湘教版解读-第22课时角角边定理

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第22课时角角边定理

第三章全等三角形3． 4 全等三角形的判定第四课时角角边定理一．预习题纲（1）学习目标展示1．会说出三角形全等判定的角角边定理的内容2．会应用角角边证明两个三角形全等，进而证明线段相等或角相等（2）预习思考二．经典例题【分析】要判断BO 与DO 是否相等，即判断BO 与DO 所在的两个三角形是否全等，若两个三角形形全等，根据“全等三角形对应边相等”即可得出结论【简解】在△AOB 和△DOC 中，∠A=∠C ，∠AOB=∠DOC ，AB=CD ，∴△ABO ≌△CDO ，∴BO=DO【规律总结】运用“AAS ”定理证明两个三角形全等时，注意一边是其中一角的对边三．易错例题【错解】△ABC 与△DEF 全等，理由是“AAS ”定理【错解分析】错因只是从表面上看两角和一边，没有从对应关系上去把握，“AAS ”定理中，相等的边必须是相等的一组对应角所对的边【正解】这两个三角形不全等【点拨】三角形全等的判定方法中，特殊要注意边角的对应关系一．课前预习1．角角边定理的内容是：2．如图，∠D=∠B=100°，AC 是∠DAB 的平分线，则图中相等的线段有3．如图，在△ABC 中，∠ABE=∠ACD ，AD=AE ，则 ≌ ，理由是二．当堂训练知识点一：AAS 定理1．如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，补充条件后，能直接应用“AAS ”判定△ABC ≌△DEF 的是（）D C B A DE C B A 第1题第2题F E D C B A 第1题 A ．∠A ＝∠D B ．∠ACB ＝∠DFE C ．AC ＝DF D ．BF ＝EC2．如图,在△ABC 和△ABD 中,12∠=∠ ，当C D ∠=∠时,△ABC ≌△ABD 的依据是3．如图，BC ⊥AC ，BD ⊥AD ，垂足分别是C 和D ，若要根据“AAS ”定理，使△ABC•≌△ABD （AAS ），应补上条件________或___________．知识点二： AAS 定理的应用4．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD 试说明：AB=BE ，EC=AD5．如图，已知M 是AB 的中点，∠1=∠2，∠C=∠D ．说出下列判断正确的理由：（1）△AMC ≌△BMD ；（2）AC=BD ．课时测评：（40分钟，满分100分）一．选择题（每小题5分，共25分）E D C B A 4321第4题 A B C D EF第6题第2题第3题第5题1．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 为BC 中点，由点D 分别向AB ．AC 作垂线段，则能够说明△BDE ≌△CDF 的理由是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2．如图，AD ．BC 相交于点O ，已知∠A ＝∠C ，要根据“AAS ”证明△AOB ≌△COD ，还要添加一个条件是（）A.AB ＝CDB.AO ＝COC. ∠ABO=∠CDOD.∠ABO ＝∠CDO3．如图，∠CAB ＝∠DBA ，∠C ＝∠D ，AC ．BD 相交于点E ，下列结论不正确的是（）A.∠DAE ＝∠CBEB.△DEA 与△CEB 不全等C.CE ＝DED.EA ＝EB4．（2009海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°5．在△ABC 和△'''A B C 中,①''=AB AB,②''=BC B C ,③''=AC A C ,④'∠=∠A A , ⑤'∠=∠B B ,⑥'∠=∠C C ,则不能保证△ABC ≌△'''A B C 的是( )A.①③④B.①②⑤C.①③⑤D.②⑤⑥二．填空题（每小题5分，共25分）6．如图，AB 平分∠DAC ，∠C=∠D ，则△ABD ≌△ABC ，老师问小芳，这由什么理由得到的，小芳想了想，马上得出了正确答案，请你猜想小芳应该说的理由是 7．如图所示，在△ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ．E ，AD ．CE 交于点H ，已知EH ＝EB ＝3．AE ＝4，则CH 的长是_____8．如图，AD ∥BC ，∠B=∠D ，则AB=9．如图，∠EAB=∠CAD ，AB=AD ，只要补充条件，就可以得到△ABC ≌△ADE ，这是因为第7题 A B C D 第8题 A B CD第6题 DE C B A 第9题 DE CBA 第10题A B D C E F第1题 AC D B O第2题 ABC D E 第3题第4题D C B A O 第14题1 2 3 410．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，AB=7cm ，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，则BE=三．解答题11．（本题满分12分）如图AB ⊥BC ,AD ⊥DC ,12∠=∠.求证=AB AD .13．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作AE•的垂线CF ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于点D ．（1）试说明：AE=CD ；（2）AC=12cm ，求BD 的长．14．（本题满分14分）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，∠1=∠2，∠3=∠4试说明：（1）△ABC ≌△ADC ；（2）BO=DO ．第11题 AB ECD 第12题第13题答案：一．课前预习1．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等2．AD=AB，CD=CB 3．△ABE ≌△ACD，AAS二．当堂训练1．B 2．AAS 3．∠CAB=∠DAB；∠CBA=∠DBA 4．∵∠1=∠2,∴∠1+∠EBD=∠2+∠DBE,∴∠ABD=∠EBC,又∠3＝∠4，EC=AD,∴△ABD≌△EBC,∴AB=BE,EC=AD 5．∵M是AB中点，∴AM=BM，又∠1=∠2，∠C=∠D，∴△AMC≌△BMD，∴AC=BD 6．△ADE≌△CBF，理由：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，又AD=BC，∴∠DEA=∠BFC，∴△ADE≌△CBF三．课时测评：1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．AAS 7．1 8．CD 9．AAS 10．4cm 11．∵∠B=∠D，∠1=∠2，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴AB=AD12．3cm13．∠EAC=∠DCB，则△DCB≌△EAC（AAS）∴AE=CD（2）•由△DCB≌△EAC得∴CE=DB ∵E为BC的中点∴DB=12BC=12AC=6cm14．(1)．∠1=∠2,AC=AC,∠3=∠4,∴△ABC≌△ADC;（2）．∵△ABC≌△ADC ，∴AB=AD．又∠1=∠2，AO=AO,∴△ABO≌△DAO,∴BO=DO．。

