转动惯量的计算

0
M 0 a

t
0
dt J
M 0 a e M0

at J
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以 枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。 求： 1 ）当杆与铅直方向成角时的角加速度： 2 ）当杆过铅直位置时的角速度： 3 ) 当杆过铅直位置时，轴作用于杆上的力。 N Y 已知：m，L Z L 求：，，N XO 解：1） 以杆为研究对 象 受力： mg，N（不产生 mg 对轴的力矩）
取任一状态,由转动定律

P o
1 M 外 mgl sin J 2
1 2 J ml 3
3g sin 2l
d d d 3 g sin d t d d t 2l
3g d sin d 2l
初始条件为：=0，=0


0
3g d 2l
建立OXYZ坐标系
建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向） N
M Y
Z
L
XO
r
mg
r J F mL2 故取正值。 3
0则 0
L M mg sin 2 ( 1 ) 沿1 Z轴正向，
/ 2则 3g / 2 L M mg sin 3g sin 1 2 J 2 L mL 3
1 RT J MR 2 2
M
T1 T2 a mg h
对物体m，由牛顿第二定律，
mg T ma
滑轮和物体的运动学关系为 a R
以上三式联立，可得物体下落的加速度为
m a g mM 2
物体下落高度h时的速度
4m gh v 2ah 2m M
这时滑轮转动的角速度
v R
4m gh 2m M R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 解：设静摩擦力 f 的方向如 图所示，则由质心运动方程

l ac
F
圆柱对质心的转动定律：
dl
R
例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘 对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取 任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转 动惯量为
dJ r dm
2
dm为薄圆环的质量。以 表示圆盘的质量体密度
dm dV 2rhdr
N XO N
YZ


N X maCX 3g NY mg ma sin CY
由角量和线量的关系:
aCY
C
2L
aCX
mg
aCX R L 3g sin 0 0 2 2L 2 aCY R
3 g L 3g 2 L 2
2
M 0 M1 J
4）列方程： 解：
M 0 M1 J
M+ M0
分离变量： d dt M 0 a J d
M1=–a M 0 M 1 M 0 a J J d M 0 a M 0 a 1 t dt J (ln )
a M0 J
J m r2
J mr2 / 2
J mr2 / 2 J m(r12 r22 ) / 2
J m l2 / 12
J mr2 / 2
J 2m r2 / 5
J 2 m r2 / 3
例题1 一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置, 其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其 受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止 开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈 角时的角加速度和角速度. 解:受力分析
5.3 定轴转动的转动惯量
• 质量离散分布的刚体 • 质量连续分布的刚体
J mi ri
2
J r dm
2
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 dm dl
质量为面分布 dm ds 质量为体分布
dm dV
J与质量大小、质量分布、转轴位置有关 演示程序： 影响刚体转动惯量的因素
x
dx
有
J 0 r 2dm x 2dx
l 2
l 2
l 3
12
将 l m 代入上式，得：
1 J 0 ml 2 12
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
A
x
O
l
dx
1 2 J 0 r dm x dx ml 0 3
2 l 2
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质 量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂 直的转轴的转动惯量。



0
sin d
3g (1 cos ) 2l
例题2 一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均 匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边 上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时 滑轮的角速度。 解：对定滑轮 M ，由转动定律， R O 对于轴O，有
J dJ
1 2 2 2 ( R Z ) dZ 2 R
R
4 8 2 3 5 2 m R R mR 3 15 5
（1）平行轴定理
JC JD
J D J C md2
d
C
（2）薄板的正交轴定理
z o x
Jz Jx J y
y
常见刚体的转动惯量

3g L
N XO N
YZ


aCY
C
aCX
代入(1)、（2）式中：
NY mg maCY (2) 3g aCX 0 aCY 2
N X maCX (1)
mg
N X maCX 0 NY mg maCY 3g 5 mg m mg 2 2 5 N mgˆ j 2
3 g N sin Y 2L Z d d d XO r dt d dt d 3g mg sin( ) d 2 L 2 3g d cos d 2L /2 3g 两边积分： d cosd 2L 0 0
转动惯量(Moment of Inertia)是 刚体绕轴转动时惯性（回转物体 保持其匀速圆周运动或静止的特 性）的量度，用字母I或J表示。 [1] 在经典力学中，转动惯量（又 称质量惯性矩，简称惯距）通常 以I 或J表示，SI 单位为 kg· m² 。 对于一个质点，I = mr² ，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂 直距离。转动惯量在旋转动力学 中的角色相当于线性动力学中的 质量，可形式地理解为一个物体 对于旋转运动的惯性，用于建立 角动量、角速度、力矩和角加速 度等数个量之间的关系。
F f maC
f
F l f R JC
纯滚动条件为： aC R
1 2 圆柱对质心的转动惯量为： J C mR 2
联立以上四式，解得：
2F (R l ) aC 3mR
由此可见
R 2l f F 3R
当 l < R 2时， f > 0，静摩擦力向后；
当 l > R 2时， f < 0，静摩擦力向前。
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又 已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度 变化的规律。 已知：M0 J M1= –a |t=0= 0 求：（t）=？ 解： 1）以刚体为研究对象； M+ 2）分析受力矩 M 0 J M1 3）建立轴的正方向； 4）列方程：
dJ 2r hdr
3
代入得
1 4 J dJ 2r hdr R h 0 2 m 2 R h
R 3
1 2 J mR 2
J与h无关 一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心 轴的转动惯量也与上述结果相同。
例4）求 Z r d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 Z 盘。其半径为 O R Y
r R Z
2
2
X
其体积：
2 2 2
dV r dZ ( R Z )dZ 2 2 其质量： dm dV ( R Z )dZ
1 1 2 2 2 2 其转动惯量： dJ r dm ( R Z ) dZ 2 2
1 2 dJ r dm 2 1 2 2 2 ( R Z ) dZ 2
N XO N
YZ


N
NX
N NX
Ny
3）求N= ？
写成分量式：
N mg maC
aCY
C
aCX
NY
N X maCX NY mg maCY
aC
mg
aCX ….实际上正是质心的转动的切向加速度 aCY ….实际上正是质心的转动的法向加速度
求N，就得求 ，即C点的 C 加速度，现在C点作圆周运动， mg 可分为切向加速度和法向加速 度但对一点来说，只有一个加 速度。故这时：
例题1 求质量为m，长为l的均匀细棒对下面转轴 的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直； (2) 转轴通过棒的一端并和棒垂直。
解：(1) 在棒上离轴x处，取一长度元dx（如图所 示），如果棒的质量线密度为，则长度元的质 量为dm=dx，根据转动惯量计算公式：
J r dm
2
A
O l
2）=？

2）=？
N YZ



0
XO
r
mg
3g d cosd 0 2L 1 2 3g / 2 3g sin 0 2 2L 2L
/2
3g L
3）求N=？ 轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质 心的运动，故考虑用质心运动定理来解。