2016年高考数学中等生百日捷进提升系列专题10 圆锥曲线(含解析)

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全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案#(精选.)

圆锥曲线部分高考试题汇编（椭圆部分）1、（2016全国Ⅰ卷）（20）（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.2、（2015全国Ⅰ卷）（14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为。

3、（2014全国Ⅰ卷）20.（本小题满分12分）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.4、（2016山东卷）（21）(本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG 的面积为1S ，PDM 的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.5、（2015山东卷）（20） (本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. （ⅰ）求||||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积最大值.圆锥曲线部分高考试题汇编（双曲线部分）1、（2016全国Ⅰ卷）（5）已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)2、（2015全国Ⅰ卷）（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是（）（A ）（（B ）（（C ）（3-，3）（D ）（3-，3）3、（2014全国Ⅰ卷）4. 已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（）A .B .3CD .3m4、（2016山东卷）（13）已知双曲线E 1：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______ .5、（2015山东卷）(15)平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .6、（2014山东卷）（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C与2C 2C 的渐近线方程为（）（A ）0x ±= （B 0y ±= （C ）20x y ±= （D ）20x y ±=圆锥曲线部分高考试题汇编（抛物线部分）1、（2016全国Ⅰ卷）（10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为（）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 2、（2015全国Ⅰ卷）（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。

高考数学圆锥曲线专题练习及答案解析

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X = —½距离为6,点P,Q是椭圆上的两个动点©
C
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AP丄40,求证：直线P0过泄点R,并求出R点的坐标。
【例二・】已知一动圆经过点M(2,0),且在y轴上截得的弦长为4,设该动圆圆心的轨迹为曲线C。
(1)求曲线C的方程；
(2)过点N(1,O)任意作两条互相垂直的直线∕1,∕2,分别交曲线C于不同的两点A,B和
的焦点，直线4F的斜率为少，O为坐标原点。
3
（1）求E方程；
（2）设过点A的直线/与E相交于PQ两点，当AOP0的面积最大时，求/的方
程。
专题练习
1•在平面直角坐标系XOy中，已知点A（O,—OB点在直线y = -3±, M点满足
MB//QA,莎•亦=屁•鬲M点的轨迹为曲线C。
(1)求C的方程：
(2)P为C上的动点，/为C在P点处的切线，求O点到/距离的最小值。
10.抛汤钱屮阿基来德三角形鲂纟见般质及疝用
11.(S傩曲钱屮的戒切後龜哩
锥曲线中的求轨迹方程问题
解题技巧
求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的髙频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、
相关点法、泄义法、参数法等。它们的解题步骤分别如下：
1.直译法求轨迹的步骤：
(1)设求轨迹的点为P(χ,y);
(2)由已知条件建立关于x,y的方程；
D,Q设线段ABQE的中点分别为几。・
①求证：直线P0过左点R,并求出泄点/?的坐标;
②求PGl的最小值。
专题练习
1.设椭圆E:丄y+ =y=l（α> b > 0）的右焦点到直线x-y + 2√z2=0的距离为3,且过点Cr Ir
I

2016届高考数学·圆锥曲线方程(Word版含解析)

阶段性综合检测（四）解析几何初步圆锥曲线方程时间120分钟满分150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·晋中一模)已知直线的倾斜角的余弦值是12，则此直线的斜率是()A.3B．－ 3C.32D．±3解析：设倾斜角为α，则cosα＝12，sinα＝1－cos2α＝32，∴斜率k＝tanα＝sinαcosα＝ 3.答案：A2．(2015·于都一模)已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值是()A．5 B．2C．－10 D．17解析：依题意得k AB＝8－aa＋1＝2，解得a＝2.答案：B3．(2015·丰台一模)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析：方法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA |2＝|CB |2，∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2， ∴a ＝1，b ＝1，∴r ＝2，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 方法二：∵k AB ＝1＋1－1－1＝－1且AB 的中点为(0,0)， ∴AB 的垂直平分线方程为y ＝x . 由⎩⎨⎧y ＝x x ＋y －2＝0可得圆心坐标为(1,1)， ∴半径r ＝(1－1)2＋(1＋1)2＝2，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 答案：C4．(2015·白山联考)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：把直线方程化为(－x －y ＋1)＋a (x ＋1)＝0，令⎩⎨⎧ －x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2， ∴直线过定点C (－1,2)，∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，化为一般式为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案：C5．(2015·北京房山区一模)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －2y ＋3＝0D ．x －y ＋1＝0解析：若∠ACB 最小，则CM ⊥l ，可知C (2,0)， ∴k CM ＝2－01－2＝－2，∴直线l 的斜率为k ＝12，∴直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0答案：C6．(2015·诸城一中月考)已知a＞b＞0，e1，e2分别为圆锥曲线x2a2＋y2b2＝1和x2a2－y2b2＝1的离心率，则lg e1＋lg e2的值() A．大于0且小于1 B．大于1 C．小于0 D．等于0解析：可知e1＝1－(ba)2，e2＝1＋(ba)2，∴lg e1＋lg e2＝lg(e1e2)＝lg(1－b2a2)·(1＋b2a2)，∵(1－b2a2)(1＋b2a2)＜[(1－b2a2)＋(1＋b2a2)2]＝1，∴lg e1＋lg e2＜lg1＝0. 答案：C7．(2015·山东实验中学诊断)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为()A．1 B. 3C.33 D.36解析：抛物线的焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±33x，即3x±3y＝0，故焦点F到双曲线渐近线的距离为d＝233＋9＝1.答案：A8．(2015·许昌模拟)已知抛物线x2＝43y的准线过双曲线x2m2－y2＝－1的焦点，则双曲线的离心率为()A.324 B.3104C. 3D.3 3解析：易知抛物线的准线方程为y ＝－3，双曲线x 2m 2－y 2＝－1的焦点坐标为(0，±m 2＋1)，∴m 2＋1＝3＝c 2，∴c ＝3，∴双曲线的离心率为e ＝31＝ 3.答案：C9．(2015·贺兰一中期末)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1D.x 2132－y 2122＝1解析：对于椭圆C 1，a ＝13，c ＝5，曲线C 2为双曲线，c ＝5，a ＝4，b ＝3，故其标准方程为x 242－y 232＝1.答案：A10．(2015·兰州模拟)已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：∵双曲线C ：x 29－y 216＝1中，a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝6＋10＝16.作PF 1边上的高AF 2，则|AF 1|＝8，∴|AF 2|＝6，答案：C11．(2015·孝感一中期末)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5D.92解析：利用抛物线的定义，连接点(0,2)和抛物线的焦点F (12，0)交抛物线于点P ，则点P 使所求距离最小，其最小值为(0－12)2＋(2－0)2＝172.答案：A12．(2015·莱芜期末)点P 到点A (12，0)，B (a,2)及到直线x ＝－12的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是( )A.12 B.32 C.12或32D ．－12或12解析：∵点P 到点A (12，0)与到定直线x ＝－12的距离相等，∴点P 在以A 为焦点，以直线x ＝－12为准线的抛物线上，同时在线段AB 的垂直平分线上，结合图形可知适合条件的点B 的坐标为(－12，2)和(12，2)，故a ＝－12或12. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