湘教版八年级下册数学全册课件

求证：△ABC是直角三角形.
证明：
CD
1 2
AB=
BD=
AD,
∴ ∠1=∠A，∠2=∠B .
∵∠A+∠B+∠ACB =180°，即∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
∴ ∠A+∠B =90°.
∴ △ABC是直角三角形.
2021/8/7
例6 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
∴ BDCB. ∴ CD= BD.
故得
CD=
AD=
BD=
1 2
AB.
∴ 点D'是斜边上的中点，即CD' 是斜边AB的中线.
从而CD与CD' 重合，且 CD 1 AB.
2
性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2021/8/7
例5 已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，
且
CD
1 2
AB
.
2021/8/7
三直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
问题：如图，画一个Rt△ABC，并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关系，你能得出什么结论？
2021/8/7
线段CD 比线段 AB短.
我测量后发现
1
CD = 2 AB.
试给出数学证
明.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
湘教版八年级下册数学全册课件
第1章直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1课时直角三角形的性质和判定
2021/8/7
学习目标

湘教版八年级上册数学2.5三角形全等的判定角角边AAS课件(共16张PPT)

例3、如图，已知AF=DC ,EF∥BC,那么要用AAS 得到△ABC≌△DEF，还要添加条件∠B=∠E ，并证明
证明：∵EF∥BC ∴∠1=∠2 又∵ AC=DF∴AF+FC=DC+FC ∴AC=DF(等量代换） ∴在△ABC和△DEF中， ∠1=∠2 ∠B=∠E
AC=DF ∴△ABC≌△DEF(AAS)
3、结论：它们是全等的（ASA ）
4、再一起画一个已知∠B=40°,∠A=80°,BC=8cm的三角形
5、把刚画的三角形用剪刀裁下来，并与同学之间比比看，是否全等
6、结论：它们是全等的
动脑筋
如图，在△ABC和△DEF中，AC=DF,∠C=∠F,∠B=∠E,△ABC和△DEF全等吗？
∵∠C=∠F,∠B=∠ ∠A=180°-∠C-∠B ∠D=180°-∠F-∠E ∴∠A=∠D 又因为AC=DF，根据“角边角”判定定理，可得△ABC≌△DEF
1、判断（1）在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠B,∠B=∠B′,BC=A′C′,则△ABC≌△A′B′C′ (
ⅹ)
（2）在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′,AB=A′B′,BC=B′C′,则△ABC≌△A′B′C′ ( √ )
2、教材82页练习第一题。
3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°,且AC=BC,过点C作一条射线，CE⊥AE于点E,过点 B 作BD⊥CE于点D，求证：DE+DB=AE。
例2、已知如图，点B、F、E、C在同一条直线上， AC//FD,AB=CD,∠A=∠D,,BF=EC求证：△ABC≌△DEF
证明：∵AC//FD，∴∠ACB=∠DFE
∵BF=EC∴BF+FC=EC+FC 即BC=EF 在△ABC和△DEF中，

