2018届山东省烟台市高三上学期期末自主练习理数试题
山东省烟台市2018届高三数学上学期期末自主练习试题理
山东省烟台市2018届高三数学上学期期末自主练习试题 理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合{}1,1,2,4M =-，{}2230N x x x =--≤，则()R M C N =( )A.{}1,1,2-B.{}1,2C.{}4D.{}12x x -≤≤2.已知01b a <<<，则下列不等式成立的是()A.11a b>B.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()()22lg lg a b >D.11lg lg a b<3.已知函数()1,0sin ,02x e x f x x x π-⎧>⎪=⎨⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则()()0f f =( ) A.0 B.1 C.eD.1e4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233215S S -=，则数列{}n a 的公差为( ) A.3B.4-C.5-D.65.若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图象关于原点对称，则ϕ的最小值是( ) A.8πB.4π C.38πD.34π 6.在区间[]0,π上随机取一个数x，则事件“sin cos x x +≥”发生的概率为( ) A.12B.13C.712D.237.函数2cos y x x =-的图象大致为( )ABCD8.在ABC △中，已知AB AC AB AC +=-，1AB =，3AC =，,M N 分别为BC 的三等分点，则AM AN ⋅=( ) A.109B.209C.89D.839.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A.12B.18C.20D.2410.已知()1,0F c -，()2,0F c 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个焦点，若双曲线上存在点P使得2122c PF PF ⋅=-，则双曲线的离心率的取值范围为( )A.()1,+∞B.[)2,+∞C.)+∞D.)+∞11.数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，记()*n n n n n n n c a T b S a b n N =⋅+⋅-⋅∈，若20181S =，20182018T =，则数列{}n c 的前2018项和为( )A.2017B.2018 D.2019212.定义在区间[],a b 上的函数()y f x =，()'f x 是函数()f x 的导函数，若存在(),a b ζ∈，使得()()()()'f b f a f b a ζ-=-，则称ζ为函数()f x 在[],a b 上的“中值点”.下列函数：①()sin f x x =；②()x f x e =；③()()ln 3f x x =+；④()31f x x x =-+.其中在区间[]2,2-上至少有两个“中值点”的函数的个数为( ) A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()()52x y x y --的展开式中33x y 的系数是__________.(用数字作答)14.设变量,x y 满足约束条件203x y y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为__________.15.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鐅臑.若三棱锥P ABC -为鐅臑，且PA ⊥平面ABC ，2PA =，3AB =，AB BC ⊥，该鐅臑的外接球的表面积为29π，则该鐅臑的体积为__________.16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的一条直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，给出以下结论： ①12y y ⋅为定值；②若经过点A 和抛物线的顶点的直线交准线于点C ，则BC x ∥轴； ③存在这样的抛物线和直线AB ，使得OA OB ⊥(O 为坐标原点)；④若以点A ，B 为切点分别作抛物线的切线，则两切线交点的轨迹为抛物线的准线. 写出所有正确的结论的序号__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数()22sin 24f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应的x 的值；(2)在ABC △中，若A B <，且()()12f A f B ==，求BCAB的值.18.某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，3，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲车间执行标准A ，乙车间执行标准B 生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲车间的等级系数1X 的概率分布列如下表，若1X 的数学期望()1 6.4E X =，求,a b 的值；(2)为了分析乙车间的等级系数2X ，从该车间生产的火腿中随机抽取30根，相应的等级系数组成一个样本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数2X 的概率分布列和均值； (3)从乙车间中随机抽取5根火腿，利用(2)的结果推断恰好有三根火腿能达到标准A 的概率. 19.已知四棱锥S ABCD -，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB DC ∥，90DAB =∠°，2AB DC =，AD =，M 是SB 中点.(1)求证：CM ∥平面SAD ；(2)若直线DM 与平面SAB ，F 是SC 的中点，求二面角C AF D --的余弦值.20.已知点,A B 是椭圆()2222:10x y L a b a b+=>>的左右顶点，点C 是椭圆的上顶点，若该椭圆的焦距为AC ，BC 的斜率之积为14-.(1)求椭圆L 的方程；(2)是否存在过点()1,0M 的直线l 与椭圆L 交于两点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆经过点C ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由. 21.已知函数()()ln 1af x x x a a x=+-+-∈R . (1)求函数()f x 的单调区间； (2)若存在1x >，使()1xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值.22.已知曲线C 的参数方程为12x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半冷眉冷眼为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其轨迹；(2)若曲线1C 的极坐标方程为3sin cos θθρ-=，曲线C 与1C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长度.23.已知函数()21f x x =+，()123g x a x =---. (1)当5a =-时，求()()f x g x ≤的解集；(2)若存在实数x 使得()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、 选择题C D B C C C A B D C B B 二、 填空题13.120- 14.4 15.4 16.①②④ 三、 解答题17. 解：（1）()1cos 21cos(2)12222x x f x ππ⎛⎫-+ ⎪+-⎝⎭=+-1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 由于02x π≤≤，22333x πππ-≤-≤，所以当232x ππ-=即512x π=时， ()f x 取得最大值，最大值为1.（2）由已知，A 、B 是ABC ∆的内角，A B <,且()()12f A f B ==， 可解得4A π=，712B π=. 所以6C A B ππ=--=,得sin sin BC AAB C==18. 解：（1）1()50.26780.1 6.4E X a b =⨯+++⨯= 即67 4.6a b +=① 又0.20.11a b +++=，即0.7a b +=②联立①②得 67 4.60.7a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.30.4a b =⎧⎨=⎩ .（2）由样本的频率分布估计总体分布，可得等级系数2X 的分布列如下：8.41.081.071.062.052.043.03)(2=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，即乙车间的等级系数的均值为8.4.（3）3325115()()2216P C =⨯⨯=. （4）19. （1）证明：取SA 中点N ,连接DN MN ,， 在SAB ∆中，MN //AB ,AB MN 21=,DC NM DC NM =∴,//, ∴四边形CDNM 为平行四边形. ∴DN CM //又⊄CM 平面SAD ,DN ⊂平面SAD∴//CM 平面SAD.（2）由已知得：,,AB AD AS 两两垂直，以,,AB AD AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，,,,⊥⊥=∴⊥AD SA AD AB SA AB A AD 平面SAB ，∴DMA ∠就是DM 与平面SAB 所成的角.在Rt AMD D中，tan AMD ∠=，即AD AM =设2=AB，则AD =1=DC 2=∴AMSAB Rt ∆中，M 为斜边SB 中点，4=∴SB322422=-=∴AS .则(0,0,0),(2,0,0)A B，C D，(0,0,S，1(2F 所以(0,3,0),(1,3,0)AD AC ==，1(2AF =. 设111(,,)=x y zm 是平面ACF 的一个法向量，则111110010022⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎪⎩⎩x AC AF x y m m ，令11y =，得(=m . 设222(,,)=x y zn 是平面ADF 的一个法向量，则2222001002=⎧=⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎪⎩⎩AD AF x y n n，令21z =()∴=-n .∴cos ,13⋅<>===⋅m n m n m n .∴二面角EAF C --的余弦值为13.20. 解：（1）由题意可知，c =,AC BC b bk k a a==-， 有 2214b a -=-，即224a b =，又222a b c =+，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）存在；以PQ 为直径的圆经过点C 可得，CP CQ ⊥，若直线l 的斜率为0，则,A B 为点,P Q ，此时2225cos 03ACB ∠==-<，此时,CP CQ 不垂直，不满足题意，可设直线l的方程为：1x my =+，联立22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得，22(4)230m y my ++-=，则有1221222434m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. ①设1122(,),(,)P x y Q x y ，由题意可知120x x ≠，因为CP CQ ⊥， 则1CP CQ k k =-，即1212111y y x x --⋅=-， 整理可得：21212(1)(1)()20m y y m y y ++-++=， ②将①代入②可得：2223(1)2(1)2044m m m m m -+--+=++， 整理得23250m m --=，解得1m =-或者53m =， 所以直线l 的方程为：10x y +-=或3530x y --=.21. 解：（1）由题意可知，0x >，2221()1a x x af x x x x-+-'=--=， 方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-， 当140a ∆=-≤，即14a ≥时，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当104a <<时，方程20x x a -+-=，且102<<，此时，()f x在122（，上()0f x '>，函数()f x 单调递增，在110)22-++∞（，），(上()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当0a ≤0<0>，此时当()0x f x '∈>，()f x 单调递增，当)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 综上：当0a ≤时，x ∈，()f x 单调递增，当)x ∈+∞时，()f x 单调递减； 当104a <<时，()f x在上单调递增，在0)+∞（上单调递减； 当14a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； （2）原式等价于(1)ln 21x a x x x ->+-， 即存在1x >，使ln 211x x x a x +->-成立．设ln 21()1x x x g x x +-=-，1x >，则2ln 2'()(1)x x g x x --=-， 设()ln 2h x x x =--， 则11()10x h x x x-'=-=>，∴()h x 在(1,)+∞上单调递增． 又(3)3ln321ln30,(4)4ln 4222ln 20h h =--=-<=--=->，根据零点存在性定理，可知()h x 在(1,)+∞上有唯一零点，设该零点为0x ， 则0(3,4)x ∈，且000()l n 20h x x x =--=，即002ln x x -=， ∴000min 00ln 21()11x x x g x x x +-==+-由题意可知01a x >+，又0(3,4)x ∈，a ∈Z ，∴a 的最小值为5.22. 解：（1）曲线C 的普通方程为5)2()1(22=-+-y x ① 所以曲线C 是以)2,1(为圆心，5为半径的圆。
山东省烟台市2018届高三上学期期末自主练习物理试题(解析版)
2017—2018学年度第一学期高三期末自主练习物理试题一、选择题：1. 卢瑟福提出了原子的核式结构模型，这一模型建立的基础是A. α粒子散射实验B. 电子的发现C. 光电效应现象的发现D. 天然放射性现象的发现【答案】A【点睛】本题考查物理学史，掌握α粒子散射实验观察的结果，这是卢瑟福提出原子的核式结构模型的实验基础．2. 以下说法中正确的是A. 通电直导线在磁场中受到的安培力方向与磁场方向平行B. 带电粒子在匀强磁场中运动受到的洛伦兹力对粒子做正功C. 磁感线可以形象地描述各点的磁场强弱和方向，磁感线上每一点的切线方向都和小磁针在该点静止时N 极所指的方向一致D. 放置在磁场中1m长的导线，通过1安的电流，受到的安培力为1N时，该处磁感应强度就是1T【答案】C【解析】A、通电导线方向与磁场方向不在一条直线上时，才受到安培力作用，当二者平行时，安培力为零，故A错误；B、洛伦兹力的方向与速度方向垂直，洛伦兹力不做功．故B错误．C、磁感线可以形象地描述各点磁场的强弱和方向，它每一点的切线方向都和小磁针放在该点静止时北极所指的方向一致，与南极所指的方向相反，故C正确；D、垂直于磁场的方向放置在磁场中1m长的通电导线，通过1A的电流，受到的安培力为1N，则该处的磁感应强度就是1T,故D错误。
故选C.【点睛】掌握磁场的强弱分布和磁场的方向描述，理解磁场中的两个力(安培力和洛伦兹力)的规律.3. 一电梯从静止开始向上运动，其速度图象如图所示，下列说法正确的是A. 电梯在t=5s时处于失重状态B. 电梯在t=20s时加速度大小为0.2m/s2C. 电梯在0～10s内的平均速度大小为6m/sD. 电梯在0～30s内上升的总高度为90m【答案】D【解析】A、根据图象可知，检修人员在5s时向上加速，加速度向上处于超重状态，故A错误；B、10s～30s内图象的斜率不变，则加速度恒定不变为，故B错误；C、0~10s做匀加速直线运动，故C项错误；D、图象的“面积”等于位移，根据图象可知0～30s内的位移为，故正确；故选D.【点睛】对于速度图象关键抓住斜率等于加速度、“面积”等于位移来分析物体的运动情况，同时还要掌握超重和失重的判断，明确加速度向下时为失重，而加速度向下时为超重．4. 如图所示，水平桌面上固定一个竖直挡板，现将一个球体A与截面为直角三角形的物块B叠放在一起，用水平外力F缓缓向左推动B，使A缓慢升高，设备接触面均光滑，则该过程中A. A和B均受三个力作用B. B对桌面的压力越来越大C. A对B的压力越来越大D. A对墙面的压力大小保持不变【答案】D【解析】A、先以小球A为研究对象，分析受力情况：重力、墙的弹力和斜面的支持力三个力．B受到重力、A的压力、地面的支持力和推力F四个力．故A错误．B、C、D、当斜面向左移动时，斜面B对A的支持力和墙对A的支持力方向均不变，根据平衡条件得知，这两个力大小保持不变．则A对B的压力也保持不变．对整体分析受力如图所示，由平衡条件得知，F=N1，墙对A的支持力N1不变，则推力F不变．桌面对整体的支持力N=G总，保持不变．则B对桌面的压力不变．故B，C错误，D正确．故选D．【点睛】本题首先要对小球受力分析，根据共点力平衡条件分析小球受力情况，再运用整体法研究地面的支持力和推力如何变化．5. 一水滴从空中由静止下落，下落过程始终受到水平方向的恒定风力作用，下列说法正确的是A. 水滴做直线运动B. 水滴做曲线运动C. 水滴落地时间比不受风力情况下的落地时间长D. 水滴落地速度大小与不受风力情况下的落地速度大小相等【答案】A【解析】A、B、水滴受到重力和恒定水平风力，其合力斜向下恒定，产生恒定的加速度，但初速度为零，则水滴沿合加速度方向做匀加速直线运动，故A项正确，B项错误；C、将水滴的运动沿水平方向和竖直方向正交分解，竖直方向只受重力，做自由落体运动，下落的时间由高度决定，与风速无关，则C项错误；D、两分运动的速度合成可得到合速度，故风速越大，落地时合速度越大，故D错误；故选A.【点睛】解决本题时要明确合运动与分运动同时发生，两个分运动互不干扰．本题中落地时间与风速无关，风速影响合运动的速度．6. 如图所示，电表均为理想电表，变压器为理想变压器，R为定值电阻，当滑动变阻器滑片P向右移动时，以下说法中正确的是A. 电压表V1示数不变B. 电压表V2示数变大C. 电流表A示数减小D. 电阻R的功率减小【答案】A【解析】A、由于变压器的输入端接在电压有效值不变的交流电流两端，匝数比不变，所以副线圈电压不变，即V1示数不变，A项正确；C、滑片P向右移动R x的阻值减小，由部分电路的欧姆定律可知变大，由变压器两端的电流与匝数关系得I1变大，即电流表A的示数变大，C项错误；B、由可知电压表V2的示数变小，B项错误；D、电阻R的功率变大，故D项错误。
山东省烟台市数学高三上学期理数期末考试试卷
山东省烟台市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·广东期中) 已知集合，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·哈尔滨期中) 命题，则是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二上·浦东期中) 直角坐标系xoy中，分别表示x轴，y轴正方向的单位向量，在Rt△ABC中，若，则k可能的取值个数为．（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）已知，则cos2α=（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·嘉兴期末) 设A1 ， A2 ，…，An（n≥4）为集合S={1，2，…，n}的n个不同子集，为了表示这些子集，作n行n列的数阵，规定第i行第j列的数为：．则下列说法中，错误的是（）A . 数阵中第一列的数全是0当且仅当A1=∅B . 数阵中第n列的数全是1当且仅当An=SC . 数阵中第j行的数字和表明集合Aj含有几个元素D . 数阵中所有的n2个数字之和不超过n2﹣n+17. （2分） (2017高一下·珠海期末) 177（8）=（）（2）．A . 1111111B . 111111C . 1111101D . 10111119. （2分）(2016·北京文) 圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A . 1B . 2C .D . 210. （2分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A . y=xB . y=xC . y=xD . y=x11. （2分）若球的半径为R，则这个球的内接正方体的全面积等于（）A .B .C .D .12. （2分）若f（x）=， e＜b＜a，则（）A . f（a）＞f（b）B . f（a）=f（b）C . f（a）＜f（b）D . f（a）f（b）＞1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2012·新课标卷理) 设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为________14. （1分） (2017高二上·嘉兴月考) 数列满足，，其前项和为，则________； ________．15. （1分） (2016高二下·通榆期中) 的展开式中的第四项是________．16. （1分） (2016高二上·温州期末) 抛物线C：y2=2x的准线方程是________，经过点P（4，1）的直线l 与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则 =________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2019高二上·浙江期中) 已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间;（2）当时，求函数的值域．18. （10分）已知x，y之间的一组数据如表：（1）分别从集合A=1，3，6，7，8，B=1，2，3，4，5中各取一个数x，y，求x+y≥10的概率；（2）对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y=与y=，试根据残差平方和：的大小，判断哪条直线拟合程度更好．19. （10分） (2019高三上·通州期中) 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，平面ABCD ，，点E ， F为PC ， PA的中点．（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；（2）二面角E—BD—F的大小；（3）设点M在PB(端点除外)上,试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由．20. （10分） (2018高二下·黑龙江月考) 已知是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足 .（1）求椭圆的标准方程；（2）圆是以为直径的圆，一直线与之相切，并与椭圆交于不同的两点、，当且满足时，求的面积的取值范围.21. （15分）(2017·天河模拟) 已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx（a为常数，a≠0）．（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；（Ⅱ）记函数f（x）图象为曲线C，设点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．22. （10分） (2015高二下·九江期中) 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．23. （10分）(2018·河北模拟) 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2018届山东省烟台高三第一次模拟考试理科数学试题及答案
