2019-2020学年高中数学课时作业17 空间向量运算的坐标表示新人教A版选修2-1

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空间向量及其运算的坐标表示(解析版)-高二数学新教材同步题型+能力+素养练

1.3 空间向量及其运算的坐标表示题型一：空间向量的坐标运算1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)- D ．(3,1,4)【答案】D【点拨】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答. 【详解】依题意，点(3,1,4)P --关于y 轴对称的点的坐标为(3,1,4). 故选：D2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（） A ．()0,4,7 B ．()2,0,1- C ．()2,0,1- D ．()2,0,1【答案】B【点拨】利用空间向量的坐标表示，即得. 【详解】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =， ∴()()1,2,31,2,4x y z =----，解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -. 故选：B.3．如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB AB ==，若3PC PQ =，则点Q 的空间直角坐标为（）一维练基础A ．()3,2,1B ．44,2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2,3D ．()1,2,1【答案】B【点拨】根据空间向量的坐标运算直接计算.【详解】由题意得()0,2,0C ，()2,2,2P ，所以()2,0,23PC PQ =--=，所以()22,0,33PQ =--，所以Q 的坐标为()()()2244,0,2,2,2,2,3333--+=．故选：B ．4．已知向量a ＝（3，0，1），b ＝（﹣2，4，0），则3a +2b 等于（）A ．（5，8，3）B ．（5，﹣6，4）C ．（8，16，4）D ．（16，0，4）【答案】A【点拨】直接根据空间向量的线性运算，即可得到答案；【详解】32(9,0,3)(4,8,0)(5,8,3)a b +=+-=，故选：A5．若(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=，则22a b c -+=（） A ．()2,4,1- B ．()10,0,3--C ．()2,4,1--D ．()10,0,3【答案】D【点拨】直接利用向量的坐标运算求解即可【详解】因为(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=，所以22(2,0,1)2(3,1,1)2(1,1,0)(10,0,3)a b c -+=---+=，故选：D题型二：空间向量模长的坐标表示1．已知向量()1,2,1a =-，()2,2,0b =-，则a 在b 的方向上的数量投影为（） A ．6-B ．a - C ．32D ．34-b【答案】C【点拨】直接由数量投影的公式求解即可. 【详解】由题意知：a 在b 的方向上的数量投影为()22122232a b b-⨯⋅==+-. 故选：C.2．若向量()1,2,3a =-，()2,3,1b =--，则2a b +=（） A ．27B ．5 C 26D ．42【答案】C【点拨】求出2a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得()23,4,1a b +=-，故()222234126a b +=-++=．故选：C.3．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(345)A ，，在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，则BC →=（）A ．5B 34C 41D ．52【答案】C【点拨】写出点A 在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，再计算BC →的值．【详解】解：在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3A ，4，5)在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，则(3B ，4，0)，(3C ，0，5)， ∴(0BC →=，4-，5)，||0162541BC →∴++故选：C ．4．已知()1,1,0a t =-，()2,,b t t =，则b a -的最小值是（） A ．1 B 2C 3D 5【答案】B【点拨】利用空间向量坐标的减法求出b a -，然后利用求模公式求出b a -. 【详解】解：()()1,1,0,2,,a t b t t =-= (1,1,)b a t t t -=+-∴2222(1)(1)32b a t t t t ∴-=++-+=+∴当0=t 时，b a -取最小值2故选：B5．已知向量()1,21a →=-，，()3,,1b x =，且a b →→⊥，那么b →等于（）A 10B 11C ．3D ．5【答案】B【详解】解：因为向量()1,21a →=-，，()3,,1b x =，且a b →→⊥，所以13210x -⨯++=，解得1x =，所以()3,1,1b =，所以22231111b →=++故选：B题型三：空间向量平行的坐标表示1．已知()1,4,4a =--，(),2,21b m m =-+，若a b ∥，则m 的值为（） A ．－2 B ．2C ．12-D ．12【答案】C【点拨】根据向量共线的性质即可求解. 【详解】因为a b ∥，所以221144m m -+==--，解得12m =-，故选：C.2．已知()1,2,a y =，(),1,2b x =，且//a b ，则x y ⋅=（） A ．1 B ．1-C ．2-D ．2【答案】D【点拨】利用空间向量共线的坐标表示可求得x 、y 的值，即可得解.【详解】因为//a b ，则214x y =⎧⎨=⎩，所以，12x =，4y =，因此，2x y ⋅=.故选：D.3．已知空间三点()0,1,2A ，()2,3,1B ，()1,2,C m ，若,,A B C 三点共线，则m =（）． A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】C【点拨】求出向量AB 与向量AC 的坐标，根据,,A B C 三点共线，可得向量AB 与向量AC 共线，由此即可求出结果.【详解】因为()2,2,1AB =-，()1,1,2AC m =-，且,,A B C 三点共线，所以向量AB 与向量AC 共线，所以1221m -=-，得32m =．故选：C.4．已知()2,1,3A ，()1,3,1B ，()4,,C y z ，若AB AC ∥，则2y z -=（） A ．20- B ．17- C ．11 D ．4【答案】B【点拨】根据空间向量共线的性质进行求解即可. 【详解】()1,2,2AB =--，()2,1,3AC y z =--，因为AB AC ∥，所以122213y z --==--，解得3y =-，7z =，故217y z -=-. 故选：B5．已知两个向量()2,1,3a =-，(),2,b s t =，且//a b ，则s t -的值为（） A ．-2 B ．2C ．10D ．-10【答案】C【点拨】根据向量共线可得,s t 满足的关系，从而可求它们的值，据此可得正确的选项. 【详解】因为//a b ，故存在常数λ，使得a b λ=，所以2123s t λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，故4,6s t ==-，所以10s t -=，故选：C.题型四：空间向量垂直的坐标表示1．已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】D【点拨】解方程2123(6)0x -⨯+⨯-=即得解.【详解】解：因为a b →→⊥，所以2123(6)0,10x x -⨯+⨯-=∴=. 故选：D2．设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【点拨】根据向量平行和垂直的坐标表示求出y 和x 即可．【详解】024201a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-+=⇒=， b ∥1224y c y ⇒=⇒=--， ∴1x y +=. 故选：A.3．已知()1,2,1u =是直线l 的方向向量，()2,,2v y =为平面α的法向量，若l ∥α，则y 的值为（） A ．2- B ．12-C ．4D ．14【答案】A【点拨】由l ∥α，可得u v ⊥，再计算即可求解.【详解】由题意可知u v ⊥，所以=0u v ⋅，即12+21202y y ⨯+⨯=⇒=-. 故选：A4．已知点()1,1,2A -在平面α上，其法向量()2,1,2n =-，则下列点不在平面α上的是（） A ．()2,3,3B ．()3,7,4C ．()1,7,1--D ．()2,0,1-【答案】D【点拨】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】()1,1,2A -对于A ：记()12,3,3A ,则()11,4,1AA =.因为()()11,4,12,1,22420AA n =-=-+=，所以点()12,3,3A 在平面α上对于B ：记()3,7,4B ,则()2,8,2AB =.因为()()2,8,22,1,24840AB n =-=-+=，所以点()3,7,4B 在平面α上对于C ：记()1,7,1C --,则()2,6,1AC =---.因为()()2,6,12,1,24620AC n =----=-+-=，所以点()1,7,1C --在平面α上对于D ：记()2,0,1D -,则()3,1,1AD =--.因为()()3,1,12,1,26120AD n =---=---≠，所以点()2,0,1D -不在平面α上. 故选：D5．已知()1,1,3a =-，(),,1b x y =，若a b ⊥，则x y +=（） A ．9 B ．6 C ．5 D ．3【答案】D【点拨】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】0303a b a b x y x y ⊥⇒⋅=⇒+-=⇒+=. 故选：D.题型五：空间向量夹角余弦的坐标表示1．若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（） A ．0 B ．－43C ．0或－43D ．0或43【答案】C【点拨】由空间向量夹角余弦的坐标表示直接计算可得. 【详解】由题知，22cos ,31414a b a b a bλ⋅<>===+++即2340λλ+=，解得0λ=或43λ=-.故选：C2．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成3π夹角的是（） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1--【答案】B【点拨】利用空间向量夹角公式进行逐一判断即可.【详解】A ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-2222121(1)(1)1=-+-⨯-+，所以向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-夹角为23π，故不符合题意； B ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-2222121(1)1(1)=+-⨯+-，所以向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-夹角为3π，故符合题意； C ：因为向量()1,0,1a =-与向量()0,1,1-2222121(1)(1)1=-+-⨯-+，所以向量()1,0,1a =-与向量()0,1,1-夹角为23π，故不符合题意； D ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,0,1--夹角的余弦值为222201(1)(1)(1)=+-⨯-+-，所以向量()1,0,1a =-与向量()1,0,1--夹角为2π，故不符合题意，故选：B4．若()1,,2a λ=，()2,1,2b =-，且a ，b 的夹角的余弦值为89，则λ等于（）A ．2B ．2-C ．2-或255D ．2或255-【答案】C【点拨】根据8cos ,9a b a b a b⋅==，解得即可得出答案.【详解】解：因为()1,,2a λ=，()2,1,2b =-，所以2248cos ,935a b a b a bλλ⋅-+===+，解得：=λ2-或255. 故选：C.4．已知空间向量()()2,3,63,1,,4a b ==-，则,a b =（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】A【点拨】求得0a b ⋅=，即可得出. 【详解】()()2,3,63,1,,4a b ==-，()2334610a b ∴⋅=⨯+⨯-+⨯=，a b ∴⊥，,2a b π∴=.故选：A.5．已知空间向量()1,0,1a =，()1,1,b n =，3a b ⋅=则向量a 与b λ（0λ≠）的夹角为（） A ．6πB ．6π或56π C ．3π D ．3π或23π 【答案】B【详解】,13a b a b cos a b n ⋅==+=解得2n =，222,?3n cos a b ⨯+= 代入得32cos a b ⋅=，又向量夹角范围：[]0,π 故,a b 的夹角为6π，则a 与b λ的夹角，当0λ>时为6π；0λ<时为56π. 故选：B.1．已知向量()(),1,1,1,2,0a k b ==，且a 与b 互相垂直，则k 的值为（）二维练能力A ．－2B ．－12C ．12D ．2【答案】A【点拨】由题意0a b ⋅=，由空间向量的数量积运算可得答案. 【详解】由a 与b 互相垂直，则20a b k ⋅=+=，解得2k =- 故选：A2．已知(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，则cos ,a b 〈〉=（） A 485B ．485C ．0D ．1【答案】B【点拨】利用空间向量的夹角余弦值公式cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅即可求得.【详解】解：(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，40485cos ,||||1725a b a b a b ⋅+-∴<>===⋅⋅故选：B.3．已知向量()1,0,a m =，(2,0,23b =-，若a b ∥，则a =（） A ．1 B 2C 3D ．2【答案】D【点拨】由空间平行向量，先求出m 的值，再由模长公式求解模长. 【详解】由//a b ，则λa b ，即(1,0,)(2,0,23)m λ=-，有1223m λλ==-，，所以1123322m λ==-=-，所以(1,0,3a =-，则()2221032a =++-故选：D4．下列四个结论正确的是（）A ．任意向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线C ．空间中任意向量,,a b c 都满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．已知向量()()1,1,,2,,4a x b x ==-，若25x <，则,a b 为钝角【答案】B【点拨】A 选项，0a b ⋅=也可以是0,0a b ≠≠，a b ⊥；B 选项，利用向量线性运算得到2AC CB =，从而得到三点共线；C 选项可以举出反例；D 选项，求出,a b 为钝角时x 的取值范围，从而得到答案. 【详解】0a b ⋅=则0a =或0b =或0,0a b ≠≠，a b ⊥，故A 错误；若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，即()()1233OC OA OB OC -=-，所以1233AC CB =，化简得：2AC CB =，则A ，B ，C 三点共线，B 正确；设()()()1,1,1,2,2,1a b c ===。

