2014年十一校第一次联考数学试卷
北京市十一学校2014届高三暑期第一次测试数学试题
北京市十一学校2014届高三暑期第一次数学测试试题2013．7．26一． 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．设全集U =R ，}0|{≥+-=bx ax x A ，且C u A =(1,]a --，则a b +=（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．0 2．已知条件2:(1)4p x +>；条件:q x a >；且p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．1a ≤C ．3a ≥-D ．3a ≤-3．命题“至少有一个点在函数(0)y kx k =≠的图象上”的否定是（ ） A ．至多有一个点在函数(0)y kx k =≠的图象上 B ．存在一个点不在函数(0)y kx k =≠的图象上 C ．所有点都不在函数(0)y kx k =≠的图象上 D ．所有点都在函数(0)y kx k =≠的图象上4．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则（ ） A ．(25)(11)(80)f f f -<< B ． (80)(11)(25)f f f <<- C ． (11)(80)(25)f f f <<- D ． (25)(80)(11)f f f -<<5．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较 经济的（既够用又耗材量少）是（ ）A ． 5．2mB ． 5mC ． 4．8mD ． 4．6m6．函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为 ( )． 7．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()(2)f x f x =+D ．(3)f x +是奇函数8． 若1x 满足225xx +=，2x 满足222log (1)5x x +-=，则1x +2x =（ ） A ．52 B ．3 C ． 72D ． 4二． 填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，把答案填在题中横线上．9．若集合{(,)|2,},{(,)|2,},xA x y y x RB x y y x x R ==∈==∈则A B = ． 10．设变力()F x 作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从2x π=运动到2x π=，已知2()sin F x x x =+，且变力的方向与x 轴正向相同，则力()F x 对质点M 所做的功为 ． 11．设)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是 ; 12．设1a >，且2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=，则,,m n p 之间的大小关系为 ．（按从小到大的顺序）13．若函数()xf x a x a =--(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．14．若1)4cos()4cos(8=-+απαπ，则αα44cos sin += ；15．定义在R 上的函数()f x )满足2log (1),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则(2014)f 的值为 ．16．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．D北京市十一学校2014届高三暑期第一次数学测试试题2013．7．26一． 请将选择题的正确答案填在下列的表格内（每小题5分，共40分）．二．请将填空题的正确答案填在下列题号后的横线上（每小题4分，共32分）．9． ；10． ；11． ；12． ； 13． ；14． ； 15． ；16． ；第II 卷（解答题 共80分） 三． 解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ; (Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.18．（本小题满分12分）已知命题p ：函数22()442f x x mx m =-++在区间[1,3]-上的最小值为2；命题q ：不等式||1x x m +->对任意x R ∈恒成立．如果命题p q ∨是真命题且p q ∧是假命题，求实数m 的取值范围．学校 姓名 学号若函数f （x ）对定义域中任意x 均满足,2)2()(b x a f x f =-+则称函数)(x f y =的图象关于点（a ，b ）对称．（1）已知函数xmmx x x f ++=2)(的图象关于点（0，1）对称，求实数m 的值；（2）已知函数()g x 在(,0)(0,)-∞+∞ 上的图象关于点（0，1）对称，且当x ∈(0,)+∞时，1)(2++=ax x x g ，求函数()g x 在(,0)-∞上的解析式；（3）在（1）、（2）的条件下，当0t >时，若对任意实数x ∈(,0)-∞，恒有)()(t f x g < 成立，求实数a 的取值范围．定义在R 上的函数()f x 满足对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x > 时，()0f x >．（1）试判断函数()f x 的奇偶性，并证明； （2）求证：()f x 在R 上为增函数；（3）若(3)(392)0xxxf k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围．学校 姓名 学号两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在半圆弧AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0．065．（Ⅰ）将y 表示成x 的函数；（Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断半圆弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由．已知二次函数2()f x ax bx c =++，直线21:8l y t t =-+，其中t 为常数且02t ≤≤，直线2:2l x =，若直线12,l l 与函数()f x 的图象以及直线1l y 、轴与函数()f x 的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求阴影部分的面积关于t 的函数关系()s t ； （3）若()6ln g x x m =+，则是否存在实数m ，使得 函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出实数m 的值；若不 存在，说明理由．x ABC 学校 姓名 学号。
湖北省部分重点中学高三数学上学期11月联考试题 文
湖北省部分重点中学2014-1015学年度第一学期11月联考高三数学（文科）试卷试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．全集{}0,4,3,2,1----=U，集合{}0,2,1--=A，{}0,4,3--=B，则=⋂BACU)(（）A．{0} B．{－3，－4} C．{－1，－2} D．φ2．复数3(1)z i i=+(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知a，b，c满足a＜b＜c且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab<ac B．c(a﹣b)>0 C．ab2<cb2 D．(22)0a cac->4．已知l,,m n是三条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．,,αγβγαβP P P 若则B．,,m mαβαβP P P 若则C．,,αγβγαβ⊥⊥P 若则D．,,m l n l m n⊥⊥P 若则5．若双曲线22221x ya b-=的离心率为2，则其渐近线的斜率为（）A．．．3±D．5±6．执行如右图所示的程序框图，则输出的y=（）A．0.5 B．1 C．1- D．27．若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为（）A．2211220x y+=B．221412x y+=C．221128x y+=D．221812x y+=8．定义式子运算为12142334a a a a a a a a =-，将函数1cos ()3sin wx f x wx=（其中0ω>）的图象向左平移3πω个单位，得到函数y=g (x)的图象．若y=g(x)在[0,6π]上为增函数，则ω的最大值( )A ．6B ．4C ．3D ．29．如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h 厘米，已知当0x =时，13h =．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完． 则函数()h f x =的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知b a >，若函数()f x 在定义域内的一个区间[],a b 上函数值的取值范围恰好是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称区间[],a b 是函数()f x 的一个减半压缩区间，若函数()2f x x m =-+存在一个减半压缩区间[],a b ，（2b a >≥），则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0.5,1 B ．(]0.5,1 C ．(]0,0.5 D ．()0,0.5二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填写在题中横线上．11．下列四个结论中，①命题“若x≠1，则x2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x2-3x+2=0，则x=1”；②若p∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；③若命题p ：∃x0∈R，使得20x +2x0+3<0，则﹁p: ∀x∈R,都有x2+2x+3≥0；④设a ，b 为两个非零向量，则“a·b＝|a|·|b|”是“a与b 共线”的充分必要条件；正确结论的序号是的是_____ _．12．某运动队有男女运动员49人，其中男运动员有28人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，那么应抽取女运动员人数是 ．13．已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数=a _________．14．若偶函数()y f x =（x∈R 且0x ≠）在(),0-∞上的解析式为1()ln f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的图象在点()()2,2f 处的切线的斜率为_________．15．如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不低于乙的平 均成绩的概率为________．16．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1．2万元 0．55万元 韭菜6吨0．9万元0．3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为________．