高三诊断测试 数学(理)注意事项：1．本试题满分l50分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效． 3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共l0小题；每小题5分，共50分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．设i 是虚数单位，复数103i-的虚部为 A ．-i B ．-l C ．i D ．12．已知集合M={|ln(1)x y x =-}，集合N={|,x y y e x R =∈}，(e 为自然对数的底数) 则M N =A ．{|1x x <}B ．{|1x x >}C ．{|01x x <<}D ．∅ 3．一个空间几何体的三视图如下左图所示，则该几何体的表面积为A ．48B ．．．804．某程序的框图如上右图所示，执行该程序，若输入的p 为l6，则输出的n 的值为A ．3B ．4C ．5D ．65．以q 为公比的等比数列{n a }中，a 1>0，则“a 1<a 3”是“q >1”的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知不重合的直线m 、l 和平面αβ、，且m α⊥，l β⊂．给出下列ss ：①若//αβ，则m l ⊥；②若αβ⊥，则//m l ；③若m l ⊥，则//αβ； ④若//m l ，则αβ⊥，其中正确ss 的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知圆O ：221x y +=及以下三个函数：①3()f x x =；②()tan f x x =；③()sin f x x x =．其中图象能等分圆O 面积的函数个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．08．双曲线C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 1的一个焦点与抛物线C 2：212y x =的焦点重合，且抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为C 1的实轴长为 A ．6 B ．．9．下列四个图象可能是函数10ln |1|1x y x +=+图象的是10．已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当y ≥l 时，1yx +的取值范围是 A ．[14，34] B ．[0，34] C ．[14，43] D ．[0，43]二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．把正确答案填在答题卡的相应位置．11．若实数x ，y 满足10,2,3,x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最小值是12．已知tan =2α，则22sin 1sin 2αα+=13．设0sin a xdx π=⎰，则二项式6⎛ ⎝的展开式中含有2x 的项是 14．有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为15．在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集D={a |a (,),R,R x y x y =∈∈}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”．定义如下：对于任意两个向量a 1=(x 1，y 1)，a 2=(x 2，y 2)， a 1 a 2，当且仅当“12x x >”或“12x x =且12y y >”．按上述定义的关系“ ”，给出如下四个ss ： ①若e 1=(1,0)，e 2=(0,1)，0=(0,0)，则e 1 e 2 0； ②a 1 a 2,a 2 a 3，则a 1 a 3；③若a 1 a 2，则对于任意a ∈D,(a 1+a) (a 2+a )；④对于任意向量a 0，0=(0,0)，若a 1 a 2，则a a 1>a a 2． 其中真ss 的序号为三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤． 16．(本题满分l2分)已知m=(2cos ,1)x x +，n =(cos ,)x y -，满足m n =0． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；(2)已知a ，b ，c 分别为∆ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，()(R)f x x ∈的最大值是()2A f ，且a =2，求b +c 的取值范围． 17．(本题满分12分)已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足221223(log )(log )n n n b a a ++=⨯，求证：12311111 (2)n b b b b ++++<． 18．(本题满分l2分)PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大。
山东省烟台市2018届高三上学期期末数学试卷理科 含解析
2018-2018学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．设集合U=R，集合，则（∁U A）∩B=（）A． B． C． D．∪2．设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b3．己知函数y=f（x）﹣2x是偶函数，且f（1）=2，则f（﹣1）=（）A．2 B．﹣2 C．0 D．14．已知l为一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，α∥β，则l∥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，α⊥β，则l⊥βD．若l⊥α，α∥β，则l⊥β5．已知tanα=，tan（α﹣β）=﹣，那么tan（β﹣2α）的值是（）A．﹣ B．C．D．6．若变量x，y满足，实数是2x和y的等差中项，则z的最大值为（）A．3 B．6 C．12 D．157．在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=l，∠BAD=60°，若E，F分别是BC，CD的中点，则=（）A．2 B．﹣2 C．D．8．给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导函数，f''（x）是函数f'（x）的导函数，若f''（x）=0方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的“拐点”．已知函数f （x）=2x+sinx﹣cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则直线OM的斜率为（）A．2 B．C．1 D．9．过双曲线的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线交此渐近线于点M，若O为坐标原点，△OFM的面积是，则该双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．10．对任意实数a，b，定义运算“⊕”：，设f（x）=（x2﹣1）⊕（4+x），若函数y=f（x）﹣k有三个不同零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，2] B． C． B． C． D．∪【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义写出∁U A与（∁U A）∩B即可．【解答】解：集合U=R，集合A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，所以∁U A={x|x≤0或x≥2}，所以（∁U A）∩B={x|﹣1≤x≤0或2≤x≤3}=∪．故选：D．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数对数函数与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.01＞1，b=lg2∈（0，1），c=﹣＜0，∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查了指数函数对数函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．己知函数y=f（x）﹣2x是偶函数，且f（1）=2，则f（﹣1）=（）A．2 B．﹣2 C．0 D．1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据y=f（x）﹣2x是偶函数，构造方程，建立方程组进行求解即可．【解答】解：∵y=f（x）﹣2x是偶函数，∴设g（x）=f（x）﹣2x，则g（﹣x）=f（﹣x）+2x=f（x）﹣2x，即f（﹣x）=f（x）﹣4x，令x=1，则f（﹣1）=f（1）﹣4=2﹣4=﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件构造函数，利用函数奇偶性的性质建立方程关系是解决本题的关键．4．已知l为一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，α∥β，则l∥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，α⊥β，则l⊥βD．若l⊥α，α∥β，则l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：A、若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，不正确；B、若α⊥β，l⊥α，则l⊥β或l⊂β，不正确；C、若l∥α，α⊥β，则l、β位置关系不定，不正确；D、若l⊥α，α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得l⊥β，正确．故选D．【点评】本题考查空间线面、面面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5．（文）已知tanα=，tan（α﹣β）=﹣，那么tan（β﹣2α）的值是（）A．﹣B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】先把所求的式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，然后利用两角差的正切函数公式化简后，把已知的tanα和tan（β﹣α）的值代入即可求出值．【解答】解；∵tan，∴tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan=﹣=﹣=﹣．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用两角差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的灵活变换．6．若变量x，y满足，实数是2x和y的等差中项，则z的最大值为（）A．3 B．6 C．12 D．15【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用等差中项，求出z的表达式，利用数形结合即可得到结论【解答】解：∵是2x和y的等差中项，∴2x+y=z，即y=﹣2x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣2x﹣z，由图象可知当直线经过点A时，此时z最大．即A（5，2），此时z=12，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=l，∠BAD=60°，若E，F分别是BC，CD的中点，则=（）A．2 B．﹣2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先画出图形，根据条件可得出，带入进行数量积的运算即可求出该数量积的值．【解答】解：如图，，；且AB=2，AD=1，∠BAD=60°；∴===．故选D．【点评】考查向量加法和数乘的几何意义，相等向量和相反向量的概念，以及向量数量积的运算及计算公式．8．给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导函数，f''（x）是函数f'（x）的导函数，若f''（x）=0方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的“拐点”．已知函数f （x）=2x+sinx﹣cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则直线OM的斜率为（）A．2 B．C．1 D．【考点】导数的运算．【分析】根据拐点的定义，结合导数公式求出M的坐标，利用直线的斜率公式进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=2+cosx+sinx，f''（x）=﹣sinx+cosx，由f''（x）=﹣sinx+cosx=0得sinx=cosx，即tanx=1，不妨取x=，则f（）=2×+sin﹣cos=，即M（，），则直线OM的斜率k==2，故选：A【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据拐点的定义求出M的坐标是解决本题的关键．9．过双曲线的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线交此渐近线于点M，若O为坐标原点，△OFM的面积是，则该双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，可求得过F（c，0）与一条渐近线bx﹣ay=0垂直的直线与bx﹣ay=0的交点M的坐标，利用△OFM的面积是即可求得此双曲线的离心率【解答】解：设过F（c，0）与一条渐近线bx﹣ay=0垂直的直线为l，则l的方程为：y=﹣（x﹣c），由得：x=，y=，即M（，），∵△OAF的面积为a2，∴|OF|×y A=c×=a2，∴b=a，∴e===，故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，求得M的坐标是关键，考查转化思想与方程思想，属于中档题．10．对任意实数a，b，定义运算“⊕”：，设f （x）=（x2﹣1）⊕（4+x），若函数y=f（x）﹣k有三个不同零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，2] B． C．，故选：A【点评】本题主要考查数形结合解决函数的零点个数问题，关键是正确画图、识图；体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．11．计算： = ﹣2 ．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质、倍角公式、诱导公式即可得出．【解答】解：原式=+====﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了对数的运算性质、倍角公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．若抛物线y2=8x的准线被圆心为抛物线的焦点的圆截得的弦长为6，则该圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=25 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，即要求圆的圆心坐标，再由垂径定理求得半径，则圆的方程可求．【解答】解：由y2=8x，得2p=8，p=4，∴抛物线y2=8x的焦点坐标为F（2，0），如图，设抛物线的准线交x轴于D，由题意可知，DB=3，又DF=4，∴r2=BF2=25．则所求圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=25，故答案为（x﹣2）2+y2=25．【点评】本题考查圆的标准方程，考查了抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13．若函数f（x）=lg（|x﹣2|+|x﹣a|﹣3）的定义域为R，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞5 ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数以及绝对值的意义求出a的范围即可．【解答】解：若函数f（x）=lg（|x﹣2|+|x﹣a|﹣3）的定义域为R，则|x﹣2|+|x﹣a|﹣3≥|x﹣2﹣x+a|﹣3=|a﹣2|﹣3＞0，解得：a＞5或a＜﹣1，故答案为：a＜﹣1或a＞5．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及绝对值的意义，是一道基础题．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，利用体积计算公式即可得出．【解答】解：该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，则其体积为：V=﹣=，故答案为．【点评】本题考查了三棱锥与三棱柱的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且．若不等式对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为25 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】推导出a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，不等式对任意n∈N*恒成立，等价于对任意n∈N*恒成立，由此利用均值定理能求出实数λ的最大值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且．∴，∴，由a1＞0，解得a1=1，=3a2，由a2＞0，解得a2=3，∴公差d=a2﹣a1=2，a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∵不等式对任意n∈N*恒成立，∴对任意n∈N*恒成立，∴==≥2+17=25．当且仅当2n=，即n=2时，取等号，∴实数λ的最大值为25．故答案为：25．【点评】本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和均值定理的合理运用．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．16．（12分）（2018秋•烟台期末）已知函数满足f（m）=﹣2，f（n）=2，且|m﹣n|的最小值为．（1）求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，已知a为△ABC中角A的对边，若g（A）=1，a=4，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值；余弦定理．