2019-2020学年高中数学课时作业空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算新人教A版选修

答案：A
3．若空间中任意四点O.A.B.P满足＝m ＋n .其中m＋n＝1.则( )
A．P∈AB
B．P∉AB
C．点P可能在直线AB上
D．以上都不对
解析：因为m＋n＝1.所以m＝1－n.
所以＝(1－n) ＋n .
即－＝n( － ).
即＝n .所以与共线．
又 . 有公共起点A.
所以P.A.B三点在同一直线上.
＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
7．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中.若＝x ＋＋ .则x＋y＋z＝________.
解析：在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中. ＝＋＋ .又＝x ＋＋ .
∴ ∴ ∴x＋y＋z＝6.
答案：6
8.有下列命题：
①若 ∥ .则A.B.C.D四点共线；
即P∈AB.
答案：A
4．在下列条件中.使M与A.B.C一定共面的是( )
A. ＝3 －2 －
B. ＋＋＋＝0
C. ＋＋＝0
D. ＝－＋
解析：∵ ＋＋＝0.
∴ ＝－－ .
∴M与A.B.C必共面．
答案：C
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中. ＝ .若＝x ＋y( ＋ ).则( )
解析：＝－＝－＝－ ( － )＝＋ .又＝＋λ .所以λ＝ .
答案：
13．如图所示.四边形ABCD.ABEF都是平行四边形且不共面．M.N分别是AC.BF的中点．试判断与是否共线？
解析：因为M.N分别是AC.BF的中点.
四边形ABCD.ABEF都是平行四边形.
所以＝＋＋
＝＋＋

高二数学第3章空间向量与立体几何17空间向量的数乘运算课时作业新人教A

)
1
1
1
A． x＝ 3， y＝ 3， z＝ 3
1
1
1
B． x＝ 3， y＝ 3， z＝ 6
1
1
1
C． x＝ 3， y＝ 6， z＝ 3
1
1
1
D． x＝ 6， y＝ 3， z＝ 3
解析：因为点
N为 BC的中点，所以
O→N＝
1 (
2
O→B＋O→C)
．
又 O→M＝ 12O→A，所以 M→N＝ O→N－ O→M＝12( O→B＋ O→C) － 12O→A，
m， n， p 共面．
答案： D
2．在平行六面体 ABCD－ EFGH中，若 →AG＝ xA→B－ 2yB→C＋ 3zD→H，则 x＋ y＋ z 等于 (
)
725
A. 6
B. C. 3
6 D ．1
解析： →AG＝ A→B＋ A→D＋D→H，则
1
1
x＝ 1， y＝－ 2， z＝ 3，故选
C.
答案： C 3．如图，在平行六面体
A→A1＋
1 4
(
→AB＋
A→D)
．所以
1 x＝ 1， y＝4.
答案： D
1
2 12
7．化简
2( a＋ 2b－ 3c) ＋ 5
3a－
2b＋
c 3
－ 3( a－ 2b＋ c) ＝ __________.
59 7 答案： 6a＋ 2b－ 6c
8．已知 O是空间中任意一点， A， B， C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且 2xB→O＋ 3yC→O＋4zD→O，则 2x＋ 3y＋4z＝ ________.
答案： A 5．在下列条件中，使 M与 A，B， C一定共面的是 ( )

