2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式导学案新人教A版必修4
2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式二导学案新人教A版必修4_141
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标 .能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一 两角和与差的正切公式思考 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？答案 (α＋β)＝＝α β＋ α β α β－ α β)，分子分母同除以 α β，便可得到.思考 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案 用－β替换(α＋β)中的β即可得到.梳理知识点二 两角和与差的正切公式的变形()(α＋β)的变形：α＋β＝(α＋β)(－αβ).α＋β＋αβ(α＋β)＝(α＋β).αβ＝－α＋β(α＋β().()(α－β)的变形：α－β＝(α－β)(＋αβ).α－β－αβ(α－β)＝(α－β).αβ＝α－β(α－β()－.类型一正切公式的正用例()已知α＝－，(α＋β)＝，则β的值为.答案解析β＝[(α＋β)－α]＝α＋(α＋β( α)＝＝.()已知α，β均为锐角，α＝，β＝，则α＋β＝. 答案解析因为α＝，β＝，所以(α＋β)＝α＋β－αβ)＝＝.因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(，π)，所以α＋β＝.反思与感悟()注意用已知角来表示未知角.()利用公式(α＋β)求角的步骤：①计算待求角的正切值.②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息.③根据角的范围及三角函数值确定角.跟踪训练已知θ是第四象限角，且＝，则＝.答案－解析由题意，得＝，∴＝.∴＝＝－＝－.类型二正切公式的逆用例()°－°)＝；()°,()＋°)＝.。
2018版高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换导学案新人教A版
3.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.知识点一 半角公式思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？ 答案 结果是cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin2α2＝cos2α2－sin2α2.思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.答案 ∵cos2α2＝1＋cos α2，∴cos α2＝±1＋cos α2， 同理sin α2＝±1－cos α2，∴tan α2＝sinα2cosα2＝±1－cos α1＋cos α.思考3 利用tan α＝sin αcos α和倍角公式又能得到tan α2与sin α，cos α怎样的关系？答案 tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cos α2cos α2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sin α2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.梳理 sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tanα2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α .知识点二 辅助角公式思考1 a sin x ＋b cos x 化简的步骤有哪些？ 答案 (1)提常数，提出a 2＋b 2得到a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2 sin x ＋b a 2＋b 2cos x .(2)定角度，确定一个角θ满足： cos θ＝a a 2＋b2，sin θ＝b a 2＋b2(或sin θ＝a a 2＋b2，cos θ＝b a 2＋b 2).一般θ为特殊角⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3等，则得到a 2＋b 2(cos θsin x ＋sin θcos x )(或a 2＋b 2(sin θsin x ＋cosθcos x )).(3)化简、逆用公式得a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(或a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2cos(x －θ)).思考2 在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？ 答案 θ所在的象限由a 和b 的符号确定. 梳理 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).(其中tan θ＝b a)类型一 应用半角公式求值例1 已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2.解 ∵sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1，得cos2θ2＝1＋cos θ2＝15. ∵5π4＜θ2＜3π2，∴cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思与感悟 (1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论. (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子；②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).跟踪训练1 已知sin α＝－817，且π<α<3π2，求sin α2，cos α2和tan α2.解 ∵sin α＝－817，π<α<3π2，∴cos α＝－1517.又∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝ 1＋15172＝41717， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－15172＝－1717， tan α2＝sinα2cosα2＝－4.类型二 三角恒等式的证明例2 求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 证明 要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. ∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ， ∴左边＝右边， ∴原式得证.反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 跟踪训练2 证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.证明 ∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tanα21＋tan 2 α2＋1－tan2α21＋tan 2α2＝tan2α2＋2tan α2＋11＋tan2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立.类型三 利用辅助角公式研究函数性质例3 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 (x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合. 解 (1)∵f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝3sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12]＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12 (k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }.反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.跟踪训练3 已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合. 解 (1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π8，k ∈Z .类型四 三角函数在实际问题中的应用例4 如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ 、CR 正好落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值.解 如图连接AP ，设∠PAB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ，则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ. 所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ.所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ) ＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ) ＋8 100sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)， 则sin θcos θ＝t 2－12.所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002(t －109)2＋950. 故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时，S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002) m 2.反思与感悟 此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.跟踪训练4 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).解 连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12 ＝22cos(2θ－45°)－12. 当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S max ＝2－12(m 2). ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2.1.若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B.－63 C.±63 D.±33答案 A解析 由题意知α2∈(0，π2)，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2.已知tan θ2＝3，则cos θ等于( ) A.45 B.－45 C.415 D.－35 答案 B解析 cos θ＝cos 2θ2－sin2θ2cos 2θ2＋sin 2θ2＝1－tan2θ21＋tan 2θ2＝1－321＋32＝－45.3.函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A.1B.2C.32D.3答案 C解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴f (x )max ＝1＋12＝32，故选C.4.函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为 .答案 －1解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.5.化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α.(180°<α<360°)解 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α24cos2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cosα2⎝⎛⎭⎪⎫sin2α2－cos2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cosα2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2.因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°，所以cosα2<0，所以原式＝cos α.1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝ba(或sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2).3.研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sin x±cos x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x±π4；sin x±3cos x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x±π3等.课时作业一、选择题1.若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A.－12B.12C.2D.－2答案 A解析∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴1＋tanα21－tan α2＝1＋sinα2cosα21－sinα2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sinα2cos α2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.2.若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.3.已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A.－ 1－cos α2 B. 1－cos α2 C.－ 1＋cos α2D.1＋cos α2答案 C4.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形答案 B解析 用降幂公式进行求解. 5.设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是π6，则ω的值为( )A.12B.－13C.－23D.2π3答案 A解析 f (x )＝32cos 2ωx ＋12sin 2ωx ＋32＋a＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32＋a ，依题意得 2ω·π6＋π3＝π2⇒ω＝12.6.设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝ 1－cos 50°2，则有() A.c <b <a B.a <b <cC.a <c <bD.b <c <a答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，∵y ＝sin x 在[0，π2]上是单调递增的，∴a <c <b .7.已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2＜θ＜π)，则tan θ2等于( ) A.－13 B.5C.－5或13 D.－13或5答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得(m －3m ＋5)2＋(4－2mm ＋5)2＝1，解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ＜0，不符合π2＜θ＜π.∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5.二、填空题8.设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值为 .答案 － 1－a2解析 sin 2θ4＝1－cos θ22， ∵θ∈(5π，6π)，∴θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，∴sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－ 1－a2.9.sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值为 .答案 34解析 原式＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°·cos 20°－cos 60°sin 20°)＝sin 220°＋sin 260°cos 220°－cos 260°sin 220°＝sin 220°＋34cos 220°－14sin 220°＝34sin 220°＋34cos 220°＝34.10.函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是 .答案 π解析 ∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 三、解答题11.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，求cos α的值. 解 ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α ＝sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α ＝32sin α＋32cos α＝－435. ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. ∵－π2<α<0，∴－π3<α＋π6<π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6 ＝35×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33－410. 12.求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x . 证明 ∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2 ＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x＝右边. ∴原等式得证.13.已知cos 2θ＝725，π2<θ<π， (1)求tan θ的值；(2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin (θ＋π4)的值. 解 (1)因为cos 2θ＝725， 所以cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725， 所以1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725， 解得tan θ＝±34， 因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34. (2)因为π2<θ<π，tan θ＝－34， 所以sin θ＝35，cos θ＝－45， 所以2cos 2θ2＋sin θ2sin (θ＋π4)＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ ＝1－45＋35－45＋35＝－4. 四、探究与拓展14.已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是 ，最小值是 . 答案 32 12解析 ∵A ＋B ＝2π3， ∴cos 2A ＋cos 2B＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B ) ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B ) ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B ) ＝1－12cos(A －B )， ∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32； 当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12. 15.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性. 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增， 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式学案含解析新人教A版必修
学习资料3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1。
1两角差的余弦公式内容标准学科素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算。