2016届高考数学(文)考纲解读及热点难点试题演练专题10圆锥曲线(专题)(解析版)

【2016年高考考纲解读】(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B 级要求； (2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求. （4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题. 【重点、难点剖析】 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． 2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)； (2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)． 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆：e ＝ca ＝1－b 2a 2；(2)双曲线：①e ＝ca ＝1＋b 2a 2.②渐近线方程：y ＝±b a x 或y ＝±ab x . 4．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义；②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)；双曲线方程可设为x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)．这样可以避免讨论和繁琐的计算． 5．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；(3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.6．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算．7．圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1，F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有①|OP|∈[b，a]；②|PF1|∈[a－c，a＋c]；③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①|OP|≥a；②|PF1|≥c－a.8．定点、定值问题定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．9．解决最值、范围问题的方法解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.【题型示例】题型1、椭圆的定义及其标准方程例1．(2015·广东，8)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 【答案】 B【解析】由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.【变式探究】(2015·福建，11)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1【答案】 A 【解析】【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解析】 (1)由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．考点二椭圆的性质例2．(2015·浙江，15)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是．【答案】 22 【解析】【变式探究】(2015·安徽，20)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .【解析】【变式探究】(2015·陕西，20)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.【解析】(1)解由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.【变式探究】(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．【解析】＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝ 2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ2.题型三双曲线的定义及其标准方程例3．(2015·安徽，6)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D.x 22－y 2＝1【答案】 A【解析】由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.【变式探究】(2015·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0 )的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1【答案】 D 【解析】【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，15)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为______________．【答案】 x 24－y 2＝1【解析】由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【变式探究】(2015·北京，12)已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________.【答案】3【解析】由题意：c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2.得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3.【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，16)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【答案】 12 6 【解析】题型四双曲线的几何性质例4．(2015·湖南，6)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54C.43D.53【答案】 D【解析】由条件知y ＝－ba x 过点(3，－4)， ∴3ba ＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2， ∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.【变式探究】(2015·四川，7)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433 B ．2 3 C ．6 D ．4 3【答案】 D【解析】右焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23，∴A (2，23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3.【变式探究】(2015·重庆，9)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22 C ．±1D ．± 2【答案】 C【解析】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c ，0)，左、右顶点分别为A 1(－a ，0)， A 2(a ，0)，易求 B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，则kA 2C ＝b 2ac ＋a，kA 1B ＝b 2aa －c ，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ·kA 2C ＝－1，即b 2a c ＋a ·b 2a a －c ＝－1， ∴b 4a 2c 2－a 2＝1， ∴a 2＝b 2，即a ＝b ， ∴渐近线斜率k ＝±ba ＝±1.【变式探究】(2015·湖北，9)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 【答案】 B 【解析】题型五抛物线的定义及其标准方程例5．(2015·陕西，3)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)【答案】 B【解析】由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0，故选B.【变式探究】(2015·浙江，19)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t ＞0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．【解析】(2)由(1)知，|AP |＝t ·1＋t 2 和直线PA 的方程tx －y －t 2＝0，点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t 2，设△PAB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AP |·d ＝t 32.【变式探究】(2014·福建，21)已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝⎛⎭⎫12x 0＋6x 0，3.又N (0，3)，所以圆心C ⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 0，3. 半径r ＝12|MN |＝|14x 0＋3x 0|，|AB |＝|AC |2－r 2＝⎣⎡⎦⎤12x 0－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．题型六抛物线的性质例6．(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】 B【解析】因为e ＝c a ＝12，y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以c ＝2，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3，所以|AB |＝6.【变式探究】(2015·福建，19)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【解析】法一 (1)解由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x . (2)所以k GA＋k GB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．题型七直线与圆锥曲线的位置关系例7．(2015·四川，10)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r ＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是() A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4)【答案】 D【解析】【变式探究】(2015·天津，19)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率；(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.①求λ的值；②若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程．【解析】 (1)设F (－c ，0)．由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5c ，b ＝2c ，又因为B (0，b )，F (－c ，0)，故直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2cc ＝2.【变式探究】(2015·北京，20)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．【解析】 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2. 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63.(2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)，直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)，令x ＝3，得M (3，2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.。

2016年高考数学中等生百日捷进提升系列(综合提升篇)专题05 解析几何解答题(含解析)

专题五解析几何解答题直线与圆锥曲线的位置关系【背一背重点知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即(,)0Ax By CF x y++=⎧⎨=⎩消去y后得ax2＋bx＋c＝0.通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示。

(1)圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1－x2|·|y1－y2|.（抛物线错误！未找到引用源。

的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝22sinpθ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．【讲一讲提高技能】1、利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解。

例1已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.分析：（1）把椭圆C ：2224x y +=化为标准方程，确定2a ，2b ，利用ace =求得离心率；（2）设点),(00y x A ，)2,(t B ，其中00≠x ，由OB OA ⊥，即0=∙OB OA ，用0x 、0y 表示t ，当t x =0或t x ≠0分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系. 【解析】故22168|4|4|22|20204020202020200200=+++=++-=xx x x x xy y x x y x d .故此直线AB 与圆222=+y x 相切.2、利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |·|x 1－x 2||y 1－y 2|，而|x 1－x 2|立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．例2已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其中12,F F 为左、右焦点，且离心率3e =，直线l 与椭圆交于两不同点()()1122,,,P x y Q x y .当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为4π时，原点O 到直线l 的距离为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）若OP OQ ON += ，当OPQ ∆面积为2||||ON OP ⋅ 的最大值.【答案】（1）22132x y +=；（2）5. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出点斜式的直线l 的方程，再结合椭圆的离心率解出a ，b ，c ，从而写出椭圆的方程；第二问，分直线l 的斜率是否存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可数形结合得到结论，当斜率存在时需直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理两点间距离公式，代入到面积公式中，找出k 与m 的关系，再计算22||||ON OP ⋅ ，利用基本不等式求最值.由前知123kx x m +=-，2121232()22k y y k x x m m m m +=++=-+=， 22221212222941()()2(3)k ON x x y y m m m=+++=+=- .22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++ 11分 2222114(3)(2)25ON PQ m m =-+ ≤，当且仅当221132m m-=+，即m =时等号成立，故5ON PQ≤. 综上可知ON PQ的最大值为5. 13分3、利用点差法求解圆锥曲线问题点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的。

