函数的单调性学案

3.2函数的性质——单调性
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观察天津市2008年11月29日的气温时段图，此图反映了0时至14时的气温T（ Ｃ）随时间t（h）变化的情况．
回答下面的问题：
（1）时，气温最低，最低气温为 Ｃ，时气温最高，最高气温为°Ｃ．
（2）随着时间的增加，在时间段0时到6时的时间段内，气温不断地；6时到14时这个时间段内，气温不断地．
下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况
.
从上图可以看到，有些时候该股票的价格随着时间推移在上涨，即时间增加股
票价格也增加；有时该股票的价格随着时间推移在下跌，即时间增加股票价格反而减小．
类似地，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质就是函数的单调性．设函数()
y f x
=在区间(),a b内有意义．
（1）如图（1）所示，在区间(),a b内，随着自变量的增加，函数值不断增大，图
像呈上升趋势．即对于任意的()
12
,,
x x a b
∈，当
12
x x
<时，都有()()
12
f x f x
<成立．这时把函数()
f x叫做区间(),a b内的__________，区间(),a b叫做函数()
f x的__________．
（2）如图（2）所示，在区间(),a b内，随着自变量的增加，函数值不断减小，图
像呈下降趋势．即对于任意的()
12
,,
x x a b
∈，当
12
x x
<时，都有()()
12
f x f x
>成立．这时函数()
f x叫做区间(),a b内的__________，区间(),a b叫做函数()
f x的
__________．
图（1）图（2）
如果函数()
f x在区间(),a b内是增函数（或减函数），那么，就称函数()
f x在区间(),a b内具有单调性，区间(),a b叫做函数()
f x的__________．
问题3：（如图）定义在区间上的函数
的图象，根据图象说出
的单调区间，以及在每一单调区间上，是单调增函数还是单调减函数。

问题4：由一次函数y kx b
=+（0
k≠）的图像（如下图）可知：（1）当0
k>时，图像从____至____上升，函数是单调____函数；
（2）当0
k<时，图像从____至____下降，函数是单调____函数．问题5：由反比例函数
k
y
x
=的图像（如下图）可知：
（1）当0
k>时，在各象限中y值分别随x值的增大而减小，函数是单调_________函数；
（2）当0
k<时，在各象限中y值分别随x值的增大而增大，函数是单调_________函数．
小结：用定义法证明函数单调的一般步骤：
（1）取值：设是给定区间上的任意两个值，且；
（2）作差与变形：作差，变形，一般化成几个因子积的形式（或平方和形式）；
（3）判断：确定的符号；
（4）结论。