关于Smarandache幂函数的混合均值

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关于Smarandache双阶乘函数与近似伪Smarandache函数的混合均值

２０１７年３月
西南民族大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｆｏｒＮａｔｉｏｎｌｉａｔｉｅｓ（ＮａｔｕｒｌａＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｓｄｆ（１）＝ｌ，Ｓｄｆ（２）＝２，ｓａｆ（３）＝３，ｓｄｆ（４）＝４，ｓｄｆ（５）＝５，Ｓｄｆ（６）＝６，Ｓｄｆ（７）＝７， … ．
Ｏｎｔｈｅｈｙｂｒｉｄｍｅａｎｖａｌｕｅｏｆｔｈ ห้องสมุดไป่ตู้ Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅｄｏｕｂｌｅｆａｃｔｏｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｐｓｅｕｄｏ－Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅｆｎｃｕｔｉｏｎ
黄
摘
炜
７２１０１３）
（宝鸡职业技术学院基础部，陕西宝鸡
要：利用初等方法和解析方法，研究了著名Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅ双阶乘函数ｓｄｆ（ｎ）与近似伪Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅ函数Ｕ（ｎ）及
ｎｄａｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｐｓｅｕｄｏ－Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｓｏｍｅｈｙｂｉｄｒｍｅａｎｐｏｐｒｅｒｔｉｅｓａｎｄｓｏｍｅａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｆｏｒｍｕｌａｓｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ，ｗｈｉｃｈｈｅｌｐｅｄｔｏｐｒｏｍｏｔｅｔｈｅｒｅｌｅｖａｎｔｒｅｓｅａｒｃｈｗｏｒｋｏｆｃｌａｓｓｉｃｌａａｉｒｔｈｍｅｔｉｃｌａｆｕｎｃｔｉｏｎ．

两个smarandache复合函数的均值估计

两个smarandache复合函数的均值估计Smarandache复合函数的均值估计是一种常用的参数估计方法，它可以更准确地估计参数，关键是它具有快速性和准确度，因此受到许多研究者和应用程序开发者的青睐。

一、概述Smarandache复合函数的均值估计是一个简单而强大的统计方法，它能够提供更加准确的参数估计结果，以更少的计算时间。

它的原理是，首先给出一个数据集，然后采用Smarandache复合函数进行模拟，以确定这些参数均值的最佳估计值，而无需进行额外的拟合和试验。

二、估计方法1. 先在相应的数据集上取一组随机样本x1,x2,x3…xn；2. 设定参数α，β，γ；将该组样本带入SE函数求得y1….yn；计算样本点坐标和其它常数的中点，作为参数的初始值θ0；3. 用σ2(θ0)估测模型均方误差，然后采用最小二乘法求解得到的参数值θ为最接近的参数均值；4. 之后将参数带入SE函数，求得模型输出值y1,y2,y3…yn；5. 计算模型输出坐标的中点作为最优估计值。

三、优点1. 可以低成本地估计出参数的均值，而无需进行正则化等复杂运算；2. 具有快速性和精确度，比传统S方法具有更小的均方根误差，而计算速度更快；3. 可以针对不同类型的数据集进行计算，使参数估计更加准确；4. 模型参数变化时，该模型能够自动调整，使参数均值更加准确；5. 可以应用到不少大数据和复杂系统的参数估计中；6. 具有灵活性，可以根据个别的数据分析情况调整参数，从而得到更好的结果。

四、缺点1. 对数据集中参数范围较大的情况要求较高，且结果不一定准确；2. 不具有可推广性，它无法有效地拟合其他基本曲线方程；3. 程序复杂且不易调试，要求研究者具有较强的数学和编程能力。

五、应用Smarandache复合函数的均值估计非常适合于各种大数据和复杂系统的参数估计，如金融市场的数据分析及应用，机器学习的训练集参数估计，社交网络中的行为分析等。

关于smarandache可乘函数的β次混合均值

关于smarandache可乘函数的β次混合均值Smarandache可乘函数的β次混合均值
1. 什么是Smarandache可乘函数？
Smarandache可乘函数是由罗马尼亚传教士、数学家米拉多塔罗什·斯马兰达凯开发的一种函数，从而可以从给定的实数序列或者多均值问题中求出最佳均值。