（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx

（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。

高三数学圆锥曲线试题答案及解析

高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【答案】D【解析】以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得：是的中点，利用中点坐标公式，得,在双曲线上，所以代入双曲线方程得：,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质；2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.（Ⅰ）求动点轨迹的方程；（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得．故曲线的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得． 7分设，，，．从而．11分当直线的斜率不存在时，得，得．综上，恒有． 12分【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，又圆与轴相切，故点的坐标为，不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义得到，再得到方程；（Ⅱ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算的值.试题解析：（Ⅰ）由题根据抛物线定义，所以，所以为所求． 2分（Ⅱ）设则，同理 4分设AC所在直线方程为，联立得所以， 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得， 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果.试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为， 2分设，所以的取值范围是 4分（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），（5分）代入得：即 7分同理 9分所以（10分）【考点】极坐标、参数方程，换元法应用.10.已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．【答案】B【解析】设、，所以、．所以．故选B．【考点】两点之间的距离点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。

2016年高考真题解答题专项训练：圆锥曲线(理科)

2016年高考真题解答题专项训练：圆锥曲线（理科）1．（2016.山东）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是2，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. （ⅰ）求证：点M 在定直线上;2．（2016.四川）已知椭圆E ：错误！未找到引用源。

222210x y a b a b+=>>（）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l: 3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T.（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P.证明：存在常数λ，使得2PT PA PB λ=⋅，并求λ的值.3．（2016.浙江）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.4（2016.江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A （2，4）.（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=，求实数t的取值范围.5．（2016.天津）设椭圆2221(3x y a a +=> 的右焦点为F,右顶点为 A.已知113,||||||eOF OA FA += 其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA≤∠MAO,求直线l 的斜率的取值范围.6．（2016.北京）已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：BM AN ⋅为定值.7．（2016.全国三卷）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.8．（2016.全国二卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.9．（2016.全国一卷）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （Ⅰ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.参考答案1．（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（Ⅰ）由点P 的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（Ⅱ）分别列出1S ，2S 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P 的坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ）（Ⅰ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得y'x =，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0∆>，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ，因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为mx y 4100-=，所以直线OD 方程为x m y 41-=.联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M14y =-，即点M 在定直线41-=y 上. （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -，又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ，所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ，所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ，令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=tt t t t S S ，当211=t，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(.【考点】椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法（如二次函数的性质、基本不等式、导数等）求“目标函数”的最值.本题的易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等.2．（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.【解析】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关于x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：（Ⅰ）由已知，a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ，此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠，由方程组123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，，可得22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289P T m =.设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，.由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，可得2234(412)0x mx m ++-=.② 方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得22m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==--，同理223m PB x =--，所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =. 故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把MA MB ⋅用12,x x 表示出来，并代入1212,x x x x +的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．3．（Ⅰ）22221a k a k +（Ⅱ）0e <≤【解析】试题分析：（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22211y k x x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k xa kx ++=，故10x =，222221a kx a k =-+．因此2122221a k AP x a k=-=+ （Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =，2AQ =，12=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤由c e a a==得，所求离心率的取值范围为02e <≤．【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．【思路点睛】（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点()0,1Α为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求得a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围． 4．（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22t -≤+【解析】试题分析：（1）根据直线与x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5，. （1）由圆心N 在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. （2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA ===而222,2BC MC d =+（）所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. （3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ += ，所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩ ……①因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-= …….② 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦没有公共点，所以5555,-≤+解得22t -≤≤+.因此，实数t的取值范围是22⎡-+⎣.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.5．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ . 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a 的值，由113||||||eOF OA FA +=，得113()c c a a a c +=-，再利用222a c b -=，可解得a 的值；（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 的中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||e OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k .解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH (1,)H y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++ .由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅= ，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得kk y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(MM M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．6．（Ⅰ）1422=+y x ；（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：=c a ，△OAB 的面积为1，即121=ab ，椭圆中222c b a +=列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出BM AN ,的值，求其乘积为定值.试题解析：（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算. 7．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21y x =-．【解析】试题分析：（Ⅰ）设出与x 轴平行的两条直线的方程，得出,,,,A B P Q R 的坐标，然后通过证明直线AR 与直线FQ 的斜率相等即可证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，利用面积关系可求得1x 的值，设出AB 的中点(,)E x y ，根据AB 与x 轴是否垂直分两种情况讨论求解.试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥. （Ⅱ）设l与x轴的交点为)0,(1x D ，则11112222AB F P Q F a b S b a FD b a x S ∆-=-=--=||||||||||,△. 由题设可得111222a b b a x ---=||||||，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x y b a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .【考点】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，轨迹方程的求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．8．（Ⅰ）14449；（Ⅱ）).【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN △的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用,t k 表示||AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN △的面积AMN S △11212144227749=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM 的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x ==由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <.因此k 的取值范围是).【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．9．（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）；（Ⅱ）)38,12[ 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

【推荐】山东省2016届高三数学(文)优题精练：圆锥曲线 Word版含答案[ 高考]

14、如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正
半轴相交于两点M，N(点M必在点N的右侧），且
已知椭圆D：的焦距等于，且过点
( I )求圆C和椭圆D的方程；
(Ⅱ)若过点M斜率不为零的直线与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．
15、已知椭圆 : 的焦距为 ,离心率为 ,其右焦点为 ,过点作直线交椭圆于另一点 .
山东省2016届高三数学文优题精练
圆锥曲线
一、选择、填空题
1、（2015年高考）过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点 .若点的横坐标为 ,则的离心率为.
2、（2014年高考）已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为。
(1)求椭圆C的方程；
(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设＝t ，求实数t的值．
4、（滨州市2015届高三一模）已知椭圆的左右焦点分别是，且的坐标为，离心率为。
直线与椭圆交于两点，当时，M是椭圆C的上顶点，且的周长为6.
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）点P（2，），Q（2，－）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点。当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
6、（菏泽市2015届高三一模）椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点。
（1）求椭圆的方程；
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点.