【分析】（1）三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，由g（A）=1求得A 的值，再利用余弦定理、基本不等式求得bc的最大值，可得△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵，f（m）=﹣2，f（n）=2，且|m﹣n|的最小值为．∴T=π，即，即．而f（x）在上单调递增，求得x∈，所以函数f（x）的单调递增区间为．（2）由题意可得，，由g（A）=1可得，，而A∈（0，π），可得，．由余弦定理得：b2+c2﹣16=2bccosA=bc，即bc+16=b2+c2≥2bc，求得bc≤16，当且仅当b=c时“=”成立，所以，故三角形面积的最大值为．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦定理、基本不等式，属于中档题．17．（12分）（2018秋•烟台期末）如图，四棱锥V﹣ABCD的底面是直角梯形，VA⊥面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，VA=AD=CD=BC=a，点E是棱VA上不同于A，V的点．（1）求证：无论点E在VA如何移动都有AB⊥CE；（2）设二面角A﹣BE﹣D的大小为α，直线VC与平面ABCD所成的角为β，试确定点E的位置使．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连接AC，推导出AB⊥AC，AB⊥AV，由此能证明AB⊥CE．（2）取BC中点F，以点A为坐标原点，AF，AD，AV所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出点E为VA的中点．【解答】证明：（1）连接AC，在直角梯形ABCD中，，所以BC2=AC2+AB2，所以AB⊥AC，…（1分）又因为VA⊥平面，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥AV，…（2分）而AV∩AC=A，所以AB⊥平面VAC，…又CE⊂平面VAC，所以AB⊥CE．…解：（2）取BC中点F，以点A为坐标原点，AF，AD，AV所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，不妨设AE=λAV（0＜λ＜1），可得B（a，﹣a，0），D（0，a，0），E（0，0，λa），故，…设=（x，y，z）为平面ABE的一个法向量，则，令x=1得， =（1，1，0），…又，设=（x，y，z）为平面DBE的一个法向量，则，令z=1，可得=（2λ，λ，1），…（7分）故cos＜＞==，即…（8分）因为AC为VC在平面ABCD内的射影，所以∠CAV=β，在Rt△VAC中，，…（9分）所以，所以tanα=1，，…（10分）即，解得或，…（11分）又0＜λ＜1，所以，点E为VA的中点．…（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（12分）（2018秋•烟台期末）在数列{a n}，{b n}中，a1=1，b1=2，a n+1=b n+1，b n+1=a n+1（n ∈N*）．（1）求数列{b n﹣a n}，{a n+b n}的通项公式；（2）设S n为数列的前n项的和，求数列的前n 项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用a n+1=b n+1，b n+1=a n+1，可得b n+1﹣a n+1=﹣（b n﹣a n），利用等比数列的通项公式可得b n﹣a n．（2）由，得，可得S n，代入利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）因为a n+1=b n+1，b n+1=a n+1，所以b n+1﹣a n+1=﹣（b n﹣a n），即数列{b n﹣a n}是首项为1，公比为﹣1的等比数列，所以．…a n+1+b n+1=（a n+b n）+2，且a1+b1=3，所以数列{a n+b n}是首项为3，公差为2的等差数列，故a n+b n=3+2（n﹣1）=2n+1．…（2）由，得，…（7分），…（9分）所以…（10分）故==…（12分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2018秋•烟台期末）随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环．某工艺品厂的日产量最多不超过15件，每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式，（日产品废品率=）已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品亏损1千元．（1）将该厂日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；（2）当该厂的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式，即可将该厂日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；（2）分段求出函数的最值，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意可知，当1≤x≤9时，，…（2分）当10≤x≤15时，，…所以该厂日利润．…（2）当1≤x≤9时，令，解得x=6（x=18删），…当1≤x＜6时，y'＞0，函数单调递增，当6＜x≤9时，y'＜0，函数单调递减，而x=6时，y max=6，…（8分）当10≤x≤15时，令，解得x=10，…（9分）当10≤x≤15时，y'＜0，函数单调递减，所以当x=10时，，…（11分）由于，所以当该厂的日产量为10件时，日利润最大，为千元．…（12分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．20．（13分）（2018秋•烟台期末）已知椭圆的焦距为，F1，F2为其左右焦点，M为椭圆上一点，且∠F1MF2=60°，（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求证：平行四边形OAPB的面积为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：，则，，即可求得a的值，则b2=a2﹣c2=2，即可求得椭圆C的方程；（2）将直线l的方程代入椭圆方程，由向量的坐标运算，即可求得P点坐标，利用韦达定理，弦长公式即可及点到直线的距离公式求得平行四边形OAPB的面积S=，即可求证平行四边形OAPB的面积为定值．【解答】解：（1）由题意可知，2c=，即，设|MF1|=x，|MF2|=y，在△F1MF2中，，…（2分）解得：a2=4，…∴b2=a2﹣c2=2∴椭圆方程为．…（2）证明：由直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消y可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4=0，…△=（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣4）=8（4k2+2﹣m2）＞0，则m2＜4k2+2，则，…（8分），而，∴…（9分）∵点P在椭圆上，代入椭圆方程：，整理可得：，满足△＞0，…（10分）又=…（11分）设O到直线AB的距离为d，则，…（12分）∴，平行四边形OAPB的面积为定值．…（13分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，韦达定理，弦长公式，余弦定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21．（14分）（2018秋•烟台期末）已知函数f（x）=ln x．（1）判断函数的单调性；（2）若对任意的x＞0，不等式f（x）≤ax≤e x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据在x＞0上恒成立，进一步转化为，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）问题等价于，令t=＞1，设，根据函数的单调性求出u（t）＞u（1），从而证出结论．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx，∴，故…（2分）因为x＞0，所以当a≥0时，g'（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，当，函数g（x）单调递增，当，函数g（x）单调递减；…（2）∵对任意x＞0，不等式对任意的x＞0，不等式f（x）≤ax≤e x恒成立，∴在x＞0上恒成立，进一步转化为，…设，当x∈（0，e）时，h'（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h'（x）＜0，∴当x=e时，．…（7分）设，当x∈（0，1）时，t'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，t'（x）＞0，所以x=1时，t min（x）=e，…（9分）即，所以实数a的取值范围为…（10分）（3）当x1＞x2＞0时，等价于．…（11分）令t=＞1，设，则u′（t）=，∵当t∈（1，+∞）时，t2﹣1＞0，t2+2t﹣1＞0，∴u'（t）＞0…（13分）∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，∴u（t）＞u（1）=0，∴．…（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．。
2018-2019学年山东省烟台市高三(上)期末数学试卷(理科)
2018-2019 学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0 分）1.已知集合，则实数 a 的取值范围为（）A.（ 1，+∞）B. [1， +∞）C. （-∞， 1）D. （ -∞，1]2.若 a<b< 0，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D. a3>b323.已知｛ a n｝为等差数列，若，为方程 x2-10x+16=0 的两根，则a2+a1010+a2018的值为（）A. B. C. 15 D. 3024.已知直线 2x-y+3=0 的倾斜角为α，则 sin2 -αcos2α=（）A. B. C. D.5.设（f x）是定义在 R上且周期为 2的函数，在区间 [-1，1）上则 f（ f（ 21））的值为（）A. -1B.C.D. 16.从坐标原点 O 向圆作两条切线，切点分别为 A，B，则线段 AB的长为A. B. 3 C. D.7.某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A. 72+14 πB.72+8 πC.92+8 πD.92+14 π11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，若点 A 是抛物线 y 2=8x 的准线与双曲线 C 的一个交点，且 ，则双曲线 C 的离心率为（）A. B. C. D.12. 设曲线 上任意一点处的切线为 l ，若在曲线 g （x ）=lnx （x ≥1） 上总存在一点，使得曲线 g （x ）在该点处的切线平行于 l ，则实数 a 的取值范围为 （）A. B. C. D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量 与 夹角为 60 °，| |=1，| |= ，若（ ） ，则实数 λ的值为 ．14. 已知实数 x ，y 满足的最小值为 ___ ．15. 如图，正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点 M ，N 分别为棱 A 1D 1， C 1D 1的中点，过8. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步 不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“一个人走 378 里路， 第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 6天才到) C.24 里 D. 12 里9. 函数 的图象大致为（10. C.已知三棱锥 P-ABC 的侧棱 PA ⊥底面 则该三棱锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.），且 PA=2BC ，M，N，B 三点的截面与平面 BCC1B1的交线为 l，则直线 l与 AD所成角的余弦值为________________________________ ．（ 1）求证：平面 ACE ⊥平面 BDE ；（2）若 DE=3AF ，∠DAB=60°，BE 与平面 ABCD 所成角为 60°，求平面 BEF 与底 面 ABCD 所成角的余弦值． 20. 已知点 在椭圆 ，过 P 的动直线 l 与圆16. 已知函数 是三个不相等的实数， 且满足 f17.（a ）=f （b ）=f （c ），则 abc 的取值范围为 ． 解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 己知数列 { a n }的前 n 项和为 S n ，且满足 （1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）令 b n =log 2a n ，求数列 的前 n 项和 T n ．18. 已知函数 ．（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间．（2）在锐角 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 f （A ）=1，∠A 的 角平分线交 BC 于 D ，且 的面积．19. 如图所示，菱形 ABCD 中， DE ⊥平面 ABCD ， AF ∥DE ．相交于 A、 B两点， |AB|的最小值为．（ 1）求椭圆 C1 的方程；（2）设 M、N是椭圆 C1上的两个动点，且横坐标均不为 1，若直线 MN 的斜率为，试判断直线 PM 与 PN 的倾斜角是否互补？并说明理由．221.已知函数 f（x）=axlnx- x2-ax+1（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．（1）求 a 的取值范围；（ 2）设两个极值点分别为 x1， x2，证明：．22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为ρ=-2sin θ，过点 P（ a， -1）的直线 l 的参数方程为（t为参数）， l 与 C 交于 M、N 两点．（1）求曲线 C的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）若 |PM |、 |MN |、 |PN |成等比数列，求 a的值．23.已知函数．（1）若 f（1）＞2，求实数 a 的取值范围．（ 2）求证：．第 5 页，共20 页答案和解析1.【答案】 D【解析】解：∵x2-3x+2≤0，∴（x-1）（x-2）≤0，∴1≤ x ≤，∴2M=[1 ，2]，∵x-a≥，0∴x≥a，∴N=[a，+∞）∵M∩N=M，∴M?N，∴a≤1，∴实数a 的取值范围为：（-∞，1] ．故选：D．解不等式简化集合A、B，由M∩N=M ，得M?N，得不等式a≤1，得答案．本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题．2.【答案】 C【解析】解：若a<b<0，则 > ，故A 错误，a-b<0，则a-b与b大小关系不确定，故B 错误，成立，故C正确，a3< b3，故D 错误，故选：C．根据不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查不等式性质的应用，结合不等式的性质是解决本题的关键．3.【答案】 B【解析】2解：∵{a n} 为等差数列，若，为方程x2-10x+16=0 的两根，n=10，=16，∴ = =16（a1+a2019）=10，∴a1+a2019=2a1010 ∴a1010=，∴a2+a1010+a2018=3a1010=．故选：B．由韦达定理得=10，=16，从而a1+a2019=2a1010= ，进而a1010= ，由此能求出a2+a1010+a2018．本题考查等差数列三项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4.【答案】 A【解析】解：由直线2x-y+3=0 的倾斜角为α，可得tan α=，222∴sin2 -αcos α =2sin α c-ocsoαs α=．故选：A．由已知条件求出α的正切值，再利用同角三角函数基本关系以及倍角公式化简求值即可．本题考查直线斜率的意义，考查同角三角函数基本关系，倍角公式等三角恒等变换知识的应用，是基础题．5.【答案】 B【解析】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1 ，1）上∴f（21）=f （1）=f （-1）=cos（- ）=0，f （f（21））=f（0）=| |= ．故选：B．推导出f（21）=f（1）=f（-1）=cos（- ）=0，从而f（f（21））=f（0），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】 D【解析】解：根据题意，圆x2+y2-12x+27=0，即（x-6）2+y2=9，圆心为（6，0），半径r=3，设N（6，0），从坐标原点O向圆x2+y2-12x+27=0 作两条切线，则AB 与x轴垂直，设AB与x轴的交点为M ，则|ON|=6，|NA|=3，则|OA|= =3 ，则|AM|= = ，则|AB|=2|AM|=3 ；故选：D．根据题意，分析圆x2+y2-12x+27=0的圆心与半径，分析易得AB与x轴垂直，设AB 与x轴的交点为M ，由勾股定理求出|OA|的值，计算可得|AM|的值，进而分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．7.【答案】 D【解析】解：根据三视图知该几何体是半圆柱与长方体的组合体，下面长方体的长、宽、高分别为4、5、4；上面半圆柱的半径为2，高为5；∴几何体的表面积为：S=S半圆柱侧+S长方体侧+S长方体底+2S半圆柱底=π× 2×5+（24×+5）× 4+4×5+π2×2 =92+14π．故选：D．几何体是半圆柱与长方体的组合体，根据三视图判断长方体的长、宽、高及半圆柱的半径和高，计算几何体的表面积即可．本题考查了由三视图求几何体的表面积应用问题，利用三视图判断几何体的形状与数据是解题的关键．8.【答案】 B【解析】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为{a n} ，则数列{a n} 是以的为公比的等比数列，又由这个人走了6 天后到达目的地，即S6=378，则有S6= =378，解可得：a1=192，2则a3=a1×q2= =48；故选：B．根据题意，记该人每天走的路程里数为{a n} ，分析可得每天走的路程里数构成以的为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．本题考查数列的应用，涉及等比数列的通项公式以及前n项和公式的运用，注意等比数列的性质的合理运用．9.【答案】 A【解析】解：∵f（-x）= = =f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除D．f （0）= <0，排除C，当x→+∞时，e|x|的递增速度大于x2-1的递增速度，即f（x）→+∞，排除B，故选：A．判断的奇偶性和图象的对称性，利用f（0）的符号以及当x 趋向无穷大时，函数的极限进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性，函数值的符号以及极限思想进行排除是解决本题的关键．10.【答案】 D【解析】【分析】利用余弦定理求出BC，然后利用正弦定理求出△ABC 外接圆的直径2r，再利用公式计算出该三棱锥的外接球的半径R，最后利用球体体积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查了计算能力，属于中等题．【解答】解：在△ABC 中，由余弦定理得= ，所以，△ABC 的外接圆的直径为，由于PA⊥平面ABC ，且，所以，三棱锥P-ABC的外接球直径为，则R=2，因此，该三棱锥的外接球的体积为．故选D．11.【答案】 B【解析】解：抛物线y2=8x的准线的方程为x=-2，则4- =1，∴y= ± b，不妨令A（-2，b）且抛物线y2=8x的准线与x轴的交点为B（-2，0），双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则c= ，故F2 为（，0），则|BF2|= +2，|AB|= b，∴tan∠AF2F1= =整理可得b-2= ，且-2>1，两边平方解得b=2 ± ，当b=2 - 时，-2= （2 - ）-2=4- -2=2- <0，故应舍去，故b=2 + ，此时c= = = =2+ ，故e= =2+ ，故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，可得|AB|= b，|BF2|= +2，根据，求出b，即可求出c，则离心率可得．本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，考查了运算求解能力，本题的运算量特别大，属于难题．12.【答案】 D【解析】解：的导数为f （′x ）=2a+ cosx，由-1≤ cosx≤可1得2a+ cosx∈[2a- ，2a+ ] ，g（x）=lnx （x≥1）的导数为g′（x）= ，设切点为（m，lnm），可得切线的斜率为∈（0，1]，由题意可得[2a- ，2a+ ]? （0，1]，即有2a- > 0，且2a+ ≤1，解得 < a≤ ，故选：D．分别求得f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，结合余弦函数的值域可得直线l 的斜率范围，由题意可得直线l 斜率范围包含在g （x）的切线斜率之内，可得a的不等式组，解不等式可得a的范围．