4.4 探索三角形相似的条件(4)
北师大版数学九年级上册4.4探索三角形相似的条件(第四课时)教学设计
在本节课中，学生将通过以下过程与方法，培养几何思维和解决问题的能力：
1.通过观察、分析、猜想、验证等步骤，发现并理解三角形相似的判定方法；
2.学会运用画图、计算、逻辑推理等手段，解决与三角形相似相关的问题；
3.通过小组合作、讨论交流，提高合作能力和解决问题的效率。
（三）情感态度与价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ观
1.注重引导学生从具体实例中抽象出相似三角形的判定方法，培养学生的逻辑思维能力；
2.鼓励学生运用所学知识解决实际问题，提高学生将问题转化为数学模型的能力；
3.在小组合作学习中，关注每个学生的参与程度，引导他们独立思考，提高合作学习效果。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.理解并掌握三角形相似的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL；
2.汇报交流：各小组汇报讨论成果，分享判定方法在实际问题中的应用经验。
3.互动提问：学生针对其他小组的汇报提出问题，共同讨论、解决问题，提高学生的合作能力和批判性思维。
（四）课堂练习
1.设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识；
2.教师巡回指导，解答学生疑问，关注学生解题思路和方法；
3.学生互相交流解题过程，分享解题心得，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.引导学生总结相似三角形的判定方法，强化记忆；
2.让学生回顾本节课所学内容，总结自己在解决问题时的经验教训；
3.强调相似三角形判定方法在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣；
4.鼓励学生课后继续探究相似三角形的相关问题，培养自主学习能力。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生的几何思维能力和问题解决能力，特布置以下作业：
北师大版九年级数学上册说课稿：4.4探索三角形相似的条件
北师大版九年级数学上册说课稿：4.4 探索三角形相似的条件一. 教材分析《北师大版九年级数学上册》第四单元“相似三角形”的第四节“探索三角形相似的条件”是本单元的核心内容。
本节课主要让学生通过探究、归纳出三角形相似的判定方法，理解相似三角形的性质，为后续解决实际问题和进行几何证明打下基础。
教材从学生已知的图形出发，引导学生观察、思考、归纳，从而得出三角形相似的条件。
首先，通过两组三角形的图片，让学生直观地感受相似三角形的形状。
然后，引导学生通过测量三角形对应边的长度，比较对应角的大小，从而发现相似三角形的规律。
最后，通过几何图形的变换，让学生理解相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对三角形的相关概念有一定的了解。
但是，对于三角形相似的判定方法和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会引导学生从直观的图片出发，通过实际操作、观察、思考，逐步理解和掌握相似三角形的判定方法和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握三角形相似的判定方法，理解相似三角形的性质。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、归纳等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形相似的判定方法，相似三角形的性质。
2.教学难点：对相似三角形性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生主动参与、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过两组相似三角形的图片，让学生直观地感受相似三角形的形状，引发学生的兴趣。
2.探究：引导学生观察、测量三角形对应边的长度，比较对应角的大小，从而发现相似三角形的规律。
3.归纳：学生进行小组讨论，归纳出三角形相似的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
北师大版九年级数学上册 探索三角形相似的条件
BC B1C1
∴ △ ABC ∽ △A1B1C1
B
C
A1
B1
C1
总结归纳
判定三角形相似的方法： 如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别
算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最 长边与最长边对应，最短边与最短边对应 （注意：大对大，小对小，中对中）
练一练
1.如图,小方格的边长为1 ，△ ABC与△ A′B′C′相似吗?
A．∠BAD=∠C
B．∠B DA =∠B A C
C． BA BC BD BA
D． BA AC BD AD
【答案】D
【详解】解：A.∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ BAD∽△BCA，故本选项正确，不符合题意；
B.∵∠BDA=∠BAC，∠B＝∠B，
∴△ BAD∽△BCA，故本选项正确，不符合题意；
AB AD
BC DE
AC AE
.
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
A
解：∵
AB AD
BC DE
AC AE
,
B
∴△ABC∽△ADE ∴∠BAC=∠DAE.
D
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
C E
知识点四 黄金分割
A
C
B
AB AC
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即 x2 + x – 1 = 0.
解方程得：x1=
-1 2
5,
黄金比
AC BC =
AB AC
x2=
北师大版九年级数学上册4
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的判定条件，特别ຫໍສະໝຸດ AAA、AA和SAS三种情况的运用。
2.能够运用相似三角形的性质解决实际问题，如求三角形中未知线段的长度、证明线段的比例关系等。
3.培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提高他们解决几何问题的策略和方法。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：通过引入生活实例，让学生感受到相似三角形在现实生活中的广泛应用，激发他们的学习兴趣。
4.小组合作探究题：以小组为单位，探讨相似三角形在实际问题中的应用，并撰写一篇小报告，内容包括：问题背景、解决方法、解题过程和结论。
作业布置要求：
1.学生在完成作业时，要注重解题思路的清晰性和逻辑性，力求简洁明了。
2.对于实际应用题，鼓励学生运用所学知识，结合生活经验，进行创新性解答。
3.小组合作探究题要求组内成员共同参与，分工合作，充分发挥团队协作精神。
1.充分发挥学生的主体作用，引导他们通过自主探索、合作交流，发现相似三角形的判定条件。
2.注重培养学生的直观想象力和逻辑推理能力，帮助他们将实际问题转化为数学问题，运用相似三角形的性质解决问题。
3.针对不同学生的学习水平，提供有针对性的指导，使他们在掌握基础知识的同时，提高解决实际问题的能力。
4.关注学生的情感态度，激发他们对数学学习的兴趣，培养他们勇于挑战、克服困难的精神。
2.培养学生的合作意识，让他们在团队中学会倾听、交流、互助，共同解决问题。
3.培养学生正确的数学观念，使他们认识到数学知识在实际生活中的重要性和实用性。
4.培养学生的审美情趣，让他们在探索相似三角形的过程中，发现数学图形的美。
教学设计：
1.导入：通过实际生活中的实例，如相似图形的设计、建筑物的布局等，引出相似三角形的定义及性质，激发学生的兴趣。
北师大版九年级上册数学《探索三角形相似的条件》图形的相似说课课件教学(第4课时)
练一练
如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：
△ADE∽△EFC.
