晶体学符号

单。又依布拉维法则，晶体总是为面网密度较大的面网所
包围，所以为简单整数比。
晶体学
2. 晶带符号
晶带(zone)
交棱相互平行的一组晶面.
晶带轴(zone axis)
用以表示晶带方向的一根直线，它平行于该晶带中的所有晶 面，也就是平行于该晶带中各个晶面的ຫໍສະໝຸດ Baidu共交棱方向
晶带符号(zone symbol)
(2 1 0) (1 1 0)
晶体学
晶面符号
四轴定向时的晶面符号:
定义同三轴定向 用(h k i l)的形式表达 指数依次与X、Y、U和Z轴相对 应 存在 h + k + i = 0； 例如： （1120）（1011）等。
晶体学
晶面符号
在晶体模型上怎么写晶面符号？因为我们并不 知道晶面截晶轴的截距系数，但我们可以知道 截距大小相对关系。
等轴晶系的定向:
共有5个点群: 432, m3m, -43m, 23, m3
晶格常数为: a = b = g = 90°, a = b = c 三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
晶体学
各晶系的定向法则
等轴晶系的定向
Point group = m3m
在晶体上用相应的晶带轴(晶棱)符号来表示
举例: 立方体, 菱形十二面体
晶体学
晶带符号
例如
(1-10), (100), (110), (010)…的交棱相互平行， 组成一个晶带; 直线CC’即 可表达为此晶带的晶带轴
此组晶棱的符号,即该晶带 轴的符号，为[001]（或者 [00-1]）晶带 在wulff网上的投影？
晶体学
晶面符号
米氏指数(Miller indices) ：用来表达晶面在晶体上方向的一 组无公约数的整数，它们的具体数值等于该晶面在结晶轴上 所截截距系数的倒数比。
如果将米氏指数按顺序连写，并置于园括号内, 表达为(h k l) 或（hkil）, 便构成了晶面的米氏符号。
按X、Y、Z轴顺序，不得颠倒！ 只有空间方位意义，不能确定空间位置
表4-1
定向举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
晶体学
晶体定向原则
晶体的三轴定向:
选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体
晶体的四轴定向:
适用于六方和三方晶系(why?) 一个直立轴，三个水平轴
晶体学
晶体定向原则
三轴定向和 四轴定向的 比较
晶体学
三、各晶系的定向法则
宏观对称是一致的,所以晶轴与三个行列就是一致的。
晶体学
四、晶面符号与晶棱符号
1. 晶面符号(面号，face symbol):
所谓晶面符号就是根据晶面(或晶体中平行于晶面
的其他平面)与晶轴的空间关系，用简单的数字符 号形式来表达它们在晶体上方位的的一种晶体学 符号; 目前国际上通用的都是米氏符号(Miller’s symbol)，
A O Y B a b
y = (12 3 4)
X
晶体学
晶面符号
某晶面在X,Y,Z轴上的截距为 2a,3b,6c, 那么截距系数为2, 3, 6, 倒数为1/2, 1/3, 1/6, 化简以 后的倒数比为3:2:1, 写做(321), 这就是该晶面的米氏符号。 注意：三个晶轴上的轴单位不
一定相等，所以，截距系数与
我们将a:b:c 称为轴率，α、β、γ称轴角，轴 率与轴角统称晶体常数。见表4－1.表中列出的是 晶体常数特点。因为根据晶体的宏观形态只能定 出晶体常数特点，不能定出晶体常数。
晶体学
晶体定向的概念
各晶系的晶体几何常数特点
等轴晶系：a = b = c，a = b = g = 90； 四方晶系：a = b ≠ c，a = b = g = 90； 三方和六方晶系：a = b ≠ c，a = b = 90，g = 120； 三方晶系菱面体格子：a = b = c，a = b = g ≠ 60 ≠ 90≠ 10928’16’’ 斜方晶系：a ≠ b ≠ c，a = b = g = 90； 单斜晶系：a ≠ b ≠ c，a = g = 90，b > 90； 三斜晶系：a ≠ b ≠ c，a ≠ b ≠ g；
晶体学
晶体定向的概念
在三个行列上有晶胞参数(a,b,c； α ,β ,γ ),这些 参数就构成了三个晶轴上的轴单位和晶轴之间的夹角。
晶体学
晶体定向的概念
晶体外形不可能知道轴单位，但根据对称性 可知道轴单位之间的比值关系，即： a:b:c 例如：等轴晶系的 a:b:c =?
