海淀高一下期中考试

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2020-2021学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷

2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷试题数：19，总分：1001.（单选题，4分）若角α的终边经过点P （-2，3），则tanα=（） A. −23 B. 23 C. −32 D. 322.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |=（） A.3 B. √3 C.5 D. √53.（单选题，4分） MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.（单选题，4分）在△ABC 中，A 为钝角，则点P （cosA ，tanB ）（） A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限5.（单选题，4分）下列函数中，周期为π且在区间（ π2 ，π）上单调递增的是（） A.y=cos2x B.y=sin2x C. y =cos 12x D. y =sin 12x6.（单选题，4分）对函数y=sinx的图象分别作以下变换：① 向左平移π4个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）；② 向左平移π12个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）③ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π4个单位④ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π12个单位其中能得到函数y=sin(3x+π4)的图象的是（）A. ① ③B. ② ③C. ① ④D. ② ④7.（单选题，4分）如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ =（）A.- b⃗⃗B. b⃗⃗C.-6 a⃗ + b⃗⃗D.6 a⃗ - b⃗⃗8.（单选题，4分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则ω的值为（）A.2B.1C. 12D. 149.（单选题，4分）“sinα=cosβ”是“ α+β=π2+2kπ(k∈Z)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题，4分）已知函数f （x ）=（x-1）3．Q 是f （x ）的图象上一点，若在f （x ）的图象上存在不同的两点M ，N ，使得 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （） A.有且仅有1个 B.有且仅有2个 C.有且仅有3个 D.可以有无数个11.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1），则 a ⃗ +2 b ⃗⃗ =___ ． 12.（填空题，4分）已知cosα4sinα−2cosα=16，则tanα=___ ．13.（填空题，4分）在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x-y=___ ． 14.（填空题，4分）已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有 f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，则φ=___ ．15.（填空题，4分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．（1）若甲声波的数学模型为f 1（t ）=sin200πt ，乙声波的数学模型为f 2（t ）=sin （200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f （t ）=f 1（t ）+f 2（t ）．要使f （t ）=0恒成立，则φ的最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H （t ），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S 1，S 2两种不同的声波合成得到的，S 1，S 2的数学模型分别记为f （t ）和g （t ），满足H （t ）=f （t ）+g （t ）．已知S 1，S 2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．① y =sin π2t ； ② y=sin2πt ； ③ y=sin3πt ； ④ y=2sin3πt ．则S 1，S 2两种声波的数学模型分别是___ ．（填写序号）16.（问答题，9分）已知函数 f (x )=1−cos 2xsinx．（Ⅰ）求f （x ）的定义域；（Ⅱ）若 f (θ)=2√55，且 θ∈(π2，π) ，求tan （π-θ）的值．17.（问答题，9分）已知点A （5，-2），B （-1，4），C （3，3），M 是线段AB 的中点．（Ⅰ）求点M 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标．18.（问答题，11分）已知函数 f (x )=2sin (x −π3) ．（Ⅰ）某同学利用五点法画函数f （x ）在区间 [π3，7π3] 上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；xπ3 5π6 11π6 7π3 x −π3π 3π2 2π f （x ）2（ⅰ）若函数g （x ）的最小正周期为 2π3 ，求g （x ）的单调递增区间；（ⅱ）若函数g （x ）在 [0，π3] 上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．19.（问答题，11分）若定义域R 的函数f （x ）满足：① ∀x 1，x 2∈R ，（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]≥0， ② ∃T ＞0，∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1．则称函数f （x ）满足性质P （T ）．（Ⅰ）判断函数f （x ）=2x 与g （x ）=sinx 是否满足性质P （T ），若满足，求出T 的值；（Ⅱ）若函数f （x ）满足性质P （2），判断是否存在实数a ，使得对任意x∈R ，都有f （x+a ）-f （x ）=2021，并说明理由；（Ⅲ）若函数f （x ）满足性质P （4），且f （-2）=0．对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），求函数 g (t )=tf (t )+f (t )f(4t)的值域．2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：19，总分：1001.（单选题，4分）若角α的终边经过点P （-2，3），则tanα=（） A. −23 B. 23 C. −32 D. 32【正确答案】：C【解析】：利用任意角的三角函数的定义求解．【解答】：解：∵角α的终边经过点P （-2，3）， ∴tanα= 3−2 =- 32 ，故选：C ．【点评】：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，是基础题． 2.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |=（） A.3 B. √3 C.5 D. √5【正确答案】：D【解析】：根据题意，由向量的坐标结合向量的模的计算公式，计算可得答案．【解答】：解：根据题意，向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |= √12+22 = √5 ，即| a ⃗ |= √5 ，故选：D ．【点评】：本题考查向量模的计算，关键是理解向量的坐标以及向量模的定义．3.（单选题，4分） MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【正确答案】：A【解析】：根据向量的减法的运算法则进行求解即可．【解答】：解：因为： MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选：A ．【点评】：本题主要考查平面向量的基本运算，比较基础．4.（单选题，4分）在△ABC 中，A 为钝角，则点P （cosA ，tanB ）（） A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限【正确答案】：B【解析】：根据三角形内角和定理与三角函数值的符号法则，判断即可．【解答】：解：△ABC 中，A 为钝角，所以B 为锐角，所以cosA ＜0，tanB ＞0，所以点P （cosA ，tanB ）在第二象限内．故选：B ．【点评】：本题考查了三角形内角和定理与三角函数值符号的判断问题，是基础题． 5.（单选题，4分）下列函数中，周期为π且在区间（ π2 ，π）上单调递增的是（） A.y=cos2x B.y=sin2x C. y =cos 12x D. y =sin 12x 【正确答案】：A【解析】：利用三角函数的周期性和单调性即可求解．【解答】：解：对于A，y=cos2x的周期为π，在区间（π2，π）单调递增函数，所以正确；对于B，y=sin2x的周期为π，在区间（π2，π）不是单调函数，所以不正确；对于C，y=cos 12 x的周期为2π12=4π，所以不正确；对于D，y=sin 12 x的周期为2π12=4π，所以不正确；故选：A．【点评】：本题考查三角函数的周期性以及单调性的判断，是基础题．6.（单选题，4分）对函数y=sinx的图象分别作以下变换：① 向左平移π4个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）；② 向左平移π12个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）③ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π4个单位④ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π12个单位其中能得到函数y=sin(3x+π4)的图象的是（）A. ① ③B. ② ③C. ① ④D. ② ④【正确答案】：C【解析】：根据三角函数沿x轴的平移变换和伸缩变换，看哪个变换可由y=sinx得到y=sin(3x+π4)即可．【解答】：解：① y=sinx→ y=sin(x+π4)→ y=sin(3x+π4)；② y=sinx→ y=sin(x+π12)→ y=sin(3x+π12)；③ y=sinx→y=sin3x→ y=sin3(x+π4)；④ y=sinx→y=sin3x→ y=sin3(x+π12)=sin(3x+π4)．故选：C．【点评】：本题考查了三角函数沿x轴方向的平移变换和伸缩变换，考查了计算能力，属于基础题．7.（单选题，4分）如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ =（）A.- b⃗⃗B. b⃗⃗C.-6 a⃗ + b⃗⃗D.6 a⃗ - b⃗⃗【正确答案】：D【解析】：利用平面向量的基本定理，推出结果即可．【解答】：解：如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ = a⃗+b⃗⃗ +（2 a⃗−2b⃗⃗）-（-3 a⃗）=6 a⃗ - b⃗⃗．故选：D．【点评】：本题考查向量的基本定理的应用，向量的加减运算，是基础题．8.（单选题，4分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则ω的值为（）A.2B.1C. 12D. 14【正确答案】：C【解析】：由点（0，√2）在函数的图象上可求sinφ= √22，结合范围|φ|＜π2，可得φ= π4，又点（2π，- √2）在函数的图象上，有sin（2πω+ π4）=- √22，可得2πω+ π4=2kπ- π4，或2kπ- 3π4，k∈Z，从而解得ω的值．【解答】：解：∵点（0，√2）在函数的图象上，即有2sinφ= √2，∴sinφ= √22，∵|φ|＜π2，∴可得：φ= π4，又∵点（2π，- √2）在函数的图象上，即有2sin（2πω+ π4）=- √2，∴sin（2πω+ π4）=- √22，可得2πω+ π4=2kπ- π4，或2kπ- 3π4，k∈Z，∴解得ω=k- 14，或ω=k- 12，k∈Z，则当k=1时，ω的值为12．故选：C．【点评】：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，理解三角函数图象的特征是解题的关键，属于基础题．9.（单选题，4分）“sinα=cosβ”是“ α+β=π2+2kπ(k∈Z)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：sinα=cosβ⇒cos（π2 -α）=cosβ，可得β=2kπ±（π2-α），k∈Z．即可判断出结论．【解答】：解：sinα=cosβ⇒cos（π2-α）=cosβ，∴β=2kπ±（π2-α），k∈Z．化为：α+β= π2+2kπ，k∈Z，或β-α=- π2+2kπ，k∈Z，∴“sinα=cosβ“是“α+β= π2+2kπ，k∈Z“的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.（单选题，4分）已知函数f （x ）=（x-1）3．Q 是f （x ）的图象上一点，若在f （x ）的图象上存在不同的两点M ，N ，使得 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （） A.有且仅有1个 B.有且仅有2个 C.有且仅有3个 D.可以有无数个【正确答案】：A【解析】：先由已知可得Q 为M ，N 的中点，然后根据函数f （x ）的对称性即可做出判断．【解答】：解：因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q 为MN 的中点，因为函数f （x ）=（x-1）3关于点（1，0）成中心对称，所以当Q 的坐标为（1，0）时，取关于点Q 对称的点M ，N 符合题意， M ，N 在（1，0）两侧时，中点也要在函数f （x ）上，只能是（1，0），M ，N 在（1，0）同侧时，相当于M ，Q ，N 所在的直线与f （x ）在一侧有3个交点，不可能成立，故满足条件的Q 只有一个，故选：A ．【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到函数的对称性，考查了学生的分析问题的能力，属于中档题．11.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1），则 a ⃗ +2 b ⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]（7，0）【解析】：根据向量的坐标运算求出 a ⃗ +2 b ⃗⃗ 的坐标即可．【解答】：解：∵ a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1）， ∴ a ⃗ +2 b⃗⃗ =（1，-2）+2（3，1）=（7，0），故答案为：（7，0）．【点评】：本题考查了向量的坐标运算，考查对应思想，是基础题． 12.（填空题，4分）已知 cosα4sinα−2cosα=16 ，则tanα=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：对已知等式分子分母同时除以cosα，即可求出tanα的值．【解答】：解：∵ cosα4sinα−2cosα=16 ， ∴ 14tanα−2=16 ， ∴4tanα-2=6， ∴tanα=2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．13.（填空题，4分）在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x-y=___ ．【正确答案】：[1]- 35【解析】：利用已知条件画出图形，利用平面向量的基本定理，求解x ，y 即可．【解答】：解：在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如图，可知 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 15 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +45 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x= 15 ，y= 45 ，则x-y=- 35 ．故答案为：- 35 ．【点评】：本题考查平面向量的基本定理的应用，是基础题． 14.（填空题，4分）已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，则φ=___ ．【正确答案】：[1] π6【解析】：由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出ω，再根据五点法作图，可得φ的值．【解答】：解：∵函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有 f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，∴ 1 2• 2πω= 4π3- π3，∴ω=1．且π3是f（x）的最大值点，4π3是函数f（x）的最小值点，由五点法作图可得1× π3+φ= π2，∴φ= π6，故答案为：π6．【点评】：本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．15.（填空题，4分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．（1）若甲声波的数学模型为f1（t）=sin200πt，乙声波的数学模型为f2（t）=sin（200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f（t）=f1（t）+f2（t）．要使f（t）=0恒成立，则φ的最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f（t）和g（t），满足H（t）=f（t）+g（t）．已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．① y=sinπ2t；② y=sin2πt；③ y=sin3πt；④ y=2sin3πt．则S1，S2两种声波的数学模型分别是___ ．（填写序号）【正确答案】：[1] ② ③【解析】：（1）由函数f（t）的解析式以及正弦型函数的性质，即可解出；（2）由函数图象分析可知至少有一个数学模型的振幅大于等于2，由此可知④ 是必选，再利用函数图象及其周期性可作出判断．【解答】：解：（1）由题意可知sin200πt=-sin（200πt+φ），又∵sin（π+α）=-sinα，∴φmin=π，（2）当t=1时，y=sinπ2=1，y=sin2π=0，y=sin3π=0，y=2sin3π=0，由图象可知H（1）=0，∴排出① ，由图象可知，波峰波谷是不一样波动的，且有三种不同的波峰，则说明f（t），g（t）的周期不同，而③ ④ 的周期相同，∴一定包含② y=sin2πt，若② ④ 组合，当t= 16时，H（16）=sin（2π× 16）+2sin（3π× 16）= √32+2＞3，与图象不符，∴排除④ ，∴只能是② ③ ．故答案为：π，② ③ ．【点评】：本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，分析问题能力，属于基础题．16.（问答题，9分）已知函数f(x)=1−cos2xsinx．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若f(θ)=2√55，且θ∈(π2，π)，求tan（π-θ）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由sinx≠0即可求出f（x）的定义域．（Ⅱ）先化简函数f（x）的解析式，再代入f(θ)=2√55，得到sinθ= 2√55，在根据同角三角函数间的基本关系和角θ的范围求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可知sinx≠0，∴x≠kπ（k∈Z），∴f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．（Ⅱ）f(x)=1−cos 2xsinx = sin2xsinx=sinx，∵ f(θ)=2√55，∴sinθ= 2√55，又∵ θ∈(π2，π)，∴cosθ=- √1−sin2θ =- √55，∴tan（π-θ）=-tanθ=- sinθcosθ=2．【点评】：本题主要考查了三角函数的恒等变形及化简，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．17.（问答题，9分）已知点A （5，-2），B （-1，4），C （3，3），M 是线段AB 的中点．（Ⅰ）求点M 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据向量的运算性质计算即可；（Ⅱ）根据向量的线性运算计算即可．【解答】：解：（Ⅰ）∵A （5，-2），B （-1，4），M 是线段AB 的中点， ∴M （5−12 ， −2+42）=（2，1）， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，4）-（5，-2）=（-6，6）；（Ⅱ）设D （x ，0），则 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+1，-4）， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-2）， ∵ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴（x+1）•（-2）-（-4）•（-1）=0，解得：x=-3， ∴点D 的坐标是（-3，0）．【点评】：本题考查了向量的坐标运算，考查平行向量，是基础题． 18.（问答题，11分）已知函数 f (x )=2sin (x −π3) ．（Ⅰ）某同学利用五点法画函数f （x ）在区间 [π3，7π3] 上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；xπ35π611π6 7π3x−π3π3π22πf（x） 2（Ⅱ）已知函数g（x）=f（ωx）（ω＞0）．（ⅰ）若函数g（x）的最小正周期为2π3，求g（x）的单调递增区间；（ⅱ）若函数g（x）在[0，π3]上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用正弦函数的性质及五点作图法即可求解；（Ⅱ）（ⅰ）由已知可求g（x）=2sin（ωx- π3），利用正弦函数的周期公式可求ω=3，利用正弦函数的单调性即可求解；（ⅱ）利用正弦函数的性质即可求解．【解答】：解：（Ⅰ）表格如下：x π35π611π67π3x−π3π2π3π22πf（x） 2 -2 图像如下：（Ⅱ）已知函数g（x）=f（ωx）（ω＞0）．（ⅰ）∵ f (x )=2sin (x −π3) ，g （x ）=f （ωx ）（ω＞0）． ∴g （x ）=2sin （ωx - π3 ），∵函数g （x ）的最小正周期为 2π3 = 2πω ，解得ω=3， ∴g （x ）=2sin （3x- π3），令2kπ- π2 ≤3x - π3 ≤2kπ+ π2 ，k∈Z ，解得- π18 + 2kπ3 ≤x≤ 5π18 + 2kπ3，k∈Z ，可得g （x ）的单调递增区间为[- π18 + 2kπ3 ， 5π18 + 2kπ3]，k∈Z ；（ⅱ）ω的取值范围为（0，1）．【点评】：本题主要考查了五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题． 19.（问答题，11分）若定义域R 的函数f （x ）满足：① ∀x 1，x 2∈R ，（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]≥0， ② ∃T ＞0，∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1．则称函数f （x ）满足性质P （T ）．（Ⅰ）判断函数f （x ）=2x 与g （x ）=sinx 是否满足性质P （T ），若满足，求出T 的值；（Ⅱ）若函数f （x ）满足性质P （2），判断是否存在实数a ，使得对任意x∈R ，都有f （x+a ）-f （x ）=2021，并说明理由；（Ⅲ）若函数f （x ）满足性质P （4），且f （-2）=0．对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），求函数 g (t )=tf (t )+f (t )f(4t)的值域．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用定义分别判断即可求解得结论；（Ⅱ）由 ② 计算可得f （x+2n ）=f （x ）+n ，即f （x+2n ）-f （x ）=n ，令n=2021即可求得a 的值；（Ⅲ）根据已知可得任意的x∈[-2，2），f （x ）=0，递推可得任意的x∈[4k -2，4k+2），k∈Z ，有f （x ）=k ，由f （t ）≠0，可得t∉[-2，2），分t=2，|t|＞2两种情况分别求出g （t ）的值域即可得解．【解答】：解：（Ⅰ）函数f （x ）=2x 为增函数，满足性质 ① ，对于 ② ，由∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1有2（x+T ）=2x+1，所以2T=1，T= 12，所以函数f （x ）=2x 满足性质P （ 12 ）．函数g （x ）=sinx 显然不满足 ① ，所以不满足性质P （T ）．（Ⅱ）存在，理由如下：由∀x∈R ，f （x+2）=f （x ）+1．可得f （x+2n ）=f （x+2n-2）+1=f （x+2n-4）+2=f （x+2n-6）+3=…=f （x ）+n （n∈N*），即f （x+2n ）-f （x ）=n ，令n=2021，得a=2n=4042．（Ⅲ）依题意，对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），所以f （0）=0，因为函数f （x ）满足性质P （4），由 ① 可得，在区间[-2，0]上有f （-2）≤f （x ）≤f （0），又因为f （-2）=0，所以0≤f （x ）≤0，可得任意x ∈[-2，0]，f （x ）=0，又因为对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），所以任意的x∈[-2，2），f （x ）=0，递推可得任意的x∈[4k -2，4k+2），k∈Z ，有f （x ）=k ，函数g （t ）=tf (t )(f(4t)+1)，因为f （t ）≠0，所以t∉[-2，2），由 ② 及f （-2）=0，可得f （2）=1，所以当t=2时，g （2）= 21×(1+1) =1，当|t|＞2时， 4t ∈（-2，2），所以f （ 4t ）=0，即|t|＞2时，g （t ）= tf (t ) ，所以当t∈[4k -2，4k+2）（k∈Z ，k≠0，t≠2）时，g （t ）= tk ，当k≥1时，g （t ）∈[4k−2k ， 4k+2k ）=[4- 2k ，4+ 2k）（当k=1时，g （t ）≠2，需要排除），此时 2k 随k 的增大而减小，所以[4- 2k+1 ，4+ 2k+1 ）⫋[4- 2k ，4+ 2k ），所以求值域，只需取k=1，得g （t ）∈[4- 21 ，4+ 21 ）=[2，6），当k ＜0时，g （t ）∈（4k+2k ， 4k−2k ]=（4+ 2k ，4- 2k]，此时 2k 随k 的增大而减小，所以（4+ 2k−1 ，4- 2k−1 ]⫋（4+ 2k ，4- 2k ]，只需取k=-1，得g （t ）∈（4+ 2−1 ，4- 2−1 ]=（2，6]．综上，函数g（t）的值域为{1}∪（2，6]．【点评】：本题主要考查抽象函数及其应用，考查新定义，函数值域的求法，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．。