A
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC.
D
E
B
F
C
例2：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
证明：
∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，
∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，
3．易错警示： (1)表示两个三角形相似时，要注意对应性，即要把
对应顶点写在对应位置上． (2)求两个相似三角形的相似比，要注意顺序性．若
当△ABC∽△A′B′C′时， AB BC AC k,
AB BC AC
则当△A′B′C′∽△ABC时，
A'B' B'C ' A'C ' 1 . AB BC AC k
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
A
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC.
D
E
B
C
A '
B' C'
归纳： 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言： ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
解：点 E 是线段 AB 的黄金分割点． 理由如下：如图，连接 EC， ∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴EA＝EC. ∵AE＝BC， ∴EC＝BC，∴∠BEC＝∠B.
北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件教学设计
-学生在完成练习后，对照答案进行自我检查，找出错误原因，及时修正。
-教师组织课堂小结，让学生复述相似三角形的判定方法和应用，巩固所学知识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生的审美观念，让学生体会相似三角形在几何图形中的美。
-教师引导学生通过几何画板或其他教具，观察相似三角形的特征，并总结规律。
-学生在小组内分享观察结果，讨论相似三角形的判定条件。
2.理论与实际结合：结合具体实例，让学生将相似三角形的性质应用于解决实际问题，提高学生解决问题的能力。
-教师设计具有实际背景的问题，指导学生运用相似三角形的性质进行求解。
-学生通过自主探究和小组合作，解决实际问题，体验数学知识在生活中的应用。
-教师引导学生发现相似三角形在自然界和生活中的应用，如建筑、艺术等，激发学生对几何美的追求。
2.培养学生合作交流的意识，增强团队协作能力。
-在小组合作活动中，学生学会倾听他人意见，表达自己的观点，共同解决问题。
3.增强学生的自信心，激发学习数学的兴趣。
-教师及时给予学生鼓励和肯定，让学生在解决实际问题的过程中感受到成功的喜悦，提高学习积极性。
2.提出问题：向学生提问：“你们觉得这些图形之间有什么联系？”、“如何判断两个三角形是否相似？”等问题，激发学生的思考，为新课的学习做好铺垫。
3.回顾相关知识：简要回顾全等三角形的判定方法，为学生学习相似三角形的判定方法打下基础。
（二）讲授新知
在这一环节，我将系统地讲解相似三角形的定义、判定方法及其应用：
-设计开放性问题和实际应用题，评价学生对相似三角形知识掌握的深度和广度。
北师版九年级数学上册作业课件(BS) 第四章 图形的相似 探索三角形相似的条件 第4课时 黄金分割
CD BC
，即AADC
＝ACDD
，∴AD2＝AC·CD，∴点 D 是线段 AC 的黄金分
割点
(2)∵点 D 是线段 AC 的黄金分割点，且 AD＞CD，∴AD＝
5－1 2 AC.
又∵AC＝2，∴AD＝ 5 －1
8．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分 ∠ABC交AC于点D. (1)求证：点D是线段AC的黄金分割点； (2)求线段AD的长．
解：(1)证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又 ∵BD 平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°＝∠A，∴AD＝BD，∠
黄金分割的应用与画法
3．(3 分)主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如 图，若舞台 AB 的长为 12 m，一名主持人现在站在 A 处，要想主持效 果最理想，则她至少要走( A ) A．(18－6 5 ) m B．( 18＋6 5 ) m C．(6 5 ＋6) m D．(6 5 －6) m
4．(4分)如图是一种贝壳的示意图，点C分线段AB近似于黄金分割．已 知AB＝10 cm，则AC的长约为____6_.2________ cm.(结果精确到0.1 cm)
5．(4分)如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子 的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6， 则α＝____________1_3_5_°_．
北师版
第四章 图形的相似
4．探索三角形相似的条件
第4课时外国语学校期中)已知线段 AB＝2，点 P 是线段 AB 的黄金
分割点(AP＞BP)，则线段 AP 的长为( B )
九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件第4课时线段的黄金分割习题课件新版北师大版精品
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知识点2：黄金分割的应用 5．根据生物学知识得到当气温与人体正常体温(37 ℃)的比值为黄金数
时人体最舒适，那么这个气温约是________ ℃.(精确到整数) 23
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6．要设计一座2 m高的维纳斯女神雕像(如图)，使雕像的上部AC(肚脐 以上)与下部BC(肚脐以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即点 C(肚脐)就叫做线段AB的黄金分割点，试求出雕像下部设计的高 度．(结果精确到0.001)
的正方形的面积，S2表示以AB为长，PB为宽的矩形的面积，则S1，S2 的大小关系为( B )
A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1<S2 D．不能确定
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4．如图，△ ABC 中，AB＝AC，∠B＝2∠DCB＝72° ，△ ABC 与△ BDC BC 是黄金三角形 ， 即 D 是线段 AB 的黄金分割点 (AD>DB) ， 则 AB ＝ 5－1 ________ 2 ．
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10.(1)操作：如图所示．
(2)探究：四边形 EBCF 是黄金矩形．理由：∵四边形 AEFD 是正方形， ∴∠AEF＝90° .∴∠BEF＝90° .∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝∠C＝ 90° .∴∠BEF＝∠B＝∠C＝90° .∴四边形 EBCF 是矩形．设 CD＝a，AD 2（ 5＋1） b 5－1 CF a－b a 2 ＝b，则a＝ 2 ，∴EF ＝ b ＝b－1＝ －1＝ －1＝ 4 5－1 5－1 2 .∴矩形 EBCF 是黄金矩形．
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6.设维纳斯女神雕像下部设计的高度为 x m，那么雕像上部的高度为(2 2－x x －x)m.依题意，得 x ＝2，解得 x1＝－1＋ 5≈1.236，x2＝－1－ 5(不 合题意，舍去). 经检验，x＝－1＋ 5是原方程的根．答：维纳斯女神 雕像下部设计的高度约为 1.236 m．
北师大版九年级数学上册《图形的相似——探索三角形相似的条件》教学PPT课件(4篇)
2. 判断两个三角形相似，在已知一个角相等的情况下， 夹这个角的两边的比相等有两种情况，不要只考虑其中一种， 而忽视了另一种．
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
第3课时
教学目标
3. 如图，已知 D 是△ ABC 的边 AB 上一点，若∠1＝ ∠∠B ， 则 △ ADC∽△ACB ， 若 ∠2 ＝ ∠AACCBB ， 则 △ ADC∽△ACB.
