七年级上册几何提优：与角相关的问题

几何提优二 与角相关的问题
阅读与思考
角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
按角的大小可以分成锐角、直角和钝角. 由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注. 两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位.
解与角有关的问题常用到以下知识与方法： 1. 角的分类； 2. 角平分线的概念； 3. 互余、互补等数量关系角； 4. 用方程的观点来进行角的计算. 例题与求解
【例1】如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则
12∠+∠= .
解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出12∠+∠的值.
【例2】如果α∠与β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：①90β︒-∠；②90α∠-︒；③
1()2αβ∠+∠；④1
()2
αβ∠-∠. 其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关.
【例3】已知80
∠=︒，OC是不在直线OA，OB上的任一条射线. OM，ON
AOB
分别平分∠AOC，∠BOC. 求∠MON的大小.（题目中考虑的角都小于平角）解题思路：因OC位置不确定，故分类讨论是解本例的关键.
【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过x分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求x的值.
解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用
x的代数式表示，通过解方程求出x的值.
【例5】（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.
（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？
（3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？
对（2）（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.
解题思路：若只连续使用模板，则得到的是一个19°（或17°或21°）的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否找到19°（或17°或21°）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差1°.
【例6】如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.
（1）如图①，若30
∠=︒，求∠DOE的度数；
AOC
（2）在图①中，若AOCα
∠=，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置.
①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足42
∠-∠=∠+∠，
AOC AOF BOE AOF
试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由
图①图②解题思路：（1）利用互余、互补关系易求出∠DOE的度数；
（2）先根据∠DOE与∠COE的互余关系列出相应的关系式，然后用∠BOC 表示出∠COE，再根据互补角的关系用α表示出所求角的度数；
（3）①可设∠BOC为一个未知数，分别表示出∠AOC与∠DOE，可得相应关系；②结合①把所给等式整理为只含所求角的关系式即可.
能力训练
A 级
1. 已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于 .
2. 如图，45
∠=︒，那么不大于90°的角有个，
AOE
∠=︒，90
BOD
它们的度数之和是 .
3. 如图，150
∠等于 .
∠=∠，则BOC
AOD BOC
AOC BOD
∠=∠=︒，若3
4. 如图，O是直线AB上一点，120
AOC
∠=︒，OE平分∠BOD，
∠=︒，90
AOD
则图中彼此互补的角有对.
是6°，则这个角是（）
5. 一个角的补角的1
17
A. 68°
B. 78°
C. 88°
D. 98°
6. 用一副三角板可以画出大于0°且小于176°的不同角度有（）种
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
7. 如图，若180
∠=︒，∠1是锐角，则∠1的余角是（）
AOB
A.1212
∠-∠ B.13212
2
∠-∠ C. 1(21)2
∠-∠ D.1(21)3
∠+∠
8. 如图，180AOB ∠=︒，OD 是∠COB 的平分线，OE 是∠AOC 的平分线，设
BOD α∠=，则与
α的余角相等的角是（ ）
A.∠COD
B.∠COE
C.∠DOA
D.∠COA
9. 如图，已知2COB AOC ∠=∠，OD 平分∠AOB ，且19COD ∠=︒，求∠AOB 的度数.
10. 如图，已知∠AOB 与∠BOC 互为补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，12
BOE EOC ∠=∠，72DOE ∠=︒. 求∠EOC 的度数.
11. 已知80AOB ∠=︒，OC 平分∠AOB ，60COD ∠=︒，OE 平分∠COD . 求∠AOE 的大小.
12. 如图，已知OB ，OC ，OD 为∠AOE 内三条射线. （1）图中共有多少个角？
（2）若OB ，OC ，OD 为∠AOE 四等分线，且图中所有锐角的和为400°，求∠AOE 的度数.
（3）若89AOE ∠=︒，30BOD ∠=︒，求图中所有锐角的和.
B 级
1. 已知一个角的补角比这个角余角的3倍大10°，则这个角的度数是 .
2. α，β，γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算
1
()15
αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23°，24°，25°这三个不同的
结果. 其中只有一个是正确的答案，则αβγ++= .
3. 如图，点O 在直线AB 上，OC ，OD ，OE ，OF 是位于AB 同一侧的射线，那么在这个图形中，不大于平角的角共有 个.
4. 如图，射线OC ，OD ，OE ，OF 分别平分∠AOB ，∠COB ，∠AOC ，∠EOC ，若24FOD ∠=︒，则AOB ∠= .