17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：10631将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）2014b 是数列{}n a 中的第_________项；（Ⅱ）若n 为正偶数，则()11357211n n b b b b b ---+-++-L =_________．（用n 表示）三、解答题：本大题共5个小题，共65分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知向量()sin 2,1m x =-u r，向量()32,0.5n x =-r ，函数m n m x f ⋅+=)()(．（I ）求)(x f 的最小正周期T ；（II ）已知c b a ,,分别为ABC ∆内角C B A ,,的对边，A 为锐角，13,2a c ==，且()f A 恰是()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求A 和b ．19．（本小题满分13分）设{}n a 是公比为q 的等比数列． （I ）推导{}n a 的前n 项和公式；（II ）设q≠1, 证明数列{2}n a +不是等比数列．20．（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=o,BAC CAD ∠=∠60=o ，PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成角为45o ，2AB =．（I ）求四棱锥P ABCD -的体积V ；（II ）若E 为PC 的中点，求证：平面ADE ⊥平面PCD ．DECA BP21．（本小题满分13分）如图，已知抛物线2:4C x y =，过焦点F 任作一条直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（I ）证明：动点D 在定直线上；（II ）点P 为抛物线C 上的动点，直线l 为抛物线C 在P 点处的切线，求点Q （0，4）到直线l 距离的最小值．22．（本小题满分14分）已知函数()1xf x e x =--，x R ∈， 其中，e 是自然对数的底数．函数()1g x xsinx cosx =++，0x >．（I ）求()f x 的最小值；（II ）将()g x 的全部零点按照从小到大的顺序排成数列{}n a ，求证：（1）(21)(21)22n n n a ππ-+<<，其中*n N ∈；（2）222212311112ln 1ln 1ln 1ln 13n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ．高三联考数学文科参考答案1—5． B D D A B 6—10．A D C C B 11．①③ 12． 6 13．23±14． －0．5 15． 10916． 30, 20 17． 5035, 225204n n +-18．解: （1）()21()sin 2132cos 22f x m n m x x x =+⋅=++u r r u r 2分 1cos 4311sin 4sin 422226x x x π-⎛⎫=+++=-+ ⎪⎝⎭， 4分 2.42T ππ∴== 6分（2） 由（1）知：()sin(4)26f x x π=-+，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,54666x πππ-≤-≤∴当462x ππ-=时()f x 取得最大值3，此时6x π=．∴由3)(=A f 得.6A π=9分由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-∴222222cos6b b π=+-⨯，∴b = 12分19．答案：（I ）当q ≠1时，()11111n n n a q a a qS qq --==--，当q=1时，1n S na =（2）略解析：(Ⅰ) 因为211111n n S a a q a q a q -=++++L ，231111nn qS a q a q a q a q =++++L ，两式相减得()()11111n n n q S a a q a q -=-=-，所以当q ≠1时，()11111n n n a q a a qS qq --==--， 4分当q=1时，数列为常数列，1n S na = 6分（II ）证明：假设数列{2}n a +是等比数列，则有()()()22111222a q a a q +=++ 9分整理得()21210a q -=，因为1a ≠0，所以q=1与已知q≠1矛盾，所以数列{2}n a +不是等比数列． 12分 20．解：（1）∵PA ⊥平面ABCD ∴PAC ∠是直线PC 与平面ABCD 所成角，依题设，45PAC ∠=o ． 2分在Rt ABC ∆中，2AB =，060BAC ∠=，∴4BC AC ==．在Rt APC ∆中∵︒=∠=∠45APC ACP ∴PA=AC=4．在Rt ACD ∆中，4AC =，060CAD ∠=，CD =分∴1111242222ABCD S AB BC AC CD =⋅+⋅=⨯⨯⨯⨯=∴143V =⨯=． 6分DECA BP（2）∵ PA ABCD ⊥平面，∴PA CD ⊥，又AC CD ⊥，PA AC A =I ，∴CD PAC ⊥平面，∵AE PAC ⊂平面，∴CD AE ⊥ 9分 在Rt APC ∆中∵PA=AC ，E 是PC 的中点，∴AE PC ⊥ ∴PCD AE ⊥平面∵AE AED ⊥平面，∴AED PCD ⊥平面平面． 13分21．（1）解：依题意，F （0，1），易知AB 的斜率存在，设AB 的方程为1y kx =+．代入24x y =得24(1)x kx =+，即2440x kx --=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x =-， 2分直线AO 的方程为11y y x x =；BD 的方程为2x x =；解得交点D 的坐标为1221(,)y x x x ， 4分注意到124x x =-及2114x y =，则有212121211144y x x x x x y x x ====-，因此，D 点在定直线1(0)y x =-≠上． 6分（II ）设2(,)4t P t 为曲线2:4C x y =上一点，因为12y x '=，所以的斜率为12t ，因此直线l 的方程为2()42t t y x t -=-，即224t t x y --=． 8分 则Q （0，4）点到的距离2|4|t d --=， 10分 所以()211612t d +==≥当t =时取等号，所以O点到距离的最小值为 13分22．解：（I ）()1xf x e '=-，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>；所以，函数()f x 在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是增函数，所以min ()(0)0f x f ==，综上所述，函数()f x 的最小值是0． 4分 （II ）证明：对()g x 求导得()()'sin cos cos 0g x x x x sinx x x x =+-=>，令()'0g x =可得*)(2)12(N k k x ∈-=π，当()32,222x k k k N ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，此时()'0g x <；当()2,2*22x k k k N ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，此时()'0g x >．所以，函数()f x 的单调递减区间为()32,222k k k N ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，单调递增区间为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭和()2,2*22k k k N ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． 7分因为函数()g x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()02g =，所以12a π>．当*n N ∈时，因为()()()121(21)(21)(21)111102222n n n n n n g g ππππ-+⎛⎫--+⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-+-+<⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，且函数()g x 的图像是连续不断的,所以()g x 在区间()()2121,22n n ππ-+⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，又()f x 在区间()()2121,22n n ππ-+⎛⎫⎪⎝⎭上是单调的，故(21)(21)22n n n a ππ-+<<． 9分（2）证明：由（I ）知，10xe x --≥，则ln(1)x x +≤，因此，当*n N ∈时，记S=22221231111ln 1ln 1ln 1ln 1n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 则S22221231111n a a a a ≤++++L 11分由（1）知，S2222241111135(21)n π⎛⎫<++++ ⎪-⎝⎭L 当1n =时，2423S π<<；当2n ≥时，S2411111335(23)(21)n n π⎛⎫<++++ ⎪⨯⨯--⎝⎭L 即，S 2241162112(21)3n ππ⎡⎤⎛⎫<+-<<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦，证毕． 14分。
安徽省示范重点高中2014届高三数学上学期第一次联考试题文(扫描版)新人教A版
安徽省示范高中2014 届高三数学上学期第一次联考试题文（扫描版）新人教 A 版2014 届安徽省示范高中高三第一次联考文科数学参照答案一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1.B 【分析】A { x | x 2 2x 0}{ x | 0剟x2} ，B { x | lg x 1, 0}x | 0 x 1, 1 ＝ { x |1 x, 2} ，因此 A B { x |1 x, 2} ，应选 B ．2.C 【分析】 f (0) ＝1，f ( f (0)) ＝f (1) ＝ 2－1＝ 1．应选 C ．3.C 【分析】若，联合图形可知，2221 2．应选 ．1OA OBOA OBABC4.B 【分析】 cos()cos5，∴ cos5，又α∈, ，3325 22．∴sin(2∴sin α＝ 1cos2＝ 1π＋α) ＝－ sinα＝－ ．应选 B ．33 35.D 【分析】圆 C 的标准方程为 x 2 y24 ，直线 l 过定点（0,1 ），代入 x 2 y 1 2，1 4 可知直线过圆上的点，因此直线与圆相切或订交．应选 D ．6.D 【分析】函数 y f ( x) c 与 x 轴有两个不一样交点，即方程 f ( x) c0 有两个不一样的 解，由 f ( x) c 知， y f ( x) 与 y c 有两个不一样的交点，联合图形可知c2, 0.51.1,1.8 ．应选 D ．7.B 【分析】 S －S ＝a ＋a ＋a ＋a ＝2( a ＋a ) ＝0，又 a ＝1，∴a ＝－ 1．∴ b 22 ，6234564545又 b 5b 1 4b 22 ，即 b 3 2 4b 2 2 ，∴ q 2 b 3 2 4 ， q 2 ．因此 b 10 b 2q 8228 29 ，因此b 2 2log 2 b 10 log 2 29 9 ．8.A 【分析】f ( x ) 的最小正周期 T 45，故2 2．由 2得，126 T662由图可知 A ＝2．故函数 f ( x ) 的分析式为 f ( x)2sin 2 x．因此 f (0) 2sin1 ．故66选 A ．9.B 【分析】 ①样本容量为 93 ，①是假命题； ②数据 1,2,3,3,4,5 的均匀数为 1861(12 33 4 5) 3，中位数为 3，众数为 3，都同样， ②是真命题；5③ x 乙5 6 9 105 7， s 乙21[(5 －7) 2＋(6 －7) 2＋(9 －7) 2＋(10－7) 2＋(5 －7) 2 ] ＝551×(4 ＋1＋4＋9＋4) ＝4.4 ，∵s 2＞s 2，∴乙稳固， ③是假命题； ④是真命题； ⑤精心整理4数据落在 [114.5,124.5) 内的有： 120,122,116,120共 4 个，故所求 率 10＝0.4 ，⑤是真命 ．10.B 【分析】由 f ( x ) 是( －∞，＋∞ ) 上的减函数，可得 0 a 1，化 得 0 a,1．f (0) a 0 2 3a 3 ,二、填空 ：本大 共5 小 ，每小 5 分，共 25 分，把答案填在 中横 上。