Smarandache可乘函数将非常复杂的计算简化成一个可乘函数：当多个变量存在且每个变量的值可合理模拟时，可以解决复杂的问题，例如求解线性可加和混合均值。

2. β次混合均值
β次混合均值是一种重要的计算方式，它由一组样本中的所有观测值组成，其中β指的是每个数据的权重。

β次混合均值用来计算一组数据的混合均值，这等于将一组数据中的每个值乘以一个系数，然后将它们加起来除以系数之和。

β次混合均值又称为加权混合均值，因为它将一组数据中每个数据的权重考虑在内。

3. 使用Smarandache可乘函数计算β次混合均值
Smarandache可乘函数是一种特别有用的方法，可以用来求解以下β次混合均值问题。

首先，设定数据集中的每个数据的权重β为1/n，其中n为数据集的数据项数。

这是一种有效的方法，因为它相当于把所有数
据的权重平分，从而使每个数据的影响都一样。

然后，使用Smarandache可乘函数来平衡权重因子，然后使用以下公式来计算β次混合均值：μ=ΣXᵢ/Σβ。

以上就是关于Smarandache可乘函数的β次混合均值的内容，它可以用来求解许多非常复杂的问题，并且帮助人们在多变量和异质环境下获取更有效的结果。

Smarandache双阶乘函数及其混合均值

⑥
２１ＳｉＴｃ．ｎｎ．００ｃｅｈＥｇｇ．
Ｓｒｎａｈ双阶乘函数及其混合均值ｍａａｄｃｅ
张博
西安７０１）１０８（西交通职业技术学院基础部陕
摘要利用初等方法和解析方法，研究了双阶乘函数Ｊ（）ｓｎ的性质，了矿获得几个较强的均值性质及渐进公式。
是可计算常数。定理２对任意的实数，任意固定的正整数对
ｋｋ≥ ２（）及ｒ有渐近公式，
ｃ一ｎ翳蔷＋＋ｓ．ｓｃ＝毫
Ｄ）（。
学院基础部副教授，研究方向：基础数学。
４６４４
那么：
Ⅱ 《
（几ｓ）一ｓｎ（
厶圭篙＋－ｒ１１『
ｌ
＋
ｎｘ１ｉ７＝２５
∑ （ａｎ一（）ｓ（）Ｐｎ）ｆ＝∑ （ｄｎ一ｉ）＋Ｓ（）Ｐｎ）ｄ
：
。）（。３
２几个引理及其证明
ｊ埋１肘于仕伺买数 ≥ １有渐近公式Ｊ，
介绍了这一函数，献［３研究了有关文］
ｌ
、
主Ｓ一散，时出Ｄｈｔ方ｄｎ敛性同给了ｉａｎ程ｆ）（ｏｎｅｐｉ
２１３月３００年１日收到国家自然科学基金项目（０７１５）１６１５陕西省自然科学基金项目（Ｊ８２）助Ｓ０Ａ８资第一作者简介：张博（９３）１６一，男，安人，西交通职业技术西陕

关于Smarandache双阶乘函数sdf(n)的均值估计

证明了下面结论：
书中引入Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅ双阶乘函数ｓｄｆ（ｎ），对于任意正整数，Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅ双阶乘函数ｓｄｆ（）定
一
对于任意实数－ｚ ≥２，有渐近公式：
义为最小的正整数ｍ，使得Ｉｍ！！，其中！！一
Ｐ，Ａ（ｎ）ｓｄｆ（ｎ）＝＝＝
≤
｛：：：＝＝＝：ｉ，，即就是ｓ厂ｃ一ｍｉｎｍ：，ｚｔ
美籍罗马尼亚著名数论专家Ｆ．Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅ
教授在他所著的《ＯｎｌｙＰｒｏｂｌｅｍｓ，ＮｏｔＳｏｌｕｔｉｏｎｓ》［］
ＧａｏＪｉｎｇ在文［２］中研究了Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅ双阶乘函数ｓｄｆ（ｎ）与Ｍａｎｇｏｌｄｔ函数Ａ（）的混合均值问题，
ｍｕｌａｆｏｒｔｈｅＳｍａｒａｎｄａｅｈｅＤｏｕｂｌｅＦａｃｔｏｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｕｓｓｏｌｖｅｓｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｐｒｏｐｏｓｅｄｂｙＦｅｌｉｃｅＲｕｓ —
计的渐近公式。从而解决了ＦｅｌｉｃｅＲｕｓｓｏ在文献［４］中提出的问题。
关键词Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅ双阶乘函数ｓｄｆ（ｎ），均值估计；渐近公式

smarandache函数的均值分布性质

smarandache函数的均值分布性质
弗拉克·苏马兰达谢函数（Franek Smaradache Function，简称FSF）已被认可为线性算法模型中的最优方案，其在不同领域都得到了普遍应用。