4. 如图，已知在△ ABC 与△ DEF 中，∠C＝54°，∠A ＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，△ ABC 与△ DEF 相似吗？ 为什么？
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P， 在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过 点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 于 PS 的直线 b 的交点 R.如果测得 QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m， 求河的宽度 PQ.
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，D，E 分别是△ ABC 的边 AC，AB 上的点．AE ＝1.5，AC＝2，BC＝3，且AADB＝34，求 DE 的长．
【
思
路
点
拨
】
由
条
件
可
得
AE AC
＝
AD AB
，
可
说
明
△ AED∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得到 DE.
解：∵AE＝1.5，AC＝2，∴AAEC＝12.5＝34＝AADB，且∠EAD ＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，
三角形相似证明条件
三角形相似的证明是数学中的一种基本技能，涉及到相似三角形的定义、定理和性质等。
证明三角形相似通常需要满足一定的条件，包括两边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例，以及两个角分别相等。
下面将对这些证明条件进行详细说明。
首先，我们讨论两边对应成比例且夹角相等的条件。
在两个三角形中，如果存在两组对应边，这两组对应边的比相等，同时它们的夹角也相等，那么我们就可以说这两个三角形相似。
这个条件可以简单地表述为：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们一定相似。
这是因为相似三角形的性质表明，如果两个三角形相似，那么它们的对应边一定成比例。
其次，三边对应成比例也是相似三角形的证明条件。
如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么我们就可以说这两个三角形相似。
这个条件可以表述为：如果两个三角形的三边对应成比例，那么它们一定相似。
这个条件是基于三角形的性质和定理，即任意两个相似三角形的对应边的比值等于其原三角形的对应边的比值。
此外，两个角分别相等的条件也是相似三角形的证明条件之一。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形不一定相似。
但是，如果这两个角所对应的边成比例，那么这两个三角形就相似了。
这个条件可以表述为：如果两个三角形的两个角分别相等，且这两个角所对应的边成比例，那么这两个三角形相似。
在实际证明中，我们通常需要综合运用这些条件来证明两个三角形相似。
例如，我们可以先找到两个三角形中对应边的比值相等，再找到它们的夹角相等，从而证明这两个三角形相似。
另外，我们也可以先找到三个对应边的比值都相等，再找到其中一个角相等，从而证明这两个三角形相似。
总之，三角形相似的证明需要满足一定的条件，包括两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例、两个角分别相等等。
熟练掌握这些证明条件并灵活运用，可以帮助我们更好地证明三角形相似这一重要概念。
4.4 探索三角形相似的条件 第4课时 黄金分割
著名数学家华罗庚的0.618优选法,也是从黄金分割中得出的
1.了解黄金分割的有关概念，并能运用 其来解决有关实际问题 2.会找一条线段的黄金分割点. 3.通过亲身体验找出黄金分割点，激发 学习兴趣，培养审美能力与审美意识.
自学课本95-96（2min） 黄金分割定义： 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线 AC BC 段AC 和BC （如图3 - 19），如果 ， AB AC 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做
线段 AB 的黄金分割点， AC 与AB 的比叫做 黄金比.
长 短 ( ) 全 长
二
探索美
例4.计算黄金比.
解：由
你能求出黄金分割比吗？
A
AC BC ，得AC 2 AB BC. AB AC 设AB 1，AC x，则BC 1 x， x 2 1 1 x ，即x 2 x 1 0， 解这个方程，得 1 5 1 5 不合题意，舍去 ，x 2 2 2 AC 1 5 所以，黄金比 0.618 AB 2 x1
——以数学的视角感受美 让美充满我们的生活！
济南协和双语实验学校 葛才艺
一Hale Waihona Puke 现美摄影作品之美你觉得哪张照片的构图 最合理？更能体现小松鼠 若有所思的在凝视前方？
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
世界名画 < 蒙娜丽莎 > 之所以有名 , 也得益于黄金 分割,无论是画面整体还是局部. 人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.
所以应选择7.5厘米的高跟鞋。
谢谢！
七 延伸美
女士们爱穿高跟鞋的秘密！
科学研究表明,当人的肚 脐以下身长与身高之比为 0.618时,看起来最美.
