 生：（独立思考回答）
师:（归纳并板书：实数a 的相反数为a -，绝对值为a ，若0≠a 它的倒数为a
1
（教师指明：0没有倒数）
师：例如，2和2-
是互为相反数，35和3
5
1互为倒数.
33=，00=，ππ=-，33-=-ππ.
师：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样，下面看看同学们的答题速度怎么样，来抢答，各组做好准备.(出示题目)
7,-3.8,
21,
10
3
生：（抢答）
【通过在实数范围内讨论相反数，倒数，绝对值的意义，让学生更加深入的了解他们的意义,对于具体的数没什么问题，一涉及到字母有一定的难度,课上不要深入到字母的题目.】
活动3、探讨用数轴上的点来表示无理数
师：请同学们拿出准备好的直尺和圆规，在练习本上画出一条数轴. 生：（在练习本上画数轴） 师：（巡视，并发现错误）
师：看到同学们画的数轴，老师很欣慰，同学们都画的非常规范，原点，正方向，单位长度一个也不少。
如果老师让你们在数轴上找一些有理数，如2，-3
2
，相信大家很快就找到，现在老师让你们在数轴上找一些无理数的点，看看你们脑筋转的快不快.
怎样在数轴上找到2呢？
生：（思考）（有的同学一脸茫然） 师：还记得我们怎样引入无理数的？ 生：在直角三角形中，由勾股定理得到的.
师：那构造出两条直角边是多少时，可以得到斜边是2呢？ 生：直角边都是1的时候.
师：对，现在我们就把这个直角三角形放到数轴中，看看吧. （出示P 45页图2—4，让学生探讨以下问题： （A ）如图OA =OB ，数轴上A 点对应的数是多少？
（B ）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴上被填满了吗？） 生：（充分思考交流） 师：（引导学生达成以下共识：
（1）A 点对应的数等于2，它介于1与2之间.
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，数轴未被填满，在数轴上还可以表示无理数.
（3）每一个实数数都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的.
（4）一样地，在数轴上，右边的点比左边的点表示的数大.）
【探讨用数轴上的点来表示无理数，以及无理数和数轴上的点的对应关系，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合思想，学生对于如何在数轴上找到一些无理数有些困难.】
三课堂小结
师：通过本节课的探索你得到了哪些知识？你是如何得到这些知识的？ 生：（思考回答） 1、实数的概念. 2、实数可以怎样分类.
3、实数a 的相反数为a -，绝对值a ，若0≠a ，它的倒数为a
1
. 4、数轴上的点和实数一一对应.
【意图：学生应该养成主动、独立探究问题的习惯，而不是仍然在老师或其余同学的引导或直接告诉答案下才能得到新知识.所以本学期类似的问题会经常出现在课堂中，让学生知道得到问题的过程是什么.】
四达标检测：
师：通过学习来看看同学们掌握的怎么样，来接受挑战吧！
1、判断下列说法是否正确：（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数.
2、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
（1）3.8 （2）21- （3）π- （4）3 （5）3
100
27
3、在数轴上作出5对应的点.
4、在数轴上作出3对应的点.
【进行分层训练，既满足了不同学生的需求，同时也便于老师及时地了解学生的情况.老师可以根据学生的情况选择上述题目进行练习.
通过分层练习，充分激发学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果.】
五．作业：
A 类：
课本 习题2.8 知识技能 1,2,3 B 类：
课本 习题2.8 问题解决 4 C 类：
写一篇这节课数学方法小记.
【通过三个层次的作业布置，让不同层次的学生都有提高，各有收获.】
板书设计：
教学反思：
我认为这节课我有几个对教材上的素材的创新的用法是比较成功的地方：
1.在引入实数分类的时候，我不是把教材上的例子照搬让学生去做，被动的进行分类，而是先给出这几个数，让学生对比前面复习的有理数的分类去自己分，效果很好.
2.在对无理数在数轴上表示的时候，我也不是直接就给出课本上的画图，而是一步步的引导学生利用学过的知识去理解，有一部分学生能够想到利用勾股定理去解决，这样有利于对学生思维的培养.
不足之处：由于这节课的内容较多，学生的活动较多，在引导学生在数轴上表示无理数的时候，能让学生自己想到方法最好，但是由于时间关系我就直接给出了课本的议一议，没有让学生体会，结果在做达标测试的时候有的同学画错.
如果时间允许，我认为还是让学生充分讨论后在数轴上表示无理数掌握的会好一些！。