北师大版高中数学必修一综合学业质量标准检测1

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作综合学业质量标准检测(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·全国卷Ⅰ理，1)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则导学号 00815066( A )A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅[解析] 由3x <1，得x <0，∴B ＝{x |3x <1}＝{x |x <0}． ∴A ∩B ＝{x |x <1}∩{x |x <0}＝{x |x <0}，故选A ． 2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为导学号 00815067( B )A ．1B ．0C ．－1D ．π[解析] ∵g (π)＝0，∴f (g (π))＝f (0)＝0.3．函数y ＝－x 2＋4x 的增区间是导学号 00815068( D ) A ．[－2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2] [解析] 函数y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，则对称轴是x ＝2，所以当x ≤2时，函数是增加的．4．下列各组函数，在同一直角坐标中，f (x )与g (x )有相同图像的一组是导学号 00815069( D )A ．f (x )＝(x 2)12，g (x )＝(x 12 )2B ．f (x )＝x 2－9x ＋3，g (x )＝x －3C ．f (x )＝(x 12 )2，g (x )＝2log 2xD ．f (x )＝x ，g (x )＝lg10x[解析] 选项A 中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)；选项B 中，f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，g (x )的定义域为R ；选项C中，f (x )＝(x 12 )2＝x ，x ∈[0，＋∞)，g (x )＝2log 2x ，x ∈(0，＋∞)，定义域和对应关系都不同；选项D 中，g (x )＝lg10x ＝x lg10＝x ，故选D ．5．函数y ＝ln x ＋2x －6的零点，必定位于如下哪一个区间导学号 00815070( B ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(4,5)[解析] 令f (x )＝ln x ＋2x －6，设f (x 0)＝0， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0， 又f (2)＝ln2－2<0，f (2)·f (3)<0， ∴x 0∈(2,3)．6．已知f (x )是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f (x )>f (2－x )，则x 的取值范围是导学号 00815071( D )A ．x >1B ．x <1C ．0<x <2D ．1<x <2[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >02－x >0x >2－x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0x <2x >1，∴x ∈(1,2)，故选D ． 7．已知x 12＋x－12＝5，则x 2＋1x的值为导学号 00815072( B )A ．5B ．23C ．25D ．27[解析] x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝(x 12＋x－12 )2－2＝52－2＝23.故选B ．8．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图，则下列结论成立的是导学号 00815073( D )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1[解析] 本题考查对数函数的图像以及图像的平移．由单调性知0<a <1.又图像向左平移，没有超过1个单位长度．故0<c <1，∴选D ． 9．若函数f (x )＝(1－m )x 2－2mx －5是偶函数，则f (x )在R 上导学号 00815074( A ) A ．先减少后增加 B ．先增加后减少 C ．单调递增D ．单调递减[解析] 因为f (x )为偶函数，所以m ＝0. 所以f (x )＝x 2－5.因为f (x )的图像是开口向上的抛物线， 所以f (x )在R 上先减少后增加．10．(23)23 ，(25)23 ，(23)13 的大小关系为导学号 00815075( D ) A ．(23)13 >(25)23 >(23)23 B ．(25)23 >(23)13 >(23)23C ．(23)23 >(23)13 >(25)23 D ．(23)13 >(23)23 >(25)23[解析] ∵y ＝(23)x 为减函数，13<23，∴(23)13 >(23)23 . 又∵y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，且23>25，∴(23)23 >(25)23 ， ∴(23)13 >(23)23 >(25)23 .故选D ． 11．已知函数f (x )＝log 12 x ，则方程(12)|x |＝|f (x )|的实根个数是导学号 00815076( B )A ．1B ．2C ．3D ．2006[解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(12)|x |及y ＝|log 12 x |的图像如图所示，易得B ．12．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，“好点”的个数为导学号 00815077( C )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与y ＝x 没有交点， ∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)，∴点M 、N 、P 一定不是好点．可验证：点Q (2,2)是指数函数y ＝(2)x 和对数函数y ＝log 2x 的交点，点G (2，12)在指数函数y ＝(22)x上，且在对数函数y ＝log 4x 上．故选C ． 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若已知A ∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A 共有_4__个.导学号 00815078[解析] ∵A ∩{－1,0,1}＝{0,1}， ∴0,1∈A 且－1∉A ．又∵A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}， ∴1∈A 且至多－2,0,2∈A ． 故0,1∈A 且至多－2,2∈A ．∴满足条件的A 只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个．14．已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2，2)，则f (9)＝_3__.导学号 00815079 [解析] 设f (x )＝x α.因为图象过点(2，2)，所以2＝2α.所以α＝12.所以f (x )＝x 12 .所以f (9)＝912＝3.15．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为 (12，1) .