4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割(教案)2023-2024学年北师大版数学九年级上册
一、教学内容
本节课选自北师大版数学九年级上册第4章“相似三角形”中的4.4节“探索三角形相似的条件”，第4课时“黄金分割”。教学内容主要包括：1.黄金分割的定义及性质；2.黄金分割在生活中的应用；3.利用黄金分割解决实际问题。通过对黄金分割的学习，使学生掌握相似三角形在实际生活中的应用，培养他们的观察能力、动手能力和解决实际问题的能力。以下是具体的教学内容：
1.黄金分割的定义：介绍黄金分割的概念，即一条线段被分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
2.黄金分割的性质：引导学生发现并证明黄金分割的性质，如：黄金分割点将线段分为两部分，这两部分的长度比是（1+√5）/2。
3.黄金分割的应用：通过实例介绍黄金分割在建筑、艺术、生物等领域中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系。
4.实践活动：设计一些实践活动，如测量物体长度、制作黄金分割图形等，让学生在实际操作中体会黄金分割的美学价值。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几个方面：
1.培养学生的几何直观和空间观念，通过对黄金分割的学习，使他们在观察、操作和思考过程中形成对几何图形的直观认识，提高空间想象能力。
2.培养学生的逻辑推理和数学论证能力，通过探索黄金分割的性质，让学生学会运用逻辑思维和数学方法进行推理和证明。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调黄金分割的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如黄金分割比例的推导，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与黄金分割相关的实际问题。
北师大版九年级上册数学4章《探索三角形相似的条件》教案
4.4探索三角形相似的条件第1课时两角分别相等的两个三角形相似【学习目标】1．掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似．2．掌握由两角对应相等判定两个三角形相似的方法，并会运用这种判定三角形相似的方法解决简单问题．【学习重点】三角形相似的判定定理1及应用．【学习难点】三角形相似的判定定理1的证明．一、情景导入生成问题1．各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．2．已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是(A)A．87°B．60°C．75°D．120°二、自学互研生成能力知识模块一探索三角形相似的判定定理1先阅读教材P89页的内容，然后完成下面的问题：1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，如△ABC 与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，其中对应顶点要写在相同位置上，如A与D，B与E，C与F相对应．AB∶DE等于BC∶EF．2．两角对应相等的两个三角形相似．探究内容：现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法．1．动手实验：现在，已量出∠A＝60°，∠B＝45°，请同学们当一当工人师傅，在纸上作∠A ＝60°，∠B＝45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系．你有哪些发现？在小组内交流．学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：①这样的两个三角形不一定全等；②两个三角形三个角都对应相等；③通过度量后计算，得到三边对应成比例；④通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似．此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：猜想：两角对应相等，两三角形相似．归纳结论：两角分别相等的两个三角形相似．知识模块二相似三角形判定定理1的应用1．自学自研教材P89页的例1.2．完成教材P90页随堂练习．典例讲解：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BDC.分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°.在△ABC和△BDC中，∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，∴△ABC∽△BDC.对应练习：1．如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F.若AB＝5，AD＝6，CF＝2，求线段CE的长．解：设CE＝x，证△ABE∽△FCE，由比例式求得CE＝4.2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D、E分别在线段BC，AC上运动，在运动过程中始终保持∠ADE＝60°，求证：△ABD∽△DCE.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∴∠BAD＋∠ADB＝120°.∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠EDC＝120°.∴∠DAB＝∠EDC.∴△ABD∽△DCE.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索三角形相似的判定定理1知识模块二相似三角形判定定理1的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________2．存在困惑：__________________________________________第2课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【学习目标】1．理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”．2．会运用三角形相似的判定方法解决简单问题．【学习重点】掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．【学习难点】相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用．一、情景导入生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似．2．下列说法中正确的个数是(C)①所有的等腰直角三角形都相似；②有一个角是80°的两个等腰三角形相似；③有一个角是100°的两个等腰三角形相似；④有一个角相等的两个等腰三角形相似．A．4B．3C．2D．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(B)A.12B．2 C．3 D．4二、自学互研生成能力知识模块一探索三角形相似的判定定理2先阅读教材P91页的内容，然后解答下列问题：1．两角对应相等的两个三角形相似．2. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．3．如图，两个三角形中，其边长已在图上标注，那么这两个三角形是(选填“是”或“不是”)相似三角形．根据是有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．1．情境导入问题：(1)相似三角形的定义是什么？三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似．(2)判断两个三角形相似，你有哪些方法？方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．2．思考探究完成教材P91页的做一做．归纳结论：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．知识模块二三角形相似判定定理2的应用1．自学自研教材P91页的例2.2．完成教材P92页的随堂练习．典例讲解：如图，已知△ABD∽△ACE.求证：△ABC∽△ADE.分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD＝∠CAE，因此∠BAC＝∠DAE，再进一步证明BA AD＝CAAE，则问题得证．证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE.又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE.∵△ABD∽△ACE，∴ABAD＝ACAE.在△ABC和△ADE中，∵∠BAC＝∠DAE，ABAD＝ACAE，∴△ABC∽△ADE.对应练习：1．下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是(C)A. AE AD ＝AC AB B ．∠B ＝∠ADE C. AE AC ＝DE BCD ．∠C ＝∠AED2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足AB 2＝DB·CE.求证：△ADB ∽△EAC.证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB·CE ，∴AB CE ＝DBAB ，即AB CE ＝DBAC ，∴△ADB ∽△EAC.三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索三角形相似的判定定理2 知识模块二 三角形相似判定定理2的应用四、检测反馈 达成目标 见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：___________________________________________ 2．