安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学(理)试卷(扫描版)
2014届安徽省示范高中高三第一次联考理科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 【解析】(1)2f =，f (f (1))＝f (2)＝4＋2a,，由已知4a ＝4＋2a ，解得a ＝2．故选C ．2．B 【解析】由题意可知向量OB 的模是不变的，所以当OB 与OA 同向时OA OB +最大，结合图形可知，max 1OA OB OA +=+=13+=．故选B ．3. C 【解析】法一：从0开始逐一验证自然数可知{}1,2,3A =，{}0,1B =，要使,S A S B φ⊆≠，S 中必含有元素1，可以有元素2,3，所以S 只有{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,2,3.法二：31A x N x ⎧⎫=∈≥=⎨⎬⎩⎭310x N x ⎧⎫∈-≤⎨⎬⎩⎭30x x N x ⎧-⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭{|03}x N x =∈<… {}1,2,3=，()2{|log 11}B x N x =∈+≤{}|012x N x =∈<+…＝{|11}x N x ∈-<…{}0,1=，所以集合S 中必含元素1，可以是{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,2,3，共4个．故选C ．4．B 【解析】通过画树形图可知由1、2、3、4四个数构成的没有重复数字的四位数共有24个，四位数为“锯齿数”的有：1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231共10个，所以四位数为“锯齿数”的概率为1052412=．故选B ． 5.C 【解析】函数4()log 1y f x x =+-与x 轴的交点个数，为方程4()log 10f x x +-=的解的个数，即方程4()log 1f x x =-+解的个数，也即函数4()log 1y f x y x ==-+，交点个数，作出两个函数图像可知，它们有3个交点．故选C ．6.B 【解析】sin()sin παα-==，又α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴cos α＝＝23=-．由2cos 2cos 12αα=-，3,224αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos2α===，所以sin cos222παα⎛⎫+==⎪⎝⎭．故选B．7.D【解析】法一：因为3324a S S=-=，所以234b a==，222log log42b==，验证可知A,B,C均不符合，故答案为D.法二：因为3324a S S=-=，所以234b a==，又2314n n nb b b+-=，即2214n nb b+=，∴22124nnbqb+==，2q=．所以数列{b n}的通项公式是222422n n nnb b q--==⨯=，所以22log log2nnb n==．故选D．8.A【解析】圆C的标准方程为()2214x y++=，圆心为（0,－1），半径为2；直线方程l 的斜率为1-，方程为10x y+-=．圆心到直线的距离d==．弦长AB===O到AB，所以△OAB的面积为112⨯=．故选A．9．B【解析】①由系统抽样的原理知抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为1(123345)35+++++=，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③由题可知样本的平均值为1，所以01235a++++=，解得a＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，，③是假命题；回归直线方程为2y a x=+过点(),x y，把（1,3）代入回归直线方程为2y a x=+可得1a=．④是真命题；⑤产品净重小于100克的频率为(0．050＋0．100)×2＝0．300，设样本容量为n，则36n＝0．300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0．100＋0．150＋0．125)×2＝0．75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0．75＝90．⑤是真命题．10．C【解析】作出函数()f x的图像，然后作出2()log(0)f x x x=>关于直线y x=对称的图像，与函数2()32(0)f x x x x=++…的图像有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。
安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学(理)Word版含解析
理科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))4f f a =，则实数a 等于（ ）A ．12 B ．43C ．2D ．42.在平面直角坐标系中，A ，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则||OA OB +的最大值是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．13.集合3{|1}A x N x=∈≥，3{|log (1)1}B x N x =∈+≤，S A ⊆，S B φ≠，则集合S 的个数为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．84.我们把形如“1234”和“3241”形式的数称为“锯齿数”（即大小间隔的数），由1,2,3,4四个数组成一个没有重复数字的四位数，则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为（ ） A ．12 B ．512 C ．13 D ．145.函数()|tan |f x x =，则函数4()log 1y f x x =+-与x 轴的交点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.若sin()3πα-=-且3(,)2παπ∈，则sin()22πα+=（ ）A ．3-B ．6-C ．6．37.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a =， 2314(2,)n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =（ ）A ．1n -B ．21n -C ．2n -D ．n8.已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2223x y y +=-+，直线l 过点(1,0)且与直线10x y -+=垂直.若直线l 与圆C 交于A B 、两点，则OAB ∆的面积为（ ）A ．1BC ．2D ．9.给出下列五个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23； ②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③一组数据为a ，0,1,2,3，若该组数据的平均值为1，则样本标准差为2；④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中，2,1,3,b x y ===则1a =；⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是90.其中真命题为（ ）A ．①②④B ．②④⑤C ．②③④D ．③④⑤10.在平面直角坐标系中，若两点P Q 、满足条件： ①P Q 、都在函数()y f x =的图像上；②P Q 、两点关于直线y x =对称，则称点对{,}P Q 是函数()y f x =的一对“和谐点对”. （注：点对{,}P Q 于{,}Q P 看作同一对“和谐点对”）已知函数2232(0)()log (0)x x x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，则此函数的“和谐点对”有（ ）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对考点：函数图像.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.执行如图所示的程序框图，则输出的结果S是 .12.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.【答案】4 3π13.设,x y满足约束条件360200,0x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为4，则23a b+的最小值为 .14.已知偶函数()f x 对任意x R ∈均满足(2)(2)f x f x +=-，且当20x -≤≤时，3()log (1)f x x =-，则(2014)f 的值是 .∴(4)()f x f x +=，∴3(2014)(45032)(2)(2)log 31f f f f =⨯+==-==． 考点：1.函数奇偶性；2.周期；3.函数值.15.如图，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知'A DE ∆（'A ∉平面ABC ）是ADE ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，有下列命题： ①平面'A FG ⊥平面ABC ； ②BC //平面'A DE ；③三棱锥'A DEF -的体积最大值为3164a ；④动点'A 在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ⑤二面角'A DE F --大小的范围是[0,]2π.其中正确的命题是 （写出所有正确命题的编号）.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）已知函数2()cos cos ()f x x x x m m R =-+∈的图像过点(,0)12M π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图像各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移3π个单位，得函数()g x 的图像.若,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，4a c +=，且当x B =时，()g x 取得最大值，求b 的取值范围.