高中数学第三章 3.1.5空间向量运算的坐标表示课时作业含解析新人教A版选修2

第三章 3.1 3.1.5请同学们认真完成练案[22]A 级基础巩固一、选择题1．(山西太原2019－2020学年高二期末)在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,1)，B (3,2,1)，则线段AB 的中点的坐标是( B )A ．(1,1,1)B ．(2,1,1)C ．(1,1,2)D ．(1,2,3)[解析] ∵A (1,0,1)，B (3,2,1)，∴线段AB 的中点的坐标(1＋32，0＋22，1＋12)，即(2,1,1)．故选B.2．已知A (3，－2,4)、B (0,5，－1)，若OC →＝23AB →，则C 的坐标是( B )A ．(2，－143，103)B ．(－2，143，－103)C ．(2，－143，－103)D ．(－2，－143，103)[解析] ∵AB →＝(－3,7，－5)，∴OC →＝23(－3,7，－5)＝⎝⎛⎭⎫－2，143，－103. 故选B.3．(福建省南平市2019－2020学年高二期末)在空间中，已知AB →＝(1，－1,0)，DC →＝(－1,0,1)，则异面直线AB 与DC 所成角的大小为( B )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] cos 〈AB →，DC →〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·CD →AB →·CD →＝|－12|＝12，所以夹角为60°，故选B. 4．已知点A (1，－2,11)、B (4,2,3)、C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( C ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[解析] AB →＝(3,4，－8)、AC →＝(5,1，－7)、BC →＝(2，－3，1)，∴|AB →|＝32＋42＋82＝89， |AC →|＝52＋12＋72＝75， |BC →|＝22＋32＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝75＋14＝89＝|AB →|2. ∴△ABC 为直角三角形．5．已知a ＝(1,0,2)，b ＝(－1,1,0)，c ＝(－1，y,2)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数y 的值为( D )A ．－2B ．－1C ．0D ．2[解析] 由a ，b ，c 共面，存在实数m ，n ，使得c ＝m a ＋n b ，解得y ＝2. 6．已知a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，a ⊥b ，则x ＋y 的值是( A ) A ．－3或1 B ．3或－1 C ．－3D ．1[解析] ∵|a |＝6，∴|a |2＝36， ∴4＋16＋x 2＝36，∴x 2＝16，x ＝±4. 又∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4＋4y ＋2x ＝0， ∴x ＋2y ＋2＝0.当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1， ∴x ＋y ＝1或－3. 二、填空题7．若向量a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，则a ·(b ＋c )＝__3__. [解析] ∵b ＋c ＝(2,0,3)＋(0,2,2)＝(2,2,5)， ∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝4－6＋5＝3.8．已知a ＝(1，－2,1)，b ＝(3,0,5)，c ＝(0,0，λ)，若a ·(b －c )＝0，则λ＝__8__. [解析] b －c ＝(3,0,5－λ)，因为a ·(b －c )＝0，则3＋5－λ＝0，所以λ＝8. 三、解答题9．已知点A (2,3，－1)，B (8，－2,4)，C (3,0,5)，是否存在实数x ，使AB →与AB →＋λAC →垂直？ [解析] AB →＝(6，－5,5)，AC →＝(1，－3,6)， AB →＋λAC →＝(6＋λ，－5－3λ，5＋6λ)，∵AB →⊥(AB →＋λAC →)∴6(6＋λ)－5(－5－3λ)＋5(5＋6λ)＝0， ∴λ＝－8651，∴存在实数λ＝－8651，使AB →与AB →＋λAC →垂直．10．a ＝(5,3,1)，b ＝(－2，t ，－25)，若a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．[解析] ∵a ·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×(－25)＝3t －525，又∵a 与b 的夹角为钝角， ∴a ·b <0，即3t －525<0，∴t <5215. 若a 与b 的夹角为180°，则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)，即(5,3,1)＝λ(－2，t ，－25)．故⎩⎪⎨⎪⎧5＝λ(－2)，3＝λt ，1＝λ(－25)，即t ＝－65.故t 的取值范围是(－∞，－65)∪(－65，5215)．B 级素养提升一、选择题1．(2020·浙江湖州期末调研)如图，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过点D 的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系．若DB 1→的坐标为(3,4,5)，则A 1C →的坐标是( A )A ．(－3,4，－5)B ．(－3,5,4)C ．(－3,4,5)D ．(3，－4,5)2．已知向量a ＝(1,2,3)、b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°.3．(多选题)下列各组向量中共面为( ABC ) A ．a ＝(1,2,3)、b ＝(3,0,2)、c ＝(4,2,5)B ．a ＝(1,2，－1)、b ＝(0,2，－4)、c ＝(0，－1,2)C ．a ＝(1,1,0)、b ＝(1,0,1)、c ＝(0,1，－1)D ．a ＝(1,1,1)、b ＝(1,1,0)、c ＝(1,0,1) [解析] A 设a ＝x b ＋y c ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧1＝3x ＋4y2＝0·x ＋2y 3＝2x ＋5y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1.故存在实数x ＝－1，y ＝1使得a ＝－b ＋c ， ∴a ，b ，c 共面．B 中b ＝－2c ，C 中c ＝a －b .故BC 中三个向量共面．D 设a ＝x b ＋yc ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x ＝1y ＝1显然无解，故a 、b 、c 不共面．4．(多选题)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1，已知G与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的平方可以取的值为( BC )A ．110B ．15C ．12D ．1[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，G ⎝⎛⎭⎫12，0，1，F (x,0,0)，D (0，y,0)，且0<x <1，0<y <1.∴GD →＝⎝⎛⎭⎫－12，y ，－1，EF →＝⎝⎛⎭⎫x ，－1，－12， ∵GD ⊥EF ，∴x ＋2y －1＝0， ∴x ＝1－2y ，由0<x <1得，0<y <12；|DF |＝x 2＋y 2＝(1－2y )2＋y 2＝5y 2－4y ＋1＝5⎝⎛⎭⎫y －252＋15， ∵0＜y ＜12，∴当y ＝25时，线段DF 长度的最小值是15，又y ＝0时，线段DF 长度的最大值是1，而D 点不在AC 的端点，故y ≠0，∴|DF |<1；故线段DF 的长度的取值范围是：⎣⎡⎭⎫55，1.即线段DF 长度的平方的取值范围为⎣⎡⎭⎫15，1，故选BC. 二、填空题5．已知向量a ＝(3,5,1)，b ＝(2,2,3)，c ＝(4，－1，－3)，则向量2a －3b ＋4c 的坐标为__(16,0，－19)__.[解析] 2a －3b ＋4c ＝(6,10,2)－(6,6,9)＋(16，－4，－12)＝(16,0，－19)．6．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则向量a －b 与a 的夹角为__π4__；若k a ＋b 与2a－b 互相垂直，则k 的值是__75__.[解析] 因为a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则a －b ＝(2,1，－2)，所以cos 〈a －b ，a 〉＝(a －b )·a |a －b ||a |＝2＋1＋09·2＝22，又因为向量夹角的取值范围是[0，π]，所以〈a －b ，a 〉＝π4；因为k a ＋b 和2a －b 垂直，则有(k a ＋b )·(2a －b )＝0，即2k a 2＋(2－k )a ·b －b 2＝0，所以有2k ×2＋(2－k )(－1＋0＋0)－5＝0，解得k ＝75.三、解答题7．已知空间三点A (0,2,3)、B (－2,1,6)、C (1，－1,5)． (1)求以AB →、AC →为邻边的平行四边形面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标． [解析] (1)由题中条件可知AB →＝(－2，－1,3)、AC →＝(1，－3,2)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋614×14＝12，∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为邻边的平行四边形面积 S ＝|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)． 8．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,2)． (1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标；(2)问是否存在实数α、β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)，DC →＝(－x ，－y,2－z )，AB →＝(－1,1,0)．因为DB →∥AC →，DC →∥AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－x ，1－y ，－z )＝m (－1，0，2)(－x ，－y ，2－z )＝n (－1，1，0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1z ＝2，即D (－1,1,2)．(2)依题意AB →＝(－1,1,0)、AC →＝(－1,0,2)、BC →＝(0，－1，2)，假设存在实数α、β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，所以⎩⎪⎨⎪⎧α＝1α－β＝02β＝2，故存在α＝β＝1，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立．。

