2015广州中考高分突破数学教师课件第16节 相似三角形

7.如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同 学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好 在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身 高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相 距 米． 解析：设两个同学相距 x 米，
∵△ADE∽△ACB， ∴ ， ∴ ， 解得：x=1． 答案：1．
8.如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三 边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边 形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、 AB=c． （1）求线段BG的长； （2）求证：DG平分∠EDF； （3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG 相似，求证：BG⊥CG．
成比例
斜 边上的 高（如下图） ，则
②相似三角形的对应线段（边，高，中线，角平分线） ③相似三角形的周长比等于 于 相似比的平方 ．
相似比
．
，面积比等
3.相似多边形 (1)定义：各角对应相等，各边对应成比例，的两个多边形叫做相 似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． (2)性质： ①相似多边形的对应角相等，对应边成比例． ②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 4．图形的位似 (1)位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在 直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点 叫位似中心，此时相似比又称位似比． (2)位似图形的性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距 离比等于 位似比 ，位似图形周长的比等于 位似比 ；面积 比等于 位似比的平方 ．
（2）由（1）△CDF∽△BGF， 又∵F是BC的中点，BF=FC， ∴△CDF≌△BGF， ∴DF=GF，CD=BG， ∵AB∥DC∥EF，F为BC中点， ∴E为AD中点， ∴EF是△DAG的中位线， ∴2EF=AG=AB+BG． ∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2， ∴CD=BG=2cm．
中考预测 5.如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上， 连接BP并延长与AD的延长线交于点Q． （1）求证：△DQP∽△CBP； （2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求 DP的长．
★考点突破★ 考点 1 比例线段（★★） 母题集训 1. （2011 广东）将下图中的箭头缩小到原来 1 的2，得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
1 2
解析：∵图中的箭头要缩小到原来的 ，
2
1
∴箭头的长、宽都要缩小到原来的 ； 选项 B 箭头大小不变；选项 C 箭头扩大；选项 D 的长缩小、而宽没变．答案：A．
第16节 相似三角形
★中考导航★
考纲要求 1. 理解比例的基本性质，理解线段的比、成比例线段，通过 建筑、艺术上的实例了解黄金分割． 比例的基本性质有：
2. 掌握相似图形的性质（相似多边形的对应角相等，对应边成 比例，面积的比等于对应边比的平方）． 3. 了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件． 4. 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小． 5. 通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形 的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）．
考点
年份
题型
分值
1. 比 例 线 段 2. 相 2013 似 三 角 形 2011 的 判 定 与 2010 性质 3. 位 似 图 形
解 答 3 题 解 答 3 题 解 答 3 题
近 五 年 广州 市 考 高频考点分析 试内容 未考 在近五年广州 市中考，本节 考查的重点是 相 似 三 角 形 的 判 相似三角形的 定与性质 判定与性质， 相 似 三 角 形 的 判 多与圆、二次 定与性质 函数、梯形、 相 似 三 角 形 的 判 三角形等综合 定与性质 考查，综合性 未考 较强，难度中 等偏难.
解析： （1）根据 S1= S 矩形 BDEF，S2+S3= S 矩形 BDEF，即可 得出答案． （2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD ∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可． 答案： （1）解：∵S1= BD×ED，S 矩形 BDEF=BD×ED， ∴S1= S 矩形 BDEF，∴S2+S3= S 矩形 BDEF，∴S1=S2+S3． （2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC． 证明△BCD∽△DEC； 证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°， ∴∠EDC=∠CBD，又∵∠BCD=∠DEC=90°， ∴△BCD∽△DEC．
解析：∵ D、 E 分别为 AB、 AC 的 中点，∴ DE= BC， DE∥ BC， ∴△ ADE∽△ ABC， 答案： 1： 4．
4. （2014•佛山）若两个相似三角形 的面积之比为1：4，则它们的周长之 比为（ ） A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16 解析：∵两个相似三角形的面积之比 为1：4， ∴它们的相似比为1：2， ∴它们的周长之比为1：2． 答案A．
3. （2009茂名）如图，甲，乙两楼相距20 米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A与甲，乙楼顶B、C刚好在同一 直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的 高度是 米．
解析：根据题意，易得：△ABD∽△ACE， 所以 ， 所以 ， 解得：CE=60，所以乙楼的高度是 60 米． 答案：60.
