高中数学(人教A版选修2-1)课件：3-2 第3课时 空间向量与空间角
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高中数学选修2-1精品课件：§3.2 第3课时 用空间向量解决空间角
所成的角
＝
|a·b| |a||b|
范围 0，π2
直线与平面 所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a， 平面α的法向量为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__a_，__n_〉__|_
＝
|a·n| |a||n|
0，π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别 为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2|
|n1||n2|
[0，π]
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n； →
(4)设线面角为 θ，则 sin θ＝|P→A·n|. |PA||n|
跟 踪 训 练 2 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， CA ＝ CB ， AB ＝ AA1 ， ∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正 弦值.
高中数学 3.2.3空间向量与空间角课件 新人教A版选修2-1
的中点，求直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值．
解析：方法一 ∵A→M＝A→A1＋A→1M，C→N＝C→B＋B→N，
栏
∴A→M·C→N＝(A→A1＋A→1M)·(C→B＋B→N)＝A→A1·B→N＝21.
目 链
|A→M|＝ （A→A1＋A→1M ）2＝ |A→A1|2＋|A→1M|2＝
接
1＋14＝ 25.同理，|C→N|＝ 25.设直线 AM 与 CN 所成的角为 α.
则
cos
α＝|AA→→MM|··C|→C→NN|＝
1 2
25×
5＝25. 2
栏 目
链
∴直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值为52.
接
规律方法：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向
向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角 θ 的取值范围是 0，π2 ，两向量的夹角 α 的取值范围是[0，π]，所以 cos θ＝|cos α
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7
►变式训练
1．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面
ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别
是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小
是__________．
栏
目
链
接
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8
．解析：分别以 BA，BC，BB1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示．
ABC 内的射影为△ABC 的中心，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值
等于( )
栏
1
2
目
A.3
B. 3
链
接
3
2
C. 3
D.3
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高中数学3-2第3课时空间向量与空间角精品课件同步导学新人教A版选修
1 ，即 x－ 2
3 y＝0z＝0 . 6
因此可以取n＝(1， 3，0)， 2 → → 由PA＝(1,0，－1)，可得|cos〈PA· n〉|＝ 4 ， 2 所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为 4 .
•
(2011·湖北高考)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长
解析：
如图，建立空间直角坐标系A－xyz，分别延长
AE、CD交于F， 则四边形ABCF为平行四边形， ∴CD＝ 2. 又△PAB为等腰三角形， ∴PA＝2 2. ∴A(0,0,0)，B(2 2，0,0)， C(0,2 2，0)，D(－ 2，2 2，0)， P(0,0,2 2)，
→ ＝(0,2 2，－2 2)，CD → ＝(－ 2，0,0)， ∴PC → ＝(2 2，0，－2 2)． PB 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙
站在山坡斜面上的B处，从A、B两点到直线l(水平地面与山坡 的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m， AB的长为80 m. • 水平地面与山坡斜面所成二面角的
余弦值是多少？
• 角的分 2．空间角
类 异面直 线 所成的 角 直线与 平面 所成的 角 二面角 的 平面角
线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 A(1,0,0)，B(0,1,0)．
(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，
1 m 则D(0，m,0)，E2， 2 ，0. 1 m → → ＝(m，－1,0)． 可得PE＝2， 2 ，－n，BC
，C(1,1,0)，F(0,0,1)，B(0，＝(0，－1,1)， ∴AC → |＝ 2，|BF → |＝ 2，AC →· → ＝－1， ∴|AC BF －1 2 → → cos〈AC，BF〉＝ ＝－ ， 2 2 → ，BF → 〉＝135° ∴〈AC .
人教版高中数学选修2-1 3.2.2 空间几何中的向量方法—空间角和距离 课件 (共35张PPT)
n
新课探究3
平面和平面所成的角---二面角
1 方向向量法 : 将二面角转化为二面角的两个面
的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱） 的夹角.如图，设二面角α - l -β 的大小为θ , 其中AB ⊥ l ,AB ⊂ α ,CD ⊥ l ,CD ⊂ β .?
B
C l
A
DLeabharlann AB CD cos cos AB, CD AB CD
n1
(2)法向量法将二面角转化为
l
g n 2
g
则二面角α - l -β 的大小
二面角的两个面的法向量的 夹角.如图，向量n1 ⊥α ， n2 ⊥β ，
设 n1 ,n2 = g
设 —l —的平面角为
n1
l
g n 2
－g
两个平面的法向量在二面角内 同时指向或背离。
于90°时，异面直线 l、m 所成的角与 和 的夹角的关系？
l
m
a b
m
新课探究2
设直线l的方向向量为a，平面α 的法向量为n，且直线l与 π 平面α 所成的角 l 为θ (0 ≤θ ≤ 2 ),则 l
直线和平面所成的角
a n
a
an sin | cos a , n | a n
n1
g
l
n2
设 n1 ,n2 = g 设 —l —的平面 角为
g
g
两个平面的法向量在二面角内 一个指向另一个背离。
n1
l
高中数学(人教A版选修2-1)课件：3-2 第3课时 空间向量与空间角
栏目 导引
第一章 求线面角 XXX
三角函数
如图 3221 所示，三棱锥 PABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥AC， 1 PA＝AC＝2AB，N 为 AB 上一点，AB＝4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点.