湘教版九年级下册数学：第2章圆 22 圆心角、圆周角 222圆周角定理

作直径AD，利用（1）的结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
DAC DAB 1 (DOC DOB) 2
BAC 1 BOC 2
A
O·
D
C B
A
A
O
·
O·
B
C
B
C
D
圆周角定理：
A
O·
C B
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
回顾举一反三 • 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周心角相等．
特征：① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.A来自O·BC
判别下列各图形中的角是不是圆周角，为什么？
·O 不是
·O 不是
·O
·O
不是
是
·O 不是
在草稿上作一个圆周角，并作出同弧所对的圆心角。
你能画出几种同弧（等弧）所对的圆周角和圆心角?
猜想同弧所对的圆心角和圆周角的大小 ,用量角器测量两个角的大小。
A．25° B．30° C．35° D．50°
3.如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB＝50°，则
∠ADC的度数是( D )
A．50°
B．40°
C．30°
D．25°
4.如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角， ∠BCD是圆周角，若∠BCD=25°，则∠AOD= 130.°
5.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ADB= 50° .∠ACB= 130° ，
结论是否成立？
圆周角定理的推论1：
在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
1.如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角 ∠BAC等于（D）

湘教版七年级数学上册《角》课件(共47张PPT)

3. 计算：（1） 72°12′+ 50°40′30″； 122°52′30″ （2） 113°50′40″-57°48′42″. 56°1′58″
3. 10 时整，钟表的时针与分针之间所成的角的度数是多少？15时整呢？
答：10点整，钟表的时针与分针之间所成的角度数为60度，15点整所成的角是90度.
∠ABC与∠DEF的关系 ∠ABC =∠DEF ∠ABC >∠DEF ∠ABC <∠DEF
以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.
如图，若OC是∠AOB的平分线，则 A O C B O C 1 2 A O B .
B
C
O
A
练习
1. 图中有哪几个角？用适当的方式将这些角表示出来．
2. 角的大小由始边绕顶点旋转到终边位置的旋转量确定，与所画角的边的长短无关（角的边是两条射线）.
3. 角的度、分、秒之间的换算是60进制. 4. 如果没有特别说明，本书中所讲的角只限于不大于平
角的角.
中考试题
例1 如图所示，图中小于平角的角的（ D ）.
A.4个
B.5个
C.6个 D.7个
解析图中小于平角的角有： ∠B，∠BAD，∠BAC， ∠BDA， ∠ADC，∠C，∠DAC共7个. 故，应选择D.
（a）
结论
同角(或等角)的补角相等.
（2）如图（b），∠4与∠5互余，∠4与∠6互余，那么∠5与∠6的大小有什么关系？
相等
（b）
类似地，我们可以得到 ∠5 = ∠6. （b）
结论
同角或等角的余角相等.
例4 如图，∠AOB与∠BOD互为余角，OC是

新湘教版八年级上册初中数学课时4 用“角角边”判定两个三角形全等教学课件

如果两个三角形中，有两个角和一条边分别相等，那么这两个三角形是全等三角形.
思考 “ASA”和“AAS”之间有什么关系？
在证明两个三角形全等过程中，“ASA”和“AAS”两个判定是可以相互转化的.
你能总结一下“ASA”和“AAS”的区别与联系吗？
第九页，共二十四页。
新课讲解
“S”的意义
“ASA”和'AAS”的区别与联系书写格式
联系
ASA AAS
“S”是两角的夹边
“S”是其中一角的对边
把夹边相等写在两角相
等的中间
由三角形的内角和定理可知，
把两角相等写在一起， “ASA”和“AAS”可以互相转化
边相等放在最后
第十页，共二十四页。
新课讲解
练一练如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？ADC=180°-∠1. D
E
∵∠1=∠2，∴ ∠AEB=∠ADC.
1
2
在△AEB和△ADC中， ∠A=∠A ∠AEB=∠ADC， B
BE=CD，
∴△AEB≌△ADC（AAS）. ∴AB=AC.
第八页，共二十四页。
新课讲解
思考有两个角和一条边分别对应相等的两个三角形是否一定全等？
当堂小练
如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D.求证：AC=AD.
证明：∵∠1=∠2，∠C=∠D， ∴∠ABC=∠ABD （三角形内角和定理）. 在△ABC和△ABD中， ∠1=∠2， AB=AB（公共边）， ∠ABC=∠ABD， ∴△ABC≌△ABD（ASA）. ∴AC=AD.
第十五页，共二十四页。
C
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°. ∴∠B=∠ACD.
∵EF⊥AC， ∴∠FEC=90°. ∴∠ACB=∠FEC.