(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)

历年高考圆锥曲线2000年：（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直03422=+++x y x 线的方程是（）（A ）（B ）（C ）（D ）x y 3=x y 3-=x 33x 33-（11）过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线()02>=a ax y段PF 与FQ 的长分别是、，则等于（）p q qp 11+（A ）（B ）（C ）（D ）a 2a21a 4a4（14）椭圆的焦点为、，点P 为其上的动点，当为钝角14922=+y x 1F 2F 21PF F ∠ 时，点P 横坐标的取值范围是________。

（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中，点E 分有向线段所成的比为，CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。

当时，求双曲线离心率4332≤≤λ的取值范围。

e 2004年3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为（）032=+-y x A ．B ．C ．D ．12=-+y x 052=-+y x 052=-+y x 072=+-y x 8．已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆x 0443=++y x C 的方程为（）A ．B ．03222=--+x y x 0422=++x y x C ．D ．3222=-++x y x 0422=-+x y x 8．（理工类）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线21=e 的焦点重合，x y 42-= 则此椭圆方程为（）A ．B ．13422=+y x 16822=+y x C ．D ．1222=+y x 1422=+y x 22．（本小题满分14分）双曲线的焦距为2c ，直线过点（a ，0）和（0，b ），且点)0,1(12222>>=-b a by a x l （1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e l l .54c s ≥的取值范围.2005年：9．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且则点1222=-y x 12,F F M 120,MF MF ⋅= 到M 轴的距离为（x ）A ．B ．CD435310．设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△为12,,F F 2F 12F PF等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A B C ．D 2121、（理工类）（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。

高中数学圆锥曲线试题（含答案解析）！高中生一定要过一遍

高中数学圆锥曲线试题（含答案解析）！高中生一定要过一遍
圆锥曲线，在高考中一直作为压轴大题的形式出现，其实圆锥曲线很简单，是在圆锥中发现的一种曲线，垂直于母线切一刀的切面即为圆锥曲线，其中锐角圆锥切面为椭圆，直角圆锥切面为抛物线，钝角圆锥切面为双曲线。

多多总结题型，圆锥曲线题型也就十多种。

一般解题时都会用到了弦长、弦的中点和向量垂直等知识，而问题的解决仍然是转化为弦的端点坐标来表示。

如果不知道斜率存在问题，上面已经告诉怎么设了，还有要知道如何由纵坐标的数量关系计算出横坐标的数量关系。

今天给同学们分享一份圆锥曲线的试题，同学们一定要仔细做一遍，在核对答案解析哦，另外呢，这份资料是word版的，所以大家可以下载！最重要的是：可以放在手机上，保存然后阅读，平时都可以拿手机随便翻翻来记忆。

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专题10 圆锥曲线(捷进提升篇)-2021年高考数学备考中等生百日捷进提升系列(原卷版)