(1)证明：CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 【导学号：37792141】
3 【解析】 设 l 与 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝ 2 ，∴θ＝60° ， 应选 B.
【答案】 B
栏目 导引
第一章
三角函数
[小组合作型]
求异面直线所成的角
如图 3220，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空 间直角坐标系的原点处，顶点 A，B，V 分别在 x 轴、y 轴、z 轴上，D 是线段 AB 的中点，且 AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当 θ π ＝3时，异求面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值.
三角函数
【自主解答】 设 PA＝1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系(如图).
栏目 导引
第一章
三角函数
1 则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又 AN＝4AB，M，S 分别为 PB，BC 的中 点，
1 1 1 ∴N2，0，0，M1，0，2，S1，2，0，
1 → 1 1 → (1)证明：CM＝1，－1，2，SN＝－2，－2，0，
1 1 1 → → － ，－ ，0＝0， ∴CM· SN＝1，－1，2· 2 2
因此 CM⊥SN.
栏目 导引
第一章
三角函数
1 → (2)NC＝－2，1，0，设 a＝(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，
第一章 求线面角 XXX
三角函数
如图 3221 所示，三棱锥 PABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥AC， 1 PA＝AC＝2AB，N 为 AB 上一点，AB＝4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点.
(1)证明：CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 【导学号：37792141】
3 【解析】 设 l 与 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝ 2 ，∴θ＝60° ， 应选 B.
【答案】 B
栏目 导引
第一章
三角函数
[小组合作型]
求异面直线所成的角
如图 3220，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空 间直角坐标系的原点处，顶点 A，B，V 分别在 x 轴、y 轴、z 轴上，D 是线段 AB 的中点，且 AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当 θ π ＝3时，异求面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值.
三角函数
【自主解答】 设 PA＝1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系(如图).
栏目 导引
第一章
三角函数
1 则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又 AN＝4AB，M，S 分别为 PB，BC 的中 点，
1 1 1 ∴N2，0，0，M1，0，2，S1，2，0，
1 → 1 1 → (1)证明：CM＝1，－1，2，SN＝－2，－2，0，
1 1 1 → → － ，－ ，0＝0， ∴CM· SN＝1，－1，2· 2 2
因此 CM⊥SN.
栏目 导引
第一章
三角函数
1 → (2)NC＝－2，1，0，设 a＝(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，
2018版高中数学人教版A版选修2-1课件：3-2 第3课时 空间向量与空间角
D为CC1的中点，求二面角A—A1D—B的余弦值.
解析答案
返回
当堂检测
1 2 3 4 5
A
解析答案
1 2 3 4 5
2.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平
面所成的二面角的大小为 ( ) C A.45° B.135° C.45°或135° D.90°
1 2 解析 ∵Biblioteka os〈m，n〉＝ ＝ 2 ， 2第三章 § 3.2 立体几何中的向量方法
第3课时 空间向量与空间 角
学习 目标
1.理解直线与平面所成角的概念.
2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.
3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.
栏目 索引
知识梳理
习
自主学
题型探究
破
重点突
当堂检测
纠
自查自
知识梳理
自主学习
知识点一 两条异面直线所成的角 设两条异面直线 a ，b所成的角为 θ，它们的方向向量分别为 a， b，则cos θ＝ ，范围 .
— — → 则 A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，D1A＝(1,0， → －1)，CE＝(1，t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1＋t－22· cos 60° ，
所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．
解析答案
反思与感
都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥EFDC； 证明 由已知可得 AF⊥DF ， AF⊥FE ， 所以 AF⊥ 平面 EFDC ，
又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.
解析答案
(2)求二面角E－BC－A的余弦值.
高中数学人教A版选修2-1课件：3-2-3 用向量方法求空间中的角
������1 ������· ������1 ������ |������1 ������||������1 ������|
=
9 , 25
9 故A1 B与B1 C的夹角的余弦值为 , 25
9 . 25
栏目 导引
即异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
|������· ������| 或cos |������||������| 2 π 时,表示直线与平面垂 2
栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
3.二面角 剖析:(1)二面角的取值范围是[0,π]. (2)二面角的向量求法: 利用向量求二面角的平面角有两种方法: ①几何法:若 AB,CD 分别在二面角 α-l-β 的两个半平面内,且是 与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量������������与������������的夹角(如 图①).
=
= .