FSF是一种最佳拟合算法，它在数学模型计算中提供高度精确的结果。

FSF均值分布性质是FSF函数的基本性质，均值分布指的是给定数据集的聚合特性。

通常情况下，数据集中的每一项元素都遵行相同的数学模型，以表示其内在特性和聚合特性。

基于FSF函数的均值分布特性，可以利用数据集的聚合信息来估算其内在决策规则，从而对关键数据进行更严格的分类和分组归纳。

此外，尽管FSF函数提供非常精确的拟合结果，但是它的均值分布性质也为实际应用提供了一定的支持。

由于它作为一种均值分布特性，可以使用数据集来帮助优化这些算法，提高模型准确性和稳定性。

因此，FSF函数的均值分布性质对不同领域的有效处理和适配都提供了有效的支持。

总之，FSF函数的均值分布特性为不同数学模型提供了最佳拟合结果，提供高度精确的优化机制。

同时，它还可以有效支持实际应用，帮助优化模型的准确性和稳定性，为不同领域的有效处理和适配提供有效的支持。

关于F.Smarandache简单函数与Dirichlet除数和函数的混合均值

ｒｎａｈ简单函数如下：ａｄｃｅ定义ｌ设，为正整数，ｍａａｄｃｅ简单函数定义为：满足Ｐｆ！的最小正整数 ∈ ｚＳｒｎａｈＳ（）ｍｉｌ ”ｌｎ优 ∈ Ｎ＋｝ｎ一ｎ｛！，Ｐ７．，即
究．［］文献６研究了ｄＳ（）（ｐ）的均值性质，出渐近公式：∑ ｄｓ（）＝２（一２ｎｎ）得（ｐ）ｘ１ｎ十ｉｉｚ
≤
Ｏ（ｎ．文主要研究（）ｘＩ）本Ｓ（）的渐近性质，中（）除数和函数，其是２并且得ห้องสมุดไป่ตู้到了两个较为精确的渐近
文献［］义了Ｓｒｎａｈ简单函数的加法类似函数如下：２定ｍａａｄｅｅ
定义２设Ｓ（ｚ一ｍｉ ∈ 』： ≤ ！｝（ ∈ （，。）和Ｓ（￡一ｍａ ∈ Ｎ：！ ≤ Ｐ｝，）ｎ（＼Ｐ，！１。）７）ｘ｛！
第３９卷第５期
２１００年９月
内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）
ＪｕｎｌｆＩｎｒＭｏｇｌｒｌＵｎｖｒｉ（ｔｒｌｃｅｃｄｔｏ）ｏｒａｎｅｎｏｉＮｏｍａｉｅｓｔＮａｕａｉｎｅＥｉｎｏａｙＳｉ
引理ｌ对任意实数ｚ≥ １有，
收稿Ｆ期：５１ — ５１Ｊ＇００ — ２０
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１５；西安工程大学校管科研项目１６１５）作者简介：朱敏慧（９７，，西富平人，１７一）女陕西安工程大学讲师，要从事数论研究， — ｉｘａ－ｚｕ２＠ｓｈ．ｏ主Ｅｍａ：ｉｌｏｈ１３ｏｕｃｒｎ

一个包含有FOSmarandacheLCM函数SL(n)的混合均值

Ｃ＝｛，ｚ：，２＝ｐ－ …ｐ，５， ∈ ［１，】）利用人（，ｚ）的定义，［１，］的分法及．）的性质知：
∑Ａ（ｎ）ＳＬ（ｎ）＝ ∑Ａ（ｎ）ＳＬ（，ｚ）＋ ∑人（）（）＋ ∑Ａ（ｎ）ＳＬ（ｎ）．
ｎ＝ｐ … 是的标准分解式，那么
ＳＬ（ｎ）＝ｍａｘ｛ｐ？．
数是，
．
（１）
许多学者对（，ｚ）的初等性质进行了研究，并取得了许多具有一定意义的研究成果．例如文［２］当ｎ是一个素
（）＝ＳＬ（ｐ）＝Ｓ（ｐ）．
ｌ，２，ａ＇３， …，．是满足＞Ｐ “ （＝１，２， … ）的正整数．［４］利用
（ｎ）与除数函数的混合均值．
收稿日期：２０１３－０４ — ０９
）的定义和性质研究了Ｆ．Ｓｍｒａｎｄａｃｈｅ函数
（）＝（，ｚ），（，２） ≠ｒ／７．
并证明了下面的结论：
（２）
（３）
其中．ｓＩ（）＝ｍｉｎ｛ｍ：ｎｌｍ！，ｍ ∈ Ⅳ ｝文［３］中解决了下面的问题
任何满足上式的整数都可表示成／／１：１２或＝。ｐ …ｐＰ其中Ｐｌ，Ｐ２，Ｐ３， …，Ｐ，Ｐ是不同的素数且
［１］，例如ＳＬ（１）＝１，ＳＬ（２）＝２，ＳＬ（３）＝３，ＳＬ（４）＝４，ｓＬ（５）＝５，乩（６）＝３，ＳＬ（７）＝７，ＳＬ（８）＝８，ＳＬ（９）＝９，．（１Ｏ）＝５，ＳＬ（１１）＝１ｌ，ＳＬ（１２）：４，ＳＬ（１３）＝１３… 由ＳＬ（ｎ）的定义我们容易推出如果

关于Smarandache函数S(n)与除数函数d(n)的混合均值

求出使ｆ１３式成立的所有正整数解
Ｓ（）（）（）Ｌｎ＝Ｓ礼，ｎ ≠ｎｓ
文『完全解决了这个问题，５１并证明了下面结论
收稿日期：２０１２０％１－８
（）３
基金项目：国家自然科学基金（Ｏ７５，１６ｕ５）
樊旭辉，一，赵春翔
（．１西安市武警工程学院基础部，陕西西安７０８１０６；２西北大学数学系，．陕西两安７０２）１１７
摘要：对于任意的正整数ｎ著名的Ｓｒｎａｈ，ｍａａｄｃｅ函数Ｓｎ（）定义为最小的正整数ｍ，使得礼！即就是ｓ佗＝ｍｉ｛：ｉ， ∈ ）本文的主要目的是应用初等ｌ，ｍ（）ｎｍｈｍ！．ｍ方法研究ｓｎ与除数函ｄｎ的加权均值问题，（）数（）并获得一个有趣的渐进公式．
∑ ｄ）佗（ｓ）ｎ（
ｎ＜ｘ
中，将区间［中的正整数ｎ分为两个集合和Ｂ其中集合Ａ包含所有那些满足存在素１］，，数Ｐ使得Ｐｆ礼且Ｐ＞的正整数；而集合Ｂ包含所有那些在区间【ｘ中不属于集合的１］，
正整数．
注意剑除数函数ｄｎ是可乘函数，（）结合（）１式及集合的定义有
即就是５ｎ＝ｍｎｍ：１， ∈Ｎ．．）ｉ｛凡ｍ！（ｍ）对于任意正整数仃＞１礼＝Ｐ； … ｓｎ的标准，ｌ叫ｐ是
分解式．由定义容易推出
ｓｎ＝ｍａ｛（￣）ｓｐ。，一，（｝（）（）ｘＳｐ，（）・ｓｐ）三ｓｐ
（１）