四方晶系的 a:b:c =?
晶体学
各晶系的定向法则
单斜晶系的定向:
Point group = 2/m
晶体学
各晶系的定向法则
三斜晶系的定向:
共有2个点群: 1, -1 晶格常数为: a ≠ b ≠ g ≠ 90 °, a ≠ b ≠ c
适当的晶棱为 x, y, z 轴
大致上 z 轴直立， y 轴左右， x 轴前后
晶体学
五、整数定律与晶带定律
1. 整数定律
如果以平行于三根不共面
晶棱的直线作为坐标轴，
则晶体上任意二晶面在三 个坐标轴上所截截距的比
值之比为一简单整数比
为什么? 因为指数越简单的晶面对应到内部结构是面网密度大的面 网，而面网密度大的面网容易形成晶面，所以实际晶体上 的晶面就是晶面指数简单的晶面。
晶体学
晶体学
各晶系的定向法则
三方和六方晶系的四轴定向
选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直 z 轴的
平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或P的法 线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(U轴) 共有12个点群:
晶格常数为: a = b = 90°, g =120°, a = b ≠ c z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
例如: (示范模型): 八面体（111）、四方双锥（hhl） 斜方双锥（hkl）
晶体学
2. 晶棱符号（edge symbol）:
晶棱符号是表征晶棱（直线）方向的符号,以中括号
中简单数字的形式 [u v w]表示。
方法: 将晶棱(或其他直线)移至经过晶体中心(即坐标原 点), 然后在直线上任取一点,该点在三根晶轴上的坐标系
布拉维法则
实际晶面为面网密 度大 的面网所包围
晶体学
整数定律
1) 截距系数之比为整数比：
因为晶面是面网，晶轴是行列，晶面与晶轴之交点为结点，
或平移相交于结点。因此，若以晶轴之结点间距为度量单 位，则晶面在晶轴上的截距系数之比为整数比。 2) 为简单整数比： 晶体面网密度越大，则晶面在晶轴上的截距系数之比越简
晶体学
各晶系的定向法则
斜方晶系的定向:
Point group = mmm
晶体学
各晶系的定向法则
单斜晶系的定向:
共有3个点群: 2, 2/m, m
晶格常数为: a = b = 90°, g > 90°, a ≠ b ≠ c L2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴 z 轴起立， y 轴左右水平， x 轴前后向前下倾斜
Z U Y
Z
X
三个晶轴不一定垂直
X
Y
120º
晶体学
为什么要定向？
1、对称性不是决定外形的唯一因素，如同 一对称型，它可以有多种晶形。
2、确切地描述一个晶体，就必须确定晶面
的空间的相对位置。
3、由于晶体的各向异性，要描述不同方向
的物理性质，也必须定向。
晶体学
晶体定向的概念
几个基本术语:
晶轴（crystallographic axis）: x, y, z 轴角（interaxial angle）: a = y^z, b = x^z, g = x^y 轴长（axial unit distance）: a, b, c 轴率（axial ratios）: a:b:c 晶体常数（crystal constants）: a:b:c, a, b, g
晶体学
晶体定向的概念
各晶系的晶体几何常数特点
晶体学
二、晶体的定向原则:
1）与晶体的对称特点相符合(既一般都以对称要素作晶
轴，要么对称轴，要么对称面法线);
2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为90度,且a ＝b＝c. 每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶 轴的具体方法也不同，见P.42表4-1(此表非常重要， 要熟记).
a x
y a
axial ratio = a:b = 0.80
晶体学
晶面符号
举例（2D）
b
unit cell shape
x = (1 1 0) y = (2 1 0)
b
a
x
y
a
axial ratio = a:b = 1.60
晶体学
晶面符号
举例（3D）
c
C
Z
x = (1 1 1) y = (h k l) = ?