1 7
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
设 CP=m(m>0), 则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1), 所以������������ = (−1, −1,0), ������������1 = (0,0,1), ������������ = (−1,1, ������), ������������ = (−1,1,0). 因为������������ ·������������ = 0, ������������ ·������������1 = 0, 所以������������ 为平面BDD1B1 的一个法向量. 设 AP 与平面 BDD1B1 所成的角为 θ, 则 sin θ=cos 所以 cos θ= 因为 tan θ=
=
9 , 25
9 故A1 B与B1 C的夹角的余弦值为 , 25
9 . 25
栏目 导引
即异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
|������· ������| 或cos |������||������| 2 π 时,表示直线与平面垂 2
栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
3.二面角 剖析:(1)二面角的取值范围是[0,π]. (2)二面角的向量求法: 利用向量求二面角的平面角有两种方法: ①几何法:若 AB,CD 分别在二面角 α-l-β 的两个半平面内,且是 与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量������������与������������的夹角(如 图①).
=
= .
1 7
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
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第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
设 CP=m(m>0), 则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1), 所以������������ = (−1, −1,0), ������������1 = (0,0,1), ������������ = (−1,1, ������), ������������ = (−1,1,0). 因为������������ ·������������ = 0, ������������ ·������������1 = 0, 所以������������ 为平面BDD1B1 的一个法向量. 设 AP 与平面 BDD1B1 所成的角为 θ, 则 sin θ=cos 所以 cos θ= 因为 tan θ=
选修2-1：3-2空间向量与空间角
法一 a 取 A1B1 的中点 M， 则 M(0， ， 2a)， 连结 AM、 MC1， 2
3 → → 有MC1＝ (－ a，0，0)，AB＝ (0，a，0)，AA1＝ (0，0， 2a)． 2 ∴MC1·AB＝ 0，MC1·AA1＝ 0， → → → ∴MC1⊥AB，MC1⊥ AA1，
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
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题型一
求异面直线的夹角
【例1】 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1 的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值． → →
[思路探索] 可考虑建立空间直角坐标系，求出AE，CF的坐 标，利用坐标运算求所求角的余弦值．
解
不妨设正方体棱长为2，分别
→
→
9a2 4
→
→
→
→
3 a AC1＝ (－ a， ， 2a)． 2 2 设侧面 ABB1A1 的法向量 n＝ (λ ， x， y)， ∴ n· AB＝ 0 且 n· AA1＝ 0. ∴ ax＝ 0 且 2ay＝ 0.
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→
→
→
∴x＝y＝ 0.故 n＝(λ，0， 0)． ∵AC1＝(－
坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由
定义找出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明 ∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平 面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．
课前探究学习
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解 则
建立如图所示的空间直角坐标系，
A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0， 2a)， 3 a C1(－ a， ， 2a)， 2 2
3 → → 有MC1＝ (－ a，0，0)，AB＝ (0，a，0)，AA1＝ (0，0， 2a)． 2 ∴MC1·AB＝ 0，MC1·AA1＝ 0， → → → ∴MC1⊥AB，MC1⊥ AA1，
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题型一
求异面直线的夹角
【例1】 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1 的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值． → →
[思路探索] 可考虑建立空间直角坐标系，求出AE，CF的坐 标，利用坐标运算求所求角的余弦值．
解
不妨设正方体棱长为2，分别
→
→
9a2 4
→
→
→
→
3 a AC1＝ (－ a， ， 2a)． 2 2 设侧面 ABB1A1 的法向量 n＝ (λ ， x， y)， ∴ n· AB＝ 0 且 n· AA1＝ 0. ∴ ax＝ 0 且 2ay＝ 0.
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→
→
→
∴x＝y＝ 0.故 n＝(λ，0， 0)． ∵AC1＝(－
坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由
定义找出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明 ∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平 面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．
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解 则
建立如图所示的空间直角坐标系，
A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0， 2a)， 3 a C1(－ a， ， 2a)， 2 2
人教版高中数学选修2-1课件-第课时空间角与空间距离
则 D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．
由题意知D→A1＝(1，0，1)是平面 ABD1 的一个法向量，
D→C1＝(0，1，1)是平面 BCD1 的一个法向量．
所以 cos〈D→A1，D→C1〉＝
→→ DA1·DC1 →→
＝12，
|DA1|·|DC1|
所以〈D→A1，D→C1〉＝60°.
(2)二面角的求法． ①几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形 获解． ②向量法：设二面角 α-l-β 的大小为 θ，两个半平面的 法向量分别为 n1，n2. 当平面 α，β 的法向量与 α，β 的关系如下图所示时， 二面角 α-l-β 的平面角即为两法向量 n1，n2 的夹角〈n1，n2〉．
第三章 空间向量与立体几何
第 3 课时 空间角与空间距离 [学习目标] 1.向量法求解线线、线面、面面的夹角 (重点)． 2.线线、线面、面面的夹角与向量的应用(难 点)． 3.两点间的距离，点到平面的距离(重点)．
[知识提炼·梳理] 1．两异面直线所成角的求法 (1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平 移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获 解． (2)向量法：设直线 l1，l2 的方向向量分别为 a，b，a 与 b 的夹角为 φ，则 l1 与 l2 所成角 θ 满足 cos θ＝|cos φ| ＝||aa|·|bb||.