关于Smarandache函数与除数函数的均值问题

计算的常数且ｎ。＝１。
定理
对任意的实数或复数Ｏｌ和实数 ≥３，有
引理３设Ｐ为素数，ｍ为正整数，当ｍ≤ 时，
则有渐近公式
渐近公式
收稿日期：２０１７—０４— １１
基金项目：陕西省科技厅科学技术研究发展计划项目（２０１３ＪＱ１０１９）；延安大学校级科研计划项目一引导项目（ＹＤ２０１４— ０５）作者简介：郑璐（１９９５一），男，陕西咸阳人，延安大学硕士研究生。
第３６卷第２期 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ０１７年６月
延安大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹａｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ＿３６Ｎｏ．２
Ｓ一２
，Ｌ
ｌ
ｓｔ２
２２ｔ３ｏ，（ｍｐ２）ｐ４＝
证明：由ｎＡｂｅｌ恒等式及引理２可得
＼＋４／
—
（ａ＋Ｔ
Ｊ
２
【
）
｜ｘ
＋主ｉ邑加Ｉ＋。（蔫５）Ｊ＇，
第２期
５
关于Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅ函数与除数函数的均值问题
／
２ａ＋４
２ ” 丁
２
厂

一个包含Smarandache指数函数ep(n)的混合均值

文献标志码：Ａ
文章编号：０７１６（０２０ —０４０１０ —２１２１）３００ — ２
Ｔｈｙｒｄｍｅｎｖｌｅｏｎｏｖｎｇｅｈｂｉａａｕｆｉｖｌｉ
ｔｅＳｒｎａｈｘｏｅｔｆｎｔｏｐ）ｈｍａａｄｃｅｅｐｎｎｕｃｉｎｅ（
Ｄ０１ＣＮＫＩ６ — １９／２１０２．８００１：：１２０Ｎ．０２５２１０．０
ｈｔ｝ｗ．ｎｉｎｔｋｍｓｄｔｉ６．２０．２１０２．８００１ｈｍｌｔｐ｜ｃｋ．ｅ／ｃ／ｅａｌ１１９Ｎ．０２５２１０．０．ｔ／
ｆｍｌ∑ｐ ”ｆａｐｏｅ．ｏｕｒａｅｏｉｗｓｒｖｎｒｔ
≤
Ｋｅｒｓ：Ｓｍａａｄａｈｅｅｐｏｎｔｆｎｃｉｎ；ｈｙｉａａｕｙｗｏｄｒｎｃｘｎｅｕｔｏｂｒｄｍｅｎｖｌｅ；ａｙｓｍｐｔｉｏｍｕｌｅｏｔｃｆｒａ
ＭＳ２０：１１３Ｃ０１Ｂ８
１引言及结论
对于任意给定的素数Ｐ及正整数，ｍａａｄｃｅ指数函数ｅ（）义为最大的正整数ａ使得ＰＳｒｎａｈ定整
除 ” 即：ｎ一ｍａ｛：，。，ｅ（）ｘｏＰｌ）ｔｚ
ｐｏｐｒｉｓｆｈｓｅｒｅｔｅｏｔｉｎｗａｉｈｅｉｆｃｉｎｒｏａｎｅｒｔｍｔｃｕｎｔｏａｅｂｔｉｄ．ＣｏｌｓｏｎｃｕｉｎＳｏｍｅｃｕａｅｓｍｐｏｉａｃｒｔａｙｔｔｃ

关于F.Smarandache LCM函数与素因数和函数的一个混合均值

Ａｂｔａｔｏｎｏｉｖｎｅｅ，ｈａｕ．ｍａａｄｃｅＬｓｒｃ：ＦｒａｙｐｓｉｅｉｔｇｒｎｔｅｆｍｏｓＦＳｒｎａｈＣＭｕｃｉｎ乩（）ｉｄｆｅｓｔｅｓｌｌｓｔｆｎｔｏｓｅｎｄａｈｍａｅｔｉ
ｐｓｉｔｅｓｃａｎ［，，，ｈｒ１２ …，］ｄｎｔｔｅｅｓｃｍｏｕｉｉ，，ｏｉｅｉｅｒｕｈｔｔ１２ …，］ｗｅｔｎｇｖｈｌｅ［，，ｅｏａｍｎｍｌｐｅｏ１２ …，．ｅｈｌｔｏｔｌｓｆ
ｎ是一个素数，那么Ｓ（）Ｓ，Ｌｎ＝（）这里．是ＦＳａｎａｈ函数，５＝ｉｍ：Ｉ，）ｓ）．ｍｒｄｃｅ（ａ即（）ｍｎ（ｎｍ！ｍＥ．此外，Ｎ
文献［］究了乩（）３研ｎ的均值问题，明了对任意给定的正整数ｋ及任意实数ｘ２有渐近公式证＞
乩鲁＋Ｄ）ｃ鲁。等＋・ｎ＝（
对任意的正整数凡如果它的标准分解式是ｎＰ－ … ，，－ｌｐｚ令
１收稿日期：２０１－１ —２０４
＝ｐ＋＋，ｐ＋： … 则称
）凡的素因为
１７０３；０ＯＪ４０；基金项目：国家自然科学基金资助项目（２１９）陕西省教育厅专项科研计划项目（７Ｋ３）延安大学自然科学专项
对任意的正整数，著名的ＦＳａｎａｈＣ．ｍｒｄｃｅＭ函数乩（）ａＬ定义为最小正整数ｋ使得ｎ［，，，，１２ …，］Ｉ

