华中科技大学流体力学第七章_2全解

海姆霍茨定理 任一瞬间沿涡线方向涡管强度不变。 证明
A A A
0 1
2
ndA dV
V
v 0
在涡管管壁 A0 上有 A0
n0 n1
n0 0
n2
A2
A
1
ndA
ndA
A2
A1
推论 在流场中涡管不能中断。
习题
7-1，7-2
7.2 速度环量与旋涡强度
1．速度环量 速度环量 -- 沿封闭曲线的切向速度积分
ds dxi dyj dzk
v ui vj wk
ds
v
v ds udx vdy wdz
L L
L
正方向：逆时针， 沿正方向行进时，曲线所围区域总是在左手边。
1 v u 1 z 8 6 7 2 x y 2
在面积 A上旋涡强度
I 2 z dA 2 7dA 2 7 14
A A
Leabharlann Baidu
与上个例题中速度环量相等。
3．斯托克斯(Stokes)定理
A
L
Pdx Qdy Rdz R Q Q P P R y z cos n,x z x cos n, y x y cos n,z dA R Q w v 2 cos n,x n y z y z 令 P = u， P R u w Q = v， cos n, y n 2 z x z x R = w， Q P v u cos n,z n 2 x y x y
I 2 ndA 2 x nx y ny z nz dA
A A
当面积 A 在 xoy 平面上，nx = 0，ny = 0，nz = 1 所以
I 2 z dA
A
旋涡强度类似于体积流量，它表示通过指定面积 旋涡量，这就是它被称为涡通量的原因。
例 设速度分布为 u = -6y，v = 8x，求 x2 + y2 = 1所 围圆面积上的旋涡强度。 解 旋转角速度
斯托克斯定理中的 A 可以是空间曲面 面积，而不一定要求是平面面积。 无旋流动 -- 沿流场中任意封闭曲线 的速度环量均为零
L

n
A
例 测出龙卷风旋转角速度为 = 2.5 rad/s，风区最大 风速为 vmax = 50 m/s。求出整个龙卷风区域的风速 分布。 解 龙卷风可以被看成是一股垂直于地面的旋转流体， 它的中心部分(涡核区)以等角速度绕自身轴旋转， 并带动周围流体绕其转动，其流动是无旋的。 在涡核区内 r < R ，流体速度分布为 vθ rω 在涡核区外 r > R ，流体速度分布为
dx dy dz x x, y, z, t y x, y, z, t z x, y, z, t
涡线不相交，并且具有瞬时性。
涡线方程
涡管 -- 由涡线组成的管状曲面。
涡管强度 -- 涡管横截面积上的涡通量。
涡管的例子：

龙卷风涡核部分像柱形的刚体一样高速旋转， 其流体质点都具有很大的旋转角速度；涡核区以外 的流体在涡核区流体的带动下作圆周运动，但其质 点的旋转角速度却为零。龙卷风涡核区的外边界可 以被近似地看成是一个涡管。 类似地，江水、河水中的旋涡也可以被近似地 当作涡管处理。
例 设速度分布为 u = -6y，v = 8x，求绕圆 x2 + y2 = 1 的速度环量。 解


L
udx vdy

L
6 ydx 8 xdy
在圆 x2 + y2 = 1上,
x cos
其速度环量为
y sin
6sin d(cos ) 8cos d(sin ) 14
2.5r m/s , r 20 m vθ 1000 m/s , r 20 m r
7.3 旋涡运动的基本概念
1．涡线与涡管 由于 2
1
2
3
4
涡线 --- 处处与涡矢量 相切的空间曲线。
涡线也可以被看成是流体质点的瞬时转动轴。
dx dy dz 流线方程 u x, y , z , t v x , y , z , t w x , y , z , t
L A
x
根据数学定理: 如果 A 是封闭曲线 L 所围的单连通区域，则
x
y
y
z
z

L
udx vdy wdz 2 x nx y ny z nz dA
A
v ds 2 ndA I
L A
封闭曲线 L 上的速度环量与 L 所围单连通区域 A 上 的旋涡强度之间具有等量关系。
2 r I 是龙卷风的旋涡强度。
v
I
由两个区域的速度表达式可以看出，最大速度发 生在涡核区的外缘，即 r = R 处。由涡核区速度 表达式得 vmax 50 R 20 m 2.5 龙卷风的旋涡强度等于沿 r = R 圆周的速度环量
I 2 Rv 2 R2 I R 2 1000 m/s 涡核外速度为 v 2 r r r 龙卷风区域的风速分布
涡管只可能以下列三种形式出现： 一端或者两端延伸到无穷远； 自身形成封闭环； 端部中止于物面或者其它边界。 例
抽烟者吐出的烟圈是封闭的涡环； 龙卷风一端始于水面，另一端升入云层； 河水中的旋涡一端始于水底河床，另一端终于水面。
0 0
2
2
2．旋涡强度
涡量 -- 速度场的旋度
v 2
1 v 2
面积A上的涡通量 -- 涡量在 A 上法向分量的积分
也称为旋涡强度(或涡强)
I ndA v ndA 2 ndA
A A A
n -- 面积 A 上的法向单位矢量。