2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类之集合、复数
江苏省13市2018届高三上学期考试数学试题分类汇编：三角函数 含答案
江苏省13市2018高三上学期考试数学试题分类汇编三角函数一、填空题1、（南京市、盐城市2018届高三第一次模拟）将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ= ▲ .2、（南通市2018届高三第一次调研测）函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ▲ ．3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2018届高三上学期期中）若tan 2tan βα=，且2cos sin 3αβ=，则sin()αβ-的值为 ▲ ． 4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2018届高三上学期期末）若函数()s i n ()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 5、（苏州市2018届高三上学期期中调研）已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ▲ ．6、（苏州市2018届高三上期末调研测试）若832παtan tan =，则=-)tan(8πα7、（泰州市2018届高三第一次调研）函数)πy=2sin(3x-3的最小正周期为＿＿＿8、（无锡市2018届高三上学期期末）设()2sin cos 2f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为 . 9、（盐城市2018届高三上学期期中）在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的大小为 ▲ ．10、（扬州市2018届高三上学期期中）0240sin = 。
11、（扬州市2018届高三上学期期末）已知1cos()33πα+=()2πα<<0，则sin()πα+= ▲ ．12、（镇江市2018届高三上学期期末）将函数)sin(425π+=x y 的图象向左平移)(20πϕϕ<<个单位后，所得函数图象关于y 轴对称，则=ϕ ．二、解答题 1、（南京市、盐城市2018届高三第一次模拟）在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =．（1）求角C ；（2）若3sin()35B π-=，求sin A 的值.2、（南通市2018届高三第一次调研测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB ． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2018届高三上学期期中）在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 2B =，tan 3C =． （1）求角A 的大小；（2）若3c =，求b 的长． 4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2018届高三上学期期末）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值； （2）若3cos 5B =，求sin()B C -的值．5、（苏州市2018届高三上学期期中调研）已知函数()2sin()cos 3f x x x π=+⋅．（1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()f A =2b =，3c =，求cos()A B -的值．6、（盐城市2018届高三上学期期中）设函数()sin()ωϕf x A x =+（,,ωϕA 为常数，且0,0,0ωϕπA >><<）的部分图象如图所示. （1）求,,ωϕA 的值；（2）设θ为锐角，且()f θ=()6πθf -的值.7、（扬州市2018届高三上学期期中）已知函数2)cos (sin sin )2cos(2)(x x x x x f =+-=π。
江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试数学试题Word版含解析
高三数学期末试卷、填空题1.已知集合A= 匚2』貝｝, B = k|—2乞并乞3 ｝则A MB =__________________ .【答案】：【解析】因为；十1V】，、，所以—仁一：—•「“，故填-.点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多•对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错.2.复数2 = (1十，其中1为虚数单位，则Z的虚部为_________________________ .【答案】5【解析】因为工一「一「'川：门一：- Z「，所以的虚部为5.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算•要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2 23.在平面直角坐标系xOy中，双曲线二1= 1的焦距为16 9【答案】102 2【解析】由双曲线方程知/ = = ■.,所以-=I:,::■■■■ = ■■::,即焦距为10.16 94.某校对全校1200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本,已知女生抽了95人，则该校的男生数是 ____________________ •【答案】630200 1【解析】每层的抽样比为，女生抽了95人，所以男生抽取105人，因此共有男生V二-二记人，故填630.5.运行如图所示的伪代码，则输出的结果社为 _____________________ •While /<5S4-S + 2End WhilePrml S【答案】9【解析】运行程序一次，：•：I ■■■ 一，第二次运行后--1+■:' < ；■..-■：,第三次运行后.<■ I - ' - ''.I •，第四次运行后二二-二. '，不满足条件I :•,跳出循环，输出:.-：，故填9.点睛：处理此类问题时，一般模拟程序的运行，经过几次运算即可跳出循环结束程序，注意每次循环后变量的变化情况，寻找规律即可顺利解决，对于运行次数比较多的循环结构，一般能够找到周期或规律，利用规律或周期确定和时跳出循环结构，得到问题的结果6.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有，，，•，，个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于10的概率为 ______________ .【解析】先后抛掷一颗骰子，共得到基本事件个，其中向上点数之和不小于10的基6 1 1本事件有：.兀m2「，共6个，所以其发生的概率为一-，故填.36 667.在等差数列｛砒中，若，屯+舸+幻=9则其前9项和■的值为 ____________________________ .【答案】279（a1+■ aj【解析】根据等差数列的性质知，二沖：「所以■，又，故填27.8.若logqfa十4b）= 1啤討心，規十b的最小值是________________ .【答案】9【解析】因为1-¥厂叫所以•"让一2,化简得所以b a1 4 a 4bH ■ '：，: ；：■■ - 'i - ■，4 ",当且仅当-:'.一：时等号成立，故填9.b a b a点睛：解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，1 4要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件：；•■■,构造研究的式子b n乘以1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式9.已知椭圆与圆》.才.-广=-,若椭圆 上存在点F ,由点P 向圆 所作的两条切线 ， 且三，.："「，则椭圆 的离心率的取值范围是【解析】因为 m-•片，所以 FE -厅,在R m 中，由1、得;:.-1：，由点 在椭圆 斤 5上知，〔•.；"• ."I"- ；L ，所以心 J 、..，解得 ■，又知 ..I ，故填 | . . | . 10.设器：•是两条不同的直线，“订.;：是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的①若::〕丄 I :■贝V ：” _ ：：②若：.•「：：：：丄，，则：n 丄 ③若；一’丄二 则 I’ ；；④若 J ■■- iii.|： ■■- /..in II ,贝V y.「•【答案】①②【解析】对于①，：：〕丄「：，则'r '-:'正确；②若' ■■■：■'■丄“•，则丄：正确；③若 I 帚一 可能| ■ II ,■,故错误；④若■- ■-r ，则卜；也可相交，故错误，综上填①②.【答案】-2，所以，由sin （a + 卩）=cosa = cos （a + p ）cosp 斗 sin （a 卜 P ）sinp = os （a 斗卩）+ -sin （a + 卩）得: 二工扛丨勺：二以」■；■,所以ur..：/ ■ J - 二故填 .2 in12.已知函数i! <: X > \ ■■■： I ，其中 为自然对数的底数，若函数匚」与的图像恰有一个e x 公共点，则实数的取值范围是 ______________. 【答案】或 ----------【解析】因为 ，所以函数在0 +上为增函数且ii ：■ :;,所以当 时,mi2与?:.-= 有一个公共点，当. 时， 令i!<:：|T ；: ' ■<'<…有一解即可，设 x eJ b 311.已知- ill = ,且：.，：I id ，贝y ■, i.n ，—!:::围是 ________ 【答案】-L -'7 3【解析】由 i.*. ＞：:：•：＞： ：■. ；.■＜■"、 1 ::;，当;•- I 时，i!.v ： ：F \ :;无解，适合题意； 当〉I 时，「|一 啲解为】：' :-,此时Lii 、-：.；；只需「：." 4恒成立，即.| . ■. .■: |恒 成立，所以只需二::; 解得 • 3；当…I 时，ii.「 「的解为 -■■- -1此时ii ；、：： |；只需沁； 恒成立，即：1恒成立，所以只需 二一； 解得' ：i 丨，综上知 「 ― :一 .■，故填•.：••：―:一 -.14.已知的周长为6，且 三成等比数列，则忙• 丁的取值范围是【解析】因为成等比数列，所以’.，从而 ，所以- ，又2 23i■,■. ■:、.…i ：： I r ：'■:■. ；' ■-■：：.： ■，即&工：；，解得■，故二、解答题15.如图，在四棱锥 厂 ⑴：丨】中， 底面上m , QL 仁亡乎Q-:•三二-：：，么m 是以.为斜 边的等腰直角三角形， 是上的点求证：(1)匸二丁平面三:：(2)平面卜：.：I 平面DAa c (5-b【答案】【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：(1)由AD/./BC 可得线面平行；(2)要证面面垂直，找线面垂直， AC 可证与PC CD 垂直，其中利用勾股定理逆定理可证得 AG I CD..........................试题解析：(1) ： ⑴ 沖「，上：厂 平面 K \ J :■'：■-平面；, •••占二讥平面三二:. (2)V 底面占三二二，.:底面芒E ；T? ：二：I 竺：由题意可知，口匚：且.厂 _「 - ..J ，是等腰直角三角形■ .- r .；川「二 -：.i / ■ .即 丨又 汽、、.、\ \ : < ■/' i 平面丸【"AC 匸平面EAC •・•平面EAC 丄 平面PCD16. 如图，在 「:':点 在边.上小.「丨，为垂足.(1) 若滋•二的面积为 (2) 若 ：，求角n2J7【答案】⑴3 ] 2【解析】(1)由题意，根据三角形的面积公式P.D ^H -.K ,求出再根据余弦定理得: ' .,?■ ■- 1<1 UI ■' ?■亠」」，求出 的值，由tu t ；|-•，求得.的EDED值；(2)由题意，根据角的正弦值，得，由题意AD sinABCCD BCCD厶■ 1亠-又根据正弦定理，即，从而可求得角sin/LBDC sinBsin2A sinB的值•[，求的长的大小(2)试题解析：,八 she 、r X''? JT 17E V32⑴'的面积为、'、，：•：，「:.在乙玉〕D 中，由余弦定理可得由题意可得 CD =晶己十 BD 2- 2BC - BD■ cossB =7T4点睛：此题主要考查了正弦定理、余弦定理、以及三角恒等变换中倍角公式在解三角形中的 应用，属于中档题型，也是常考考点•在解决此类问题过程中，常将所求角、边与已知的角、边转化集中到同一个三角形，再运用三角公式进行恒等变形及运算，以已知角为线索，寻找 合适的正弦定理、余弦定理，从而解决问题 17. 我校为丰富师生课余活动， 计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地，如图，点在.上，点 在 上，且P 点在斜边 上，已知37k-貯，：米，庄*-.：米，乜丨.设矩形.簸圧r 健身场地每平方米的造价为]2k元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（•为正常数）（1） 试用表示，并求的取值范围； （2）求总造价关于面积的函数• •；（3） 如何选取卜口，使总造价 最低（不要求求出最低造价）(2)v',..：...-— 2 :' J suiA SsuiA在中，由正弦定理可得BC _ CDsinZ-BDC sinBsin2A 2s inAs inSO 02A /7 2 2^7+2333【答案】⑴"：：：■•「S二）；（2）选取I.二jM的长为12米或18米时总造价最低【解析】试题分析：（1）在中，显然m -肚■ ■ ■ i.i ■- \i , ■■ ■'-,根据面积公式写出矩形面积；（2）矩形健身场地造价12kr d壬又—二的面积为.u,即草坪造价:.、，写出总造价即可；（3）根据均值不等式. •一即可求出造价的最小值.vS试题解析：（1）在：a J :-1 ■中，显然|阳二| —.近..「匸口2 —心■■- i.i■- \1 .「、■■ v，矩形'、m的面积.=『、、in m：-、j:.：：|于是s -y为所求（2）矩形r八健身场地造价• V厉又—二.的面积为••,即草坪造价由总造价:「十一-.1 =<8 <225^/3⑶■- F学「打当且仅当「一T—即.:£.>7时等号成立，此时，解得•或 ' 答：选取卜i i的长为12米或18米时总造价最低.18.给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点a b_■' 是椭圆:“上的点（1）若过点 .的直线与椭圆有且只有一个公共点，求被椭圆的伴随圆所截得的弦长：（2）是椭圆上的两点，设是直线• •的斜率，且满足* ，试问：直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。