学年高中数学第三章空间向量与立体几何课时作业空间向量运算的坐标表示含解析新人教A版选修_

课时作业18 空间向量运算的坐标表示[根底稳固]一、选择题1．a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，那么b ＝( )A ．(2，－4,2)B ．(－2,4，－2)C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)2．A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，假设OC →＝25AB →，那么C 的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45，－85 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，－45，－85 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45，85 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，45，85 3．A 点的坐标是(－1，－2,6)，B 点的坐标是(1,2，－6)，O 为坐标原点，那么向量OA →与OB →的夹角是( )A ．0 B.π2C ．π D.3π24．向量a ＝(2，λ，3)，b ＝(－4,2，μ)，假设a 与b 共线，那么λ＋μ的值为( )A ．－7B ．7C.17 D ．－175．向量a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)．以下结论正确的选项是( )A ．a ∥b ，a ∥cB ．a ∥b ，a ⊥cC ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对二、填空题6．A (1,5，－2)，B (2,4,4)，C (a,3，b ＋2)，如果A 、B 、C 三点共线，那么a ＋b ＝________.7．向量a ＝(3,4,2)，b ＝(2，－1,0)，当λ1a ＋λ2b 与a 垂直时，λ1、λ2满足的关系式为________．8．假设向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)满足条件(c －a )·(2b )＝－2，那么x ＝________.三、解答题9．空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)．假设p ＝AB →，q ＝CD →，求以下各式的值：(1)p ＋2q ；(2)3p －q ；(3)(p －q )·(p ＋q )；(4)cos 〈p ，q 〉．10．a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)，分别求满足以下条件的实数k 的值：(1)(k a ＋b )∥(a －3b )；(2)(k a ＋b )⊥(a －3b )．[能力提升]11．a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，那么x 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ C ．(－∞，－2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ 12．向量a ＝(1,0，－1)，b ＝(1，－1,0)，单位向量n 满足n ⊥a ，n ⊥b ，那么n ＝________.13．如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．14．空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以AB 、AC 为边的平行四边形的面积；(2)假设|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a .。

【师说】高中数学第3章空间向量与立体几何 17空间向量的数乘运算课时作业新人教A版选修2-1

④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若 ∥ ，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错； ∥ 且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－ e2＝－4 ＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
解析：∵A，B，C，D四点共面，
∴ ＝m ＋n ＋p ，且m＋n＋p＝1.
由条件知＝(－2x) ＋(－3y) ＋(－4z) ，
∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1，
∴2x＋3y＋4z＝－1.
答案：－1
9．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．
解析：若ke1＋e2，e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以 ∴k＝±1.
A. ＝3 －2 －
B. ＋＋＋＝0
C. ＋＋＝0
D. ＝－＋
解面．
答案：C
6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x ＋y( ＋ )，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
从而得m＝，即＝，∴ ＝ .
14．如图，H为四棱锥P－ABCD的棱PC的三等分点，且PH＝ HC，点G在AH上，AG＝mAH.四边形ABCD为平行四边形，若G，B，P，D四点共面，求实数m的值．
解析：连接BD，BG.
∵ ＝－且＝，
∴ ＝－ .
∵ ＝＋，∴ ＝＋－＝－＋＋ .
解析：＝＋＝＋
＝＋ ( － )＝－ a＋ b＋c.

2020_2021学年高中数学课时作业17空间向量的正交分解及其坐标表示(含解析)人教A版选修2_1

课时作业17 空间向量的正交分解及其坐标表示[基础巩固]一、选择题1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A.OA →，OB →，OC →共线 B.OA →，OB →共线 C.OB →，OC →共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面3．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与A 1C →相等的向量是( )A ．－a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b ＋cD ．a ＋b －c4．已知平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO ′→＝b ，D 是四边行OABC 的对角线的交点，则( )A.O ′D →＝－a ＋b ＋cB.O ′D →＝－b －12a －12cC.O ′D →＝12a －b －12cD.O ′D →＝12a －b ＋12c5．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 二、填空题6．若向量a ，b ，c 为空间向量的正交基底，则向量a ，b ，c 的位置关系是________． 7．若向量i ，j ，k 为空间直角坐标系上对应x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位向量，且设a ＝2i －j ＋3k ，则向量a 的坐标为________________________．8．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上的一点，BE＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________________.三、解答题9．若{a ，b ，c }是空间一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．10．如图，在空间直角坐标系中，有长方体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA ＝6，OC ＝8，OO ′＝5.(1)写出点B ′的坐标，给出OB ′→关于i ，j ，k 的分解式；(2)求OC ′→的坐标．[能力提升]11．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →，则( )A.OG →＝38OA →＋18OB →＋38OC →B.OG →＝78OA →＋38OB →＋38OC →C.OG →＝OA →＋23OB →＋23OC →D.OG →＝18OA →＋38OB →＋38OC →12．如图在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝________. 13．如图所示，在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1中：(1)化简A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→，并在图中标出化简结果的向量．14．在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO →，A 1B →的坐标．课时作业17 空间向量的正交分解及其坐标表示1．解析：当三个非零向量a ，b ，c 共面时，a ，b ，c 不能构成空间的一个基底；当{a ，b ，c }为空间的一个基底时，必有a ，b ，c 都是非零向量．故命题p 是命题q 的必要不充分条件．答案：B2．解析：由OA →，OB →，OC →不能构成基底，知OA →，OB →，OC →三向量共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面．答案：D3．解析：A 1C →＝A 1C 1→＋C 1C →＝A 1B 1→＋A 1D 1→＋C 1C →＝A 1B 1→＋A 1D 1→－AA 1→＝a ＋b －c .故选D. 答案：D4．解析：O ′D →＝O ′O →＋OD →＝－OO ′→＋12(OA →＋OC →)＝12OA →－OO ′→＋12OC →＝12a －b ＋12c .故选D.答案：D5．解析：如图，由已知OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤OA →＋13AB →＋AC → ＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14OC →，从而x ＝y ＝z ＝14.故选A.答案：A6．解析：由正交基底的定义知，只有当向量a ，b ，c 两两垂直时，才能成为空间向量的正交基底，故向量a ，b ，c 的位置关系是两两垂直．答案：两两垂直7．解析：由向量的单位正交基底表示已知向量a 的坐标为(2，－1,3)．答案：(2，－1,3)8．解析：设AC 的中点为F ，则GE →＝GB →＋BE →＝23FB →＋34BD →＝－23×12(BC →＋BA →)＋34BD →＝－13(AC→(2)DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→＝DE →＋EF →＋FD →＋BB 1→＋B 1D 1→＝0＋BD 1→＝BD 1→. BD 1→在图中所示如下：14．解析：设与x 轴、y 轴、z 轴同向的单位向量分别为e 1，e 2，e 3.因为DO →＝－OD →＝－(OO 1→＋O 1D →)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤OO 1→＋12OA →＋OB →＝－OO 1→－12OA →－12OB →＝－4e 3－12×4e 1－12×2e 2＝－2e 1－e 2－4e 3，所以DO →＝(－2，－1，－4)．因为A 1B →＝OB →－OA 1→＝OB →－(OA →＋AA 1→)＝－OA →＋OB →－AA 1→＝－4e 1＋2e 2－4e 3，所以A 1B →＝(－4,2，－4)．。

人教新课标版数学高二选修2-1课时作业17空间向量运算的坐标表示

一、选择题1．(2013·济宁高二检测)已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝()A．(2，－4,2)B．(－2,4，－2)C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)【解析】b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．【答案】 A2．(2013·荆州高二检测)设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB 的中点M到点C的距离|CM|的值为()A.534 B.532 C.532 D.132【解析】AB的中点M(2，32，3)，∴CM→＝(2，12，3)，故|CM|＝|CM→|＝22＋(12)2＋32＝532.【答案】 C3．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为()A．－2 B．2C．3 D．－3【解析】∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.【答案】 A4．点A (n ，n －1,2n )，B (1，－n ，n )，则|AB →|的最小值是( ) A.12 B .22C ．2D ．不存在【解析】 ∵AB→＝(1－n,1－2n ，－n )， ∴|AB →|2＝(1－n )2＋(1－2n )2＋n 2＝6(n －12)2＋12，当n ＝12时，|AB →|的最小值为22. 【答案】 B5．(2013·临沂高二检测)已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 【解析】 a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．【答案】 A 二、填空题6．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．【解析】 ∵AB→＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)， ∴|AB→|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos AB →，AC →＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12， ∴AB→，AC →＝60°.【答案】 60°7．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(b,2μ－1,2)，且a ∥b ，则λ＋μ＝________.【解析】 ∵a ∥b ，a ＝tb . 于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6t ，0＝t (2μ－1)，2λ＝2t .解之可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ＝15，μ＝12.故λ＋μ＝15＋12＝710. 【答案】 7108．(2013·济南高二检测)若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB→，a ⊥AC →，则a ＝________. 【解析】设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB→＝0a ·AC →＝0|a |＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313y ＝413z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313y ＝－413z ＝－1213.【答案】 (313，413，1213)或(－313，－413，－1213) 三、解答题9．已知3a －2b ＝(－2,0,4)，c ＝(－2,1,2)，a ·c ＝2，|b |＝4，求cos 〈b ，c 〉．【解】 (3a －2b )·c ＝3a ·c －2b ·c ＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12，又a ·c ＝2，∴b ·c ＝－3，由c ＝(－2,1,2)知|c |＝3. ∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－34×3＝－14.10．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE→⊥b ？(O 为原点) 【解】 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)OE→＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，E 点坐标为(－65，－145，25)．图3－1－3211．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1用向量法解： (1)求A 1B 和B 1C 的夹角； (2)证明：A 1B ⊥AC 1； (3)求AC 1的长度．【解】 (1)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Dxyz .设棱长为1，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，∴A 1B →＝(0,1，－1)，B 1C →＝(－1,0，－1)， ∴A 1B →·B 1C →＝(0,1，－1)·(－1,0，－1) ＝0＋0＋1＝1. |A 1B →|＝0＋1＋1＝2， |B 1C →|＝1＋0＋1＝ 2.∴cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝A 1B →·B 1C →|A 1B →|·|B 1C →|＝12.∵〈A 1B →，B 1C →〉∈[0°，180°]， ∴A 1B 与B 1C 夹角为60°.(2)由(1)知A 1B →＝(0,1，－1)，AC 1→＝(－1,1,1)， ∴A 1B →·AC 1→＝0＋1－1＝0， ∴A 1B ⊥AC 1.(3)∵AC 1→＝(－1,1,1)， ∴|AC 1→|＝1＋1＋1＝ 3.即AC 1的长度为 3.。