一些Smarandache函数及数列的方程求解和均值的开题报告

一些Smarandache函数及数列的方程求解和均值的开题报告课题背景Smarandache函数和数列是由罗马尼亚数学家Florentin Smarandache于1980年提出的一类数学问题。

这些问题涉及到整数、质数、素数等数论概念，是研究数论的重要领域。

本次研究将重点研究一些Smarandache函数和数列，包括求他们的方程解和均值。

研究目的本次研究的目的是：1. 深入了解Smarandache函数和数列的基本概念和性质；2. 研究一些Smarandache函数和数列的方程解；3. 求解某些Smarandache函数和数列的均值，探究它们的规律。

研究方法本次研究采用数学理论与计算机软件相结合的方法。

在数学理论的基础上，借助计算机软件对数学问题进行数值计算和模拟实验，并进行数据统计和分析。

研究内容本次研究主要涉及以下内容：1. Smarandache素数函数方程解求解考虑Smarandache素数函数f(n)= n + sp(n)，其中sp(n)为n的平方数因子和。

对于这个函数，我们需要求解下列方程：f(n+1)-f(n)=k，其中k为一个已知的整数。

在研究过程中，我们将使用计算机软件来解决这个问题，并对结果进行分析和讨论。

2. 平方数总和Smarandache数列均值求解定义一个平方数总和Smarandache数列为：a(1)=1，a(n)=a(n-1)+n^2。

我们需要求解该数列的前n项平均值，即s(n)= (a(1)+a(2)+...+a(n))/n。

在研究过程中，我们将使用计算机软件来计算和分析该数列在不同n取值时的均值。

结论与展望本次研究将对Smarandache函数和数列的方程解和均值求解进行深入研究，相信可以为数学界的相关研究和应用提供有价值的参考。

未来，我们还将持续关注Smarandache函数和数列的研究，探索更多领域的可能性。

关于Smarandache LCM函数与k次补数的一个混合均值

＋（）Ｄｋ）Ｄ＋（ｘ。３２
其中Ｖｎ函数定义为：（）＝１当ｎ＞１且凡（）Ｖ１，：Ｐ，，ｎ的标准素因子分解式时，（）ｐ …ｐ为Ｖｎ＝ｒｉ１ｌＯＰ，ａｎ｛Ｐ，Ｌ２… ，。其中Ｃ（＝１２，）２｝ｉ， …ｋ是
［］２里证明了如果／７，是一个素数，那么乩（）．２／：
．ｎ，里．ｎ是ＦＳａａｄｃｅ函数，ｓ）这（ｓ）（．ｍｒｎａｈ即就是
．几＝ｍｉｍ：，ｓ）（ｎ｛／ｎ∈Ｎ｝２ｍ！ｌ。文献［］究了乩３研（）２／的均值问题，明了对任意给定的正整数ｋ及证
解析方法，究复合函数ｓ（）与／的最大素因子函数Ｐｎ的均方差，到了一个较强的渐研Ｌｂ（）２（）得
近公式。
关键词：ｍｒｎａｈＣ函数；ＳａａｄｃｅＬＭｋ次补数；均值；近公式渐
中图分类号：１６４０５．
［，，，］其中ｎ［，，ｋ表示１２ … ，１２ … ｋ，Ｉ１２ …，］，，的最小公倍数。设 ≥２为给定的整数，（）６ｎ定义
为最小的正整数使得ｂ（）・为完全ｋ次幂，／／２２则称ｂ（）／的ｋ次补数。本文主要利用初等及／为７２，
基金项目：陕西省教育厅专项科研计划项目（７Ｋ３）０Ｊ４０作者简介：柴晶霞（９６）女，１８一，陕西府谷人，延安大学在读硕士研究生。

一个新的Smarandache函数的均值

ｚ（）１ｎ＋一ｓ ” 及ｚ（一ｓｎ（））（）的可解性，文献［］解决了该问题，出了这两个方程的所有正整数解．３给陆亚明＿究了方程４研
ｓ＋Ｉ＋…＋）（ｎ２一∑ ｓ）（
的可解性，用解析数论中著名的三素数定理证明了对任意正整数ｋ≥ ３该方程有无穷多组正整数解利，
作者简介：李毅君（９８一）女，西省西安市人，１７，陕西安石油大学讲师，要从事基础数学的教学与研究， — ｉｌｉｎ０９１６ｃｔ主Ｅｍａ［ｉｊ２０＠２．ｏｒ：ｙｕｔ
第３期
李毅君：一个新的Ｓｒｎａｈｍａａｄｃｅ函数的均值
李粉菊等证明了对任意素数Ｐ≥ １７和任意不同的正整数ｎ及ｂ有估计式Ｓａ＋ｂ）８，（ ≥ ｐ＋１王锦．
瑞讨论了Ｓｒｎａｈ函数对费尔马数的下界估计问题，明了对任意正整数ｎ≥ ３有估计式ｍａａｄｃｅ证
当实数Ｘ＞１时有渐近公式ｃ（）一・号＋ｏ（，ｎｚ）
ｎｚ ≤ ≤ｚ一、
一
・１ｎ２＋Ｏ（ｎｘ）１・
Ｖｏ１４ｌ．ＮＯ．３
Ｍａ０１ｙ２２
一
个新的Ｓｒｎａｈｍａａｄｃｅ函数的均值
李毅君
（安石油大学理学院，西西安７０６）西陕１０５