本题考查导数的几何意义，考查余弦函数的值域的运用，以及转化思想和集合思想，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】解：∵的夹角为60°，∴；又；∴；∴．故答案为：．根据条件即可求出，再根据即可得出，进行数量积的运算即可求出λ．考查数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．14.【答案】 -3【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x-y 得y=2x-z ，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最小，由解得A(-2，此时z=-4+1=-3，故答案为：-3．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15.【答案】【解析】解：在平面ABCD 中，过B作BE∥AC ，交DC延长线于点E，连结NE，交CC1于F，连结BF，则BF就是过M，N，B 三点的截面与平面BCC1B1的交线l，由题意得CE=DC=2NC1，∴CF=2C1F，∵BC∥AD ，∴∠FBC 是直线l 与AD 所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD-A 1B1C1D1中棱长为3，则BC=3 ，CF=2，BF= = ，∴cos∠FBC= = =∴直线l 与AD 所成角的余弦值为．故答案为：．在平面ABCD 中，过B 作BE∥AC，交DC延长线于点E，连结NE，交CC1于F，连结BF，则BF就是过M，N，B三点的截面与平面BCC1B1的交线l，由题意得CE=DC=2NC1，从而CF=2C1F，由BC∥AD，得∠FBC是直线l与AD 所成角（或所成角的补角），由此能求出直线l与AD 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.【答案】（ 16， 36）【解析】解：作出f（x）的图象如图：．当x>4 时，由f（x）=3- =0，得=3，得x=9，若a，b，c 互不相等，不妨设a< b< c，则ab=4，所以abc=4c，因为4<c<9，所以16<4c< 36，即16< abc< 364，所以abc的取值范围是（16，36）．故答案为：（16，36）．先判断函数的性质以及图象的特点，设a<b<c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．17.【答案】解：（ 1）∵，当 n=1 时，可求 a1=4．由，①，可得，②，② -①得，即 a n+1=2a n．∴{ a n}为以 4为首项， 2为公比的等比数列，；2） ∵b n =log 2a n = =n+1，∴T n =（1）由 ，当 n=1 时 ，可求 a 1=4，由 ，① ，得，② ，② -①即可求出数列 {a n }的通项公式；（2）由b n =log 2a n = =n+1，得= ，再利用裂项求和法即 可求出数列 的前 n 项和 T n ．本题考查数列的通 项公式和前 n 项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项 求和法的合理运用，是中档 题．2f （x ）=2cosxsin （ x- ）+ = sinxcosx-cos x+ =sin2x- cos2x=sin （ 2x- ），⋯ 3 分∴令- +2k π≤x2- ≤+2k π，k ∈Z ，解得： - +k π≤x ≤+k π， k ∈Z ，∴f （x ）的单调递增区间为： [- +k π， +k π，]k ∈Z ⋯ 6 分 （2）∵f （A ）=1，即：sin （2A- ）=1，∴2A- =2k π+， k ∈Z ， ∴A=2k π+，k ∈Z ， ∵A ∈（ 0， ），∴A= ，⋯ 8分18.【答案】 解：（ 1） ∵在 △ABD 中， ，BD=1 ， A D = ，解∴sinB=，∵B ∈（ 0， ），∴B = ，⋯ 10 分∴C= ，△ABC 为正三角形，∵∠ADB= ，AB =2，∴S △ABC = ×2 = ．⋯ 12 分【解析】（1）利用三角函数恒等变换 的应用可求函数 f （x ）的方程，利用正弦函数的单 调性即可得解；（2）由sin （2A- ）=1，结 合范围 A ∈（0， ），可求A= ，在△ABD 中，利用正 弦定理可求 sinB= ，结 合范 围 B ∈（0， ），可求B= ，可得△ABC 为正三 角形，由题意可得∠ADB= ，AB=2 ，利用三角形面积公式即可 计算得解． 本题主要考 查了三角函数恒等 变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理， 三角形面 积公式的综合应用，考查了计算能力和 转化思想，属于中档题．19【. 答案】证明：（ 1）∵DE ⊥平面 ABCD ，AC?平面ABCD ， ∴DE ⊥AC ，∵ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，又 BD ∩DE =D ，∴AC ⊥平面 BDE ，∵AC? 平面 ACE ，∴平面 ACE ⊥平面 BDE ．解：（2）取 AB 的中点 M ，连结 DM ，则 DE ⊥DM ，DE⊥DC ， DM ⊥DC ， 以 D 为坐标原点，分别以 DM ，DC ，DE 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， ∵DE ⊥平面 ABCD ，∴∠DBE 是 BE 与平面 ABCD 所成角， ∴∠DBE=60 °，∴ = ， 设菱形 ABCD 的边长为 1，则 DE = ， AF= ，则 A （ ， - ， 0）， F （ ，- ）， E （0，0， ），B （ ， ，0），∴ =（ - ， - ， ）， =（ 0， -1， ）， 设平面 BEF 的法向量 =（ x ，y ，z ），平面 ABCD 的法向量 =（0，0， 1）， 设平面 BEF 与底面 ABCD 所成角的平面角则 取 z=3 ，得 =（ 5， ，3）为θ，则 cos θ= = ．∴平面 BEF 与底面 ABCD 所成角的余弦值为．【解析】（1）推导出DE⊥AC ，AC⊥BD，从而AC ⊥平面BDE，由此能证明平面ACE⊥平面BDE ．（2）取AB 的中点M，连结DM，则DE⊥DM，DE⊥DC，DM⊥DC，以D 为坐标原点，分别以DM ，DC，DE为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BEF 与底面ABCD 所成角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20【. 答案】解：（1）当 l⊥OP 时，|AB|最小，∵，所以，，又因为点 P 在椭圆 C1上，所以，，则，因此，椭圆 C1 的方程为；（2）设点 M、N 的坐标分别为（ x1，y1）、（x2，y2），直线 MN 的方程为，22联立，得 x2+mx+m2-3=0 ，22△=m2-4（m2-3）> 0，得 -2< m< 2，由韦达定理得 x1+x2=- m，．所以， =即直线 PM 的斜率和直线 PN 的斜率互为相反数，所以，直线 PM 和直线 PN 的倾斜角互补．【解析】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，考查了计算能力，属于中等题．（1）利用l⊥OP时，|AB|最小，得出a的值，然后再将点P的坐标代入椭圆C1 的方程可得出b的值，从而可得出椭圆C1的方程；（2）设直线MN 的方程为，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线MN的方程与椭圆C1的方程联立，列出韦达定理，利用两点连线的斜率公式并代入韦达定理计算出直线PM和PN的斜率之和为零，来说明直线PM 和直线PN的倾斜角互补．21.【答案】解：（ 1）由题意得， f（x）的定义域是（ 0， +∞）， f′（ x） =alnx-2x，令 g（ x）=aln x-2x，函数 f（ x）在定义域内有两个不同的极值点等价于 g（x）在（ 0，+∞）上 2 个零点，g′（ x）= -2= ，当 a≤0时，在（ 0，+∞）上， g′（ x）< 0， g（x）递减，不满足题意，当 a> 0时，在（ 0，）上， g′（ x）> 0， g（ x）递增，在（，+∞）上， g′（ x）<0，g（x）递减，要使 g（x）在（ 0，+∞）上 2 个零点，只需 g（）> 0，即 aln -a> 0，解得： a>2e，故 a 的范围是（ 2e， +∞）；（ 2）由（ 1）可知， alnx1=2x1，aln x2=2x2，两式相减可得 a= ①，f（x1）+f（x2）= + -a（x1+x2）+2，要证明，只需证明 + -a（x1+x2） +2< 2- + ，即证明 2 < a（x1+x2），②，把①代入②整理得： ln < = -1，令 t= > 1，即证明 lnt< t2-1，令 h（ t） =ln t-t 2+1，则 h′（ t）= ，当 t> 1 时， h′（ t）< 0，函数 h（ t）在（ 1， +∞）递减，故 h（ t）< h（1） =0，2故 lnt<t2-1，命题得证．【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性得到函数的零点个数，从而确定a的范围；（2）问题转化为证明ln < = -1，令t= >1，即证明lnt<t2-1，令h（t）=lnt-t 2+1，结合函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（ 1）∵曲线 C 的极坐标方程为ρ=-2sin θ，∴ρ2=-2ρ sin，θ ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2+2y=0，∵过点 P（a，-1）的直线 l 的参数方程为（t为参数），∴直线 l 的普通方程为 x-y-a-1=0 ．（ 2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C的直角坐标方程，得：=0，△=2a2-4（a2-1） =4-2a2>0，解得 - ，t 1+ t2=- ， t1t2=a2-1，∵|PM |、 |MN |、 |PN|成等比数列，22∴由已知得： |MN |2=|PM |?|PN|，即 |t1-t2|2=|t1t2|，2 2 2∴（t1+t2） -4t1t2=|t1t2|，∴4-2a =|a -1|，2∴或 a2=3 （舍），∴a= ．∴a= ．【解析】（1）曲线C的极坐标方程转化为ρ2=-2ρsin，θ由此能求出曲线C的直角坐标方程；直线l的参数方程消去参数，能求出直线l 的普通方程．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列的性质，结合已知条件能求出a．本题考查曲线的直角坐标方程、直线的普通方程的求法，考查实数值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：（ 1）由已知有： f（1） =2a+|1- |，①当 0<a≤1时， 2a -1>2，即 2a2-3a+1>0，解得： 0<a ，②a>1 时，2a- +1>2，即 2a2-a-1>0，解得： a>1，综合①②得：实数 a的取值范围为： 0 或 a>1，故答案为： 0 或 a> 1（ 2）由绝对值的性质可得：|x+2a-1|+|x | ≥a|2+ |，又当 a>0 时，由均值不等式可得： 2a =2 ，所以 |2a+ | ≥2 ，即，故命题得证．【解析】（1）由绝对值不等式的解法，分类讨论①当0<a≤1时，2a -1>2，即22 2a2-3a+1>0，解得：0<a ，② a>1 时，2a- +1>2，即2a2-a-1>0，解得：a >1，可得解；（2）由绝对值的性质可得：|x+2a-1|+|x | ≥|2a+ |，由均值不等式可得：2a=2 ，所以|2a+ | ≥2 ，故命题得证．本题考查了绝对值不等式的解法及均值不等式，属简单题．。
2018-2019学年山东省烟台市理科数学期末试题(含详细答案)
2018—2019学年山东省烟台市高三期末模拟题（理科数学）一．选择题（共12小题）1．集合A={x|x2﹣1＞0}，B={y|y=3x，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．若，，则sinα的值为（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数的图象f'（x）如图所示，则的值为（）A．B．2C．D．44．已知双曲线两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．5．在三棱锥A﹣BCD中，△BCD是等边三角形，平面ABC⊥平面BCD．若该三棱锥外接球的表面积为60π，且球心到平面BCD的距离为，则三棱锥A﹣BCD 的体积的最大值为（）A．3B．9C．27D．816．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为（）A．3B．3C．D．7．某海上油田A到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M．已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A 处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为（）A．5海里B．海里C．5海里D．10海里8．已知不等式组表示的平面区域恰好被圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2所覆盖，则实数k的值是（）A．3B．4C．5D．69．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B．C．D．10．在三棱锥P﹣ABC中，点P在底面的正投影恰好落在等边△ABC的边AB上，点P到底面ABC的距离等于底面边长．设△PAC与底面所成的二面角的大小为α，△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tann（α+β）的最小值为（）A．B．C．D．11．已知x0是方程2x2e2x+lnx=0的实根，则关于实数x0的判断正确的是（）A．x0≥ln2B．C．2x0+lnx0=0D．12．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．二．填空题（共4小题）13．过双曲线的右支上一点P分别向圆C1：（x+3）2+y2=4和圆C2：（x ﹣3）2+y2=1作切线，切点分别为A，B，则|PA|2﹣|PB|2的最小值为．14．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=k（x+3）与D有公共点，则实数k的取值范围是．15．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60°．则线段AC1与平面ABC所成角的正弦值为．16．函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有三个交点，设三个交点中横坐标的最大值为θ，则=．三．解答题（共6小题）17．设S n为数列{a n}的前n项和，且a1=1，na n+1=（n+2）S n+n（n+1），n∈N*．（1）证明：数列为等比数列；（2）求T n=S1+S2+…+S n．18．如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB=2a，∠ABC=120°，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，，平面BDEF⊥底面ABCD．（1）证明：平面AEF⊥平面AFC；（2）求二面角E﹣AC﹣F的余弦值．19．已知椭圆的长轴长为6，且椭圆C与圆的公共弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．20．如图，已知椭圆的左焦点F为抛物线y2=﹣4x的焦点，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且满足，问直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=（a﹣1）lnx+﹣ax（a∈R）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=lnx+f（x），若g（x）有两个极值点x1，x2，且不等式g（x1）+g （x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．22．已知曲线C：ρ=，直线l：（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点（A在第一象限），当+3=时，求α的值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．集合A={x|x2﹣1＞0}，B={y|y=3x，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：集合A={x|x2﹣1＞0}={x|x＜﹣1或x＞1}=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），B={y|y=3x，x∈R}={y|y＞0}=（0，+∞），则A∩B=（1，+∞）．故选：C．2．若，，则sinα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，可得：sinα＞0，∴cosα+sinα=，可得：cosα=+sinα，又∵sin2α+cos2α=1，可得：sin2α+（+sinα）2=1，整理可得：2sin2α+sinα﹣=0，∴解得：sinα=，或﹣（舍去）．故选：A．3．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数的图象f'（x）如图所示，则的值为（）A．B．2C．D．4【解答】解：函数的导函数f′（x）=ωAcos（ωx+φ），由图象可知f′（x）的周期为4π．所以ω=．又因为Aω=2．所以A=4．函数经过（，﹣2），所以﹣2=2cos（×+φ），0＜φ＜π，所以×+φ=π，即φ=．所以f（x）=4sin（x+）．所以f（）=4sin（×+）=4．故选：D．4．已知双曲线两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线两焦点之间的距离为4，∴2c=4，解得c=2；∴c2=a2+1=4，∴a=；∴双曲线的渐近线方程是y=±x，即y=±x．故选：A．5．在三棱锥A﹣BCD中，△BCD是等边三角形，平面ABC⊥平面BCD．若该三棱锥外接球的表面积为60π，且球心到平面BCD的距离为，则三棱锥A﹣BCD 的体积的最大值为（）A．3B．9C．27D．81【解答】解：如图，取等边三角形BCD的中心G，过G作三角形BCD的垂线GO，截去GO=．则O为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，由4πR2=60π，得R2=15．即OD=，∴DG=．则DE=3，可得BC=6，过O作OF⊥平面ABC，则F为三角形ABC的外心，连接DG并延长，角BC于E，则E为BC的中点，要使三棱锥A﹣BCD的体积最大，则AFE共线，即△ABC为等边三角形，此时三棱锥A﹣BCD的高为．∴三棱锥A﹣BCD的体积的最大值为V=．故选：C．6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为（）A．3B．3C．D．【解答】解：根据几何体的三视图：该几何体是由一个半圆柱截取一个底面是直角三角形的直棱柱，所以：该几何体的高为2，直角三角形的直角边长为，则：几何体的表面积为：S=+，=3，故选：A．7．某海上油田A到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M．已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A 处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为（）A．5海里B．海里C．5海里D．10海里【解答】解：设MB=x海里，在陆地上修建管道没海里费用为a，修建总费用为y，则y=a（100﹣x）+3a=a（100﹣x+3），令f（x）=100﹣x+3（0＜x≤100），则f′（x）=﹣1+=﹣1+，∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，当＜x＜100时，f′（x）＞0，∴当x=时，f（x）取得最小值，故而y取得最小值．故选：B．8．已知不等式组表示的平面区域恰好被圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2所覆盖，则实数k的值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：由题意作出其平面区域，由平面区域恰好被圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2所覆盖可知，平面区域所构成的三角形的三个顶点都在圆上，又∵三角形为直角三角形，∴（0，﹣6）关于（3，3）的对称点（6，12）在x﹣y+k=0上，解得k=6，故选：D．9．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．10．在三棱锥P﹣ABC中，点P在底面的正投影恰好落在等边△ABC的边AB上，点P到底面ABC的距离等于底面边长．设△PAC与底面所成的二面角的大小为α，△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tann（α+β）的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，点P在底面的正投影恰好落在等边△ABC 的边AB上点P到底面ABC的距离等于底面边长，∴如图，以△ABC为底面，构建底面边长与侧棱长相等的正三棱柱ABC﹣A′B′C′，记P在AB=1上的投影为P′，设AB=1，AP=t，则B′P=1﹣t，由图形得tanα==，tanβ=，∴tan（α+β）===≥﹣．