数比值写进方括号即可。
举例: 立方体、八面体垂直晶面的直线符号分别:[100],[111]
晶体学
晶棱符号
用简单数字符号形式表达 晶棱符号只涉及方向, 不涉 及具体位置 表达为[r s t]或[u v w] u:v:w = MR/a : MK/b : MF/c
此例：[u v w] = [1 2 3]
截距不一定成正比。
晶体学
b
晶面符号
(1 1 0)
(2 1 0)
(1 0 0) a
Can you index the rest?
晶体学
b
晶面符号
(0 1 0) (1 1 0)
(1 1 0) (2 1 0) (1 0 0) a
(2 1 0) -a (1 0 0)
(2 1 0)
(1 1 0) -b (0 1 0)
第五章 晶体定向和晶体学符号
crystal orientating and crystallographic symbols


晶体定向的概念
晶体定向的原则
晶系的定向法则
晶面符号与晶棱符号 整数定律与晶带定律
晶体学
一、晶体定向的概念
晶体定向(crystal orientation): 在晶体中设置符合晶体对称特征与 格子参数相一致的坐标系，并将晶体按相应的空间取向关系作好 安置（就是在晶体中确定坐标系统） 。 以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴组成,也可由 X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系)。
晶体学
各晶系的定向法则
四方晶系的定向:
共有7个点群: 422, 4/mmm, -42m, 4mm, 4, 4/m, -4 晶格常数为: a = b = g = 90°, a = b ≠ c 唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互垂直的L2, 或相互垂直的 对称面法线, 或适当的晶棱为 x, y 轴 z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平
晶体学
各晶系的定向法则
三方和六方晶系的四轴定向
point group = -3m
晶体学
各晶系的定向法则
请注意: 在晶体的宏观形态上根据对称特点选出的三根
晶轴，与晶体内部结构的空间格子的三个不共面的行 列方向是一致的。
为什么? 因为空间格子中三个不共面的行列也是根据
晶体的对称性,人为地画出来的。而晶轴也是根据晶体 的对称性,人为地选出来的。晶体的内部对称与晶体的
h,k,l三个数互质，满足通过原点的平面方程hx+ky+lz＝0
晶轴有正负方向，指数的负号写在上面 若晶面和某一晶轴平行，相应的晶面指数为0
晶面可与晶轴垂直, 平行或斜交
考察若干模型晶面的晶面符号
晶体学
晶面符号
举例（2D）
b
unit cell shape
x = (1 2 0) y = (1 1 0)
亦称米勒符号。
晶体学
晶面符号
晶面符号的确定:
晶体上任意一个晶面，若它在三个结 晶轴X轴、Y轴、Z轴上的截距依次为 OA、OB、OC, 已知轴率为a∶b∶c， 则该晶面在晶轴上的截距系数p, q, r分 别为: p = OA/a, q = OB/b, r = OC/c 其倒数比 1/p:1/q:1/r = h : k : l 晶面指数(米氏指数): 取h:k:l的最简单 整数比, 此时的h, k, l就称为晶面指数;
晶体学
各晶系的定向法则
四方晶系的定向
Point group
= 4/mmm
晶体学
各晶系的定向法则
斜方晶系的定向:
共有3个点群: 222, mmm, mm2
晶格常数为: a = b = g = 90°, a ≠ b ≠ c 三个相互垂直的L2为 z, x, y 轴; 或L2为z轴, 相互 垂直的对称面法线为 x, y 轴 z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平