北京市海淀区高一语文下学期期中试题扫描版北京版

北京市海淀区高一语文下学期期中试题（扫描版）海淀区高一年级第二学期期中练习答案语文一、（20分）1．B2．D3．D4．C（A项“病例”与“救治”搭配不妥，“提高”的宾语“能力”残缺；B项不合逻辑，“切忌”与“不走过场”矛盾；D项“增进”与“教学”搭配不妥，“各领域两国”语序不妥，应为“两国各领域”）5．B（“古诗文运动”应为“古文运动”）6．（10分）每题1分，每题错1字该小题不得分。

①慨当以慷何以解忧②一夫当关万夫莫开③丛菊两开改日泪④唯见江心秋月白⑤望帝春心托杜鹃⑥申之以孝悌之义⑦驽马十驾功在不舍⑧仁义不施而攻守之势异也⑨位卑那么足羞官盛那么近谀⑩凌万顷之茫然二、（40分）7．(4分)每一个词语1分。

①然：如此。

②就：接近，靠近。

③乎：相当于“于”，关于。

④疾：强,那个地址指声音宏大。

８．(2分)借助于船和桨的人，（尽管）不擅长游泳，可是能够横渡江河。

９．（4分）每一个词语1分。

①负：依仗。

②之：往，到。

③穷：困窘的处境。

④见：被。

10．（2分）每一个词语1分。

①以，②而。

11．（4分）（他以为贾谊）因为“志大而量小，才有余而识不足也”，因此，虽为“王者之佐，而不能自用其才也”（“自用者实难”也可）。

因、果各2分。

12．（5分）评分要点：①结合诗句，刻画景象（2分），②结合关键词，把握景象特点（２分），③明确景情关系（1分）。

（意思对即可）例如：诗人刻画了黄昏时分，乌云聚集，低沉地压向地面；急雪在旋风中狂舞的景象（2分），“乱”“低”“薄”表现云的厚重、天的灰暗，“急”“舞”“回”写出风大雪急，营造出昏暗、凄冷的意境（２分），诗人借阴冷的画面转达出无穷愁绪（1分）。

13．（6分）评分要点：①诗人孤独衰老，生活困窘（2分）：②亲友离散，消息断绝（2分）；③战乱未平，百姓伤亡（2分）（意思对即可，抄写诗歌原句酌情扣分）例如：无数家庭亲友离散、亲人亡故（２分），自己也正孤苦无依、饥寒交迫（２分），年老的诗人在薄暮乱云、回风急雪的情景中，生发了对亲友和国运的深切忧虑、无从着力的孤独愁苦之情（2分）。

北京市海淀区2023-2024学年高一下学期4月期中物理试题含答案

2023—2024学年度第二学期高一年级物理学科期中练习（等级考）考试时间90分钟（答案在最后）一、不定项选择题（共54分，每小题3分。

在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项是正确的，有的小题有多个选项是正确的。

全部选对得3分，选不全得2分，有选错或不答得0分）1.万有引力122Gm m F r =公式中，下面说法中正确的是（）A.G 为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的B.当r 趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C.m 1与m 2受到的引力总是大小相等的D.m 1与m 2受到的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力【答案】AC 【解析】【详解】A ．G 为引力常量，它是由卡文迪许通过实验测得的，而不是人为规定的，故A 正确；B ．当r 趋近于零时，不可以将两物体看作质点，则万有引力公式不再适用，万有引力不会趋于无穷大，故B 错误；CD ．m 1与m 2受到的引力互为相互作用力，总是大小相等、方向相反，故C 正确，D 错误。

故选AC 。

2.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证（）A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的2160B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的2160C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的16D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的160【答案】B 【解析】【详解】A ．设月球质量为M 月，地球质量为M ，苹果质量为m ，则月球受到的万有引力为()2=60GMM F r 月月苹果受到的万有引力为2GM m F r =由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故选项A 错误；B ．根据牛顿第二定律()260GMM M a r =月月月，2GMm mar =整理可以得到2160a a =月故选项B 正确；C ．在地球表面处''2M R m G m g =地地在月球表面处''2M m Gm g r =月月月由于地球、月球本身的半径大小、质量大小关系未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故选项C 错误；D 由C 可知，无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与地球表面引力之间的关系，故选项D 错误。

2019-2020学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷(含解析)

2019-2020学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a=5bsinC，且cosA=5cosBcosC，则tan A的值为()A. 5B. 6C. −4D. −62.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2√2，b=4，B=45°，则A=()A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°3.方程√3sin2x+cos2x=2k−1，x∈[0,π]有两个不等根，则实数k的取值范围为()A. (−12,32) B. (−12,1)∪(1,32) C. [−12,32] D. [−12,1)∪(1,32]4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 2B. 23C. 4D. 435.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，则∠DEF的余弦值为()A. 1665B. 1965C. 1657D. 17576.已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：①m⊥n，m//α，α//β⇒n⊥β；②m⊥n，m⊥α，α//β⇒n⊥β；③m ⊥α，n//β，α//β⇒m ⊥n ；④m ⊥α，m//n ，α//β⇒n ⊥β．其中正确的是( )A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④ 7. 若0<x ，y <π2，且sinx =xcosy ，则( ) A. y <x 4B. x 4<y <x 2C. x 2<y <xD. x <y8. 已知△ABC 的面积为，则角C 的度数为( ) A. B. C. D.二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）9. 已知3sin 2θ=5cosθ+1，则cos(π+2θ)=______．10. α是第二象限角，，则tanα=________．11. 在平行四边形ABCD 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A −BD −C ，且|√2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则三棱锥A −BCD 的外接球的表面积为______． 12. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，c =√3，A +B =2C ，则sinB =______．13. 已知函数f(x)=asinx +cosx 的一条对称轴为x =π3，则a =______．三、多空题（本大题共1小题，共4.0分）14. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°，若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，线段BC 上的点Q ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体P −BCD 的体积的最大值是 (1) ；当P −BCD 体积取最大值时，|PQ|min = (2) ．四、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[−π2,0]上的最大值和最小值．16.已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，2sinAcos2C2+2sinC⋅cos2A2=3sinB(1)证明a、b、c成等差数列；(2)若∠B为锐角，且a=btanA，求a：b：c的值．17.如图所示，直三棱柱ABC−A′B′C中，∠ABC=90°，AB=BC=BB′=2，D为底棱AC的中点．(1)求证：A′B⊥平面AB′C′；(2)过B′C′以及点D的平面与AB交于点E，求证：E为AB中点；(3)求三棱锥D−AB′C′的体积．18.已知函数．(1)求函f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π个单位后得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间4[0,π]上的值域．2【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查解三角形中的正弦定理及应用，同时考查两角和差的余弦公式，诱导公式，以及同角三角函数的关系式，这些都是三角中的基本公式，务必要掌握，注意公式的逆用．运用正弦定理，把边化成角得到sinA=5sinBsinC，再与条件cosA=5cosBcosC相减，运用两角和的余弦公式，再用诱导公式转化为cos A，由同角公式，即可求出tan A．解：∵a=5bsinC，由正弦定理得：sinA=5sinBsinC①，又cosA=5cosBcosC②，②−①得，cosA−sinA=5(cosBcosC−sinBsinC)，=5cos(B+C)=−5cosA，∴sinA=6cosA，∴tanA=sinAcosA=6．故选B．2.答案：A解析：解：∵a=2√2，b=4，B=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：2√2sinA=4sin45∘，∴解得sinA=12，∵a<b，∴A<B，∴A=30°．故选：A．由已知及正弦定理解得sinA=12，结合大边对大角可求A为锐角，进而由特殊角的三角函数值可求A 的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.答案：B解析：解：cos2x+√3sin2x=2k−1，得2(12cos2x+√32sin2x)=2k−1，即2sin(2x+π6)=2k−1，可得：sin(2x+π6)=2k−12=k−12，由0≤x≤π，得π6≤2x+π6≤13π6，∵y=sin(2x+π6)在x∈[0,π]上的图象形状如图，∴当12<k−12<1和−1<k−12<12时，方程有两个不同的根，解得：1<k<32，−12<k<1．故选：B．利用辅助角公式化简，由x的范围求出这个角的范围，画出此时正弦函数的图象，根据函数值y对应的x有两个不同的值，由图象得出满足题意的正弦函数的值域，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围．本题考查了辅助角公式，正弦函数的图象与性质，以及正弦函数的定义域与值域，利用了数形结合的思想，属于中档题．4.答案：D解析：本题考查由三视图还原几何体，锥体体积的有关计算，还原几何体是解决问题的关键，属于基础题．由已知三视图还原几何体，代入四棱锥的体积公式计算可得．解：构造棱长为2的正方体如图所示，由三视图知该几何体是图中的四棱锥P−ABCD，其中B，D分别为棱的中点，则其体积V=13×[2×2−2×(12×2×1)]×2=43．故选D．5.答案：A解析：解：如图所示，作DM//AC交BE于N，交CF于M．DF=√MF2+DM2=√302+1702=10√298(m)，DE=√DN2+EN2=√502+1202=130(m)，EF=√(BE−FC)2+BC2=√902+1202=150(m)．在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF=DE2+EF2−DF22DF×EF =1302+1502−102×2982×130×150=1665．故选A分别在Rt△DMF中和Rt△DNE中利用勾股定理，求得DF，DE再算出EF=150m，在△DEF中利用余弦定理，可算出cos∠DEF的值．本题给出实际应用问题，求∠DEF的余弦值．主要考查了运用解三角形知识解决实际应用问题，考查了三角形问题中勾股定理、余弦定理的灵活运用，属于中档题．6.答案：D解析：解：①应该是n⊥β或n//β或n⊂β，即①错误；②应该是n//β或n⊂β，即②错误；③由线面垂直、线面平行和面面平行的性质定理可知③正确；④∵m⊥α，m//n，∴n⊥α，∵α//β，∴n⊥β，即④正确；故选：D．根据空间中线面的位置关系、平行与垂直的判定定理和性质定理，即可得解．本题考查了空间中线线、线面和面面的位置关系，需要熟记其判定定理和性质定理，考查了学生的空间立体感，属于基础题．7.答案：C解析：解：∵0<x，y<π2，∴0<sinx<x<tanx，又∵sinx=xcosy，∴cosy=sinxx >sinxtanx=cosx，故y<x，又∵sinx=xcosy，即12sinx=12xcosy，∴sin x2⋅cos x2=12xcosy，即cosy=sin x2⋅cos x212x<cos x2，故y>x2，综上所述，x2<y<x，故选：C．根据已知中0<x，y<π2，可得0<sinx<x<tanx，进而可将已知sinx=xcosy变形为cosy=sinxx>sinx tanx =cosx和12sinx=12xcosy，即cosy=sinx2⋅cos x212x<cos x2，进而结合余弦函数的单调性，得到答案．本题考查的知识点是三角函数线，余弦函数的单调性，本题的变形思路比较难，特别是对已知两个式子的变形．8.答案：D解析：试题分析：解：∵ab sin C，∴absinC=即.又根据余弦定理得，∴−2absinC=−2abcosC，即sinC=cosC.∴C=.故选D．考点：解三角形点评：关键是对于已知中的面积关系式的表示，再结合余弦定理来求解得到角的值，属于基础题。