∴tan（α+β）的最小值是﹣．故选：C．11．已知x0是方程2x2e2x+lnx=0的实根，则关于实数x0的判断正确的是（）A．x0≥ln2B．C．2x0+lnx0=0D．【解答】解：令2x2e2x+lnx=0，得2x2e2x=﹣lnx，其中x＞0，在等式两边同时除以x得，，即，构造函数f（x）=xe x，其中x＞0，则f′（x）=（x+1）e x＞0，所以，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f（lnx）=（lnx）e lnx=xlnx，根据题意，若x0是方程2x2e2x+lnx=0的实根，则，即，所以，，因此，2x0+lnx0=0，故选：C．12．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：设M（x0，y0），x0＞0，y0＞0．∵四边形OFMN为平行四边形，∴，∵四边形OFMN的面积为bc，∴|y0|c=bc，即|y0|=b，∴，代入双曲线方程得，∵e＞1，∴．故选：B．二．填空题（共4小题）13．过双曲线的右支上一点P分别向圆C1：（x+3）2+y2=4和圆C2：（x﹣3）2+y2=1作切线，切点分别为A，B，则|PA|2﹣|PB|2的最小值为9．【解答】9解：圆C1：（x+3）2+y2=4的圆心为（﹣3，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣3）2+y2=1的圆心为（3，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），连接PF1，PF2，F1A，F2B，可得|PA|2﹣|PB|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•6﹣3=9．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值9．故答案为：914．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=k（x+3）与D有公共点，则实数k的取值范围是[] ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：y=k（x+3）过定点P（﹣3，0），由图象可知当直线经过点A（0，4）时，直线的斜率最大，此时k=，当直线经过点B时，直线的斜率最小，由，解得B（1，1），此时k=，∴k的取值范围是[]故答案为：[]．15．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60°．则线段AC1与平面ABC所成角的正弦值为．【解答】解：设以顶点 A 为端点的三条棱长都相等为1，∵，且两两夹角为60°．=，∵以顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60，∴AC就是AC1在平面ABC内的投影，∴∠C1AC是线段AC1与平面ABC所成角，在△ACC1中，AC1=，CC1=1，AC=，由余弦定理得cos=则线段AC1与平面ABC所成角的正弦值为．故答案为：16．函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有三个交点，设三个交点中横坐标的最大值为θ，则=2．【解答】解：函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有三个交点，设出切点为（θ，﹣sinθ），π＜θ＜，则f（x）=sinx的导函数f′（x）=﹣cosx，∴f′（θ）=﹣cosθ=，可得：θ=tanθ，sin2θ=2sinθcosθ．则===2sin2θ+2cos2θ=2．故答案为2．三．解答题（共6小题）17．设S n为数列{a n}的前n项和，且a1=1，na n+1=（n+2）S n+n（n+1），n∈N*．（1）证明：数列为等比数列；（2）求T n=S1+S2+…+S n．【解答】解：（1）证明：a1=1，na n+1=（n+2）S n+n（n+1），n∈N*，因为a n=S n+1﹣S n，+1﹣S n）=（n+2）S n+n（n+1），所以n（S n+1=2（n+1）S n+n（n+1），即nS n+1则=2•+1，所以+1=2•（+1），又+1=2，故数列是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）知+1=2n，所以S n=n•2n﹣n，故T n=S1+S2+…+S n=（1•2+2•22+…+n•2n）﹣（1+2+…+n）．设M=1•2+2•22+…+n•2n，则2M=1•22+2•23+…+n•2n+1，所以﹣M=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1，所以M=（n﹣1）•2n+1+2，所以T n=（n﹣1）•2n+1+2﹣n（n+1）．18．如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB=2a，∠ABC=120°，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，，平面BDEF⊥底面ABCD．（1）证明：平面AEF⊥平面AFC；（2）求二面角E﹣AC﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又平面BDEF⊥底面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，∴AC⊥平面BDEF，从而AC⊥EF．又BD⊥DE，∴DE⊥平面ABCD，由AB=2a，DE=2BF=2，∠ABC=120°，∴AF==，BD=2a，EF==a，AE==2a，从而AF2+FE2=AE2，∴EF⊥AF．又AF∩AC=A，∴EF⊥平面AFC．又EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面AFC．解：（Ⅱ）取EF中点G，由题可知OG∥DE，∴OG⊥平面ABCD，又在菱形ABCD中，OA⊥OB，∴分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣a，2），F（0，a，），∴=（﹣），=（﹣2，0，0），=（0，2a，﹣a）．由（1）可知EF⊥平面AFC，∴平面AFC的法向量可取为=（0，2a，﹣）．设平面AEC的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=，得=（0，4，）．∴cos＜＞===．∴二面角E﹣AC﹣F的余弦值为．19．已知椭圆的长轴长为6，且椭圆C与圆的公共弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a=6，所以a=3，由椭圆C与圆的公共弦长为，恰为圆M的直径，可得椭圆C经过点（2，±），所以+=1，解得b=2，所以椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）直线l的解析式设为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为E（x0，y0）．假设存在点D（m，0），使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，则DE⊥AB．联立y=kx+2和8x2+9y2=72，得（8+9k2）x2+36kx﹣36=0，故x1+x2=﹣，所以x0=﹣，y0=kx0+2=，因为DE⊥AB，所以k DE=﹣，即=﹣，所以m==，当k＞0时，9k+≥2=12，所以﹣≤m＜0．综上所述，在x轴上存在满足题目条件的点E，且点D的横坐标的取值范围为﹣≤m＜0．20．如图，已知椭圆的左焦点F为抛物线y2=﹣4x的焦点，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且满足，问直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知F（﹣1，0），所以c=1，令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=，∴，∴a2=4，b2=3∴椭圆C的标准方程：．（2）由（1）知A（﹣1，），设，．由得，||cosα=||cosβ，即∠FAM=∠FAN，又因为FA⊥x轴，∴直线AM、AN的倾斜角互补，直线AM、AN的斜率互为相反数．可设直线AM：：y=k（x+1）+，代入得，设M（x M，y M），N（x N，y N），因为A（﹣1，）在椭圆上，，，．∵直线AM、AN的斜率互为相反数，∴用﹣k换k得：．∴直线MN的斜率k MN=．∴直线MN的斜率是否为定值﹣21．已知函数f（x）=（a﹣1）lnx+﹣ax（a∈R）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=lnx+f（x），若g（x）有两个极值点x1，x2，且不等式g（x1）+g （x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1），令h（x）=（x﹣1）（x﹣a+1）=0，得x1=1，x2=a﹣1，当a﹣1＞1，即a＞2时，在（0，1），（a﹣1，+∞）上，f'（x）＞0，在（1，a﹣1）上f'（x）＜0，此时，f（x）的增区间为（0，1），（a﹣1，+∞），减区间为（1，a﹣1）；当a﹣1=1，即a=2时，在（0，+∞）上f'（x）＞0，此时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2时，在（0，a﹣1），（1，+∞）上f'（x）＞0，在（a﹣1，1）上f'（x）＜0，此时，f（x）的增区间为（0，a﹣1），（1，+∞），减区间为（a﹣1，1）；当a﹣1≤0，即a≤1时，在（1，+∞）上f'（x）＞0，在（0，1）f'（x）＜0，此时，f（x）的增区间为（1，+∞）上单增，减区间为（0，1）．（2）∵，∴，∵g（x）有两个极值点x1，x2，∴x1，x2是方程x2﹣ax+a=0（x＞0）的两个不相等实根，∴△=a2﹣4a＞0，且x1+x2=a＞0，x1x2=a＞0，由g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2），得，整理得，将x1+x2=a，x1x2=a代入得，因为a＞4，所以于是对∀a＞4恒成立，令，则，所以φ'（a）＜0，在（4，+∞）单减，所以φ（a）＜ln4﹣2﹣1=ln4﹣3，因此λ≥ln4﹣3．22．已知曲线C：ρ=，直线l：（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点（A在第一象限），当+3=时，求α的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=，即ρ﹣ρsinθ=2，∴ρ=2+ρsinθ，∴x2+y2=（2+y）2，即曲线C的直角坐标方程为x2=4（1+y）；（Ⅱ）直线l：代入x2=4（1+y），可得t2cos2α=4（1+tsinα），即t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，①t1t2=﹣②，∵+3=，∴t1=﹣3t2，③①②③联立可得=，∴tanα=，∵0≤α＜π，∴α=．。
山东省烟台市高三上学期期末数学试卷(理科)
山东省烟台市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数（）A . iB . -iC .D .2. （2分）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，则＝（）A . {2,4,6}B . {4,6}C . {1,3,5}D . {1,2,3,4,5,6}3. （2分）(2018·延边模拟) 设等差数列的前项和为，若，则A .B .C .D .4. （2分）(2020·平邑模拟) 若，则（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·榆林模拟) 将一张边长为12cm的正方形纸片按如图（1）所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图（2）所示放置．如果正四棱锥的主视图是等边三角形，如图（3）所示，则正四棱锥的体积是（）A . cm3B . cm3C . cm3D . cm36. （2分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线，使与直线AD1所成的角为30°，且与平面C1D1C所成的角为60°，则这样的直线的条数是（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2019高二上·宁都月考) 已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（）A .B .C .D . 38. （2分） (2020高二下·温州期中) 设函数，若关于x的方程有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·赤峰期末) 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)（ g ）范围内的概率是（）A . 0.62B . 0.38C . 0.02D . 0.6810. （2分） (2017·广西模拟) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B=（）A . 15B . 29C . 31D . 6311. （2分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率e=，则该椭圆的标准程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·江苏月考) 已知函数，对于任意的，都有，设，，，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·东莞月考) 在的展开式中，项的系数为________.14. （1分） (2019高三上·黄山月考) 已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为________．15. （1分）(2017·广东模拟) 已知向量，满足| |=2| |=2，且（ +3 ）⊥（﹣），则，夹角的余弦值为________．16. （1分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________三、解答题 (共8题；共70分)17. （10分） (2016高一下·海珠期末) 已知向量 =（，cos ）， =（cos ，1），且f（x）= • ．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[﹣π，π]上的最大值和最小值及取得最值时x的值．18. （10分）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2 ，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）异面直线PD与AC所成的角．19. （10分） (2018高二下·柳州月考) “节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统．某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如下图所示．将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立．（1）求在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；（2）用表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数，求随杌变量的分布列及数学期望．20. （5分） (2018高二上·集宁月考) 已知双曲线方程为，问：是否存在过点M(1，1)的直线l ，使得直线与双曲线交于P ， Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．21. （15分）(2017·腾冲模拟) 已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0 ，使得当x∈（x0 ，+∞）时，恒有x＜cex ．22. （5分）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．23. （5分）求直线l1：（t为参数）与直线l2：2x﹣4y=5的交点B的坐标，及点B与A（1，2）的距离．．24. （10分）(2017·包头模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a≤2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、24-1、24-2、。
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山东省烟台市2018—2018学年度第一学期高三年级期末考试数学（理）试题说明：本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共12页，考试时间120分钟，满分150分.第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目用钢笔和2B 铅笔写、涂在答题 卡. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，若需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不准答在试卷面上.3．参考公式：锥体的体积公式是：sh V 31=，其中S 表示其底面积，h 为高. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题意的，把正确选项的代号涂在答题卡上或填在和Ⅱ卷相应的空格内.1．设全集U 是实数集R ，},112|{},4|{2≥-=>=x x N x x M 则图中阴影部分所表示的集 合是（ ）A ．}12|{<≤-x xB ．}22|{≤≤-x xC ．}21|{≤<x xD ．}2|{<x x2．在△ABC 中，)3,2(),1,(,90==︒=∠k C ，则k 的值是 （ ）A ．5B ．－5C ．23 D ．23-3．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．互为异面直线 4．若0lg lg =+b a （其中1,1≡≠b a ），则函数xxb x g a x f ==)()(与的图象 （ ）A ．关于直线y=x 对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称5．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆,0,)0(1212222=⋅>>=+PF PF b a b y a x 且上一点,21t a n21=∠F PF 则该椭圆的离心率为 （ ）A ．21 B ．32 C ．31 D ．35 6．已知0||,0||2||2=⋅++≠=b a x a x x b a 的方程且关于有实根，则a 与b 夹角的取值 范围是（ ）A ．]6,0[πB ．],3[ππC ．]32,3[ππ D ．],6[ππ7．曲线21)4cos()4sin(2=-+=y x x y 与直线ππ在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次 记为P 1，P 2，P 3，……，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π48．一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形 的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 （ ） A ．1 B ．21C ．31D ．619．已知抛物线).0(22>=p px y 直线l 经过定点)20(),0,(p m m M <<且交抛物线于A 、B 两点，则AOB ∠为（ ） A ．锐角 B ．钝角C ．直角D ．锐角或直角10．函数)(x f y =是定义在R 上的增函数，)(x f y =的图象经过（0，－1）和下面哪一个点时，能使不等式}31|{1)1(1<<-<+<-x x x f 的解集为 （ ）A ．（3，2）B ．（4，0）C ．（3，1）D ．（4，1）11．如果函数)1ln(2)(+-=x b a x f 的图象在1=x 处的切线l 过点（b1,0-），并且l 与圆C ：,122相离=+y x 则点（a,b ）与圆C 的位置关系是（ ）A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．不能确定12．某地一年的气温)(t f （单位：℃）与时间t （月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令g （t ）表示时间段[0,t]的平均气温，g （t ）与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是 （ ）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将答案填在Ⅱ卷相应题号的空格内.13．设二面角βα--l 的大小为60°，m 、n 为异面直线，且βα⊥⊥n m ,，则m 、n 所成角的大小为 . 14．已知函数)(),(),2sin(2)(,sin 2)(x g x f m x x x g x x f 与直线=-==π的图象分别交M 、N 两点，则|MN |的最大值为 .15．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过 后钟，该病毒占据64MB 内存.（其中，1MB=210KB ）16．