江苏省镇江市2018届高三上学期期末统考数学答案
……9 分 ……10 分 ……11 分 ……13 分 ……14 分
【说明】本题改编自教材. 主要考查线面平行、面面垂直的判定与性质；考查逻辑推理能力、空间想象能 力、书写表达能力．
17. 解：（1）在△ ABD 中，由正弦定理得
1 BD AD ， sin sin π sin( 2π ) 3 3
……1 分
所以 BD
3 3 cos 1 ， AD ， 2sin 2sin 2
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……3 分
则 S a(
3 cos 1 3 cos 1 3 ) 2a 1 ( ) 4a ( ) 2sin 2 2sin 2 2sin
1 所以 cos C ，……6 分 2
所以 C
2 π． 3
……7 分 ……8 分
4 3 1 （2）因为△ ABC 的面积为 2 3 ，所以 ab sin C 2 3 ，所以 ab ． sin C 2
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由（1）知 C
3 2 ，所以 ab 8 ． π ，所以 sin C 2 3
……2 分 ……3 分 ……4 分 ……5 分
sin B cos A sin A cos B 2sin C cos C ，所以 sin( B A) 2sin C cos C ．
又 A , B , C 为三角形内角，所以 B A π C ,所以 sin C 2sin C cos C ． 因为 C (0, π) ，所以 sin C 0 ．
1 A1C ． 2
……1 分 ……2 分 ……3 分 ……5 分 ……7 分 ……8 分
因为 A1C 面ADB1 ， DE 面ADB1 ， 所以 A1C ∥平面 ADB1 ． （2）因为 AB AC ， D 为 BC 中点，所以 AD BC ． 又因为 ABC A1B1C1 为直三棱柱，所以 BB1 面ABC ． 因为 AD 面ABC ，所以 BB1 AD ． 因为 BC 面BCC1B1 ， BB1 面BCC1 B1 ， BC BB1 B ，所以 AD 面BCC1B1 ． 又 BC1 面BCC1 B1 ，所以 AD BC1 ． 因为 BC1 B1 D ， AD 面ADB1 ， B1 D 面ADB1 ， AD B1D D ，所以 BC1 面ADB1 ． 因为 BC1 面A1 BC1 ，所以平面 A1 BC1 平面 ADB1 ． （注意：有一个条件不交代书写，扣 1 分，扣满为此）
2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类之数列、存在性问题
七、数列（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·8）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8646a a a =+，则3a 的值为 .2.（2018·无锡期末·9）已知等比数列{}n a 满足2532a a a =，且4a ，54，72a 成等差数列，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 ． 【答案】10243.（2018·镇江期末·7）设等比数列 {a n }的前 n 项和 Sn ，若 a 1 = -2, S 6= 9S 3 , 则a 5 的值为 【答案】-324.（2018·扬州期末·9）已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4,a 3,6a 5成等差数列，且a 3=3a 22，则S 3=_________. 【答案】13275.（2018·常州期末·8）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为 ．6.（2018·南京盐城期末·10）.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018， 则2017S 的值为 ． 【答案】40347.（2018·苏州期末·8）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为 ． 【答案】948.（2018·苏北四市期末·11）已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ． 【答案】111.（2018·南通泰州期末·20）若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ，1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”.（1）已知22,2,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,判断数列{}n a 是否为“(2)R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“(3)R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -，31p b -，31p b +，33p b +成等差数列，证明：{}n b 是等差数列.【答案】【解】（1）当n 为奇数时，12(1)(21)30n n a a n n --=+--=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++=2(2)12(2)12(21)2n n n n a --++-=-=.当n 为偶数时，1(21)210n n a a n n --=+-=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++=2(2)2(2)42n n n n a -++==.所以，数列{}n a 是“(2)R 数列”. （2）由题意可得：332n n n b b b -++=，则数列1b ，4b ，7b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ， 数列2b ，3b ，8b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ， 数列3b ，6b ，9b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d . 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤， 所以112211(1)b nd b nd b n d +≤+≤++，所以2112()n d d b b -≥-①，21121()n d d b b d -≤-+②. 若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立；若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.同理得：13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=-3331p p b b λ++=-=， 则31323131()((1))n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得：331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=-23(1)((2))b p d b p d =+--+-23b b d =-+，3131p p b b λ+-=-1212((1))b pd b p d b b d =+-+-=-+，3331p p b b λ++=-3131()b pd b pd b b =+-+=-，以上三式相加可得：32d λ=，所以23d λ=， 所以321(1)n b b n d -=+-1(321)3db n =+-+，312(1)n b b n d -=+-1(1)b d n d λ=+-+-1(311)3d b n =+--， 33(1)n b b n d =+-1(1)b n d λ=++-1(31)3d b n =+-， 所以1(1)3n d b b n =+-，所以13n n d b b +-=， 所以，数列{}n b 是等差数列.2.（2018·无锡期末·19） 已知数列{}n a 满足121111(1)(1)(1)n na a a a ---=，*n N ∈，n S 是数列{}n a 的前n 项的和. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，求正整数,p q 的值； （3）是否存在*k N ∈，{}n a 中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】解：（1）因为121111(1)(1)(1)n na a a a ---=，*n N ∈， 所以当1n =时，11111a a -=，12a =， 当2n ≥时， 由1211(1)(1)a a --11(1)n n a a -=和12111111(1)(1)(1)n n a a a a -----=， 两式相除可得，111n n na a a --=，即11(2)n n a a n --=≥所以，数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列. 于是，1n a n =+.（2）因为p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，所以26018p q p qa S a S +=⎧⎪⎨=⎪⎩，于是654p q a S =⎧⎪⎨=⎪⎩，或546p q a S =⎧⎪⎨=⎪⎩. 当654p qa S =⎧⎪⎨=⎪⎩时，16(3)542p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得59p q =⎧⎨=⎩，当546pq a S =⎧⎪⎨=⎪⎩时，154(3)62p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，无正整数解，所以5p =，9q =.（3）假设存在满足条件的正整数k*()m a m N =∈，1m =+，平方并化简得，22(22)(23)63m k +-+=，则(225)(221)63m k m k ++--=，所以225632211m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或225212213m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或22592217m k m k ++=⎧⎨--=⎩，解得：15m =，14k =或5m =，3k =，3m =，1k =-（舍去）， 综上所述，3k =或14.3.（2018·镇江期末·20）已知数列 {a n }的前 n 项和 Sn ，对任意正整数 n ，总存在正数 p , q , r 使得r q S p a n n n n -==-,1恒成立：数列{b n }的前 n 项和n T ，且对任意正整数n ，n n nb T =2恒成立.（1）求常数 p , q , r 的值； （2）证明数列 {b n }为等差数列；（3）若22b =，记nn n n n n n n n n a b n a b n a b n a b n a b n P 121321222242222---++++++++++=，是否存在正整数 k ，使得对任意正整数 n ， P n ≤ k 恒成立，若存在，求正整数 k 的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】因为n n S q r =-①，所以11n n S q r --=-②，（2n ≥） ①－②得：11n n n n S S q q ---=-，即1n n n a q q -=-，（2n ≥），又1n n a p -=，所以11n n n p q q --=-，（2n ≥），2n =时，2p q q =-，3n =时，232p q q =-又p , q 为正数,解得p ＝q ＝2，又因为11a =，1S q r =-，且11a S =，所以1r =（2）因为n n nb T =2③，当2n ≥时，112(1)n n T n b --=-④ ③－④得：12(1)n n n b nb n b -=--，即1(2)(1)n n n b n b --=-⑤， 又1(1)n n n b nb +-=⑥，⑤+⑥得：11(22)(1)(1)n n n n b n b n b -+-=-+-， 即112n n n b b b -+=+，（2n ≥），所以数列 {b n }为等差数列.(3)因为10b =，又22b =，由（2）知数列 {b n }为等差数列，所以22n b n =-.又由（1）知12n n a -=，所以1232222244422222n n n n n n n n n P ---+--=++⋅⋅⋅++， 又1232221222444244222222n n n n n n n n n n n P +---+--+=+⋅⋅⋅++++，所以121214422122422224nn n n n n nn n n n n P P +--++-⋅-=+-=，令10n n P P +->得122420n n n +-⋅>， 所以61123422nn n n+<=+<，解得1n =所以1n =时，10n n P P +->，即210P P ->，2n ≥时，因为24n ≥，1342n +<，所以1612322n n n n+>+=，即122420n n n +-⋅<， 此时1n n P P +<，即234P P P >>>⋅⋅⋅， 所以n P 的最大值为222222+27=+=222P ⨯⨯， 若存在正整数 k ，使得对任意正整数 n ， P n ≤ k 恒成立，则max 72k P ≥=， 所以正整数 k 的最小值为4.4.（2018·扬州期末·20）已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n 2+a n ，数列{b n }满足b 1=21，2b n+1=b n +nna b . (1) 求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2) 设数列{c n }满足c n =nn S b 2+，求和c 1+c 2+…+c n ； (3)是否存在正整数p ,q ,r (p ＜q ＜r )，使得b p ,b q ,b r 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p ,q ,r ，若不存在，请说明理由。