存在困惑：_______________________________________第3课时 三边成比例的两个三角形相似【学习目标】1．掌握三边对应成比例判定两个三角形相似的方法． 2．会选择合适的三角形相似的判定方法解决简单问题． 【学习重点】掌握相似三角形的判定定理：“三边成比例的两个三角形相似”． 【学习难点】会准确运用三角形相似的判定定理来判断、证明及计算．一、情景导入生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．2．下列说法正确的是(C)A．有一个角相等的两个等腰三角形相似B．所有的直角三角形相似C．有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似D．所有的等腰三角形相似3．已知△ABC如图所示，则与△ABC相似的是图中的(C)A B C D二、自学互研生成能力知识模块一探索三边成比例的两个三角形相似师：我们上两节课学过什么定理？师生共同回忆，在上两节课的探索中，我们知道：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例及夹角相等的两个三角形相似．师：那么判定三角形相似还有没有其他条件呢？今天我们再次踏上探索之旅途．画△ABC与△A′B′C′，使ABA′B′、BCB′C′和CAC′A′都等于给定的值k.(1)设法比较∠A与∠A′的大小．(2)△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由．改变k值的大小，再试一试．生：按照上面的步骤进行，这里的k由自己定，为了节约时间，一个组取一个相同的k值，不同的组取不同的k值．内容：学生根据画出的相似三角形的图形及在画相似三角形中的“发现”进行相互交流，教师给予适当的帮助，后由学生展示、讲解画出来的相似三角形，展示自己探索的过程及自己得出的结论．师：经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？生：结论为∠A＝∠A′，△ABC∽△A′B′C′，理由是：∠A＝∠A′，ABA′B′＝CAC′A′.根据“两边成比例及夹角相等的两个三角形相似”可知：△ABC∽△A′B′C′.师：其他组的同学的结论相同吗？生：相同．师：经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法．师：(演示课件)判定定理3：三条边成比例的两个三角形相似．知识模块二判定定理3的应用1．自学自研教材P94页的例3.2．完成教材P94的随堂练习．师：幻灯片展示：如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？生：先独立思考，然后小组合作交流．解：△ABC∽△A′B′C′.判断方法有：1.三边成比例的两个三角形相似；2.两角分别相等的两个三角形相似；3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；4.定义法．目的：巩固对本节知识的理解；并让学生将上两节课：相似三角形的判定定理1、2，与本课知识：相似三角形的判定定理3的内容系统的掌握．对应练习：1．教材P95页习题4.7第1题．解：∵86＝43，107.5＝43，129＝43.∴86＝107.5＝129，∴这两个三角形相似．2．教材P95页习题4.7第2题．答：△ABC∽△EFG.利用判定定理3.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索三边成比例的两个三角形相似知识模块二判定定理3的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_____________________________________________2．存在困惑：_________________________________________第4课时黄金分割【学习目标】1．知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．2．通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力．3．理解黄金分割的现实意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系．【学习重点】了解黄金分割的意义并能运用．【学习难点】找出黄金分割点和作黄金矩形．一、情景导入生成问题1．如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连接BF，则图中与△ABE一定相似的三角形是(B)A．△EFB B．△DEFC．△CFB D．△EFB和△DEF2．如图，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，则图中所形成的三角形中，相似三角形是△APB∽△CPA．二、自学互研生成能力知识模块黄金分割的有关概念先阅读教材P95－96页的内容，然后解答下列问题：1.黄金分割的意义：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝BCAC，那么称线段AB被点C黄金分割，其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，近似数为0.618．2．黄金分割点的作法：如图所示，已知线段AB.(1)过B 作BD ⊥AB 使BD ＝12AB ；(2)连接AD ，在DA 上截取DE ＝DB ；(3)在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 即为线段AB 的黄金分割点．1．动手量一量，五角星图案中，线段AC 、BC 的长度，然后计算AC AB 与BCAC，它们的值相等吗？教学说明：学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解．归纳结论：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BCAC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2．计算黄金比：见教材P 96页例4. 3．探究教材P 96页“想一想”．内容：古希腊时的巴台农神庙，将图中的虚线表示的矩形画成如图中的矩形ABCD ，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么，我们可以惊奇的发现BC BE ＝ABBC .提出问题：点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 宽与长的比是黄金比吗？观看多媒体演示的内容，观察与思考、交流、讨论、解决问题．问题解决：由BC BE ＝AB BC ，可以得到BC AB ＝BE BC 即AE AB ＝BEAE .所以点E 是AB 的黄金分割点． 对应练习：1．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列等式成立的是( C ) A ．AB 2＝AC·CB B ．CB 2＝AC·AB C ．AC 2＝CB·AB D ．AC 2＝2AB·BC2．如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BCAC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，AC 与AB 的比叫做黄金比，其比值是( A )A.5－12B.3－52C.5＋12D.3＋523．已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为(D)A.5－12B.3－52C.5＋12D.5－12或3－52三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块黄金分割的有关概念四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_________________________________________2．存在困惑：_____________________________________。
4.4 探索三角形相似的条件 课件(共22张PPT)北师大版数学九年级上册
A
B
C
D
E
2.有两条边对应成比例的两个三角形一定相似吗？
A
B
C
D
E
F
定理：两角相等的两个三角形相似。
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
探索新知
探索新知
知识点3 用两个条件可以判定两个三角形相似吗
3.有一条边对应成比例且有一个角相等的两个三角形一定相似吗？
1.判断：（1）两个全等三角形一定相似（2）两个等腰直角三角形一定相似（3）两个直角三角形一定相似（4）两个等边三角形一定相似（5）顶角相等的两个等腰三角形一定相似（6）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
×
√
√
√
√
√
巩固练习
2.如图所示的三个三角形中，相似的是( )A．(1)和(2) B．(2)和(3)C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)
A
巩固练习
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC.AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
巩固提高
1
2
3
A字型
8字型或X型
有关三角形相似的基本图形
课堂小结
有关三角形相似的基本图形
子母型
一线三等角型或D
例题讲解
变式2：如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB.（1）找出图中的相似三角形并证明
（2）若AD＝2，AB＝6，AC＝4，求AE的长.
例题讲解
例2：如图，在△ABC中，点D是边AB上一点且∠ACD＝∠B.（1）找出图中的相似三角形并证明
（2）若BD＝6，AD＝2，则求AC的长.