边角边定理

( C)
B
又因为 BA= BA ，所以在上述旋转下，BA的像与 BA 重合，
从而AC的像就与 AC 重合，于是△ABC的像就是 △ABC . 由于旋转不改变图形的形状和大小，
因此 △ABC ≌ △ABC .
( A) ( C)
B
（3）△ABC和 △ABC 的位置关系如图. 将△ABC作平移，使顶点B的像B和顶点 B 重合，根据情形（1），（2）的结论得
（2）△ABC和 △ABC 的位置关系如图（顶点B 与顶点 B 重合）. 将△ABC作绕点B的旋转，旋转角等于 C BC，因为 BC = BC ，所以线段BC的像与线段 BC 重合. 因为 ABC = ABC ，所以 C BC = ABA .
( A)
AB=DE
B
|||
C D
∴△ABC≌△DEF（SAS） E
||| F
例2 已知：如图，AB和CD相交于O，且AO=BO， CO=DO. 求证：△ACO≌△BDO.
证明：在△ACO和△BDO中，
AO = BO， ∠AOC =∠BOD，（对顶角相等） CO = DO，
∴ △ACO≌△BDO.（SAS）
A 解：∵ AD∥BC （已知） ∴∠A = ∠C （两直线平行，内错角相等）. ∵AE = CF（已知） ∴AE-EF=CF-EF（等式的性质）即AF=CE 在△AFD与△CEB中 AF = CE （已求） ∠A = ∠C （已求） B AD = CB （已知） ∴ △AFD ≌ △CEB （SAS）. D
湘教版数学八年级上册
本课内容
本节内容
2.5.2
全等三角形的判定
（“边角边”定理）
1. 什么叫全等三角形？

高中数学湘教版必修二知识点

⾼中数学湘教版必修⼆知识点⾼中数学必修2知识点总结第三章三⾓函数⼀、⾓的概念和弧度制：（1）在直⾓坐标系内讨论⾓：⾓的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，⾓的终边在第⼏象限，就说过⾓是第⼏象限的⾓。

若⾓的终边在坐标轴上，就说这个⾓不属于任何象限，它叫象限界⾓。

（2）①与α⾓终边相同的⾓的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α⾓终边在同⼀条直线上的⾓的集合：；与α⾓终边关于x 轴对称的⾓的集合：；与α⾓终边关于y 轴对称的⾓的集合：；与α⾓终边关于y x =轴对称的⾓的集合：；②⼀些特殊⾓集合的表⽰终边在坐标轴上⾓的集合：；终边在⼀、三象限的平分线上⾓的集合：；终边在⼆、四象限的平分线上⾓的集合：；终边在四个象限的平分线上⾓的集合：；（3）区间⾓的表⽰：①象限⾓：第⼀象限⾓；第三象限⾓：；第⼀、三象限⾓：；②写出图中所表⽰的区间⾓：（4）正确理解⾓：“第⼀象限的⾓”= ；“锐⾓”= ；“⼩于o90的⾓”= ；（5）由α的终边所在的象限，来判断,23αα所在的象限（6）弧度制：正⾓的弧度数为正数，负⾓的弧度数为负数，零⾓的弧度数为零；任⼀已知⾓α的弧度数的绝对值l rα=，其中l 为以⾓α作为圆⼼⾓时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的⾓是负⾓。

（7）弧长公式：；半径公式：；扇形⾯积公式：；周长公式⼆、任意⾓的三⾓函数：（1）任意⾓的三⾓函数定义：以⾓α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建⽴直⾓坐标系，在⾓α的终边上任取⼀个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan如：⾓α的终边上⼀点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0 （2）在图中画出⾓α的正弦线、余弦线、正切线；（三、同⾓三⾓函数的关系与诱导公式：（1）同⾓三⾓函数的关系（2）诱导公式：ααπ?+k 2：，，；ααπ?+：，，；αα?-：，，；ααπ?-：，，；ααπ?-2：，，；ααπ-2：，，；ααπ+2：，，；ααπ-23：，，；ααπ+23：，，；诱导公式可⽤概括为：奇变偶不变，符号看象限（3）同⾓三⾓函数的关系与诱导公式的运⽤：①已知某⾓的⼀个三⾓函数值，求它的其余各三⾓函数值。