直观想象数学运算逻辑推理授课提示：对应学生用书第72页[基础认识］知识点两角差的余弦公式阅读教材P124～127，思考并完成以下问题如何用α，β的正、余弦值来表示cos（α－β）呢?(1）计算下列式子的值,并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝__________；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝________；③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝________．猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝________，即______________________________．提示：①1＝cos 0°②错误!＝cos 30°③0＝cos 90°④错误!＝cos 60°cos(α－β)cos（α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β（2）单位圆中（如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？错误!与错误!的夹角是多少?提示:A（cos α，sin α）、B(cos β，sin β），∠AOB＝α－β。
(3)错误!·错误!＝________．提示：错误!·错误!＝(cos α，sin α)·(cos β,sin β）＝cos αcos β＋sin αsin β.错误!·错误!＝｜错误!||错误!｜cos∠AOB＝cos（α－β）．知识梳理C(α－β）：cos（α－β）＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β．思考（1）对任意α，β都有cos(α－β）＝cos α－cos β吗？提示：不是．（2)存在α,β∈R,使cos(α－β)＝cosα－cos β吗？提示:存在．[自我检测］1．计算cos错误!cos错误!＋cos错误!sin错误!的值是(）A．0B。
2018版高中数学第三章三角恒等变换章末复习课导学案新人教A版
第三章 三角恒等变换学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2.二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3.升幂缩角公式 1＋cos 2α＝2cos 2α. 1－cos 2α＝2sin 2α. 4.降幂扩角公式sin x cos x ＝sin 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin 2x ＝1－cos 2x 2.5.和差角正切公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). 6.辅助角公式y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋θ).类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1 已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值.解 ∵α是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34.∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝139.∵β是锐角，∴cos β＝91050.反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，β＝12[(α＋β)－(α－β)]等.跟踪训练1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为31010，255.(1)求tan(α－β)的值； (2)求α＋β的值. 解 (1)由题可知，cos α＝31010，cos β＝255. 由于α，β为锐角，则sin α＝1010，sin β＝55， 故tan α＝13，tan β＝12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13－121＋16＝－17.(2)因为tan(α＋β)＝13＋121－16＝1，sin α＝1010<22，sin β＝55<22， 即α＋β<π2，故α＋β＝π4.类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值. 解 设sin x ＋cos x ＝t ， 则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴t ∈[－2，2]，∴sin x ·cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＝t 2－12.∵f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ， ∴g (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2].当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1， 此时，由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z .当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12，此时，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1，解得x ＝2k π＋π4，k ∈Z .综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－1；当x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝2＋12. 反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.跟踪训练2 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域. 解 令sin x －cos x ＝t ，则由t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4知，t ∈[－2，2].又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2， ∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54.当t ＝12时，y max ＝54；当t ＝－2时，y min ＝－2－1. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，54.类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3 已知函数f (x )＝23sin(x －3π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2－1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值.解 (1)因为f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.又因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，所以f (x )的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知，f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6.又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310. 反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.跟踪训练3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值. 解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin xcos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝sin 2x (1＋tan x )1－tan x＝sin 2x ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . ∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π， 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－43.∴cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin π4 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210. ∴sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4－sin π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－7210， sin 2x ＝725.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝－2875.类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 例4 已知sin x ＋2cos y ＝2，求2sin x ＋cos y 的取值范围.解 设2sin x ＋cos y ＝a .由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋2cos y ＝2，2sin x ＋cos y ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝2a －23，cos y ＝4－a3，从而⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2a －23≤1，－1≤4－a3≤1，解得1≤a ≤52.故2sin x ＋cos y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52. 反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.跟踪训练4 已知关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0，2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值.解 设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＋a ＝0，消去y ，并整理得4x 2＋23ax ＋a 2－1＝0.①由已知得cos α，cos β是①的两个实数解， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝－32a ，cos αcos β＝a 2－14.∴sin αsin β＝(3cos α＋a )(3cos β＋a ) ＝3cos αcos β＋3(cos α＋cos β)a ＋a 2＝a 2－34.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝a 2－14－a 2－34＝12.1.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2等于( )A.－5B.－513C.1213 D.5答案 A解析 ∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－513，又∵α是第三象限角，∴cos α＝－1213.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－513＝－5.2.已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ等于( )A.223B.－223C.23D.－23答案 A解析 由59＝sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ，得12sin 22θ＝49，即sin 22θ＝89. 又∵2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，∴4k π＋2π<2θ<4k π＋3π(k ∈Z )， 故sin 2θ＝223.故选A.3.已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝ .答案 －5972解析 由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝1336，得2sin(α－β)＝－5936，即sin(α－β)＝－5972.4.设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为 . 答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝725， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π4 ＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝17250. 5.已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值.解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3). 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.课时作业一、选择题1.cos 2 017°cos 1 583°－sin 2 017°sin 1 583°等于( ) A.0 B.12 C.22 D.1答案 D解析 原式＝cos(2 017°＋1 583°)＝cos 3 600°＝1. 2.函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x (x ∈R )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12 答案 C解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x2＝22(22sin 2x －22cos 2x )＋12 ＝22sin(2x －π4)＋12. ∵x ∈R ，∴2x －π4∈R ，∴sin(2x －π4)∈[－1，1]，∴函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12.3.函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A.π，1 B.π，2 C.2π，1 D.2π，2答案 A解析 ∵f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴最小正周期T ＝π，振幅A ＝1.4.已知tan(α＋π4)＝－12，且π2＜α＜π，则sin 2α－2cos 2αsin (α－π4)等于( )A.255B.－255C.－355D.－31010答案 B解析 sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2cos α(sin α－cos α)22(sin α－cos α)＝22cos α.∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝－12， ∴tan α＝－3 ， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－1010. 则sin 2α－2cos 2αsin (α－π4)＝22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－255. 5.已知向量a ＝(sin α，1)，b ＝(2，2cos α－2)(π2<α<π)，若a ⊥b ，则sin(α－π4)等于( ) A.－32B.－12C.12D.32答案 D 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2sin α＋2cos α－2＝22sin(α＋π4)－2＝0， ∴sin(α＋π4)＝12. ∵π2<α<π， ∴3π4<α＋π4<5π4， ∴cos(α＋π4)＝－32. ∴sin(α－π4)＝－sin(π4－α)＝－cos(α＋π4)＝32. 6.若1tan θ＝3，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是( ) A.－65B.－45C.45D.65答案 D解析 由题意知，tan θ＝13， 则cos 2θ＋12sin 2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝65. 7.函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3 答案 B 解析 y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－ 3 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6， ∴函数图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32. 二、填空题8.若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝ . 答案 －2解析 由题意知，tan α＝－2，sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋2－2tan 2αtan 2α＋1＝－4＋2－2×45＝－2. 9.函数y ＝(a cos x ＋b sin x )cos x 有最大值2，最小值－1，则实数a ＝ ，b ＝ . 答案 1 ±2 2解析 y ＝a cos 2x ＋b sin x cos x＝b 2sin 2x ＋a 2cos 2x ＋a 2＝a 2＋b 22sin(2x ＋φ)＋a2， a 2＋b 22＋a2＝2，－a 2＋b 22＋a 2＝－1， a ＝1，b ＝±2 2.10.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)＝ .答案 4解析 由已知得4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)，即tan α－tan β1＋tan αtan β＝4. ∴tan(α－β)＝4.三、解答题11.已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围. 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12， 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35， 所以f (α)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12， 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 所以f (x )的取值范围为[0，1＋22]. 12.已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b ，且a ，b 满足：a ·b＝－9，|a |＝3，|b | ＝5，θ为a ，b 的夹角.求sin(B ＋θ).解 2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，4cos 2B －8cos B ＋3＝0，解得cos B ＝12，sin B ＝32， cos θ＝a·b |a ||b |＝－35，sin θ＝45， sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310. 13.设函数f (x )＝sin 2x ＋cos(2x ＋π3). (1)求函数f (x )的最大值及此时x 的取值集合；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，已知cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值.解 (1)∵f (x )＝1－cos 2x 2＋12cos 2x －32sin 2x＝12－32sin 2x ， ∴当sin 2x ＝－1时，f (x )max ＝1＋32， 此时2x ＝2k π－π2(k ∈Z )，x ＝k π－π4(k ∈Z )， ∴x 的取值集合为{x |x ＝k π－π4，k ∈Z }. (2)∵f (C 2)＝12－32sin C ＝－14， ∴sin C ＝32. ∵C 为锐角，∴C ＝π3. 由cos B ＝13，得sin B ＝1－cos 2B ＝223， ∴sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32cos B ＋12sin B ＝3＋226. 四、探究与拓展14.若tan(α＋π4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝ . 答案 2215.已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0].向量m ＝(2，1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA→－n ).(1)求向量OA →；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值. 解 (1)∵OA →＝(cos α，sin α)，∴OA →－n ＝(cos α，sin α＋5).∵m ⊥(OA →－n )，∴m ·(OA →－n )＝0，∴2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA →＝(－255，－55). (2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210. 又∵0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210. 又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－55)×(－255)＝45，cos 2α＝2cos 2α－1 ＝2×45－1＝35， ∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×(－210)＋45×7210＝25250＝22.。