北京市2023—2024学年高一下学期期中考试语文试卷含答案

北京市2023～2024学年第二学期期中考试高一语文（答案在最后）2024年4月班级姓名考号（考试时间150分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。

一、本大题共5小题，共18分。

阅读下面材料，完成下面小题。

材料一阅读是伟大的文化发明，但文字出现的历史非常短暂，人类尚不足以进化出一个先天的“阅读脑”。

这意味着，我们无法仅依靠遗传获得阅读技能。

我们之所以能够完成从“非阅读脑”到“阅读脑”的转变，既有赖于先天的大脑特性，又有赖于后天的阅读训练。

虽然人类没有进化出“阅读脑”，但先天拥有“口语脑”。

口语是人类自然习得的本能。

通过遗传，每一个准备接受阅读训练的个体已经具备了从语音通达语义的口语加工脑区和环路。

这些加工口语的脑区与环路即是“阅读脑”形成的开端。

从出生到死亡，人类的大脑并非一成不变，你可以把大脑想象成一台持续更新的机器，始终处于调整变化中。

这种能够不停“重组”的特性被称为“脑的神经可塑性”。

后天的阅读训练，有针对性地促成了先天脑的重组，其中最重要的改变当属视觉词形区的出现。

法国认知神经科学家斯坦尼斯拉斯•德阿纳比较了无阅读能力（文盲）和有阅读能力的两组成年人，发现在阅读任务中，有阅读能力组的左脑梭状回（即视觉词形区）在观看文字时的活跃强度要高于观看人脸、房屋等其他视觉刺激时的活跃强度；而文盲组，相应的脑区未发现异常活跃现象。

这一发现首次直接证明了阅读训练对脑区功能的塑造作用。

除此之外，阅读还会“改写”大脑的灰质和白质结构。

一项追踪研究发现，与刚入学时相比，儿童在二年级时，左半球的顶下小叶、中央前回和中央后回的灰质体积有所减小，推测是阅读训练引发了相关脑区神经突触的修剪过程，使这些脑区变得更加精简高效。

另一项研究发现，8-10岁儿童在接受100小时的阅读训练后，白质纤维束的走向一致性显著增强，意味着不同脑区之间的信息传输能力有所提高。

2023-2024学年北京市海淀区高一下学期期中英语检测试题1(含答案)

2023-2024学年北京市海淀区高一下学期期中英语检测试题注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卡两部分。

试题卷共五个大题，满分120分，考试时间150分钟。

2、试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上。

答在试卷上的答案无效。

3、答题前，考生务必将本人姓名、准考证号提写在答题卡第一面指定位置上。

第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

每段对话仅读一遍。

1. What will the woman do first?A. Buy a new computer.B. Surf the websites.C. Walk the dog.2. What is the weather like during the weekend?A. Cold.B. Warm.C. Hot.3. What are the speakers doing?A. Visiting a zoo.B. Making a film.C. Watching TV.4. What does the woman think the man should listen to?A. Study tapes.B. Music.C. News.5. What are the speakers mainly talking about?A. Where to eat.B. When to eat.C. Whom to eat with.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