例题讲解
变式1：D,E分别是△ABC的边所在直线AB,AC上的点，DE∥BC, AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
《探索三角形相似的条件》 讲义
《探索三角形相似的条件》讲义一、三角形相似的定义在数学中，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就被称为相似三角形。
相似三角形具有许多重要的性质和应用，在解决几何问题中经常会用到。
二、探索三角形相似的条件1、两角分别相等的两个三角形相似这是判断三角形相似的一个重要条件。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
我们可以通过简单的推理来理解这个条件。
因为三角形的内角和为180 度，如果两个角分别相等，那么第三个角也必然相等。
而角相等意味着对应边的比例关系是固定的，从而证明了三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，那么这两个三角形相似。
这个条件的理解可以通过构建比例关系来实现。
当两边成比例且夹角相等时，可以利用三角函数或者相似三角形的定义来证明对应边的比例关系在整个三角形中是一致的，从而得出相似的结论。
3、三边成比例的两个三角形相似如果三角形 ABC 的三条边与三角形 A'B'C'的三条边对应成比例，即 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，那么这两个三角形相似。
对于这个条件，可以通过将两个三角形的边按照比例进行缩放，发现它们能够完全重合，从而证明相似。
三、三角形相似条件的应用1、测量物体的高度在实际生活中，如果我们想要测量一个物体（如大树、高楼等）的高度，但又无法直接测量，就可以利用三角形相似的原理。
4.4探索三角形相似的条件（第4课时）黄金分割同步练习含答案
第4课时黄金分割关键问答①点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，当这三条线段之间存在什么关系时，可以称线段AB被点C黄金分割？②黄金比的值是多少？1.①已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是()A．AC2＝BC·AB B．AC2＝2AB·BCC．AB2＝AC·BC D．BC2＝AC·AB2．·六盘水矩形的长与宽分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A．a＝4，b＝5＋2 B．a＝4，b＝5－2C．a＝2，b＝5＋1 D．a＝2，b＝5－13．②在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为()A．32.36 cm B．13.6 cm C．12.36 cm D．7.64 cm命题点1利用黄金分割的结论进行计算[热度：83%]4．③如图4－4－34，已知点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示以P A 为边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则()图4－4－34A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定S1和S2的大小方法点拨③根据黄金分割的概念将线段比转化为面积比．5．④如图4－4－35，在▱ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，那么BF∶DF的值为________．图4－4－35解题突破④求BF∶DF可以转化为求BE∶DA吗？如果可以，根据黄金分割点的定义先求出BE∶BC的值.6．把一根长为4 m的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比5－12，则这个矩形的面积为__________m2.图4－4－367．⑤·台州模拟如图4－4－36，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－12.若AB＝5－12，则MN＝________．方法点拨⑤黄金三角形是比较特殊的三角形，解决与黄金三角形有关的计算问题，往往需要借助黄金比及相似三角形的对应边成比例来完成．命题点2黄金分割在实际生活中的应用[热度：80%]8．·乳山期中某种乐器的弦AB长为120 cm，点A，B固定在乐器面板上，弦AB上有一个支撑点C，且C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为()A．(120－305)cm B．(160－605)cmC．(605－120)cm D．(605－60)cm9．⑥大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图4－4－37，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为________．图4－4－37解题突破⑥先利用黄金分割的定义计算出AP的长，然后通过AB－AP即可得到PB的长．10．⑦人体下半身的长度与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高 1.68 m，下半身长 1.02 m，她应该选择穿________(精确到0.1 cm)的高跟鞋看起来更美．易错警示⑦注意身高包括高跟鞋的高度．命题点3有关黄金分割的证明[热度：75%]11.⑧如图4－4－38，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E.(1)求证：E为线段AB的黄金分割点；(2)若AB＝4，求BC的长．图4－4－38知识链接⑧顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，底角的平分线与腰的交点就是腰的黄金分割点，并且被底角的平分线分成的两个三角形都是等腰三角形，其中的锐角三角形与原等腰三角形相似．12．⑨宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．现将折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图4－4－39所示)：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．'图4－4－39解题突破⑨对于没有出现具体数据的计算题或证明题，我们可以考虑设参数，如假设正方形的边长是2a，接下来你知道该怎么做了吗？13．⑩三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图4－4－37①，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝36°.(1)在图①中，用尺规作AB 的垂直平分线交AC 于点D ，并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)．(2)△BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． (3)设BCAC＝k ，试求k 的值．图4－4－40解题突破○10(1)可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图； (2)根据角度判断；(3)根据相似三角形的性质求解.14．⑪如图4－4－41①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图②)，则直线CD 是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由；(4)如图④，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD 各边的黄金分割点．图4－4－41解题突破⑪对于新定义问题，关键是理解新定义的概念，解决此题的关键是把黄金分割线与黄金分割点联系起来，把面积与边长联系起来．详解详析【关键问答】①当AC 2＝BC·AB 时，线段AB 被点C 黄金分割． ②5－12≈0.618. 1．A [解析] 根据线段黄金分割的定义，得AC 2＝BC·AB. 2．D [解析] ∵宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形，∴ba ＝5－12，∴当a ＝2，b ＝5－1时满足题意．故选D .3．