关于Smarandache函数LS_n_均值研究

黄
1 炜，马
焱
2
（ 1. 宝鸡职业技术学院基础部； 2. 宝鸡文理学院经济管理系，陕西宝鸡 721013 ）
摘要：著名的 Smarandache 函数 S（ n）定义为：对于任意正整数 n，存在最小的正整数 m，使得 n | m！， m∈N｝，即： S（ n） = min｛ m： n | m！，本文利用初等及解析方法，研究了 LS（ n）的均值分布性质，否定了美籍数论专家 F. Luca 教授提出的一个猜想。关键词：函数 LS（ n）；分布性质；猜想；渐近公式中图分类号： O156． 4 文献标识码： A 602X（ 2012 ） 01001903 文章编号： 10041，行许多有益的研究，提出了许多有意义的猜想［ 1 2， 3］， Luca 教授在文献［ 2］中讨论了函数 A （ x ） = x
pk≤x （ p， k） = 1 ［8 ］
lnS（ n） ≥xlnx + O（ x）
（ 7）
，从
（ 5 ）和（ 7 ）式，由（ 4 ）、有：
n≤ x
lnS（ n） ≥xlnx + O（ x） lnS（ n） = xlnx + O）式，有：
lnS（ n） = lnS（ n） + lnS（ n）
n≤ x n∈ A n≤ x n∈ B
（ 4）
…p 表示 n 的标准分解式， 2， …，如果 α i ＞ 2 （ i = 1 ， n），那么称 n 为 square － full 数。令 A2 （ x ）表示不超过 x 的 square － full 数的集合，有渐近公式： 3 2 ） 1 ζ（） 1 2 3 A2 （ x ） = x2 + x3 + ζ（ 3 ） ζ（ 2 ） ζ（ 2 O（ x exp（－ C log x （ loglogx） 5

关于广义Smarandache和函数的均值

笔者定义了一个新的Ｓｒｎａｈ和函数ＡＳ（，）：ｍａａｄｃｅ，惫设，ｋ≥ １２整数， ≥ ０是任意一个是个
＊
收稿日期：０１２— Ｏ２１ —１２
基金项目：家自然科学基金资助项目（１７１４；西省自然科学基金资助项目（Ｊ８２）国】０１９）陕Ｓ０Ａ８
例如，
ＡＳ７９２一ＩＩｌ —２＋ｌ —４＋Ｉ —６＋ｌ —８＋ｌ —１（，，）＋０＋７７ｌ７Ｉ７ｌ７ｌ７１Ｉ～１ｌ —１Ｉ — １１７２＋４＋Ｉ７Ｉ７６一４，ＩＡ（，，）＝ｌ１１ —２＋『 —４＋１ —６＋１ —８＋ｌ —１０Ｓ７３２＝＋７＝７７ＩＩ７１７Ｉ７ｏ一２，ｌＡ（，，）ｌｌＩ —３＋Ｉ —６＋ｌ —９＋Ｉ —１ｌ —１７Ｓ９６３一＋９９ｌ９ｌ９Ｉ９２＋ｌ９５一２，ｌＡ（５５４＝ｌ５－５ｌ５Ｉ５２＋ｌ５１Ｉｌ５ｏ＝４．Ｓ１，，）＝４１ —４＋ —８＋ —１ — ６＋ —２＝２＝１１－ｌｌ１ｌ１Ｉ１１Ｉ＝
ｌｒ＋］ＬＪＩ
— —
７＋＋．ｋ詈壶ｘ
（一ｋ，ｉ并给出如下均）
ｉ０
文献Ｅ］将Ｓｒｎａｈ４ｍａａｄｃｅ和函数ｓ（ｋ做了推广，，，），）ｓ（ｍｋ一 ∑
值公式：
ｓ，矗；一）＋１ｋｍ３ｚＲ，，，＋（ｚ（ｃ志一去１。１＋＋一＋ｃｍｋｍ愚２ｚ）其Ｉｚ）鲁＋［表高取函，ｚ示大ｚ最整．中（忌≤ ，示斯整数即］不于的大数，ＩＲｚ］［表

关于F.Smaradache LCM函数与除数函数σ_α(n)的混合均值

ＬＭ函数与除数函数（）Ｃ的混合均值，出一个较强的渐近公式．给关键词：．ｍａａｄｃｅＬＭ函数；数函数；合均值；渐近公式ＦＳｒｎａｈＣ除混
中图分类号：５．０１６４文献标志码：Ａ文章编号：１０－７５２１）６０６－３０１８３（０００ — ５００
Ｓ５一５Ｓ６一３，Ｌ（）７ｓ８：８，Ｌ（）９Ｓ（Ｏ一５Ｓ（１一１，Ｌ（２＝４，Ｌ（３一１，Ｌ（），Ｌ（）Ｓ７一，Ｌ（）Ｓ９一，ＬＩ），Ｌ１）１Ｓ１）Ｓ１）３
Ｓ１），Ｌ（５一５ｓ１）６ … 由ＳｎＬ（４一７Ｓ１），Ｌ（６一１，Ｌ（）的定义容易推出，如果一夕 §… ｐ｛ｚ｝是的标准分解
第３卷第６９期
２１００年ｌ１月
内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）
ＪｕｎｌｆＩｎｒＭｏｇｌｒａＵｎｖｒｉ（ｔｒｌｃｅｃｉｉｎｏｒａｎｅｎｏｉＮｏｍｌｏａｉｅｓｔＮａｕａｉｎｅＥｄｔ）ｙＳｏ
第６期
付静等：于ＦＳｒｄｃｅＣ函数与除数函数（）的混合均值关．ｍａａａｈＭＬ
．５１．６
其中Ｃ（一１２ … ，）可计算的常数．ｉ，，南是本文的主要目的是研究一个包含ＦＳｒｎａｈＣ函数Ｓ，．ｍａａｄｃｅＬＭＬ（）与除数函数ｃ（）的混合均值１ｒ，口２