2022-2023学年北京市海淀区高一下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市海淀区高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．如果是第三象限的角，那么（）θA ．B ．C ．D ．以上都不对sin 0θ>cos 0θ>tan 0θ>【答案】C【分析】根据象限角的符号特点即可判断.【详解】如果是第三象限的角，则，，，θsin 0θ<cos 0θ<tan 0θ>故选：C.2．下列函数是奇函数的是（）A ．B ．()1cos f x x=+()sin f x x x=+C ．D ．()cos f x x x=+()1sin f x x=+【答案】B【分析】利用奇偶性定义判断各项函数的奇偶性.【详解】显然各项函数的定义域均为R ，，偶函数，A 不符合；()1cos()1cos ()f x x x f x -=+-=+=，奇函数，B 符合；()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，非奇非偶函数，C 不符合；()cos()cos ()f x x x x x f x -=-+-=-+≠±，非奇非偶函数，D 不符合.()1sin()1sin ()f x x x f x -=+-=-≠±故选：B3．已知角α的终边上一点，且，则m 等于（）(,1)P m m +3cos 5α=A ．B ．3C ．-3D ．37-37【答案】B【分析】由三角函数的定义计算即可.【详解】由三角函数的定义可得：.3cos 35m α==⇒=故选：B4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 3y x =A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度π4π4C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度π12π12【答案】D【分析】由题可得函数，再根据三角函数图象变换规律，即得．ππsin 3sin3412y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】由于函数，ππsin 3sin3412y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到函数的图sin3y x =π12πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭象.故选：D ．5．下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（）π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．B ．()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()πcos 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．()tan 2f x x=()12sin2f x x =【答案】A【分析】应用整体法，根据对应三角函数的性质判断区间单调性及其周期.【详解】由，各项函数单调性如下：π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由，，故在上递增，且周期为π；()πsin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭[]2π,2πx ∈()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦由，，故在上不单调；()πcos 2sin 22f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭[]2π,2πx ∈()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦由定义域为，而不满足定义域；()tan 2f x x =ππ{|},Z24k x x k ≠+∈π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由，，则在上递增，且周期为4π.()12sin2f x x =ππ,242x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A6．“”是“”的（）sin cos αα=cos 20α=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A ．sin cos αα=cos 20α=【解析】1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（）A ．2ω=B ．π3ϕ=C ．的图象关于直线对称()f x 13π12x =D ．的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称()f x π3【答案】D【分析】对于A 、B ：根据图像可得，，结合周期得，代入点，分析可得1A =π22T =2ω=π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭；对于C ：结合三角函数图象性质：在最值处取到对称轴，代入检验即可；对于D ：通过平π3ϕ=移可得，结合奇偶性分析判断．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】根据图象可得：1A =，则，即，A 正确；7πππ212122T =-=2ππT ω==2ω=∵的图象过点，则()()sin 2f x x ϕ=+π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ππ(sin()1126f ϕ=+=又∵，则ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ππ2π,633ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭∴，即，B 正确；ππ62ϕ+=π3ϕ=∴，则为最大值π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭13π13ππ5ππ(sin 2sin sin 11212322f ⎛⎫=⨯+=== ⎪⎝⎭∴的图象关于直线对称，C 正确；()f x 13π12x =的图象向右平移个单位长度得到不是奇函数，不关()f x π3ππππ()sin 2sin 23333y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦于原点对称，D 错误；故选：D ．8．已知点P 是边长为1的菱形内一动点（包括边界），，则的最大值为ABCD 60DAB ∠=︒AP AB ⋅（）A B ．C ．1D ．3234【答案】B【分析】根据题意，利用平面向量数量积的几何意义即可求解.【详解】解：在菱形中，因为边长为1，，所以，ABCD 60DAB ∠=︒AC =30BAC ∠=如图，过P 作PQ 垂直于AB 于Q ，过C 作CE 垂直于AB 于E ，因为点P 是边长为1的菱形内一动点（包括边界），ABCD所以由平面向量数量积的几何意义，有,cos AP AB AP AB PAB AB AQ ⋅=⋅⋅∠=⋅所以当点P 在C 点处时最大为，即最大，AQAEAP AB ⋅此时，3cos 12AP AB AB AC BAC ⋅=⋅⋅∠==所以的最大值为，AP AB ⋅ 32故选：B.9．函数|在区间（，）内的图象是（）()tan sin tan sin f x x x x x=--+-π23π2A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分类讨论去绝对值符号，化简函数式结合正弦函数与正切函数的图象即可判定.【详解】当时，，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 0sin x x <<∴，()tan sin tan sin 2tan f x x x x x x=--+-=-当时，，3ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 0sin x x >>∴，()tan sin tan sin 2sin f x x x x x x=--+-=-由选项可判定B 选项图象正确.故选：B10．刘辉（约公元225-295年），魏晋期间的数学家.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章.割圆术的核心思想是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积.运用割圆术的思想得到的近似值为（）sin 6A ．B ．C ．D ．π180π90π60π30【答案】D【分析】利用割圆术的核心思想将圆平分60份，每份即近似一个小三角形，表示其面积即可建立方程求的近似值.sin 6【详解】利用割圆术的核心思想：将圆平分60份，每份即近似一个小三角形，该三角形面积与扇形面积近似，故，2216πsin 6πsin 6236030r r ⨯≈⇒≈故选：D二、填空题11．已知向量，，若向量与垂直，则________.()1,2a =-(),1b m =b am =【答案】2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【详解】解：向量，，向量与垂直，(1,2)a =- (,1)b m = a b，∴20a b m =-+=解得．2m =故答案为：．2【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量的数量积、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．12．在△ABC 中，若，则△ABC 一定是__________三角形.（请填写锐角，sin cos 1cos sin A B A B =-直角，或钝角）【答案】直角【分析】利用和角正弦公式可得，结合三角形内角性质判断形状即可.sin()1A B +=【详解】由题设，则，又，sin cos cos sin 1A B A B +=sin()1A B +=0πA B <+<所以，即△ABC 一定是直角三角形.π2A B +=故答案为：直角三、双空题13．计算:=_________，=_________.i cos 70cos80sin 7080s n -2π4tan8π1tan 8-【答案】2【分析】利用和角余弦公式、二倍角正切公式化简，由特殊角函数值求值即可.【详解】由cos 70cos80sin 7080708015sin cos()os 0c =-=+= 由.2π4tan π82tan 2π41tan 8==-故答案为：，214．已知单位向量和的夹角为，则__________；则与的夹角的余弦值为a b π3a b +=2a b + a b+ ________.【答案】【分析】利用向量数量积的运算律求得、a + 2a 算律求夹角余弦值.【详解】由，则，222π212cos 133a b a a b b +=+⋅+=++= a + 而，则222π24444cos 173a b a a b b +=+⋅+=++=2a 由22()()23cos 22,2|||2|||||a b a b a b a b a b a b a b a b b a a b ⋅+⋅+====++++++++ 四、填空题15．对任意实数，定义运算，则关于函数的说法正确,a b {},max ,,aa ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩(){}max sin ,cos f x x x =的是__________.（填序号）①函数的值域为；()f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦②当时，；()3π2π2πZ 2k x k k <<+∈()0f x <③是函数的一个周期；π()f x ④函数图像的对称轴为.()f x ()Z ππ4x k k =+∈【答案】①④【分析】把根据题意写成分段函数的形式，画出函数的部分图像，根据图像(){}max sin ,cos f x x x =即可判断值域、函数值的正负、周期性、对称轴.【详解】由题意得，函数，(){}π5πsin ,2π,2π44max sin ,cos ,Z3ππcos ,2π,2π44x x k k f x x x k x x k k ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦==∈⎨⎛⎫⎪∈-++ ⎪⎪⎝⎭⎩如图，作出函数在的图像.()f x []2π,4π-由图可知：函数为周期函数，最小正周期为，为其中一个周期.()f x 2π3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦-在内，3π5π,44⎡⎤⎢⎣⎦-①当时，函数有最大值，0x =()f x cos 01=当时，函数有最小值，5π4x =()fx 5πsin 4=所以函数的值域为正确；()fx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦②当时，，所以当时，错误；0πx <<()0f x >()3π2π2πZ 2k x k k <<+∈()0f x <③函数的最小正周期为，所以是函数的一个周期错误；()f x 2ππ()f x ④函数关于和对称，()f x ()2Z π4πx k k =+∈()2Z 5π4πx k k =+∈所以函数图像的对称轴为正确.()f x ()Z ππ4x k k =+∈故答案为：①④五、解答题16．已知的最小正周期为π.()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭(1)求ω的值；(2)求的单调递增区间；()f x (3)求在区间上的最大值.()f x 5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)2ω=(2)单调递增区间，ππ[π,π]63k k -++Z k ∈(3)2【分析】（1）由周期公式，即可求参数值；2ππT ω==（2）应用整体法，根据正弦函数的单调性求增区间；（3）首先求得，再由正弦函数性质求值域，即可得最大值.ππ2π2[,]663x -∈-【详解】（1）由，可得.2ππT ω==2ω=（2）由（1）知：，π()2sin(2)6f x x =-令，，则，，πππ2π22π262k x k -+≤-≤+Z k ∈ππππ63k x k -+≤≤+Z k ∈所以的单调递增区间，.()f x ππ[π,π]63k k -++Z k ∈（3）由题设，，故，ππ2π2[,]663x -∈-π1sin(2[,1]62x -∈-所以，故最大值为2.()[1,2]f x ∈-17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，.sin b C =π4B ∠=(1)求边c 的值；(2)若的面积为，求边b 的值.ABC 92【答案】(1)c【分析】（1）利用正弦定理解方程即可；（2）利用三角形的面积公式解得a ，再利用余弦定理可得b 的值.【详解】（1）由正弦定理，sin sin sin sin sin a b cb Cc BA B C ==⇒=所以；sin c B c c ==⇒=（2）由19sin 22ABC S ac B a =⋅=⇒=结合余弦定理可得：2222cos 15b a c ac B b =+-⋅=⇒=18．已知向量，.()cos ,sin a x x =()2cos ,b x x=(1)若，当时，求x 的值；[]0,πx ∈//a b(2)若.()f x a b=⋅ （i ）求的最小正周期；()f x （ii ）当时，可以取得2次最大值，求m 的取值范围.[]0,x m ∈()f x 【答案】(1)或π3x =π2x =(2)（i ）；（ii ）πT =7π6m ≥【分析】（1）由向量平行的坐标表示可得，应用倍角正余弦公式、辅助角公22sin cos x x x =式可得x 的值；πsin(2)3x -=（2）由向量数量积坐标表示，应用倍角正余弦、辅助角公式可得，()π2sin(2)16f x x =++（i ）由周期公式求最小正周期；（ii ）由题设，根据正弦函数性质列不等式求πππ2[,2]666x m +∈+参数范围.【详解】（1）由题设，22sin cos x x x =21)sin 2x x +=所以πsin 222sin(2)3x x x =-=πsin(23x -=由，故或，则或.ππ5π2[,333x -∈-ππ233x -=π2π233x -=π3x =π2x =（2）由，()2π2cos cos cos 2212sin(2)16f x x x x x x x =+=+=++（i ）的最小正周期；()f x 2ππ2T ==（ii ）由题设，可以取得2次最大值，πππ2[,2]666x m +∈+()f x所以，故.5ππ226m ≤+7π6m ≥19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.sin sin sin sin c b A Ba C B -+=+(1)求角C 的大小；(2)CD 为△ACB 的内角平分线，且CD 与直线AB 交于点D .（i ）求证:；AD ACBD BC =（ii ）若，，求CD 的长.2a =c =【答案】(1)2π3C =(2)（i ）证明见解析；（ii ）65CD =【分析】（1）由正弦边角关系得，应用余弦定理求C 的大小；222a b c ab +-=-（2）（i ）由角平分线两侧三角形面积比，结合等面积法及三角形面积公式证明结论；（ii）由正弦定理可得并表示出，应用sin A =cos A =AD AC kBD BC ==2AC k =余弦定理列方程求k ，最后求CD 的长.【详解】（1）由题设，则，故，c b a ba cb -+=+222c b a ab -=+222a b c ab +-=-所以，又，故.2221cos 22a b c C ab +-==-(0,π)C ∈2π3C =（2）（i ）由题设，若上的高为，ACD BCD ∠=∠AB h 又，11sin 22ACD S AC CD ACD AD h =⋅∠=⋅ ，11sin 22BCD S BC CD BCD BD h =⋅∠=⋅ 所以，即.11sin 2211sin 22ACDBCDAC CD ACD AD h S S BC CD BCDBD h⋅∠⋅==⋅∠⋅ AD AC BD BC=（ii ）由，则，又为锐角，故sin sin c a ACB A =∠sin sin a ACB A c ∠==A cos A =若，则，且，AD ACk BD BC ==2AC k =ADkBD =AD BD +=由余弦定理知：222cos 2AC AB BC A AC AB +-===⋅所以，可得或，241615(23)(25)0k k k k -+=--=32k=52k =当，则，，则；32k =3AC =<AD =sin sin AD CD ACD A =∠65CD =当，则，不合题设；52k =5AC =>2π3B ACB ∠>∠=综上，.65CD =20．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I （W/cm 2）.但在实际生活中，常用声音的声强级D （分贝dB ）来度量，为了描述声强级D （dB ）与声强I （W/cm 2）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据:组别1234567声强I （W/cm 2）10-112×10-113×10-114×10-1110-10①9×10-7声强级D （dB ）1013.0114.7716.022040②现有以下三种函数模型供选择:，，.D kl b =+2D a I c =⋅+lg D m I n =+(1)试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；(2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值（参考数据:；lg 30.477)≈(3)已知烟花的噪声分贝一般在，其声强为；鞭炮的噪声分贝一般在，其声强为(90,100)1I (100,110)；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在其声强为，试判断与的大小关系，并说2I (135,145)3I 13I I 22I 明理由.【答案】(1)，理由见解析，lg D m I n =+10lg 120D I =+(2)，810-59.54(3)，理由见解析2132I I I ⋅>【分析】（1）根据表格中的数据进行分析，可排除一次函数和二次函数，再根据待定系数法，即可得到结果；（2）由（1），令，可求出的值，即可知道①处的值；由已知可得时，10lg 12040I +=I 11310I -=⨯可得，进而可求出当时的值，进而求出②处的值；lg 30.477=7910I -=⨯D （3）设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由已知可得123,,D D D ，代入关系式，即可判断与的大小关系.1322D D D +>13I I 22I 【详解】（1）选择.lg D m I n =+由表格中的前四组数据可知，当自变量增加量为时，函数值的增加量不是1110-同一个常数，所以不应该选择一次函数；同时当自变量增加量为时，函数值的增加量从变为，后又缩小为，函数值的增加1110- 3.01 1.76 1.25量越来越小，也不应该选择二次函数；故应选择.lg D m I n =+由已知可得，即，解得，111010lg1020lg10m n m n --⎧=+⎨=+⎩10112010m n m n =-+⎧⎨=-+⎩10120m n =⎧⎨=⎩所以解析式为.10lg 120D I =+（2）由（1）知，10lg 120D I =+令，可得，，故①处应填；10lg 12040I +=lg 8I =-810I -=810-又当时，，7910I -=⨯10lg 95020lg 350200.4775059.54D =+=+=⨯+=故②处应填.59.54（3）解：设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，123,,D D D 由已知，12390100,100110,135145D D D <<<<<<故有，1322D D D +>所以，()13210lg 12010lg 120210lg 120I I I +++>+因此，即，所以.132lg lg 2lg I I I +>()2132lg lg I I I ⋅>2132I I I ⋅>21．设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都()f x 21,a ⎡⎤⎣⎦1a >0T >[]1,x a ∈有，则称函数具有性质.()()f ax T f x =⋅()f x P (1)当时，判断函数和是否具有性质？（结论不要求证明）[]1,100x ∈2y x =cos y x π=P(2)若，函数具有性质，且当时，，求不等式3a =()f x P []1,3x ∈()sin 6f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭()f x >(3)已知函数具有性质，，且的图像是轴对称图形.若在上有最大值()f x P ()10f =()f x ()f x []1,a，且存在使得，求证：其对应的.()0A A >011,x a a a ⎡⎤∈+-⎢⎥⎣⎦()0f x A =1T =【答案】(1)具有性质，不具有性质；2y x =P cos y x π=P (2)；(]6,9(3)证明见解析.【分析】（1）由函数具有性质判断即可；()f x P （2）若，函数具有性质，当时，，可确定的值，再利用性3a =()f x P []1,3x ∈()sin 6f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭T 质求出在上的解析式，按分段函数解不等式即可；P ()f x []3,9x ∈（3）根据函数具有性质，且函数图像是轴对称图形，在区间上有最大值，分()f x P []1,a()0A A >别讨论，时，函数的最值情况，得出矛盾，即可证明.01T <<1T >【详解】（1）解：函数具有性质；函数不具有性质；2y x =P cos y x π=P （2）解：若，函数具有性质，则存在常数，对任意，使得3a =()f x P 0T >[]1,3x ∈，又当时，()3()f x T f x =⋅[]1,3x ∈()sin 6f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭故当时，有，即，所以1x =()3(1)f T f =⋅sin 3sin 166T ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⋅⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2T =所以当时，，，[]1,3x ∈[]33,9x ∈()32sin 6f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭即时，[]3,9x ∈()2sin 18f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭故当时，不等式[]1,3x∈()f x>sin6xπ⎛⎫>⎪⎝⎭当时，不等式，又，[]3,9x∈()f x>π2sin18x⎛⎫>⎪⎝⎭πππ,1862x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故不等式解得：，即解集为：.69x<≤(]6,9（3）证明：已知函数具有性质，则存在常数，使得，都有，()f x P0T>[]1,x a∈()()f ax T f x=⋅所以，()22()(1)0f a Tf a T f===所以函数的图像端点为和()f x(1,0)2(,0)a由的图像是轴对称图形，得其对称轴为直线：()f x212ax+=①若，因为时，01T<<[]1,x a∈()f x A≤所以对任意，有2,x a a⎡⎤∈⎣⎦()()xf x Tf TA Aa=≤<由基本不等式得，有1a>212aa+>所以对任意，有221,2ax a⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()f x A<根据图像的对称性，得对任意，有21,x a⎡⎤∈⎣⎦()f x A<这样与存在矛盾.()f x A=②若，由，得1T>011,x a aa⎡⎤∈+-⎢⎥⎣⎦()00()f ax Tf x TA A==>又，由图像的对称性知，21ax a a≥+-200()(1)f ax f a ax=+-且，所以[]211,a ax a+-∈200(1)()f a ax f ax TA A+-==>这与在上有最大值矛盾.()f x[]1,a()0A A>综上：.1T=【点睛】本题是函数新定义问题，需要注意的是定义域与区间上函数所具有的性质，可以利用端点处函数值所具有的性质求解参数，与对称性和最值结合时，可以利用反证法，证明与矛盾，从而得证结论.。

北京市2023-2024学年高一下学期期中考试化学(选考)含答案

2023-2024学年度第二学期北京高一化学期中考试试卷（选考）（答案在最后）（90分钟100分）可能用到的原子量：H ：1C ：12N ：14O ：16第一部分（选择题共42分）每小题只有一个选项符合题意（1~21小题，每小题2分）1．下列应用不合理的是（）A ．用2SO 漂白纸浆、毛、丝等B ．用铁质容器车运输浓盐酸C ．用高纯硅可制造计算机芯片D ．用二氧化硅生产光导纤维2．下列关于二氧化氮性质的描述中，不正确的是（）A ．无色气体B ．有刺激性气味C ．相同条件下密度比空气的大D ．能与水反应3．下列各组离子中，能大量共存的是（）A ．4Na NH Cl OH++--、、、B ．243SO K Cl NO -+--、、、C ．23H Fe NO Na++-+、、、D ．23Ca Na HSO OH++--、、、4．下列解释事实的化学用语正确的是（）A ．C 和浓24H SO 反应：24222C 2H SO ()CO 2SO 2H O∆+↑+↑+浓B ．铁和硫加热条件下反应：232Fe 3SFe S ∆+C ．过量铁粉与稀硝酸反应：332Fe NO 4H Fe NO 2H O-++++=+↑+D ．工业制粗硅：22C SiO Si CO ++↑高温5．下列反应中，硝酸既表现酸性，又表现氧化性的是（）A ．23Fe O 与稀硝酸反应B ．2Fe(OH)与稀硝酸反应C ．CuO 与稀硝酸反应D ．3Al(OH)与稀硝酸反应6．只用一种试剂，区别下列四种溶液()()242424432Na SO Al SO FeCl NH SO 、、、，此试剂是（）A ．稀盐酸B ．2BaCl 溶液C ．3AgNO 溶液D ．NaOH 浓溶液7．单斜硫和正交硫互为同素异形体，正交硫在一定条件下可以转化为单斜硫（如下图所示）。

在该条件下，下列说法正确的是（）A ．单斜硫比正交硫更稳定B ．正交硫转化为单斜硫是放热反应C ．1molS （单斜硫）比1molS （正交硫）的总能量高D ．等质量的单斜硫和正交硫完全燃烧释放的能量一样多8．一定温度下，反应()()()22N g O g 2NO g + 在密闭容器中进行，下列措施不改变化学反应速率的是（）A ．缩小体积使压强增大B ．恒容，充入2NC ．恒容，充入HeD ．恒压，充入He9．实验室制备下列气体所选试剂、制备装置及收集方法均正确的是（）气体试剂制备装置收集方法A 2O 4KMnO a d B 2H Zn +稀24H SO b e C NOCu +稀3HNO bc D2Cl 2MnO +浓盐酸bcA ．AB ．BC ．CD ．D10．利用固体表面催化工艺进行NO 分解的过程如下图所示。

2022北京高一(下)期中化学汇编：原子结构与性质章节综合

2022北京高一（下）期中化学汇编原子结构与性质章节综合一、单选题 1．（2022春·北京海淀·高一人大附中校考期中）a 、b 、c 、d 为原子序数依次增大的短周期主族元素，a 原子核外电子总数与b 原子次外层电子数相同，c 所在周期数与族序数相同；d 与a 同族，下列叙述正确的是 A ．四种元素中b 的金属性最强 B ．原子半径：d c b a ＞＞＞C ．d 的单质氧化性比a 的单质氧化性强D ．c 的最高价氧化物对应水化物是一种强碱2．（2022春·北京海淀·高一人大附中校考期中）某元素的原子结构示意图为。

下列关于该元素的说法中，不正确．．．的是 A ．元素符号是CaB ．属于短周期元素C ．原子在化学反应中易失电子D ．最高正化合价是+2价3．（2022春·北京朝阳·高一北京八十中校考期中）下列性质的比较，不正确的是 A ．酸性：2434H SO >H PO B ．电负性：S Cl C ．热稳定性：22H S>H OD ．第一电离能：S<O4．（2022春·北京丰台·高一统考期中）下列元素的原子半径最小的是 A ．NaB ．MgC ．AlD ．Cl5．（2022春·北京房山·高一统考期中）某元素的原子结构示意图为，由此得到的结论不正确．．．的是A ．该元素属于金属元素B ．该元素最高化合价为+2价C ．该原子在化学反应中易得电子D ．该元素位于第3周期、第ⅡA 族6．（2022春·北京丰台·高一统考期中）22589Ac （Ac 的中文名“锕”）是一种医用放射性同位素，在治疗癌症方面有重大作用。