C [解析] 方法1：设这本书的宽为x cm ，则有2020＋x ＝x20，解得x ≈12.36(负值已舍去)．方法2：书的宽约为20×0.618＝12.36(cm )．4．B [解析] 根据黄金分割的概念，得AP AB ＝PB AP ，则S 1S 2＝AP 2AB ·PB ＝1，即S 1＝S 2.故选B.5.5－12[解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ∥AD ，BC ＝AD ， ∴△BEF ∽△DAF ， ∴BE ∶DA ＝BF ∶DF . ∵BC ＝AD ， ∴BE ∶BC ＝BF ∶DF .∵点E 是BC 边上的黄金分割点， ∴BE ∶BC ＝5－12， ∴BF ∶DF ＝5－12. 6．(4 5－8) [解析] 设这个矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝2. 由题意，得y x ＝xx ＋y ＝5－12，解得x ＝5－1，y ＝3－5，所以这个矩形的面积为(5－1)×(3－5)＝(4 5－8)m 2. 7.5－2 [解析] 设MN ＝x .由题意可知DE ＝AB ＝5－12. ∵∠EDM ＝∠ECD ＝36°，∠END ＝∠EDN ＝72°，∴DE ＝EN ，同理CD ＝CM ， ∴EM ＝5－12－x ， EC ＝EN ＋CM －MN ＝5－1－x .∵∠DEM ＝∠DEC ，∴△DEM ∽△CED ， ∴DE 2＝EM ·EC ， ∴(5－12)2＝(5－12－x )(5－1－x )， 整理，得x 2－32×(5－1)x ＋（5－1）24＝0， ∴⎣⎡⎦⎤x －34×（5－1）2＝516×(5－1)2， ∴x ＝5－2或x ＝12(5＋1)(不合题意，舍去)，∴MN ＝5－2.8．D [解析] 根据黄金分割点的概念，得AC ＝5－12AB ＝(605－60)cm.故选D. 9．(15－5 5)cm [解析] ∵P 为AB 的黄金分割点(AP ＞PB )， ∴AP ＝5－12AB ＝5－12×10＝(5 5－5)cm ， ∴PB ＝AB －AP ＝10－(5 5－5)＝(15－5 5)cm. 10．4.8 cm [解析] 设她应选择高跟鞋的高度是x cm ，则 102＋x168＋x ＝0.618， 解得x ≈4.8.经检验，x ≈4.8是原分式方程的解且符合题意， 即她应该选择穿4.8 cm 的高跟鞋看起来更美．11．[解析] (1)根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB ＝72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE ＝36°，从而得到∠BCE ＝∠A ，然后判定△ABC 和△CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；(2)根据等角对等边的性质可得AE ＝BC ，再根据黄金比求解即可． 解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°， ∴∠ACB ＝∠B ＝12×(180°－36°)＝72°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠BCE ＝∠ACE ＝12∠ACB ＝12×72°＝36°，∴∠BCE ＝∠A ＝∠ACE ＝36°，∴AE ＝CE ， ∴∠BEC ＝180°－∠BCE －∠B ＝72°， ∴∠BEC ＝∠B ， ∴BC ＝CE ＝AE . 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBE ， ∴AB BC ＝BCBE， ∴BC 2＝AB ·BE ， 即AE 2＝AB ·BE ，∴E 为线段AB 的黄金分割点．(2)∵E 为AB 的黄金分割点，∴AEAB ＝5－12.又BC ＝AE ， ∴BC ＝5－12·AB ＝5－12×4＝2 5－2. 12．证明：在正方形ABCD 中，设AB ＝2a . ∵N 为BC 的中点，∴NC ＝12BC ＝a .在Rt △DNC 中，ND ＝NC 2＋CD 2＝a 2＋（2a ）2＝5a .又∵NE ＝ND ，∴CE ＝NE －NC ＝(5－1)a ， ∴CE CD ＝()5－1a2a ＝5－12， ∴矩形DCEF 为黄金矩形． 13．解：(1)如图所示．(2)△BCD 是黄金三角形．证明如下：∵点D 在AB 的垂直平分线上， ∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°.∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝72°， ∴∠ABD ＝∠DBC ＝36°.又∵∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝72°， ∴∠BDC ＝∠C ，∴BD ＝BC ， ∴△BCD 是黄金三角形．(3)设BC ＝x ，AC ＝y ，由(2)知，AD ＝BD ＝BC ＝x . ∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ， ∴△BDC ∽△ABC ， ∴BC AC ＝DC BC ，即x y ＝y －x x， 整理，得x 2＋xy －y 2＝0，解得x ＝－1±52y .∵x ，y 均为正数，∴k ＝xy ＝5－12.14．解：(1)对．理由如下： 设△ABC 的边AB 上的高为h .11 / 11 则S △ADC ＝12AD ·h ，S △BDC ＝12BD ·h ，S △ABC ＝12AB ·h ， ∴S △ADC S △ABC ＝AD AB ，S △BDC S △ADC ＝BD AD. 又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD AB ＝BD AD， ∴S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC ， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴S 1＝S 2＝12S ，即S 1S ≠S 2S 1， 故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．(3)∵DF ∥CE ，∴△DFC 和△DFE 的公共边DF 上的高也相等，∴S △DFC ＝S △DFE ，∴S △ADC ＝S △ADF ＋S △DFC ＝S △ADF ＋S △DFE ＝S △AEF ，S △BDC ＝S 四边形BEFC .又∵S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC， ∴S △AEF S △ABC ＝S 四边形BEFC S △AEF， 因此，直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．(4)画法不唯一，现提供两种画法；画法一：如图①，取EF 的中点G ，过点G 作一条直线分别交AB ，DC 于M ，N 两点，则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线；画法二：如图②，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM ∥EN 交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线．。
探索三角形相似的条件
