第2章 质点运动定律

0

1 2 v gR(1 cos ) 2
则小球对圆柱体的压力为：
v N ' mgcosθ m R
2
mg cos 2mg (1 cos )
mg (3cos 2)
N ' mg (3cos 2)
讨论
y

o
R
v
x
从上述结果可以看出： 随着小球下滑， 从 0 开始增大。 cos 逐渐减小， N 逐渐减小。
三、平动加速参考系中的惯性力
du S ' 相对于 S 加速度为： 0 a dt 两个平动参考系之间，加速度变换 a a ' a0
设 S 为惯性系，S ' 为非惯性系
若质点 m 在 S 系中满足牛顿第二定律： ma F 考虑到力与参考系无关 F'F ma0 ma '
坐 标 系
v mg cos N m R
2
小球对圆柱体的压力为：
dv dv ds dt ds dt dv v ds
dv v R d
v2 N ' N mgcosθ m R
O
ds
R
d
g sin
vdv gR sin d

v
0
vdv gR sin d
v0 0
根据雨滴受力分析（如图），列出 牛顿方程：
x
mg f ma f kv
f
mg
dv mg kv m dt
dv dt k g v m

v
0
t dv dt 0 k g v m
v 0
m k ln( g v) k m
t
k t m
mg v (1 e k
)
求雨滴的位置坐标：
dx mg v (1 e dt k
x t
k t m
)
mg dx (1 e 0 0 k
k t m
)dt
k t m
mg m x [t (1 e k k
)]
（1）当 t 时， 讨论
mg v vT k
2. 重力

FI Fe p R

p Fe FI
mM Fe G 2 R 2 FI m r
可以证明：
o
r R cos
p Fe (1 0.0035cos )
2
3. 弹性力
O
x
i
F kxi
k：劲度系数。 ：端点的位移。O：为平衡位置。 xi
4. 摩擦力
阻止两个相接触物体之间相对运动（滑动）趋势的 力摩擦力
k
fs max s N
最大静摩擦力
f k k N
滑动摩擦力
o
v
滑动摩擦系数与物体相对运动速度有关（如上图示）
5. 流体阻力
f ·物体运动速度小时： bv
物体在流体中运动时，会受到流体的阻力。
则在 S ' 系中： ' F
ma '
牛顿第二定律在非惯性系不成立！
但是，若在非惯性系引 入虚拟力（惯性力）：
在非惯性系 S ' 系中：
FI ma0 F FI ma '
牛顿第二定律在非惯性系 形式上成立
考虑到力与参考系无关
则在 S ' 系中： ' ma ' F
2. 牛顿第二定律
（1）实验表明：力满足矢量的平行四边形叠加定则。
即:
质点所受的合力为所有作用在质点上的力的矢
量和：
F Fi
i
（2）在合力作用下，质点的加速度 a 有以下性质：
(a) 加速度方向同合力 Fi (b) a i m
说明： 牛顿第二定律同时定义
[例 2-4] 设一物体在离地面上空高度等于地球半径 处由静止向地面落下，计算它到达地面时的速度（不 计空气阻力和地球自转）。 m 正向 解：
Gme m F 2 er r
me
R
Gme m mg 2 R
2 gR m F 2 er r
gR 2 m dv 2 ma m r dt
2.1 牛顿运动定律
一、牛顿运动三定律 1. 牛顿第一定律（惯性定律）
任何物体如果没有力的作用，都将保持静止
或作匀速直线运动的状态。
说明：
(1) 定义了惯性参考系的概念
物体静止或匀速直线运动，相对哪个参照系? 惯性参考系 (2) 定义了物体的惯性和力的概念 •物体保持运动状态的特性——惯性 •改变物体运动状态的原因——力 （物体间的相互作用）
2 ·物体运动速度大时： f cv
b 与流体及物体的性质有关
c 与流体及物体的性质有关
湍流（旋涡）
·物体运动速度更大时：f
v
3
三、牛顿定律的应用 关键步骤 （1）选取研究对象 （2）对研究对象隔离，分析受力情况 （3）选择适当坐标系，列出相应方程 （4）解方程，并对结果进行分析和讨论
Fb xg
mg
此时棒受到的合外力为：
F mg xg g ( l x)
利用牛顿第二定律建立运动方程：
要求出速度与位置的关系式，做如下变换
dv m g ( l x) d x dt lv d v g ( l x) d x 2 2 gl 2 lv 2 gl 积分得到
dv Ft mat m dt 2 v Fn man m
3. 牛顿第三定律(作用力与反作用力定律) 作用力与反作用力大小相等、方向相反，作用在不
同物体上。
f' f
*牛顿力学的适用范围*
（1）仅对惯性系成立. （2）适用于低速(相对于观测者)系统——称经典力学. （3）适用于宏观系统和部分微观系统力学性质研究. （4）适用于实物的相互作用问题，不适用于场传递的 相互作用.
[例 2-3] 一固定光滑圆柱体上的小球（m）从顶端下滑。 求小球下滑到 时小球对圆柱体的压力。 y 解：在 处时， 质点受力如图 N