2018届江苏省苏州市高三上学期期末调研测试数学(文)试题(解析版)
2018届江苏省苏州市高三上学期期末调研测试数学（文）试题一、填空题1．已知集合A={x|x<2}，B={-1，0，2，3}，则A∩B= ． 【答案】{}1,0-【解析】试题分析：求A B ⋂就是求集合A 与集合B 中相同的元素的集合，集合B 是有限集，集合A 是无限集，因此用代入验证集合B 中元素是否符合集合A 中限制条件，即可得出{}1,0.A B ⋂=- 【考点】集合的运算.2．已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-= ． 【答案】42i -【解析】试题分析：由2(12i)(1i)(12i)(2)4 2.i i +-=+-=-复数的运算主要考查知识点21,i =-但要是掌握一些结论，如21(1)2,1ii i i i+±=±=-就可以提高解题的速度. 【考点】复数的运算.3．若函数()()sin f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ= ． 【答案】3π【解析】试题分析：研究三角函数的对称性，可从图像理解.因为三角函数的对称轴经过最值点，所以当π6x =时，()()sin f x x θ=+取最值，即()sin 1,662k k z πππθθπ⎛⎫+=±⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，又π02θ<<所以.3πθ=【考点】三角函数性质：对称轴.4．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，已知S5=5，S9=27，则S7= ． 【答案】【解析】试题分析：研究特殊数列：等差数列的通法为根据方程组求出其首项及公差.由及解得【考点】等差数列前n 项和.5．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ．【解析】试题分析：根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以母线长l 为再根据圆锥的侧面积公式.S rl π==圆锥的侧面积公式可结合圆锥展开图为扇形，由相应扇形面积公式理解记忆. 【考点】圆锥的侧面积.6．运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是 ．【答案】[1,4]-【解析】试题分析：由程序框图可得到一个分段函数2,0()(2),0x x f x x x x -<⎧=⎨-≥⎩，因此本题实质为根据定义域x ∈[-2，2]，求值域.当[2,0)x ∈-时，()(0,4];f x ∈当[0,2]x ∈时，()[1,0];f x ∈-所以()f x 值域为(0,4][1,0][1,4].-=-【考点】流程图，函数值域. 7．已知π3sin 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， π4sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan x = ． 【答案】7-【解析】试题分析：由π3sin 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， π4sin 45x ⎛⎫-=⎪⎝⎭得sin cos ,sin cos 55x x x x +=-=从而2s i n ,c o s .1010x x ==-所以sin tan 7.cos xx x==-解决三角函数给值求值问题，关键从角的关系上进行分析. 【考点】三角函数给值求值. 8．函数的值域为____________________．【答案】[2,+∞）【解析】试题分析：,因为令得,令得.所以函数在上单调递减,在上单调递增.所以时函数的最小值, 即.所以此函数值域为.【考点】1函数的值域;2用导数求最值. 9．已知两个单位向量，的夹角为60°，，若，则实数的值为______．【答案】2 【解析】由题意得10．已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是 ． 【答案】13【解析】试题分析：因为随机选取m 有3种不同方法，随机选取n 有2种不同方法，所以随机选取m ，n 共有326⨯=种不同方法；当1,1;0,1m n m n =-===直线10mx ny ++=不经过第二象限，所以概率是21.63= 【考点】古典概型概率，直线方程中斜率与系数关系.11．已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ．来【答案】(1,2)-【解析】试题分析：因为当0x ≥时，()0f x ≥单调增；当0x <时，()0f x <单调增，所以()f x 在R上单调增.又(3)12f =，所以222(1)12(1)(3)1312f xx fx x fx x x -+<⇒-+<⇒-+<⇒-<<本题若用分类讨论解题则会出现计算繁难.【考点】利用函数性质解不等式.12．在直角坐标系xOy 中，已知A （-1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P 的个数为 ．【答案】2 【解析】试题分析：设(,)P x y 则由222224(1)(1)42PAP B xy x y x y -=⇒++---=⇒+=.本题实质就是研究直线与圆交点个数.2,r =所以直线与圆相交，交点个数为两个.【考点】直线与圆位置关系，点到直线距离.13．已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为【答案】3【解析】试题分析：因为,x y 为正实数,且24xy x y ++=，设0x y k +=>，则y k x =-代入已知式得()240x k x x k x -++--=，整理得()2140x k x k -+-+=，关于x 的方程有解，所以()()21440k k ⎡⎤∆=-+-⨯-≥⎣⎦，解之得： 3k ≤--或3k ≥，又因为0k >，所以3k ≥，即x y +的最小值为3．【考点】方程与不等式．14．若 对一切x≥4恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】【解析】若 ,则当时 ,所以 ,从而 或所以或点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.二、解答题15．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，，求边c的大小．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理将边角关系统一为角的关系，再根据三角形内角和关系以及两角和正弦公式可得，即得角A的大小（2）由余弦定理得c的一元二次方程，解得边c试题解析：(1)因为，所以即，又因为所以，所以，又因为，所以．(2) 因为，即所以，解得．16．如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：PMD CBA（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）线面平行的判定关键在证相应线线平行，线线平行的证明或寻求需要结合平面几何的知识，如中位线平行于底面，因为本题中M为PC中点，所以应取BD的中点作为解题突破口；（2）线线垂直的证明一般需要经过多次线线垂直与线面垂直的转化，而对于面面垂直，基本是单向转化，即作为条件，就将其转化为线面垂直；作为结论，只需寻求线面垂直. 如本题中面PCD与面ABCD垂直，就转化为BC⊥平面PCD，到此所求问题转化为:已知线面垂直，要求证线线垂直.在线线垂直与线面垂直的转化过程中，要注意充分应用平面几何中的垂直条件,如矩形邻边相互垂直.试题解析：证明：（1）连结AC交BD于点O,连结OM. 2分因为M为PC中点,O为AC中点，所以MO//PA. 4分因为MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB,所以PA//平面MDB. 7分（2）因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,BC⊥CD,所以BC⊥平面PCD. 12分因为PD⊂平面PCD,所以BC⊥PD 14分【考点】直线与平面平行判定定理，面面垂直性质定理.17．甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元． （Ⅰ）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？ 【答案】（Ⅰ）(]11000,0,804a y v x v ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭（Ⅱ）当16000<<a （元）时，火车以h km a /2的速度行驶，全程运输成本最小：当1600≥a （元）时，火车以h km /80的速度行驶，全程运输成本最小【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，全程运输成本y 等于总的时间与总的成本的乘积，可得(]11000,0,804a y v x v ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭（Ⅱ）对（Ⅰ）式求导，注意分类讨论，可得当16000<<a （元）时，火车以h km a /2的速度行驶，全程运输成本最小：当1600≥a （元）时，火车以h km /80的速度行驶，全程运输成本最小试题解析： （Ⅰ）可变成本为241v ，固定成本为a 元，所用时间为v1000. ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a v v y 2411000，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v a v y 411000。
2018年高考数学江苏卷-答案解析
江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1.【答案】{1,8}【解析】观察两个集合即可求解。
【考点】集合的交集运算2.【答案】2【解析】2i (i)i i i 12i a b a b a b +=+=-=+，故2,1,2i a b z ==-=-.【考点】复数的运算 3.【答案】90【解析】8989909191905++++= 【考点】茎叶图，数据的平均数4.【答案】8【解析】代入程序前11I S =⎧⎨=⎩符合6I <， 第一次代入后32I S =⎧⎨=⎩，符合6I <，继续代入； 第二次代入后54I S =⎧⎨=⎩，符合6I <，继续代入， 第三次代入后78I S =⎧⎨=⎩，不符合6I <，输出结果8S =，故最后输出S 的值为8.【考点】伪代码5.【答案】[2,)+∞【解析】2log 100x x -⎧⎨>⎩≥，解之得2x ≥，即[2,)+∞. 【考点】函数的定义域，对数函数6.【答案】310【解析】假设3名女生为,,a b c ，男生为,d e ，恰好选中2名女生的情况有：选a 和b ，a 和c ，b 和c 三种。
总情况有a 和b ，a 和c ，a 和d ，a 和e ，b 和c ，b 和d ，b 和e ，c 和d ，c 和e ，d 和e 这10种，两者相比即为答案310【考点】古典概型7.【答案】：6π- 【解析】函数的对称轴为+k 2ππ+()2k k ππ∈Z ， 故把3x π=代入得2,326k k πππϕπϕπ+=+=-+ 因为22ππϕ-<<，所以0,6k πϕ==-.【考点】正弦函数的图像和性质8.【答案】2 【解析】由题意画图可知，渐近线b y x a=与坐标轴的夹角为60。