下列关于22589Ac 的说法中，正确的是A ．质子数为225B ．中子数为89C ．核外电子数为136D ．质子数与中子数之和为2257．（2022春·北京丰台·高一统考期中）某元素的原子结构示意图为，下列关于该元素的说法中，不正确的是A．元素符号是SB．属于短周期元素C．非金属性比氧的强D．最高正化合价是+6价8．（2022春·北京海淀·高一人大附中校考期中）根据元素周期表和元素周期律，判断下列叙述不正确的是A．气态氢化物的稳定性：H2O＞NH3＞SiH4B．氢元素与其他元素可形成共价化合物或离子化合物C．如图所示实验可证明元素的非金属性：Cl＞C＞SiD．用中文“”(ào)命名的第118号元素在周期表中位于第七周期0族9．（2022春·北京房山·高一统考期中）下列元素中，非金属性最强的是A．F B．Cl C．Br D．I二、填空题10．（2022春·北京东城·高一汇文中学校考期中）研究氮原子的结构及其化合物具有重要意义(1)氮原子的基态电子排布式为_______。

北京市2023-2024学年高一下学期期中考试化学试卷(含解析)

北京市2023-2024学年高一下学期期中考试化学试卷(含解析)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列关于二氧化硫气体性质的描述中，不正确的是（） A ．能溶于水 B ．空气中能与氧气反应生成三氧化硫 C ．能使品红溶液褪色D ．能与NaOH 溶液反应2．下列各组离子在溶液中能大量共存的是（）A ．++2--43Na H SO HCO 、、、B ．23NO OH Na Ba -++-、、、C ．2Mg Na Cl OH ++--、、、D ．224OH Na SO Fe -+-+、、、3．下列说法正确的是（） A ．油脂的皂化属于化学变化B ．氯碱工业利用的是原电池原理C ．“碳中和”是指利用中和反应吸收CO 2D ．工业上用电解氯化钠溶液的方法冶炼金属钠4．直接2222H O H O -燃料电池是一种新型化学电源，其工作原理如右图所示。

电池放电时，下列说法不正．．确．的是（）A ．电极Ⅰ为负极B ．电极Ⅱ的反应式为：222H O 2e 2H 2H O -+++=C ．电池总反应为：22222H O O 2H O =↑+，其余物质均可循环使用D ．该电池的设计利用了22H O 在酸碱性不同条件下氧化性、还原性的差异 5．下列关于化学反应与能量的说法中，不正确．．．的是（）A ．化学反应必然伴随发生能量变化B ．Na 与H 2O 的反应属于放热反应C ．化学变化中的能量变化主要是由化学键变化引起的D ．Ba(OH)2∙8H 2O 与NH 4Cl 的反应属于放热反应6．四川广汉“三星堆”遗址出土了大量距今3000多年前的象牙，科考人员采用纤维布和聚氨酯树脂混合制成的医用高分子绷带固定保存。

合成聚氨酯的一种原料是多异氰酸酯。

一种异氰酸酯分子的键线式如下图。

【资料】表示有机化合物的组成和结构时，若将碳、氢元素符号省略，只表示分子中键的链接情况和官能团，每个拐点或终点均表示一个碳原子，则得到键线式。

北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案

北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。

北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案

北京市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）（答案在最后）1.若复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】运用复数的几何意义求解即可.【详解】复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)-位于第二象限．故选：B .2.已知向量(2,1)a = ，(4,)b x = ，且a b∥，则x 的值为（）A.-2B.2C.-8D.8【答案】B 【解析】【分析】运用平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】(2,1)a =rQ ，(4,)b x =，且a b∥，240x ∴-=，即2x =．故选：B ．3.在三角形ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0120A ∠=，2a =，3b =，则B ＝（）A.3πB.56π C.566ππ或 D.6π【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由于0120A ∠=为钝角，所以只有一解.由正弦定理得：21sin sin1203sin 2B B =⇒=，选D.考点：解三角形.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A.B.πC.D.2π【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，即可求解.【详解】由题知，如图，PAB 为圆锥的轴截面，边长均为2，则圆锥的高322PO =⨯=底面半径1212r =⨯=，故圆锥体积2211ππ1π333V r PO =⋅=⨯=.故选：A5.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uu u r uur，则（）A.1322AP AB AC =-+uu u r uu u r uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC=-uu u r uu u r uuu r D.2133AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+- 1322AB AC =-+，故选：A.6.已知非零向量a ，b，则“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若20a b -= ，则a b b -=，a b b -= ，所以“a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要条件，若a b b -= ，则220a a b -⋅=，()20a a b ⋅-= ，当()1,0a = ，11,22b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，()20,1a b -= ，()20a a b ⋅-= 成立，但20a b -≠.所以，“a b b -= ”不是“20a b -=”成立的充分条件，所以“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的必要不充分条件，故选：B.7.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos a B c =，则ABC 的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，再由()C A B π=-+，可得2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，从而可得in 0()s A B -=，进而可得结论【详解】解：因为2cos a B c =，所以由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，因为A B C π++=，所以()C A B π=-+，所以()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦，所以2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，因为A B ππ-<-<，所以0A B -=，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：B8.对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：sin m n m n θ⨯=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c 为非零向量，则下列说法错误．．的是A.a b b a⨯=⨯ B.()a b c a c b c+⨯=⨯+⨯C.若0a b ⨯=，则//a bD.()a b a b⨯=-⨯【答案】B 【解析】【详解】由运算定义，sin ,sin a b a b b a b a θθ⨯=⨯=，所以a b b a⨯=⨯正确；()sin ,sin sin a b c a b c a c b c a c b c θαβ+⨯=+⨯+⨯=+ ，所以()a b c a c b c +⨯≠⨯+⨯，故B错误；C 、sin 0a b a b θ⨯== ，则0,θπ=，所以//a b 正确；D 、()()sin ,sin sin a b a b a b a b a b θπθθ⨯=-⨯=--= ，所以()a b a b ⨯=-⨯正确．故选B ．点睛：本题考查向量的新定义运算，关键就是理解新定义．本题采取排除法，通过逐个验证，我们可以发现A 、C 、D 都是正确的，所以错误的就是B ．9.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB BC AA AB P ⊥=为棱11A B 的中点，Q 为线段1AC 上的动点．以下结论中正确的是（）A.存在点Q ，使BQ AC ∥B.不存在点Q ，使11BQ B C ⊥C.对任意点Q ，都有1BQ AB ⊥D.存在点Q ，使BQ 平面1PCC 【答案】C 【解析】【分析】A 选项，根据异面直线的定义可以判断；B 选项，容易发现1,A Q 重合时符合题意；C 选项，利用线面垂直得到线面垂直；D 选项，先找出平面1PCC 的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和BQ 垂直的问题.【详解】A 选项，由于BQ ⋂平面ABCB =，B AC ∉，AC ⊂平面ABC ，则,BQ AC 一定异面，A 选项错误；B 选项，根据直三棱柱性质，1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故1BB BC ⊥，又AB BC ⊥，1AB BB B Ç=，1,AB BB ⊂平面11ABB A ，故BC ⊥平面11ABB A ，又1BA ⊂平面11ABB A ，故1BC BA ⊥，显然11BC B C ∥，即111B C BA ⊥，故1,A Q 重合时，11BQ B C ⊥，B 选项错误；C 选项，直棱柱的侧面11ABB A 必是矩形，而1AA AB =，故矩形11ABB A 成为正方形，则11AB BA ⊥，B 选项已经分析过，BC ⊥平面11ABB A ，由1AB ⊂平面11ABB A ，故1AB BC ⊥，又1BC BA B ⋂=，1,BC BA ⊂平面1BCA ，故1AB ⊥平面1BCA ，又BQ ⊂平面1BCA ，则1BQ AB ⊥必然成立，C 选项正确；D 选项，取AB 中点M ，连接,CM PM ，根据棱柱性质可知，CM 和1C P 平行且相等，故平面1PCC 可扩展成平面1CMPC ，过B 作BN CM ⊥，垂足为N ，根据1BB ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，故1BB BN ⊥，显然11BB CC ∥，故1BN CC ⊥，由BN CM ⊥，1CC CM C = ，1,CC CM ⊂平面1CMPC ，故BN ⊥平面1CMPC ，若BQ 平面1PCC ，则BQ BN ⊥，过Q 作QO //1BB ，交11A C 于O ，连接1B O ，于是1BQOB 共面，又1BQ BB B = ，1,BQ BB ⊂平面1BQOB ，故BN ⊥平面1BQOB ，由于1B O ⊂平面1BQOB ，故1BN B O ⊥，延长OQ 交AC 于J ，易得1B O //BJ ，则BJ BN ⊥，而J 在线段AC 上，这是不可能的，D 选项错误.故选：C10.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5 ，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A.sin532sin 47a ︒︒B.2sin 47sin53a ︒︒C.tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D.sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD 中即可求AC .【详解】73.526.547BAD ∠=-= ，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD= ，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD 中，sin sin 73.5ACADC AD=∠= ，所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.二、填空题（每题5分，共30分）11.已知复数i(1i)z =+，则z =________；||z =________．【答案】①.1i--②.【解析】【分析】运用共轭复数、复数乘法及复数的模的公式计算即可.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+，则1i z =--，||z ==.故答案为：1i --.12.已知向量(1,1)a =-r ，(2,1)b =- ，则2a b += ________；向量a 在b上的投影向量的坐标为________．【答案】①.(0,1)-②.63(,)55-【解析】【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.【详解】解：(1,1)a =-r，(2,1)b =-，则2(2,2)(2,1)(0,1)a b +=-+-=-；()()12113a b ⋅=⨯-+-⨯=-，||b == 故向量a 在b上的投影向量的坐标为：363,555a b b b b b⋅⎛⎫⨯=-=- ⎪⎝⎭ .故答案为：(0,1)-；63(,55-.13.在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______.【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF，DF，则AF BC ⊥，DF BC ⊥，即AFD ∠为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC中，sin 60AF AB ==sin 60DF BD ==由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-∠===⋅⋅.故答案为：13.14.已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，则cos ,OA OB <>=___________；若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则m =___________.【答案】①.②.5【解析】【分析】①根据向量的夹角公式，直接求解即可；②根据已知可得0OA AB ⋅=，求出相应的坐标代入即可求出m 的值.【详解】①因为(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，所以(1,2)OA = ，(,0)OB m =，所以5cos ,5||||OA OB OA OB OA OB ⋅<>===；②(1,2)AB m =-- ，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则0OA AB ⋅=,即140OA AB m ⋅=--=，所以5m =.故答案为：5；515.若ABC 的面积为2223()4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.【答案】①.60②.(2,)+∞【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan B =，可求得3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题.【详解】()2221sin 42ABC S a c b ac B ∆=+-=，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin cos 3B B B π∴=∠=，则21sin cos sin sin 11322sin sin sin 2tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⋅+，C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)1tan 0,,3tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,∞+.【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角A B C π++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.16.如图矩形ABCD 中，22AB BC ==，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻转成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE V 翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）．①BM 是定值；②一定存在某个位置，使1CE DA ⊥；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使1MB A DE 平面∥．【答案】①②④【解析】【分析】运用等角定理及余弦定理可判断①；运用勾股定理证得1A E CE ⊥、DE EC ⊥，结合线面垂直的判定定理及性质可判断②；运用反证法证及线面垂直判定定理证得DE ⊥平面1A EC ，结合线面垂直性质可得1DE A E ⊥得出矛盾可判断③；运用面面平行判定定理证得平面//MBF 平面1A DE ，结合面面平行性质可判断④.【详解】对于①，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，则1MF DA ∥，BF DE ，11122MF A D ==，FB DE ==由等角定理知，1π4A DE MFB ∠=∠=，所以由余弦定理可得22252cos 4MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠=，所以52MB =是定值，故①正确；对于④，由①知，1MF DA ∥，BF DE ，又FB 、MF ⊄平面1A DE ，1DA 、DE ⊂平面1A DE ，所以//FB 平面1A DE ，//MF 平面1A DE ，又FB MF F = ，FB 、MF ⊂平面MBF ，所以平面//MBF 平面1A DE ，又因为MB ⊂平面MBF ，所以//MB 平面1A DE ，故④正确，对于②，连接EC ，如图所示，当1A C =时，因为11A E =，CE =22211A C A E CE =+，所以1A E CE ⊥，因为矩形ABCD 中，D E C E ==，2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A E DE E ⋂=，1A E 、DE ⊂平面1A DE ，所以CE ⊥平面1A DE ，又1A D ⊂平面1A DE ，所以1CE DA ⊥，故②正确；对于③，假设③正确，即在某个位置，使1DE A C ⊥，又因为矩形ABCD 中，D E C E ==2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A C EC C ⋂=，1AC 、EC ⊂平面1A EC ，所以DE ⊥平面1A EC ，又1A E ⊂平面1A EC ，所以1DE A E ⊥，这与1π4DEA ∠=矛盾，所以不存在某个位置，使1DE A C ⊥，故③错误．故答案为：①②④.三、解答题（每题14分，共70分）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：EF CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线证得EF PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可.（2）由线面垂直性质可得PD CD ⊥，结合线面垂直判定定理可得CD ⊥平面PAD ，再结合线面垂直性质、线线垂直性质证明即可.【小问1详解】因为E ，F 分别是AB ，PB 的中点，所以EF PA ∥，又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ；【小问2详解】因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD CD ⊥，又因为底面ABCD 为正方形，CD AD ⊥，=PD AD D ⋂，PD 、AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥，由（1）知，EF PA ∥，所以EF CD ⊥．18.已知2()22cos f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】（1）π，π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈（2）max ()3f x =，min ()0f x =【解析】【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，结合sin y t =图象与性质求解即可.（2）先求出π26x +的范围，结合sin y t =图象与性质即可求得最值.【小问1详解】因为2π()22cos 2cos 212sin(216f x x x x x x =+=++=++，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤，Z k ∈，解得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈，所以()f x 单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈．【小问2详解】因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2[,]666x +∈，所以由函数图象性质知，当ππ262x +=，即π6x =时，max ()3f x =；当π7π266x +=，即π2x =时，min ()0f x =．19.如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =．（1）求证：平面//BAF 平面CDE ；（2）求证：平面EAC ⊥平面EBD ；（3）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）13BM BD =，证明见解析【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到//AF 平面CDE ，//AB 平面CDE ，再利用面面平行的判定定理，即可证明结果；（2）根据条件得到AC ⊥平面EBD ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结果；（3）构造平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【小问1详解】因为//AF DE ，AF ⊄面CDE ，DE ⊂面CDE ，所以//AF 平面CDE ，同理，//AB 平面CDE ，又AF AB A ⋂=，,AF AB ⊂面BAF ,所以平面//BAF 平面CDE .【小问2详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，DE ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC DE ∴⊥，BD DE D = ，,BD DE ⊂平面EBD ，AC ∴⊥平面EBD ，AC ⊂ 平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面EBD .【小问3详解】当13BM BD =时，//AM 平面BEF ，理由如下：作MN ED ∥，则MN 平行且等于13BD ，//AF DE ，3DE AF =，∴AF 平行且等于MN ，∴AMNF 是平行四边形，//AM FN ∴，AM ⊄ 平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AM ∴平面BEF .20.在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =.（Ⅰ）若π3A ∠=，求B ∠的大小；（Ⅱ）若1bc =，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）π3B ∠=，（2）．【解析】【详解】【分析】试题分析：（Ⅰ）因为2sin sin sin ,A B C =由正弦定理可得2a bc =，再利用余弦定理得所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-即b c =，所以为等边三角形．所以π3B ∠=（注：当然也可用化角来处理）；（Ⅱ）由已知可得21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=，又sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤试题解析：（Ⅰ）方法一：因为2sin sin sin ,A B C =且，所以2a bc =．又因为π3A ∠=，所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-．所以2()0b c -=．所以b c =．因为π3A ∠=，所以为等边三角形．所以π3B ∠=．方法二：因为πA BC ++=，所以sin sin()C A B =+．因为2sin sin sin B C A =，π3A ∠=，所以2ππsin sin()sin 33B B +=．所以13sin cos sin )224B B B +=．所以11cos 23sin 24224B B -+⨯=．所以12cos 2122B B -=．所以πsin(2)16B -=．因为(0,π)B ∈，所以ππ112(,π)666B -∈-．所以ππ262B -=，即π3B ∠=．（Ⅱ）因为2sin sin sin ,A B C =1bc =，且，所以21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=（当且仅当时，等号成立）．因为(0,π)A ∈，所以π(0,]3A ∈．所以sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤．所以当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值．考点：三角函数的性质与解三角形21.对于数集{}12,,1,n X x x x =- ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==∈∈ ，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，则称X 具有性质P ．（1）判断{}1,1,2-是否具有性质P ；（2）若2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，求x 的值；（3）若X 具有性质P ，求证：1X ∈且当1n x >时，11x =．【答案】（1）具有性质P（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合新定义判断即可；（2）在Y 中取()1,2a x = ，根据数量积的坐标表示，求出可能的2a ，再根据2x >求出符合条件的值即可；（3）取()111,a x x Y =∈ ，()2,a s t Y =∈ ，由120a a ⋅= ，化简可得0s t +=，所以,s t 异号，而1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，从而得到1X ∈，最后通过反证法得出1n x >时，11x =.【小问1详解】{}1,1,2-具有性质P .因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,2,2Y =------，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，所以X 具有性质P .【小问2详解】因为2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，所以可取()1,2a x = ，又Y 中与()1,2a x = 垂直的元素必有形式()()()1,1,1,2,1,x ---中的一个，当()21,1a =- 时，由120a a ⋅= ，可得202x x -+=Þ=，不符合题意；当()21,2a =- 时，由120a a ⋅= ，可得404x x -+=Þ=，符合题意；当()21,a x =- 时，由120a a ⋅= ，可得200x x x -+=Þ=，不符合题意；所以4x =.【小问3详解】证明：取()111,a x x Y =∈ ，设()2,a s t Y =∈ ，满足120a a ⋅= ，所以()100s t x s t +=⇒+=，所以,s t 异号，因为1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，所以1X ∈，假设1k x =，其中1k n <<，则101n x x <<<，选取()11,n b x x = ，并设()2,b p q = ，满足120b b ⋅= ，所以10n px qx +=，则,p q 异号，从而,p q 之中恰有一个为1-，若1p =-，则1n x qx =，显然矛盾；若1q =-，则1n n x px p x =<<，矛盾，所以当1n x >时，11x =，综上，得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.。