∴2b …，又4b a c <+=． ∴b 的取值范围是[)2,4．考点：1.二倍角公式；2.两角和与差的正弦公式；3.图像平移伸缩变换；4.余弦定理；5.基本不等式.17. （本小题满分12分）某数学老师对本校2013届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1:50进行分层抽样抽取的20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到频率分布表如下：（1）求表中,a b的值及分数在[90,100)范围内的学生数，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在[90,150]范围为及格）；（2）从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥A BCDE -中，侧面ADE ∆是等边三角形，在底面等腰梯形BCDE 中，//CD BE ，2DE =，4CD =，060CDE ∠=，M 为DE 的中点，F 为AC 的中点，4AC =.（1）求证：平面ADE ⊥平面BCD ； （2）求证：//FB 平面ADE .19. （本小题满分13分）定义在R 上的函数()f x 对任意,a b R ∈都有()()()f a b f a f b k +=++（k 为常数）.（1）判断k 为何值时()f x 为奇函数，并证明；（2）设1k =-，()f x 是R 上的增函数，且(4)5f =，若不等式2(23)3f mx mx -+>对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分13分）已知点(2,0),(2,0)E F -，曲线C 上的动点M 满足3ME MF ∙=-,定点(2,1)A ，由曲线C 外一点(,)P a b 向曲线C 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =. （1）求线段PQ 长的最小值；（2）若以P 为圆心所作的圆P 与曲线C 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的标准方程.21. （本小题满分13分）已知数列{}n a 中，12a =，2*12()n n n a a a n N +=+∈.（1）证明数列{lg(1)}n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记112n n n b a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n S .。
2014年数学一真题与答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列曲线有渐近线的是 ( )(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1sin y x x =+ (D)21sin y x x=+ 【答案】(C)【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=，又 11lim[sin ]lim sin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =. 故选(C).(2) 设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 ( )(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】(D)【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选(D).2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一(3) 设()f x 是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰( )(A) 1100010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰ (B)1101(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰(C)112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ(D)112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ【答案】(D) 【解析】1101101(,)(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy ---=+⎰⎰⎰⎰⎰112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr +=+⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ.故选(D). (4) 若{}ππ2211-π-π,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=32260y xy x y +++= ( )(A) 2sin x (B) 2cos x (C) 2sin x π (D) 2cos x π 【答案】(A) 【解析】2222(cos sin )(sin )2cos (sin )cos x a x b x dx x b x a x x b x a x x dx --⎡⎤--=---+⎣⎦⎰⎰ππππ22222(2sin sin cos )x bx x b x a x dx -=-++⎰ππ2222202(sin cos 2sin )x dx b x a x bx x dx -=++-⎰⎰πππ223124()422223a b b =+⋅-⋅+πππ 2232(4)3a b b =+-+ππ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2232(2)43a b ⎡⎤=+--+⎣⎦ππ当0,2a b ==时，积分最小. 故选(A).(5) 行列式0000000a b abc d c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a dbc - (D)2222b c a d - 【答案】(B)【解析】由行列式的展开定理展开第一列0000000000000000a b a b a b a ba c d cbcd d c d c d=-- ()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.故选(B).(6) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组()123=B ααα线性无关的 ( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】(A) 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，A . 若123,,ααα线性无关，则2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一()()()2r A r BC r C ===，故()0.3P A B -=线性无关.()P B A -= 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数402Q p =-，向量p 线性无关是向量D 线性无关的必要非充分条件. 故选(A).(7) 设随机事件A 与B 相互独立，且()0.5P B =，()0.3P A B -=，则()P B A -= ( ) (A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】(B)【解析】 已知a =，A 与()2123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++独立，a ，()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=-()0.5()0.5()0.3P A P A P A =-==，则 ()0.6P A =，则()()()()()()0.50.50.60.50.30.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-⨯=-=.故选(B).(8) 设连续性随机变量1X 与2X 相互独立，且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度为1121()[()()]2Y f y f y f y =+，随机变量2121()2Y X X =+，则( )(A) 12EY EY >，12DY DY > (B) 12EY EY =，12DY DY =(C) 12EY EY =，12DY DY < (D) 12EY EY =，12DY DY > 【答案】(D)【解析】 用特殊值法. 不妨设12,(0,1)X X N ，相互独立. 22212221())2y y y Y f y ---==，1(0,1)Y N .2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2121()2Y X X =+，212212111()(()())0,()(()())242E Y E X E X D Y D X D X =+==+=. 12121()()0,()1()2E Y E Y D Y D Y ===>=.故选(D).二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 曲面22(1sin )(1sin )z x y y x =-+-在点(1,0,1)处的切平面方程为__________. 【答案】21x y z --=【解析】由于22(1sin )(1sin )z x y y x =-+-，所以22(1sin )cos x z x y x y '=--⋅，(1,0)2x z '=；2cos 2(1sin )yz x y y x '=-+-，(1,0)1y z '=-. 所以，曲面在点(1,0,1)处的法向量为{2,1,1}n =--. 故切平面方程为2(1)(1)(0)(1)0x y z -+----=，即21x y z --=.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.【答案】1【解析】由于()f x '2(1)x =-，[0,2]x ∈，所以2()(1)f x x C =-+，[0,2]x ∈.又()f x 为奇函数，(0)0f =，代入表达式得1C =-，故2()(1)1f x x =--，[0,2]x ∈.()f x 是以4为周期的奇函数，故2(7)(18)(1)(1)[(11)1]1f f f f =-+=-=-=---=.(11) 微分方程(ln ln )0xy y x y '+-=满足条件3(1)y e =的解为y =__________.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一【答案】21(0)x y xe x +=>【解析】(ln ln )0xy y x y '+-=ln()y y y x x'⇒=. 令yu x=，则y x u =⋅，y xu u ''=+，代入原方程得 ln xu u u u '+=(ln 1)u u u x-'⇒=分离变量得，(ln 1)du dxu u x=-，两边积分可得 ln |ln 1|ln u x C -=+，即ln 1u Cx -=.故ln1y Cx x -=. 代入初值条件3(1)y e =，可得2C =，即ln 21yx x=+. 由上，方程的解为21,(0)x y xe x +=>.