已知点P （x,y ）的坐标满足AOP OP A x y x y x ∠⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-cos ||),0,2(,012553034则设（O 为坐标原点）的最大值为 .三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说、证明过程或推演步骤.17．（本小题满分12分）在△ABC 中a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，.0),cos ,(cos ),,2(=⋅=+=n m C B n b c a m 且（1）求角B 的大小；（2）设)()(,2cos 23)cos(cos sin 2)(x f x f x C A x x x f 的周期及当求-+=取得最大值时的x 的值.18．（本题满分12分）如图1，正△ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 、BC 边的中点.现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A —DC —B （如图2）. （Ⅰ）试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角B —AC —D 的余弦值.19．（本小题满分12分）已知函数)6(),2(),0(),(log )(2f f f m x x f 且+=成等差数列.（1）求)30(f 的值；（2）若a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断)()(c f a f +与)(2b f的大小关系，并证明你的结论.20．（本题满分12分）如图，椭圆的方程为)0(122222>=+a ay a x ，其右焦点为F ，把椭圆的长轴分成6等分，过每个点作x 轴的垂线交椭圆上半部于点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5五个点， 且|P 1F|+|P 2F|+|P 3F|+|P 4F|+|P 5F |=52.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 过F 点（l 不垂直坐标轴），且与椭圆交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M （m,0），试求m 的取值范围.21．（本题满分13分）已知向量b a x f x b x a ⋅=-==)(),sin ,1(),1,(函数.（1）若],0[π∈x ，试求函数)(x f 的值域； （2）若θ为常数，且],0[),32(3)()(2)(),,0(πθθπθ∈+-+=∈x xf x f f xg 设，请讨论)(x g 的单调性，并判断)(x g 的符号.22．（本题满分13分）已知点),,1(11y B ),,2(22y B ),,3(33y B …，)(),,(+∈N n y n B n n 顺次为某直线l 上的点，点),0,(11x A ),0,(22x A …，),0,(n n x A …顺次为x 轴上的点，其中)10(1≤<=a a x .对于任意的n n n n B A B A N n 是以1,++∆∈为顶点的等腰三角形.（1）证明n n x x -+2是常数，并求数列}{n x 的通项公式； （2）若l 的方程为)(,121411++∈∆+=N n A B A x y n n n 试问在中是否存在直角三角形，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题CACCD BADBD AD 二、填空题 13．60° 14．22 15．45 16．5三、解答题 17．解：（1）由0cos cos )2(,0=++=⋅C b B c a n m 得0cos cos cos 2=++∴c b B c B a由正弦定理，得0sin cos cos sin cos sin 2=++B C B C B A ………………3分即0)sin(cos sin 2=++B C B A0)1cos 2(sin =+∴B A在0sin ,≠∆A ABC 中01cos 2=+∴B.32π=∴B ……………………6分（2）因为,32π=B3π=+∴C A)32sin(2cos 232sin 21)(π-=-=∴x x x x f ………………8分 ∈+=-∴k k x x f ,2232)(ππππ令的周期为 ，得125ππ+=k x （∈k ） 即当时125ππ+=k x （k ∈ ）时)(x f 取最大值.……………………12分 18．解：（Ⅰ）∵在图2中，E 、F 分别为AC 、BC 中点，∴AB//EF ………………2分 而⊄AB 面DEF ，EF ⊂面DEF∴AB//面DEF ……………………5分 （Ⅱ）在图2中，作.,,BG G AC DG 连垂足为⊥易证D AC B BGD Rt BDG --∠∆∆为二面角为,的平面角………………8分在a a a a DG a BD BDG 2323,,=⋅==∆中 a DG BD BG 2722=+=∴ 721732723cos ====∠∴a aBG DGBGD （也可用向量法解）……………12分19．解：（1）由得成差数列,)6(),2(),0(f f f)0)(6()2(),6(log log )2(log 22222>+=+++=+m m m m m m m 即2=∴m 得…………………………………………………………4分5)230(log )30(2=+=∴f …………………………6分（2）),2)(2(log )()(,)2(log )2(log 2)(22222++=++=+=c a c f a f b b b f,2ac b =又b c a b b c a ac b c a 4)(2444)(2)2()2)(2(22-+=---++==+-++∴…………9分4)(2)(22>-+∴≠=>+b c a c a b c a c a)(2)()(,)2(log )2)(2(log 222b f c f a f b c a >++>++∴即………………12分20．解：（1）由题意，知.,3251轴对称分别关于与与y P P P P 设椭圆的左焦点为F 1，则|P 1F |+|P 5F |=|P 1F |+|P 1F 1|=2a ，同时|P 2F |+|P 3F |=2a 而|P 3F |=a ∴|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |+|P 4F |+|P 5F |=5a =522=∴a1222=+∴y x 椭圆方程为…………………………6分（2）由题意，F （1，0），设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y1222=+y x 代入椭圆方程为整理，得0224)21(2222=-+-+k x k x k……………7分因为l 过椭圆的右焦点，.,B A l 与椭圆交于不同的两点∴设),(),,(),,(002211y x AB y x B y x A 中点为，则12)1(,122)(21,21420022*******+-=-=+=+=+=+k kx k y k k x x x k k x x …………9分)(100x x ky y AB --=-∴的垂点平分线方程为令2222222001211212122,0kk k k k k k ky x m y +=+=+-+=+==得由于012>k ,2122>+∴k.210<<∴m …………………………12分21．解：（1）,sin )(x x b a x f -=⋅=],0[,cos 1)('π∈-=∴x x x f ， ,0)('≥∴x f.],0[)(上单调递增在πx f ∴………………3分于是)()()0(πf x f f ≤≤].,0[)(π的值域为x f ∴………………5分（2）x x x x x x g sin 31sin 3232sin 323sin )sin (2)(--=+++--+-=θθθθθ,32sin x ++θ32cos 31cos 31)('xx x g ++-=∴θ……………………7分.],0[cos ),,0(32),,0(],,0[内单调递减在而ππθπθπx y xx =∈+∴∈∈ .,32,0)('θθ=+==∴x xx x g 即得由 因此，当)(,0)(',0x g x g x <<≤时θ单调递减；当)(,0)(',x g x g x >≤<时πθ单调递增.…………………………10分 由)(x g 的单调性，知)(θg =)(x g 在],0[π上的最小值,θθθ≠===∴x g x g x 当时当0)()(,时，)()(θg x g >=0，…………12分综上知，当),0[θ∈x 时，)(x g 单调递减； 当],0(π∈x 时，)(x g 单调递增.当,时θ=x )(x g =0，当,时θ≠x )(x g >0.………………13分22．解：（1）因),(1n n n n n y n B A B A 构成以+∆这顶点的等腰三角形，)(2,211+++∈=+=+∴N n n x x n x x n n n n 即（1）从而),2)(1(221+=+++n x x n n …………3分由（2）—（1）得，.,22为常数=-+n n x x显然 ,,,,,,,,264212531n n x x x x x x x x 及-分别成等差数列.,1)12(2)1(112-+-=⨯-+=∴-a n n x x n)(22)1()2(2)1(112+-∈-=⨯-+-=⨯-+=N n a n n a n x x n⎩⎨⎧--+=∴为偶数为奇偶数n n n a n x n ,1,1………………………………6分（2）当n 为奇数时，)0,1(),0,1(1a n A a n A n n -+-++，)1(2||1a A A n n -=∴+当n 为偶数时，),0,(),0,(1a n A a n A n n +-+，a A A n n 2||1=∴+作x C B n n ⊥轴于,),(,上在直线由于点l y n B C n n n.12141||,12141+=+=∴n C B n y n n n 即……………………9分 要使|,|2||11n n n n n n n C B A A A B A =∆++为直角三角形当且仅当,31112)12141(2)1(2,n a n a n -=+=-∴即有为奇数时当（※）当5,61,3,32,1≥====n a n a n 当时当时时，方程（※）无解. 当n 为偶数时，有127,1312=+=a n a 同进求得……………………12分 综上所述，当1276132===a a a 或或时，存在直角三角形.…………………13分。
山东省烟台市2018届高三数学上学期期末自主练习试题文
山东省烟台市2018届高三数学上学期期末自主练习试题 文一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{}260A x x x =--≥，{}1B x x =≥，则()U C A B =( )A.{}13x x ≤<B.{}23x x ≤<C.{}3x x >D.∅2.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )A.15B.25C.825D.9253.已知()1sin 3πα+=-，则tan α=( )A.C.D.±4.已知等比数列{}n a 中，21066a a a =，等差数列{}n b 中，466b b a +=，则数列{}n b 的前9项和为( ) A.9B.27C.54D.725.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩，已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的平均数为16，则,x y 的值分别为( ) A.8，6B.8，5C.5，8D.8，86.设变量,x y 满足约束条件030210x y x x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≥⎩，则z x y =-的最大值为( )A.2B.4C.6D.87.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点()1,0F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，O为坐标原点，若AOB △的面积为83，则双曲线的渐近线方程为( )A.32y x =±B.y =±C.y =±D.2y x =±8.函数()()22x f x x x e =-的图象大致是( )AB C D9.将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，然后再将所得图象上的每一点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 的一条对称轴方程可能是( ) A.3x π=-B.6x π=C.3x π=D.23x π=10.如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点(含端点)，且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确的是( )A.在DMN △内总存在与平面ABC 平行的线段B.平面DMN ⊥平面11BCC BC.三棱锥1A DMN -的体积为定值D.DMN △可能为直角三角形11.已知函数()22ln f x x x =-与()()()cos 0g x x ωϕω=+>的图象有两个公共点，则满足条件的周期最大的函数()g x 可能为( ) A.()()cos g x x π=-B.()()cos 2g x x π=C.()cos 42g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D 地中海()cos 24g x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )11二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,a m =，()3,2b =-，且()a b b +⊥，则实数m =_______________________. 14.方程()f x x =的解称为函数()f x 的不动点，若()2axf x x =+有唯一不动点，且数列{}n a 满足112a =，111n n f a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2018a =_______________________. 15.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鐅臑.若三棱锥P ABC -为鐅臑，且PA ⊥平面ABC ，2PA =，3AB =，4BC =，AB BC ⊥，则该鐅臑的外接球的表面积为__________.16.已知点()1,0A -，()1,0B ，若曲线C 上存在点P ，使得0PA PB ⋅<，则称曲线C 为“L -曲线”，给出下列曲线：①24x y +=；②2212x y +=；③2212x y +=；④2221y x -=；⑤22y x =+.其中是“L -曲线”的所有序号为_______________________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，()()()sin sin sin sin b c B C a A C -+=-. (1)求B 的值；(2)若3b =，求a c +的最大值.18.为了解一家企业生产的某类产品的使用寿命(单位：小时)，现从中随机抽取一定数量的产品进行测试，绘制频率分布直方图如图所示.(1)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估算这批产品的平均使用寿命； (2)已知该企业生产的这类产品有甲、乙两个系列，产品使用寿命不低于60小时为合格，合格产品中不低于90小时为优异，其余为一般.现从合格产品中，用分层抽样的方法抽取70件，其中甲系列有35件(1件优异).请完成下面的列联表，并根据列联表判断能否有95%的把握认为产品优异与系列有关？参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，四棱锥S ABCD -的底面为平行四边形，DA DS =，DA DS ⊥，2AB BS SA BD ====.(1)求证：平面ASD ⊥平面ABS ； (2)求四棱锥S ABCD -的体积.20.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，以1F 为圆心，1为半径的圆和以2F 1为半径的圆的交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的下顶点为A ，直线3:2l y kx =+与椭圆C 交于两个不同的点,M N ，是否存在实数k 使得以,AM AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 21.已知函数()()()2ln 2f x x ax a x a =+++∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)设()2xxg x e =-，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围(其中 2.71828...e =为自然对数的底数).22.已知曲线C 的参数方程为2x t y t =⎧⎨=⎩，l 是过定点()1,2M -，倾斜角为34π的直线.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，写出直线l 的极坐标方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+的值. 23.已知函数()21f x x =+，()123g x a x =---. (1)当5a =-时，求()()f x g x ≤的解集；(2)若存在实数x 使得()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题A B C B A C B C C D A B 二、填空题13. 8 14. 1009 15. 29π 16. ②④ 三、解答题17.解:（1）在ABC ∆中，由正弦定理得，()()()b c b c a a c -+=-， 即 222=+-b a c ac ，由余弦定理，得212cos 222=-+=ac b c a B ，∵()π,0∈B ，∴3π=B ；（2）由（1）知 229=+-a c ac 2()3=+-a c ac于是 22()9()32a c a c ac +-+=≤，解得 6≤+c a ， 当且仅3a c ==时，取等号.所以c a +的最大值为6. 18.解：（1）由题意，450.0110550.0210650.0310750.02510x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯850.0110950.00510+⨯⨯+⨯⨯67=（2）产品使用寿命处在[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的频率之比为1:2:5:605.0:1.0:25.0:3.0=，因此，产品使用寿命处于[90，100]的抽样件数为170514⨯=. ……6分 依题意，可得列联表：222()70(434311) 1.938 3.841()()()()3535655n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，对照临界值表，没有95%的把握认为产品优异与产品系列有关． 19.（1）证明：取AS 中点H ，连接,DH BH ， 因为ABS ∆等边三角形，所以⊥BH AS ，且=BH 又DAS ∆为等腰直角三角形，斜边2=AS ， 1.∴=DH在DHB ∆中，2,1,==DB DH BH 222∴=+DB DH BHBH DH ∴⊥，⊥BH AS ，⊥BH DH =ASDH H ，⊂AS 平面ADS ，⊂DH 平面ADSBH ADS ∴⊥平面，又⊂BH 平面ABS ，所以平面ASD ⊥平面ABS ；（2）由（1）知，平面⊥BH ADS ，所以，BH 为三棱锥-B ADS 的高. 又112∆==ADS S ，111333-∆∴=⋅⋅==S ABD ADS V BH S ，32S A BCD S ABD V V --∴==. 20.解：（1）由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=-++=36)13()13(2ac a ，解得2,3==c a ， 所以1=b ，所以椭圆的方程为1322=+y x ；（2）由题意知0≠k ，联立方程223213⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y kx x y ，整理得 04159)31(22=+++kx x k ， 2215814(13)04∆=-+⋅>k k （化简可得1252>k ），① 设),(),,(2211y x N y x M ，则221319k kx x +-=+，122154(13)=+x x k , 设MN 中点为H ，由221319k k x x +-=+，知221213133)(k x x k y y +=++=+， 所以点H 的坐标为2293(,)2626k H k k-++，因为AM AN =，所以⊥AH MN ，又直线,AM MN 斜率均存在，所以1⋅=-AH MN k k .于是⋅=AH MNk k22312619026++⋅=---+k k k k， 解得322=k ，即36±=k ， 将36±=k 代入①，满足0∆>．故存在k 使得以,AM AN 为邻边的平行四边形可以是菱形，k值为3±． 21.解：（1）()1(21)(1)()2(2)0++'=+++=>x ax f x ax a x x x，当0≥a 时，0)(>'x f ，)(x f 在()∞+，0单调递增； 当0<a 时，令0)(>'x f ，解得a x 10-<<，令0)(<'x f ，解得ax 1->， 此时)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0递增，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,1a 递减． （2）2e )(-=x x x g ，所以xxx g e 1)(-='，当()1,∞-∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增，当()∞+∈，1x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减， ∴(]2,0∈x 时，)(x g 的值域为1(2,2]e--， 当)()(0x g x f =，(]0,e ∈x 有两个不同的实数根，则0<a且满足()e 2,10e,11() 2.e ⎧⎪≤-⎪⎪<-<⎨⎪⎪->-⎪⎩f a f a ，由2e e 2e 1)e (2-≤+++=a a f ，∴ee e232++-≤a ①， 又10e <-<a ，解得1e <-a . ② 由2e 1121)1ln()1(->--+-=-a a a af ，1e11)1ln(->--a a ，令x x x h +=ln )(，知)(x h 单调递增，而1e 1)e1(-=h ，于是e11>-a 时，解得e<0-<a ， ③ 综上，ee e23e 2++-≤<-a ．22.解:（1）直线l 的直角坐标方程为 10x y +-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得直线l 的极坐标方程为 cos sin 10ρθρθ+-=； (2 ) 曲线C 的方程为2y x =，直线l 的参数方程为31cos 432sin 4，ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x t y t ，即1(22x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，为参数），，联立得：220t -=，所以12122,t t t t =-+=，所以121211+-+===MA MB t t MA MB MA MB t t 23. 解：（1）当5a =-时，原不等式可化为6|32||12|≤-++x x ,等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>6)32()12(23x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+≤≤-6)32()12(2321x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+--<6)32()12(23x x x 解得223≤<x 或2321≤≤-x 或211-<≤-x所以原不等式的解集为{}21|≤≤-x x .（2）因为存在实数x 使得|1||32||12|-<-++a x x 成立 ，所以min |1|(|21||23|)->++-a x x .又4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x4|1|>-∴a ，解得3-<a 或5>a .所以实数a 的取值范围是),5()3,(+∞--∞ .。