空间向量运算的坐标表示高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1 1 + 2 2
12 + 22 12 + 22
平面
空间
Ԧ = (1 , 2 )， = (1 , 2 )
Ԧ = (1 , 2 , 3 )， = (1 , 2 , 3 )
加法
Ԧ + = (1 + 1 , 2 + 2 )
Ԧ + = (1 + 1 , 2 + 2 , 3 + 3 )
平面
特殊位置关系
空间
平行
≠ 0，Ԧ ∥ ⇔ Ԧ = ⇔ 1 2 − 2 1 = 0
垂直
⊥
Ԧ
⇔ Ԧ ∙ = 0 ⇔ 1 1 + 2 2 = 0
模长运算
Ԧ =
夹角运算
cos < ,
Ԧ >=
Ԧ ∙ Ԧ =
Ԧ ∙
Ԧ
=
12 + 22
1 1 + 2 2
减法
Ԧ − = (1 − 1 , 2 − 2 )
Ԧ − = (1 − 1 , 2 − 2 , 3 − 3 )
数乘
Ԧ = (1 , 2 )
Ԧ = (1 , 2 , 3 )
数量积运算
Ԧ ∙ = 1 1 + 2 2
Ԧ ∙ = 1 1 + 2 2 + 3 3
模长运算
夹角运算
平行
≠ 0，Ԧ ∥ ⇔ Ԧ = ⇔ 1 2 − 2 1 = 0
垂直
⊥
Ԧ
⇔ Ԧ ∙ = 0 ⇔ 1 1 + 2 2 = 0
平面
研究内容
线性运算
Ԧ = (1 , 2 )， = (1 , 2 )
加法
Ԧ + = (1 + 1 , 2 + 2 )

人教版高中数学选择性必修第一册1.3.2空间向量运算的坐标表示

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1．3.2 空间向量运算的坐标表示
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[学习目标] 1.掌握空间向量运算的坐标表示.2.掌握空间两向量平行、垂直条件的坐标表示，掌握空间向量的模和夹角坐标计算公式.3.掌握空间两点间距离公式．
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(8,0,4)．
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2．已知向量a＝(1,2，－1)，则下列向量与a垂直的是( B ) A．(0,0,1) B．(－2,1,0) C．(1,1,2) D．(4，－1,1) 解析：a·(－2,1,0)＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥(－2,1,0)．
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(1)求 AM 的长； (2)求 BE1 与 DF1 所成角的余弦值．分析：(1)利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点 A，M 的坐标，利用空间两点间的距离公式求出 AM 的长．(2)BE1 与 DF1 所成的角就是B→E1，D→F1所成的角或它的补角．因此，可以通过B→E1，D→F1的坐标运算得到结果．
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[例 1] (1)已知 a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝__－__4____.
(2)已知点 A(2，－5,3)，B(6，－4,5)，B→C＝(3，－2,5)．
求①点 C 的坐标；
②求C→A·B→C的值；
③若点 P 在线段 AC 上，且A→P＝12P→C，求点 P 的坐标． [答案] 见解析
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2019-2020学年高中数学课时分层作业17空间向量运算的坐标表示含解析新人教A版选修2

课时分层作业(十七) 空间向量运算的坐标表示(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a ＝(1，－2，1)，a －b ＝(－1，2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4，2) B ．(－2，4，－2) C ．(－2，0，－2)D ．(2，1，－3)A [b ＝a －(a －b )＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2)．]2．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B.532 C.532D.132C [∵AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3， ∴CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，3，故|CM |＝|CM →|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋32＝532.]3.已知a ＝(x ，1，2)，b ＝(1，2，－y )，且(2a ＋b )∥(－a ＋2b )，则( ) A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1B [2a ＋b ＝(2x ＋1，4，4－y )，－a ＋2b ＝(2－x ，3，－2y －2)，∵(2a ＋b )∥(－a ＋2b )，则存在非零实数λ，使得2a ＋b ＝λ(－a ＋2b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝（2－x ）λ，4＝3λ，4－y ＝（－2y －2）λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－4.]4．已知向量a ＝(－2，x ，2)，b ＝(2，1，2)，c ＝(4，－2，1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2，3，1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)，则cos 〈a ，b 〉＝( ) A.13B.16C.63D.66C [由已知，得a ＝(1，2，3)，b ＝(1，0，3)，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1＋0＋36×4＝63.]二、填空题6．已知a ＝(1，1，0)，b ＝(0，1，1)，c ＝(1，0，1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________．－1 [∵p ＝a －b ＝(1，0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0，3，1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 90° [a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．]8．已知点A (1，2，3)，B (2，1，2)，P (1，1，2)，O (0，0，0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 [设OQ→＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当QA →·QB →取最小值时，λ＝43，此时Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.]三、解答题9．如图，已知四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A 1A ＝6，且A 1A ⊥底面ABCD .点P ，Q 分别在棱DD 1，BC 上．若P 是DD 1的中点，证明：AB 1⊥PQ .分别以AB →，[解] 由题设知，AA 1，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，AD →，AA 1→为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B 1(3，0，6)，D (0，6，0)，D 1(0，3，6)．设Q (6，m ，0)，其中m ＝BQ ，0≤m ≤6.若P 是DD 1的中点，则P ⎝⎛⎭⎪⎫0，92，3，PQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫6，m －92，－3.又AB 1→＝(3，0，6)，于是AB 1→·PQ →＝18－18＝0，所以AB 1→⊥PQ →，即AB 1⊥PQ .10．已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，B 1(3，0，h )，C 1(0，1，h )，则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )，因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0，所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1，0)，所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66. [能力提升练]1．已知A (1，2，－1)，B (5，6，7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0，1，1) B ．(0，1，－3) C ．(－1，0，3)D ．(－1，0，－5)D [设直线AB 与平面xOz 交点的坐标是M (x ，0，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)．又AB →＝(4，4，8)，AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4λ－2＝4λz ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M 的坐标为(－1，0，－5)．故选D.]2．直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.22C [建立如图所示的空间直角坐标系C xyz ，设BC ＝2，则B (0，2，0)，A (2，0，0)，M (1，1，2)，N (1，0，2)，所以BM →＝(1，－1，2)，AN →＝(－1，0，2)，故BM 与AN 所成角θ的余弦值cos θ＝BM →·AN→|BM →|·|AN →|＝36×5＝3010.]3．如图，在三棱锥V ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，当∠VDC ＝60°时，异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．24[由题意，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (0，0，0)，D (1，1，0)，当∠VDC ＝60°时，在Rt △VCD 中，CD ＝2，VC ＝6，VD ＝22，∴V (0，0，6)，∴AC →＝(－2，0，0)，VD →＝(1，1，－6)，∴cos 〈AC →，VD →〉＝AC →·VD →|AC →||VD →|＝－24，∴异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24.]4．设向量a ＝(1，－2，2)，b ＝(－3，x ，4)，已知a 在b 上的投影为1，则x ＝________． 0 [∵a 在b 上的投影为1，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝|b |，∴－3－2x ＋8＝9＋x 2＋16，解得x ＝0或x ＝203(舍去)．]5．如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .求PA 的长．[解] 如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，分别以OB →，OC →，AP →为正交基底建立空间直角坐标系O xyz .因为OC ＝CD cos π3＝1，AC ＝4，所以AO ＝AC －OC ＝3，又OB ＝OD ＝CD sin π3＝3，故A (0，－3，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)．由PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，其中z >0.由F 为PC 的中点，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2，所以AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )．又AF ⊥PB ，所以AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，解得z ＝23或z ＝－23(舍去)．所以PA →＝(0，0，－23)，则|PA →|＝2 3.所以PA 的长为2 3.。

