数学·必修1(苏教版)习题：第3章3.4-3.4.1第2课时用二分法求方程的近似解

第3章 指数函数、对数函数和幂函数

3.4 函数的应用

3.4.1 函数与方程

第2课时 用二分法求方程的近似解

A 级 基础巩固

1.已知函数f (x )的图象如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )

A ．4，4

B ．3，4

C ．5，4

D ．4，3

解析：由图象知函数f (x )与x 轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f (a )·f (b )＜0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．

答案：D

2．函数f (x )＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1 D ．(1，2) 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝－154＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－52＜0，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝－1＜0，f (1)＝1＞0，f (2)＝4＞0，

所以函数零点落在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1上． 答案：C

3．已知函数f (x )在区间(0，a )上有唯一的零点(a >0)，在用二分

法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，a 4，⎝

⎛⎭⎪⎫0，a 8，则下列说法中正确的是( ) A ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，a 16无零点 B ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16或⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 16，a 8内有零点 C ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 16，a 内无零点 D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16或⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 16，a 8内有零点，或零点是a 16 解析：由二分法求函数零点的原理可知选D.

答案：D

4．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )·f (b )＜0，用二分法求x 0时，

当f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 2＝0时，则函数f (x )的零点是( ) A ．(a ，b )外的点

B ．x ＝a ＋b 2

C ．区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2或⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 2，b 内的任意一个实数 D ．x ＝a 或x ＝b

解析：由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，

也可能是近似值．由f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 2＝0知，选B. 答案：B

5．方程|x 2－3|＝a 的实数解的个数为m ，则m 不可能等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：由图可知y ＝|x 2－3|与y ＝a 不可能是一个交点．

答案：A

6．奇函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的三个零点是x 1，x 2，x 3，满足x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝－2，则b ＋c ＝________．

解析：因为f (x )为奇函数，

所以b ＝0.故f (x )＝x 3＋cx 有一个零点是0，

不妨设x 1＝0，则x 2，x 3是x 2＋c ＝0的二根，故x 2x 3＝c ，

由x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝－2得c ＝－2，

故b ＋c ＝0－2＝－2.

答案：－2

7．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值：

函数f (x )

解析：由表知：f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，f (x )在区间

[1，6]上至少有3个零点．

答案：3

8．电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏，在限定时间内(如15秒)猜出某一种商品的售价，就把该商品奖给选手，每次选手给出报价，主持人告诉说高了低了，以猜对或到时为止游戏结束．如猜一种品牌的电风扇，过程如下：游戏参与者开始报价500元，主持人说高了，300元，高了，260元，低了，280元，低了，290元，高了，285元，低了，288元，你猜对了！恭喜！请问游戏参与者用的数学知识是________(只写出一个正确答案)．

答案：二分法

9．用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1，2]上零点的近似值，

先取区间中点c ＝32

，则下一个含根的区间为________． 解析：令f (x )＝ln x －2＋x ，

因为f (1)＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32＝ln 32－12＜0， 所以下一个含根的区间为⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，2. 答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，2 10．设x 0是方程a x ＝log a x (0

解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝a x 和y ＝log a x 的图象(如图所示)，可以看出：

x 0<1，log a x 0<1，所以x 0>a ，a

答案：a

B 级 能力提升

11．函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象交点个数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

解析：在同一平面直角坐标系中作出f (x )＝2ln x 和g (x )＝x 2－4x ＋5的图象(如图所示)，由图象可见它们有2个交点．

答案：B

12．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )

A ．[1，4]

B ．[－2，1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－12，1 解析：由于第一次所取的区间为[－2，4]，

所以第二次所取区间为[－2，1]或[1，4]，

第三次所取区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52或⎣⎢⎡⎦

⎥⎤52，4. 答案：D

13．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确到0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________．

解析：设等分的最少次数为n ，则由

0.12n ＜0.01，得2n ＞10. 所以n 的最小值为4.

答案：4