湖南省2017中考数学温习第5单元三角形第22课时全等三角形讲义

经典考题
【例2】（2015年江西）如图，OP平分∠MON , PE⊥OM于E, PF⊥ON于F,OA=OB, 则图中有 3 对全的三角形.
【解析】根据OP平分∠MON，则∠AOP=∠BOP，结合OP=OP，OA=OB，可得△OAP≌△OBP，根据角平分线的性质及垂直的性质可得，PE=PF， ∠E=∠F=90°，则△OEP≌△OFP，根据△OAP≌△OBP，可得 AP=BP，根据HL的判定定理可得Rt△AEP≌Rt△BFP.
THANK YOU!
对应角相等，对应边相等.
要点梳理
5.4.3 全等三角形的判定条件
要点梳理
等的元素
两边一角
两边及其夹角两边及其中一边的对角
两角一边
两角及其夹边两角及其中一角的对边
三角
三边
三角形是否全等一定（SAS）不一定一定（ASA）一定（AAS）不一定一定（AAA）
【解析】 ∵△ABO≌△ADO，∴∠AOB=∠AOD，AB=AD，∠BAO=∠DAO， ∴∠AOB=∠AOD=90°，即AC⊥BD.在△ABC和△ADC中，AB=AD， ∠BAO=∠DAO，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴CB=CD.故①②③正确.根据条件不能判断AD与DC的数量关系，故④错误.
要点梳理
（2）直角三角形全等的判定条件（适用上面的所有判定条件）：
斜边直角边定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.简记为“HL”(或“斜边、直角边”).
经典考题
【例1】（2016年南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论 ①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC； ④DA=DC，其中正确结论的序号是_①__②__③__.

湘教版数学八年级下册《2.2.1平行四边形的边、角性质》说课稿2

湘教版数学八年级下册《2.2.1平行四边形的边、角性质》说课稿2一. 教材分析湘教版数学八年级下册《2.2.1平行四边形的边、角性质》这一节主要介绍了平行四边形的边和角的性质。

通过这一节的学习，学生能够掌握平行四边形的对边相等、对角相等以及邻角互补的性质，并能运用这些性质解决一些实际问题。

教材通过丰富的实例和探究活动，引导学生发现平行四边形的这些性质，培养学生的观察能力、推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了平行四边形的定义和一些基本性质，如平行四边形的对边平行。

他们对平行四边形有一定的认识，但可能对平行四边形的边和角的性质还不够了解。

因此，在教学过程中，我需要关注学生的认知水平，通过合理的引导和探究活动，帮助他们发现和理解平行四边形的边和角的性质。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握平行四边形的对边相等、对角相等以及邻角互补的性质，并能运用这些性质解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，学生能够发现平行四边形的边和角的性质，培养他们的观察能力、推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，体验数学学习的乐趣，增强对数学学科的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：平行四边形的对边相等、对角相等以及邻角互补的性质。

2.教学难点：如何引导学生发现和理解平行四边形的这些性质。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、合作学习法等，引导学生通过观察、操作、推理等过程发现平行四边形的边和角的性质。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学工具，为学生提供丰富的学习资源，帮助他们直观地理解平行四边形的性质。

六. 说教学过程1.导入：通过复习平行四边形的定义和基本性质，引导学生回忆起平行四边形的相关知识，为新课的学习做好铺垫。

2.探究活动1：让学生观察一些平行四边形的图形，引导学生发现平行四边形的对边相等这一性质。

湘教版九年级数学上册《“角角边”(AAS)》精品课件

新知讲解
练习1：已知：如图，∠1=∠2，AD=AE. 求证：△ADC ≌△AEB.
证明： ∵ 在△ADC 和△AEB 中，
1 2 A A（公共角） AD AE
∴ △ADC≌△AEB（AAS）.
新知讲解
例2：已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC//FD，
∠A=∠D，BF=EC. 求证：△ABC ≌△DEF. 证明： ∵ AC //FD， ∴∠ACB =∠DFE.
符号语言:
在△ABC 与 △A′B′C′中， A A B B BC BC
∴△ABC ≌△A′B′C′ (AAS)
新知讲解
例1：已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△ABC ≌△ADC.
证明：∵∠1 =∠2，
∴∠ACB=∠ACD（同角的补角相等）. 在△ABC 和△ADC 中，
B D ACB ACD AC AC ∴ △ABC ≌△ADC （AAS）.
课堂练习 4.如图，能够判定全等的两个三角形是( D )
A．①和② B．②和④ C．①和③ D．③和④
课堂练习
5.如图，已知∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC 和△ADE全
等吗？为什么？
解： △ABC 和△ADE 全等. 理由如下：
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC 即∠BAC＝∠DAE
“角角边” （AAS）
数学湘教版八年级上
新知导入说一说全等三角形判定方法？（1）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 简写“边角边”或“SAS”. （2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 简写“角边角”或“ASA”.
新知导入
如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有