N mg ma dv 自 mg sin m et 然 dt
o
o

mg

o
R
v
x
en
mg
TB
f T B
aA aB 0
(mA mB ) aA aB g (mA mB )
（b）若A、B 原处运动状态，A、B运动均为减速运动。
[例 2-2] 讨论雨滴下落过程中受到空气黏滞力作 用时的运动规律。
O
解：设雨滴初始时刻静止于原点（如图）。
（a）力的量度 （b）物体（惯性）质量 力的量度和物体质量通过2nd 定律协调定义。
在国际单位制中： F ，N，m，kg，a，m/s2
a
Fi
i
m
dp F ma dt
牛顿第二定律的瞬时性
质点的加速度与其所受的力同时出现或同时消失！ 牛顿第二定律的矢量性
y′ u [S] r R o′
.P (x, y, z )
(x,y,z )
r′
x′ x
r r R
v v u
du a a dt
du 当两参考系相对运动满足： 0 dt
a a
若 S 中F ma 成立， 必有S′中 F ma 。
终极速度 (terminal velocity)
物体达到终极速度条件是物体加速度为零。
mg kvT 0
2 （2）若 f kv 终极速度不同！ ，
vT
mg k
2 gt vT
物体运动规律也不相同！
1 e v vT 2 gt 1 e vT

v 2 gl gl

2.2 力学相对性原理 非惯性参考系
一、惯性参考系和非惯性参考系
考虑如下两个参考系 S（地面）和 S（相对于 S 加 速运动的车厢）：车厢光滑底面上有一个滑块。
[S]
a
[S]
a'
很显然在 S 参考系中，滑块的运动符合牛顿定律。
而在 S参考系中则不然。
（1）当 mA mB 时, （a）从静止开始 讨论 A、B加速运动。 （b）从某运动状态开始 （2） mA mB 时, aA aB 0 。 当 （a）若A、B 原为静止，则不可能！ 出现上述情况的原因是：
N
mB
f
当 mA mB 时, 摩擦力为静摩擦情况。
当 继续增大时，会有何结果？
当 cos < 2/3 时， N < 0, 这可能吗？为什么？ 当 cos ＝ 2/3 时，N = 0。此时，小球将离开圆 柱体。 动 力 学 方 程
dv mg sin m dt
v mg cos N m R
2
将不再适用！
此后，小球将做抛体运动！
mB
mB g
TB
TA
mA
mA g
aA
aB
A: B:
mA g TA mA aA TB f mB aB
N mB g 0
附 加 方 程
TA TB aA aB f N
(mA mB ) aA aB g (mA mB )
二、相互作用与力
四 种 基 本 相 互 作 用
（1）（万有）引力作用 （2）电磁作用 （3）弱相互作用 （4）强相互作用