高中数学课时作业17向量数乘运算及其几何意义新人教A版必修4

∴存在唯一实数λ，使＝λ ，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，∴
∴km＝1，即km－1＝0.
答案：B
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝()
A. a＋bB. a＋b
C．a＋ bD．a＋ b
解析：由已知条件可知BE＝3DE，所以DF＝ AB，所以＝＋＝＋＝ a＋b.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0所以x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．已知＝＋ .设＝λ ，那么实数λ的值是________．
答案：－4
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．计算
(1) (a＋2b)＋ (3a－2b)－ (a－b)；
(2) － .
解析：(1)原式＝ a＋ b
＝ a＋ b.
(2)原式＝－
＝ a＋ b－ a－ b＝0.
10．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ ＋(1－λ) (λ∈R，λ≠1，λ≠0)．
答案：D
12．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m ＋n (m，n∈R)，则m－n＝________.
解析：直接利用向量共线定理，得＝3 ，则＝＋＝＋3 ＝＋3( － )＝＋3 －3 ，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知a，b是两个不共线的向量，＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若A，B，C三点共线，则()

2019-2020学年高中数学课时作业17空间向量运算的坐标表示

课时作业17 空间向量运算的坐标表示|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝(0,1,1)，b ＝(－1，－1,0)，则两向量的夹角为( ) A ．60° B ．120° C ．－60° D．240°解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝0－1＋00＋1＋1·(－1)2＋(－1)2＋0＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°. 答案：B2．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：因为a 与b 共线，所以2x 1＝1－2y ＝39，所以x ＝16，y ＝－32.答案：C3．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)， ∴|AB →|＝32＋42＋82＝89， |AC →|＝52＋12＋72＝75， |BC →|＝22＋32＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝75＋14＝89＝|AB →|2. ∴△ABC 为直角三角形．答案：C4．在空间直角坐标系中，若向量a ＝(－2,1,3)，b ＝(1，－1,1)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－32，则它们之间的关系是( )A ．a⊥b 且a∥cB ．a⊥b 且a⊥cC ．a∥b 且a⊥cD ．a∥b 且a∥c解析：因为a ＝－2c ，b ·c ＝1×(－2)＋(－1)×1＋1×3＝0，所以a ∥c 且a ⊥b .故选A. 答案：A5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B.66 C ．－66D ．± 6 解析：∵OA →＝(1,0,0)，OB →＝(0，－1,1)，∴OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ，|OA →＋λOB →|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB →|＝ 2. ∴cos120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12， ∴λ2＝16.又2λ2·1＋2λ2<0，∴λ＝－66. 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)，a ＝(x ，y,1)，若向量a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 的坐标为________．解析：AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，由a ⊥AB →，a ⊥AC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x －y ＋3＝0，x －3y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故a ＝(1,1,1)．答案：(1,1,1)7．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )．则|b －a |的最小值是________．解析：由已知，得b －a ＝(2，t ，t )－(1－t,1－t ，t )＝(1＋t,2t －1,0)．∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |的最小值为355.答案：3558．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________．解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，设p ＝AB →，q ＝CD →.求：(1)p ＋2q ；(2)3p －q ；(3)(p －q )·(p ＋q )．解析：因为A (－1,2,1)，B (1,3,4)，C (0，－1,4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB →＝(2,1,3)，q ＝CD →＝(2,0，－6)．(1)p ＋2q ＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)． (2)3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)． (3)(p －q )·(p ＋q )＝p 2－q 2＝|p |2－|q |2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26. 10．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)． (1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标；(2)问是否存在实数α，β使得AC →＝αAB →＋βBC →成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解析：(1)设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )， AC →＝(－1,0,2)，DC →＝(－x ，－y,2－z )，AB →＝(－1,1,0)．因为DB →∥AC →，DC →∥AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－x ，1－y ，－z )＝m (－1，0，2)，(－x ，－y ，2－z )＝n (－1，1，0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2.即D (－1,1,2)．(2)依题意AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,2)，BC →＝(0，－1,2)．假设存在实数α，β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，所以⎩⎪⎨⎪⎧α＝1，α－β＝0，2β＝2，故存在α＝β＝1，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立．|能力提升|(20分钟，40分)11．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( ) A.87 B ．－87 C ．19 D.1914解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)， |AB →|2＝(x －1)2＋(2x －3)2＋9(x －1)2＝14x 2－32x ＋19.当x ＝87时，|AB →|2最小，|AB →|也最小．故选A.答案：A12．(同济大学自主招生改编)已知棱长为a 的正四面体ABCD ，如图，建立空间直角坐标系，O 为A 在底面上的射影，M ，N 分别为线段AB ，AD 的中点，则M 的坐标是________，CN 与DM 所成角的余弦值为________．解析：由正四面体棱长为a ，知△BCD 的外接圆半径为33a ， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，－36a ，0，又正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，63a ，∴AB 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ，－312a ，66a .又D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33a ，0， ∴DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ，－5312a ，66a ，同理可得CN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，33a ，66a .∴DM →与CN →夹角的余弦值为cos 〈DM →，CN →〉＝DM →·CN →|DM →||CN →|＝－16.∴异面直线CN 与DM 所成角的余弦值为16.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ，－312a ，66a 1613．空间三点A (1,2,3)，B (2，－1,5)，C (3,2，－5)，试求： (1)△ABC 的面积； (2)△ABC 的AB 边上的高．解析：(1)因为AB →＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)， AC →＝(2,0，－8)，AB →·AC →＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，且|AB →|＝14，|AC →|＝217，所以cos 〈AB →，AC →〉＝－1414×217＝－7238，sin 〈AB →，AC →〉＝2734， S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝1214×217× 2734＝321. (2)|AB →|＝14，设AB 边上的高为h ，则12|AB |·h ＝S △ABC ＝321， ∴h ＝3 6.14．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点．(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．解析：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，D 为坐标原点，则有E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0，H ⎝⎛⎭⎪⎫0，78，12.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0－⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B 1C →＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．∴EF →·B 1C →＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0， ∴EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C .(2)∵C 1G ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1. ∴|C 1G →|＝174.又EF →·C 1G →＝12×0＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝38，|EF →|＝32，∴cos〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117.即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为517. (3)∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12，∴FH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，12， ∴|FH →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫382＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122 ＝418.。