a 2- b 2F 背一背重点知识F1.椭圆的定$:第十章圆锥曲线椭圆的定$fl 标准方程s 几何性质C13第一定$:平面内到两定点 F 1,F 2 的距离之和fi 定值 2a(2a >|F 1F 2|)的点的轨迹. C 23第二定$:平面内fl 定点和直线的距离之比fi 定值 e 的点的轨迹.C 0<e <13.2.‰形fl 方程C 以一个fi 例3‰形x 2 y 2标准方程: a 2 + b2 = 1(a >b >0)3. 几何性质:C13范围 -a ≤ x ≤ a , -b ≤ y ≤ bC23中心坐标原点O (0, 0)C33顶点 (a , 0), (-a , 0), (0, b ), (0, -b )C43对称轴 x 轴, y 轴,长轴长2a ,短轴长2bC53焦点C63离心率F 1 (-c , 0), F 2 (c , 0)e = c,C 0 < e < 13 aa2 焦距 2c ,C c =C73准线 x = ±cC83焦半ᖴ r 左 = a + ex 0 , r 右 = a - ex 0C93通ᖴ2b 2aa 2C103焦参数cF 讲一讲提高技能F1. 必备技能:C13要能够灵活ƒ用圆锥曲线的两个定$C 及其“括号”内的限制条件3解决有关问题,如果⎹及到其两焦点(或两相异定点),那‡优先选用圆锥曲线第一定$:如果⎹及到焦点й角形的问题,h 要重视第一定$和й角形中fl 余弦定理等几何性质的ƒ用,尤其注意圆锥曲线第一定$fl 配方法的综合䘀用o C 23椭圆的定$中ƒ注意常数大于|F 1F 2|.因fi 当平面内的动点fl 定点 F 1s F 2 的距离之和等于|F 1F 2|时, 其动点轨迹就是线段 F 1F 2:当平面内的动点fl 定点 F 1s F 2 的距离之和小于|F 1F 2|时,其轨迹н存在． C33求椭圆的标准方程ķ定$法:根据椭圆定$,确定a 2, b 2的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程．ĸ定系数法:根据椭圆焦点是在 x 轴还是在 y 轴k,设出相ƒ形式的标准方程,然后根据条件确定关于a sb sc 的方程‰,解出a 2 , b 2 ,从而写出椭圆的标准方程．C43椭圆中有一个十y 重要的△OF 1B 2(如‰),它的й边长y 别fi a s b s c .易见c 2= a 2- b 2,且若记∠OF 1B 2= θ ,则cos θ = c= e . aC53在掌握椭圆简单几何性质的基础k,能对椭圆性质有更多的了解,如: ķa + c fl a - c y 别fi 椭圆k 点到焦点距离的最大值和最小值:2b 2 ĸ椭圆的通ᖴ(过焦点垂直于长轴的弦)长a,过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值．x 2 C63共离心率的椭圆系的方程:椭圆 a 2 y 2+ b 2 = 1(a > b > 0) 的离心率是e = c (c = aa 2 -b 2 ) ,方程10 222x y 2+a 2b 2=t(t 是大于 0 的参数,a >b > 0 的离心率h是e =cfi们称fl方程fi共离心率的椭圆系方程.a2.典型例题:x2 y2例1 已知椭圆C:2+2=1(a >b > 0) 的左右焦点fi F1,F2 离心率fi,过F2 的直线l 交C fl A,B 两点,a b 3若△AF1B 的周长fi 4,则C 的方程fiC 3x2 y2A. +=1x2B. +y =1x2 y2C. +=1x2 y2D. +=13 2 3 12 812 4例2 设F1s F2fi椭圆的两个焦点,A fi椭圆k的点,且AF2 ⋅F1F2 = 0, cos ∠AF1F2 = ,则椭圆的离心3率fiC 3A．B．8 4C．D．4 2F㓳一㓳提升能力Fx2 y2 3a1.设F1,F2 是椭圆E :a2+b2=1C a >b >03的左s右焦点,P fi直线x =2k一点,△F2 PF1 是¾角fi 300 的等腰й角形,则E 的离心率fi1 2A．B．2 33 4C．D．4 51x2 y22.过点M (1,1)作斜率fi -2的直线fl椭圆C :a2+b2中点,则椭圆C 的离心率fi .= 1(a >b > 0) 相交于A, B ,若M 是线段AB 的F背一背重点知识F1.双曲线的定$:双曲线的定$fl标准方程s几何性质C13第一定$:平面内到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值fi定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹.C23第二定$:平面内fl定点和直线的距离之比fi定值e 的点的轨迹.C e > 1 3.332 210 2a 2+ b 22.‰形fl 方程C 以一个fi 例3‰形x 2 y 2标准方程: a 2 - b2 = 1 (a >0,b >0)3. 几何性质:C13 范围 x ≥ a , y ∈ RC23中心坐标原点O (0, 0)C33顶点 (a , 0), (-a , 0)C43对称轴 x 轴, y 轴,实轴长2a ,虚轴长2bC53焦点C63离心率F 1 (-c , 0), F 2 (c , 0)e = c,C e > 1 3 a a 2焦距 2c ,C c = 3C73准线 x = ±c bC83渐½线: y = ± xaC93焦半ᖴ r 左 = ex 0 + a , r 右 = ex 0 - aC103通ᖴ2b 2 aa 2C113焦参数cF 讲一讲提高技能F1.必备技能:A ．求双曲线标准方程的方法(1)定$法,根据题目的条件,判断是否满足双曲线的定$,若满足,求出相ƒ的 a s b s c 即可求得方程．3(2)定系数法,其↕骤是:ķ定位:确定双曲线的焦点在哪个坐标轴k: ĸ设方程:根据焦点的位置设出相ƒ的双曲线方程: Ⓢ定值:根据题目条件确定相关的系数．B ．几种特殊情况的标准方程的设法x 2 y 2 x 2 y 2(1) fl 双曲线 a 2 - b 2 = 1共渐½线的双曲线方程fi a 2 - b 2 = λ(λ ≠ 0) ．n x 2 y 2(2)渐½线fi y = ± m x 的双曲线方程fi m 2 - n2 = λ(λ ≠ 0) ．x 2y 2 x 2 y 2 2 2(3) fl 双曲线 a 2 - b 2 = 1共焦点的双曲线方程fi a 2 - λ - b 2 - λ= 1(-b < λ < a ) ．x 2y 2 x 2 y 2 2 2(4) fl 椭圆 a 2 + b 2 = 1 (a > b > 0) 有共同焦点的双曲线方程fi a 2 - λ - b 2 - λ= 1(b < λ < a ) ．C ．双曲线渐½线的斜率fl 离心率的互化 ba 2c 2 a 2 + b 2 b 2渐½线的斜率fi ±或±,它fl 离心率可通过以f关系联系起来: e ab= a 2=a 2= 1+ ( ) .aD ．直线fl 双曲线的位置关系问题,通常⎹及双曲线的性质s 最值s 弦长s 垂直s 中点等问题．解决的方法x 2 y 2通常是把双曲线方程 C: a 2 - b2 = 1fl 直线方程l :y =kx +m(m ≠0)联立⎸去 y ,可整理fi (b 2 - a 2k 2 )x 2 -2a 2mkx - a 2m 2 - a 2b 2 = 0 的形式,当b 2 - a 2k 2 = 0 ,即k = ± b时,直线 l fl 双曲线 C 的a渐½线平行,直线 l fl 双曲线 C 只有一个交点,h 就是说“直线 l fl 双曲线 C 有一个交点”是“直线fl 双曲线相fl ”的必要而н充y 条件．当b 2 - a 2k 2 ≠ 0 ,即k ≠ ± b时,再通过研究整理出来的一元二⅑方程去a解决有关弦长s 最值等问题．2.典型例题:例 1 已知 F fi 双曲线C : x 2 - m y 2 = 3m (m > 0) 的一个焦点,则点 F 到C 的一条渐½线的距离fiC 3A. B. 3 D. 3m例 2 双曲线的两个顶点й等y 焦距,则双曲线的离心率fiC 3 A ．4B ．3C ．2D ．1F 㓳一㓳提升能力FC. 3myx 2 1. 已知双曲线 a 2 2- =1 (a > 0,b > 0)的一条渐½线平行于直线l : y = 2x +10 ,双曲线的一个焦点 b2在直线l k,则双曲线的方程fiC 3x 2 CA3 y 2- = 1x 2 CB3 y 2- =1CC3 3x 23y 2 - = 1CD3 3x 23y 2 - =1 520 20 525 100100 25x 2 y 22. 已知点 P 是双曲线 a 2 - b2 =1(a > 0,b > 0) 右支k 一点, F 1, F 2 y 别是双曲线的左s 右焦点, I fi∆PF 1F 2 的内心,若 S∆IPF 1= S ∆IPF 21S 2∆IF 1F 2fi 立,则双曲线的离心率fiC 35 A ．4B ．25 C ．2 D ．3F 背一背重点知识F1. 