导学号 00815080[解析] 设f (x )＝x 3－6x 2＋4， 显然f (0)>0，f (1)<0， 又f (12)＝(12)3－6×(12)2＋4>0，∴下一步可断定方程的根所在的区间为(12，1)．16．函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递减区间是_(3，＋∞)__.导学号 00815081[解析] 先求定义域，∵x 2－3x >0，∴x >3或x <0， 又∵y ＝log 13u 是减函数，且u ＝x 2－3x .即求u 的增区间．∴所求区间为(3，＋∞)．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设全集U 为R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，求A ∪B ．导学号 00815082[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}， ∴2∈B,2∉A,4∈A,4∉B ，根据元素与集合的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 42＋4p ＋12＝022－10＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝6.∴A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3,4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意． ∴A ∪B ＝{2,3,4}． 18．(本小题满分12分)(1)279＋3338＋3×100－30.064； (2)设4a ＝5b ＝100，求2(1a ＋2b )的值.导学号 00815083[解析] (1)原式＝259＋3278＋3－3(0.4)3＝(53)2＋3(32)2＋3－0.4＝53＋32＋3－25＝17330(2)∵4a ＝100，∴a ＝log 4100.同理可得，b ＝log 5100， 则1a ＝1log 4100＝log 1004，1b ＝1log 5100＝log 1005， ∴1a ＋2b ＝log 1004＋2log 1005＝log 100(4×52)＝log 100100＝1.∴2(1a ＋2b )＝2. 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝|x 2－2x －3|，导学号 00815084 (1)求函数f (x )的零点；(2)在给出的平面直角坐标系中直接画出函数f (x )的图像，并写出单调区间．[解析] (1)由f (x )＝0，得|x 2－2x －3|＝0， 即x 2－2x －3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3. 所以函数f (x )的零点为－1,3.(2)在平面直角坐标系中作出的函数f (x )的图像如图所示．函数的单调减区间为(－∞，－1]，(1,3]； 函数的单调增区间为(－1,1]，(3，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a 2＋x 2－x (0<a <1).导学号 00815085(1)试判断f (x )的奇偶性； (2)解不等式f (x )≥log a 2.[解析] (1)由2＋x2－x >0，得－2<x <2，故f (x )的定义域为(－2,2)，关于原点对称．又f (－x )＝log a 2－x 2＋x ＝log a (2＋x 2－x )－1＝f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)f (x )≥log a 2，即log a 2＋x2－x ≥log a 2.因为0<a <1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2－x >0，2＋x2－x ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，3x －2x －2≥0.解得－2<x ≤23，故不等式的解集为{x |－2<x ≤23}．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1x ，其中a 为常数导学号 00815086(1)根据a 的不同取值，判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若a ∈(1,3)，判断函数f (x )在[1,2]上的单调性，并说明理由． [解析] (1)f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，关于原点对称， f (－x )＝a (－x )2＋1－x ＝ax 2－1x ，当a ＝0时，f (－x )＝－f (x )为奇函数，当a ≠0时，由f (1)＝a ＋1，f (－1)＝a －1，知f (－1)≠－f (1)，故f (x )即不是奇函数也不是偶函数．(2)设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)[a (x 1＋x 2)－1x 1x 2]， 由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4,1＜x 1x 2＜4， －1<－1x 1x 2<－14，又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．22．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a x －1.其中a >0且a ≠1.导学号 00815087(1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)解关于x 的不等式－1<f (x －1)<4，结果用集合或区间表示． [解析] (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)，即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝a －x －1.由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )， ∵f (－x )＝a －x －1，∴f (x )＝－a －x ＋1(x <0)．∴所求的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1(x ≥0)－a －x ＋1(x <0).(3)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0－1<－a－x ＋1＋1<4或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0－1<a x －1－1<4， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1<0－3<a －x ＋1<2或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥00<a x －1<5. 当a >1时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x <1x >1－log a2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x <1＋log a 5 注意此时log a 2>0，log a 5>0，可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)． 同理可得，当0<a <1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a >1时，不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)； 当0<a <1时，不等式的解集为R .。