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课时训练17 空间向量运算的坐标表示一、综合题1.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),a,b的夹角的余弦值为,则λ的值为( ).A.2B.-2C.-2或D.2或-答案:C解析:∵|a|=,|b|=3,a·b=6-λ,∴cos<a,b>=,解得λ=-2或.2.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离|CM|的值为( ).A. B. C. D.答案:C解析:AB的中点M,又C(0,1,0),所以,故M到C的距离|CM|=||=.3.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点.若=(4,3),=(1,5),则等于( ).A.(-6,21)B.(-2,7)C.(6,-21)D.(2,-7)答案:A解析:=2=2()=(-6,4),=(-2,7),=3=(-6,21).4.已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若a⊥(b-c),则x的值为( ).A.-2B.2C.3D.-3答案:A解析:∵b-c=(2,1,2)-(4,-2,1)=(-2,3,1),a·(b-c)=(-2,x,2)·(-2,3,1)=4+3x+2=0,∴x=-2.5.已知A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),,则C点的坐标是( ).A. B.C. D.答案:A解析:∵=(-3,-2,-4),∴(-3,-2,-4)=,即C.6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点,则异面直线C 1D与A1C所成角的余弦值为( ).A. B. C. D. 答案:C解析:建系如图,则C1(0,1,2),D(1,0,1),A1(0,0,2),C(0,1,0).∴=(1,-1,-1),=(0,1,-2).∴cos<>=.7.若a=(x,3,1),b=(2,y,4),且a=z b,则c=(x,y,z)=.答案:解析:由a=z b,得所以8.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积;(2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a.解:(1)=(-2,-1,3),=(1,-3,2),cosθ=,∴sinθ=.∴S平行四边形=||||sinθ=7.∴以AB,AC为边的平行四边形的面积为7.(2)设a=(x,y,z).由题意,得解得∴a=(1,1,1)或(-1,-1,-1).9.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若,求点D的坐标;(2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.解:(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).因为,所以解得即D(-1,1,2).(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2),假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),所以故存在α=β=1,使得=α+β成立.10.如图所示,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,G是DD1,BD,BB1的中点.(1)求证:EF⊥CF;(2)求所成角的余弦值;(3)求CE的长.(1)解:建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz,则D(0,0,0),E,C(0,1,0),F,G.∴.∴·×0=0.∴,即EF⊥CF.(2)解:∵·×1+×0+,||=,||=,∴cos<>=.(3)解:||=.。

教育最新K122018年秋高中数学课时分层作业17 空间向量运算的坐标表示新人教A版选修2-1

课时分层作业(十七) 空间向量运算的坐标表示(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)A [b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．]2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( ) A ．534 B ．532C ．532D ．132C [∵AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3， ∴CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，3，故|CM |＝|CM →|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋32＝532.]3．已知a ＝(x,1,2)，b ＝(1,2，－y )，且(2a ＋b )∥(－a ＋2b )，则( )【导学号：46342157】A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1B [2a ＋b ＝(2x ＋1,4,4－y )，－a ＋2b ＝(2－x,3，－2y －2)，∵(2a ＋b )∥(－a ＋2b )，则存在非零实数λ，使得2a ＋b ＝λ(－a ＋2b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝(2－x )λ4＝3λ4－y ＝(－2y －2)λ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝－4.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)，则cos 〈a ，b 〉＝( ) A ．13 B ．16 C ．63D ．66C [由已知，得a ＝(1，2，3)，b ＝(1,0，3)，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1＋0＋36×4＝63.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________.【导学号：46342158】90° [a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．]8．已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0,0,0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 [设OQ→＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当QA →·QB →取最小值时，λ＝43，此时Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.]三、解答题9．如图3140，已知四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A 1A ＝6，且A 1A ⊥底面ABCD ．点P ，Q 分别在棱DD 1，BC 上．若P 是DD 1的中点，证明：AB 1⊥PQ .图3140[解] 由题设知，AA 1，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，分别以AB →，AD →，AA 1→为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B 1(3,0,6)，D (0,6,0)，D 1(0,3,6)．设Q (6，m,0)，其中m ＝BQ,0≤m ≤6.若P 是DD 1的中点，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，3，PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6，m －92，－3.又AB 1→＝(3,0,6)，于是AB 1→·PQ→＝18－18＝0，所以AB 1→⊥PQ →，即AB 1⊥PQ .10．已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图3141所示的空间直角坐标系．图3141(1)求三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值.【导学号：46342159】[解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )，则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )，因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0，所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)，所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66. [能力提升练]1．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3) C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xOz 交点的坐标是M (x,0，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)．又AB→＝(4,4,8)，AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4λ－2＝4λz ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M 的坐标为(－1,0，－5)．故选D ．]2．直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C ．3010D ．22C [建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，设BC ＝2，则B (0,2,0)，A (2,0,0)，M (1,1,2)，N (1,0,2)，所以BM →＝(1，－1,2)，AN →＝(－1,0,2)，故BM 与AN 所成角θ的余弦值cos θ＝BM →·AN→|BM →|·|AN →|＝36×5＝3010.]3．如图3142，在三棱锥V ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，当∠VDC ＝60°时，异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．图314224[由题意，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,0)，D (1,1,0)，当∠VDC ＝60°时，在Rt△VCD 中，CD ＝2，VC ＝6，VD ＝22，∴V (0,0，6)，∴AC →＝(－2,0,0)，VD →＝(1,1，－6)，∴cos〈AC →，VD →〉＝AC →·VD →|AC →||VD →|＝－24，∴异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24.]4．设向量a ＝(1，－2,2)，b ＝(－3，x,4)，已知a 在b 上的投影为1，则x ＝________. 0 [∵a 在b 上的投影为1，∴|a |·cos〈a ，b 〉＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉＝|b |，∴－3－2x ＋8＝9＋x 2＋16，解得x ＝0或x ＝203(舍去)．]5．如图3143，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB ．求PA 的长. 【导学号：46342160】图3143[解] 如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD ．以O 为坐标原点，分别以OB →，OC →，AP →为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz .因为OC ＝CD cos π3＝1，AC ＝4，所以AO ＝AC －OC ＝3，又OB ＝OD ＝CD sin π3＝3，故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)．由PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，其中z >0.由F 为PC 的中点，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2，所以AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )．又AF ⊥PB ，所以AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，解得z ＝23或z ＝－23(舍去)．所以PA →＝(0,0，－23)，则|PA →|＝2 3.所以PA 的长为2 3.。