故22224b c a b a a ==+=，故2c e a==. 【考点】双曲线的几何性质9.【答案】2【解析】因为(4)()f x f x +=，函数的周期为4， 所以11(15)(1),(1)122f f f =--=-+=∴1((15))cos 242ff f f π⎛⎫===⎪⎝⎭.【考点】分段函数，函数的性质，函数值的求解10.【答案】4 3【解析】平面ABCD为底面边长，高为1的正四棱锥，141233⨯⨯=.【考点】空间几何体的结构，体积的计算11.【答案】3-【解析】3221()212f x x ax a xx=-+⇒=+令'322312()2,()20231g x x g x x xx x=+=->⇒-+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∵有唯一零点∴32(1)213()231a g f x x x==+=⇒=-+求导可知在[1,1]-上，min max()(1)4,()(0)1f x f f x f=-=-==∴min max()()3f x f x+=-【考点】函数零点，导数在函数性质中的应用12.【答案】3【解析】∵AB为直径∴AD BD⊥∴BD即B到直线l的距离。
江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试数学试题(PDF版)
3 ,1 2
10. 设 m, n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正 确命题的序号是 ▲ ．①② ②若 ∥ ， ∥ ， m ⊥ ，则 m ⊥ ④若 m ， n ， m ∥ n ，则 ∥ . ①若 m ⊥ ， n ∥ ，则 m ⊥ n ③若 ， ，则 ；
DE 6 sin A 2 sin A
BC CD ,又∠BDC=2A,得 sin BDC sin B
在 BCD 中
证明：（1）略 （2）∵ PC ⊥底面 ABCD ， AC 底面 ABCD ∴ PC ⊥ AC
D
2 CD 3 6 3 2 ,∴ CD ∴ CD 解得 cos A ,所以 A = 4 sin 2 A sin 2 A 2 sin A sin 2 A 2 sin 3 17.我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积 为 S （平方米）的矩形 AMPN 健身场地．如图，点 M 在 AC 上，点 N 在 AB 上，且 P 点在斜边 BC 上．已知 ACB 60 ， | AC | 30 米， AM = x 米， x [10,20 ] ．设矩
P 向 圆 C2 所 作 的 两 条 切 线 PA, PB 且 APB 60 ， 则 椭 圆 C1 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是
▲ ．
a aq aq 2 , 2 2 5 1 5 1 ，又 得 q 2 2 2 2 1 q q aq aq a,
a 2 2a 1 ，解得 3 a 1 . 4
8.若 log 4 (a 4b) log 2 ab ，则 a b 的最小值是
江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试数学试题(word版含答案)
高三数学期末试卷 2018.02一、填空题： 1.已知集合 A {1,2,3,4}, B{x | 2x3} ，则 A B ▲ .2.复数 z(1 2i )(3 i ) ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部为 ▲ .3.在平面直角坐标系 中，双曲线22-1169x y =的焦距为▲ .4.某校对全校 1200 名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本，已知女生抽了 95 人，则该校的男生数 是 ▲ .5.运行如图所示的伪代码，则输出的结果 S 为 ▲ ．6.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和不小于10的概率为 ▲ .7.在等差数列 {} 中, 若 a 3a 5a 79 , 则其前9 项和S 9 的值为 ▲ . 8.若 4 (a 4b )2ab ，则 ab 的最小值是 ▲ ．9 .已知椭圆 C 1 : 22221x y a b+= (a b 0) 与圆 C 2 : 222x y b += ，若椭圆 C 1 上存在点 P ，由点P 向圆 C 2 所作的两条切线 , 且 60，则椭圆 C 1 的离心率的取值范围是 ▲.10. 设 m , n 是两条不同的直线，， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正 确命题的序号是 ▲ ．①若 m ⊥ ， n ∥ ，则 m ⊥ n ②若 ∥ ， ∥ ，m ⊥，则 m ⊥ ③若，，则； ④若m ， n ， m ∥ n ，则∥ .11. 已知 35，)2πβπ∈（，且 ( ) ，则 ()▲ .12.已知函数 f ( x )2ln x x e +-，g ( x ) mx 其中e 为自然对数的底数，若函数f ( x ) 与g ( x ) 的图像恰有一个公共点，则实数 m 的取值范围是 ▲ ． 13. 已知函数 f (x ) x 2 (1 a )xa ，若关于 x 的不等式 f ( f ( x )) 0 的解集为空集，则实数 a 的取值范围是 ▲ . 14.已知 的周长为 2且, , 成等比数列，则BA BC u u u r u u u rg 的取值范围是 ▲15. 如图， 在四棱锥 P 中， ⊥底面 ， ∥，2 2 ，是以 为斜边的等腰直角三角形， E 是 上的点．求证：（1） 平面； （2）平面 ⊥平面 .16. 如图 , 在中 = 3， = 2, 点 D 在边 上 ,,， E 为垂足.（1）若△ 的面积为33,求 的长;（2）若 62,求角A 的大小.17.我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形 的空地上修建一个占地面积 为S （平方米）的矩形 健身场地．如图，点 M 在 上，点 N 在 上，且 P 点在斜边 上．已知 60，| | 30 米， = x 米，x [10,20] ．设矩形 健身场地每平方米的造价为37kS元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为12kS元（k为正常数）．（1）试用x 表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T 关于面积S的函数T f (S) ；（3）如何选取| | ，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．18.给定椭圆C：22221x ya b+= (a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2 为椭圆C 的“伴随圆”．已知点A(2,1)是椭圆G: x2 4 y2 m上的点.（1）若过点P(0, 10) 的直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求l被椭圆G的伴随圆G1 所截得的弦长；（2）B, C 是椭圆G 上的两点，设k1,k2 是直线, 的斜率，且满足4k1 k2 1，试问：直线B, C 是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。
2018届江苏省常州高三上学期期末数学(理)试题(解析版)
2018届江苏省常州高三上学期期末数学（理）试题一、填空题1．若集合{}2,0,1A =-， {}2| 1 B x x =>，则集合A B ⋂=________.【答案】{}2-【解析】由题意，得{}2,0,1A =-， {}()()2| 1 ,11,B x x ∞∞=>=--⋃+，则{}2A B ⋂=-.2．命题“[]0,1x ∃∈， 210x -≥”是________命题（选填“真”或“假”）. 【答案】真【解析】当1x =时， 210x -≥成立，即命题“[]0,1x ∃∈， 210x -≥”为真命题. 3．若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =________. 【答案】1【解析】设i,,z a b a b =+∈R ，则由22i 1z z ⋅=+，得2222i 1b a a b -+=++， 则2221{20b a b a -=++=，解得0{1a b ==-，即i z =-，即1z =.4．若一组样本数据2015， 2017， x ， 2018， 2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为【答案】2【解析】因为该组样本数据的平均数为2017，所以201520172018201620175x ++++=，解得2019x =，则该组样本数据的方差为()()()()()222221201520172015S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦1025==. 5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________.【答案】7【解析】由程序框图，得运行过程如下： 23624,3;4642,5A n A n =======；5306422017,7A n ==>=，结束循环，即输出的n 的值是7.6．函数()1ln f x x=的定义域记作集合D ，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1， 2， ⋅⋅⋅， 6），记骰子向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为________.【答案】56【解析】要使函数()1ln f x x=有意义，则ln 0x ≠且0x >，即0x >且1x ≠，即()()0,11,D =⋃+∞，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子，记骰子向上的点数为t ，则{}1,2,3,4,5,6t ∈，则事件“t D ∈”的概率为56P =. 7．已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为_______.【答案】3【解析】设该圆台的高为h ，由题意，得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥体积是1，则6162h -==，解得3h =，即该圆台的高为3. 点睛：本题考查圆锥的结构特征；在处理圆锥的结构特征时可记住常见结论，如本题中用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面的面积之比是两个圆锥高的比值的平方，所得两个圆锥的体积之比是两个圆锥高的比值的立方．8．各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为________.【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，且234234a a a a a a =++，所以33324a a a a -=+，则3332432a a a a a -=+≥=，即()23330a a -≥，即2333,a a ≥≥3a点睛：本题考查等比中项和基本不等式的应用；在处理等比数列中，往往考查等比数列的性质的应用，如：在等比数列{}n a 中，若2m n p q t +=+=，则2m n p q t a a a a a ==.9．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ： 10x y ++=与双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.【答案】(【解析】易知双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为by x a =±，联立10{x y by xa++==，得a x a b =-+，联立10{ x y by xa++==-，得a x b a =-，由题意，得0a b a <-，即a b >，c >，即1ca <<，即双曲线C 的离心率e的取值范围是(.10．已知实数x ， y 满足0,{220, 240,x y x y x y -≤+-≥-+≥则x y +的取值范围是________.【答案】4,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】令x y z +=，将x y z +=化为y x z =-+，作出可行域和目标函数基准直线y x =-（如图所示），当直线y x z =-+向右上方平移时，直线y x z =-+在y 轴上的截距z 增大，由图象，得当直线y x z =-+过点2233A （，）时， z 取得最小值43，当直线y x z =-+过点()44B ，时， z 取得最大值8，即x y +的取值范围为483⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.11．已知函数()ln f x bx x =+，其中b R ∈，若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为________.【答案】1e【解析】因为()ln f x bx x =+，所以()1f x b x'=+，设过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切于点()000,ln x bx x +，则切线方程为()()00001ln y bx x b x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，因为该切线过原点，所以()()000ln 1bx x bx -+=-+，解得00ln 1,e x x ==，即1ek b =+，即1ek b -=.点睛：本题考查导数的几何意义；在利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意“曲线在某点处的切线”和“过某点的切线”的区别，“在某点处的切线”，即该点就是切点，且在曲线上，但“过某点的切线”，则该点不一定在曲线上，且也不一定是切点.