人教版高中数学全套教案导学案高中数学 (3.1.1 两角差的余弦公式)教案 新人教A版必修4
第三章三角恒等变换本章教材分析本章知识框图本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式,以及运用这些公式进行简单的恒等变换.变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一.在本册第一章,学生接触了同角三角函数公式.在本章,学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式,由此出发导出其他的三角变换公式,并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算能力,并体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用.本章内容安排按两条线进行,一条明线是建立公式,学习变换;一条暗线就是发展推理能力和运算能力,并且发展能力的要求不仅仅体现在学习变换过程之中,也体现在建立公式的过程之中.因此在本章教学中,教师要特别注意恰时恰点地提出问题,引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题,使学生能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角函数恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换,强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识.突出数学思想方法的教学,在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导,本章不仅关注使学生得到和(差)角公式,而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法.例如,在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想以及向量方法的应用;从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,在这个过程中,始终引导学生体会化归思想;在应用公式进行恒等变换的过程中,渗透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法,特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用,对学生解决问题的一般思路进行引导,这对学生养成科学的数学思考习惯能起到积极的促进作用.另外,还在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结.例如,在旁白中有“倍是描述两个数量之间关系的,2α是α的二倍,4α是2α的二倍,这里蕴含着换元的思想”等,都是为了加强思想方法而设置的.两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是历届高考考查的“重点”和“热点”,在高考中占有重要的地位,主要考查对这十一个公式的正用、逆用、变形用,考查对公式的熟练掌握程度和灵活运用能力,其考查难度属低档,这就要求我们不要过分引导学生去挖掘一些特殊的变化技巧,应把主要精力放在学生掌握数学规律和通性通法上.教师在教学中,要注意控制好难度.因为近几年的高考中对三角部分的考查难度降低,但教材中部分习题却有一定难度,因此教师要把握好难度.本章教学时间约需8课时,具体分配如下(仅供参考):节次标题课时3.1.1 两角差的余弦公式1课时3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式2课时3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1课时3.2 简单的三角恒等变换2课时本章复习2课时3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式整体设计教学分析本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程.本节首先引导学生对cos(α-β)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出α-β角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了解公式的由来;②使学生认识公式的结构特征,加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明;④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课.思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.推进新课新知探究提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？ ⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题①,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cos α-cos β的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cos α-cos β=cos60°-cos30°=231 ,这一反例足以说明cos(α-β)≠cos α-cos β. 让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.问题②,既然cos(α-β)≠cos α-cos β,那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是α-β这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图1如图1,设角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠P OP 1=β,则∠POx=α-β.过点P 作PM 垂直于x 轴,垂足为M,那么OM 就是角α-β的余弦线,即OM=cos(α-β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P 作PA 垂直于OP 1,垂足为A,过点A 作AB 垂直于x 轴,垂足为B,过点P 作PC 垂直于AB,垂足为 C.那么,OA 表示cos β,AP 表示sin β,并且∠P AC =∠P 1Ox=α.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cos βcos α+sin βsin α,所以,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的,即α、β、α-β均为锐角,且α>β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.图2问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则OA =(cos α,sin α),OB =(cos β,sin β),∠A OB=α-β.由向量数量积的定义有OA ·OB =|OA ||OB |·cos(α-β)=cos(α-β), 由向量数量积的坐标表示有 OA ·OB =(cos α,sin α)(cos β,sin β)=cos αcos β+sin αsin β,于是,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cos θ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则OA ·OB =cos θ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π-θ)=cos θ=cos(α-β).由此可知,对于任意角α、β都有 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsinβ(C (α-β))此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α-β).有了公式C (α-β)以后,我们只要知道cos α、cos β、sin α、sin β的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题④,教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)=__________等.因此,只要知道了sin α、cos α、sin β、cos β的值就可以求得cos(α-β)的值了.问题⑤,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23,cos α=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.讨论结果:①—⑤略.应用示例思路1例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,从而就可以直接套用公式C (α-β)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.不查表求sin75°,sin15°的值解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°=.42621322322+=⨯+⨯ sin15°= 15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C (α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sin α=54,α∈(2π,π),cos β=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求cos(α-β)的值,必先知道sin α、cos α、sin β、cos β的值,然后利用公式C (α-β)即可求解.从已知条件看,还少cos α与sin β的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角α、β所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符.本例可由学生自己独立完成.解:由sin α=54,α∈(2π,π),得 cos α=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cos β=135-,β是第三象限角,得 sin β=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯- 点评:本题是直接运用公式C (α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.变式训练已知sin α=54,α∈(0,π),cos β=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 解:①当α∈［2π,π)时,且sin α=54,得cos α=53)54(1sin 122-=--=--a , 又由cos β=135-,β是第三象限角,得 sin β=22)135(1cos 1---=--β=1312-. 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-. ②当α∈(0,2π)时,且sin α=54,得 cos α=53)54(1sin 122=-=-a , 又由cos β=135-,β是第三象限角,得 sin β=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =.6563)1312(54)135(53-=-⨯+-⨯点评:本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同.由于α∈(0,π),这样cos α的符可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角α进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.思路2例1 计算:(1)cos(-15°);(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°;(3)sinxsin(x+y)＋cosxcos(x+y).活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15°,思考它可以拆分为哪些特殊角的差,如-15°=15°-30°或-15°=45°-60°,然后套用公式求值即可.也可化cos(-15°)=cos15°再求值.让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式C (α-β)的右边一致,从而化为特殊角的余弦函数.解:(1)原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621222322+=⨯+⨯ (2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0.(3)原式=cos ［x-(x+y)］=cos(-y)=cosy.点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力,为后面公式的学习打下牢固的基础. 例2 已知cos α=71,cos(α+β)=1411-,且α、β∈(0, 2π),求cos β的值. 活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究α、α+β、β之间的关系,也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到β=(α+β)-α的关系式,然后利用公式C (α-β)求值即可.但还应提醒学生注意由α、β的取值范围求出α+β的取值范围,这是很关键的一点,从而判断sin(α+β)的符进而求出cos β.解:∵α、β∈(0,2π),∴α+β∈(0,π). 又∵cos α=71,cos(α+β)=1411-, ∴sin α=,734cos 12=-a sin(α+β)=.1435)(cos 12=+-βa 又∵β=(α+β)-α,∴cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =.21734143571)1411(=⨯+⨯- 点评:本题相对于例1难度大有提高,但是只要引导适当,学生不难得到β=(α+β)-α的关系式,继而运用公式解决.但值得注意的是α+β的取值范围确定,也是很关键的,这是我们以后解题当中常见的问题.变式训练1.求值:cos15°+sin15°.解:原式=22(2cos15°+22sin15°)=2(cos45°cos15°+sin45°sin15°) =2cos(45°-15°)= 2cos30°=26. 2.已知sin α+sin β=53,cos α+cos β=54,求cos(α-β)的值. 解:∵(sin α+sin β)2=(53)2,(cos α+cos β)2=(54)2, 以上两式展开两边分别相加得2+2cos(α-β)=1,∴cos(α-β)=21-. 点评:本题又是公式C (α-β)的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方,从而得到公式C (α-β)中cos αcos β和sin αsin β的值,即可求得cos(α-β)的值,本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力.3.已知锐角α、β满足cos α=54,tan(α-β)=31-,求cos β. 解:∵α为锐角,且cos α=54,得sin α=53. 又∵0<α<2π,0<β<2π, ∴-2π<α-β<2π. 又∵tan(α-β)= 31-<0, ∴cos(α-β)=103.从而sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)=101-.∴cos β=cos ［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =54×).101(53103-⨯+ =50109. 知能训练课本本节练习.解答:1.(1)cos(2π-α)=cos 2πcos α+sin 2πsin α=sin α. (2)cos(2π-α)=cos2πcos α+sin2πsin α=cos α. 2.102. 3..348315- 4.125372-. 课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.作业课本习题3.1 A 组2、3、4、5.设计感想1.本节课是典型的公式教学模式,因此本节课的设计流程为“实际问题→猜想→探索推导→记忆→应用”.它充分展示了公式教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导、证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题,从而培养学生独立探索数学知识的能力,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性.2.纵观本教案的设计,学生发现推导出公式C (α-β)后就是应用,同时如何训练公式的正用、逆用、变形用也是本节的重点难点.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了怎样逆用公式及活用公式,那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的.3.教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,根据高中三角函数的推理特点,本节主要是教给学生“研究问题、猜想探索公式、验证特殊情形、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增强了学生的参与意识,教给了学生发现规律、探索推导,获取新知的途径,让学生真正尝到探索的喜悦,真正成为教学的主体.学生体会到数学的美,产生一种成功感,从而提高了学习数学的兴趣.。
2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式导学案新人教A版