5. 4点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数）
A. 60
B. 30
C. 40
D. 33 6. 如图是一个3×3的正方形，则图中1239∠+∠+∠++∠L
的和等于（ ）
A. 270°
B. 315°
C. 360°
D. 405° 7. 已知，OM ，ON ，OP 分别是∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 的平分线，则下列各式中成立的是（ ）
A.AOP MON ∠>∠
B.AOP MON ∠=∠
C.AOP MON ∠<∠
D.以上情况都有可能
8. 如图，∠AOC 是直角，21.5COD ∠=︒，且OB ，OD 分别是∠AOC ，∠BOE 的平分线，则∠AOE 等于（ ）
A. °
B. 138°
C. °
D. 178°
9. 如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF ，使∠COE 和∠BOE 互余，射线OF 和OD 分别平分∠COE 和∠BOE . 求证：
3AOF BOD DOF ∠+∠=∠.
10. 如图，∠A 1OA 11是一个平角，
322143325443A OA A OA A OA A OA A OA A OA ∠-∠=∠-∠=∠-∠==L
11101092A OA A OA ∠-∠=︒. 求1110A OA ∠的度数.
11. 在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的选择中心）. 若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB 的面积第一次达到最大？
答案
例1 45° 提示：如图，通过拼补得∠1+∠2=45°. 例2．B
提示：①（90°－∠β）+∠β=90°符合；
②（∠α－90°）+∠β=∠α+∠β－90°=180°－90°=90°符合；
③11(180909022αββββ∠+∠+∠=⨯︒+∠=︒+∠≠︒）；
④111
()18090222
αββαβ∠-∠∠=∠+∠=⨯︒=︒()+符合. 故①②④能表示β∠的余角. 13．∵OM 、ON 平分∠AOC ，∠BOC ，
∴∠AOM =∠COM =1
2
AOC ∠，∠CON =∠BON =12
BOC ∠ （1）如图①，若OC 在∠AOB 内，设∠BOC =x ，则 图?
图?图?
例 6 （1）20m n -?Q ，2(6)0n ->，且2m n -与2(6)n -互为相反数。

20m n \-=
且2(6)0n -=。

12m \=，16n =，即12AB =，6CD = （2）有两种情况，如图??
当C 在AB 上时，1
1111()()2
2
2
2
2
MN AC BC BD AB BC BC CD BC =++=-++-=?
1
(124)4(64)92
-++?=；当C 在AB 的延长线上时，MN MB BC CN =++=AB
11
1246(124)(46)2285922
BC CD AM ND ++--=++-?-?=--=，综上可
知，9MN =
（3）作图如图?，结论?正确，设BP x =，则12AP x =+，6PC x =+
12122266PA PB x x x
PC x x
++++\
===++，当然对于?我们也不难找出其值不为 定值的原因。

1212
66PA PB x x PC x x -+-==
++Q ，x \变化，其值也变化 A 级
1 5cm 或1cm 提示：当A ，B 在O 点两侧时，46
52
EF cm +==；当A ，B 在O 同一侧 时，64
12
EF cm -== 2 20
3 提示：所有线段长度总和为466AB BC CD +++∠AOC ＝80°－x ，∴∠MON ＝∠MOC ＋∠NOC ＝40°．
（2）如图②，若OC 在A ′OB 内，设∠BOC ＝x ，则∠AOC ＝80°＋x ． ∴∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝40°．
（3）如图③，若OC 在∠A ′OB ′内，设∠BOC ＝x ，则∠AOC ＝280°－x ． ∠MON ＝∠MOC ＋∠NOC ＝140°．
（4）如图④，若OC 在∠AOB ′内，设∠BOC ＝x ，则∠AOC ＝x －80°． ∴∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝40°．综上所述：∠MON ＝40°或 140°． 例4x ＝
1427
1440
提示：显然x 的值大于1小于2，
依题意得6x －360(x —1)＝360(x —1)—0. 5x ．
