10-11高数期末(B)卷参考答案

福建农林大学东方学院考试试卷 ( B ) 卷

2010 —— 2011 学年第一学期

课程名称： 高等数学（非工科） 考试时间

专业 年级 班 学号 姓名

一．选择题（选择正确答案的字母填入括号，每小 题3分，共15分）

1．在空间直角坐标系下，二次方程222

2

y x z b

a

=-

表示（ C ）

（A ）双叶双曲面 （B ）椭圆抛物面

（C ）双曲抛物面 （D ）单叶双曲面

2．若0x +→时，下列哪一个函数是比x 高阶的无穷小量（ C ）

（A ）ln(1)x + （B ）12

sin x

x -

（C ）2(1)x x + （D -

3．函数()f x 在点0x x =处连续是()f x 在点0x x =处可导的（ B ）

（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件

（D ）非充分非必要条件

4．设()()F x f x 是的一个原函数，则()

x

x

f e dx e

-=⎰（ A ）

（A ）()x

F e C --+

（B ）()x

F e

C -+

（C ）()

x F e C x

--

+ （D ）

()

x

F e C x

-+

5． 设函数822

3z x x y y =++，则()

2

1,0z x y

∂=∂∂（ D ）

（A ）1

（B ）0

（C ）6- （D ）6

二．填空题（每小题3分，共15分）

1．1

lim (13)x x x →+=________3e _____________.

2．幂级数1

!

n

n x

n +∞

=∑

的收敛半径为__ +∞ _.

3．利用奇偶性计算定积分12

1

1x x dx x

-+=+⎰____ln 2________.

4．计算广义积分2

11dx x

+∞-∞

=+⎰

_______π___________.

5．方程440y y y '''-+=的通解为_____212()x

y C C x e =+____.

三．计算题（每小题6分，共42分）

1．求极限1

2

1

sin(1)lim

(1)

x

x t dt x →--⎰

解：1

2

1

1

sin(1)sin(1)1lim

lim

(1)

2(1)

2

x

x x t dt x x x →→--==

--⎰

2．设函数()y f x =是由参数方程t t

x e t

y e t

-⎧=-⎪⎨=+⎪⎩确定，求2

2,dy d y dx dx 解：

11

t

t

t

dy dy e dt e dx dx

e

dt

-+===---，

2

22

1

1

t

t

t

t

dy d dx d y e e

dt

dx

dx

e

e dt

-⎛⎫

⎪⎝⎭-=

=

=

--+

3．求函数32()395f x x x x =--+的单调区间和极值.

解：322

()395()3693(3)(1)f x x x x f x x x x x '=--+⇒=--=-+，当()0f x '>时单调

递增；当()0f x '<时单调递减，即递增区间为：(,1)(3,)-∞-+∞ ，递减区间为：(1,3)-，所以极大值(1)10f -=，极小值(3)22f =- 4．设y z x =，求dz 。

解：

1

y z yx

x

-∂=∂，

ln y z x x y

∂=∂，1

ln y y

dz yx

dx x xdy -=+

5．计算x

x

dx e e

-+⎰ 解：2arctan 1

x

x

x

x

x dx e dx

e c e e

e

-=

=+++⎰

⎰

6

．求定积分41

⎰．

解：设

2

2t x t dx tdt =⇒=⇒=，又1,1;4,2x t x t ====，则

()

42

221

1

1

1

2ln 24ln 4ln 4(2ln 21)t tdt tdt t t t t

=

==-=-⎰

⎰

⎰

7．计算23x y

D

e

dxdy +⎰⎰，其中:0;01D y x x ≤≤≤≤.

解：()

()111232323520

113

3

x x

x y

x

y

x

y

x

x

D

e

dxdy e dx e dy e

e

dx e

e

dx +=

=

=

-⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰

1

52520111111

35215

610x x e e e e ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭

四．计算题（共9分）

求微分方程x y

y e

+'=的通解，并求满足条件(0)0y =的特解.

解：x y x

x

y

x

y

y

dy dy

y e e dx e

dx e

e c e

e

+-'=⇒

=⇒

=

⇒-=+⎰⎰，即

()10

(0)x

y

e c e c ++=<；由(0)0y =得2c =-，故特解：(2)10x y

e e -+=

五．应用题（共9分）

求由22,y x x y ==所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

解：如右图阴影部分即为面积，交点为(0,0)，(1,1)

)

1

31

2

32

211333S x

dx x x ⎛⎫=

=-= ⎪⎝⎭⎰，

()1

1

4

2500

1132510x V x x dx x x πππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰

六．讨论题（共10分）

设函数为2

()2x f x a bx ⎧⎪

=⎨⎪+⎩

111x x x <=>，（1）试求,a b ，使函数()1f x x =在处连续；

（2）当()f x 连续时，讨论()1f x x =在处的可导性

解：（1）要使函数()1f x x =在处连续，则(1)(1)(1)f f f -+

==，故1a =，1b =-；

（2）当()f x 连续时，则2

()12x f x x ⎧⎪

=⎨⎪-+⎩ 111x x x <=>，

2

1

1

()(1)

1(1)lim lim 21

1

x x f x f x f x x -

-

-→→--'===--，1

1

()(1)

21(1)lim lim 11

1

x x f x f x f x x +

+

+→→--+-'===---，

因(1)(1)f f -+''≠，故()1f x x =在处不可导。