关于Smarandache双阶乘函数的一个混合均值

基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１４７１００７）；陕西省科技厅科学技术研究发展计划项目（２ｏ１３ＪＱ１０１９）；延安
大学校级科研计划项目（ＹＤ２０１４— ０５）；延安市２０１６年度微型课题（１３５ＹＷＸ一１４６１）
第３期
鲁伟阳，等：关于Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅ双阶乘函数的一个混合均值
均值问题（其中（，１）为除数函数），得到２个较强的渐近公式．
引理１＂设 ∈ Ｒ，ｚ ≥ ２，则有丌（）＝＝
Ｍａｙ２０１７
２０１７年５月
文章编号：１００７— ２９８５（２０１７）０３— ０００４— ０４
关于Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅ双阶乘函数的一个混合均值
鲁伟阳，高丽
（１．延安中学，陕西延安７１６０００；２．延安大学数学与
作者简介：鲁伟阳（１９８９一），男，陕西兴平人，延安中学中教二级教师，理学硕士，主要从事数论研究通信作者：高
研究．
丽（１９６６一），女，陕西绥德人，延安大学数学与计算机科学学院教授，硕士生导师，主要从事解析数论
中！！一｛２ ’ ｊ ‘ ｍ ’ ：即Ｓｄｆ（）一ｍｉｎ｛ｍ：ｍ ∈ Ｎ，ｌ！｝．有关这一函数，许多学者进行了研：２，即）一ｍｉｎ｛ｍ：ｍ ∈ Ｎ，ｌ！！！｝・有关这一函数，许多学者进行了研

Smarandache函数方素数可解性均值同余论文

Smarandache函数方程以及均值问题研究【摘要】数论,这个被誉为“数学之女王”的领域,一直深受人们的追捧.而关于各种数论函数性质的研究一直是数论研究领域的一个重要课题.1993年,在《Only Problem, Not Solutions!》一书中,一系列新的数论函数、序列及猜想被著名的美籍罗马尼亚数论专家Florentin Smarandache教授首次提了出来,同时他建议人们对相关问题进行研究,这为数论开拓了一个新的研究方向.近年来,国内外许多数论专家和学者对这一课题进行了深入的研究和探索,并取得了很多丰硕的成果,同时又涌现出一系列新的与Smarandache函数相关的问题.本文基于对上述Smarandache函数问题的兴趣,从素数这一基本“材料”出发,运用初等及解析的方法,对Smarandache函数的算数性质进行研究,完美解决了一些包含Smarandache函数的特殊方程的可解性问题,同时还给出了一个关于Smarandache函数的均值估计.具体来说,包括以下三个方面的内容：1.运用初等方法,对包含Smarandache对偶函数S*(n)和Smarandache ceil函数Sk(n)的方程的可解性进行了研究,证明了该方程具... 更多还原【Abstract】 Number theory, which is called "the queen ofmathematics", has always been pursued by many people, and the properties of all kinds of arithmetical functions are always the main subject in number theory. In 1993, a series of new arithmetical functions, sequences and conjectures werepresented by Florentin Smarandache in the book《Only Problems, Not Solutions!》, who is a famous American-Romanian number theorist, and he suggested making a study on the relevant problems, which open up a new subject f... 更多还原【关键词】Smarandache函数；方程；素数；可解性；均值；同余；【Key words】Smarandache function；Equation；Prime；Solvability；Mean value；Congru-ence；中文摘要3-5英文摘要5-6第一章绪论9-12§1.1 研究背景与课题意义9-10§1.2 主要成果和内容组织10-12第二章数论概述12-16§2.1 数论的发展12-14§2.2 数论之魅力14§2.3 数论的应用14-16第三章关于Smarandache对偶函数和Smarandache ceil函数的方程16-20§3.1 引言16-18§3.2 定理的证明18-20第四章关于Smarandache函数及其均值20-26§4.1 引言20-21§4.2 引理21-22§4.3 定理的证明22-26第五章关于Smarandache双阶乘函数26-39§5.1 Smarandache双阶乘函数与欧拉函数26-33§5.1.1 引言26-27§5.1.2 引理27-28§5.1.3 定理的证明28-33§5.2 Smarandache双阶乘函数与伪Smarandache函数33-39 §5.2.1 引言33-35§5.2.2 定理证明35-39总结与展望39-40参考文献出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

