2011年南开大学813运筹学(信息学院)考研真题及详解(圣才出品)

最终单纯形表中
1 38 8
0
b’ = b + A−1b = 20
+
-
5 4
1
344
-
1
0
4
45.5
z
=
CBb
=
(3,
0,
0)
−55
=
136.5(千元)
,
329
0
60 45.5
0 • 0
=
−55
0 329
1
故租用设备甲合算。
（4）当增加乙的工时，
1 38 8
0
b
=
b
+
A−1b
3
20
80
60
120
60
7
4
图2
该最大流问题有多重最优解，上图仅给出一种。
5 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
2
13
10
0
j
3
2
2.9
0
0
1 210
0
0
3
x1
38
1
2
5/4 1/8
0
0
0
x5
20
0
-15 -9/2 -5/4
1
0
0
x6
344
0
9
15/2 -1/4
0
1
j
0
-4 -0.85 -0.375 0
0
已得最优解，即只生产 A 种产品,所得利润最大。
（ 2 ） 增 加 新 变 量 x7,x8 ， 对 应 的 c7=2.1,c8=1.87, 约 束 矩 阵 增 加 两 个 列 向 量
=
20
344
+
-
5 4 1
1 0
4
0
0 38
0
•
b2
=
20
+
b2
0 344
1
38
z
=
CBb
=
(3,
0,
0)
20
+
b2
=
114
=
z
344
故利润不会增加。
3 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

二、（15 分）有 A、B、C、D 四种零件均可在设备甲或设备乙上加工。已知这两种设备 上分别加工一个零件的费用如表 3 所示。又知设备甲或设备乙只要有零件加工就需要设备 的启动费用，分别为 100 元和 150 元。现要求加工四种零件各 3 件，问应如何安排生产使 总的费用最小？请建立该问题的线性规划模型（不需求解）。加工一个零件的费用（单位： 元）
表1
（1）应如何安排三种产品的生产使得总利润最大? （2）若另有两种新产品 D、E，生产单位 D 产品需用甲、乙、丙三种设备 12 小时、5 小时、10 小时，单位产品利润 2.1 千元；生产单位 E 产品需用甲、乙、丙三种设备 4 小时、 4 小时、12 小时，单位产品利润 1.87 千元，请分别回答这两种新产品投产是否合算? （3）若为了增加产量，可租用其他工厂的设备甲，可租用的时间是 60 小时，租金 1.8 万元。请问是否合算? （4）增加设备乙的工时是否可使工厂的总利润进一步增加?
s.t
2 j =1
xij
=
3, i
= 1, 2,3, 4
xij
0, (i
= 1, 2,3, 4;
j
= 1, 2,3, 4)
其 中 C = 50 80 90 40 30 100 50 70 , X = x11 x21 x31 x41 x12 x22 x32 x42 T 。
三、（25 分）某工程公司在未来 1～4 月份内需完成三项工程：第一项工程的工期为 1～ 3 月份，总计需劳动力 80 人月；第二项工程的工期为 1～4 月份，总计需劳动力 100 人月； 第三项工程的工期为 3～4 月份，总计需劳动力 120 人月。该公司每月可用劳力为 80 人，
80 80
1
60
60
60
2
60
5 80
Vs
80
60 60
6 100 Vt
3
60
60
80
120
60
7
4
图1
其中，结点 1、2、3、4 分别代表 1、2、3、4 月份，结点 5、6、7 分别代表第一、二、
三项工程。通过标号与调整，得到的最大流如图 2 所示。
1
60
20
5
80
80
2
60
60
20
Vs
80
6 100 Vt
1 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

添加人工变量 x4，x5，x6 利用单纯形法计算如表 2 所示。
表2
cj
3
2
2.9
0
0
0
i
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
304 [8]
16
10
1
0
0
38
0
x5
400
10
5
8
0
1
0
40
0
x6
420
= 12，5，10T ， = 4，4，12T
1 8
0
=
A−1
=
-
5 4
1
-
1
0
4
0
0
1
•
12
5
10
=
3
2
−10
7
，
=
A−1
=
1
8
-
5 4
-
1
4
0 1 0
0
0
1
•
4
4
12
=
1
2
−1
11
其检验数为：
2 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

2011 年南开大学 813 运筹学（信息学院）考研真题及详解
一、（35 分）已知某工厂计划生产 A、B、C 三种产品，备产品均需使用甲、乙、丙这 三种设备进行加工，加工单位产品需使用各设备的时间、单位产品的利润以及各设备的工时 限制数据如表 1 所示。试问：

3
1
7 = c7 − CB = 2.1− (3, 0, 0) −210 = −2.4 ,7 = c7 − CB = 1.87 − (3, 0, 0) −21 = 0.37
7
11
则判断出：产品 D 的投产不合算，产品 E 投产合算。
（3）即 b = 60, 0, 0T ，其不影响检验数的结果，故最优解不变。
表3
解：设 i=1,2,3,4 分别表示产品 A、B、C、D；j=1，2 表示设备甲、乙；xij 表示产品 i 在
设备 j 上生产的个数，
ij
=
1，xij 0，xij
0时， = 0时 ， j
=
10，，当当ii=4=411ijij
0时 = 0时
则得线性规划模型如下：
min z = CX +1001 +1502
4 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

但任一项工程上投入的劳动力任一月内不准超过 60 人。问该工程公司能否按期完成上述三 项工程任务，应如何安排劳力?（请将该问题归结为网络最大流问题求解）
解：可以构建网络图（弧上数字为最大流量），如图 1 所示。
解：（1）设生产 A、B、C 三种产品的数量分别为 x1,x2,x3 单位。则可以得出数学模型
max z = 3x1 + 2x2 + 2.9x3
8x1 +16x2 +10x3 304
s.t.
120x1x1++153xx22
+ +
8x3 400 10x3 420
xi 0(i = 1, 2,3)