设 AC 的中点为 M，连接 BM，
则 BM⊥AC， 又由题意知 BM⊥CC1， 又 AC∩CC1＝C， 所以 BM⊥平面 A1C1C， 即B→M＝(1，1，0)是平面 A1C1C 的一个法向量． 设平面 A1B1C 的法向量为 n＝(x，y，z)． A→1C＝(－2，2，－2)，A→1B1＝(－2，0，0)，
由题意知D→A1＝(1，0，1)是平面 ABD1 的一个法向量，
D→C1＝(0，1，1)是平面 BCD1 的一个法向量．
所以 cos〈D→A1，D→C1〉＝
→→ DA1·DC1 →→
＝12，
|DA1|·|DC1|
所以〈D→A1，D→C1〉＝60°.
(2)二面角的求法． ①几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形 获解． ②向量法：设二面角 α-l-β 的大小为 θ，两个半平面的 法向量分别为 n1，n2. 当平面 α，β 的法向量与 α，β 的关系如下图所示时， 二面角 α-l-β 的平面角即为两法向量 n1，n2 的夹角〈n1，n2〉．
第三章 空间向量与立体几何
第 3 课时 空间角与空间距离 [学习目标] 1.向量法求解线线、线面、面面的夹角 (重点)． 2.线线、线面、面面的夹角与向量的应用(难 点)． 3.两点间的距离，点到平面的距离(重点)．
[知识提炼·梳理] 1．两异面直线所成角的求法 (1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平 移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获 解． (2)向量法：设直线 l1，l2 的方向向量分别为 a，b，a 与 b 的夹角为 φ，则 l1 与 l2 所成角 θ 满足 cos θ＝|cos φ| ＝||aa|·|bb||.
设 AC 的中点为 M，连接 BM，
则 BM⊥AC， 又由题意知 BM⊥CC1， 又 AC∩CC1＝C， 所以 BM⊥平面 A1C1C， 即B→M＝(1，1，0)是平面 A1C1C 的一个法向量． 设平面 A1B1C 的法向量为 n＝(x，y，z)． A→1C＝(－2，2，－2)，A→1B1＝(－2，0，0)，
人教A版高中数学选修2-1课件3.2第3课时空间向量与空间角
(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C； (2)设二面角C－AF－E的大小为θ，
求tan θ的最小值．
解析： (1)证明：建立如图所示的空间直 角坐标系，
则由已知可得A(0,0,0)，B(2 3 ，2,0)， C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E( 3，3,0)，F(0,4,1)．
于是 C→A1 ＝(0，－4,4)， E→F ＝(－ 3 ， 1,1)．
图形
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°， 则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120°
B．60°
C．30°
D．以上均错
答案： C
2．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD， 则异面直线AC与BF所成角等于( )
A．45°
B．30°
C．90°
D．60°
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)， C(1,1,0)，F(0,0,1)，B(0，1,0)，
高中数学课件
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第3课时 空间向量与空间角
1．理解直线与平面所成角的概念． 2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问 题． 3．体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.
1．向量法求解线线、线面、面面的夹角．(重点) 2．线线、线面、面面的夹角与向量的应用．(难点)
1.山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为 了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在 山坡斜面上的B处，从A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线) 的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为 80 m.
故A→M·C→N＝0×1＋12×0＋1×12＝12，
求tan θ的最小值．
解析： (1)证明：建立如图所示的空间直 角坐标系，
则由已知可得A(0,0,0)，B(2 3 ，2,0)， C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E( 3，3,0)，F(0,4,1)．
于是 C→A1 ＝(0，－4,4)， E→F ＝(－ 3 ， 1,1)．
图形
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°， 则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120°
B．60°
C．30°
D．以上均错
答案： C
2．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD， 则异面直线AC与BF所成角等于( )
A．45°
B．30°
C．90°
D．60°
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)， C(1,1,0)，F(0,0,1)，B(0，1,0)，
高中数学课件
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第3课时 空间向量与空间角
1．理解直线与平面所成角的概念． 2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问 题． 3．体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.
1．向量法求解线线、线面、面面的夹角．(重点) 2．线线、线面、面面的夹角与向量的应用．(难点)
1.山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为 了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在 山坡斜面上的B处，从A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线) 的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为 80 m.
故A→M·C→N＝0×1＋12×0＋1×12＝12，
2020版高中人教A版数学选修2-1课件：3.2.3空间向量与空间角、距离
3
AuuuFr=
(
3 2
,.12设,1平). 面AEF的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
则
uuur mgAE uuur
0,因此
mgAF 0,
3x1 0,
3 2
x1
1 2
y1
z1
0.