山东省烟台市数学高三上学期理数期末考试试卷
山东省烟台市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·江西模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·石家庄模拟) 已知为虚数单位，，其中，则（）A .B .C . 2D . 43. （2分）某社区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作1；某学校高一年级有12名音乐特长生，要从中选出3名调查学习训练情况，记作2．那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）A . ①用简单随即抽样②用系统抽样B . ①用分层抽样②用简单随机抽样C . ①用系统抽样②用分层抽样D . ①用分层抽样②用系统抽样4. （2分）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 即不充分也不必要条件5. （2分）在满足不等式组的平面点集中随机取一点，设事件A=“”，那么事件A发生的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·株洲模拟) 已知等比数列是递增数列，是的前项和.若，则（）A . 31B . 32C . 63D . 647. （2分） (2017高三上·威海期末) 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A . 2B .C . ﹣1D . ﹣28. （2分） (2018高二上·南阳月考) 已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .9. （2分）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）A .B .C .D .10. （2分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A . [-,]B . (-,)C . [-,]D . (-,)11. （2分）已知R上的连续函数g(x)满足：①当x>0时，g'(x)>0恒成立(g'(x)为函数g(x)的导函数)；②对任意的x∈R都有g(x)=g(-x)，又函数f(x)满足：对任意的x∈R，都有成立。
2018年山东省烟台市龙口第五中学高三数学理上学期期末试题
2018年山东省烟台市龙口第五中学高三数学理上学期期末试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列中，，，则的值是（A）15 （B）30 （C）31（D）64参考答案：A由，得，由，得，解得，所以，选A.2. 设,二次函数的图象为下列之一，则的值为（）A. B．C．1D．参考答案：D3. 使N展开式中含有常数项的的最小值是(A) (B) (C)(D)参考答案：C，令＝0，得，所以的最小值是54. 已知命题p：，；命题q：，，则A.“”是假命题B.“”是真命题C.“”是真命题D.“”是假命题参考答案：B5. 函数的图象大致是参考答案：A6. 设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中一定正确的是（▲ ）A．f(x)g(x)是偶函数 B. |f(x)|g(x)是奇函数C. f(x)|g(x)|是奇函数D. |f(x) g(x)|是奇函数参考答案：C由奇偶函数定义可知，，A错；，B错；同理D错；C项正确．7. 若把函数的图象向右平移（）个单位后所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（）A． B． C. D．参考答案：A8. 已知点是函数的图象上的两个点,若将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的图象的一条对称轴的方程为（）A．B． C.D．参考答案：本题考查三角函数的图象及其性质,考查运算求解能力.因为,,所以.由，得，，所以.又,将选项代入验证可知是一条对称轴方程.9. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C略10. 设，，，则（）A．B． C. D．参考答案：B∵，，∴.∵，∴，∴.又，∴，即.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 数列满足，则的前项和为参考答案：183012. 经过点A(0，3)，且与直线y＝－x＋2垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
山东省烟台市2018届高三数学上学期期末自主练习试题文
山东省烟台市2018届高三数学上学期期末自主练习试题 文一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{}260A x x x =--≥，{}1B x x =≥，则()U C A B =( )A.{}13x x ≤<B.{}23x x ≤<C.{}3x x >D.∅2.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )A.15B.25C.825D.9253.已知()1sin 3πα+=-，则tan α=( )A.C.D.±4.已知等比数列{}n a 中，21066a a a =，等差数列{}n b 中，466b b a +=，则数列{}n b 的前9项和为( ) A.9B.27C.54D.725.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩，已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的平均数为16，则,x y 的值分别为( ) A.8，6B.8，5C.5，8D.8，86.设变量,x y 满足约束条件030210x y x x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≥⎩，则z x y =-的最大值为( )A.2B.4C.6D.87.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点()1,0F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，O为坐标原点，若AOB △的面积为83，则双曲线的渐近线方程为( )A.32y x =±B.y =±C.y =±D.2y x =±8.函数()()22x f x x x e =-的图象大致是( )ABCD9.将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，然后再将所得图象上的每一点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 的一条对称轴方程可能是( ) A.3x π=-B.6x π=C.3x π=D.23x π=10.如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点(含端点)，且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确的是( )A.在DMN △内总存在与平面ABC 平行的线段B.平面DMN ⊥平面11BCC BC.三棱锥1A DMN -的体积为定值D.DMN △可能为直角三角形11.已知函数()22ln f x x x =-与()()()cos 0g x x ωϕω=+>的图象有两个公共点，则满足条件的周期最大的函数()g x 可能为( ) A.()()cos g x x π=-B.()()cos 2g x x π=C.()cos 42g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D 地中海()cos 24g x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )11二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,a m =，()3,2b =-，且()a b b +⊥，则实数m =_______________________. 14.方程()f x x =的解称为函数()f x 的不动点，若()2axf x x =+有唯一不动点，且数列{}n a 满足112a =，111n n f a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2018a =_______________________. 15.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鐅臑.若三棱锥P ABC -为鐅臑，且PA ⊥平面ABC ，2PA =，3AB =，4BC =，AB BC ⊥，则该鐅臑的外接球的表面积为__________.16.已知点()1,0A -，()1,0B ，若曲线C 上存在点P ，使得0PA PB ⋅<，则称曲线C 为“L -曲线”，给出下列曲线：①24x y +=；②2212x y +=；③2212x y +=；④2221y x -=；⑤22y x =+.其中是“L -曲线”的所有序号为_______________________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，()()()sin sin sin sin b c B C a A C -+=-. (1)求B 的值；(2)若3b =，求a c +的最大值.18.为了解一家企业生产的某类产品的使用寿命(单位：小时)，现从中随机抽取一定数量的产品进行测试，绘制频率分布直方图如图所示.(1)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估算这批产品的平均使用寿命； (2)已知该企业生产的这类产品有甲、乙两个系列，产品使用寿命不低于60小时为合格，合格产品中不低于90小时为优异，其余为一般.现从合格产品中，用分层抽样的方法抽取70件，其中甲系列有35件(1件优异).请完成下面的列联表，并根据列联表判断能否有95%的把握认为产品优异与系列有关？参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，四棱锥S ABCD -的底面为平行四边形，DA DS =，DA DS ⊥，2AB BS SA BD ====.(1)求证：平面ASD ⊥平面ABS ； (2)求四棱锥S ABCD -的体积.20.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，以1F 为圆心，1为半径的圆和以2F 1-为半径的圆的交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的下顶点为A ，直线3:2l y kx =+与椭圆C 交于两个不同的点,M N ，是否存在实数k 使得以,AM AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 21.已知函数()()()2ln 2f x x ax a x a =+++∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)设()2xxg x e =-，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围(其中 2.71828...e =为自然对数的底数).22.已知曲线C 的参数方程为2x t y t =⎧⎨=⎩，l 是过定点()1,2M -，倾斜角为34π的直线.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，写出直线l 的极坐标方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+的值. 23.已知函数()21f x x =+，()123g x a x =---. (1)当5a =-时，求()()f x g x ≤的解集；(2)若存在实数x 使得()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题ABCBA CBCCD A B 二、填空题13. 814.100915. 29π16. ②④ 三、解答题17.解:（1）在ABC ∆中，由正弦定理得，()()()b c b c a a c -+=-， 即 222=+-b a c ac ，由余弦定理，得212cos 222=-+=ac b c a B ，∵()π,0∈B ，∴3π=B ；（2）由（1）知 229=+-a c ac 2()3=+-a c ac于是 22()9()32a c a c ac +-+=≤，解得 6≤+c a ，当且仅3a c ==时，取等号.所以c a +的最大值为6. 18.解：（1）由题意，450.0110550.0210650.0310750.02510x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯850.0110950.00510+⨯⨯+⨯⨯67=（2）产品使用寿命处在[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的频率之比为1:2:5:605.0:1.0:25.0:3.0=，因此，产品使用寿命处于[90，100]的抽样件数为170514⨯=.……6分依题意，可得列联表：222()70(434311) 1.938 3.841()()()()3535655n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，对照临界值表，没有95%的把握认为产品优异与产品系列有关． 19.（1）证明：取AS 中点H ，连接,DH BH ， 因为ABS ∆等边三角形，所以⊥BH AS ，且=BH 又DAS ∆为等腰直角三角形，斜边2=AS ， 1.∴=DH在DHB ∆中，2,1,===DB DH BH222∴=+DB DH BHBH DH ∴⊥， ⊥BH AS ，⊥BH DH=ASDH H ，⊂AS 平面ADS ，⊂DH 平面ADSBH ADS ∴⊥平面，又⊂BH 平面ABS ，所以平面ASD ⊥平面ABS ；（2）由（1）知，平面⊥BH ADS ，所以，BH 为三棱锥-B ADS 的高. 又112∆==ADS S，111333-∆∴=⋅⋅==S ABD ADS V BH S ，323S A BCD S ABD V V --∴==. 20.解：（1）由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=-++=36)13()13(2ac a ， 解得2,3==c a ，所以1=b ，所以椭圆的方程为1322=+y x ；（2）由题意知0≠k ，联立方程223213⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y kx x y ，整理得 04159)31(22=+++kx x k ， 2215814(13)04∆=-+⋅>k k （化简可得1252>k ），① 设),(),,(2211y x N y x M ，则221319k kx x +-=+，122154(13)=+x x k ,设MN 中点为H ，由221319k k x x +-=+，知221213133)(k x x k y y +=++=+， 所以点H 的坐标为2293(,)2626k H k k-++， 因为AM AN =，所以⊥AH MN ，又直线,AM MN 斜率均存在，所以1⋅=-AH MN k k .于是⋅=AH MNk k 22312619026++⋅=---+k k k k ， 解得322=k ，即36±=k ， 将36±=k 代入①，满足0∆>．故存在k 使得以,AM AN 为邻边的平行四边形可以是菱形，k值为 21.解：（1）()1(21)(1)()2(2)0++'=+++=>x ax f x ax a x x x， 当0≥a 时，0)(>'x f ，)(x f 在()∞+，0单调递增； 当0<a 时，令0)(>'x f ，解得a x 10-<<，令0)(<'x f ，解得ax 1->， 此时)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛-a 1,0递增，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,1a 递减． （2）2e )(-=x x x g ，所以xxx g e1)(-='， 当()1,∞-∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增，当()∞+∈，1x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减， ∴(]2,0∈x 时，)(x g 的值域为1(2,2]e--， 当)()(0x g x f =，(]0,e ∈x 有两个不同的实数根，则0<a且满足()e 2,10e,11() 2.e ⎧⎪≤-⎪⎪<-<⎨⎪⎪->-⎪⎩f a f a ，由2e e 2e 1)e (2-≤+++=a a f ，∴ee e232++-≤a ①， 又10e <-<a ，解得1e <-a .② 由2e 1121)1ln()1(->--+-=-a a a a f ，1e11)1ln(->--a a ，令x x x h +=ln )(，知)(x h 单调递增，而1e 1)e1(-=h ，于是e11>-a 时，解得e<0-<a ， ③ 综上，ee e23e 2++-≤<-a ．22.解:（1）直线l 的直角坐标方程为10x y +-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ+-=；(2 ) 曲线C 的方程为2y x =，直线l 的参数方程为31cos 432sin 4，ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x t y t ，即12(22x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，为参数），，联立得：220t -=，所以12122,t t t t =-+=所以1212112+-+===MA MB t t MA MB MA MB t t . 23. 解：（1）当5a =-时，原不等式可化为6|32||12|≤-++x x ,等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>6)32()12(23x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+≤≤-6)32()12(2321x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+--<6)32()12(23x x x 解得223≤<x 或2321≤≤-x 或211-<≤-x所以原不等式的解集为{}21|≤≤-x x .（2）因为存在实数x 使得|1||32||12|-<-++a x x 成立，所以min |1|(|21||23|)->++-a x x .又4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x4|1|>-∴a ，解得3-<a 或5>a .所以实数a 的取值范围是),5()3,(+∞--∞ .。