抛物线的定$:抛物线的定$fl 标准方程s 几何性质平面内fl 定点和直线的距离相等的点的轨迹. C e =132.‰形fl 方程C 以一个fi 例3‰形标准方程: y 2 = 2 px ( p > 0)3. 几何性质:C13范围 x ≥ 0 㓿,y ∈ RC23中心无C33顶点 O (0, 0)C43对称轴x 轴0 0 0 0 1 1 2 2C53焦点C63离心率 pF ( , 0)2e = 1 p 焦距无C73准线 x = -2pC83焦半ᖴ r = x 0 + 2C93通ᖴ 2 pC103焦参数 p F 讲一讲提高技能F1 必备技能: A ．对于抛物线的标准方程 y2 = ±2 p x ( p > 0) fl x 2 = ±2 p y ( p > 0) ,重点把握以f 两点: (1) p 是焦点到准线的距离, p 恒fifl 数:(2)方程形式有四种,要搞清方程fl ‰形的对ƒ性,其规律是“对称轴看一⅑项,符号决定开口方向”． B ．抛物线的几何性质以考查焦点fl 准线fiK ．根据定$,抛物线k 一点到焦点的距离和到准线的距离相等, 可得以f 规律:(1)抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) k 一点 M (x , y ) 到焦点 F 的距离 MF = x + p:2(2)抛物线 y 2 = -2 px ( p > 0) k 一点 M (x , y ) 到焦点 F 的距离 MF = p- x :2(3)抛物线 x 2= 2 p y ( p > 0) k 一点 M (x , y ) 到焦点 F 的距离 MF = y + p: 0 2(4)抛物线 x 2= -2 p y ( p > 0) k 一点 M (x , y ) 到焦点 F 的距离 MF = p - y . 2 0C ．直线fl 抛物线的位置关系类似于前面所讲直线fl 椭圆s 双曲线的位置关系．特别地,已知抛物线 y 2 = 2 p x ( p > 0) ,过其焦点的直线交抛物线于 A s B 两点,设 A (x , y ), B (x , y ) ．则有以f 结论:2 p (1) AB = x 1 + x 2 + p ,或 AB = sin 2 αp 2(α fiAB 所在直线的倾斜角): (2) x 1 x 2 = 4:2(3) y 1 y 2 = - p .过抛物线焦点且fl 对称轴垂直的弦称fi 抛物线的通ᖴ,抛物线的通ᖴ长fi 2 p .2 522 典型例题:例 1 设 F fi 抛物线C : y 2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角fi 30︒ 的直线交C 于 A , B 两点,则 AB = C 3CA33C B 3 6 C C 312 CD 3 7例 2 直线l 过抛物线 x 2= 2 py ( p > 0) 的焦点,且fl 抛物线交于 A s B 两点,若线段 AB 的长是 6, AB 的中点到 x 轴的距离是 1,则fl 抛物线方程是C 3 A ． x 2= 12 yB ． x 2= 8 yC ． x 2= 6 yD ． x 2= 4 yF 㓳一㓳提升能力F 1.已知抛物线C 的顶点在坐标原点,准线方程fi x = -1,直线l fl 抛物线C 相交于 A , B 两点．若线段 AB 的中点fi (2,1) ,则直线l 的方程fiC 3A ． y = 2x - 3B ． y = 2x - 1C ． y = x - 3D ． y = x - 12. 已知点 A (-2, 3) 在抛物线 C: y 2= 2 p x 的准线k,记 C 的焦点fi F,则直线 AF 的斜率fiC34A ． -B ． -1331 C ． -D ． -4 2C 一3 选择题C12*5=60 y31. 已知椭圆的焦点是 F 1, F 2 , P 是椭圆k 的一个动点,如果延长 F 1P 到Q ,使得 PQ = Q 的轨迹是C 3A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线PF 2,那‡动点2. 双曲线2 x- y 244 =1 的顶点到渐进线的距离等于C 3 A. 5 B. 5C. D. 5 53034 53 3 23 3 22x 2 y 23. 椭圆 + 12 3= 1的一个焦点fi F 1 ,点 P 在椭圆k ．如果线段 PF 1 的中点 M 在 y 轴k,那‡点 M 的纵坐标是C 3A ． ±B ． ±C ． ±D ． ± 342 2 4x 2 y 2 4.椭圆 + 12 3= 1的一个焦点fi F 1 ,点 P 在椭圆k ．如果线段 PF 1 的中点 M 在 y 轴k,那‡点 M 的纵坐标是C 3A ． ±B ． ±C ． ±D ． ± 3422 45. 若实数k 满足0 < k < 5 ,则曲线 x y2x 2 - = 1fl 曲线 y 2- = 1的C 316 5 - k 16 - k 5A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等x 2 y 26.已知双曲线 a 2 - b2 =1(a>0,b>0)的左s 右焦点y 别fi F l ,F 2,以 F 1F 2 fi 直ᖴ的圆fl 双曲线渐½线的一个交点fi(3,4),则fl 双曲线的方程fi C3x 2 y 2A ． - = 1x 2 y 2B ． - = 1x 2y 2C ． - = 1x 2 y 2D ． - = 116 93 49 164 37.设 O f i 坐标原点, F fi 抛物线 y 2= 4x 的焦点, A f i 抛物线k 一点,若 O A ⋅ A F = -4 ,则点 A 的坐标fi C3C A 3 (2 ,± 2 2) C B 3 (1,± 2) C C 3 (1,2)C D 3 (2 ,2 2)x 2 y 28.已知 F 1, F 2 y 别是双曲线 a 2 - b2 = 1的左右焦点,若 F 2 关于渐½线的对称点fi M ,且有| MF 1 |= c ,则fl双曲线的离心率fiC3A ．B ．C ． 2D ．23224 35 + 1 2 5 ∆ABC π9. 已知 F 1, F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且∠F 1PF 2 = 3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值fiC3A. B. 33 C.3 D.2 10.设抛物线C : y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点fi F ,点 M 在C k , MF = 5 ,若以 MF fi 直ᖴ的圆过点 (0,2) ,则C 的方程fiC 3A ． y 2 = 4x 或 y 2= 8xB ． y 2 = 2x 或 y 2 = 8xC ． y 2 = 4x 或 y 2 = 16xD ． y 2 = 2x 或 y 2 = 16xx 2 y 2 11.已知斜率fi 2 的直线l 双曲线C : a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0) 交 A , B 两点,若点 P (2,1) 是 AB 的中点,则C 的离心率等于C 3CA) 2 (B) 2 (C) (D) 12.已知点 A 是抛物线 y = 1 x 2的对称轴fl 准线的交点,点 F fi 该抛物线的焦点,点 P 在抛物线k 且满足 4| PF |= m | PA | ,当m 取最小值时,点 P 恰好在以 A ,F fi 焦点的双曲线k ,则该双曲线的离心率f i C 3A ．B ． 2 2C ． +1D ． + 1C 二3 填空题C4*5=20 y3 13. 在△ABC 中, ∠A = 300 ,| AB |= 2, S = 心率e = ．．若以A ,B fi 焦点的椭圆㓿过点C ,则该椭圆的离14. 已知椭圆的中心在原点,一个焦点fl 抛物线 y 2= 8x 的焦点重合,一个顶点的坐标fi (0, 2) ,则fl 椭圆方程fi．x 2 y 2 15.已知椭圆C : a 2 + b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率fi ,过右焦点 F 且斜率fi k C k > 0 3的直线fl 椭圆 2 23 2 3 22 +13 3C 相交于 A s B 两点．若 AF =3FB ,则k = ．x 2 y 216.在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆C 的标准方程fi a 2 + b2 = 1(a > 0, b > 0) ,右焦点fi F ,右准线fi l ,短轴的一个端点 B . 设原点到直线 BF 的距离fi d 1 , F 点到l 的距离fi d 2 . 若d 2 = 6d 1 ,则椭圆C 的离心率fi .。