取z1=-1,则m=(0,2,-1).连接BD,
因为BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,
所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥平面AFC.Bu故uDur 为平面AFC
()
提示:(1)√.两条异面直线所成的角的范围是 余弦值非负.
(0其, ]，
2
(2)×.直线与平面所成的角的余角等于直线的方向向
量与平面的法向量所成的角或其补角.
(3)×.两平面的夹角与两个平面的法向量所成的角相
等或互补.
2.设异面直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,1,0),b=(1, 0,-1),则异面直线l1,l2所成角的大小为________.
【解析】 (1)连接B1C，ME.
因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME12＝ B1C. 又因为N为A1D的中点，所以ND12＝ A1D. 由题设知A1B1 DC，故四边形A1B1CD为平行四边形，
故B1C A1D，故ME ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED. 又MN平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
(2)坐标法: ①建系:建立空间直角坐标系; ②找坐标:求出两条异面直线的方向向量的坐标; ③求夹角:利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的 夹角;
④下结论:结合异面直线所成角的范围,得到异面直线 所成的角. 提醒:两条异面直线所成的角的取值范围是 (0，].
高中数学(人教版选修2-1)配套课件：第3章 空间向量与立体几何3.2
A1D—B的余弦值.
解析答
当堂检测
1
2
3
4
5
A
解析答
1
2
3
4
5
2.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为 ( )
C
B.135° D.90°
A.45° C.45°或135°
解析
1 2 ∵cos〈m，n〉＝ ＝ 2 ， 2
∴二面角的大小为45°或135°.
解析答
1
2
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
5
解析答
1
2
3
4
5
4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(
)
2 A. 3
3 B. 3
2 C.3
6 D. 3
解析答
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高中数学课件
第三章
§ 3.2
立体几何中的向量方法
第3课时 空间向量与空间角
学习 目标
1.理解直线与平面所成角的概念. 2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.
3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.
栏目 索引
知识梳理
自主学习
题型探究
重点突破
当堂检测
自查自纠
＝ ，范围 .
题型探究 重点突破 题型一 例1 两条异面直线所成角的向量求法
如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点.求
异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.
反思与
解析答
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝ AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线 AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．
人教A版数学选修2-1教学课件3.2 第3课时 空间向量与空间角 探究导学课型精选ppt课件
由
2 2
E FA B (0 ， 1， 1)2 a,0 ,00 ，
得
即EF⊥2A2 B，同理EF⊥PB，
又AEBF∩PABB=，B，所以EF⊥平面PAB.
(2)由 a 得2 ， E( 2,0,0),F( 2,1,1),C(2,0,0).
有 A C (2 2 , 1 ,0),E F 由 2((10 ),知1,平1)， 面2PA2B2 的一个法向量为
EF(0, 1, 1),
AE与EF
22
〈则AsEi,nEFα〉.=
|cos〈 A E,EF〉 ||A EEF|
|(
2,1,0) 2
(0，1，1)| 22
1 2
3.
|A E||EF|
31
33
所以，AE与平面PAB所成角的正弦值为 2 2
4
3. 3
2.(改变问法)本例(2)条件不变，求直线AC与平面AEF所成角的正弦 值.
因为P是A1B1上任意一点， 所以不妨设P(2a，m,2a)(0≤m≤2a)． 所以 ＝(0,0，a)－(2a,0,0)＝(－2a,0，a)，
＝(A2Ma，m,2a)－(a，a,0)＝(a，m－a,2a)． 所O 以P ＝－2a×a＋0×(m－a)＋a×2a＝0. 所以异A面M直OP线AM与OP所成的角为
ab a1b1a2b2 . ab a12a22 b12b22
3.观察下表，分析异面直线所成角的余弦值是否等于它们的方向向量 所成角的余弦值. 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量.
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角
范围
0<θ ≤
0＜<a，b>＜π
2
求法
cosθ =|cos<a，b>|= | a b |
高中数学课件：3.2 第3课时《空间向量与空间角》(新人教A选修2-1)
l的方向向量为a，平面α的法 向θ=量_为__n__，__则_|_sc_io_sn〈__a=,n〉|
an
［0， ］
___2__
an
_____.
设二面角α-l-β为θ，平面α，
β的法向量分别为n1，n2，则
|cosθ|
| n1 n2 |
cos〈n1，n2〉 | n1 || n2 |
=___________=_______.