湘教版-数学-八年级上册-2.5全等三角形边角边定理

你还能想出其它方案，来测A，B两处的距离吗？
一、
二、
A
B
•
D
C
A
•
D
B
•
C
链接生活：
小明不小心打翻了墨水，将
自己所画的三角形涂黑了，你能帮小明想想办法，画一个与原来完全一样的三角形吗？
Ａ
Ａ'
Ｂ
Ｃ
A’Ｂ'
Ｃ'
解：在△ ABC和△A ' B ' C '中，
∵ AB = A ‘ B ’ ∠Ｂ = ∠Ｂ‘ ＢC =Ｂ' C ' ∴ △ ABC≌ △A ' B ' C ' （Ｓ.Ａ.Ｓ）
一、从题目的条件（已知）出发，通过一步步的讲
道理，得出它的结论成立，这个过程叫作证明。
二、证明的每一步都要有根据，这些根据可以是已知
条件也可以是学过的定理、公理和定义。
三、证明一般有以下几个步骤：根据题意画出图形；
写出已知条件和求证；然后证明。
如图，用两根钢条AA'和BB' ，在中点O处连在一起做成的工具（卡钳）测量工件内槽的宽（或齿轮厚度）。只要量出A ' B '的长，就得出工件内槽的宽（或齿轮厚度）AB。这是根据什么道理呢？
连接A ' B ' 。
在△AOB 和△Ａ' O B '中，因为
O
AO= A ' O ∠AOB= ∠ A ' O B' （对顶角相等）
BO= B ' O
B'
所以 △AOB ≌ △Ａ'O B' （ SAS）
于是得 A ' B' = AB

湘教版初中数学七年级上册角PPT精品课件

B
B
O
始边
A
O
始边
A
角是由具有公共端点的两条射线组成的图形．
知识点1：角的定义位线做_当当置静由_上动一角开终角_射其叫射时态具_但条态，始止的从_线中做线，定有_方_定这旋位_始_绕_，_绕_所义__向_义_个转置_边_着_射_着_成_相__公的的_旋_端_线_端_的_反__共边边_转_点_的_点_角_时绕_端叫叫和到__旋端_旋叫__，着_点做做_终所转点。转_做的所它叫___边成一叫到____两成的做___所_的周做与____条的_角___扫_图，_角原____角_的_统_过_形又_的来___叫__称_的_叫重_的__。做___为区做新_位__组_从__角_域角回__置__成_一___，的，。到__在__的_个_,，边原_同这图_位.来_一两形。置的直条叫射线叫做角的________。
9.能准确、有感情的朗读诗歌，领会丰富的内涵，体会诗作蕴涵的思想感情。
智勇大PK
脑灵口快
智慧大PK
小菜一碟火眼金睛
举一反三
勇攀高峰
脑灵口快辨一辨，下列哪些图形是角？
•
•
•
•
•
(√)
（×）
(√)
(√)
小菜一碟
你能说出图中角的始边、终边、顶点、角的内部吗？
O 顶点
B 内部始边 A
火眼金睛
图中能用一个大写字母表示的角是 ∠B ∠C
;
以A为顶点的角有 6 个,
它们分别是 ∠C_A_D__、_∠_C_A_E_、_∠_CAB、∠DAE、_∠_D_A_B_、__∠_EA_B_.
7.文学本身就是将自己生命的感动凝固成文字，去唤醒那沉睡的情感，饥渴的灵魂，也许已是跨越千年，但那人间的真情却亘古不变，故事仿佛就在昨日一般亲切，光芒没有丝毫的暗淡减损。

