无缝喷灌系统的设计

矩形草坪上的无缝喷灌系统的设计

摘要

◆无缝喷灌矩形草坪的问题，就是用若干个圆无缝覆盖某个固定的矩形的问题，

而由于圆周为弧线，因此必定存在重复覆盖。对于采用若干相同规格的喷头，即用相同半径的圆覆盖矩形的情况，本文将圆形有重叠覆盖问题，转化为正多边形无重叠覆盖的问题（其中多边形的各顶点即为各圆的圆心），并引入重复覆盖率的概念，用于评价被重复覆盖的面积大小。在矩形面积远大于每个圆的面积的情况下，重复覆盖率实际上就是所有圆的面积与矩形面积之差，相对于矩形面积的比率。由于矩形面积恒定，且每个圆的面积相同，因此重复覆盖率越大，则所有圆的总面积越大，亦即圆的个数越多。因此最优化问题转化为使重复覆盖率最小的问题。

◆对于正多边形无重叠覆盖的问题，需要确定正多边形的边数。本文通过研究

多边形的边数对重复覆盖率最小值的影响，证明了无论圆的半径是多少，转化为多边形无重叠覆盖问题后，最优的多边形选择都是正三角形。接着，本文分类讨论了各种覆盖方式，求得最优方案，即使圆的个数最少的方案。半径为1时，最少需560个喷头可覆盖50×28的矩形区域。

◆对于求个数一定的相同规格喷头所能覆盖的最大矩形面积的问题，由于并不

限制矩形形状，故可求得有最大矩形面积的情况是：各圆一字排开，并与相邻圆相交的情况。当圆的个数一定时，矩形面积仅与两交点间的线段长有关，通过简单的计算即可得矩形面积最大值。圆个数为n，半径为1、2、5时，可覆盖的最大矩形面积分别为2n、8n、50n。

一、问题重述

有一块长宽分别为50 米以及28 米的矩形草坪区域, 要在其内部设立若干个喷头用来自动浇灌这块草坪.现有浇灌半径分别为1 米,2米和5 米三种规格的喷头可供使用. 要求草坪中的任一点都能被浇灌到.

(1)若所有的喷头都使用浇灌半径为 1 米的喷头, 至少需要在草坪上设多少个这种规格的喷头.

f n表示n 个相同规格的喷头所能浇灌的最大矩形草坪区域的面积

(2)设()

f n的值.

(n=1,2,3,…), 试确定()

(3)若三种规格的喷头都允许使用, 试设计一种你认为合理的浇灌方案, 使得:

(i) 喷头个数尽可能少;

(ii) 尽可能合理利用水资源, 即要求溢出草坪部分的浇灌面积尽可能少.

二、模型假设

1、设喷头的灌溉区域为正圆；

2、假定灌溉模型为理想模型，即喷头的洒水量在整个灌溉区域内是均匀的；

三、符号约定

a：正多边形的边数n：圆周半径

ρ：重复覆盖率w：总的阴影部分面积

S：正多边形的面积1

s：每个阴影部分的面积

2

c：矩形区域的长d：矩形区域的宽

x：矩形长度范围内可以容纳的三角形个数

y：矩形宽度范围内可以容纳的三角形个数

N：使用喷洒半径为n的喷头所需的最少的喷头数

()n

四、问题的分析与模型的建立

1．第一问的分析及求解

没有重复灌溉时的最优化情况

由题设可知，各个碰头的浇灌范围是圆形。由于采用的喷头的规格是一样的，即各个圆的半径相同，那么达到最优化的方式只能是各个圆都相切。但是不同的个数的圆相切的方式是不一样的，即各个圆心相连构成的正多边形不同，下图以3个圆和4个圆为例说明，3个圆相切时圆心构成正三角形，4个圆相切时圆心构成正方形。

图1 图2

考虑重复灌溉时的最优化情况

由于要求草坪上每点都要灌溉到，必然会出现重复灌溉的情况。在的基础上，我们需考虑如何把几个圆中间的空隙部分填满。在空隙部分再放一个喷头时重复灌溉面积很大，在此我们考虑将k个圆以相同速度往多边形的中心靠拢至恰好把

空隙填满。图3、4分别是3个圆和4个圆收缩之后的情形，可以此类推k个圆收缩之后的情形。

图3 图4

计算各个情形下的重复覆盖面积

因为多边形的面积大小不同，在此引入一种评价准则：重复覆盖率——单位面积上的覆盖大小（图3、4中蓝色部分乘以2即重复灌溉的区域）。重复覆盖面积越小，重复覆盖率越小，则所需的碰头个数越小，即最小覆盖率与最少喷头数等价。

先计算三角形的重复覆盖率，然后扩展为正a多边形的重复覆盖率。评价的准则是看圆周半径n为不同值时的重复覆盖率最小的a，可以证明出最小的a都是3，所以无论圆周半径是多少，能达到最优化的必要条件是三角形的拓扑结构。

以下为证明过程:

假设问题是在全平面上，不考虑边界处的扰动。令三角形的边长为n，由图3得三角形的面积为

2

31

22

S n

=⋅⋅=

令

2

x n

=

，则cos

2

rθ=

11

66

11

66

1

()

22cos

n

s d n d

ππ

ππ

θθ

θ

--

∴==-

⎰

⎰161

6

11

32cos

n n d

π

π

πθ

θ

-

=-⎰

12

6

1

6

1sec sec tan

32sec tan

n n d

π

π

θθθ

πθ

θθ

-

+

=-

+

⎰

1

6

1

6

11

ln tan

32cos

n nπ

π

πθ

θ-

=-

+

11

ln3

3232

n n

ππ

=-=-

2

ln3

3

s n

π

∴=

w代表总的阴影部分的面积，ρ代表重复覆盖率，则：

32

ln3ln3

23

w n n

ππ

⎛⎫

∴==-

⎪

⎝⎭