结构可靠性分析基础-5

S F = 10 X − X S = 10 kS
的斜率 α 的数值。在此前提下，可按下述方法确定安全寿命和分散系数 疲劳寿命 N 的概率分布函数为（ α 已知）
F ( N ) = 1 − exp[−(
对上式进行简单变换得到
N
ln
1 N β = ( )α = ( ) −α 1− F (N ) β N
SF
为疲劳寿命分散系数，并可得
~ N = NS
S F = 10 X − X S = 10
u pσ
n +1 n
（5.5）
（3） µ 与 σ 均未知 用 S 表示容量为 n 的对数寿命子样标准差，按 t 分布的定义易知
X −X ~ t ( n − 1) n +1 S n
X −X ≥ −t p } = p 根据条件 n +1 S n n +1 P{ X ≥ X − t p S }= p 得 n 将上式与（5.1）式比较得 n +1 X S = X − t pS n 而疲劳寿命分散系数 n+ P{
P{ X − kS ≤ µ − u pσ } = 1 − α
X S = X − kS （5.10） 则 就是对应存活率 p 和置信水平1 − α 的安全对数寿命。而疲劳寿命分散系数
（5.11） 现在的问题是如何确定系数 k 。 k 称为单侧容限系数，它是存活 率 p 、置信水平1 − α 和子样容量 n 的函数。需要时一般可以查表得到。 （2）疲劳寿命服从威布尔分布 ） 设疲劳寿命服从双参数威布尔分布。对于常用航空金属材料，斜率α 常可作为已知参数。例如，后面将列出美国波音公司给出的常用航空材料
已知参数为 2n 的 χ 分布的概率密度函数为
2
β
y
ˆ β 利用求随机变量函数概率分布的法则，不难求出 X = 的概率分 β αn n αn −1 布密度为 f X ( x) = x exp[− nxα ] , x > 0 Γ(n) n SC α n α n −1 − nx α 因此得到 ∫ 0 Γ ( n ) x e dx = 1 − γ
（1） β 的概率密度函数 ） ˆ
ˆ ˆ n n α β αn −1 β α ˆ) = f βˆ ( β ( ) exp[−n( ) ] Γ( n) β β β
mα N1 α −1 N1 α f N ( 1 ) ( N1 ) = ( ) exp[−m( ) ]
（2） N (1) 的概率密度函数 ）
β
≥ −u p } = p
σ
按规定的存活率 p ，从标准正态分布表查出 u p ，对上式进行变换得
P{ X ≥ µ − u pσ } = p
将此式与（5.1）式比较得
X S = µ − u pσ
而安全寿命
（5.2）
µ − u pσ
N S = 10
XS
= 10
~ 10 µ = µ N 为母体几何平均寿命。称
− 1 n −1 f χ 2 ( y) = n y e 2 , 2 Γ ( n)
y>0
根据已知的子样容量 n 、斜率 α 和置信水平 1 − γ 的数值，可按上式 计算出 S C 。 求得置信系数 S C 后，就可算出对应置信水平1 − γ 、可靠度 R 的安 全寿命 N S ˆ β NS = （5.12） S R SC 实际使用中，考虑到试验条件与真实条件的差异，在上式右端分母 上还应乘上一个不小于 1 的试件系数 ST 。 对于常用航空材料，美国波音航空公司在统计了大量试验数据后， 给出了斜率 α 的数值，可供参考。
分析确定 N S 有两种不同的原则和方法。 一种是保证结构寿命母体 N 中，超过 N S 的概率（即存活率或可靠 度） p 是一个很大的百分数值。即
P{N ≥ N S } = P{ X ≥ X S } = p
式中，X = log N ，X S = log N S 。
（5.1）
按照这种方法确定结构安全寿命时，可以综合地提出一个可靠性指 标，即存活率，也可以提出置信水平和存活率两个指标。当然，在这两 种场合，存活率的含义是不同的。 另一种是取实际使用的（有限）机队中，飞机结构最小寿命的保守 估计值作为 N S ，以保证飞机结构安全。
（5.6）
S F = 10
X −XS
= 10
t pS
n
（5.7）
注意到，在其它条件相同时， t p 要大于 u p 。特别是在子样容量 n 较小时， t p 要比 u p 大得较多。因此在 S 与 σ 差不多大小时，按（5.5） σ 式和（5.7）式计算出的分散系数相差较大。 已知时，疲劳寿命分散系 数较小的原因是，这种条件下求安全寿命时，实质上不只是利用了本组 试验结果的信息，还利用了以往同类材料大量试验结果的信息，因而提 高了推断的精确度。
1 1 n
m α R SF = ( ) ( )α 1 n 1− R n