［__0_，__π_］_ _
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法
向量的夹角β互余.( )
(2)二面角的大小范围是
()
(3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大
小.( )
［0，］. 2
提示：(1)错误，它们之间满足sin α=｜cos β｜. (2)错误，二面角的大小范围是［0，π］. (3)错误，二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大 小相等或互补. 答案：(1)× (2)× (3)×
则F1(
A 1, 0,
1 ,0,1), 2
0 , B 0,1, 0 ,
uuur 则AF1Biblioteka (1 2D1(
1 2
, 0,1),
,
1 2
,1),
∴BuuDBuur1D1(与12 ,AF121,所1),成角的余弦值为
uuur AF1
5 2
,
uuuur BD1
6, 2
uuur uuuur
uuuur uuur cos〈BD1, AF1〉
【知识点拨】
1.对直线(或斜线)与平面所成角的四点认识
(1)斜线与平面的夹角范围是 而直线与平面的夹角范围
高中数学新课标人教A版选修2-1：3.2(第三课时)课件
a 2 c2 b2 2CA DB
第十五页，编辑于星期一：点 十七分。
于是，得 2CA DB a 2 b2 c2 d 2
设向量 CA与 DB的夹角为 ， 就 是库底与水坝所成的二面角。
因此 2ab cos a 2 b2 c2 d 2 .
所以
cos a 2 b2 c2 d 2 .
第二十七页，编辑于星期一：点 十七分。
1.（2014·长春高二检测）在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB
＝2，BC＝2，DD1＝3， 则 AC 与 BD1 所成角的余弦值为( A )
A.0
B.3
70 70
C.－3
70 70
D.
70 70
2.（2014·哈尔滨高二检测）在正四棱锥 S-ABCD
FD ( 1 , 1 , 2), 333
因为 cos EFD FE FD FE FD
( 1 , 1 , 1) ( 1 , 1 , 2) 36 6 3 3 3 66
1
6 1
1, 2
63
3
所以EFD 60 ,即二面角 C PB D的大小为 60 .
第二十三页，编辑于星期一：点 十七分。
P
E
F
D A
C
B
第十七页，编辑于星期一：点 十七分。
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点
，设DC=1.
(1)证明：连接AC,AC交BD于点G,连接EG.
z
依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1),
E(0, 1 , 1 ),
P
22
因为底面ABCD是正方形，
所以点G是此正方形的中心，
中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱 SD 的中
人教A版高中数学选修2-1课件第三章3.2第三课时空间向量与空间角、距离.pptx
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理解教材新知
3.2
第 三 章
第 三 课 时
把握热点考向
应用创新演练
考点一 考点二 考点三 考点四
第三课时 空间向量与空间角、距离
山体滑坡是一种常见的自然灾害． 甲、乙两名科技人员为了测量一个山 体的倾斜程度，甲站在水平地面上的 A处，乙站在山坡斜面上的B处，A， B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别 为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.
[思路点拨] 解答本题可建立适当的空间直角坐标系， 利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作 棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解．
[精解详析] 法一：如图，建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0)，B( 2，1,0)，
C(0,1,0)，P(0,0,1)，
uuur
uuur
∴ AP＝(0,0,1)， AB＝( 2，1,0).
则 O(0,0,0)，O1(0,1， 3)，A( 3，0,0)， A1( 3，1， 3)，B(0,2,0)，
uuur uuur uuur ∴ A1B＝ A1B－OA1
＝(－ 3，1，－ 3)， uuur uuur uuur O1 A＝OA－OO1
＝( 3，－1，－ 3)．
uuur uuur ∴cos〈 A1B，O1 A〉
uuuur | AC1 |＝
34a2＋a42＋2a2＝ 3a，
uuuur | AM |＝
a42＋2a2＝32a，
9a2
uuuur uuuur ∴cos〈 AC1 ， AM 〉＝
3a4×32a＝
3 2.
uuuur uuuur ∴〈 AC1 ， AM 〉＝30°，
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理解教材新知
3.2
第 三 章
第 三 课 时
把握热点考向
应用创新演练
考点一 考点二 考点三 考点四
第三课时 空间向量与空间角、距离
山体滑坡是一种常见的自然灾害． 甲、乙两名科技人员为了测量一个山 体的倾斜程度，甲站在水平地面上的 A处，乙站在山坡斜面上的B处，A， B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别 为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.
[思路点拨] 解答本题可建立适当的空间直角坐标系， 利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作 棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解．
[精解详析] 法一：如图，建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0)，B( 2，1,0)，
C(0,1,0)，P(0,0,1)，
uuur
uuur
∴ AP＝(0,0,1)， AB＝( 2，1,0).
则 O(0,0,0)，O1(0,1， 3)，A( 3，0,0)， A1( 3，1， 3)，B(0,2,0)，
uuur uuur uuur ∴ A1B＝ A1B－OA1
＝(－ 3，1，－ 3)， uuur uuur uuur O1 A＝OA－OO1
＝( 3，－1，－ 3)．
uuur uuur ∴cos〈 A1B，O1 A〉
uuuur | AC1 |＝
34a2＋a42＋2a2＝ 3a，
uuuur | AM |＝
a42＋2a2＝32a，
9a2
uuuur uuuur ∴cos〈 AC1 ， AM 〉＝
3a4×32a＝
3 2.
uuuur uuuur ∴〈 AC1 ， AM 〉＝30°，
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1 1 1 → → － ，－ ，0＝0， ∴CM· SN＝1，－1，2· 2 2
因此 CM⊥SN.