3.1.1 两角差的余弦公式学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.知识点一 两角差的余弦公式的探究思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明. 答案 不正确.例如：当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos π4＝22，而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22，故cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝cos π6＝32，而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32，故cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想. ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝________； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝________； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝________. 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝________，即____________________________________________. 答案 ①1 ②32 ③0 ④12cos(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 知识点二 两角差的余弦公式思考1 单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？答案 A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β).OA →与OB →的夹角是α－β.思考2 请根据上述条件推导两角差的余弦公式. 答案 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)， ②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.梳理 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.类型一 利用两角差的余弦公式化简求值例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°) ＝cos(－90°) ＝cos 90° ＝0.反思与感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路： (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos 105°；(2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°. 解 (1)原式＝cos(150°－45°)＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45° ＝－32×22＋12×22＝2－64. (2)原式＝cos(46°－16°)＝cos 30°＝32. 类型二 给值求值例2 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值.解 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6.又因为α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32，所以－π2<α－β<－π6.所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝1517， sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫21292＝－2029，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2029＝155493. 反思与感悟 三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.跟踪训练2 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值.解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π).又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 类型三 给值求角例3 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值.解 由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－(17)2＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)， 即cos β＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值. 解 由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴2β＝π，则β＝π2.1.计算cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A.0B.12C.22D.32答案 C解析 cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6 ＝cos π4＝22.2.若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b 等于( ) A.22 B.12 C.32D.－12答案 A解析 a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22，故选A.3.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A.75 B.15 C.－75D.－15答案 A解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos α＝45.∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝cos α＋sin α＝45＋35＝75.4.已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，求cos(α－β)的值.解 ∵(sin α＋sin β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352，(cos α＋cos β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452，以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.5.已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)的值.解 因为sin α＝－45，180°<α<270°，所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°<β<180°，所以cos β＝－1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝3665－2065＝1665.1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值； (2)确定角所在的范围(找区间)； (3)确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.课时作业一、选择题1.化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为( ) A.12 B.－12C.32D.－32答案 A解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.2.已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(π6－α)等于( )A3＋66B.3－66 C.－3＋66D.6－36答案 A解析 由题意可得sin α＝63，cos α＝33， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos π6cos α＋sin π6sin α＝32×33＋12×63＝3＋66. 3.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝513，0＜θ＜π3，则cos θ等于( )A.53＋1226 B.12－5313 C.5＋12326D.5＋5313答案 A解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1213.∴cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＝513×32＋1213×12＝53＋1226. 4.若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.5π6答案 C解析 ∵α，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，0)，2α∈(0，π)，sin(α－β)＝－255，sin 2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.5.若cos(α＋β)＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝513，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( ) A.22B.32C.5665D.3665答案 C解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.又∵cos(α＋β)＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝513， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35×1213＋45×513＝5665，故选C. 6.计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为( ) A.－12B.12C.32D.－32答案 B解析 sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67° ＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23° ＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12，故选B.7.化简sin(x ＋y )sin(y －x )－cos(x ＋y )cos(x －y )的结果为( ) A.sin 2y B.cos 2y C.－cos 2y D.－sin 2y答案 C解析 原式＝－cos[(x ＋y )－(x －y )]＝－cos 2y ，故选C. 8.已知sin(π6＋α)＝14，则cos α＋3sin α的值为( )A.－14B.12C.2D.－1答案 B 二、填空题9.已知cos α＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<α<2π，π2<α－β<π，则cos β＝________.答案 －1解析 由条件知sin α＝－35，sin(α－β)＝35，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－1625－925＝－1.10.已知sin α＝1517，α∈(π2，π)，则cos(π4－α)的值为________.答案723411.已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则sin β＝________. 答案 －1－m 2解析 cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α ＝cos[(α－β)－α]＝m ， 即cos β＝m . 又∵β为第三象限角，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－m 2.12.设A ，B 为锐角△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ，2sin A )，b ＝(3cos B ，3sin B ).若a ，b 的夹角的弧度数为π3，则A －B ＝________.答案 ±π3解析 cos π3＝a ·b |a ||b |＝6(cos A cos B ＋sin A sin B )2×3＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B ). 又－π2＜A －B ＜π2，∴A －B ＝±π3.13.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________.答案 －12解析 sin α＋sin β＝－sin γ，① cos α＋cos β＝－cos γ，② ①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12. 三、解答题14.已知cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β). 解 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π. 因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π， 所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2. 因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22. 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－22×22＋22×22＝0. 四、探究与拓展15.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β； (2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值.解 (1)∵OA ＝1，OB ＝1，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213，∴sin α＝45，sin β＝1213， ∴cos α＝35. (2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－513， ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－513×35＋1213×45＝3365.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式学案新人教A版
3.1.1两角差的余弦公式课前预习学案一、预习目标预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。
二、预习内容阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题：1. 如何用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-；2. 如何求出0cos15的值;3. 会求0sin 75的值吗？课内探究学案一、学习内容 通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打 好基础。
二、学习过程探究一：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15（2）0000cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？探究二：两角差的余弦公式的推导1.三角函数线法：问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边。
②怎样作出角αβ-的余弦线OM③怎样利用几何直观寻找OM 的表示式。
2.向量法：问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
例题整理例1. 利用差角余弦公式求0cos15的值变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：（1）ααπsin )2cos(=-； （2）cos(2)cos παα-=4π52.sin α= α πcos β= - βcos 5213αβ∈-例已知，（，），，第三象限角，求（）的值变式训练：15sin cos 173πθθθ=-已知，是第二象限角，求（）的值 。
三、反思总结本节主要考察如何用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，回顾公式 C αβ-（） 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角α，β的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.四、当堂检测1.利用两角和（差）的余弦公式，求00cos 75,cos1052.求值 0000cos75cos30sin 75sin 30+3．化简cos()cos sin()sin αββαββ+++14.cos sin 7αβααββ=+=已知，为锐角，，（），求cos课后练习与提高一、选择题1. 0000cos50cos 20sin50sin 20+的值为 （ ）A. 12B. 13C. 2D. 3 2. 0cos(15)-的值为 （ ）A. 4B. 4C. 4D 4-.3.已知12cos ,0,132παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则cos()4πα-的值等于（ ）A. 13B. 26C. 26D. 13二、填空题4.化简00cos(30)cos sin(30)sin αααα+++=5.若()0000cos60,sin 60,(cos15,sin15)a b ==，则a b ∙=三、解答题、6.已知233sin ,,cos ,0,3242ππααπβα⎛⎫⎛⎫=-∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos()αβ-的值.。
2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案新人教A版必修4_
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一 二倍角公式的推导思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝.2tan α1－tan2α思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二 二倍角公式的变形1.公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，12cos 2α－sin 2α＝cos 2α，＝tan 2α.2tan α1－tan2α2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2，1－cos α＝2sin 2 .α2α2降幂公式cos 2α＝，sin 2α＝.1＋cos 2α21－cos 2α2类型一 给角求值例1 求下列各式的值：(1)cos 72°cos 36°；(2)－cos 215°；1323(3)；(4)－.1－tan275°tan 75°1sin 10°3cos 10°解 (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝＝＝.2sin 72°cos 72°4sin 36°sin 144°4sin 36°14(2)－cos 215°＝－(2cos 215°－1)＝－cos 30°＝－.1323131336(3)＝2·＝2·＝－2.1－tan275°tan 75°1－tan275°2tan 75°1tan 150°3(4)－＝1sin 10°3cos 10°cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2(12cos 10°－32sin 10°)sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10° cos 10°＝＝4.4sin 20°sin 20°反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos cos cos ；2π74π76π7(2)＋.1sin 50°3cos 50°解 (1)原式＝2sin 2π7cos 2π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝＝sin4π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7sin 8π7cos 6π74sin 2π7＝＝＝.sin π7cos π74sin 2π7sin 2π78sin 2π718(2)原式＝＝＝＝＝4.cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°2sin 80°12sin 100°2sin 80°12sin 80°类型二 给值求值例2 (1)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝ .13答案 89解析 (sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝2⇒sin 2α＝1－2＝.(13)(13)89(2)若tan α＝，则cos 2α＋2sin 2α等于( )34A. B.64254825C.1D.1625答案 A解析 cos 2α＋2sin 2α＝＝.cos2α＋4sin αcos αcos2α＋sin2α1＋4tan α1＋tan2α把tan α＝代入，得34cos 2α＋2sin 2α＝＝＝.1＋4×341＋(34)2425166425故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝，求sin 2α.13解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝，19∴1＋2sin αcos α＝，19即1＋sin 2α＝，19∴sin 2α＝－.89反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2 已知tan α＝2.(1)求tan 的值；(α＋π4)(2)求的值.sin 2αsin2α＋sin αcos α－cos 2α－1解 (1)tan ＝＝＝－3.(α＋π4)tan α＋tan π41－tan αtan π42＋11－2×1(2)sin 2αsin2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin2α＋sin αcos α－2cos2α＝＝＝1.2tan αtan2α＋tan α－22×24＋2－2类型三 利用倍角公式化简例3 化简.2cos2α－12tan (π4－α)sin2(π4＋α)解 方法一 原式＝2cos2α－12·sin (π4－α)cos (π4－α)sin2(π4＋α)＝＝2cos2α－12·sin (π4－α)cos (π4－α)cos2(π4－α)2cos2α－1sin (π2－2α)＝＝1.cos 2αcos 2α方法二 原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α(22sin α＋22cos α)2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2＝＝＝1.cos 2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)cos 2αcos2α－sin2α反思与感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角.②降幂或升幂.