(12) 设L 是柱面221x y +=与平面0y z +=的交线，从A 0x =轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分Lzdx ydz +=⎰ __________.【答案】π【解析】由斯托克斯公式，得0Ldydz dzdx dxdyzdx ydz dydz dzdx x y z z y∑∑∂∂∂+==+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰xyD dydz dzdx =+=⎰⎰π，其中22{(,)|1}xy D x y x y =+≤.(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.(14) 设总体X 的概率密度为()22,2,;30,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩θθθθ其他,其中θ是未知参数，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单样本，若221()nii E cX==∑θ，则c =_________.【答案】25n【解析】 222222()(;)3x E X x f x dx x dx +∞-∞==⋅⎰⎰θθθθ 2422215342x =⋅=θθθθ，222215[]()2ni i n E cX ncE X c ===⋅=∑θθ， 25c n∴=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xtx t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim [(e 1)]xx x x →+∞=--2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)设函数()y f x =由方程32260y xy x y +++=确定，求()f x 的极值. 【解析】对方程两边直接求导：2223220y y y xyy x y xy '''++++= ①令1x 为极值点，则由极值必要性知：1()0y x '=，代入①式得：2111()2()0y x x y x +=.即1()0y x =或11()2y x x =-. 将其代入原方程知：1()0y x =（舍去），即11()2y x x =-. 代入，有 33311184260x x x -+-+=，∴11x =. 即(1)2y =-，(1)0y '=.对①式两边再求导：22226()322()222220y y y y yy x y xyy yy xy x y y xy ''''''''''''+++++++++=.将(1)2y =-，(1)0y '=代入得：4(1)09y ''=>. ∴()y f x =在1x =处取极小值，(1)2y f ==-.(17)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，()cos xz f e y =满足()222224cos .x xz z z e y e x y∂∂+=+∂∂若()()00,00f f '==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,xz f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x zf e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂，2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂，代入得，()()22cos 4[cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+,即()()cos 4cos 4cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,x e y t 得()()44f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+ 设特解*y at b =+，代入方程得1,0a b =-=，特解*y t =- 则原方程通解为()2212=tty f t c e c et -=+-由()()'00,00f f==，得1211,44c c ==-, 则()2211=44u uy f u e e u -=-- (18)(本题满分10分)设∑为曲面22z x y =+(z 1)≤的上侧，计算曲面积分33(1)(1)(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰.【解析】∑非闭，补1∑：平面1z =，被22z x y =+所截有限部分下侧，由Gauss 公式，有 133+(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑∑--+-+-⎰⎰223(1)3(1)1x y dV Ω⎡⎤=-+-+⎣⎦⎰⎰⎰ 223()667x y dV xdV ydV dV ΩΩΩΩ=+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一∑和1∑所围立体为Ω，Ω关于yoz 面和zox 面对称，则0xdV ydV ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221221()x y x y x y dV dxdy dz +Ω+≤+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=21220(1)d r r rdr -⎰⎰πθ461011112()2()46466r r =-=-=πππ22112x y zdV dzdxdy zdz Ω+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππ173746222∑+∑∴-=⋅+⋅=+=⎰⎰πππππ 14∑+∑∴-=⎰⎰π又22111(1)(11)0x y z dxdy dxdy ∑∑+≤=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1114I ∑+∑∑∴=-=-⎰⎰⎰⎰π(19)(本题满分10分)设数列{}{},n n a b 满足02n a <<π，02n b <<π，cos cosb n n n a a -=，且级数1nn b∞=∑收敛.(I) 证明：lim 0n n a →∞=.(II) 证明：级数1nn na b ∞=∑收敛. 【解析】(I )1nn b∞=∑收敛 lim 0n n b →∞∴=cos cos 2sinsin 022sin 02n n n n n n n n n a b a ba ab a b+-=-=->-∴<又424nn a b --<< ππ，042n n a b-∴-<<π2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一即：n n a b <又0,n n a b << lim 0n n b →∞= lim 0n n a →∞∴=(II )证明：由(I )2sinsin 22n n n n n a b a ba +-=- 2sin sin 22n n n nn n na b a b a b b +--∴= 222222222n n n nn n n n n n n a b b a b a b b b b b +--≤=<= 又 1n n b ∞=∑收敛 ∴12nn b ∞=∑收敛,1n n na b ∞=∑收敛(20)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(21)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()12001B n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=， 则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n =λ的特征向量为(1,1,,1)T ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0=λ有1n -个线性无关的特征向量，故A 相似于对角阵0=0n ⎛⎫ ⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭. B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0=λ有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B . (22)(本题满分11分)设随机变量X 的概率分布为{}{}112,2P X P X ====在给定X i =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布()0,,(1,2)U i i =.（I ）求Y 的分布函数()Y F y ； （II ）求EY .【解析】（I ）设Y 的分布函数为(y)Y F ，则2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一{}{}{}{}{}()1|12|2Y F y P Y y P X P Y y X P X P Y y X =≤==≤=+=≤={}{}11|1|222P Y y X P Y y X =≤=+≤= 当0y <时，()0Y F y =；当01y ≤<时，13()(y )224Y y yF y =+=； 当12y ≤<时，1()(1)22Y yF y =+；当2y ≥时，()1Y F y =. 所以Y 的分布函数为0,03,014()1(1),12221,2Y y y y F y y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩(II) Y 的概率密度为3,01,41(y),12,40,Y y f y ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他.120131()=()d 44Y E Y f y y y dy y dy +∞-∞=+⎰⎰⎰ =31113(41)42424⨯+⨯-=(23)(本题满分11 分)设总体X 的分布函数为21(;)0,0,0,x x x e F x -≥<⎧⎪-=⎨⎪⎩θθ其中θ是未知参数且大于2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一零.12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（I ）求()E X ，2()E X ；（II ）求θ的最大似然估计量nθ；（III ）是否存在实数a ，使得对任何0>ε，都有{}lim 0n n P a →∞-≥=θε？【解析】X 的概率密度为22,0(;)(;)0,xx e x f x F x -⎧⎪>'==⎨⎪⎩θθθθ其它 （I ）22()(;)x xE X xf x dx xedx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ222[]x x x xdexeedx ---+∞+∞+∞=-=--⎰⎰θθθ2x edx -+∞=⎰θ12==22222()(;)x xE X x f x dx x edx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ222220[2]x x x x dex eexdx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθ22x xedx -+∞=⎰θθθ=θ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一（II ）似然函数2112,0()(;)0,ix n i ni i i x e x L f x -==⎧⎪∏>=∏==⎨⎪⎩θθθθ其它当0(1,,)i x i n >=⋅⋅⋅时，212()i x nii x L e-==∏θθθ，21ln ()[ln 2ln ]ni i i x L x ==--∑θθθ222211ln ()11[][]0n ni i i i x d L x n d ===-+=-=∑∑θθθθθθ 解得 211n i i x n ==∑θ所以，θ的最大似然估计量为211ˆnni i X n ==∑θ （III ）依题意，问ˆnθ是否为θ的一致估计量. 2211ˆ()()()nni i E E X E X n ====∑θθ 242211ˆ()()[()()]nD D XE X E X n n==-θ 24442()(;)x xE X x f x dx x edx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ2224430[4]x x x x dex eex dx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθ2304x x edx -+∞=⎰θ22222022[2]x x x x dex eexdx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθθθ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一24x xedx -+∞=⎰θ2222()x x ed -+∞=--⎰θθθ22=θ2221ˆ()[2]nD n n∴=-=θθθθ ˆlim ()0n n D →∞=θˆn∴θ为θ的一致估计量 a ∴=θ。