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的图像与x 轴的交点A ， B ，C 满足2OA OC OB +=，则ϕ=________.【答案】34π【解析】不妨设0x ωϕ+=， πx ωϕ+=， 2πx ωϕ+=，得π2π,,B A C x x x ϕϕϕωωω--=-==，由2OA OC OB +=，得3π22ϕϕωω-=，解得3π4ϕ=.13．在ABC ∆中， 5AB =， 7AC =， 3BC =， P 为ABC ∆内一点（含边界），若满足()14BP BA BC R λλ=+∈，则BA BP ⋅的取值范围为________．【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理，得2225371cos 2532B +-==-⨯⨯，因为P 为ABC ∆内一点（含边界），且满足()14BP BA BC R λλ=+∈，所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则14BA BP BA BA BC λ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭212515525,44284BA BA BC λλ⎡⎤=+⋅=-∈⎢⎥⎣⎦. 14．已知ABC ∆中，AB AC == ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC∆面积的最大值为__________．【解析】设2BC a =，以BC 所在直线为x 轴、其中垂线OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系（如图所示），则()()(,0,,0,B a C a A -，设(),P x y ，由22233PB PCPA +==，得222((3{(1x x yy y x +++=+=，即22222232{31x y a x y a +=-+-+-=，则2722{ 11a y -=≤≤，则()()222323aa --≤-+即()()2227232232a a a --≤-≤-+解得a ≤，即241232ABC S a a a ∆=⨯=-，即ABC ∆.二、解答题15．已知ABC ∆中， a ， b ， c 分别为三个内角A ， B ， C 的对边，sin cos +C c B c =，（1）求角B ；（2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值. 【答案】(1) 3B π=；(2)【解析】试题分析：（1）先由正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用配角公式进行化简求解；（2）由正弦定理将边边关系转化为角角关系，再利用同角三角函数基本关系式、两角和的正弦公式进行求解. 试题解析：（1sin cos C B c =+sin cos sin sin B C B C C ==，ABC ∆中， sin 0C >cos 1B B -=，所以1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 5666B πππ-<-<，66B ππ-=，所以3B π=；（2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，11tan tan A C += cos cos sin sin A C A C += cos sin sin cos sin sin A C A C A C + ()sin sin sin A C A C+= ()sin sin sin B A C π-= sin sin sin BA C =所以211sin 1tan tan sin sin B A C B B +==== . 16．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形， PC ⊥平面ABCD ， PB PD =，点Q 是棱PC 上异于P 、C 的一点.（1）求证： BD AC ⊥；（2）过点Q 和AD 平面截四棱锥得到截面ADQF （点F 在棱PB 上），求证： //QF BC .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）先利用面面垂直的性质和等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而得到线线垂直；（2）先利用线面平行的判定定理证明线面平行，再利用线面平行的性质定理进行证明. 试题解析：（1）证明： PC ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，所以BD PC ⊥，记AC ， BD 交于点O ，平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点，又PBD ∆中， PB PD =，所以BD OP ⊥，又P C O P P ⋂=， PC ， OP ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC 所以BD AC ⊥；（2）四边形ABCD 是平行四边形，所以//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ， BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又AD ⊂平面ADQF ，平面ADQF ⋂平面PBC QF =，所以//AD QF ，又//AD BC ，所以//QF BC .17．已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM 高3.6米， AB ， OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ， O .点光源从M 发出，小明在地上的影子记作'AB .（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求'AB 扫过的图形面积； （2）若3OA =米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ， 13OAA π∠=，且110AA =米. t 秒时，小明在地面上的影子长度记为()f t （单位:米），求()f t 的表达式与最小值.【答案】(1) 27π平方米；(2) ()f t =， 010t <≤，当32t =（秒）时， ()f t（米）.【解析】试题分析：（1）先由线线平行得到比例线段，再利用圆的面积公式进行求解；（2）先利用余弦定理得到函数表达式，再利用二次函数的最值问题进行求解. 试题解析：（1）由题意//AB OM ，则' 1.81' 3.62AB AB OB OM ===， 3OA =，所以'6OB =， 小明在地面上的身影'AB 扫过的图形是圆环，其面积为226327πππ⨯-⨯=（平方米）；（2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由(1)知000'12A B AB OB OM ==，所以 ()000'f t A B OA ===化简得()f t =， 010t <≤， ()f t =，当32t =时， ()f t.答： ()f t =， 010t <≤，当32t =（秒）时， ()f t（米）.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于M ， N 两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点.已知AM MN ⊥，且243OA OM b ⋅=.（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若103AMN POE S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程. 【答案】(1)e =(2) 22182x y +=. 【解析】试题分析：（1）联立方程，得到交点坐标，再利用平面向量的数量积求出椭圆的离心率；（2）先利用（1）结果写出M 的坐标和右准线方程，写出直线MN 的方程，得到相关点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解.试题解析：（1）由题意22222221{ 22x y a ba a x y +=⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，消去y 得22220c x ax b a ++=，解得1x a =-， 222ab x c =- 所以22M ab x c =- (),0a ∈-， M A OA OM x x ⋅= 22243ab a b c ==， 2234c a =，所以e =（2）由（1）2,3M b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，右准线方程为x =， 直线MN的方程为y =，所以P ⎫⎪⎪⎝⎭， 12POF P S OF y ∆=⋅2== 2AMN AOM S S ∆∆==22M OA y b ⨯==，所以22103a =，2203b =，所以b =a =椭圆C 的标准方程为22182x y +=.19．已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），()()111n n nS n S n n +=+++ ()*n N ∈.数列{}n b满足)*n b n N =∈.（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n N ∈，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ， t b ()*,s t N ∈使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q .【答案】(1) 22n a n a =-+；(2) 1q =.【解析】试题分析：（1）仿写式子，两式相减得到212n n a a ++=+，利用等差数列的定义和通项公式进行求解；（2）构造数列，利用递减数列得到取值范围，利用数列是特殊的函数，利用导数研究其单调性，利用s n t b c b ≤≤确定公比的取值.试题解析：（1）方法一：因为()()111n n nS n S n n +=+++①， 所以()()()()211212n n n S n S n n +++=++++②，由②-①得， 21(+1)S n n n nS ++- ()()()12121n n n S n S n +=+-+++， 即()21n n S ++= ()()()122121n n n S n S n ++-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+.在()()111n n nS n S n n +=+++中令1n =得， 12122a a a +=+，即212a a =+. 综上，对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列. 又1a a =，则22n a n a =-+.方法二：因为()()111n n nS n S n n +=+++，所以111n nS S n n+=++，又11S a a ==， 则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 为首项， 1为公差的等差数列， 因此1nS n a n=-+，即()21n S n a n =+-. 当2n ≥时， 122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式，故()*22n a n a n N =-+∈.故对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列.（2）令12122n n n a e a n a+==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a <≤+. 考察函数1(1)y x x x =+>，因为22211'10x y x x-=-=>，所以1y x x =+在()1,+∞上递增，因此()14222n n e e a a <+≤++，从而n b =∈⎝.因为对任意*n N ∈，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ， t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*nN ∈都有n c ∈⎝，明显0q >.若1q >，当1log n ≥+时，有111n n n c c q--=>≥若01q<<，当1log n ≥+时， 有11n n c c q -=≤1n -≤故1q =.20．已知函数()()2ln xf x x a =+，其中a 为常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在()0,a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在()0,1上的极值点为0x ，求证： ()02f x <-.【答案】(1)当x = ()f x 的极大值为12e，无极小值；(2) 122a e -≤-；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，将函数在某区间上单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；（3）连续两次求导，分别通过研究导函数的符号变化研究函数的极值，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用求导进行求解. 