高考数学总复习课时作业17空间向量及其运算理新人教B版

A 级1．若 a ＝ (2 x, 1,3) ， b ＝(1 ，－ 2y, 9) ，假如 a 与 b 为共线向量，则 (1 1A ． x ＝1， y ＝ 1B ． x ＝ 2， y ＝－ 21 31 3 C ． x ＝， y ＝－2D ． x ＝－， y ＝26 62．已知 O ， A ，B ， C 为空间四个点，又 → → →OA ，OB ， OC 为空间的一组基底，则 A ． O ，A ， B ， C 四点不共线B ． O ，A ， B ，C 四点共面，但不共线C ． O ，A ， B ， C 四点中随意三点不共线D ． O ，A ， B ， C 四点不共面)( )3．空间直角坐标系中，A (1,2,3) ，B ( －2，－ 1,6) ，C (3,2,1) ，D (4,3,0) ，则直线 AB与 CD 的地点关系是 ()A ．垂直B ．平行C ．异面D ．订交但不垂直4．已知＝ (2 ，－ 1,3) ，＝( －1,4 ，－ 2) ，＝ (7,5 ， λ) ，若 a ，，三个向量共面，abcb c则实数 λ 等于 ()6263A. 7B ． 764 65C. 7D ． 75．有以下命题：①假如向量 a ，b 与任何向量不可以组成空间向量的一个基底，那么 a ，b 的关系是不共线；② O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量→ → → O ，A ， B ，OA ，OB ，OC 不组成空间的一个基底，那么点C 必定共面；③已知向量 a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量 a ＋ b ，a － b ，c 也是空间的一个基底．其中正确的命题是 ()A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中， AB ＝ AA 1＝ 2， BC ＝3， M 为 AC 1与 CA 1的交点，则 M 点的坐标为 ________．7．已知点 (1,2,1) ， ( － 1,3,4) ， (1,1,1)，若→＝2→，则 |→| 的值是 ________．A B D AP PB PD8．已知O是空间中随意一点，A，B，C， D四点知足随意三点不共线，但四点共面，且→→→→OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO，则2x＋3y＋4z＝________.9．在空间四边形→→ → →→ →ABCD中， AB· CD＋ BC· AD＋ CA· BD＝________.10．已知向量a＝ (1 ，－ 3,2) ，b＝( － 2,1,1)，点 A(－3，－1，4)， B(－2，－2,2)．(1)求|2 a＋b| ；→(2) 在直线AB上能否存在一点E，使得 OE⊥ b.( O为原点)11.(2012 ·延安调研) 如图，在底面是矩形的四棱锥P－ ABCD中， PA⊥底面 ABCD， E，F 分别是 PC， PD的中点， PA＝ AB＝1， BC＝2.(1)求证： EF∥平面 PAB；(2)求证：平面 PAD⊥平面 PDC.B级1．在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：→→→；②→→→① ( A1D1－A1A)－ AB( B C＋BB1)－ D1C1；→→→→→→③ ( AD－AB)－ 2DD1；④ ( B1D1＋A1A) ＋DD1.此中可以化简为向量→) BD1的是(A．①②B．②③C．③④D．①④π2.如图平行六面体 ABCD－ A′ B′C′ D′中，∠ A′ AB＝∠ A′ AD，∠ BAD＝3，AB＝AD＝a， AA′＝ b，则对角面BB′D′ D的面积为________．3.如图，在棱长为 a 的正方体 OABC－ O1A1B1C1中， E， F 分别是棱 AB，BC上的动点，且AE＝ BF＝ x，此中0≤ x≤ a，以 O为原点成立空间直角坐标系O－ xyz.(1) 写出点 E ，F 的坐标；(2) 求证： A 1F ⊥ C 1E ；→1 →→(3) 若 A ， E ， F ， C 四点共面，求证： A F ＝ AC ＋ A E.1111112详解答案课时作业 ( 十七 )A 级1＝ 2λx1x ＝ 61．C＝ (21,3) 与＝(1 ，－ 2 9) 共线，∴－ 2 ＝，.∵ ∴a x,b y,y ＝－39＝ λ322．D →→ →→ → →OA ， OB ， OC 为空间的一组基底，因此 OA ，OB ，OC 不共面，但 A ，B ，C 三种状况都→ → →有可能使 OA ， OB ， OC 共面．3． B → ( －3，－ 3,3) → → →由题意得 AB ＝， CD ＝ (1,1 ，－ 1) ，∴ AB ＝－ 3CD ， → → → → AB ∥ CD . ∴ AB 与CD 共线，又 AB 与 CD 没有公共点．∴ 4． D 因为，， c 三向量共面．因此存在实数，使得 c ＝ ma ＋ b ，a b m n n7＝ 2m － n331765即有 5＝－ m ＋ 4n ，λ应选D. 解得＝，＝，＝λ＝3 －2m 7n77.mn5．C 关于①，“假如向量 a ，b 与任何向量不可以组成空间向量的一个基底，那么 a ，b的关系必定是共线”，因此①错误，②③正确．6．分析：由长方体的几何性质得，M 为 AC 的中点，1在所给的坐标系中， A (0,0,0) ， C 1(2,3,2) ，∴中点的坐标为31，，1.M 2答案：31，，127．分析：设 (，， )，则→＝(x － 1， y － 2，－1) ，P x y z AP z→PB ＝ ( － 1－ x, 3－ y, 4－ z ) ，3由 →＝2→知＝－ 1，＝8，＝ 3，故 P － 1 ， 8 ， 3 .AP PB x3 y 3 z3 3→ 77由两点间距离公式可得 | PD | ＝ 3.答案：7738．分析：∵A ， B ， C ，D 四点共面，→ →→ →∴ OA ＝mOB ＋ nOC ＋ pOD ，且 m ＋ n ＋ p ＝ 1.→→→ →由条件知 OA ＝－ 2xOB － 3yOC － 4zOD ，∴ ( －2x ) ＋ ( －3y ) ＋ ( －4z ) ＝ 1. ∴ 2x ＋ 3y ＋ 4z ＝－ 1.答案：－ 1→ → →9．分析：设AB ＝ b ， AC ＝ c ， A D ＝ d ，则 → ＝－， →＝－， →＝－ b .CD d c BD d b BC c原式＝ b ·(d －c ) ＋ d ·(c － b ) － c ·(d － b ) ＝ 0.答案：10．分析： (1) ∵ a ＝ (1 ，－ 3,2) ， b ＝ ( －2,1,1) ，∴ 2a ＋b ＝ (0 ，－ 5,5) ，∴ |2 a ＋ b | ＝ 2＋－ 5220 ＋5 ＝5 2.→ →(2) 假定存在点 E ，其坐标为 E ( x ，y ， z ) ，则 AE ＝ λ AB ，即 ( x ＋3， y ＋ 1， z － 4) ＝λ(1 ，－ 1，－ 2) ，x ＝λ－ 3∴ y ＝－ λ－ 1 ，∴ E ( λ－ 3，－ λ－ 1 ，－ 2λ＋ 4) ，z ＝－ 2λ＋ 4→，又∵ b ＝ ( － 2,1,1) →∴ OE ＝( λ－ 3，－ λ－ 1，－ 2λ＋4) ， OE ⊥ b ，→∴ OE ·b ＝－ 2( λ－ 3) ＋( － λ － 1) ＋ ( － 2λ＋ 4) ＝－ 5λ＋ 9＝ 0，9614 2∴ λ＝5，∴ E － 5，－ 5 ， 5，6 14 2 →∴在直线 AB 上存在点 E－，－5，，使 OE ⊥ b .55 11. 证明： (1) 以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴， AP 所在直线为z 轴，成立如下图的空间直角坐标系，则A (0,0,0) ，B (1 ， 0,0) ，C (1,2,0)， D (0,2,0)，P (0,0,1) ，11 1∴ E 2， 1，2 ，F 0，1，2 ，→1→→→→→EF ＝－，0，0，PB ＝ (1 ,0，－ 1) ，PD ＝ (0,2，－ 1) ，AP ＝ (0,0,1)，AD ＝ (0,2,0)，DC2→＝ (1,0,0) ， AB ＝ (1,0,0)．→1→ → →∵ EF ＝－ 2AB ，∴ EF ∥ AB ，即 EF ∥ AB ，又 AB ? 平面 PAB ， EF ?平面 PAB ，∴ EF ∥平面 PAB .(2) ∵→ · → ＝(0,0,1) ·(1,0,0) ＝ 0， → · →＝(0,2,0) · (1,0,0) ＝ 0，AP DCAD DC→ → → →∴ AP ⊥DC ， AD ⊥DC ，即 AP ⊥DC ， AD ⊥ DC .又 AP ∩ AD ＝ A ，∴ DC ⊥平面 PAD .∵ DC ? 平面 PDC ，∴平面 PAD ⊥平面 PDC .B 级1．A ①(→1 1－→1) －→＝ →1－ → ＝ →1；A D AAAB AD AB BD② →→→→→→( BC ＋ BB) －D C ＝ BC － DC ＝BD ；1 1 111 11③→→→ →→→(AD －AB)－2DD ＝ BD －2DD ≠ BD ；111④→ →→→→→→(11＋1) ＋ 1＝ 1 ＋1＝1 1≠1，BD AA DD BD DD BDBD综上①②切合题意．2．分析：→ → →∵BD ＝ AD －AB ，∠ A ′ AB ＝∠ A ′ AD ， AB ＝ AD ＝ a ， AA ′＝ b ，∴ → → ＝ → → →(cos ∠ ′－ cos ∠ ′ ) ＝0， ′· ′·( － ) ＝AA BD AAAD AB abA AD A AB∴ AA ′⊥ BD ，∵ AA ′∥ DD ′，∴ DD ′⊥ BD ，因此对角面 BB ′ D ′ D 是矩形，它的面积是 ab .答案：ab3．分析：(1) E ( a ， x, 0) ， F ( a － x ， a, 0) ．(2) 证明：∵ A 1( a, 0， a ) 、C 1(0 ， a ， a ) ，→→∴ A F ＝( － x ， a ，－ a) ，CE ＝ ( a ， x － a ，－ a) ，11→→－ ) ＋2∴ 1·1＝－＋(xa ＝ 0，AF CEaxa a→→∴A F ⊥CE ，∴ A F ⊥ CE.1 1115(3) 证明：∵1，，， 1 四点共面，∴→1、→1 1、→1 共面．A E F C A E A C A F →→( λ，λ ) ，选 A E与 A C为一组基向量，则存在唯一实数对11112→→→使 A F＝λ A C＋λ A E，111121即 ( －x，a，－a) ＝λ1( －a，a, 0) ＋λ2(0 ，x，－a)＝( －aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2) ，－x＝－ aλ1∴ a＝aλ1＋ xλ2，解得λ1λ2＝1.于是→1→→1＝，1＝11＋ 1 2 A F2AC AE.－ a＝－ aλ26。