③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练3 化简下列各式：(1)＜α＜，则＝ ；π4π21－sin 2α(2)α为第三象限角，则－＝ .1＋cos 2αcos α1－cos 2αsin α答案 (1)sin α－cos α (2)0解析 (1)∵α∈(，)，∴sin α＞cos α，π4π2∴＝1－sin 2α1－2sin αcos α＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝＝sin α－cos α.(sin α－cos α)2(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，∴－ 1＋cos 2αcos α1－cos 2αsin α＝－2cos2αcos α2sin2αsin α＝－＝0.－2cos αcos α－2sin αsin α1.sin cos 的值等于( )12π12π12A.B. 1418C.D.11612答案 B 解析 原式＝sin ＝.14π6182.sin 4－cos 4等于( )π12π12A.－ B.－ C. D.12321232答案 B解析 原式＝·(sin2π12＋cos2π12)(sin2π12－cos2π12)＝－＝－cos ＝－.(cos2π12－sin2π12)π6323.＝ .tan 7.5°1－tan27.5°答案 1－32解析 ＝·tan 7.5°1－tan27.5°122tan 7.5°1－tan27.5°＝tan 15°＝1－.12324.设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是 .(π2，π)答案 3解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈，(π2，π)∴sin α≠0，2cos α＋1＝0即cos α＝－，12sin α＝，tan α＝－，323∴tan 2α＝＝＝.2tan α1－tan2α－231－(－3)235.已知sin ＝，0<x <，求的值.(π4－x )513π4cos 2xcos (π4＋x )解 原式＝sin (π2＋2x )cos (π4＋x )＝＝2sin .2sin (π4＋x )cos (π4＋x )cos (π4＋x )(π4＋x )∵sin ＝cos ＝，且0<x <，(π4－x )(π4＋x )513π4∴＋x ∈，π4(π4，π2)∴sin ＝ ＝，(π4＋x)1－cos2(π4＋x )1213∴原式＝2×＝.121324131.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二32α2α4倍；是的二倍；＝(n ∈N *).α3α6α2n 2·α2n ＋12.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝；1＋cos 2α2③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝.1－cos 2α2课时作业一、选择题1.已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于( )513 A.－B.12131213C.－D.120169120169答案 D解析 由α是第三象限角，且cos α＝－，513得sin α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故选D.1213(－1213)(－513)1201692.若tan θ＝－，则cos 2θ等于( )13A.－ B.－ C. D.45151545答案 D解析 tan θ＝－，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ13＝＝＝.cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ1－tan2θ1＋tan2θ453.已知x ∈(－，0)，cos x ＝，则tan 2x 等于( )π245A. B.－ C. D.－724724247247答案 D解析 由cos x ＝，x ∈(－，0)，得sin x ＝－，45π235所以tan x ＝－，34所以tan 2x ＝＝＝－，故选D.2tan x1－tan2x 2×(－34)1－(－34)22474.已知sin 2α＝，则cos 2等于( )23(α＋π4)A. B.1613C. D.1223答案 A解析 因为cos 2＝(α＋π4)1＋cos [2(α＋π4)]2＝＝，1＋cos (2α＋π2)21－sin 2α2所以cos 2＝＝＝，故选A.(α＋π4)1－sin 2α21－232165.如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是( )155π2θ2A.－ B.105105C.－D.155155答案 C解析 ∵<θ<3π，|cos θ|＝，5π215∴cos θ<0，cos θ＝－.15又∵<<，∴sin <0.5π4θ23π2θ2∴sin 2＝＝，θ21－cos θ235sin ＝－.θ21556.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于( )33A.－B.－5359C.D.5953答案 A解析 由题意得(sin α＋cos α)2＝，13∴1＋sin 2α＝，sin 2α＝－.1323∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0.又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－ 1－sin22α＝－＝－ ＝－，故选A.1－(－23)21－49537.若cos ＝，则sin 2α等于( )(π4－α)35A.B.72515C.－D.－15725答案 D解析 因为sin 2α＝cos (π2－2α)＝2cos 2－1，(π4－α)又因为cos ＝，(π4－α)35所以sin 2α＝2×－1＝－，故选D.925725二、填空题8.2sin 222.5°－1＝ .答案 －22解析 原式＝－cos 45°＝－.229.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .答案 116解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝＝＝.sin 96°16cos 6°cos 6°16cos 6°11610.设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝x ，则tan 2α＝ .15答案 247解析 cos α＝＝，xx 2＋42x 5∴x 2＝9，x ＝±3.又∵α是第二象限角，∴x ＝－3，∴cos α＝－，sin α＝，3545∴tan α＝－，tan 2α＝＝＝432×(－43)1－(－43)2－831－169－83－79＝＝.722124711.已知tan x ＝2，则tan 2(x －)＝ .π4答案 3412.若tan α＋＝，α∈，则sin ＋2cos cos 2α＝ .1tan α103(π4，π2)(2α＋π4)π4答案 0解析 由tan α＋＝，1tan α103得tan α＝或tan α＝3.13又∵α∈，∴tan α＝3.(π4，π2)∴sin α＝，cos α＝ .310110∴sin ＋2cos cos 2α(2α＋π4)π4＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋2cos cos 2απ4π4π4＝×2sin αcos α＋(2cos 2α－1)＋cos 2α22222＝sin αcos α＋2cos 2α－2222＝××＋2×2－23101102(110)22＝－＝0.521022三、解答题13.已知角α在第一象限且cos α＝，求的值.351＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)解 ∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝.3545∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－，725sin 2α＝2sin αcos α＝，2425∴原式＝1＋2(cos 2αcosπ4＋sin 2αsin π4)cos α＝＝.1＋cos 2α＋sin 2αcos α145四、探究与拓展14.等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为 .23答案 459解析 设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝，23sin B ＝＝＝.1－cos2B 1－(23)253所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B＝2sin B cos B ＝2××＝.532345915.已知π<α<π，化简：32＋.1＋sin α1＋cos α－1－cos α1－sin α1＋cos α＋1－cos α解 ∵π<α<π，∴<<π，32π2α234∴＝|cos |＝－cos ，1＋cos α2α22α2＝|sin |＝sin .1－cos α2α22α2∴＋1＋sin α1＋cos α－1－cos α1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝＋1＋sin α－2(cosα2＋sin α2)1－sin α2(sin α2－cos α2)＝＋(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2)＝－cos .2α2。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式教案 新人教A版必修4
3.1.1 两角差的余弦公式一、教材分析《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构 及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
三、教学重点难点重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点 探索过程的组织和引导。
四、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
五、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课前准备1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。
2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）创设情景，揭示课题以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。
并针对问题中的0cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。
教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C 点处往该点正对的地面上的A 点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15 （2）0cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。
数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式教学案无答案新人教A版必修(1)
3.3.1 两角差的余弦公式使用说明与学法指导1、认真自学课本，牢记基础知识，弄清课本例题，试完成教学案练习，掌握基本题型，再针对疑问重新研读课本.2、限时完成，书写规范，高效学习，激情投入.3、小组长在课中讨论环节要组织高效讨论，做到互学，帮学。
一、学习目标1预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。
2通过探究得到两角差的余弦公式（重点）3对公式探索过程的理解和运用（难点）二、问题导学（自学课本后，请解答下列问题）1.如图所示，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则A 点坐标是________________，B 点坐标是______________，向量OA →＝______________，向量OB →＝______________.OA →·OB →＝______________.另一方面OA →·OB →＝|OA →| ·|OB →|·cos∠AOB ＝____________.2．两角差的余弦公式cos(α－β)＝________________________________，简记符号：C (α－β)利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：（1）ααπsin )2cos(=-； （2）cos(2)cos παα-=三、合作探究灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β计算cos 15°的值．公式的简单运用例1：求下列各式的值．(1)sin 195°＋cos 105°；(2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．变式1：求下列各式的值．(1)cos π12；(2)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)sin(x －40°)．给值求值问题例2：设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2.变式2：已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值．给值求角问题例3：已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求β的值．变式3：已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值．四、当堂检测1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )A ．cos αB ．cos βC ．cos(2α＋β)D ．sin(2α＋β)2．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝1312π，β＝54π B ．α＝1312π，β＝34π C ．α＝π2，β＝π6D ．α＝π4，β＝π63．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π64．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A ．－55 B.55 C.11525 D. 55．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12，则cos(α－β)的值为( )A.12B ．－32 C.34 D ．16．cos 47°cos 77°－sin 47°cos 167°＝________.7．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.8．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．9．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．五、我的学习总结①知识与技能方面：②数学思想与方法方面：。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦正切公式教案新人教A版必修
课题: 两角和与差的正弦、余弦、正切公式tan15精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式导学案
3.1.1.两角差的余弦公式 学习目标.1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.知识点一.两角差的余弦公式的探究思考1.如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明.答案.不正确.例如：当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos π4＝22， 而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22， 故cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝cos π6＝32， 而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32， 故cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2.计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝________；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝________；③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝________.猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝________，即____________________________________________.答案.①1.②32.③0.④12cos(α－β).cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知识点二.两角差的余弦公式思考1.单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？答案. A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β).OA →与OB →的夹角是α－β.思考2.请根据上述条件推导两角差的余弦公式.答案.①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.梳理.C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.类型一.利用两角差的余弦公式化简求值例1.计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.解.(1)方法一.原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二.原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.反思与感悟.利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.跟踪训练1.求下列各式的值：(1)cos 105°；(2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°.解.(1)原式＝cos(150°－45°)＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45° ＝－32×22＋12×22＝2－64. (2)原式＝cos(46°－16°)＝cos 30°＝32. 类型二.给值求值例2.已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值. 解.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6. 又因为α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32， 所以－π2<α－β<－π6. 所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝1517， sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫21292 ＝－2029， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2029＝155493. 反思与感悟.三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等. 跟踪训练2.已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值. 解.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π).又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 类型三.给值求角例3.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值. 解.由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos 2α＝ 1－(17)2＝437. 由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)，即cos β＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3. 反思与感悟.求解给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角. 跟踪训练3.已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值. 解.由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513. 由α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513. ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2， ∴2β＝π，则β＝π2.1.计算cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是(..) A.0B.12C.22D.32答案.C解析.cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6 ＝cos π4＝22. 