高考数学备考百日冲刺中等生大提分系列：(提分培优篇)专题10 圆锥曲线(解析版)

专题10 圆锥曲线1．椭圆的定义：（1）第一定义：平面内到两定点F1，F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹．（2）第二定义：平面内与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹．（0<e<1）．2．图形、方程及其几何性质：【讲一讲提高技能】 1. 必备技能：（1）要能够灵活应用圆锥曲线的两个定义（及其“括号”内的限制条件）解决有关问题，如果涉及到其两焦点(或两相异定点)，那么优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视第一定义和三角形中正余弦定理等几何性质的应用，尤其注意圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用．（2）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|．因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在．（3）求椭圆的标准方程①定义法：根据椭圆定义，确定22,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． ②待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a b c 、、的方程组，解出22,a b ，从而写出椭圆的标准方程．（4）椭圆中有一个十分重要的△OF 1B 2(如图)，它的三边长分别为a b c 、、．易见222c a b =-，且若记12OF B θ∠=，则cos ce aθ==．（5）在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了解，如： ①a c +与a c -分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值；②椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长22b a，过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值．（6）共离心率的椭圆系的方程：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率是)(22b a c a ce -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，0ab >>的离心率也是ac e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程． 2．典型例题：例1．【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考数学（理）试题】若曲线22141x y k k+=+-表示椭圆，则k 的取值范围是____________．【答案】33(4,)(,1)22k ∈--- 【解析】试题分析:由题设可得0)1)(4(>-+k k 且k k -≠+14，解之得14<<-k 且23-≠k ，故应填33(4,)(,1)22k ∈---．例2．【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，11】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1A ，2A ，1B ，2B 为椭圆的顶点，2F 为右焦点，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】考点：椭圆的性质．【方法点睛】根据12B PB ∠为22B A 与21F B 的夹角，并分别表示出22B A 与21F B ，由∠B 1PB 2为钝角，222210B A F B ac b ⋅=-+>，利用椭圆的性质，可得到210e e +-<，即可解得离心率的取值范围．【练一练提升能力】1．【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，9】焦点在x 轴上的椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C2．【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(,0)F c -关于直线0bx cy +=的对称点M 在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D 【答案】C【解析】试题分析：设(,)M m n ，则322222210()222c b c n bm cn b c m c c b m c bcn b c ⎧--⎧==-⎪⎪⎪⎪+++=⇒⎨⎨-⎪⎪=⎪⎪⎩+⎩代入椭圆方程整理得2224(21)41e e e -∙+=，令2(01)e t t =<< 得3211410()(422)022t t t t t t +-=⇒-++=⇒=，e = 故选C ．双曲线的定义与标准方程、几何性质【背一背重点知识】 1．双曲线的定义：（1）第一定义：平面内到两定点21,F F 的距离之差的绝对值为定值2a (0<2a <|F 1F 2|)的点的轨迹．（2）第二定义：平面内与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹．（1e >）． 2．图形、方程及其几何性质：【讲一讲提高技能】 1．必备技能：A ．求双曲线标准方程的方法(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a 、b 、c 即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上； ②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数． B ．几种特殊情况的标准方程的设法(1)与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程为2222(0)x y a bλλ-=≠．(2)渐近线为ny x m=±的双曲线方程为2222(0)x y m n λλ-=≠．(3)与双曲线22221x y a b -=共焦点的双曲线方程为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<--．(4)与椭圆22221x y a b +=(0)a b >>有共同焦点的双曲线方程为2222221()x y b a a b λλλ-=<<--． C ．双曲线渐近线的斜率与离心率的互化渐近线的斜率为b a ±或ab±，它与离心率可通过以下关系联系起来：22222221()c a b b e a a a+===+． D ．直线与双曲线的位置关系问题，通常涉及双曲线的性质、最值、弦长、垂直、中点等问题．解决的方法通常是把双曲线方程C ：22221x y a b-=与直线方程l ：y ＝kx ＋m(m ≠0)联立消去y ，可整理成2222()b a k x -2222220a mkx a m a b ---=的形式，当2220b a k -=，即bk a=±时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线l 与双曲线C 只有一个交点，也就是说“直线l 与双曲线C 有一个交点”是“直线与双曲线相切”的必要而不充分条件．当2220b a k -≠，即bk a≠±时，再通过研究整理出来的一元二次方程去解决有关弦长、最值等问题． 2．典型例题：例1．【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考】直线b y 2=与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左支、右支分别交于B A ,两点，O 为坐标原点，且AOB ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（） A ．25 B ．23C ．530D ．553 【答案】B 【解析】试题分析：联立方程⎪⎩⎪⎨⎧==-b y b y a x 212222，解得222222225514a x a x b b a x =⇒=⇒=-，即()()b a B b a A 2,5,2,5-，又AOB ∆是等腰直角三角形，即OB OA ⊥，等价于=∙，代入坐标得2349494454522222222=⇔=⇔=⇔-=⇔=e e c a a c a b a ，故选B ．例2．【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考】已知双曲线E :12222=-b y a x 的右焦点为F ，圆C ：42222c y c x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-与双曲线的渐近线交于A ，B ，O 三点（O 为坐标原点）．若ABF ∆为等边三角形，则双曲线E 的离心率为（） A ．3 B ．2 C ．5 D ．3 【答案】B考点：双曲线渐近线【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．【练一练提升能力】1．【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）（开学考试）】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点F 恰好是圆22:430F x y x +-+=的圆心，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，则双曲线C 的离心率为（）A B C D ．【答案】C 【解析】2．【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试数学试题】若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为，则实数k 的值是．【答案】8【解析】试题分析：由题意得28.b k b =⇒==抛物线的定义与标准方程、几何性质【背一背重点知识】 1．抛物线的定义：平面内与定点和直线的距离相等的点的轨迹．（e =1） 2．图形、方程及其几何性质3．关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则（1）221212,4p x x y y p ==-；（2）22sin pAB θ=；（3）以AB 为直径的圆与准线相切；（4）焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；（5）112.||||FA FB P+=【讲一讲提高技能】 1必备技能：A ．对于抛物线的标准方程22(0)y px p =±>与22(0)x py p =±>，重点把握以下两点： (1)p 是焦点到准线的距离，p 恒为正数；(2)方程形式有四种，要搞清方程与图形的对应性，其规律是“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．