试题解析：（1）当0a =时， ()ln xf x x=，定义域为()0,+∞， ()312ln 'xf x x -=，令()'0f x =，得x =xf x 0, e 0e1 2ee , f ' x极大值 当 x e 时， f x 的极大值为1 ，无极小值. 2ea 2lnx x （2） f ' x ，由题意 f ' x 0 对 x 0, a 恒成立. 3 x a 1x 0, a ， x a 0 ，3 1a 2lnx 0 对 x 0, a 恒成立， x a 2 xlnx x 对 x 0, a 恒成立.令 g x 2xlnx x ， x 0, a ，则 g ' x 2lnx 1， ①若 0 a e 1 2，即 0 a e1 2，则 g ' x 2lnx 1 0 对 x 0, a 恒成立， g x 2xlnx x 在 0, a 上单调递减，则 a 2 a ln a a ， 0 ln a ， a 1 与 a e ②若 a e 当0 x e 当e 1 2 1 2 1 2 1 2矛盾，舍去；，即 a e1 2，令 g ' x 2lnx 1 0 ，得 x e1 2，时， g ' x 2lnx 1 0 ， g x 2xlnx x 单调递减， x a 时， g ' x 2lnx 1 0 ， g x 2xlnx x 单调递增， 1 2当 x e时， g x min g e 1 21 1 1 1 2 2 2 2e ln e e 2e 2 ， a 2e .综上 a 2e .（3）当 a 1 时， f x 1 21 2lnx x 12， f ' x x 1 2 xlnx x x 13，令 h x x 1 2xlnx ， x 0,1 ， 则 h ' x 1 2 lnx 1 2lnx 1 ，令 h ' x 0 ，得 x e 1 2，①当 e1 21 x 1 时， h ' x 0 ， h x x 1 2xlnx 单调递减， h x 0, 2e 2 1 ， f ' x x 1 2 xlnx x x 1 1 23 1 单调递减，且 f x f e 2 . 0 恒成立， f x 2 x 1lnx②当 0 x e时， h ' x 0 ， h x x 1 2xlnx 单调递增，1 1 1 1 1 2 2 2 2 h e e 1 2e ln e 2e 2 1 0 2 e 2 1 2e 2 ln e 2 又h e 5 1 0 ， e2 1 存在唯一 x0 0, e 2 ，使得 h x0 0 ， f ' x0 0 ， 当 0 x x0 时， f ' x0 0 ， f x 1 2lnx x 12单调递增，当 x0 x e时， f ' x0 0 ， f x lnx x 12单调递减，且 f x f e 1 2 ， 由①和②可知， f x lnx x 1lnx2在 0, x0 单调递增，在 x0 ,1 上单调递减， 当 x x0 时， f x x 12取极大值.h x0 x0 1 2x0lnx0 0 ， lnx0 f x0 lnx0x0 1 ， 2 x0 x0 121 1 ， 2 2 x0 x0 1 1 1 2 x0 2 2 2 1 1 1 1 1 2 又 x0 0, 2e ， 2 x0 ,0 ， f x0 2 . 2 2 2 2 1 1 2 x0 2 2 21．在 【答案】中，N 是边 AC 上一点，且 .，AB 与的外接圆相切，求的值．【解析】试题分析：记 试题解析：记外接圆为 ，利用圆的切割线定理和相似三角形进行求解. 、 分别是圆 的切线和割线，所以 ，外接圆为 ，又，所以与相似，所以，所以， 22．已知矩阵 A . 4 2 不存在逆矩阵，求： a 1（1）实数 a 的值； （2）矩阵 A 的特征向量. 【答案】(1) a 2 ；(2)答案见解析. 【解析】试题分析： （1）根据题意，将问题转化为行列式为 0 进行求解； （2）利用特征向量的定义进行求解. 试题解析： （1）由题意42 0 ，即 4 2a 0 ，解得 a 2 ； a1（2） 4 2 0 ，即 4 1 4 0 ，所以 2 5 0 ，解得 1 0 ， 2 5 2 14 x 2 y 0 2 x y 0 x 2y 0 2 x 4 y 0， y 2 x ，属于 1 0 的一个特征向量为 1 0 时， {1 ； 2 2 5 时， {， x 2 y ，属于 1 0 的一个特征向量为 .2 1 23．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 C 的参数方程为{x 2cos 1 （ 为参数） ，直线 l 的极坐标方程为 sin 2 ，直线 l 与曲线 C 交于 M ， N 两 y 2sin 4 点，求 MN 的长. 【答案】 14 . 【解析】试题分析：先消参得到曲线的直角坐标方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式得到直线的直角 坐标方程，再利用弦长公式进行求解. 试题解析：曲线 C ： x 12 y2 4 ， 直 线 l ：x y 2 0 ， 圆 心 C 1, 0 到直线 l 的距离为d1 0 2 12 121 2 2 2 ，所以弦长 MN 2 r d 2 4 14 . 2 2a 3 b3 ab . a 2 b224．已知 a 0 ， b 0 ，求证:【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：利用排序不等式进行证明. 试 题 解 析 ： 证 明 ： a 0 ， b 0 ， 不 妨 设 a b 0 ， 则 a2 b2 ， a2 b2 ， 由 排 序 不 等 式 得5 5 1 1a a b b a b b a ab . 2 2 a b a 2 b2 25．已知正四棱锥 P ABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条，按下列方式定义a a b b a b b a ，所以5 2 1 2 5 2 1 2 5 2 1 2 5 2 1 25 21 25 21 25 21 25 21 2随机变量 的值： 若这两条棱所在的直线相交，则 的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制） ； 若这两条棱所在的直线平行，则 0 ； 若这两条棱所在的直线异面，则 的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). （1）求 P 0 的值； （2）求随机变量 的分布列及数学期望 E . 【答案】(1)1 ；(2)答案见解析. 14【解析】试题分析：先利用题意得到几何体的结构特征，写出变量的所有可能求值，写出基本事件数； （1）利 用古典概型的概率公式进行求解； （2）列表得到分布列，再利用期望公式进行求解. 试题解析：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到 PAC ， PBD 为等 腰直角三角形， 的可能取值为： 0 ， 有 3 4 2 4 20 种； （1） P 0 （2） P 2 2 ， ，共 C8 28 种情况，其中： 0 时，有 2 种； 时， 3 2 3时，有 2 4 6 种；2 1 ； 28 14 4 16 5 6 3 ， P ， 3 28 7 2 28 14 根据（1）的结论，随机变量的分布列如下表：P01 14 35 7 23 14根据上表， E 0 26． 记 x 1 x （1）求 Sn ； （2）若1 5 3 29 . 14 3 7 2 14 84 1 1 * 2 的展开式中含 x 项的系数为 Sn ， 含 x 项的系数为 Tn . x （ n 2 且 n N ） 2 n Tn an 2 bn c ，对 n 2,3, 4 成立，求实数 a, b, c 的值； Sn（3）对（2）中的实数 a, b, c 用数字归纳法证明：对任意 n 2 且 n N * ，Tn an2 bn c 都成立. Snn 1 2 ；(2) a 1 ， b 1 ， c 1 ；(3)证明见解析. 【答案】(1) S n 4 12 6 n 1!【解析】试题分析： （1）利用多项式相乘和组合数公式进行求解； （2）代入前三项，得到关于 a, b, c 的三元一 次方程组进行求解； （3）利用数学归纳法进行求解.n 1 1 2 n 2 . 试题解析： （1） S n n! n 1!（2）T2 2 T 11 T 7 ， 2 ， 4 ， S3 6 S2 3 S4 23 4a 2b c 2 11 则{ 9a 3b c 6 7 16a 9b c 2解得 a 1 1 1 ， b ， c ， 4 12 6（3）①当 n 2 时，由（2）知等式成立；* ②假设 n k （ k N ，且 k 2 ）时，等式成立，即Tk 1 2 1 1 k k ； Sk 4 12 6当 n k 1 时，由 f x x 1 x 1 1 1 x x 2 k k 1 1 1 1 [ x 1 x x ] x k k 1 2 1 1 Sk x Tk x 2 x k 1 k! k 1 1 1 2 1 1 1 Tk 2 1 k k ， 知 Tk 1 S k k 1 12 6 k 1! k 1 4所以Tk 1 S k 1k 1 2 1 1 1 k 2 1 k 1 k 3k 5 k 1! 12 6 k 3k 2 k 2 k 1 4 ， k 1 12 k 11 k 2 12 2 k!又k 3k 5 1 1 1 2 ，等式也成立； k 1 k 1 4 12 6 12Tn an2 bn c 成立. Sn综上可得，对任意 n 2 且 n N * ，都有。
2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类之应用题
十、应用题（一）试题细目表地区+题号类型考点思想方法2018·南通泰州期末·18解答直线、圆、三角函数的定义、基本不等式建模思想2018·无锡期末·17解答2018·镇江期末·17解答2018·扬州期末·17解答2018·常州期末·17解答2018·南京盐城期末·17解答2018·苏州期末·17解答2018·苏北四市期末·17解答（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·18）如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F.（道路宽度忽略不计）【答案】【解】以AD所在直线为x轴，以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.（1）直线PB的方程为2y x=，半圆O的方程为22240x y+=(0)y≥，由2222,40(0),y x x y y =⎧⎨+=≥⎩得165y =. 所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得(40cos ,40sin )P θθ. 直线PB 的方程为sin 280(40)cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+80cos 40sin sin 2θθθ-=+.直线PC 的方程为sin 280(40)cos 1y x θθ-+=--， 令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++80cos 40sin sin 2θθθ+=+.所以，EF 的长度为()F E f x x θ=-80sin sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪+⎝⎭6400sin 2θ=+， 区域Ⅱ的面积为2140sin 2S EF θ=⨯⨯180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭21600sin sin 2θθ=+， 所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+(0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，2121600(2)6400t S S t-++=. 81600(4)t t=+-1600(284)≥-6400(21)=-.当且仅当22t =，即sin 222θ=-时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为26400(21)m -. 答：当sin 222θ=-时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.2.（2018·无锡期末·17）如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，3CAB π∠=，AB BD ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -，其中P 为BC 上异于,B C 的一点，PQ 与AB 平行，设PAB θ∠=.（1）证明：观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小；（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低请说明理由. 【答案】解：（1）由题意，3CAP πθ∠=-，所以3CP πθ=-，又cos 1cos PQ AB AP θθ=-=-， 所以观光专线的总长度()1cos 3f πθθθ=-+-cos 13πθθ=--++，03πθ<<，因为当03πθ<<时，'()1sin 0f θθ=-+<，所以()f θ在(0,)3π上单调递减，即观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小. （2）设翻新道路的单位成本为(0)a a >， 则总成本()(22cos )3g a πθθθ=-+-(2cos 2)3a πθθ=--++，03πθ<<，'()(12sin )g a θθ=-+，令'()0g θ=，得1sin 2θ=，因为03πθ<<，所以6πθ=， 当06πθ<<时，'()0g θ<，当63ππθ<<时，'()0g θ>.所以，当6πθ=时，()g θ最小.答：当6πθ=时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.3.（2018·镇江期末·17）如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC 与BD 焊接而成，焊接点 D 把杆AC 分成 AD , CD 两段，其中两固定点 A ，B 间距离为 1 米，AB 与杆 AC 的夹角为 60 ，杆AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆BD 成本是 4a 元/米. 设 ADB ，则制作整个支架的总成本记为 S 元.（1）求 S 关于 的函数表达式，并求出 的取值范围；（2）问 AD 段多长时， S 最小【答案】在△ABD 中,由正弦定理得12sin sin sin()33BD ADππαα==-， 所以33cos 12BD AD α==+，则3cos 13cos 13()2[1()]4()2sin 22sin 22sin S a a αααααα=++-++433cos 3()2sin 2a αα-=+，由题意得2(,)33ππα∈（2）令214cos 30sin S a αα-'==，设01cos 4α= α0(,)3πα0α02()3πα，cos α11(,)421411[,)24- S ' － 0 ＋ S单调递减极大值单调递增所以当1cos 4α=时，S 最小， 此时153cos 155sin ,42sin 210AD ααα+==+=答：（1）S 关于的函数表达式为433cos 3()2S a α-=+，且2(,)33ππα∈；（2）当5510AD +=时S 最小. 4.（2018·扬州期末·17）如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上。