2.若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b 等于(..) A.22 B.12 C.32 D.－12答案.A解析.a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22，故选A.3.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4等于(..) A.75B.15C.－75D.－15 答案.A解析.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos α＝45. ∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝cos α＋sin α＝45＋35＝75. 4.已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，求cos(α－β)的值. 解.∵(sin α＋sin β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352， (cos α＋cos β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452， 以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝－12. 5.已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)的值.解.因为sin α＝－45，180°<α<270°，所以cos α＝－35. 因为sin β＝513，90°<β<180°，所以cos β＝－1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝3665－2065＝1665.1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.课时作业一、选择题1.化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为(..) A.12B.－12C.32D.－32答案.A解析.原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12. 2.已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(π6－α)等于(..) A 3＋66 B.3－66C.－3＋66D.6－36 答案.A解析.由题意可得sin α＝63，cos α＝33， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos π6cos α＋sin π6sin α ＝32×33＋12×63＝3＋66. 3.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝513，0＜θ＜π3，则cos θ等于(..)A.53＋1226B.12－5313C.5＋12326D.5＋5313 答案.A解析.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1213. ∴cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6 ＝513×32＋1213×12＝53＋1226. 4.若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为(..)A.π6B.π4C.3π4D.5π6 答案.C解析.∵α，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，0)，2α∈(0，π)，sin(α－β)＝－255， sin 2α＝31010， ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 5.若cos(α＋β)＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝513，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为(..) A.22 B.32C.5665D.3665答案.C 解析.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α＋β∈(0，π)，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4. 又∵cos(α＋β)＝35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝513， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝35×1213＋45×513＝5665，故选C. 6.计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为(..)A.－12B.12C.32D.－32答案.B解析.sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12，故选B. 7.化简sin(x ＋y )sin(y －x )－cos(x ＋y )cos(x －y )的结果为(..)A.sin 2yB.cos 2yC.－cos 2yD.－sin 2y答案.C解析.原式＝－cos[(x ＋y )－(x －y )]＝－cos 2y ，故选C.8.已知sin(π6＋α)＝14，则cos α＋3sin α的值为(..) A.－14 B.12C.2D.－1答案.B二、填空题9.已知cos α＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<α<2π，π2<α－β<π，则cos β＝________. 答案.－1解析.由条件知sin α＝－35，sin(α－β)＝35， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－1625－925＝－1. 10.已知sin α＝1517，α∈(π2，π)，则cos(π4－α)的值为________. 答案.723411.已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则sin β＝________.答案.－1－m 2解析.cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝cos[(α－β)－α]＝m ，即cos β＝m .又∵β为第三象限角，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－m 2.12.设A ，B 为锐角△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ，2sin A )，b ＝(3cos B ，3sin B ).若a ，b 的夹角的弧度数为π3，则A －B ＝________. 答案.±π3解析.cos π3＝a ·b |a ||b |＝6(cos A cos B ＋sin A sin B )2×3＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B ).又－π2＜A －B ＜π2， ∴A －B ＝±π3. 13.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________.答案.－12解析.sin α＋sin β＝－sin γ，① cos α＋cos β＝－cos γ，② ①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12. 三、解答题14.已知cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β).解.因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π. 因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π， 所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2. 因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22. 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－22×22＋22×22＝0. 四、探究与拓展15.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β； (2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值.解.(1)∵OA ＝1，OB ＝1，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213， ∴sin α＝45，sin β＝1213， ∴cos α＝35. (2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－513， ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－513×35＋1213×45＝3365.。
2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式一导学案新人教A版必修4_
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学习目标 1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.知识点一 两角和的余弦公式思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？答案 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到.梳理公式cos(α＋β)＝cos αcos β－sinαsin β简记符号C(α＋β)使用条件α，β都是任意角记忆口决：“余余正正，符号相反”.知识点二 两角和与差的正弦公式思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案 sin(α＋β)＝cos [π2－(α＋β)]＝cos [(π2－α)－β]＝cos cos β＋sin sin β(π2－α)(π2－α)＝sin αcos β＋cos αsin β.思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？答案 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.梳理内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S (α＋β)S (α－β)公式形式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cosαsin βsin (α－β)＝sin αcos β－cosαsin β记忆口诀：“正余余正，符号相同”.类型一 给角求值例1 (1)化简求值：sin(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(63°－x )·sin(x －18°).解 (1)原式＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )－cos(x ＋27°)·sin(x －18°)＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )＋cos(x ＋27°)sin(18°－x )＝sin[(x ＋27°)＋(18°－x )]＝sin 45°＝.22(2)＝ .sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°答案 12解析 原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30 °cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝＝sin 30°＝.cos 20°sin 30°cos 20°12反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x ).解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.12(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1.类型二 给值求值例2 已知sin ＝，cos ＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β).(3π4＋α)513(π4－β)35π43π4解 ∵0<α<<β<，π43π4∴<＋α<π，－<－β<0.3π43π4π2π4又∵sin ＝，cos ＝，(3π4＋α)513(π4－β)35∴cos ＝－，sin ＝－.(3π4＋α)1213(π4－β)45∴cos(α＋β)＝sin [π2＋(α＋β)]＝sin [(3π4＋α)－(π4－β)]＝sin cos －cos sin (3π4＋α)(π4－β)(3π4＋α)(π4－β)＝×－×＝－.51335(－1213)(－45)3365反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.跟踪训练2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos π23π41213352β的值.解 ∵<β<α<，π23π4∴0<α－β<，π<α＋β<.π43π2∴sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝＝，1－(1213)2513cos(α＋β)＝－1－sin2(α＋β)＝－＝－.1－(－35)245∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－×－×＝－，451213(－35)5133365cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－×＋×＝－.451213(－35)5136365类型三 辅助角公式命题角度1 用辅助角公式化简例3 将下列各式写成A sin(ωx ＋φ)的形式：(1)sin x －cos x ；3(2)sin(－x )＋cos(－x ).24π464π4解 (1)sin x －cos x ＝2(sin x －cos x )33212＝2(cos sin x －sin cos x )π6π6＝2sin(x －).π6(2)原式＝[sin(－x )＋cos(－x )]2212π432π4＝[sin sin(－x )＋cos cos(－x )]22π6π4π6π4＝cos(－x －)＝cos(－x )＝sin(x ＋).22π4π622π12225π12反思与感悟 一般地对于a sinα＋b cosα形式的代数式，可以提取，化为a 2＋b 2A sin(ωx ＋φ)的形式，公式a sin α＋b cos α＝sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos a 2＋b 2α＝cos(α－φ))称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.a 2＋b 2跟踪训练3 sin －cos ＝ .π123π12答案 －2解析 原式＝2.(12sin π12－32cosπ12)方法一 原式＝2(cosπ3sin π12－sin π3cos π12)＝2(sinπ12cos π3－cos π12sin π3)＝2sin ＝2sin ＝－.(π12－π3)(－π4)2方法二 原式＝2(sinπ6sin π12－cos π6cos π12)＝－2(cosπ6cos π12－sin π6sin π12)＝－2cos ＝－2cos ＝－.(π6＋π12)π42命题角度2 求函数值域(最值)例4 已知函数f (x )＝2sin －2cos x ，x ∈，求函数f (x )的值域.(x ＋π6)[π2，π]解 f (x )＝2sin －2cos x ＝sin x －cos x(x ＋π6)3＝2sin，因为≤x ≤π，所以≤x －≤.(x －π6)π2π3π65π6所以≤sin≤1.12(x －π6)所以函数f (x )的值域为[1，2].反思与感悟 (1)用辅助角公式化成一角一函数，即a sin x ＋b cos x ＝sin(x ±φ)的形式.a 2＋b 2(2)根据三角函数的单调性求其值域.跟踪训练4 (1)当函数y ＝sin x －cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，x ＝ ；3(2)函数f (x )＝sin x －cos的值域为 .(x ＋π6)答案 (1) (2)[－，]5π633解析 (1)y ＝2sin(x －)，π3∵0≤x ≤2π，∴－≤x －≤，π3π35π3∴当x －＝，即x ＝时，y max ＝2.π3π25π6(2)f (x )＝sin x －cos x ＋sin x 3212＝sin x －cos x ＝sin(x －)，32323π6∴f (x )∈[－，].331.计算cos ＋sin 的值是( )2π126π12 A. B.2 C.2 D.2222答案 B解析 cos ＋sin ＝2(cos ＋sin )2π126π12212π1232π12＝22(sinπ6cos π12＋cos π6sin π12)＝2sin ＝2sin ＝2.2(π6＋π12)2π42.在△ABC 中，已知cos A ＝，sin B ＝，则cos C 等于( )51335A.－ B.16651665C.－或 D.或1665166556651665答案 B解析 ∵cos A ＝<＝cos 60°，∴60°<A <90°，51312∵sin B ＝<＝sin 60°，∴若B 为钝角，3532则B >120°，A ＋B >180°，矛盾，∴B 为锐角，且A 为锐角，sin A ＝，cos B ＝.121345∵cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－＝.(513×45－1213×35)16653.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A.－ B. C.－ D.32321212答案 D解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.124.已知锐角α、β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ .2551010答案 3π4解析 ∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，2551010∴cos α＝，sin β＝.5531010∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.5510102553101022又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.3π45.化简：sin cos －cos ·(π4－3x )(π3－3x )(π6＋3x )sin .(π4＋3x )解 原式＝sin cos －sin ·cos ＝sin (π4－3x )(π3－3x )(π3－3x )(π4－3x )[(π4－3x )－(π3－3x)]＝sin ＝sin cos －cos sin (π4－π3)π4π3π4π3＝×－×＝.221222322－641.公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C (α－β)C (α＋β)S (α＋β)S (α－β).――→以－β代换β ――→诱导公式 ――→以－β代换β (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”.(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C (α－β)，C (α＋β)，S (α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意.2.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝sin 123260°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函122232数.课时作业一、选择题1.已知α∈，sin＝，则sin α等于( )(π2，π)(α＋π4)35A.B.2107210C.－或D.－21072107210答案 B解析 由α∈，得<α＋<，(π2，π)3π4π45π4所以cos＝－ (α＋π4)1－sin2(α＋π4)＝－＝－.1－(35)245所以sin α＝sin[(α＋π4)－π4]＝sin cos －cos sin (α＋π4)π4(α＋π4)π4＝×22(35＋45)＝，故选B.72102.sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°等于( )A.－B.－3212C. D.1232答案 C解析 sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝sin 10°cos 20°＋cos 10°sin 20°＝sin(10°＋20°)＝sin 30°＝，故选C.123.在△ABC 中，A ＝，cos B ＝，则sin C 等于( )π41010 A.B.－255255C. D.－5555答案 A解析 sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝(cos B ＋)221－cos2B ＝×＝.22(1010＋31010)2554.