2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题10

2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题十

（时间：120分钟 满分：150）

姓名_______________

一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．

1．函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ

=++--+的最小值等于__________

2．已知1()2bx f x x a +=

+，其中a b 、为常数，且2ab ≠，若1

()()f x f k x

⋅=为常数，则k 的值_______ 3．已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是__________ 4．将25个数排成五行五列（如右图所示）：

已知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全 相等．若244a =，412a =-，4310a =，则1155a a ⨯的值为_______ 5．设点P 在曲线12

x

y e =

上，点Q 在曲线ln(2)y x =上， 则PQ 的最小值为__________

6．将2个a 和2个b 共4个字母填在44⨯方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填入一个字

母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有__________

7．一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形

绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积 为156π，则该梯形的周长为__________ 8．设x y 、为实数，则

2

2

225410max ()=x y x

x y +=+___________ 9．不超过2014的只有三个正因数的正整数个数为___________

10．从1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde ，满足条件：

“a b c d e <><>”的概率是___________

11

1213141521222324253132333435414243444551

52

53

54

55

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．

11．设函数()sin 1f x x x =+，

（1）求函数()f x 在[0, ]2

π

上的最大值与最小值；

（2）若实数a b c 、、使得()()1af x bf x c +-=对任意x R ∈恒成立，求cos b c

a

的值．

12．给定两个数列{}n x ，{}n y 满足：001x y ==，11 (1)2n n n x x n x --=

≥+，2

1

1

(1)12n n n y y n y --=≥+； 求证：对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得n n j y x =．

13．如图，ABC ∆的内心为I ，M N 、分别是AB AC 、的中点，AB AC >，内切圆圆I 分别与边

BC CA 、相切于D E 、；求证：MN BI DE 、、三线共点．

14．求出所有的函数:**

∈

x y N

、，2

→使得对于所有*

f N N

f y x

+整除．

()

f x y

[()]

+都能被2

2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题十答案

一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分． 1．解

：∵()sin cos

cos sin

sin cos

cos sin

cos 3cos 36

6

6

6

f x x x x x x x x π

π

π

π

=++--+=-+

2sin()36

x π

=-+；

∴()f x 的最小值为1．

2．解：由于222211(1)()()222(4)2bx b x bx b x b

k f x f x x a ax ax a x a

+++++=⋅=⋅=+++++是常数，

∴2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+，将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得： 22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得：2(41)(1)0k ka --=；

若410k -≠，则210ka -=，∴222ab ka ==，与条件相矛盾；故410k -=，即1

4

k =． 3．解：令3x t =，则原方程化为：230t t p --=；

根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根；

令2()3f t t t p =--，则2232

(3)409

(1)1310 241

p f p p ⎧∆=-+>⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪>⎩．

4．解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等．

由412a =-，4310a =可知：4210(2)

42

a +-=

=且公差为6，∴4416a =，4522a =； 由244a =，4416a =，可知：公比2q =±； 若2q =，则11321

4a s -=

=-

，55222411a =⨯=⨯，∴115511a a ⨯=-； 若2q =-，则11321

4

a s -=

=，5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，∴115511a a ⨯=-． 5．解：函数12

x

y e =

与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称； 函数12x y e =上的点1(, )2x P x e 到直线y x =

的距离为：d =；

设函数min min 11()'()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d =-⇒=-⇒=-⇒=

∴由图象关于y x =对称得：PQ

最小值为：min ln 2)d =-．