2014年第一次十校联考理科数学试题
江西省重点中学盟校2014届高三第一次联考高三数学（理）试卷命题人：景德镇一中江宁赣州三中明小青余江一中官增文审题人：景德镇一中曹永泉一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足()1z =（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数()lg(3)f x x=-的定义域是A．(3,)+∞B．(2,3)C．[2,3)D．(2,)+∞3．已知,m n是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是A．若αα//,//nm,则nm//B．若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC．若βα//,//mm,则βα//D．若,m nαα⊥⊥,则m∥n4．为了调查你们学校高中学生身高分布情况，假设你的同桌抽取的样本容量与你抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是A．你与你的同桌的样本频率分布直方图一定相同B．你与你的同桌的样本平均数一定相同C．你与你的同桌的样本的标准差一定相同D．你与你的同桌被抽到的可能性一定相同5．下列函数中，与函数111()22xxf x-+=-的奇偶性、单调性均相同的是A．xy e=B．ln(y x=C．2y x=D．tany x=6．已知直线1x y+=与圆22x y a+=交于A、B两点，O是原点，C是圆上一点，若OCOBOA=+，则a的值为A．1B C．2D．47．设lg lg lg111()121418x x xf x=+++++，则1()()=f x fx+A．1B．2 C．3 D．48．如图，函数()sin()f x A xωϕ=+（其中0A>，与坐标轴的三个交点P、Q、R满足(2,0)P ，为QR的中点，PM=，则A的值为A BC．8 D．169．给出下列命题，其中真命题的个数是①存在x R∈，使得007sin cos2sin24x xπ+=成立;②对于任意的三个平面向量a、b、c，总有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅成立;③相关系数r(||1r≤)，||r值越大，变量之间的线性相关程度越高.A．0 B．1 C．2 D．310．如图，已知正方体1111ABCD A BC D-的棱长是1，点E是对角线1AC上一动点，记AE x=（0x<<,过点E平行于平面1A BD的截面将正方体分成两部分，其中点A所在的部分的体积为()V x，则函数()y V x=的图像大致为A BC D1A第10题图第 1 页共2 页第 2 页 共 2 页二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知3sin a xdx π=⎰，则61()x ax+的展开式中的常数项是__________． 12．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y13．春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．14．过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点(,0)F c -(0)c >，作倾斜角为6π的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，且0OE EF ⋅=，则双曲线的离心率为__________． 三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分． 15（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1)sin cos 2(:1=+θθρC 与曲线)0(,:2>=a a C ρ的一个交点在极轴上，则a 的值为__________．15（2）．（不等式选做题）若关于x 的不等式|1|||3x x m -+-<的解集不为空集，则实数m 的取值范围是__________．四．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且有tan tan sin 3cos A C BC+=．（1）求cos A 的值；（2）若2b =，3c =，D 为BC 上一点．且2CD DB =,求AD 的长．17．（本小题满分12分）江西某品牌豆腐食品是经过A 、B 、C 三道工序加工而成的，A 、B 、C 工序的产品合格率分别为34、23、45．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场． （1）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率；（2）生产一袋豆腐食品，设X 为三道加工工序中产品合格的工序数，求X 的分布列和数学期望．18．（本题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，AB AC ==4BC =，PC =P 在平面ABC 内的射影恰为ABC ∆的重心G ，M 为侧棱AP 上一动点． （1）求证：平面PAG ⊥平面BCM ；（2）当M 为AP 的中点时，求直线BM 与平面PBC所成角的正弦值． 19．（本题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，向量(,)a n = 2 与(,)n b n S = +1 ，且a b λ=，R λ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求21{}n n a a +的前n 项和n T ，不等式3log (1)4n a T a <-对任意的正整数n 恒成立，求a 的取值范围．20．（本题满分13分）设定圆22:(16M x y +=，动圆N 过点(0)F 且与圆M 相切，记动圆N 圆心N 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）已知(,)A -2 0 ，过定点(,)B 1 0 的动直线l 交轨迹C 于P 、Q 两点，APQ ∆的外心为N ．若直线l 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值．21．（本题满分14分）已知函数()ln af x ax bx x=++ （a 、b 为常数），在1x =-时取得极值． （1）求实数b 的取值范围；（2）当1a =-时，关于x 的方程()2f x x m =+有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； （3）数列{}n a 满足1111n n a a -=-+ （*n N ∈且2n ≥），112a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ， 求证：12n n S a nn a e+-⋅≥（*n N ∈,e 是自然对数的底）．。
2014届十一学校小升初招生考试数学试题及详解(初试)
十一学校2014届小升初招生考试数学试题及详解（初试）说明：本次考试是实诚培训学校“素质班扩招考试”，考试时间为2013年8月17日，在考试中成绩优秀的学生均进入了十一学校组织的复试，所以本次考试实际上是十一学校入学资格考试。
一、填空Ⅰ：（每题2分）1、如果A=2×2×3×5，B=2×3×N.且A和B的最大公因数是30，那么N=（5 ）【解析】30=2×3×5 ，故Ｎ＝５．该题为我校《十一学校小升初真题》中的原题。
2、3×3×3×……×3×3(2009个3相乘)的积的个位上的数字是（３）【解析】３３×３３×３×３３×３×３×３３×３×３×３×３……个位数字：３、９、７、１、３……４位一循环，２００９÷４＝５０４……１所以个位为３.3、有4个小朋友的年龄一个比一个大一岁，他们的年龄积是5040，他们的各自年龄是（７）、（８）、（９）、（１０）【解析】５０４０＝５０４×１０＝９×５６×１０＝７×８×９×１０。
该题为我校《十一学校小升初真题》中的原题4、某公司给职工发奖金，每人发250元则缺180元，每人发200元则余220元，那么平均每人能发奖金（227.5）元【解析】公司有职工：（２２０＋１８０）÷（２５０－２００）＝８人平均每人发：（２００×８＋２２０）÷８＝２２７．５元5、一个数十万位上是最大的一位数，万位上是最小的合数，百位上是最小的质数，其余各位都是0，这个数是（９４０２００）【解析】该题为我校《小升初数学教程》1册中的原题。
二、填空Ⅱ：（每题3分）7.两个边长是12厘米的正方形相错开3厘米，那么图中阴影平行四边形的面积是（１３５）平方厘米8.长方形布料ABCD，被剪成大小相等的甲乙丙丁四块，其中甲块布料的长与宽的比是3:2，那么丁块布料宽是长的（１／６）【解析】7题：阴影平行四边形的底为12-3=9，高为12+12-9= 15，面积为9×15=135. 该题为我校《十一学校小升初真题》中的原题【解析】8题：设长方形ABCD的长为x,宽为y，则甲的长为y,宽为1/4x，由题意知：y：1/4x=3:2, 2y=3/4x。
湖北省部分重点高中2014届高三十一月联考数学(文)试题-含答案
湖北省部分重点高中2014届高三十一月联考数学（文）试题时间：2013年11月15日 下午：15：00—17：00 本试题卷共4页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数1012ii-= ( )A ．-4+ 2iB ．4- 2iC ．2- 4iD ．2+4i2．己知集合{|||2,},{|2,}A x x x R B x x Z =≤∈=≤∈，则A B =( )A ．（0,2）B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}3．执行右面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是 ( )A ．1 20B ．720C ．1440D ．50404．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上 平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)42sin(1π++=x yD. cos 2y x =5．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 （单位：cm ）。