山东省烟台市高三数学上学期期末考试试题 理
高三期末自主练习数 学（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设全集,{|(3)0},{|1}U R M x x x N x x ==+<=<-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|30}x x -<<B ．{|1}x x ≥-C ．{|3}x x ≤-D ．{|10}x x -≤<2、在递减等差数列{}n a 中，若150a a +=，则n S 取最大值是n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2或33、右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（ ）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π4、设01a b <<<，则下列不等式成立的是（ ）A ．33a b >B ．11a b< C ．1b a > D ．lg()0b a -< 5、设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ②m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭ 其中正确的命题是（ ）A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④6、在ABC ∆中，若,B C ∠∠的对边分别为,,45,b c B c ∠==b =则C ∠（ ） A ．30 B ．60 C ．120 D ．60或1207、函数ln x xy x =的图象可能是（ ）8、若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=9、若点P 是函数113()22x x y e ex x -=---≤≤图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角α，则α的最小值是（ ）A ．56πB ．34πC ．4πD ．6π 10、已知直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，交抛物线,A B 两点，且点,A B 到y 轴的距离相等,m n ，则2m n ++的最大值为（ ）A ．．．4 D ．611、如图，O 为线段02013A A 外一点，若01232013,,,,,A A A A A Hong 任意相邻两点的距离相等，0OA a =，2013OA b =，用,a b 表示0232013OA OA OA OA +++其结果为（ ）A ．1006()a b +B ．1007()a b +C ．2012()a b +D ．2014()a b + 12、定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()(,g x kx b k b =+为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，现有如下命题：①对给定的函数()f x ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②函数()2g x x =为函数()2xf x =的一个承托函数； ③定义域和值域都是R 的函数()f x 不存在承托函数。
山东省烟台市第三中学2018年高三数学理上学期期末试卷含解析
山东省烟台市第三中学2018年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，等腰梯形的下底边，上底边，两腰，动点从点开始沿着边，与运动，记动点的轨迹长度为，将点到，两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为( )（A）（B）（C）（D）参考答案：B2. 已知，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b参考答案：D由指数函数的性质可知：，，由对数函数的性质可知，据此可得：.本题选择D选项.3. 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个( )A.116B.128C.215D.98参考答案：A略4. 已知变量满足约束条件，若目标函数仅在点处取到最大值，则实数的取值范围为（）A． B． C．D．参考答案：A5. 已知实数，若，则的最小值为( )A. B. C. D. 参考答案：A6. 若，则＝A. B. C.D.参考答案：C7. 执行如图所示的程序框图，若输入的a,b,k分别为1，2，3，则输出的M=A. B.C.5D.参考答案：A8. 复数等于A．i B．C．1 D．—1参考答案：D9. 已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C略10. 已知双曲线：的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，交双曲线于点M， =，则双曲线的离心率为(A) (B) (C) (D)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．参考答案：130 15【分析】（1）将购买的草莓和西瓜加钱与120进行比较，再根据促销规则可的结果；（2）根据、分别探究.【详解】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，元时，李明得到的金额为y×80%，符合要求.元时，有（y-x）×80%≥y×70%成立，即8（y-x）≥7y，x≤，即x≤（）min=15元.所以x的最大值为15.12. 已知且若恒成立，则实数m的取值范围是_________．参考答案：，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为4，所以要使恒成立，所以。
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2018届山东省烟台市高三上学期期末自主练习理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合{}1,1,2,4M =-，{}2230N x x x =--≤，则()R M C N = ( ) A.{}1,1,2-B.{}1,2C.{}4D.{}12x x -≤≤2.已知01b a <<<，则下列不等式成立的是( )A.11a b>B.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()()22lg lg a b >D.11lg lg a b< 3.已知函数()1,0sin ,02x e x f x x x π-⎧>⎪=⎨⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则()()0f f =( ) A.0 B.1 C.eD.1e4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233215S S -=，则数列{}n a 的公差为( ) A.3B.4-C.5-D.65.若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图象关于原点对称，则ϕ的最小值是( ) A.8πB.4π C.38πD.34π 6.在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“2sin cos 2x x +≥”发生的概率为( ) A.12B.13C.712D.237.函数2cos y x x =-的图象大致为( )A B C D8.在ABC △中，已知AB AC AB AC +=-，1AB =，3AC =，,M N 分别为BC 的三等分点，则AM AN ⋅=( )A.109B.209C.89D.839.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A.12B.18C.20D.2410.已知()1,0F c -，()2,0F c 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，若双曲线上存在点P 使得2122c PF PF ⋅=- ，则双曲线的离心率的取值范围为( )A.()1,+∞B.[)2,+∞C.)2,⎡+∞⎣D.)3,⎡+∞⎣11.数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，记()*n n n n n n n c a T b S a b n N =⋅+⋅-⋅∈，若20181S =，20182018T =，则数列{}n c 的前2018项和为( ) A.2017B.2018C.2018D.2019212.定义在区间[],a b 上的函数()y f x =，()'f x 是函数()f x 的导函数，若存在(),a b ζ∈，使得()()()()'f b f a f b a ζ-=-，则称ζ为函数()f x 在[],a b 上的“中值点”.下列函数：①()sin f x x =；②()x f x e =；③()()ln 3f x x =+；④()31f x x x =-+.其中在区间[]2,2-上至少有两个“中值点”的函数的个数为( ) A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()()52x y x y --的展开式中33x y 的系数是__________.(用数字作答) 14.设变量,x y 满足约束条件203x y y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为__________.15.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鐅臑.若三棱锥P ABC -为鐅臑，且PA ⊥平面ABC ，2PA =，3AB =，AB BC ⊥，该鐅臑的外接球的表面积为29π，则该鐅臑的体积为__________.16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的一条直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，给出以下结论： ①12y y ⋅为定值；②若经过点A 和抛物线的顶点的直线交准线于点C ，则BC x ∥轴； ③存在这样的抛物线和直线AB ，使得OA OB ⊥(O 为坐标原点)；④若以点A ，B 为切点分别作抛物线的切线，则两切线交点的轨迹为抛物线的准线. 写出所有正确的结论的序号__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()22133cos sin 242f x x x ππ+⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应的x 的值；(2)在ABC △中，若A B <，且()()12f A f B ==，求BC AB的值. 18.某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，3，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲车间执行标准A ，乙车间执行标准B 生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲车间的等级系数1X 的概率分布列如下表，若1X 的数学期望()1 6.4E X =，求,a b 的值； 1X5 6 7 8 P0.2ab0.1(2)为了分析乙车间的等级系数2X ，从该车间生产的火腿中随机抽取30根，相应的等级系数组成一个样本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数2X 的概率分布列和均值； (3)从乙车间中随机抽取5根火腿，利用(2)的结果推断恰好有三根火腿能达到标准A 的概率. 19.已知四棱锥S ABCD -，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB DC ∥，90DAB =∠°，2AB DC =，3AD DC =，M 是SB 中点.(1)求证：CM ∥平面SAD ；(2)若直线DM 与平面SAB 所成角的正切值为32，F 是SC 的中点，求二面角C AF D --的余弦值. 20.已知点,A B 是椭圆()2222:10x y L a b a b+=>>的左右顶点，点C 是椭圆的上顶点，若该椭圆的焦距为23，直线AC ，BC 的斜率之积为14-.(1)求椭圆L 的方程；(2)是否存在过点()1,0M 的直线l 与椭圆L 交于两点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆经过点C ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由. 21.已知函数()()ln 1af x x x a a x=+-+-∈R . (1)求函数()f x 的单调区间； (2)若存在1x >，使()1xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值. 22.已知曲线C 的参数方程为15cos 25sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半冷眉冷眼为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其轨迹； (2)若曲线1C 的极坐标方程为3sin cos θθρ-=，曲线C 与1C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长度.23.已知函数()21f x x =+，()123g x a x =---. (1)当5a =-时，求()()f x g x ≤的解集；(2)若存在实数x 使得()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围.2017-2018学年度第一学期高三期末自主练习理科数学参考答案一、 选择题C D B C C C A B D C B B 二、 填空题13.120- 14.4 15.4 16.①②④ 三、 解答题17. 解：（1）()1cos 21cos(2)1323222x x f x ππ⎛⎫-+ ⎪+-+⎝⎭=⋅+-13sin 2cos 2sin 2223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 由于02x π≤≤，22333x πππ-≤-≤，所以当232x ππ-=即512x π=时， ()f x 取得最大值，最大值为1.（2）由已知，A 、B 是ABC ∆的内角，A B <,且()()12f A f B ==， 可解得4A π=，712B π=. 所以6C A B ππ=--=,得sin 2sin BC AAB C== . 18. 解：（1）1()50.26780.1 6.4E X a b =⨯+++⨯= 即67 4.6a b +=① 又0.20.11a b +++=，即0.7a b +=② 联立①②得 67 4.60.7a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.30.4a b =⎧⎨=⎩ .（2）由样本的频率分布估计总体分布，可得等级系数2X 的分布列如下：8.41.081.071.062.052.043.03)(2=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，即乙车间的等级系数的均值为8.4.（3）3325115()()2216P C =⨯⨯=. （4）19. （1）证明：取SA 中点N ,连接DN MN ,，2X3 4 5 6 7 8P0.30.2 0.2 0.1 0.1 0.1在SAB ∆中，MN //AB ,AB MN 21=,DC NM DC NM =∴,//, ∴四边形CDNM 为平行四边形. ∴DN CM //又⊄CM 平面SAD ,DN ⊂平面SAD∴//CM 平面SAD.（2）由已知得：,,AB AD AS 两两垂直，以,,AB AD AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，,,,⊥⊥=∴⊥ AD SA AD AB SA AB A AD 平面SAB ，∴DMA ∠就是DM 与平面SAB 所成的角.在Rt AMD D 中，3tan 2AMD ∠=，即32AD AM =， 设2=AB ，则3AD =， 1=DC 2=∴AMSAB Rt ∆中，M 为斜边SB 中点，4=∴SB322422=-=∴AS .则(0,0,0),(2,0,0)A B ，(1,3,0),(0,3,0)C D ，(0,0,23)S ，13(,,3)22F 所以(0,3,0),(1,3,0)AD AC ==，13(,,3)22AF = . 设111(,,)=x y z m 是平面ACF 的一个法向量，则111113001303022⎧+=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎪⎩⎩ x y AC AF x y z m m ，令11y =，得(3,1,0)=-m . 设222(,,)=x y z n 是平面ADF 的一个法向量，则22223001303022⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎪⎩⎩ y AD AF x y z n n ，令21z = ()23,0,1∴=-n . ∴6313cos ,13132⋅<>===⋅⋅m n m n m n . ∴二面角E AF C --的余弦值为31313. 20. 解：（1）由题意可知，3c =，,AC BC b b k k a a==-， 有 2214b a -=-，即224a b =，又222a b c =+，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）存在；以PQ 为直径的圆经过点C 可得，CP CQ ⊥，若直线l 的斜率为0，则,A B 为点,P Q ，此时222(3)(3)45cos 03233ACB +-∠==-<，此时,CP CQ 不垂直，不满足题意，可设直线l 的方程为：1x my =+，联立22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得，22(4)230m y my ++-=，则有1221222434m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. ①设1122(,),(,)P x y Q x y ，由题意可知120x x ≠，因为CP CQ ⊥，则1CP CQ k k =-，即1212111y y x x --⋅=-， 整理可得：21212(1)(1)()20m y y m y y ++-++=， ②将①代入②可得：2223(1)2(1)2044m m m m m -+--+=++， 整理得23250m m --=，解得1m =-或者53m =，所以直线l 的方程为：10x y +-=或3530x y --=.21. 解：（1）由题意可知，0x >，2221()1a x x af x x x x-+-'=--=， 方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-，当140a ∆=-≤，即14a ≥时，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '≤，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减；当104a <<时，方程20x x a -+-=的两根为1142a ±-， 且11402a --<<1142a +-， 此时，()f x 在1141+1422a a---（，）上()0f x '>，函数()f x 单调递增， 在1141140,)22a a --+-+∞（，），(上()0f x '<，函数()f x 单调递减；当0a ≤时，11402a --<，11402a+->， 此时当114(0,),()02ax f x +-'∈>，()f x 单调递增， 当114(,)2ax +-∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 综上：当0a ≤时，114(0,)2a x +-∈，()f x 单调递增，当114(,)2ax +-∈+∞时， ()f x 单调递减；当104a <<时，()f x 在1141+1422a a ---（，）上单调递增， 在1141140,)22a a --+-+∞（，），(上单调递减；当14a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）原式等价于(1)ln 21x a x x x ->+-，即存在1x >，使ln 211x x x a x +->-成立．设ln 21()1x x x g x x +-=-，1x >，则2ln 2'()(1)x x g x x --=-， 设()ln 2h x x x =--，则11()10x h x x x-'=-=>，∴()h x 在(1,)+∞上单调递增． 又(3)3ln321ln30,(4)4ln 4222ln 20h h =--=-<=--=->，根据零点存在性定理，可知()h x 在(1,)+∞上有唯一零点，设该零点为0x ， 则0(3,4)x ∈，且000()l n 20h x x x =--=，即002ln x x -=，∴000min 00ln 21()11x x x g x x x +-==+- 由题意可知01a x >+，又0(3,4)x ∈，a ∈Z ，∴a 的最小值为5.22. 解：（1）曲线C 的普通方程为5)2()1(22=-+-y x ① 所以曲线C 是以)2,1(为圆心，5 为半径的圆。