湘教版初二几何知识点归纳总结

湘教版初二几何知识点归纳总结初中阶段的几何学是数学学科的重要组成部分，对培养学生的空间想象力和逻辑思维能力有着重要的作用。

湘教版初二几何主要包括平面几何和立体几何两部分，下面将对几何学中的主要知识点进行归纳总结。

一、平面几何知识点1. 线段和角度- 线段：线段是指由两个端点确定的一条有限直线段。

线段的长度可以通过线段的两个端点的坐标计算得到。

- 角度：角度是由两条射线共同作用于一个点上得到的图形，用度数来表示。

常见的角度有直角（90度）、钝角（大于90度）、锐角（小于90度）等。

2. 三角形- 三角形的定义：三角形是由三条线段相交而成的封闭图形。

- 三角形的分类：根据边长和角度的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、一般三角形等。

- 三角形的性质：三角形的内角和为180度，三角形的两边之和大于第三边。

3. 四边形- 四边形的定义：四边形是由四个线段相交而成的封闭图形。

- 四边形的分类：根据边长和角度的不同，四边形可以分为矩形、正方形、平行四边形、菱形等。

- 四边形的性质：矩形的四个角都是直角，正方形的四个角都是直角且四条边相等，平行四边形的对边平行且相等，菱形的对角线相等且互相垂直。

4. 圆和圆周率- 圆的定义：圆是平面上所有与一个定点的距离相等的点组成的图形。

- 圆的性质：圆的直径是两个相对的点在圆上的最长线段，圆的半径是圆心到圆周上任意一点的距离，圆上任意两点之间的线段叫做弦，弦在圆上的中点与圆心连线垂直。

圆周率π是一个无理数，近似取值为3.14。

二、立体几何知识点1. 空间几何- 空间几何的基本概念：点、线、面、体是空间几何的基本要素。

点是没有大小和形状的，只有位置；线由无限个点相连而成，没有宽度和高度；面由无限个线相交而成，有长和宽；体是由无限个面相连而成，有长、宽和高。

- 空间几何的分类：根据形状的不同，体可分为球体、柱体、锥体、棱柱和棱锥等。

2. 球体- 球体的定义：球体是由空间中一点到距离它恒定的一点的所有点为中心的一系列射线所围成的图形。

湘教版解读-章节总结

章末总结知识网络图示专题总结及应用知识技能专题专题1三角形三边关系运用【专题解读】三角形三边关系“三角形任何两边的和大于第三边”以及“三角形任何两边的差小于第三边”．它是判断三条线段能否组成三角形的依据，常作为隐含的限制条件，在进行有关三角形边的计算问题时，一定不要忽略其对三角形的三边制约..【例1】有两根长度分别为5cm 和8cm 的木棒，现在再取一根木棒与它们摆成一个三角形，你说第三根要多长呢？用长度为3cm 的木棒行吗？为什么？长度为14cm 的木棒呢？【分析】先求出第三边的取值范围，在取值范围内讨论第三根木棒的可能长度．【解取长度3cm 的木棒时，由于3＋5＝8，与三角形两边之和大于第三边相矛盾，所以不能摆成三角形；取长度为14cm 的木棒时，由于5＋8＜14，同样与三角形两边之和大于第三边相矛盾，所以也不能摆成三角形。