2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类：集合、复数
一、集合（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·1）已知集合{}1,0,A a =-，{B =.若B A ⊆，则实数a 的值为 .【答案】12.（2018·无锡期末·1）已知集合{1,3}A =，{1,2,}B m =，若A B B =，则实数m = ．【答案】33.（2018·镇江期末·1）已知集合 A = {- 2,0,1,3}, B = {-1,0,1,2}, 则=B A【答案】{0,1} 4.（2018·扬州期末·1）若集合A={x |1＜x ＜3}，B={0，1，2，3}，则A ∩B=___________.【答案】{}2 5.（2018·常州期末·1）若集合2{2,0,1},{|1}A B x x =-=>，则集合A B = ．【答案】{2}-6.（2018·南京盐城期末·1）.已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ． 【答案】{}17.（2018·苏州期末·2）已知集合{1,2}a A =，{1,1,4}B =-，且A B ⊆，则正整数a = ． 【答案】28.（2018·苏北四市期末·1）已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ．【答案】{1,0,1}-二、复数（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·2） 已知复数141iz i+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为 .【答案】32-2.（2018·无锡期末·2） 若复数312a ii+-（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a = ． 【答案】63.（2018·镇江期末·4）设复数 z 满足i zi543=+，则z = 【答案】14.（2018·扬州期末·2）若复数(a-2i )(1+3i )是纯虚数，则实数a 的值为__________.【答案】6- 5.（2018·常州期末·3）若复数z 满足22i 1(i )z z ⋅=+其中为虚数单位，则z = ． 【答案】16.（2018·南京盐城期末·2）.设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ． 【答案】17.（2018·苏州期末·1）已知i 为虚数单位，复数3i 2z =-的模为 ．8.（2018·苏北四市期末·2） 已知复数2i2iz +=-（i 为虚数单位），则z 的模为 ． 【答案】1。
2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类：概率、统计
三、统计（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·3）已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取名学生.25【答案】2.（2018·无锡期末·3）某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为．【答案】473.（2018·扬州期末·3）若数据31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的标准差为_________.【答案】24.（2018·扬州期末·4）为了了解某学校男生的身体发育情况，随机调查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图，根据此图估计该校2000名男生中体重在70-80kg的人数为________.【答案】240 5.（2018·常州期末·4）若一组样本数据2015，2017，x ，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为 ．【答案】26.（2018·南京盐城期末·3）.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ．【答案】12007.（2018·苏北四市期末·5）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，时间(单位:分钟)组距50 60 70 80 90 100 0.035a 0.020 0.010 0.005第3题图则成绩在[250，400)内的学生共有 人．【答案】750四、概率（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·5）某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为 .【答案】122.（2018·无锡期末·4）已知,{1,2,3,4,5,6}a b ∈，直线1:210l x y +-=，2:30l ax by -+=，则直线12l l ⊥的概率为 ．150 200 250 300 350 400 450（第5题）【答案】1 123.（2018·扬州期末·6）从两名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率为__________.【答案】2 34.（2018·常州期末·6）函数1()lnf xx=的定义域记作集合D．随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2,,6），记骰子向上的点数为t，则事件“t D∈”的概率为．【答案】5 65.（2018·南京盐城期末·5）.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．【答案】2 36.（2018·苏州期末·4）苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为．【答案】1 107.（2018·苏北四市期末·7）连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为．【答案】5 9。
2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类：应用题
十、应用题（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·18）如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F .（道路宽度忽略不计）【答案】【解】以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）直线PB 的方程为2y x =， 半圆O 的方程为22240x y +=(0)y ≥，由2222,40(0),y x x y y =⎧⎨+=≥⎩得y =. 所以，点P 到AD 的距离为.（2）①由题意，得(40cos ,40sin )P θθ. 直线PB 的方程为sin 280(40)cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+80cos 40sin sin 2θθθ-=+.直线PC 的方程为sin 280(40)cos 1y x θθ-+=--， 令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++80cos 40sin sin 2θθθ+=+.所以，EF 的长度为()F E f x x θ=-80sin sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪+⎝⎭6400sin 2θ=+， 区域Ⅱ的面积为2140sin 2S EF θ=⨯⨯180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭21600sin sin 2θθ=+， 所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+(0)2πθ<<. 设sin 2t θ+=，则23t <<，2121600(2)6400t S S t-++=.81600(4)t t=+-4)≥1)=.当且仅当t =，即sin 2θ=时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为21)m .答：当sin 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.2.（2018·无锡期末·17）如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，3CAB π∠=，AB BD ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -，其中P 为BC 上异于,B C 的一点，PQ 与AB 平行，设PAB θ∠=.（1）证明：观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小；（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低？请说明理由. 【答案】解：（1）由题意，3CAP πθ∠=-，所以3CP πθ=-，又cos 1cos PQ AB AP θθ=-=-， 所以观光专线的总长度()1cos 3f πθθθ=-+-cos 13πθθ=--++，03πθ<<，因为当03πθ<<时，'()1sin 0f θθ=-+<，所以()f θ在(0,)3π上单调递减，即观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小. （2）设翻新道路的单位成本为(0)a a >， 则总成本()(22cos )3g a πθθθ=-+-(2cos 2)3a πθθ=--++，03πθ<<，'()(12sin )g a θθ=-+，令'()0g θ=，得1sin 2θ=，因为03πθ<<，所以6πθ=， 当06πθ<<时，'()0g θ<，当63ππθ<<时，'()0g θ>.所以，当6πθ=时，()g θ最小. 答：当6πθ=时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.3.（2018·镇江期末·17）如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC 与BD 焊接而成，焊接点 D 把杆AC 分成 AD , CD 两段，其中两固定点 A ，B 间距离为 1 米，AB 与杆 AC 的夹角为 60︒ ，杆AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆BD 成本是 4a 元/米. 设 ∠ADB = α ，则制作整个支架的总成本记为S 元.（1）求 S 关于α 的函数表达式，并求出α 的取值范围；（2）问 AD 段多长时， S 最小？【答案】在△ABD 中,由正弦定理得12sin sin sin()33BD ADππαα==-，所以1,2sin 2sin 2BD AD ααα==+，则11()2[1()]4()2sin 22sin 22sin S a a αααααα=++-++3)2a =+，由题意得2(,)ππα∈（2所以当1cos 4α=时，S 最小，此时1sin 2AD α===答：（1）S 关于α 的函数表达式为3)2S a =，且2(,)33ππα∈；（2）当AD =S 最小. 4.（2018·扬州期末·17）如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上。
江苏省高三数学上学期考试试题分类汇编复数与算法