1 → (2)NC＝－2，1，0，设 a＝(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，
→· →· ∴CM a＝0，NC a＝0. 1 x－y＋2z＝0， 则 －1x＋y＝0， 2
x＝2y， ∴ z＝－2y.
取 y＝1，得 a＝(2,1，－2. 1 －1－2 2 → 因为 cos〈 a，SN＝ ＝－ 2 . 2 3× 2 3 → ∴〈a，SN〉＝4π. 3 π π 所以 SN 与平面 CMN 所成的角为4π－2＝4.
→ 1.本题中直线的方向向量SN与平面的法向量 a 的夹角并不是所求线面角 θ， → 它们的关系是 sin θ＝|cos〈SN，a〉|. 2.若直线 l 与平面 α 的夹角为 θ，利用法向量计算 θ 的步骤如下：
【精彩点拨】 (1)怎样建立坐标系？ → → (2)向量CM与SN满足什么关系时有 CM⊥SN 成立？ → → (3)SN的坐标是多少？平面 CMN 的一个法向量怎么求？SN与平面 CMN 的 法向量的夹角就是 SN 与平面 CMN 所成的角吗？
【自主解答】 设 PA＝1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系(如图).
角的分类
向量求法
范围
π 0， 2
两异面直线 l1 与 设 l1 与 l2 的方向向量为 a，b，则 cos θ＝ l2 所成的角 θ ________＝________
直线 l 与平面 α 设 l 的方向向量为 a， 平面 α 的法向量为 n， π 0， 2 所成的角 θ 则 sin θ＝________＝________ 二面角 αlβ 的 平面角 θ 设平面 α，β 的法向量为 n1，n2，则|cos θ| |n1· n2| ＝________＝|n |· 1 |n2| [0，π]
1.几何法求异面直线的夹角时， 需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为 平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可 以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可.
π 2.由于两异面直线夹角 θ 的范围是0，2，而两向量夹角 α 的范围是[0，π]，
图 3220
确定A，C，V， → 与VD → 【精彩点拨】 → 求向量AC D的坐标 → ，VD → 〉的大小，并转化 计算 cos 〈 AC → 为AC与VD夹角的余弦值
【自主解答】 由于 AC＝BC＝2，D 是 AB 的中点， 所以 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0). π 当 θ＝3时，在 Rt△VCD 中，CD＝ 2，∴V(0,0, 6)， → → ∴AC＝(－2,0,0)，VD＝(1,1，－ 6)， →· → －2 AC VD 2 → → ∴cos〈AC，VD〉＝ ＝ ＝－ 4 . → → 2 × 2 2 |AC||VD| 2 ∴异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 4 .
故应有 cos θ＝|cos α|，求解时要特别注意.
[再练一题] 1.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 DA＝DC＝4，DD1＝3，求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值.
【解】 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图，则 A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，
|a· b| |a· n| 【答案】 |cos〈 a，b〉 | |a||b| |cos〈 a，n〉 | |a||n| |cos〈 n1，n2〉 |
已知向量 m，n 分别是直线 l 与平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉 3 ＝－ 2 ，则 l 与 α 所成的角为( A.30° B.60° C.150° ) D.120°
阶 段 一
阶 段 三
第 3 课时 空间向量与空间角
阶 段 二 学 业 分 层 测 评
1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角.(重点、难点) 2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系.(易错点)
[基础· 初探] 教材整理 空间角的向量求法 阅读教材 P106～P110 的内容，完成下列问题.
1 则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又 AN＝4AB，M，S 分别为 PB，BC 的中 点，
1 1 1 ∴N2，0，0，M1，0，2，S1，2，0，
1 → 1 1 → (1)证明：CM＝1，－1，2，SN＝－2，－2，0，
求线面角 XXX
如图 3221 所示，三棱锥 PABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥AC， 1 PA＝AC＝2AB，N 为 AB 上一点，AB＝4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点.
(1)证明：CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 【导学号：37792141】
图 3221
3 【解析】 设 l 与 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝ 2 ，∴θ＝60° ， 应选 B.
【答案】 B
[小组合作型]
求异面直线所成的角
如图 3220，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空 间直角坐标系的原点处，顶点 A，B，V 分别在 x 轴、y 轴、z 轴上，D 是线段 AB 的中点，且 AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当 θ π ＝3时，异求面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值.
→ → 得A B ＝ (0,4 ，－ 3) ， B 1 1C＝(－4,0，－3). → → A B · B 9 1 1C → → 设A1B与B1C的夹角为 θ，则 cos θ＝ ＝25， → → |A B||B C|
1 1
9 → → 故A1B与B1C的夹角的余弦值为25， 9 即异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为25.