五、疲劳安全寿命可靠性分析
1. 安全寿命设计思想
为了防止飞机结构在使用期内发生疲劳破坏，在50年代，即飞机结 构疲劳问题开始变得严重的时期，人们发展了安全寿命设计思想。这种 安全寿命设计的基本思想是：以试验、使用或分析得到的结构疲劳寿命 数据为基础，为飞机结构规定一个很低的安全使用寿命 N S 。 即 式中
N
S
~ N = SF
~ N — 根据试验、使用或分析得到的结构平均寿命；
S F — 分散系数。
S F 在安全寿命设计中，合理选取分散系数 S F 的数值是一个重要问题。
应反映试验条件与真实使用条件的差异和试件疲劳寿命的分散特性。
作为一种抗疲劳设计方法，在安全寿命设计中，设计师们应合理采 用各种设计、工艺、使用措施等来提高结构的疲劳寿命，减小结构疲劳 寿命的分散性，从而尽可能地提高安全寿命。 目前，在一些可达性很差或不可检结构以及某些单路传力静定结构 里仍然在使用安全寿命设计。
3. 按一个可靠性指标决定安全寿命和分散系数
设 log N = X ~ N （ µ , σ 2） ，分三种情况讨论如下。
（1） µ 与 σ 均已知 这是一种理想情况，实际上很难出现。介绍这种理想的简单情况， 主要是为了与后面各种情况进行比较。由于
X −µ
所以，可以根据条件
P{
X −µ
σ
~ N (0, 1)
式中， n 为子样容量， X 为对数寿命的子样平均值。
X−X ≥ −u p } = p n +1 σ n n +1 P{ X ≥ X − u pσ }= p 即 n 将上式与（5.1）式比较得 n +1 X S = X − u pσ n
建立概率条件
P{
（5.4）
~ N = 10 X 称为子样的几何平均寿命，工程上也称
β
令 N (1) 为这 m 架飞机结构寿命的第一个次序统计量，即最小寿命。 定义疲劳寿命分散系数 ˆ β
SF =
N (1)
ˆ 上式中 β 与 N (1) 均为随机变量，故 S F 亦为随机变量。下面导出 S F 的概 率分布，然后按一定可靠性要求确定出 S F 的上限值作为疲劳寿命分散 系数，并定出安全寿命。
ˆ 为可靠计，取 β 的置信下限代替它，用 β / S C 表示对应置信水平 1 − γ 的 置信下限，即它满足如下概率条件 ˆ β P{ β > } = 1− γ SC ˆ β P{ < SC } = 1 − γ 其中 S C 称为置信系数，它满足
β
ˆ 可见，要确定 S C ，必须先找到 β / β 的概率分布。 ˆ β α 2n( ) ~ χ 2 ( 2n) Feller 证明了下述渐近分布成立
β
)α ]
若用 R 表示对应安全寿命 N S 的可靠度（存活率），即 R = 1 − F ( N S ) ， 1 β −α 便有
ln
R
=(
NS
)
故可得对应可靠度 R 的可靠度系数 而安全寿命可写为
NS =
β
SR
1 SR = = ln( ) NS R
β
−
1
α
但是，通常并不知道特征寿命 β ，而是根据一个容量为 n 的子样 对其进行估计，其点估计为 1 1 n α α ˆ β = [ ∑ Ni ] n i =1
(a)
平和存活率的安全寿命。 易知
X −µ ~ N ( 0, 1) σ/ n
按规定的置信水平 1 − α ，可以建立概率条件 X −µ P{ ≤ uα } = 1 − α σ/ n 式中， uα 可以从标准正态分布表查出。对上式进行变换得
P{µ ≥ X − uα
用 µ 的置信下限 X − uα 信水平1 − α 的安全对数寿命
α = 4.0
α = 3.0
适用于铝合金；
适用于钛合金和热处理强度不超过1660MPa，或虽超过 1660MPa，但应力集中系数小于2.5的钢件；
α = 2 .2
的钢件。
适用于热处理强度超过1660MPa，应力集中系数大于2.5
上面两节介绍的各种确定安全寿命和分散系数的可靠性方法，都是 以飞机结构整个寿命母体为基础的。下节将介绍在结构疲劳寿命服从威 布尔分布前提下，针对一个有限容量的具体机队确定安全寿命和分散系 数的方法。
5. 首次破坏时间与分散系数
首次破坏时间就是一个有限容量机队中飞机结构的最小寿命。本方 法是按一定可靠性要求作出这个最小寿命的保守估计，并将它作为安全 寿命。下面介绍这种方法。 设有一容量为 m 的机队。所研究结构的疲劳寿命服从双参数威布尔 N 分布 F ( N ) = 1 − exp[−( )α ] 式中，斜率 α 已知，特征寿命 β 未知。根据容量为 n 的子样得到 β 的 点估计 1 1 n α α ˆ β = [ ∑ Ni ] n i =1
4. 按两个可靠性指标决定安全寿命和分散系数