可得这个几何体的体积是( ) A ．313cm B ．323cmC ．343cmD ．383cm6．已知m ，n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是 ( ) A ．若n m n m //,//,//,//则βαβα B ．若,//,//,βαβαn m ⊥则n m ⊥C ．若n m n m //,,,则βαβα⊥⊥⊥D ．若则,,//,//βαβα⊥n m n m ⊥7．设p 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BABP ＋＝，则( )A.PAPB ＋＝0 B.PC PA ＋＝0C.PB PC ＋＝0D.PAPB PC ＋＋＝0 8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
2014届安徽省重点中学第一次联考数学(理科)试题及参考答案(word版)
2014届安徽省重点中学第一次联考数学试题（理）一、选择题(每小题5分,共50分)1. 已知i 是虚数单位，则=+6)11(i( )A. 8B. i 8C. i 8-D. -82. 将函数)32sin()(π+=x x f 的图像向左平移12π个单位，得到)(x g 的图像，则)(x g 的解析式为 ( )A. x x g 2cos )(=B.x x g 2cos )(-=C.x x g 2sin )(=D.)1252sin()(π+=x x g 3. 在正项等比数列}{n a 中，3lg lg lg 963=++a a a ,则111a a 的值是 ( ) A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10 4.设x 、y 、z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是 ( )A. x 为直线,y 、z 为平面B. x 、y 、z 为平面C. x 、y 为直线,z 为平面D. x 、y 、z 为直线5.设}11|{≥∈=xR x P ，}0)1ln(|{≤-∈=x R x Q ，则“P x ∈”是“Q x ∈”的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧+==t y t x 434（t 为参数），圆C 的极坐标方程为θρsin 22=，那么，直线l 与圆C 的位置关系是 ( )A. 直线l 平分圆CB. 相离C. 相切D. 相交7.已知点F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点P 是双曲线上的一点，且021=⋅PF PF ，则21F PF ∆面积为 ( ) A. ab B. 12 ab C. b 2 D. a 28.对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义：设)(x f '是函数)(x f y =的导数，)(x f ''是函数)(x f '的导数，若方程)(x f ''=0有实数解x 0,则称点（x 0,f (x 0)）为函数)(x f y =的“拐点”。
2014北京十一学校小升初数学真题
．
（2）如果 F 面在前面，从左面看是 B 面，那么
7. 某中学的课外兴趣小组对校园附近的某段路上机动车的车速作了一次调查，如图反映他们
某天在某一段时间内，抽查的若干辆车的车速（车速取整数，单位：千米/叶）情况． 车辆数
8 2
20.5 30.5
10 5 3
逐位加密，给明码，就可以求出密码，如明码为“16” ，则加密这后的密码为“49” ；具体 求法如下： 先看明码的十位上数字 “1” ， 则 13 1 4 ， 取个位， 得密码的十位上数字 “4” ； 再看明码的个位上数字“6” ，则 6 3 1 19 ，取个位，得密码的个位上数字“9” ，由此得 密码为“49” ．反之，给出密码，也可以求出明码，如密码为“73” ，则明码为“24” ；具体 求法如下：设明码十位上的数字为 a，则 0 a 9 ，则有 1 3a 1 28 ，由密码十位上的数 字为“7” ，所以 3a 1 可能为 7、17、27．
70.5 80.5 车速
40.5 50.5
60.5
（1）如果车速大于 40 千米/时且不超过 60 千米/时为正常行驶，统计资料表明正常行驶车 辆的百分比为 85%，那么，这天在这段时间中他们抽查的车有 辆； 辆．
（2）如果全天超速（车速大于 60 千米/时）的车有 240 辆，则当天的车流量约为
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8. “△”表示一种运算符号，其意义是： aΔb 2a b ，如果 xΔ 2Δ3 3 ，则 x 二、 填空题（每空 2 分，共 24 分）
．
“我这里有三顶帽子，一顶 9. 老师为了考察甲、乙两个同学的聪明程度，就对这两名同学说： 是红颜色的，两顶是兰颜色的，老师把你们的眼睛蒙上并给每人戴一顶帽子，去掉蒙布以 后，你们只能通过看对方的帽子的颜色来猜自己所戴帽子的颜色． ”说完，老师就按上述过 程操作，当两人都去掉蒙布以后，甲发现乙迟迟不说自己帽子的颜色，便说出自己帽子的 颜色是 色（填“红”或“兰” ） ．
2014北京十一学校小升初数学真题
（2）两个连续奇数的平方差（取正数）
（填“是”或“不是” ） “和谐数” ．
31. 阅读下面材料并填空：
在体育比赛中，我们常常会遇到计算比赛场次的问题，这时我们可以借助数线段的方法来 计算．比如在一个小组中有 4 个队，进行单循环比赛，我们要计算总的比赛场次，我们就设这 四个队分别为 A、B、C、D，并把它们标在同一条线段上，如下图：
14. 在正方形区域中再放置一个，使之与原有的三个色块形成轴对
称图形，共有 种放法．
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15. 如图，边长为 3cm 与 5cm 的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点 B
为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是 A D ． cm2 （结果保留 π）
F O E B C
16. 一次大型运动会上，工作人员按照 3 个红气球，2 个黄气球，1 个绿气球的顺序把气球穿起
10. 扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按照下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆． 这时，小明准确地说出了中间一堆牌还有的张数，你认为中间一堆的张数是 A ． H
（4） 若分成 m 个小组，每个小组有 n 个队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶）将明码“223”按上述加密方法，经过两次加密得密码为
（4）若某明码按上述加密方法，经过两次加密得到的密码是“2445” ，则明码是
Ⅱ卷（满分 20 分）
填空题（第 26-29 题，每题 3 分，第 30-31 题，每题 4 分） 26. 已知一列数中第一个数是 2，从第二个数开始，每一个数都等于 2 与前一个数的倒数的差，则
湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考 数学理试题 含解析
湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学理科试题一、选择题:本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑. 1。
已知两个集合{})2ln(|2++-==x x y x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=012|x e x x B ，则=B A ( )。
A 。
)2,21[- B 。
]21,1(--C. ),1(e -D.),2(e2。
若i z ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=54cos 53sin θθ是纯虚数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ=（ ）A 。
71-B. 7-C.37-D 。
1-3。
已知命题p :所有素数都是偶数，则p ⌝是（ ）A。
所有的素数都不是偶数 B.有些素数是偶数C。
存在一个素数不是偶数D。
存在一个素数是偶数4.设Ra∈，函数xx ae-(的导函数为)(x f'，且)(x f'是奇函数，则=a（）)=f-exA。
0 B。
1 C. 2D。
1-5。
三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列{}a,则3a的所有取值中的最小值n是( )A。
1 B. 4 C. 36 D。
496.已知函数)(x f y =的定义域为{}5,83|≠≤≤-x x x 且，值域为{}0,21|≠≤≤-y y y 且。
下列关于函数)(x f y =的说法：①当3-=x 时,1-=y ；②将)(x f y =的图像补上点()0,5，得到的图像必定是一条连续的曲线；③ )(x f y =是[)5,3-上的单调函数；④)(x f y =的图象与坐标轴只有一个交点.其中正确命题的个数为（ ）A 。
1 B. 2 C. 3 D. 47。
等比数列{}na 的前n 项和为nS ，若1+n S ，nS ，2+n S 成等差数列，则其公比q 为 （ ）A. 2-=qB. 1=qC. 12=-=q q 或D.12-=-=q q 或8。
北京十一学校2014级初一直升数学自学检测-试卷
北京十一学校2014级初一直升数学自学检测试题试卷Ⅰ（共70分）一、选择题：（每小题2分，共20分）1．若a 、b 互为相反数，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．0=-b aB ．0=+b aC ．1=abD ． 1-=ab2．绝对值小于3的整数有 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列说法正确的是 （ ）A ．正数和负数互为相反数B ． a 的相反数是负数C ．相反数等于它本身的数只有0D ． a -的相反数是正数4．已知：||3x =,||2y =，且0xy <，则x y += ( )A ．5或－5B ．1或－1C ．5或－1D ．－5或15．下列方程中，是一元一次方程的是 （ ）A ．243x x -=B ． 0x =C ．21x y +=D ．11x x-= 6．已知3-=x 是方程()524=--+x k x k 的解，则k 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．57．下列说法正确的是 （ ）A ． 0．720有两个有效数字B ． 3．6万精确到个位C ． 5．078精确到千分位D ． 3000有一个有效数字8．某足球队训练用的足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，其中黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，黑、白皮块的数目比为3:5，要求出黑皮、白皮的块数，若设黑皮的块数为x ，则列出的方程正确的是 （ ）A ．332x x =-B ．()3532x x =-C ．()5332x x =-D ． 632x x =-9．当0=+bb a a时，a 与b 的关系是 （ ） A ． a 与b 互为相反数 B ．a =b =1 C ．a 与b 异号 D ．a =b =010．若4-=x 是关于x 的方程022=++a ax 的解，则2009143+-a a 的值为（ ）A ．2001B ．