921-2.1.1合情推理之归纳推理(1,25)

2.1.1合情推理（第一课时）
教材分析
本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）中第二章《推理与证明》第一节的第一课时.推理与证明是一种数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出现在高中数学教材中尚属首次.《推理与证明》是新课标教材的亮点之一，本章内容将推理与证明的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用.总体来说，本章内容属于数学思维方法的范畴，即把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中显性的形式呈现出来．使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们，以培养言之有理、言之有据的习惯. 归纳推理，为人类能够发现新事实、获得新结论，做出科学发现的重要手段，这是人们应该具备的一种基本素养．
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解归纳推理的含义，会利用归纳进行一些简单的推理.
教学目标
重点: 归纳推理原理的应用.
难点：归纳推理的方法．
知识点：应用归纳推理进行简单的数学结论的猜想.
能力点：如何探寻归纳推理在研究新问题中的应用，数形结合、分类讨论的数学思想的运用.
教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.
自主探究点：探寻如何证明归纳推理的正确与否.
考试点：应用归纳推理进行简单的归纳、得出新结论.
易错易混点：由特殊的、具体材料出发归纳出的结论的一般性.
拓展点：除了归纳推理之外还有哪些推理形式呢？
教具准备多媒体课件
课堂模式学案导学
一、创设情景，引入新课
1.耳熟能详的《狼来了》的故事蕴含的推理；介绍四幅图的大致内容，还原儿时的寓言故事，说明推理在现实生活中是到处存在的.
【设计意图】自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”.创造和谐积极的学习气氛.进而利用章头引言向学生简要介绍本章的主要内容及学生学完后应达到的目标.
2.以讲故事的形式展现哥德巴赫猜想. 6338351055125714771651110002997110021398636=+=+=+=+=+=+=+=+
任何一个不小于的偶数都等于两个奇数之和.
【设计意图】一是吸引学生的注意；二是分解了哥德巴赫猜想中的难点；三是从这故事中提示了归纳推理的主要内涵.
二、探究新知
1.归纳推理的思维过程：几个事实→一种观察→一般观点→从头核对→提出猜想.（由哥德巴赫猜想的过程归纳出来）
2.归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般结论（简称归纳）.（简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理）
3.学生分小组讨论：
将学生划分为两大部分，一部分讨论生活中运用归纳推理例子，一部分讨论学科学习中使用归纳推理的例子.学生举例之后教师总结.
归纳推理的几个特点;
1、归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.
2、归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明 归纳推理的过程：
⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理 ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想.
归纳推理的框图表示：
具体的材料
【设计意图】分组讨论降低了概念学习的难度，使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究，框图表示使学生对归纳推理有更形象的认识.
三、理解新知
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，为研究新事物指明了方向.
【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.
四、运用新知
例1已知数列{}n a 的第一项11a =，且1(1,2,3,)1n
n n
a a n a +=
=+ ，试归纳出这个数列的通项公式.
分析：数列的通项公式表示的是数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间的对应关系.为此，我们根据已有的递推公式，算出数列的前几项.
解：当1n =时，11a =；当2n =时，211112
a =
=+； 当3n =时，31
121312a ==+；当4n =时，411
31413
a ==+.
观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：1
n a n
=
. 【设计意图】在本例中，我们通过归纳得到了关于数列的通项公式的一个猜想，虽然猜想是否正确还有待于严格的证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.让学生初步体会归纳推理的过程. 【变式练习1】⑴观察：
222222sin 30sin 90sin 150,sin 5sin 65sin 125︒︒︒︒︒︒++=++=
由上面两式结构规律，你可以归纳猜想
⑵已知两个圆①221x y +=与②22(3)1x y +-=,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程；两个圆③22(2)(3)2x y -+-=与④22(1)(1)2x y -++=则由③式减去④式可得上述两圆的对称轴方程；两个圆⑤22(5)(3)7x y ++-=与⑥22(2)7x y -+=则由⑤式减去⑥式可得上述两圆的对称轴方程；由上面命题的结构规律，可以归纳猜想一个更一般的命题为 .
【设计意图】通过学生多角度的观察所得到结论的交流，让学生感受数学美和发现规律的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律.同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事.鼓励学生多角度的观察，大胆的猜测和探究，培养学生的观察能力，同时感受归纳推理出来的有的结论是错误的. 例2 数一数图中的凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关
系.
由上表可归纳出：2F V E +=+.
【设计意图】通过让学生自己动手去数凸多面体的面数、顶点数和棱长数，归纳出上述公式，即欧拉公式，让学生体会归纳推理在发现新问题中的作用. 【变式练习2】
练习1：观察下列算式：
2
2
22
2
111342135931357164
13579255=+==++==+++==++++==
你能得出怎样的结论 ?1+3+5+ ⋯⋯+(2n-1)=n 2
练习2：图中n 层小正方体堆放在一起总共有多少个小正方体？
【设计意图】由具体材料通过观察总结归纳出反应一般规律的结论，正是归纳推理实施的一般过程.让学生亲自去体会.
五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？
学生作答：1．知识：归纳推理的概念及其特点，以及应用归纳推理的过程，归纳推理的作用．
2．思想：数形结合的思想、由特殊到一般的思想．
教师总结: 归纳的依据是具体的材料以及前面所学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．
【设计意图】 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．
六、布置作业
1．阅读教材P70—71； 2.书面作业
必做题：P77 练习1 P83 习题2.1 A 组 1，3 B 组 1
选做题：1. 设20121
12,,(2)(3)2
3
n
n n
n n n N x x a a x a x a x ≥∈+-+=+++ ，将(0)k a k n ≤≤的最小值
记为n T ，则234533551111
0,,0,,2323
n T T T T T ==-==- ，求n T
.
2222222222222222222221112512314123430123455512345?
n =+=++=+++=++++=++++++=
2．课外思考 在ABC ∆中，射影定理可以表示为cos cos a b C c B =+.其中,,a b c 依次为角,,A B C 的对边，类比以上的定理，给出空间四面体性质的猜想.
【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够理解归纳推理的过程，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解归纳推理的作用，培养学生用整体的观点看问题，为接下来的类比推理的引入做铺垫，起到承上启下的作用．
七、教后反思
1.本教案的亮点是变式训练.在例1的教学后的变式让学生仔细观察给定的材料，归纳得出一般结论．例2后的变式，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力．
2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在归纳推理的实施过程上下足功夫.
3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.
八、板书设计。