解析： （1）由图可知∠QPD=∠CPB（对顶角） ， 又 AD 平行于 BC，所以∠QDP=∠CPB，所以 △DQP 与△CBP 相似； （2） △DQP≌△CBP， DP=CP= CD， AB=CD=8， 继而即可得出答案． 答案： （1） 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AQ∥BC，∴∠QDP=∠BCP， 又∠QPD=∠CPB，∴△DQP∽△CBP； （2）解：∵△DQP≌△CBP，∴DP=CP= CD， ∵AB=CD=8，∴DP=4．
中考预测 2. 美是一种感觉，本应没有什么客观的标准， 但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀 称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这 个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至 肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的 黄金分割点，也就是说，若此比值越接近 0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女 士身高为1.65 m，躯干与身高的比为0.60，为 了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那 么她选的高跟鞋的高度约为（ ） A．2.5 cm B．5.3 cm C．7.8 cm D．8.5 cm
，一条线段有 2 个黄金分割点．
（8）平行线分线段成比例定理：①平行线分线段成比例定理：三条平行 线截两条直线，所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直 线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例．
2．相似三角形 (1)定义：对应角相等，
对应边
成比例的三角形叫做相似三角形．
（2）相似三角形的判定定理 ①相似三角形的判定定理 1：两角对应相等的两个三角形相似；②相似三 角形的判定定理 2： 三边对应成比例的两个三角形相似；③相似三角形的判定定理 3：两边对 应成比例且夹角相等的两个三角形相似．④平行于三角形一边的直线和其 他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．⑤直角三角 形被斜边上的高分成的两个三角形 与 原三角形 相似．补 充：若 CD 为 且 (3)性质： ①相似三角形的对应角 相等 ．
解析： 根据已知条件得下半身长是 165 ×0.6=99cm， 设选的高跟鞋的高度是 xcm， 则根据黄 金分割的定义得： 解得： x≈ 7.8cm． 答案： C．
考点归纳：本考点近些年广州中考均未考查， 但本考点是初中数学的重要内容，因此有必 要掌握.本考点一般出题考查难度中等，为 中等难度题，解答的关键是掌握线段成比例 和黄金分割. 判定四条线段是否成比例，只要把四条线段 按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与 后两条线段之比是否相等即可，求线段之比 时，要先统一线段的长度单位，最后的结果 与所选取的单位无关系．
2. （2009 广州） 如图， 在▱ABCD 中， AB=6， AD=9，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，BG⊥AE，垂足为 G， BG= ，则△CEF 的周长为（ ） A． 8 B. 9.5 C． 10 D． 11.5
解析：∵在▱ABCD 中，AB=CD=6，AD=BC=9， ∠BAD 的平分线交 BC 于点 E， ∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF， ∴∠BAF=∠F，∴∠DAF=∠F，∴AD=FD， ∴△ADF 是等腰三角形， 同理△ABE 是等腰三角形，AD=DF=9； ∵AB=BE=6，∴CF=3； ∴在△ABG 中，BG⊥AE，AB=6，BG= ， 可得：AG=2，又 BG⊥AE， ∴AE=2AG=4，∴△ABE 的周长等于 16， 又∵▱ABCD∴△CEF∽△BEA，相似比为 1：2， ∴△CEF 的周长为 8．答案：A．
考点2 相似三角形的判定与性质（★★） 母题集训 1. （2013广东）如图，矩形ABCD中，以对角 线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边 EF过原矩形的顶点C． （1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面 积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1 S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填 空）； （2）写出如图中的三对相 似三角形，并选择其中一对 进行证明．
1.比例的基本性质
★考点梳理★
(1)两条线段的长度之比叫做两条线段的比. (2)在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 那么这四条线段叫成比例线段，简称比例线段. (3)若 或 ，则 b 叫做 a，c 的比例中项． (5)合比性质： . ，若 ，则点 C 为线段 AB 的黄金
(4)比例的基本性质： (6)等比性质： （7）黄金分割：如右图． 点 C 为线段 AB 上一点， 分割点，
4. （2009梅州）如图，梯形ABCD中， AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长 线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD 交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长．
解析：（1）利用平行线的性质可证明 △CDF∽△BGF． （2）根据点F是BC的中点这一已知条件， 可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要 求出BG的长即可解题． 答案：（1）证明：∵梯形ABCD， AB∥CD， ∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF， ∴△CDF∽△BGF；
★课前预习★ 1.如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，
AC 上，DE∥BC，已知 AE=6， = ，则 EC 的 长是（ ） A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
AD BD
3 4

解析：∵DE∥BC，∴ = ，
AE EC
AD BD
即 = ，解得 EC=8． 答案：B．
6 EC
3 4
2.（2014•邵阳）如图，在▱ABCD中， F是BC上的一点，直线DF与AB的延长 线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交 于点P，请从图中找出一组相似的三角 形： ． 解析：∵BP∥DF， ∴△ABP∽△AED． 答案△ABP∽△AED．
3. （2014•张家界）如图，△ABC中， D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE 与△ABC的面积比为 ．
6.两个相似三角形的相似比是1：2，其中较 小三角形的周长为6cm，则较大的三角形的 周长为（ ） A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 解析：∵两个相似三角形的相似比是1：2， ∴它们的周长之比也是1：2， ∵较小三角形的周长为6cm， ∴较大的三角形的周长为2×6=×12 （cm）． 答案：D．
5.（ 2014•武汉）如图，线段 AB 两个端点的 坐标分别为 A（ 6，6），B（ 8 ，2），以原点 O 为位似中心， 在第一象限内将线段 AB 缩小 为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标 为（ ） A.（ 3， 3） C．（ 3， 1） B.（ 4， 3） D．（ 4， 1）
解析：∵线段 AB 的两个端点坐标分别 为 A（ 6， 6）， B（ 8， 2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD， ∴端点 C 的坐标为：（ 3， 3）． 答案： A．