离散数学测试题 第5章自测题参考答案

第5章自测题参考答案
一、1. 封闭性和结合性.
2. 半群.
3. Abel 群; 半群; 无.
4. 8，不存在，不存在.
5. ,,,),((⋂⋃X P ∅, X ), 2n .
二、1(D); 2(C); 3(A); 4(D); 5(B).
三、1(×); 2(√); 3(×); 4(√); 5(√).
四、证 对于任意m y x Z ,∈，显然m m Z y x ∈+，即m Z 关于m +运算封闭.
对于任意m z y x Z ,,∈，由于
)()(z y x z y x ++=++，
即m Z 关于m +是可结合的.
由于m Z 0∈且对于任意m x Z ∈，有x x x m m =+=+00，因此，0是m Z 关于m +的幺元.
由于m Z 0∈是幺元，所以其关于m +运算的逆元为0. 对于任意m x Z 0∈≠，由于m x m Z ∈-且0)()(=+-=-+x x m x m x m m ，于是x m -是m Z 关于m +的逆元. 故(Z m , +m )是群.
五、证 因为y x x +≤且z x x +≤，所以)()(z x y x x +⋅+≤. 又因为y x y z y +≤≤⋅且z x z z y +≤≤⋅，因此)()(z x y x z y +⋅+≤⋅. 由“上确界≤上界”知)()()(z x y x z y x +⋅+≤⋅+.
六、证 (1)首先证明: y x z y x +≤⋅+)(.
由于y x x +≤且y x y z y +≤≤⋅，利用“上确界≤上界”得y x z y x +≤⋅+)(.
(2)其次证明: z z y x ≤⋅+)(.
由已知z x ≤及z z y ≤⋅，同样利用“上确界≤上界”得z z y x ≤⋅+)(.
由(1)和(2)，利用“下界≤下确界”得z y x z y x ⋅+≤⋅+)()(.
七、证 显然B 关于⊕是封闭的.
(1)对于B y x ∈,，由于x y x y x y y x y x y x ⊕=⋅+⋅=⋅+⋅=⊕)()()()(，因此⊕满足交换律.
(2)对于B z y x ∈,,，
z y x y x z y x ⊕⋅+⋅=⊕⊕))()(()(
))()(()))()(((z y x y x z y x y x ⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=
))()(()()(z y x y x z y x z y x ⋅+⋅++⋅⋅+⋅⋅=
z y x y x z y x z y x ⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅=))()(()()(
)()()()(z y x z y x z y x z y x ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 同理可得，)()()()()(z y x z y x z y x z y x z y x ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⊕⊕.
所以)()(z y x z y x ⊕⊕=⊕⊕，即⊕满足结合律.
(3)对于B x ∈∀，由于x x x x x x x =+=⋅+⋅=⋅+⋅=⊕0)0()1()0()0(0，因此，0是B 关于⊕的单位元素.
(4)对于任意B x ∈，由于000)()(=+=⋅+⋅=⊕x x x x x x ，于是x 关于⊕的逆元素是其本身x .
综上所述，),(⊕B 是Abel 群.
八、解 设),(≤L 是格, L 关于求上确界运算“+”和求上确界运算“.”构成格(L , +, .). 若∅ ≠ M ⊆ L , M 关于“+”和 “.”封闭, 则称(M , +, .)是(L , +, .)的子格.
L 中含6个元素的子格分别为:
(1) {a , b , d , e , f , g },
(2) {a , c , d , e , f , g }
(3) {a , b , c , e , f , g }.。