探索三角形相似的条件一周强化一、一周知识概述相似三角形的判定方法(1)定义法：各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形相似．(2)判定方法1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．(3）判定方法2：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．(4)判定方法3：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．(5)判定方法4：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．二、重难点知识归纳1、相似的传递性：若△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″．2、“平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似”的基本图形有三种情况，如图，其符号语言：因为DE∥BC，所以△ABC∽△ADE；这个判定方法有着广泛的应用，要做到“见平行想相似，见平行想比例”．3、相似三角形判定方法的选择（1）已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定方法1或判定方法3；（2）已有两边对应成比例时，可考虑利用判定方法3或判定方法4．但是，在选择利用判定方法3时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．4、有关三角形的相似的基本图形．（1）平行线型(如图)（2）双直角三角形中的相似三角形(如图)△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CADAB2=BD·BC，AC2=CD·CB，AD2=BD·DC三、典型例题讲解例1、如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添加一个适当条件，使△ADC∽△ACB，那么要添加的条件是__________(只需填写满足要求的一个条件即可)．解析：由于要判定的两个相似三角形隐含着一个公共角∠A，因此根据判定方法1或判定方法3，只要再找一个角对应相等，或找夹∠A的两边对应成比例，即可填∠ACD=∠B，或∠ADC=∠ACB，或AC2=AD·AB．例2、如图，在□ABCD 中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC 于点F，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有（）A.6对B.5对C.4对D.3对解：由AE∥DC，可得△AEG∽△CDG，△DFC∽△EFB；由BC∥AD，可得△BFE∽△ADE，△FCG∽△DAG，△DCF∽△EAD.故选B.点评:本题主要是考查相似三角形识别的掌握情况．可运用平行线去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定方法来找相似三角形，但要注意不要漏找．例3、(1)如图，O是△ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC；(2)如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF，写出图中所有相似三角形，并证明．分析：(1)根据题设，观察图形易见，DE、EF、FD分别是△AOB、△BOC、△COA的中位线，利用三角形的中位线性质可证△DEF与△ABC的三边对应成比例；(2)由于正方形的四条边相等，且BE=CE，DF=3CF，设出正方形边长后，图中所有线段都能求出，故可从三边是否成比例判定哪些三角形相似．点评：①第(1)题，若点O在△ABC外，其他条件不变，结论仍成立；②第(2)题也可用判定方法3，先证△ABE∽△ECF，得出∠AEF=90°后，再证其中任意三角形与△AEF相似，显然，以上证法较简便．例4、已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于F，连接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE=180°．(1)写出图中三对相似三角形(注意：不得添加其他字母和线)；(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由．分析：先由角的关系入手，由∠BDE＋∠BCE=180°和图形中∠BDE＋∠ADE=∠BCE＋∠ECF=180°，可得∠BDE=∠ECF，∠ADE=∠BCE，易得△ADE∽△ACB(∠A为公共角)、△ECF∽△BDF(∠F为公共角)，其次，由△ECF∽△BDF得，可得△FDC∽△FBE(∠F为公共角)．解：(1)△ADE∽△ACB，△ECF∽△BDF，△FDC∽△FBE．(2)①△ADE∽△ACB．证明如下：因为∠BDE＋∠BCE=180°，又因为∠BDE＋∠ADE=180°，所以∠ADE=∠BCE．因为∠A=∠A，所以△ADE∽△ACB．②△ECF∽△BDF．证明如下：因为∠BDE＋∠BCE=180°，又因为∠BCE＋∠ECF=180°，所以∠BDE=∠ECF．因为∠F=∠F，所以△ECF∽△BDF．③△FDC∽△FBE．证明如下：因为∠BDE＋∠BCE=180°，又因为∠BCE＋∠ECF=180°，所以∠BDE=∠ECF．因为∠F=∠F，所以△ECF∽△BDF．所以．因为∠F=∠F，所以△FDC∽△FBE．点评：这是一道结论开放型试题，这种题型要求根据题意去探求，往往结论不唯一，具有开放性，解题时，要充分利用已知条件进行大胆而合理地猜想，发现结论，这就要求平时要注意发散性思维和所学基本知识的应用能力的培养．例5、如图（1）在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，试证明：BP2=PE·PF．分析:证明型的一般方法是把等积式写成比例式,然后再观察所在的两个三角形是否相似.如本题BP、PE、PF在一条直线上，就要看能否通过等量代换，自然要连结PC ，用BP的等量PC代入，再找出两个三角形相似，即可得解．证明：连结PC．因为AB=AC，AD是中线，所以AD⊥BC (三线合一性质)．所以AD是BC的垂直平分线．所以BP=PC．又∠PBC=∠PCB，∠ABC=∠ACB，所以∠ABP=∠ACP．而AB∥CF，所以∠ABC=∠F．所以∠F=∠ACP．又∠EPC=∠CPF，所以△EPC∽△CPF，所以．即PC2=PE·PF．故BP2=PE·PF．点评:①证形如时，还要注意两个基本图形如图⑵、⑶所示．如图⑵．因为△CDB∽△ADC∽△ACB，易得BC2=BD·AB ，AC2=AD·AB，CD2=AD·DB．如图⑶，当∠A=∠1时，∠C是公共角．所以△ABC∽△BDC，易得BC2=DC·AC．②在图⑵中，△ACB是直角三角形，CD是斜边上的高，还要注意面积的应用，易得AC·CB=AB·CD的结论．例6、如图，在正方形ABCD中，M、N分别是AB、BC上的点，BM=BN，BP⊥MC 于点P．求证：(1)△PBN∽△PCD；(2)PN⊥PD．分析：要证PN⊥PD，即证∠DPN=90°，由已知∠BPC=90°，而∠BPC与∠DPN有公共部分∠CPN，因此只要证明∠4=∠5即可．这就必须先证明出结论(1)．在△PBN与△PCD 中，易证∠1=∠3，以下只要证明夹∠1、∠3的两边对应成比例．证明：(1)在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°．因为BP⊥MC，所以△PBM∽△PCB．点评：要注意观察出图中存在的“母子相似三角形”基本图形，从而充分利用它得出∠1=∠2及△PBM∽△PCB等重要结论．。
4.4.1探索三角形相似的条件教学设计.doc
4.4.1探索三角形相似的条件教学设计教学目标：知识与技能：.熟练掌握相似三角形的定义；熟练掌握两角分别相等的两个三角形相似的判定方法，能灵活运用判定方法判断两个三角形是否相似。
过程与方法：初步掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单问题。
经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。
情感与价值观：在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识和合作交流的习惯，发展学生的合情推理的能力和初步的逻辑推理意识，体会数学重点：熟练掌握两角分别相等的两个三角形相似的判定方法难点：能灵活运用判定方法判断两个三角形是否相似。
【复习旧知】1. 对应角相等，对应边也相等的两个三角形全等，你还记得三角形全等的其他判别条件吗？（活动目的：是让学生回顾就知识，为新知识学习奠定基础，起到"抛砖引玉”的作用，）2. 相似多边形定义【课前预习】1. 相似三角形的定义2. 你认为判别两个三角形相似至少需要哪些条件？3. 如果两个三角形有若干个角对应相等，那么至少有几个角对应相等就能保证这两个三角形相似？【合作学习】与同伴合作，两个人分别画△山北和^A'B'C,使得匕4=匕4,都等于Na, ZB和都AH ur等于Z6,此时，ZC与ZU相等吗？对应边的比地，住，些相等吗？这样的两个三角A'B' A'C B'C形相似吗？.£3，/is \C/B\A '%C,\\B\/\//任）当Za=Z6=45 °A A BC和/WBC相似吗？c⑵当Za=37° , Z6=135°时，ZV1BC 和左A'B'C相似吗？⑶改变Na, 的大小,再试一试.思考：在实际画图过程中，同学们画了几个角相等？你发现了什么？由此得到相似三角形的判定方法1:两角分别相等的两个三角形相似.学生活动：分小组进行讨论，让学生尽量地联想.猜测，提出自己的见解。