北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案

2023—2024学年度第二学期北京市高一数学期中考试试卷（答案在最后）一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.11πsin3的值为（）A.2B.2-C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】11πππsin sin 4πsin 3332⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭.故选：A2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.tan y x =C.cos 2y x =D.sin 2y x=【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为：2π2π1T ==，故A 不正确；对于B ，tan y x =的最小正周期为：ππ1T ==，tan y x =的定义域为ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，令()tan f x x =，则()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，所以tan y x =为奇函数，故B 不正确；对于C ，cos 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，令()cos 2g x x =的定义域为R 关于原点对称，则()()()cos 2cos 2g x x x g x -=-==，所以cos 2y x =为偶函数，故C 正确；对于D ，sin 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，sin 2y x =的定义域为R ，关于原点对称，令()sin 2h x x =，则()()()sin 2sin 2h x x x h x -=-=-=-，所以sin 2y x =为奇函数，故D 不正确.故选：C .3.设向量()()3,4,1,2a b ==- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.5C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量()()3,4,1,2a b ==-，则cos ,5||||a b a b a b ⋅〈〉==.故选：D4.在△ABC 中，已知1cos 3A =，a =，3b =，则c =（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC 中，1cos 3A =，a =，3b =，所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2112963c c =+-⨯，得2230c c --=，解得3c =，或1c =-（舍去），故选：D5.函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >，0ω>，0ϕπ<<)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A.()3sin 42f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.3()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.3()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可.【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3A =，由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16⨯-=，因为0ω>，所以24(62)168ππωω⨯-==⇒=，所以()3sin 8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：(2)3f =，即3sin 32()2()4424k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<，所以令0k =，所以4πϕ=，因此()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C6.函数ππ()sin(2),[0,]62f x x x =+∈的最大值和最小值分别为（）A.11,2-B.31,2-C.1,12- D.1,1-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】由π[0,2x ∈，得ππ7π2[,666x +∈，则当ππ262x +=，即π6x =时，max ()1f x =，当π7π266x +=，即π2x =时，min 1()2f x =-，所以所求最大值、最小值分别为11,2-.故选：A7.已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= （）A.2B.2- C.1 D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解.【详解】依题意，π3π|||2,||2,,,,,44a b c a b b c a c ===〈〉=⊥〈〉= ，因此3π||||cos2(242a c a c ⋅==⨯-=-，0b c ⋅= ，所以()2a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=-.故选：B8.在ABC 中，已知cos cos 2cos a B b A c A +=，则A =（）A.π6B.π4C.π3 D.π2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求出即得.【详解】在ABC 中，由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，则sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，而sin 0C >，因此1cos 2A =，而0πA <<，所以π3A =.故选：C9.已知函数()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω，则“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】以π3x ω+为整体结合正弦函数的性质可得12ω>，进而根据充分、必要条件分析判断.【详解】因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且0ω>，则ππππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上既不是增函数也不是减函数，则2πππ33ω+>，解得12ω>，又因为()1,+∞1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的必要不充分条件.故选：B.10.如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[]1,2-B.[]0,2 C.[]0,4 D.[]1,4-【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分点P 在CD 上，点P 在BC 上，点P 在AB 上，点P 在AD 上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()0,2,2,2A B ，当点P 在CD 上时，设()(),002Px x ≤≤，则()(),2,2,2PA x PB x =-=--，所以()()224133,4PA PB x x x ⎡⎤⋅=-+=-+∈⎣⎦ ；当点P 在BC 上时，设()()2,02P yy ≤≤，则()()2,2,0,2PA y PB y =-=-，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；当点P 在AB 上时，设()(),202Px x ≤≤，则()(),0,2,0PA x PB x ==-，所以()()22111,0PA PB x x x ⎡⎤⋅=-=--∈-⎣⎦ ；当点P 在AD 上时，设()()0,02P y y ≤≤，则()()0,2,2,2PA y PB y=-=--，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；综上：PA PB ⋅的取值范围是[]1,4-.故选：D二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知圆的半径为2，则60 的圆心角的弧度数为__________；所对的弧长为__________.【答案】①.π3##1π3②.2π3##2π3【解析】【分析】利用度与弧度的互化关系，弧长计算公式求解即可.【详解】60 的圆心角的弧度数为ππ601803⨯=；所对的弧长为π2π233⨯=.故答案为：π3；2π312.已知向量()2,3a =- ，(),6b x =- .若//a b ，则a =r __________，x =__________.【答案】①.②.4【解析】【分析】利用坐标法求出向量的模，再根据向量共线的坐标表示求出x .【详解】因为向量()2,3a =- ，所以a == ，又(),6b x =- 且//a b ，所以()326x =-⨯-，解得4x =.；4.13.若函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，则A =__________；将函数()f x 的图象向左至少平移__________个单位，得到函数2sin y x =的图象.【答案】①.1②.π3##1π3【解析】【分析】利用零点的意义求出A ；利用辅助角公式化简函数()f x ，再借助平移变换求解即得.【详解】函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，得ππsin 033A =，解得1A =；则π()sin 2sin()3f x x x x =-=-，显然πππ(2sin[()]2sin 333f x x x +=+-=，所以()f x 的图象向左至少平移π3个单位，得到函数2sin y x =的图象.故答案为：1；π314.设平面向量,,a b c 为非零向量，且(1,0)a = .能够说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题的一组向量,b c的坐标依次为__________.【答案】(0,1),(0,1)-（答案不唯一）【解析】【分析】令向量,b c 与向量a 都垂直，且b c ≠即可得解.【详解】令(0,1),(0,1)b c ==- ，显然0a b a c ⋅==⋅，而b c ≠ ，因此(0,1),(0,1)b c ==- 能说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题，所以向量,b c的坐标依次为(0,1),(0,1)-.故答案为：(0,1),(0,1)-15.已知函数()2cosπ1xf x x =+，给出下列四个结论：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 有无数个零点；③函数()f x 的最大值为1；④函数()f x 没有最小值.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③【解析】【分析】根据偶函数的定义判断①，令()0f x =求出函数的零点，即可判断②，求出函数的最大值即可判断③，根据函数值的特征判断④.【详解】函数()2cosπ1xf x x =+的定义域为R ，又22cos(π)cos π()()()11x x f x f x x x --===-++，所以()2cosπ1xf x x =+为偶函数，故①错误；令2cos ππ1()0cos π0ππ(Z)(Z)122x f x x x k k x k k x ==⇒=⇒=+∈⇒=+∈+，所以函数()f x 有无数个零点，故②正确；因为cos π1x ≤，当ππ(Z)x k k =∈，即(Z)x k k =∈时取等号，又因为211x +≥，当且仅当0x =时取等号，所以有21011x <≤+，当且仅当0x =时取等号，所以有2cos π11x x ≤+，当且仅当0x =时取等号，因此有()2cos π11xf x x =≤+，即()()max 01f x f ==，故③正确；因为()2cosπ1xf x x =+为偶函数，函数图象关于y 轴对称，只需研究函数在()0,∞+上的情况即可，当x →+∞时2101x →+，又1cosπ1x -≤≤，所以当x →+∞时()0f x →，又()()max 01f x f ==，当102x <<时cos π0x >，210x +>，所以()0f x >，当1322x <<时1cos π0x -≤<，210x +>，所以()0f x <，当1x >时212x +>，0cos π1x ≤≤，所以()12f x <，又()112f =-，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 为连续函数，所以()f x 存在最小值，事实上()f x 的图象如下所示：由图可知()f x 存在最小值，故④错误.故答案为：②③三､解答题（本大题共6小题，共85分）16.在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--.（1）求tan θ，tan2θ的值；（2）求πsin ,cos ,cos 4θθθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）tan 2θ=，4tan 23θ=-（2）sin 5θ-=，cos 5θ=，π10cos 410θ⎛⎫+=⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求出tan θ，再由二倍角正切公式求出tan 2θ；（2）由三角函数的定义求出sin θ，cos θ，再由两角和的余弦公式计算可得.【小问1详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以2tan 21θ-==-，则222tan 224tan 21tan 123θθθ⨯===---.【小问2详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以sin 5θ-==，cos 5θ==，所以πππcos cos cos sin sin 444θθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2520555210221⎛⎫- =⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭.17.已知平面向量,,2,3,a b a b a == 与b的夹角为60 ，（1）求22,,a b a b ⋅；（2）求(2)(3)a b a b -⋅+的值：（3）当x 为何值时，xa b -与3a b +rr 垂直.【答案】（1）4，9，3；（2）4-；（3）3013x =.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义计算即得.（2）利用数量积的运算律计算即得.（3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即得.【小问1详解】向量,,2,3,a b a b a == 与b 的夹角为60 ，所以2222|4,|9,3||||c |os 0|6a a b b a b a b ===⋅=== .【小问2详解】依题意，2222(2)(3)2352233534a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=⨯-⨯+⨯=- .【小问3详解】由()(3)0xa b a b -⋅+= ，得223(31)4273(31)13300xa b x a b x x x -+-⋅=-+-=-= ，解得3013x =，所以当3013x =时，xa b - 与3a b +r r 垂直.18.已知函数()sin2cos2f x x x =+.（1）求(0)f ；（2）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（3）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）1；（2）π，ππ,Z 82k x k =+∈；（3）()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）代入计算求出函数值.（2）（3）利用辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的图象与性质求解即得.【小问1详解】函数()sin2cos2f x x x =+，所以(0)sin0cos01f =+=.【小问2详解】函数π())4f x x =+，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，解得ππ,Z 82k x k =+∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为ππ,Z 82k x k =+∈.【小问3详解】由πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，得3ππππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.19.在△ABC 中，7a =，8b =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求A ∠；（2）求ABC 的面积．条件①：3c =；条件②：1cos 7B =-．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选①②答案相同，3A π∠=；（2）选①②答案相同，ABC 的面积为【解析】【分析】（1）选①，用余弦定理得到cos A ，从而得到答案；选②：先用余弦定理求出3c =，再用余弦定理求出cos A ，得到答案；（2）选①，先求出sin 2A =，使用面积公式即可；选②：先用sin sin()C A B =+求出sin C ，再使用面积公式即可.【小问1详解】选条件①：3c =．在△ABC 中，因为7a =，8b =，3c =，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；选条件②：1cos 7B =-由余弦定理得：222249641cos 2147a cbc B ac c +-+-===-，解得：3c =或5-（舍去）由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；【小问2详解】选条件①：3c =由（1）可得sin 2A =．所以ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=选条件②：1cos 7B =-．由（1）可得1cos 2A =．因为sin sin[()]C A B =π-+sin()A B =+sin cos cos sin A B A B=+11()72=-+⨯3314=，所以ABC 的面积11sin 7822S ab C ==⨯⨯=．．20.已知函数()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的在[]0,π上单调递减区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）32（2）π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再代入计算可得；（2）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到ππ3π2232x ≤+≤，解得即可；（3）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【小问1详解】因为()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ππcos2cos2cossin 2sin 33x x x =++3cos2sin 222x x =+1cos2sin 222x x ⎫=+⎪⎪⎭π23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】当[]0,πx ∈时ππ7π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令ππ3π2232x ≤+≤，解得π7π1212x ≤≤，所以函数()f x 的在[]0,π上的单调递减区间为π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问3详解】当[]0,x m ∈时，πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，所以π2π23π3m ≤<+，解得5π4π63m ≤<，即m 的取值范围为3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR ，其中P 在 BC 上，PQ AB ⊥，垂足为Q ，PR AC ⊥，垂足为R ，设π0,3PAB α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭；（1）求PQ ，PR （用α表示）；（2）当P 在BC 上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时α的值.【答案】（1）60sin PQ α=，π60sin 3PR α⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）三角形绿地的最大面积是平方米，此时π6α=【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数表示出PQ 、PR ；（2）依题意可得2π3QPR ∠=，则1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠ ，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质求出最大值.【小问1详解】在Rt PAQ 中，π0,3PAB ∠α⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，60AP =，∴sin 60sin PQ AP αα==（米），又π3BAC ∠=，所以π3PAR α∠=-，在Rt PAR 中，可得πsin 60sin 3PR PAR AP α⎛⎫==-⎪⎝⎭∠（米）.【小问2详解】由题可知2π3QPR ∠=，∴PQR 的面积1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠1π2π60sin 60sin sin 233αα⎛⎫=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭πsin3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33ααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭112cos 222αα⎫=+-⎪⎪⎭π1sin 262α⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，526πππ,66α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴当ππ262α+=，即π6α=时，PQR 的面积有最大值即三角形绿地的最大面积是π6α=.。