B ．抛物线的几何性质以考查焦点与准线为主．根据定义，抛物线上一点到焦点的距离和到准线的距离相等，可得以下规律：(1)抛物线22(0)y px p =>上一点00(,)M x y 到焦点F 的距离02p MF x =+； (2)抛物线22(0)y px p =->上一点00(,)M x y 到焦点F 的距离02pMF x =-； (3)抛物线22(0)x py p =>上一点00(,)M x y 到焦点F 的距离02p MF y =+； (4)抛物线22(0)x py p =->上一点00(,)M x y 到焦点F 的距离02pMF y =-． C ．直线与抛物线的位置关系类似于前面所讲直线与椭圆、双曲线的位置关系．特别地，已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点的直线交抛物线于A B 、两点，设1122(,),(,)A x y B x y ．则有以下结论：(1)12AB x x p =++，或22sin pAB α=(α为AB 所在直线的倾斜角)； (2)2124p x x =；(3)212y y p =-．过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p ． 2典型例题：例1．【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考数学（理）试题】过点()0,2-的直线交抛物线216y x =于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且22121y y -=，则OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为（） A ．12 B ．14 C ．18 D ．116【答案】D ．【解析】例2．【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试数学试题】直线l 过抛物线()220x py p =>的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是（）A ．212x y = B ．28x y = C ．26x y = D ．24x y = 【答案】B 【解析】试题分析：直线l 经过焦点，所以126AB y y p =++=（12,y y 为,A B 两点的纵坐标），故126y y p +=-．依题意AB 中点的纵坐标为1212y p y pp +++=+，即6212p pp -+=+，解得4p =，所以此抛物线的方程为28x y =，故选B ．【方法点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求圆心的坐标．2．若()00,P x y 为抛物线()220y px p =>上一点，由定义易得02pPF x =+；若过焦点的弦AB 的端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．【练一练提升能力】1．【2017年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）（理）】已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,10)M 为圆心，||OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则P 的值是（）A ．52 B ．53 C ．56 D ．59【答案】C 【解析】2．【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）（开学考试）】已知抛物线2:4C y x =的焦点为,0F 为坐标原点，点P 在抛物线C 上，且PF OF ⊥，则OF PF -=【解析】试题分析：易知|OF|=1，||2PF =，则|||||||OF PF FO FP OP OF -=-===（一）选择题（12*5=60分）1．双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（）A ．52B ．54C ．552D ．554【答案】C【解析】由于对称性，我们不妨取顶点(2,0)A ，取渐近线为20x y -=，所以由点到直线的距离公式可得d ==2．【浙江省温州市2017届高三8月模拟考试数学（理）试题】点P 到图形C 上所有点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到圆C 外的定点A 的距离相等的点的轨迹是（）A ．射线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【答案】C ．【解析】本题主要考查点的轨迹，意在考查学生基本概念定理的辨析．试题分析：分析题意可知，PA PC r -=，其中r 为定圆的半径，故可知所求点的轨迹为双曲线的一支，故选C ．3．【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试数学（理）试题】双曲线:M 22221(0,0)x y a b a b-=>>实轴的两个顶点为,A B ，点P 为双曲线M 上除A B 、外的一个动点，若QA PA QB PB ⊥⊥且，则动点Q 的运动轨迹为（） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【答案】C4．【新疆兵团农二师华山中学2017届高三上学期学前考试数学（理）试题】点(1,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（） A ．14 B ．112-C ．14或112-D ．14-或112【答案】C 【解析】试题分析：抛物线的标准方程为:21x y a=，当0a >时11112122444p p a a a a =⇒=⇒+=⇒=，当0a <时111121224412p p a a a a =⇒=⇒-=⇒=----，故选C ．5．【河南百校联考2017届高三9月质检，4】已知抛物线2:4C y x =上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且2AF >，则A 点到原点的距离为（）A ．3B ．C ．4D ．【答案】B6．【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），4】双曲线E 的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线28y x =的焦点，则双曲线E 的虚轴长等于（）A ．4B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：因为28y x =的焦点坐标是()2,0，所以双曲线E 的一个顶点为()2,0，即2a =，又因为离心率2,42c ce c a ====，因此b ==，虚轴长等于2b =，故选D ．7．【新疆兵团农二师华山中学2017届高三上学期学前考试数学（理）试题】已知双曲线22221x y a b -=(a >0，b >0的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆被直线1x ya b+=截a ，则双曲线的离心率为（）A ．3B ．2C ．D 【答案】D 【解析】试题分析：由已知可得圆心到直线的距离222()ab ab d c c c ==⇒-=422442250252022c a c a e e e e ⇒-+=⇒-+=⇒=⇒=D ．8．【河北省定州中学2017届高三上学期周练（四）数学试题】已知直线1y x =-与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为，则ab的值（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】9．【江西南昌市2017届摸底考试，10】若圆22((1)3x y +-=与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（）A B C ．2 D 【答案】A 【解析】2c a c b e a =⇒=⇒=⇒==，选A ． 10．【河北省定州中学2017届高三上学期周练（四）数学试题】设12,F F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点）且12PF PF λ=则λ的值为（）A ．2B ．12C ．3D ．13【答案】A 【解析】11．已知斜率为2的直线l 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交,A B 两点，若点(2,1)P 是AB 的中点，则C 的离心率等于（）（A) (B) 2(C)(D)【答案】D【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，带入双曲线得22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，相减得22221212220x x y y a b ---=，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b-+-+=，化简得12122221212()()2()()2x x y y k y y x x b b a +-==+-，即2222a b =，所以a b =，则离心率c e a ===，故选D ．12．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（） ABC1+ D1+【答案】C ．【解析】（二）填空题（4*5=20分）13．【江苏省南京市2017届高三上学期学情调研卷数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 ()222104x y C a a -=>：的一条渐近线与直线21y x =+平行，则实数a 的值是．【答案】1 【解析】试题分析：由题意22a=，1a =． 14．【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟考试数学试题】过抛物线24y x =的焦点F 的直线分别交抛物线于,A B 两点，交直线1x =-于点P ，若(),,PA AF PB BF R λμλμ==∈，则λμ+=___________．【答案】0 【解析】15．【河北省定州中学2017届高三上学期周练（四）数学试题】已知抛物线x y 42=与经过该抛物线焦点的直线l 在第一象限的交点为A A ,在y 轴和准线上的投影分别为点,B C ，2AB BC=，则直线l 的斜率为．【答案】【解析】试题分析：设00(,)A x y ，则0,1AB x BC ==，由21AB x BC==，所以002,x y ===(1,0)F ，所以直线l 的斜率为k ==．16．【江西省红色七校2017届高三下学期第二次联考】在平面直角坐标系中，错误！未找到引用源。