已知0<α<<β<π，又sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β等于( )π23545A.0 B.0或2425C. D.0或－24252425答案 C解析 ∵0<α<<β<π，sin α＝，cos(α＋β)＝－，∴cos α＝，sin(α＋β)＝π2354545或－.3535∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝或0.2425∵<β<π，∴sin β＝.π224255.在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案 D解析 ∵A ＝180°－(B ＋C )，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B cos C .又∵sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，∴sin B cos C －cos B sin C ＝sin(B －C )＝0，则B ＝C ，故△ABC 为等腰三角形.6.已知cos＋sin α＝，则sin 的值为( )(α－π6)435(α＋7π6)A.－B.235235C.－D.4545答案 C解析 ∵cos＋sin α＝，(α－π6)435∴cos αcos ＋sin αsin ＋sin α＝，π6π6435∴cos α＋sin α＝，即cos α＋sin α＝，3232435123245∴sin ＝.(π6＋α)45∴sin ＝－sin ＝－.(α＋7π6)(α＋π6)45二、填空题7.sin 15°＋sin 75°的值是 .答案 62解析 sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin 45°cos 30°＝.628.已知cos(α＋)＝sin(α－)，则tan α＝ .π3π3答案 19.＝ .sin 27°＋cos 45°sin 18°cos 27°－sin 45°sin 18°答案 1解析 原式＝sin (45°－18°)＋cos 45°sin 18°cos (45°－18°)－sin 45°sin 18°＝sin 45°cos 18°－cos 45°sin 18°＋cos 45°sin 18°cos 45°cos 18°＋sin 45°sin 18°－sin 45°sin 18°＝tan 45°＝1.10.已知A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α)，若·＝－1，则sin(α＋)＝ .AC → BC → π4答案 23解析 ∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，AC → BC → ∴·＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)AC → BC → ＝cos 2α－3cos α＋sin 2α－3sin α＝1－3(sin α＋cos α)＝1－3(sin α＋cos α)22222＝1－3sin(α＋)＝－1，2π4∴sin(α＋)＝.π423三、解答题11.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，求β的值.551010解 ∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝.55255∵－<α－β<且sin(α－β)＝－，π2π21010∴cos(α－β)＝，31010∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝×＋×＝.1010255310105522又∵β为锐角，∴β＝.π412.已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin45的值.(β＋π4)解 ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，45∴sin β＝－，又β是第三象限角，45∴cos β＝－＝－.1－sin2β35∴sin＝sin βcos ＋cos βsin (β＋π4)π4π4＝×＋×(－45)22(－35)22＝－.721013.已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈(0，).551010π2求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值.解 (1)因为α，β∈(0，)，π2所以α－β∈(－，)，π2π2又sin(α－β)＝>0，1010所以0<α－β<.π2所以sin α＝＝，1－cos2α255cos(α－β)＝＝，1－sin2(α－β)31010cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝.55310102551010210(2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.5531010255101022又因为β∈(0，)，所以β＝.π2π4四、探究与拓展14.定义运算＝ad －bc .若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则|a b c d |17|sin α sin βcos α cos β|3314π2β＝ .答案 π3解析 由题意，得sin αcos β－cos αsin β＝，3314∴sin(α－β)＝.3314∵0＜β＜α＜，π2∴cos(α－β)＝ ＝.1－271961314又由cos α＝，得sin α＝.17437∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×171314437＝，331412∴β＝.π315.已知函数f (x )＝A sin ，x ∈R ，且f ＝.(x ＋π3)(5π12)322(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝，θ∈，求f (－θ).3(0，π2)π6解 (1)由f ＝A sin (5π12)(5π12＋π3)＝A sin ＝＝，可得A ＝3.3π4A 22322(2)f (θ)－f (－θ)＝，3则3sin －3sin ＝，(θ＋π3)(π3－θ)3即3－3＝，(12sin θ＋32cos θ)(32cos θ－12sin θ)3故sin θ＝.33因为θ∈，所以cos θ＝，(0，π2)63所以f (－θ)＝3sin π6(π6－θ＋π3)＝3sin ＝3cos θ＝.(π2－θ)6。
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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.(重点)2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.(难点)3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.(易错点)[基础·初探]教材整理1 两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________.【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0.【答案】0教材整理2 两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题.1.公式y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θ＝a a 2＋b 2，sinθ＝b a 2＋b 2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立.( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立.( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 【解析】 (1)√.根据公式的推导过程可得.(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立. (4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 教材整理3 两角和与差的正切公式阅读教材P 129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立.( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立.( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtan β).( )【解析】 (1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立.(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z ).(3)√.当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子.【答案】 (1)√ (2)× (3)√[小组合作型]灵活应用和、差角公式化简三角函数式(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A.－32B.－12C.12D.32(2)化简求值： ①1＋tan 75°1－tan 75°；②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)； ③tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°. 【精彩点拨】 (1)化简求值应注意公式的逆用.(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值. 【自主解答】 (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝＋－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.【答案】 C(2)①原式＝tan 45°＋tan 75°1－tan 45°tan 75°＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3. ∴原式＝－ 3. ②设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.∴原式＝0.③原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°·tan 40°＝ 3. ∴原式＝ 3.1.公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示出或求出第三个.2.化简过程中注意“1”与“tan π4”，“3”与“tan π3”，“12”与“cos π3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.[再练一题] 1.化简求值：(1)cos 61°cos 16°＋sin 61°sin 16°； (2)sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°； (3)1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°.【解】 (1)原式＝cos(61°－16°)＝cos 45°＝22. (2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.(3)原式＝1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°＝－1－＝－33.给值求值已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝513，求sin(α＋β)的值. 【导学号：00680069】【精彩点拨】 可先考虑拆角，π＋α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，然后再利用sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)求值.【自主解答】 因为π4<α<34π，所以π2<π4＋α<π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45. 又因为0<β<π4，34π<34π＋β<π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513 ＝6365.1.本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系.如本题中巧用β＝(α＋β)－α这一关系.2.常见角的变换为(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α； (2)α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β， α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝π2＋(α＋β)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝π2＋(α－β).[再练一题]2.已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β). 【解】 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－45，所以sin α＝－35.因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan β＝－13，所以cos β＝－31010，sin β＝1010.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1010＝31010.给值求角已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋β的值.【精彩点拨】 sin α，sin β→求cos α，cos β→求α＋β→确定α＋β的范围→求α＋β的值【自主解答】 ∵sin α＝55，α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝25 5.又sin β＝1010，β为锐角， ∴cos β＝1－sin 2β＝31010.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α＋β<π，因此α＋β＝π4.1.求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解.2.求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.[再练一题]3.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，试求角α的大小.【解】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)，由cos(α－β)＝35，知sin(α－β)＝45.由sin β＝－210，知cos β＝7210. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝22. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π4.[探究共研型]辅助角公式的应用探究1 能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2？【提示】 sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22 cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.探究2 函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的最大值是多少？【提示】 f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x )的最大值为2.探究3 如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式. 【提示】 a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ， 令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝b a 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定).求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值.【精彩点拨】 先将f (x )化为a sin(x ＋20°)＋b cos(x ＋20°)形式，再利用辅助角公式化为a 2＋b 2·sin(x ＋φ)的形式，即可求得f (x )的最大值.【自主解答】 f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60° ＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5322sin(x ＋20°＋φ) ＝7sin(x ＋20°＋φ)，其中cos φ＝1114，sin φ＝5314，所以f (x )max ＝7.1.对于形如sin α±cos α，3sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式.2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则.[再练一题]4.函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A.[－2,2]B.[]－3，3C.[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 【解析】 f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]. 故选B. 【答案】 B1.化简：sin 21°cos 81°－cos 21°·sin 81°等于( ) A.12 B.－12C.32D.－32【解析】 原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.故选D. 【答案】 D2.已知α是锐角，sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )【导学号：00680070】 A.－210 B.210 C.－25D.25【解析】 因为α是锐角，sin α＝35，所以cos α＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝22×45－22×35＝210.故选B.【答案】 B3.函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为( )A.－2B.－ 3C.－ 2D.－1【解析】 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∵0≤x ≤π2，∴－π4≤x －π4≤π4，－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤22，∴f (x )的最小值为－1. 【答案】 D 4.计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.【解析】3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1. 【答案】 15.已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. 【解】 ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式导学案(无答案)新人教A版必修4(20
山东省平邑县高中数学第三章三角恒等变换3.1.1 两角差的余弦公式导学案（无答案）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省平邑县高中数学第三章三角恒等变换3.1.1 两角差的余弦公式导学案（无答案）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1.1两角差的余弦公式【学习目标】1.理解用三角函数线或向量方法推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式及其应用.【新知自学】 知识回顾1、三角函数线的有关定义?2、三角函数中，已学习了哪些基本的三角函数公式?新知梳理1、设βα,为两个任意角， 你能判断βαβαcos cos )cos(-=-恒成立吗？2、我们设想)cos(βα-的值与βα,的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什cos(60°－30°）cos60° cos30° sin60° sin30° 23 21 23 23 21 cos(120°－60°）cos120° cos60° sin120° sin60° 21 21- 21 23 23 )cos(-=3、试推导上述公式(利用三角函数线）思考感悟βα,适用于任意角吗?2、公式的特点是什么?如何记忆？公式能逆用吗？对点练习cos17等于 （ ）A.cos200cos30—sin200sin30B 。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式教案 新人教A版必修4(1)