从上可知第三木棒的长度应该是大于3cm 且小于13cm.【解题策略】用三角形三边关系来判别专题2三角形内角、外角性质的综合运用【专题解读】三角形内角和定理的内容为：三角形的三个内角之和为180°；三角形的外角的性质的内容为：三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形内角、外角是紧1. 不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,2.由三角形和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角3.在三角形中,一个内角平分线与它对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线;连接一个顶点与它对边中点的线段叫三角形的中线;从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.4.能够重合的两个图形称为全等形.5. 能够重合的两个三角形叫做全等三角形.1.三角形任何两边的和大于第三边.2.三角形三个内角的和等于180°.3.三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.4.全等三角形对应边相等,对应角相等.5.角平分线上的点到角两边的距离相等6.垂直平分线上的点到线段两端点距离相等1.三角形分类: 锐角三角形、直角三角形、（15）三角形.2.判定三角形全等的条件: SSS,SAS,ASA,AAS, . 概念三角形性质方法画法根据五种基本作图法来定义与命题 1、命题的结构2、命题的真假 ←命题的证明证明的部分依据密联系又可以相互转化的，求一个角时，一定要结合图形观察角的关系，并运用其性质，结合角的和、差、倍、分探求解决的思路.【例2】(2012辽宁葫芦岛，12，3分)如图，CD ，BE 相交于点A ，若∠B ＝70°，∠DAE ＝60°，则∠C 等于 ° ．EDA B C【分析】由对顶角相等得∠BAC 的度数；在△ABC 中，由内角和定理求∠C 的度数．【解】∠BAC ＝∠DAE ＝60°．∠C ＝180°－(∠B ＋∠BAC )＝180°－(70°＋60°)＝50°．【解题策略】解题关键是三角形的内角和定理．【例3】如图，AD ⊥BD ，AE 平分∠BAC ，∠B=30°，∠ACD=70°.求∠AED 的度数.【分析】由垂直定义先求出∠ADC=90°.在△AB D 、△A DC 中运用内角和定理分别求出∠BAD 、∠CAD 的度数,它们的差就是∠BAC 的度数,运用角平分线性质求出∠BAE 的度数,而由外角的性质∠AED 是∠B 与∠BAE 的和.【解】∵AD ⊥BD∴∠ADC=90°∵∠B=30°，∠ACD=70°∴∠BAD=180°－∠ADC －∠B=180°―90°―30°=60°∠CAD=180°－∠ADC －∠ACD =180°―90°―70°=20°∴∠BAC=∠BAD －∠CAD=60°―20°=40°∵AE 平分∠BAC∴∠BAE=21∠BAC=21×40°= 20° ∴∠AED=∠B+∠BAE=30°+20°=50°.【规律·方法】在三角形中求角的度数时,通常要考虑运用三角形内角和定理,外角的性质,探求求角的方法,也要根据所给条件综合角平分线的性质、角的和差关系等来解决,我们在寻找解决方法时一定要仔细观察图形.专题3垂直平分线的性质的运用【专题解读】垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等. 垂直平分线的性质常作为证明两条线段相等的依据.【例4】如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△ABC的周长等于18cm，求AC的长.【分析】由于DE是AB的垂直平分线，可得EA=EB，可以把BE+EC转化为AC.【解】∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴AC=AE+EC=EB+EC.又∵△ABC的周长等于18cm∴EB+EC+BC=18，∵BC=8，∴EB+EC=18－8=10.∴AC=10.【规律·方法】垂直平分线实现线段的相等关系与另一组线段的相等关系的直接转化.专题4 角的平分线的性质的运用【专题解读】角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等.运用此性质判断两条线段相等时，一定要注意条件，不光只有角平分线，还有就是两条线段都垂直于角的两边. 【例5】如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD 于E，CF⊥AF于F．求证：CE = CFF A BECD【分析】先用“SSS”证出△ABC≌△ADC,得出∠BAC=∠DAC,结合CE⊥AD，CF⊥AF直接运用角平分线的性质判断CE = CF.【解】在△ABC与△ADC中∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠BAC=∠DAC（全等三角形对应角相等）∵CE⊥AD于E，CF⊥AF∴CE = CF（在角平分线上的点到角两边的距离相等）【规律·方法】角平分线的性质实现角的相等关系与边的相等关系的直接转化.专题5 全等三角形判定与性质的运用【专题解读】在判定一般三角形全等的四种方法(SAS、ASA、AAS、SSS)中，每一种都有三个独立的条件．而在具体问题中，往往只有一两个条件在题设中直接给出(有时甚至一个也没有)，其余的条件往往隐含于题设或图形之中，找到这些的条件是解决问题的关键.【例6】（2012四川眉山，18，3分）在ΔABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，则AD的取值范围是．【分析】“倍长中线”构造全等三角形,再“两边之差<第三边<两边之和” 得不等式进行求解.【解】 EDCB A如图,延长AD 至点E 使DE=AD,连接CE.∵AD 是BC 边上的中线,∴BD=CD.在△ABD 和△ECD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ED AD EDC ADB CD BD∴△ABD ≌△ECD(SAS).∴EC=AB=5.在△ACE 中,EC-AC<AE<AC+EC.D CB A即5-3<2AD<3+5.∴1<AD<4.答案：1<AD<4.【规律·方法】解题关键是“倍长中线”构造三角形全等,将分散的条件转化到同一个三角形中. “倍长中线”是解三角形的中线有关的问题中的常用辅助线.【例7】如图，AB=CD ，AE=DF ，CE=BF.求证：AE DF ∥.【分析】运用“SSS ”先证出E AB △≌DCF △,得到AEB DFC ∠=∠,运用“等角的补角相等”证出AEF DFC ∠=∠,根据“内错角相等,两直线平行”判定AE DF ∥.【解】∵CE=BF ，∴CE-EF=BF-EF ，即CF=BE.在E AB △和DCF △中，,,,AE DF BE CF AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴E ()AB DCF SSS △≌△，∴AEB DFC ∠=∠（全等三角形对应角相等）∴AEF DFC ∠=∠,∴AE DF ∥.【解题策略】判定两个三角形全等时,要结合条件,选择适当的判定方法.专题6 命题与证明【专题解读】判断某一件事情的句子叫做命题．理解命题概念的关键是抓住“判断”、“句子”的含义．“判断”是人们对一件事做出的肯定或否定的思维形式，“句子”必须完整，即对某一件事情的前因后果必须交代完整．每个命题都是由条件和结论两部分组成的，将一个命题的条件和结论互换就得到这个命题的逆命题．命题都有真假之分，用推理的方法证实真命题的过程叫做证明；经过证明的真命题称为定理.已经证明的定理也可作为以后推理依据.几何证明有多种方法，通常使用两种思考方法——综合法、分析法和两头凑．【例8】指出命题“都与第三条直线垂直的两条直线平行”的条件和结论．并判断这个命题的真假，若是假命题请举反例说明．【分析】分清一个命题的条件和结论，并能想到空间中情况。