因此 CM⊥SN.
1 → (2)NC＝－2，1，0，设 a＝(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，
→· →· ∴CM a＝0，NC a＝0. 1 x－y＋2z＝0， 则 －1x＋y＝0， 2
x＝2y， ∴ z＝－2y.
取 y＝1，得 a＝(2,1，－2. 1 －1－2 2 → 因为 cos〈 a，SN＝ ＝－ 2 . 2 3× 2 3 → ∴〈a，SN〉＝4π. 3 π π 所以 SN 与平面 CMN 所成的角为4π－2＝4.
→ 1.本题中直线的方向向量SN与平面的法向量 a 的夹角并不是所求线面角 θ， → 它们的关系是 sin θ＝|cos〈SN，a〉|. 2.若直线 l 与平面 α 的夹角为 θ，利用法向量计算 θ 的步骤如下：
【精彩点拨】 (1)怎样建立坐标系？ → → (2)向量CM与SN满足什么关系时有 CM⊥SN 成立？ → → (3)SN的坐标是多少？平面 CMN 的一个法向量怎么求？SN与平面 CMN 的 法向量的夹角就是 SN 与平面 CMN 所成的角吗？
【自主解答】 设 PA＝1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系(如图).
角的分类
向量求法
范围
π 0， 2
两异面直线 l1 与 设 l1 与 l2 的方向向量为 a，b，则 cos θ＝ l2 所成的角 θ ________＝________
直线 l 与平面 α 设 l 的方向向量为 a， 平面 α 的法向量为 n， π 0， 2 所成的角 θ 则 sin θ＝________＝________ 二面角 αlβ 的 平面角 θ 设平面 α，β 的法向量为 n1，n2，则|cos θ| |n1· n2| ＝________＝|n |· 1 |n2| [0，π]
1.几何法求异面直线的夹角时， 需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为 平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可 以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可.
π 2.由于两异面直线夹角 θ 的范围是0，2，而两向量夹角 α 的范围是[0，π]，
图 3220
确定A，C，V， → 与VD → 【精彩点拨】 → 求向量AC D的坐标 → ，VD → 〉的大小，并转化 计算 cos 〈 AC → 为AC与VD夹角的余弦值
【自主解答】 由于 AC＝BC＝2，D 是 AB 的中点， 所以 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0). π 当 θ＝3时，在 Rt△VCD 中，CD＝ 2，∴V(0,0, 6)， → → ∴AC＝(－2,0,0)，VD＝(1,1，－ 6)， →· → －2 AC VD 2 → → ∴cos〈AC，VD〉＝ ＝ ＝－ 4 . → → 2 × 2 2 |AC||VD| 2 ∴异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 4 .
故应有 cos θ＝|cos α|，求解时要特别注意.
[再练一题] 1.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 DA＝DC＝4，DD1＝3，求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值.
【解】 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图，则 A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，
|a· b| |a· n| 【答案】 |cos〈 a，b〉 | |a||b| |cos〈 a，n〉 | |a||n| |cos〈 n1，n2〉 |
已知向量 m，n 分别是直线 l 与平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉 3 ＝－ 2 ，则 l 与 α 所成的角为( A.30° B.60° C.150° ) D.120°
阶 段 一
阶 段 三
第 3 课时 空间向量与空间角
阶 段 二 学 业 分 层 测 评
1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角.(重点、难点) 2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系.(易错点)
[基础· 初探] 教材整理 空间角的向量求法 阅读教材 P106～P110 的内容，完成下列问题.
1 则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又 AN＝4AB，M，S 分别为 PB，BC 的中 点，
1 1 1 ∴N2，0，0，M1，0，2，S1，2，0，
1 → 1 1 → (1)证明：CM＝1，－1，2，SN＝－2，－2，0，
求线面角 XXX
如图 3221 所示，三棱锥 PABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥AC， 1 PA＝AC＝2AB，N 为 AB 上一点，AB＝4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点.
(1)证明：CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 【导学号：37792141】
图 3221
3 【解析】 设 l 与 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝ 2 ，∴θ＝60° ， 应选 B.
【答案】 B
[小组合作型]
求异面直线所成的角
如图 3220，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空 间直角坐标系的原点处，顶点 A，B，V 分别在 x 轴、y 轴、z 轴上，D 是线段 AB 的中点，且 AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当 θ π ＝3时，异求面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值.
→ → 得A B ＝ (0,4 ，－ 3) ， B 1 1C＝(－4,0，－3). → → A B · B 9 1 1C → → 设A1B与B1C的夹角为 θ，则 cos θ＝ ＝25， → → |A B||B C|
1 1
9 → → 故A1B与B1C的夹角的余弦值为25， 9 即异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为25.