3.1.1 两角差的余弦公式1.公式C(α-β)的推导是本节的难点:(1)结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;(2)探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其讨论线索进行探索,然后再作反思,予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则).其中完善的过程既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.2.学习本节内容的要求是:经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用,强调掌握数学公式,应用公式解决相关问题.3.本节的教学重点是两角差的余弦公式的应用,主要涉及两角差的余弦公式的正用、逆用和变形应用、直接求三角函数式的值或结合向量进行综合命题.1.已知角α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,求β-α的值.解:由已知得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β,将两式分别平方,然后相加得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1.∴sin2β-2sin βsin α+sin2α+cos2α-2cos αcos β+cos2β=1,即cos βcos α+sin βsin α=.∴cos(β-α)=.又∵α,β,γ∈,且sin γ=sin β-sin α>0,∴0<β-α<,∴β-α=.2.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈.(1)求sin θ和cos θ的值;(2)若sin(θ-φ)=,0<φ<,求cos φ的值.解:(1)∵a⊥b,∴sin θ-2cos θ=0.∵θ∈,sin2θ+cos2θ=1,∴sin θ=,cos θ=.(2)∵0<φ<,0<θ<,∴-<θ-φ<.∵sin(θ-φ)=,∴cos(θ-φ)=.∴cos φ=cos[θ-(θ-φ)]=cos θcos(θ-φ)+sin θsin(θ-φ)=.3.设向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),其中0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,求β-α.解:2a+b=(2cos α+cos β,2sin α+sin β),a-2b=(cos α-2cos β,sin α-2sin β).∵|2a+b|=|a-2b|,∴|2a+b|2=|a-2b|2.∴(2cos α+cos β)2+(2sin α+sin β)2=(cos α-2cos β)2+(sin α-2sin β)2.∴4+4cos αcos β+4sin αsin β+1=1-4cos αcos β-4sin αsin β+4.∴8cos αcos β+8sin αsin β=0.∴cos(β-α)=0.又0<α<β<π,∴0<β-α<π.∴β-α=.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)导学案新人教A版必修4(
2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）导学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）导学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二）学习目标1。
能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式。
2。
能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用。
知识点一两角和与差的正切公式思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式?答案 tan（α＋β)＝错误!＝错误!，分子分母同除以cos αcos β，便可得到.思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案用－β替换tan（α＋β)中的β即可得到.梳理名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β）＝tan α＋tan β1－tan αtan βα,β，α＋β均不等于kπ＋错误!(k∈Z）两角差的正切T（α－β)tan（α－β)＝错误!α,β,α－β均不等于kπ＋错误!（k∈Z）知识点二两角和与差的正切公式的变形（1)T(α＋β)的变形:tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β).tan α＋tan β＋tan αtan βtan（α＋β）＝tan(α＋β).tan αtan β＝1－错误!。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案 新人教A版必修4(
高中数学第三章三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案新人教A版必修4(1)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案新人教A版必修4(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1。
2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.知识与技能(1）能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用。
（2)能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式。
(3)掌握两角和与差的正切公式及变形应用。
2.过程与方法经历以两角差的余弦公式为基础导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程，了解它们的内在联系;体会化归与转化的数学思想方法.3。
情感、态度与价值观通过本节的学习和运用实践，使学生学会用联系转化的观点去处理问题,加强学生的应用意识，激发学生的学习兴趣,体会数学的科学价值与应用价值.重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用.难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用。
和角与差角的正弦、余弦和正切公式的推导以公式C(α—β）为基础推导的其他公式（1)推导cos（α+β）=cos αcos β—sin αsin β。
在公式C（α—β）中,令-β代替β，则有cos（α+β)=cos αcos(-β)+sin αsin（-β）=cos αcos β-sin αsin β.即cos(α+β）=cos αcos β—sin αsin β。
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3.1.1 两角差的余弦公式学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.知识点一 两角差的余弦公式的探究思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明. 答案 不正确.例如：当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos π4＝22，而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22，故cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝cos π6＝32，而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32，故cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想. ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝________； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝________； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝________. 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝________，即____________________________________________. 答案 ①1 ②32 ③0 ④12cos(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 知识点二 两角差的余弦公式思考1 单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？答案 A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β).OA →与OB →的夹角是α－β.思考2 请根据上述条件推导两角差的余弦公式. 答案 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)， ②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.梳理 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.类型一 利用两角差的余弦公式化简求值例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°) ＝cos(－90°) ＝cos 90° ＝0.反思与感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路： (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos 105°；(2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°. 解 (1)原式＝cos(150°－45°)＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45° ＝－32×22＋12×22＝2－64. (2)原式＝cos(46°－16°)＝cos 30°＝32. 类型二 给值求值例2 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值.解 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6.又因为α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32，所以－π2<α－β<－π6.所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝1517， sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫21292＝－2029，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2029＝155493. 反思与感悟 三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.跟踪训练2 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值.解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π).又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 类型三 给值求角例3 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值.解 由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－(17)2＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)， 即cos β＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值. 解 由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴2β＝π，则β＝π2.1.计算cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A.0B.12C.22D.32答案 C解析 cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6 ＝cos π4＝22.2.若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b 等于( ) A.22 B.12 C.32D.－12答案 A解析 a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22，故选A.3.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A.75 B.15 C.－75D.－15答案 A解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos α＝45.∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝cos α＋sin α＝45＋35＝75.4.已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，求cos(α－β)的值.解 ∵(sin α＋sin β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352，(cos α＋cos β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452，以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.5.已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)的值.解 因为sin α＝－45，180°<α<270°，所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°<β<180°，所以cos β＝－1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝3665－2065＝1665.1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值； (2)确定角所在的范围(找区间)； (3)确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.课时作业一、选择题1.化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为( ) A.12 B.－12C.32D.－32答案 A解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.2.已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(π6－α)等于( )A3＋66B.3－66 C.－3＋66D.6－36答案 A解析 由题意可得sin α＝63，cos α＝33， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos π6cos α＋sin π6sin α＝32×33＋12×63＝3＋66. 3.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝513，0＜θ＜π3，则cos θ等于( )A.53＋1226 B.12－5313 C.5＋12326D.5＋5313答案 A解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1213.∴cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＝513×32＋1213×12＝53＋1226. 4.若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.5π6答案 C解析 ∵α，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，0)，2α∈(0，π)，sin(α－β)＝－255， sin 2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.5.若cos(α＋β)＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝513，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A.22 B.32 C.5665 D.3665答案 C解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.又∵cos(α＋β)＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝513， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35×1213＋45×513＝5665，故选C. 6.计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为( ) A.－12B.12C.32D.－32答案 B解析 sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67° ＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23° ＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12，故选B.7.化简sin(x ＋y )sin(y －x )－cos(x ＋y )cos(x －y )的结果为( ) A.sin 2y B.cos 2y C.－cos 2y D.－sin 2y答案 C解析 原式＝－cos[(x ＋y )－(x －y )]＝－cos 2y ，故选C. 8.已知sin(π6＋α)＝14，则cos α＋3sin α的值为( )A.－14B.12 C.2 D.－1答案 B 二、填空题9.已知cos α＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<α<2π，π2<α－β<π，则cos β＝________.答案 －1解析 由条件知sin α＝－35，sin(α－β)＝35，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－1625－925＝－1.10.已知sin α＝1517，α∈(π2，π)，则cos(π4－α)的值为________.答案723411.已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则sin β＝________. 答案 －1－m 2解析 cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α ＝cos[(α－β)－α]＝m ， 即cos β＝m . 又∵β为第三象限角，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－m 2.12.设A ，B 为锐角△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ，2sin A )，b ＝(3cos B ，3sin B ).若a ，b 的夹角的弧度数为π3，则A －B ＝________.答案 ±π3解析 cos π3＝a ·b |a ||b |＝6(cos A cos B ＋sin A sin B )2×3＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B ). 又－π2＜A －B ＜π2，∴A －B ＝±π3.13.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________.答案 －12解析 sin α＋sin β＝－sin γ，① cos α＋cos β＝－cos γ，② ①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12. 三、解答题14.已知cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β).解 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π. 因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π， 所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2. 因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22. 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－22×22＋22×22＝0. 四、探究与拓展15.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值.解 (1)∵OA ＝1，OB ＝1，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213， ∴sin α＝45，sin β＝1213， ∴cos α＝35. (2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－513， ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－513×35＋1213×45＝3365.。