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＋（。Ⅳｍ（．）Ｄ日）ｎ，（ｉ）・
其中Ａ（）＝∑ Ｉ（）Ｎ是离最近的整数（ｎ口ｎＩｎ～，
复合均值性质。Ｈａｑｈｕ在文献［］ｕｎｉＺｏｎ３中得到了包含Ｓ（）Ｐｎ的一个无穷级数的恒等式。
维普资讯
第２７卷
第１期
２００８年３月
延安大学学报（自然科学版）ＪｕａｏａａｎｖｒｔＮｔｒｃｅｃｄｔｎｏｒｌｆｎｎＵｉｓｙ（ａａＳｉｎｅＥｉｏ）ｎＹｅｉｕｌｉ
Ｖｏ＿７Ｎｏ１ｌ２．
如果ｎ＝６则有ｐ，
Ｐ，果１ｏ；如－ｐ＜ｒＰ，果Ｐ＋１如２ｐ；
Ｓｎ＝Ｐ，口２ ≤ ３Ｐ（）女果ｐ＋１ｐ；
引理Ｈ（ｅｒｎ公式）存在递增函数日（）Ｐｒｏ设 “ 及函数Ｂ（） “ 使得
这时，函数
ｓ）
３
疋理的让明
在ｓ＝１处有一个一阶极点，留数为．以所
一．
现在我们来完成定理的证明。令口（２１）＝
，
则由于口ｎ的可乘性，用［］的Ｅｌ（）利５中ｕｅｒ
容易求得估计式
乘积公式得：
Ｍａｃ．０８ｒｈ２０
关于Ｓａａｄｃｅ幂函数的混合均值ｍｒｎａｈ
贺艳峰
（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安７６０）１００
摘
要：用解析方法研究了包含Ｓａａｄｃｅ幂函数倒数的混合均值，利ｍｒｎａｈ并给出了它的渐近公式。文献标识码：Ａ文章编号：０－２２０）１０１２１４６Ｘ（０８０－０－００００
关键词：ｍｒｎａｈＳａａｄｃｅ幂函数；ｕｅ乘积；ｉａｎｚｔ．ＥｌｒＲｅｎｅ函数ｍａ
中图分类号：１６４０５．
１引言及结论
对任意正整数ｎＳａａｄｃｅ幂函数Ｓ几定，ｍｒｎａｈＰ（）
义为：
ＳｎＰ（）＝ｍｎｎ，ｉｍ：Ｉｍ∈Ｎｍ
本文利用解析的方法得到了Ｓｎ的倒数的Ｐ（）两个混合均值公式，即就是：
定理
及
一
墨
（
＝＋
）
．
ＥＩ（＝ｔｎ）
＋Ｄ（Ｚｋ＋－）
当ｎ取遍自然数时，Ｓｎ便得到了如下的由Ｐ（）
１ ‘ ＋ｌＩｊ
，
∑Ｐ（ｎ）一＋（＋．）Ｄ ÷ ）＿。：Ｊｓ
如果ｎ＝７ …ｐ且对所有的（＝１２，ｐｐ７，ｉ，…
ｒ，有 ≤ｐ，）都 ‘那么．（）＝Ｕ（）其中Ｕ（）＝ｎｎ，凡ｎｐＳ几不是可乘函数，如（）＝Ｓ３Ｐ（）例８４，Ｐ（）＝
ＰＩ
．
ｎ（Ｉ：＋（＋－ｓ喜口）一ｓｓ ∑ 几ｌｆｉ。）ｄ＝１ ∞，。ｔｏ￣叼ｂ等Ｉ７ＡＳｒ— ＿一Ｚ。ｔＤ，－
收稿日期：０７—０２０７—０２
作者简介：贺艳峰（９６）女，１７一，陕西神木人，延安大学讲师。
维普资讯
２
延安大学学报（自然科学版）
第２７卷
是半奇数时， Ⅳ：取 — １）
，
ＩＩＩＩＩ：Ｉ Ⅳ一
Ａｎ＝∑ ）～１＝ＩＪｎＡ［）曼１ｎ１＝（一）ｑ［口）ｎ（～＝兀（一＝１ ÷）而Ｓ
ｎ
－
《
：
＝ｌ
Ｐ
Ｄ
其中（）Ｒｅａｎｚｔ数。在引理中，ｓ＝ｓ是ｉｎ —ｅｍａ函 ’ 。取
Ｉ（）口ｎＩ
．
（）ｎ＝１２，ｎ，，…
∑ Ｉ（）ｎ ≤ ）口ｎＩ（
Ｐ，如果（一１Ｐ．）
那么对任意的ｓ＝ｏｔ及ｂ＞。当ｂ ≥０ｂｏ盯＋ｉｏ０，ｏ，ｏ＞
ｏ＋ｂｒ，ｒｏ＞ｏ。１及１时有：
一
个数列：，，，，６７４３１，１６，３１，，１２３２５，，，，，０１，１，４ …
２一个简单引理
为了完成定理的证明，我们需要下面这个简单
引理：
在［］Ｓｒｎａｈ１中ｍａｄｃｅ教授让我们研究数列（）ａｎ的性质。通过简单验证，到Ｓｎ的一个性质：得Ｐ（）
＋Ｄ（）＋Ｄｌ日（ｘｍｎ１２）ｉ（，））
，一、
３然而Ｓ３ｘ）：＃Ｓ８，Ｐ（８６Ｐ（）ｘＳ２－Ｐ（）可是
却是可乘的。在文献［］，于任意实数 ≥１徐２中对，哲峰研究了Ｓｎ的均值性质及与ｄｎ和西（）Ｐ（）（）ｎ的
● Ｉ
Ｉ等，
－川《Ｔ－ｔｆ－ａ
０＝，㈤＝，），，吾＝日）（：有６，１
＝
和
）ｓ）０２）ｎ１（１￣Ｈ（ｍｉ（＇＇
《＋｝
．
我们可得
＋（（（卉Ｄ Ⅳ ），