集合及基础--史上最全的集合

第二章 集合与常用逻辑用语

第一节 集合

【知识点精讲】

一、集合的有关概念

1．集合的含义与表示

某些指定对象的部分或全体构成一个集合，构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象。

2．集合元素的特征

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象能明确判断出它是否为该集合中的元素。

（2）互异性：集合中的任何两个元素都是互不相同，即相同元素在同一集合中不能重复出现。

（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关如{,,}{,,}a b c b a c = 3．集合的常用表示法

集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法（韦恩图、数轴）和区间法。 4．常用数集的表示

R -实数集 Q -有理数集 Z -整数集

N -自然数集 *,N N +——正整数集 C -复数集

二、集合间的关系

1．元素与集合之间的关系

元素与集合之间的关系包括属于（记作a A ∈）和不属于（记作a A ∉）两种。 空集：不含有任何元素的集合，记作∅ 2．集合与集合之间的关系 （1）包含关系

子集：如果对任意a A a B ∈⇒∈则集合A 是集合B 的子集，记作A B ⊆或者B A ⊇，显然A A ⊆规定：A ∅⊆

（2）相等关系

对于两个集合A 和B 如果A B ⊆，同时B A ⊆那么集合A 和B 相等，记作A B = （3）真子集关系

对于两个集合A 和B ，若A B ⊆，且存在b B ∈但b A ∉则集合A 是集合B 的真子集，记作A B Ü或B A Ý。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

三、集合的基本运算

集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表1-1所示。

1、交集

由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作A B 即

{|}A B x x A x B =∈∈ 且

2、并集

由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与B 并交集，记作A B 即

{|}A B x x A x B =∈∈ 或

3、补集

已知全集I 集合A I ⊆，由于I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作I C A 即{|}I C A x x I x A =∈∉且

四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系

（1）交集的运算性质

,,,,,A B B A A B A A B B A I A A A A A =⊆=∅=∅⊆=

（2）并集的运算性质

,,,,,A B B A A A B B A B A I I A A A A A =∅=⊆⊆==

（3）补集的运算性质

(),,,(),()I I I I I I A A I I A A A A I =∅==∅=∅= 痧痧痧

补充性质：I I

I B A A B B A B A B A A B =⇔=⇔⊆⇔⊆⇔=∅ 痧?

（4）结合律与分配律

结合律：()(),()()A B C A B C A B C A B C ==

分配律：()()(),()()()A B C A B A C A B C A B A C == （5）反演律（德摩根定律）

()(),()(()))(I I I I I I B A A B A A B B == 痧痧痧

即“交的补=补的并”，“并的补=补的交” 2．由*)(n n N ∈ 个元素组成的集合A 的子集个数

A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个。

3．容斥原理

()()()()Card A B Card A Card B Card A B =+-

【题型归纳及思路提示】 题型1 集合的基本概念

思路提示

利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性 【例1】设,a b R ∈ ，集合{1,,}{,

,}b

a b a a b a

+= ，则b a -= （ ） A 1 B -1 C2 D-2

【变式1】（2012新课标理1）已知集合{1,2,3,4,5},{(,)|,}A B x y x A x y A ==∈-∈则B 中所包含元素个数为（ ）

A 3

B 6

C 8

D 10

【变式2】（2013年山东理2）已知集合{0,1,2}A = ，则集合{|,}B x y x A y A =-∈∈ 中的元素个数 （ ）

A 1

B 3

C 5

D 9

【变式3】若集合{,,lg()}{0,||,}x xy xy x y = ，则,y=_____________x =

题型2 集合间的基本关系

思路提示

（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化简集合，再从表达式中寻找两个集合的关系；而是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，体现理合情推理的思维方法。

（2）已知两集合间的关系球参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题长利用数轴和韦恩图辅助分析。 一、集合关系中的判断问题

【例1．2】若{|41,},{|43,}A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==-∈，

{|81,}C x x n n Z ==+∈，则,,A B C 之间的关系为（ ）

.AC B A 苘 .B A B C ⊆Ü

.C C A B =Ü .D A B C ==