——教学资料参考参考范本——江苏省高三数学上学期考试试题分类汇编复数与算法______年______月______日____________________部门复数与算法一、复数1、（××市、××市20xx 届高三第一次模拟）设复数满足，其中为虚数单位，z (1i)2z -=i则的虚部为 ▲ .z2、（南通、××市20xx 届高三第一次调研测）复数，其中为虚数单位，则的实部为 ▲2(1+2i)z =i z 3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）20xx 届高三上学期期中）已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为 ▲ z(1i)2z -=i z4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）20xx 届高三上学期期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则的模为 z (1)2i z i-=i z5、（××市20xx 届高三上期末调研测试）已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为i iz 21-=i z6、（××市20xx 届高三上学期期末）复数，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为21z i =-7、（××市20xx 届高三上学期期中）复数的虚部为)1(i i z -=8、（××市20xx 届高三上学期期末）设(为虚数单位，，)，则▲ ．1i i1ia b +=+-i a b ∈R ab = 9、（××市20xx 届高三上学期期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则 z ))((i i z +-=321i =z复数答案：1、12、－33、14、5、－21 26、1－7、18、09、i52二、算法1、（××市、××市20xx届高三第一次模拟）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是▲2、（南通、××市20xx届高三第一次调研测）如图是一个算法的流程图，则输出的的值为▲．n3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）20xx届高三上学期期中）右图是一个算法的流程图，则输出的值为▲x4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）20xx届高三上学期期末）根据如图所示的伪代码，则输出的值为．S S←I←1I≤While5←+I I1←+S S IEnd WhliePr int S5、（××市20xx 届高三上学期期中调研）阅读下面的流程图，如果输出的函数的值在区间内，那么输入的实数的取值范围是 ．)(x f ],[2141x6、（××市20xx 届高三上期末调研测试）根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为 .7、（××市20xx 届高三上学期期末）如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的的值为5，x 则输出的的值为 ▲ ．y参考答案1、92、53、234、205、［－2，－1］6、437、－15。
2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类之应用题
十、应用题（一）试题详目表地域 +题号类型考点思想方法2018·期末·18解答直线、圆、三角函数建模思想的定义、基本不等式2018·期末·17解答2018·期末·17解答2018·期末·17解答2018·期末·17解答2018·期末·17解答2018·期末·17解答2018·北四市期末·17解答（二）试题分析1. （2018·期末·18 ）如图，某小区中央广场由两部分构成，一部分是边长为80cm的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修筑的3条直道AD ， PB ，PC将广场切割为6 个地区：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化地区（图中暗影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲地区，此中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB，PC订交于点E，F.（道路宽度忽视不计）【答案】【解】以AD所在直线为 x 轴，以线段AD 的中垂线为y轴成立平面直角坐标系.（1 ）直线PB的方程为y 2x ，半圆 O 的方程为 x2y2402( y0) ，y2x,得 y165 .由2y240 2 ( y0),x因此，点P 到 AD 的距离为 16 5m .（2 ）①由题意，得 P(40cos ,40sin ) .直线PB 的方程为sin 240) ，y 80(xcos 1令 y0，得x E80cos80 4080cos40sinsin2sin.2直线 PC 的方程为 y80 sin2(x 40) ，cos 1令 y0，得80cos 804080cos40sinx Fsin2 sin.2因此，EF 的长度为f ( )x F80sin 0,.x E，sin 22②地区Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 11 80sin 6400 280280，sinsin2地区Ⅱ的面积为1 EF40sin1 80sin 40sin1600sin 2 S 22sin 2sin，22因此 S 1 S 21600sin 26400 (0 ) .sin22设 sin 2 t ，则 2 t3 ，S 1 S 2 1600(t2)2 6400 .t1600(t 8 1600(2 8 4) 6400( 2 1).4)t当且仅当 t 2 2，即sin2 22 时“”成立 .因此，休闲地区Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积 S 1 S 2 的最小值为 6400( 2 1)m 2 .答：当 sin22 2 时，绿化地区Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.2. （ 2018 ·期末· 17 ）如图，点 C 为某沿海城市的高速公路进出口，直线 BD 为海岸线，CAB， ABBD ，3?C 通往海岸的参观专线 BC 是以 A 为圆心，半径为 1km 的圆弧型小道 . 该市拟修筑一条从 ? ? . CP PQ ，此中 P 为 BC 上异于 B,C 的一点， PQ 与 AB 平行，设 PAB（1 ）证明：参观专线 ? PQ 的总长度随 的增大而减小； CP（2 ）已知新建道路 PQ 的单位成本是翻新道路?2 倍.当 取何值时， 参观CP 的单位成本的 ? PQ 的修筑总成本最低？请说明原因 .专线 CP【答案】解：（ 1 ）由题意，CAP?，，因此 CP33又 PQ AB AP cos1cos ，因此参观专线的总长度f ( )1 coscos1， 0，333因为当 0时， f '( ) 1 sin0 ，3因此 f ( )在(0,) 上单一递减，3即参观专线 ?PQ 的总长度随的增大而减小 .CP（2 ）设翻新道路的单位成本为a(a 0) ，则总成本 g ( )a(2 2cos )a(2cos2)，0，333g '( )a( 1 2sin ) ，令 g '( )0 ，得 sin1，因此 ，，因为 02 36 当 06时， g '() 0 ，当时， g '( )0 .63因此，当6 时， g( )最小.答：当?PQ 的修筑总成本最低 .时，参观专线 CP63. （ 2018 ·期末· 17 ）如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC 与 BD 焊接而成，焊接点 D 把杆 AC 分红 AD , CD 两段，此中两固定点 A ，B 间距离为 1 米， AB 与杆 AC 的夹角为 60 ，杆 AC 长为 1 米，若制作AD 段的成本为 a 元/ 米，制作 CD 段 的成本是2a 元 / 米，制作杆 BD 成本是 4a 元 / 米 . 设ADB，则制作整个支架的总成本记为S 元 .（ 1 ）求 S 对于 的函数表达式，并求出 的取值围；（ 2 ）问 AD 段多长时， S 最小？1BDAD【答案】在△ ABD 中 ,由正弦定理得 sinsinsin( 2，3)3因此 BD3 , AD 3cos 1 ，2sin 2sin2则S(3 cos 1) 2a[1 ( 3 cos 1)] 4a(3 )2sin2 2sin22sina( 4 3 3 cos3 )，2sin 2由题意得( , 2)3 3（2）令 S3a14cos 0 ，设 cos1 sin 24( , )(2， )30 3 cos(1,1)1 [ 1,1)4 242 4S－＋S单一递减极大值单一递加因此当 cos1时， S 最小，4此时 sin15,AD3 cos 1 5 542sin2 10答：（ 1）S 对于的函数表达式为 S a(4 3 3 cos3) ，且( ,2)；2sin23 3（2 ）当 AD55时S 最小.104. （2018 ·期末· 17 ）如图，射线 OA 和 OB 均为笔挺的公路，扇形 OPQ 地区（含界限）是一蔬菜栽种园，此中、 Q 分别在射线OA 和OB 上。
2019-2020年江苏省高三上学期期末数学试题分类：集合、复数【标准版】
一、集合（一）试题细目表1.（南通泰州期末·1）已知集合{}1,0,A a =-，{B =.若B A ⊆，则实数a 的值为.【答案】1 2.（无锡期末·1）已知集合{1,3}A =，{1,2,}B m =，若A B B =，则实数m =．【答案】33.（镇江期末·1）已知集合A ={-2,0,1,3},B ={-1,0,1,2},则=B A【答案】{0,1} 4.（扬州期末·1）若集合A={|1＜＜3}，B={0，1，2，3}，则A ∩B=___________.【答案】{}2 5.（常州期末·1）若集合2{2,0,1},{|1}A B x x =-=>，则集合A B =． 【答案】{2}-6.（南京盐城期末·1）.已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ． 【答案】{}17.（苏州期末·2）已知集合{1,2}a A =，{1,1,4}B =-，且A B ⊆，则正整数a =． 【答案】28.（苏北四市期末·1）已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B =．【答案】{1,0,1}-二、复数（一）试题细目表1.（南通泰州期末·2） 已知复数141iz i+=-，其中i 为虚数单位，则复数的实部为.【答案】32-2.（无锡期末·2） 若复数312a ii+-（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =． 【答案】63.（镇江期末·4）设复数 满足i zi543=+，则z =【答案】14.（扬州期末·2）若复数(a-2i )(1+3i )是纯虚数，则实数a 的值为__________.【答案】6- 5.（常州期末·3）若复数满足22i 1(i )z z ⋅=+其中为虚数单位，则z =． 【答案】16.（南京盐城期末·2）.设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为． 【答案】1 7.（苏州期末·1）已知i 为虚数单位，复数3i 2z =-的模为．8.（苏北四市期末·2） 已知复数2i2iz +=-（i 为虚数单位），则的模为． 【答案】1。
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一、集合
（一）试题细目表
（二）试题解析
1.（2018·南通泰州期末·1）
已知集合{}1,0,A a =-，{B =.若B A ⊆，则实数a 的值为 .
【答案】1
2.（2018·无锡期末·1）
已知集合{1,3}A =，{1,2,}B m =，若A B B = ，则实数m = ．
【答案】3
3.（2018·镇江期末·1）
已知集合 A = {- 2,0,1,3}, B = {-1,0,1,2}, 则=B A
【答案】{0,1} 4.（2018·扬州期末·1）
若集合A={x |1＜x ＜3}，B={0，1，2，3}，则A ∩B=___________.
【答案】{}2 5.（2018·常州期末·1）
若集合2{2,0,1},{|1}A B x x =-=>，则集合A B = ． 【答案】{2}-
6.（2018·南京盐城期末·1）.
已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ． 【答案】{}1
7.（2018·苏州期末·2）
已知集合{1,2}a A =，{1,1,4}B =-，且A B ⊆，则正整数a = ． 【答案】2
8.（2018·苏北四市期末·1）
已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ． 【答案】{1,0,1}-
二、复数
（一）试题细目表
（二）试题解析
1.（2018·南通泰州期末·2） 已知复数141i
z i
+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为 .
【答案】3
2-
2.（2018·无锡期末·2）
若复数
312a i
i
+-（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a = ．
【答案】6
3.（2018·镇江期末·4）
设复数 z 满足
i z
i
543=+，则z = 【答案】1
4.（2018·扬州期末·2）
若复数(a-2i )(1+3i )是纯虚数，则实数a 的值为__________.
【答案】6- 5.（2018·常州期末·3）
若复数z 满足2
2i 1(i )z z ⋅=+其中为虚数单位，则z = ． 【答案】1
6.（2018·南京盐城期末·2）.
设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ． 【答案】1
7.（2018·苏州期末·1）
已知i 为虚数单位，复数3
i 2
z =-的模为 ．
8.（2018·苏北四市期末·2） 已知复数2i
2i
z +=
-（i 为虚数单位），则z 的模为 ． 【答案】1。