北京市海淀实验中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

北京市海淀实验中学2021—2022学年第二学期期中考试高一数学一、单项选择题：本大题共18小题，每小题4分，共72分．1．已知角α的终边过点()1,2P -，则tan α等于（）A ．2B ．2-C ．12-D ．122．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．C ．12D ．23．向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则⋅=a b （）A ．B ．-C ．3D ．3-4．下列函数中，周期为π且在区间2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增的是（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．1cos 2y x=D ．1sin2y x =5．已知非零向量a ，b的夹角为60°，且2b = ，2a b -= ，则a = （）A ．12B ．1C D ．26．已知5sin cos 4αα-=，则sin 2α=（）A ．916-B ．716-C ．716D ．9167．已知函数()()2sin 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜的图像如图所示，则ω的值为（）A ．2B ．1C ．12D ．148．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B ，C ，D 三点共线，则下列结论不成立．．．的是（）A ．CDB ．0CA CE ⋅=C ．AB 与DE共线D ．CA CB CE CD⋅=⋅ 9．设函数()f x 是定义在R 上单调递减的奇函数，若0a b +>，则（）A ．()()0f a f b +>B ．()()0f a f b +<C ．()()0f a f b +=D ．()()f a f b +符号不确定10．对函数sin y x =的图像分别作以下变换：①向左平移4π个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)；②向左平移12π个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)③将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)，再向左平移4π个单位④将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)，再向左平移12π个单位其中能得到函数sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④11．在ABC 中，A ＜B ＜C ，则下列结论中不正确的是（）A ．sinA ＜sinCB ．cosA ＞cosCC ．tanA ＜tanBD ．cosB ＜cosC12．如图，已知向量a ，b ，c ，d ，e的起点相同，则c d e +-= （）A ．b -B ．bC ．6a b- D ．6a b-+ 13．在ABC 中，已知2sin sin cos2AB C =，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形14．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是A ．0x a <B ．0x a >C ．0x c<D ．0x c>15．“sin cos αβ=”是“()22k k Z παβπ+=+∈”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O （不含A ，B 两点），P 为半圆上一动点，下面关于PA PB PC PD +++的说法正确的是（）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值17．已知函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（）A ．30a -≤<B ．32a -≤≤-C ．2a ≤-D ．0a <18．已知函数()()31f x x =-.Q 是()f x 的图象上一点，若在()f x 的图象上存在不同的两点M ，N ，使得2OM OQ ON =-成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （）A ．有且仅有1个B ．有且仅有2个C ．有且仅有3个D ．可以有无数个二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在题中横线上．19．已知向量(1,2)a =- ，(4,)b x = ，若a b ⊥，则x =__________．20．已知cos 02πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，且cos()0πθ+<，则θ是第__________象限角．21．已知tan32α=，则tan α的值为__________．22．当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围___________．23．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2ϕπ<）在区间7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有7()66f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=__________．24．在菱形ABCD中，若BD =，则CB DB ⋅的值为__________．25．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的__________（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎝⎭⎝⎭；④最小正周期可以为2π．三、解答题：本大题共4小题，共40．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．26．某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx6π2π3sin()y A x ωϕ=+02(1)函数()f x 的解析式为()f x =________（直接写出结果即可）；(2)求函数()f x 的单调递增区间；(3)求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．27．一汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B 轿车C 舒适型100150z 标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆.（1）求z 的值.（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.28．已知函数()2()cos 2sin f x x x x x =．(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()f x m ≥有解，求实数m 的取值范围．29．已知函数()f x 的图象在定义域(0,)+∞上连续不断.若存在常数0T >，使得对于任意的0x >，()()f Tx f x T =+恒成立，称函数()f x 满足性质()P T .(1)若()f x 满足性质(2)P ，且(1)0f =，求1(4)()4f f +的值；(2)若 1.2()log f x x =，试说明至少存在两个不等的正数12,T T ，同时使得函数()f x 满足性质1()P T 和2()P T .（参考数据：41.2 2.0736=）(3)若函数()f x 满足性质()P T ，求证：函数()f x 存在零点.1．B 【分析】由正切函数的定义计算．【详解】由题意2tan 21α==--．故选：B ．2．B 【解析】根据诱导公式，化简后即可求值.【详解】22sin sin sin sin 33332πππππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B 3．C 【分析】由图可知3a = ，b = ,45a b <>=︒，根据数量积公式即可求解.【详解】由图可知，3a = ，b ,45a b <>=︒，所以cos ,33a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=⨯，故选：C 4．A 【分析】利用正弦函数、余弦函数的周期2T ωπ=以及单调性逐一判断即可.【详解】A ，cos 2y x =，2T ππω==，由余弦函数的单调递增区间可得222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈，当1k =时，2x ππ≤≤，故A 正确；B ，sin 2y x =，2T ππω==，由余弦函数的单调递增区间可得222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，解得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，显然在区间2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调，故B 错误；C ，1cos 2y x =，24T ππω==，故C 错误；D ，1sin 2y x =，24T ππω==，故D 错误；故选：A 5．D 【分析】将2a b -=两边同时平方，结合数量积的定义可算出答案.【详解】因为非零向量a ，b的夹角为60°，且2b = ，2a b -= ，所以2222122242442a ab b a a a a -⋅+=-⋅⋅+=-+= ，解得2a = 或0a =（舍），故选：D 6．A 【分析】在等式5sin cos 4αα-=两边平方，化简后可求得sin 2α的值.【详解】()2222sin cos sin cos 2sin cos 61si 51n 2ααααααα-=+-=-=，因此，9sin 216α=-.故选：A.7．C 【分析】由图象分析函数的周期，求得ω的值.【详解】由图象可知，函数的半周期是2π，所以2ωπ=π，得12ω=.故选：C【分析】根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定.【详解】设BC DE m ==，∠A =30°，且,,B C D 三点共线，则CD AB ==，2AC EC m ==，60ACB CED ∠=∠=︒，90ACE ∠=︒，所以,·0,//CD CACE AB DE = .故A 、B 、C 成立，D 不成立.故选：D 9．B 【分析】由0a b +>可得a b >-，然后利用单调性和奇偶性可得答案.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上单调递减的奇函数，所以由0a b +>可得a b >-，所以()()()f a f b f b <-=-，即()()0f a f b +<，故选：B 10．C 【分析】根据由函数sin y x =的图象变为函数sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象有两种路径,逐一核对四个命题得答案.【详解】由函数y =sin x 的图象变为函数sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象有两种路径：(1)先平移后改变周期:把sin y x =的图象向左平移4π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，即为①；(2)先改变周期后平移:把sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移12π个单位即为④.故选：C【分析】根据大角对大边可判断A ，再结合三角函数的在()0,π的单调性可判断B ，C ，D 的正误.【详解】解：在ABC 中，A ＜B ＜C ，根据大角对大边，则a c <，所以sinA ＜sinC ,A 正确；cos y x =在()0,π上为减函数，由A ＜B ＜C ，可得cos c s cos A C >οB >，故D 错误，B 正确,因为A ＜B ＜C ,所以A ，B 为锐角，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内tan y x =为增函数，所以tanA ＜tanBC 正确.故选：D ．12．C 【分析】假设图形中小正方形的边长为1，a 的方向为x 轴正方向，b的方向为y 轴正方向，则可以写出每个向量的坐标，然后可判断出答案.【详解】假设图形中小正方形的边长为1，a 的方向为x 轴正方向，b的方向为y 轴正方向，则()1,0a = ，()0,1b = ，()1,1c = ，()2,2d =-，()3,0e =- ，所以()6,1c d e +-=- ，因为()()()66,00,16,1a b -=-=- ，所以c d e +-= 6a b - ，故选：C 13．A 【分析】由二倍角公式可得，()21cos1cos 22A A =+，再根据诱导公式可得()cos cos ABC =-+，然后利用两角和与差的余弦公式，即可将2sin sin cos2AB C =化简成()cos 1B C -=，所以B C =，即可求得答案．【详解】因为()()2cos 11sin sin cos1cos 1222A A C B C B ==+-+=⎡⎤⎣⎦，()cos cos cos sin sin B C B C B C +=-，所以，cos cos +sin sin =1B C B C ，即()cos 1B C -=，因为(),0,B C π∈，所以(),B C ππ-∈-所以B C =，即ABC 为等腰三角形.故选：A ．14．B【详解】∵()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0+∞，上是增函数0a b c ，＜＜＜，且()()()0f a f b f c <，()()(),,f a f b f c ∴中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：()()()00f a f b f c ＜，＜＜；或()()()0f a f b f c ＜＜＜；由于实数0是函数()y f x =的一个零点，当()()()00f a f b f c ＜，＜＜时，0a x b ＜＜，当()()()0f a f b f c ＜＜＜时，0>x c b a >＞，故选B15．B【分析】用诱导公式结合正弦函数性质得出,αβ的关系，然后根据充分必要条件的定义判断．【详解】sin cos sin()2παββ==-，所以22k παβπ=-+或22k παππβ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，Z k ∈，即2()2k k Z παβπ+=+∈或2()2k k Z παπβ=++∈，因此题中应是必要不充分条件．故选：B ．16．A【分析】正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则()1,2C ，()1,2D -，设(),P x y ，根据向量的坐标运算计算2PA PB PC PD PO PC PD +++=++ 的坐标，进而可得其模长，根据01y <≤，即可求得模长的范围，进而可得正确选项.【详解】设正方形的边长为2，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系；则圆O ：221x y +=，()1,2C ，()1,2D -，设(),P x y ，()01y <≤，则2PA PB PC PD PO PC PD+++=++ ()()()2,21,21,2x y x y x y =--+--+---()4,44x y =--，所以PA PB PC PD +++= 因为01y <≤，所以10y -≤-<，011y ≤-<，所以0,PA PB PC PD +++⎡=⎣ ，所以PA PB PC PD +++ 无最大值，但有最小值，故选：A.17．B【分析】根据给定条件结合分段函数单调性列出不等式组，求解即可得a 的取值范围.【详解】因函数25,1(),1x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则1206a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪--≤⎪⎩，解得32a --≤≤，所以a 的取值范围是：32a --≤≤.故选：B18．A【分析】先由已知可得Q 为M ，N 的中点，然后根据函数()f x 的对称性即可作出判断.【详解】因为2OM OQ ON =- ，则2OM ON OQ += ，所以Q 为M ，N 的中点，因为()()31f x x =-关于点()1,0成中心对称，所以当Q 的坐标为()1,0时，取关于点Q 对称的点M ，N 符合题意，M ，N 在()1,0两侧时，中心也要在函数()f x 上，只能是()1,0，M ，N 在()1,0同侧时，相当于M ，Q ，N 所在的直线与()f x 在一侧有3个交点，不可能成立，故满足条件的Q 有且仅有1个.故选：A19．2【分析】由0a b ⋅= 算出答案即可.【详解】因为(1,2)a =- ，(4,)b x = ，a b ⊥ ，所以1420a b x ⋅=-⨯+= ，解得2x =，故答案为：220．四##4【分析】根据诱导公式和三角函数在每个象限的符号可得答案.【详解】因为cos sin 02πθθ⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，所以sin 0θ<，因为cos()cos 0πθθ+=-<，所以cos 0θ>，所以θ是第四象限角，故答案为：四21．34-【分析】根据二倍角的正切公式算出答案即可.【详解】因为tan 32α=，所以22tan 632tan 1941tan 2ααα===---，故答案为：34-22．(,3]-∞【详解】试题分析：当1x >时，10x ->不等式11x a x +≥-恒成立，则min11a x x ⎡⎤≤+⎢⎥-⎣⎦，又11111311x x x x +=-++≥=--，则3a ≤，故填(,3]-∞.考点：1、基本不等式；2、恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查基本不等式以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法利用基本不等式求得()f x 的最小值，从而求得a 的取值范围.23．3π【分析】由不等式恒成立得函数的最大值和最小值，结合单调性得函数周期，从而可得ω，然后由最大值（或最小值）点可求得ϕ．【详解】因为对任意实数x 均有7()66f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，所以76f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是最小值，6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值，又函数()f x 在区间7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，所以72()266T πππ=⨯-=，21T πω==，所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，所以3πϕ=．故答案为：3π．24．4【分析】设AC BD O = ，()CB DB CO OB DB ⋅=+⋅uur uu u r uu u r uu u r uu u r ，由此可求出答案．【详解】设AC BD O = ，如图则AC BD ⊥，则()CB DB CO OB DB ⋅=+⋅uur uu u r uu u r uu u r uu u r CO DB OB DB =⋅+⋅uu u r uu u r uu u r uu u r 21042DB =+=uu u r ，故答案为：4．25．①②③【分析】由()f x 为奇函数可知其在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，知①正确；由()f x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数可确定062ππω<≤，由此可求得ω范围，结合正弦型函数最小正周期求法可知②④正误；分别在02ω<≤和23ω<≤的情况下，结合4πω和12πω的范围，根据正弦函数值域确定,412f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭所处的范围，从而知③正确.【详解】对于①，()()()sin sin f x x x f x ωω-=-=-=- ，()f x \为奇函数，图象关于原点对称，()f x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，()f x \在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上也是增函数，①正确；对于②，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,6x πωω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，062ππω∴<≤，解得：03ω<≤，∴满足条件的正整数ω的最大值为3，②正确；对于③，由②知：03ω<≤；当02ω<≤时，042ππω<≤，0126ππω<≤且412ππωω>，sin sin 412ππωω⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即412f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当23ω<≤时，3244πππω<≤，0126ππω<≤，3sin sin sin 244πππω⎛⎫⎛⎫∴>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 0sin sin 124ππω⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，124f π⎛⎫≤< ⎪⎝⎭，0122f π⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，412f f ππ⎛⎫⎛⎫∴≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭；综上所述：412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，③正确；对于④，若()f x 最小正周期为2π，则22ππω=，解得：4ω=；由②知：3ω≤，4ω∴=不合题意，即()f x 最小正周期不能为2π，④错误.故答案为：①②③.【点睛】思路点睛：本题考查正弦型函数的奇偶性、单调性、周期性等知识的综合应用；求解此类问题的基本思路是采用整体对应的方式，将x ωϕ+看作一个整体，对应正弦函数的图象和性质来研究正弦型函数的性质.26．(1)π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(3)2-【分析】（1）根据已知条件求得,,A ωϕ，由此求得()f x 的解析式.（2）利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间.（3）根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.(1)根据表格提供数据可知2πππ2π2,,π,22362T A T ωω==-====，ππ2sin 263f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ2π,2π,Z 326k k k ϕϕ+=+=+∈,由于||2ϕπ<，所以π6ϕ=.所以π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)由πππ2π22π262k x k -≤+≤+得ππππ36k x k -≤≤+，所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．(3)因为π02x -≤≤，所以5πππ2666x -≤+≤．得：π11sin 262x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭．所以，当ππ262x +=-即π3x =-时，()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-．27．（1）400（2）710（3）0.75【分析】（1）由分层抽样按比例运算即可得解；（2）先求出基本事件的个数，再由古典概型的概率公式求解即可；（3）先求出平均数，再求概率即可.【详解】解：（1）设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意可得5010100300n =+，即2000n =，则2000(100300)150450600400z =-+---=；（2）抽取一个容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，用12,A A 表示2辆舒适型轿车，123,,B B B 表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则在该样本中任取2辆的基本事件为{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B 共10个，事件E 为{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B 共7个，故7()10P E =;（3）由题意可得1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=，则满足该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0共6个，故所求概率为68，即0.75.【点睛】本题考查了分层抽样及平均数的求法，重点考查了古典概型概率公式，属中档题.28．(1)T π=，,0()62k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭(2)(,2]-∞【分析】（1）利用三角变换可得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用公式可求周期，利用整体法可求对称中心.（2）利用整体法结合正弦函数的性质可求max ()f x ，从而可求实数m 的取值范围．【详解】（1）因为22()2sin cos f x x x x x=sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期T π=，令23x k ππ+=，解得 62k x ππ=-+，（Z k ∈），所以对称中心为,0()62k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.（2）由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤．由（1）可知()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当232x ππ+=，即12x π=时，()f x 取得最大值，最大值为2．所以2m ≤，即实数m 的取值范围是(,2]-∞．29．(1)1(4)()04f f +=(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）由()f x 满足性质(2)P 可得(2)()2f x f x =+恒成立，取1x =可求(2)f ，取2x =可求(4)f ，取12x =可求1(2f ，取14x =求1()4f ，由此可求1(4)()4f f +的值；（2）设 1.2()log f x x =满足 1.2 1.2log ()log Tx x T =+，利用零点存在定理证明关于T 的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数12,T T ，同时使得函数()f x 满足性质1()P T 和2()P T ；（3）分别讨论(1)0f =，(1)0f M =>，(1)0f M =<时函数的零点的存在性，由此完成证明.【详解】（1）因为()f x 满足性质(2)P ，所以对于任意的x ，(2)()2f x f x =+恒成立.又因为(1)0f =，所以，(2)(1)22f f =+=，(4)(2)24f f =+=，由1(1)()22f f =+可得1()(1)222f f =-=-，由11(()+224f f =可得11()()2442f f =-=-，所以，1(4)()04f f +=.（2）若正数T 满足 1.2 1.2log ()log Tx x T =+，等价于 1.2log T T =，记 1.2()log g x x x =-，显然(1)0g >， 1.2 1.2 1.2(2)2log 2log 1.44log 20g =-=-<，因为41.22>，所以161.216>， 1.216log 16>，即(16)0g >.因为()g x 的图像连续不断，所以存在12(1,2),(2,16)T T ∈∈，使得12()()0g T g T ==，因此，至少存在两个不等的正数12,T T ，使得函数同时满足性质1()P T 和2()P T .（3）若(1)0f =，则1即为零点；因为()()f Tx f x T =+，若1T =，则()()1f x f x =+，矛盾，故1T ≠，若(1)0f M =<，则()(1)f T f T =+，2()()(1)2f T f T T f T =+=+，L ，可得1()()(1)k k f T f T T f kT k -+=+=+∈N ，其中.取1M M k T T -⎡⎤=+>-⎢⎣⎦即可使得()0k f T M kT =+>，又因为()f x 的图像连续不断，所以，当1T >时，函数()f x 在(1,)k T 上存在零点，当01T <<时，函数()f x 在(,1)k T 上存在零点，若(1)0f M =>，则由1(1)()f f T T =+，可得1((1)f f T T =-，由211(()f f T T T =+，可得211(()(1)2f f T f T T T =-=-，由111(()k k f f T T T -=+，可得111()()(1)k k f f T f kT k T T +-=-=-∈N ，其中.取1M M k T T ⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦即可使得1(0k f M kT T =-<，又因为()f x 的图像连续不断，所以，当1T >时，函数()f x 在1(,1)k T 上存在零点，当01T <<时，函数()f x 在1(1,kT 上存在零点，综上，函数()f x 存在零点.。