例5提示：设“模板”角度为α，假设可由k 个α角与t 个 180°角画出1°的角来，即k ，t 满足等式k α－180t ＝1．
（1）当α＝19°时，取k ＝19，t ＝2，即用模板连续画出19个19°的角，得到361°的角，去掉360°的周角，即得1°的角．
（2）当α＝17°时，即17k 一180t ＝1，此时，k ＝53，t ＝5是一组解，即用模板连续画53个17°的角，得到901°的角，除去两个周角和一个平角，
即得1°的角．
（3）当α＝21°时，即21k —180t ＝1无整数解，不能用21°的模板与铅笔画出1°的角．
例6 (1) ∠BOC ＝180°－∠AOC ＝180°－30°＝150°．
又∵QE 平分∠BOC ，∠COE ＝2
1∠BOC ＝75°，∠DOE ＝90°－75°＝15°．
（2）∠DOE ＝90°－
2
180α
-ο＝2
1α．
（3）①∠AOC ＝180°－2∠COE ＝180°—2(90°—∠DOE )＝2∠DOE ；②设∠
DOE ＝x ，∠AOF ＝y ．则∠AOC －4∠AOF ＝2∠DOE －4∠AOF ＝2x －4y ．2∠BOE ＋
∠AOF ＝2∠COE ＋∠AOF ＝2 ( 90°—∠DOE ) ＋∠AOF ＝2 ( 90°一x )＋y ＝180°一2x ＋y ．故 2x —4y ＝180°—2x ＋y ，即 4x —5y ＝180°．所以 4∠
DOE －5∠AOF ＝180°．
A 级
1．72°
2．10 450° 提示：一共有10个角，其中∠AOE ＝90°，∠BOD ＝45°，∠AOB 十∠BOE ＝90°，∠AOC ＋∠COE ＝90°，∠AOD ＋∠DOE ＝90°，∠BOC ＋∠COD ＝45°．故这10个角的度数和为90°×4＋45°×2＝360°＋90＝450°． 3．30
4．6 提示：∠AOC 和∠BOC ，∠AOD 和∠BOD ，∠AOE 和∠BOE ，∠AOE 和∠
DOE ，∠AOE 和∠COD ，∠AOD 和∠COE ．
5．B 6．A 7．C 8．B
9．114° 提示：设∠AOC ＝x °，是∠BOC ＝2x °，∠AOD ＝(2
3x )°，∠COD ＝(2
1x )°，∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝114°
10．设∠AOD ＝∠BOD ＝x ，则∠BOC ＝180°—2x ．
又∵∠BOE ＝2
1∠EOC ，∴∠BOE ＝3
1∠BOC ＝3
1(180°－2x )．
又∵∠BOD ＋∠BOE ＝∠DOE ＝72°，∴x ＋3
1
(180°－2x )＝72°，解得x ＝
36°．
则∠EOC ＝3
2∠BOC ＝3
2(180°—2x )＝72°．
11．（1）如图①，若OD 在∠A ′OB 内时，∵∠AOC ＝∠BOC ＝2
1∠AOB ＝40°，
∠COE ＝∠DOE ＝2
1∠COD ＝30°，∴∠AOE ＝∠AOC ＋∠COE ＝70°．
（2）如图②，若OD 在∠AOB ′内时，同理，∠AOC ＝40°，∠OOE ＝30°，∴∠AOE ＝∠AOC －∠COE ＝10°． 综上所述：∠AOE ＝70°或10°． 12．（1）共有：4＋3＋2＋l ＝10 个角． （2）∠AOE ＝80°．
（3）所有锐角度数和为：416°．
B 级
1．50° 2．345° 3．15
4．64°提示：设∠EOF ＝∠COF ＝x ，则∠AOE ＝2x ．∴∠BOC ＝∠AOC ＝2x ＋x ＋x ＝4x ，∠COD ＝∠BOD ＝2
1
∠BOC ＝2x ，又∵∠FOD ＝∠FOC ＋∠COD ＝x ＋2x ＝3x ＝24°，x ＝80°，∴∠AOB ＝8x ＝64°． 5．D
6．D 沿AB 对折，上下图形能够完全重合，则∠1＋∠9＝∠4＋∠8＝∠2＋∠6＝90°． 7．B 8．D
9．提示：∠COE ＋∠BOE ＝90°，∠DOF ＝45°，∠AOF ＋∠BOD ＝135°．
10．由题中条件知∠A 3OA 2—∠A 2OA 1＝2°①，∠A 4OA 3—∠A 3OA 2＝2° ②，∠
A 5OA 4—∠A 4OA 3＝2°③，…，∠A 11OA 10－∠A 10OA 9＝2°⑨，以上9个等式相加
得∠A 11OA 10—∠A 2 OA 1＝9×2°＝18°．.即∠A 11OA 10＝∠A 2OA 1＋18°．由题设知，∠A 1OA 11＝∠A 2OA 1＋∠A 3OA 2＋∠A 4OA 3＋…＋∠A 11OA 10＝2
1(∠A 2OA 1＋∠
A 11OA 10)×10＝180°．
∴∠A 2OA 1＋∠A 11OA 10＝36°，∴∠A 11OA 10＝27°．
11．经过x 秒时，OA 与OB 第一次垂直．由(6－0. 1)x ＝90得x ＝1559
15．。