2024北京重点校高一(下)期中英语汇编：名词

2024北京重点校高一（下）期中英语汇编名词一、单项选择1．（2024北京第九中学高一下期中）请选出与释义“过程，进程”匹配的单词。

A．Prove B．progress C．process D．protest二、翻译2．（2024北京通州高一下期中）互联网已经使我们的生活变得更加方便。

(Internet, convenient) (汉译英) 3．（2024北京通州高一下期中）这些国家有他们各自的传统。

(tradition) (汉译英)三、单词拼写4．（2024北京丰台高一下期中）Reeve engaged in a wide range of exercise designed to rebuild muscle, and made remarkable . Shortly after, he managed to return to his film career by directing, producing and even starring in films.(根据句意填空)5．（2024北京丰台高一下期中）Climate scientists have warned that if we don’t take appropriate actions, this warming will probably continue and there will be a higher price to pay.(根据句意填空)6．（2024北京丰台高一下期中）We were not allowed to take most of our personal belongings, and Shackleton threw away all his gold. But to our surprise, he allowed Hussy to keep his banjo. Hussy often played it to keep our up.(根据句意填空)7．（2024北京丰台高一下期中）Moreover, what made Cunningham great was his to photography, and the hours and hours of sheer hard work he put into his work. (根据句意填空)8．（2024北京丰台高一下期中）Reeve realized that his role in these films had given him the opportunity to be a real-life superman, and he soon gained a for raising awareness for good causes. (根据句意填空) 9．（2024北京丰台高一下期中）Today, however, technological advances have led to a of art and technology. As a result, the art world is changing greatly. (根据句意填空)10．（2024北京丰台高一下期中）Until he passed away in 1961, Mei had been performing and encouraging the of Peking Opera for almost 60 years. (根据句意填空)11．（2024北京北师大附属实验中学高一下期中）China accomplished the remarkable f (功绩；壮举) of lifting 800 million people out of poverty. (根据中英文提示填空)12．（2024北京北师大附属实验中学高一下期中）It’s common c (礼貌) to greet them when you stumble upon someone you know. (根据中英文提示填空)13．（2024北京北师大附属实验中学高一下期中）When visiting Beijing, don’t miss the renowned d(美味), Beijing Roast Duck. (根据中英文提示填空)14．（2024北京北师大附属实验中学高一下期中）The May Day holiday is around the corner. Shall we go on a g (出门度假)? (根据中英文提示填空)15．（2024北京北师大附属实验中学高一下期中）Caitlin Clark fulfilled her a (抱负) to break Stephen Curry’s record in NCAA．(根据中英文提示填空)16．（2024北京北师大附属实验中学高一下期中）In a rescue a (尝试，努力) during the most recent earthquake, dozens of members and trained dogs took part. (根据中英文提示填空)17．（2024北京北师大附属实验中学高一下期中）He was a strong a (拥护者) of free market policies. (根据中英文提示填空)18．（2024北京北师大附属实验中学高一下期中）It is self-evident that racial d (歧视) is still bothering many black people, in spite of their ongoing fight for equal rights. (根据中英文提示填空) 19．（2024北京第八中学高一下期中）A little b can result in the possibility of success when confronted with something unknown. (brave behaviour or the quality of being brave) (根据英文提示单词拼写) 20．（2024北京第八中学高一下期中）After the earthquake, the first thing the local government did was to provide a for the homeless families. (a place to live, work or stay in) (根据英文提示单词拼写) 21．（2024北京第八中学高一下期中）The island offers such a wide v of scenery and wildlife. (a wide range of; a number or collection of different things) (根据英文提示单词拼写)22．（2024北京第八中学高一下期中）Please phone me at your earliest c so we can discuss these matters further. (the quality of being useful, easy or suitable for sb) (根据英文提示单词拼写)23．（2024北京海淀高一下期中）After all, what use is a conductor who could not hear his orchestra — even if he is a musical . (天才)(根据汉语提示单词拼写)24．（2024北京海淀高一下期中）Ludwig van Beethoven is regarded as one of the greatest . (作曲家)(根据汉语提示单词拼写)25．（2024北京海淀高一下期中）With a new sense of energy and , Reeve undertook an intense exercise program to help him achieve his goal of walking again. (投入，忠诚，奉献，承诺) (根据汉语提示单词拼写)26．（2024北京海淀高一下期中）Tu Youyou researched hundreds of traditional connected to anti-malarial cures. (处方；秘诀)(根据汉语提示单词拼写)27．（2024北京海淀高一下期中）When thanking the Committee for the honour, Tu Youyou said, “This is not only an honour for myself, but also and encouragement for all scientists in China.” (认可)(根据汉语提示单词拼写)28．（2024北京顺义第一中学高一下期中）She was intelligent but suffered from a lack of a (志向). (根据中英文提示填空)四、完成句子29．（2024北京北师大附属实验中学高一下期中）Even Amundsen was moved by Scott’s death saying “Captain Scott left a record, for honesty, , for bravery, ”. (根据句意填空) 30．（2024北京人大附中高一下期中）Charitable giving can also help us feel and fulfillment in our life. (目标感) （根据汉语提示完成句子）31．（2024北京人大附中高一下期中）He soon gained a reputation for for good causes. (提高意识) (根据汉语提示完成句子)32．（2024北京人大附中高一下期中）I admire firefighters because they and save people’s lives.(灭火) (根据汉语提示完成句子)33．（2024北京人大附中高一下期中）That was the day when it took only six hours to break my . (身心)（根据汉语提示完成句子）参考答案1．C【详解】考查名词。

2020-2021学年北京市海淀区高一(下)期中语文试卷

2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中语文试卷试题数：11，总分：1001.（单选题，2分）成语是人们长期以来习用的、简洁精辟的固定短语，其来源主要有神话传说、寓言故事、历史故事、文化典籍等。

汉语成语承载着博大精深的中华传统文化，可称为中华文化的微缩景观。

下列有关成语的解说有误的一项是（）A.“望帝啼鹃”来源于神话传说。

古诗文中多用它来表达哀怨、思归的愁绪。

在《窦娥冤》中，窦娥以“望帝啼鹃”来表明自己的悲苦冤屈。

B.“目无全牛”出自庄子的寓言故事，形容庖丁的技艺高超，已经达到了非常纯熟的地步。

现在用来批判只顾局部，看不到全局。

C.“项庄舞剑，意在沛公”出自史传作品《史记•项羽本纪》的经典情节“鸿门宴”，后用来比喻说话和行动的真实意图别有所指。

D.“心有戚戚焉”来源于文化典籍，出自《孟子•梁惠王上》，形容内心有所触动的样子，用来表示深有同感。

2.（单选题，2分）下列各组语句中加点的词语，意思相同的一组是（）A.朝济．而夕设版焉假公济．私B.披．帷西向立披．荆斩棘C.靡．计不施所向披靡．D.即道人意中事，无毫发爽．神清气爽．3.（单选题，2分）下列各组加点词语的意义和用法，相同的一项是（）A.因．之以饥馑因．人之力而敞之B.亦各言其．志也已矣吾其．还也C.老吾老，以及人之．老愿伯具言臣之．不敢倍德也D.遂为．滑胥报充里正役不者，若属皆且为．所虏4.（单选题，2分）下列各句的理解，有误的一项是（）A.越国以鄙远，君知其难也越过别国而把远的当作边邑，您知道这是困难的B.谨庠序之教，申之以孝悌之义认真地兴办学校教育，把孝悌的道理反复讲给百姓听C.臣之所好者道也，进乎技矣我追求的是天道，超过技术了D.所以遣将守关者，备他盗之出入与非常也之所以派遣把守函谷关的人，是为了特别要防备盗贼进出5.（填空题，6分）在横线处填写作品原句。

（任选其中三道小题作答）（1）春天朝气蓬勃，古人常以之寄托理想，如曾皙所说“冠者五六人，童子六七人。

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