2003C ．2006D ．2009二、填空题：（每题3分，共18分）11．将下列各数填入相应的集合内：－2，0．81，－12．9，2007，0，53+，－3．14，.0.6-，π，34.28310⨯． 分数集合{ …}；负数集合{ …}；非负整数集合{ …}．12．国家体育场“鸟巢”建筑面积达25．8万平方米，将25．8万平方米用科学记数法（四舍五入保留2个有效数字）表示约为_______________平方米．13． 已知()0122=++-b a ，则ab =_______________． 14． 已知关于x 的方程432x m -=的解是x m =，则m 的值是______________．15．如果代数式75-x 与94+x 的值互为相反数，则x 的值等于 ．16．方程)1(4242103-=++x x a 的解为3=x ，则a 的值为 _____． 三．解答题：（15、16每题8分，17、18题每题5分，19题6分，共32分）15．计算（1）4311(10.5)[2(3)]3---⨯⨯-- （2）()()141643222-⨯÷---⨯16．解方程（1）5(1)263(5)x x -+=+ （2）3123146x x +--=--17．若41()204a a x--=是关于x 的一元一次方程，求281a a --+的值．18． 若21=x 是方程32142m x m x -=--的根，求代数式()⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-121824412m m m 的值．19．列一元一次方程解应用题某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买的数量又是去年的2倍．前年这个学校购买了多少台计算机？试卷Ⅱ（共50分）一、填空题（每空2分，共40分）1．如图，用八块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的宽是2．扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆的张数是3．已知一列数中第一个数是2，从第二个数开始，每一个数都等于2与前一个数的倒数的差，则第2011个数是等于4．设一个三位数23a加上326得到另一个三位数59b，如果59b被9整除，则a b__________．5． 有这样的两位数，交换个位和十位上的数字所得的两位数与原数的和是一个完全平方数．则这样的两位数共有__________个．6． 某银行被窃，甲、乙、丙、了四人涉嫌被拘审．侦破结果表明，罪犯就是其中的某一个人．甲说：“是丙偷的．”乙说：“我没偷．”丙说：‘我也没偷．”丁说；‘如果乙没有偷，那么就是我偷的．”现已查明，其中只有一个说假话．从上述条件可以确定是_____偷的．7． 某计算器只有[]1+和[]2⨯两个按键．当你按其中一个键时，计算器会自动显示结果．例如：计算器原来显示的是“9”，你按[]1+，它会显示“10”．如果你再按[]2⨯，它会显示“20”．如果开始显示的是“1”，最少需要按____次键才会显示“200”．8．三个互不相等的大于1的正整数，其中任何一个都可以整除另两个数乘积与1的和，则这三个数的和最小可以是 ．9．如果20112011表示2011个2011相乘，201120112011表示20112011个2011相乘，那么201120112011的末两位数字是 ．10．一个正多边形的面积是40．在这个正多边形中，有两对相邻顶点构成一个矩形，并且这个矩形的面积为8．这个正多边形是 边形．11．八个盘子每个盘子中都有一块糖，如果每次允许任意选两个盘子各取一块糖放入第三个盘子中，那么至少需要拿_____次才能将所有糖都集中到一个盘子中．12．有两个容器，第一个容器有1升水，第二个容器是空的．将第一个容器内水的一半倒入第二个容器，再将这时第二容器内水的13倒回第一容器，然后再将第一容器内水的14倒入第二容器……，如此下去，在倒了2005次后，第一个容器内有 升水．13．幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人．老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分3个枣，,乙班比丙班总共多分5个枣．问三个班总共分了 个枣．14．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲乙都急于上楼办事，因此在乘自动扶梯的同时匀速登梯，甲登55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登梯级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上，那么，由楼上到楼下自动扶梯级数为 级．15．甲、乙两同学从400米的环形跑道上的某一点出发，分别以每秒2米和每秒3米 的速度慢跑，6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直到甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了 米，16．已知,,a b c 是非负有理数，且325,2,a b c a b c ++=+-=如果2S a b c =+-,那么S的最大值和最小值的和等于 ．17．已知2,5,4,ab ca bc a b c a b c===+++那么a b c ++的值为 ． 18．某工程队有两个组共76人，当第一组调6人到第二组以后，第一组人数比第二组人数的k 倍（k 为大于1的整数）少16人那么原来第一组有 人．19．实数,x y 满足1x y ≥≥和22540x xy x y --++=，则x y += ．20．货轮上卸下若干只箱子，其总质量为10吨，每只箱子不超过1吨，为了保证把这些箱子一次运走，问至少要 辆载重3吨的汽车．二、因式分解（每题2分，共10分）21．376x x -+= ．22．222332x xy y x y +-+++= ．23．2()(1)1a b ab +-+= ．24．222()()()x y z y z x z x y -+-+-= ．25．333333()()()b c b c c a c a a b a b -+-+-= ．。
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2014年十一校第一次联考数学试卷一．选择题（共10小题）+4=6．=4÷=3 ．=﹣3．．（1）的平方根是±5．（2）五边形的内角和是540°．（3）抛物线y=3x2﹣x+4与x轴无交点．（4）等腰三角形两边长为6cm和4cm，则它的周长是16cm．2C D5．如图，AB是⊙O的直径且AB=，点C是OA的中点，过点C作CD⊥AB交⊙O于D点，点E 是⊙O上一点，连接DE，AE交DC的延长线于点F，则AF•AE的值为（）．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC 绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．πD．7．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，﹣2b+c=0；④a：b：c=﹣1：2：3．其中正确的是（）9．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（）A．B．5 C．4 D．10．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①AB2=BN•DM；②AF平分∠DFE；③AM•AE=AN•AF；④．其11．若m=，则m5﹣2m4﹣2011m3的值是_________．12．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是_________．13．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为_________．14．如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE：EA=5：3，EC=，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的面积=_________．15．如图五边形ABCDE中，∠A=∠ABC=∠C=90°，∠EBD=45°，AB=BC=9，DE=8，则AE的值为_________．三．解答题（共10小题）16．计算：÷﹣×+．17．先化简，再求值：÷（m+2﹣）．其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．18．已知：关于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．19．小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏，每一局游戏双方各自随机做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，相同的手势是和局．（1）用树形图或列表法计算在一局游戏中两人获胜的概率各是多少？（2）如果两人约定：只要谁率先胜两局，就成了游戏的赢家．用树形图或列表法求只进行两局游戏便能确定赢家的概率．20．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．21．如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，过D点作DE⊥BC交BC于E，交BA于M；（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）连接AC交BD于F，若AF=5，CF=3，求BD的长．22．如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．（1）求点A的坐标；（2）若OB=BC，求此抛物线的函数关系式．23．问题背景（1）如图，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DBFE的面积S=_________，△EFC的面积S1=_________，△ADE的面积S2=_________．探究发现（2）在（1）中，若BF=a，FC=b，DE与BC间的距离为h．请证明S2=4S1S2．拓展迁移（3）如图，▱DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．24．星云公司在成立之初投入了12500元准备销售某种商品，另外又以每件40元的进价购进了一批这种商品，按规定：该产品售价不得低于50元/件且不得超过150元/件，设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．经调查，每个月的销售量y（件与）每件商品的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）请说明第一个月公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一个月盈利最大或亏损最小时，第二个月公司重新确定产品售价，能否使两个月共盈利达11600元？若能，求出第二个月的产品售价；若不能，请说明理由．25．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c 经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．2014年十一校第一次联考数学试卷三、解答题（本大题共9个小题，满分75分）÷﹣×+．先化简，再求值：÷﹣）﹣1=0的根25．（本题满分10分）2014年十一校第一次联考数学试卷参考答案一．选择题（共10小题）1．C2．C3．B4．B5．B6．C7．C8．D9．B10．D二．填空题（共5小题）11．是0．12．a≥﹣1．13．为y=x2﹣x+．14．100π．154+或4﹣．三．解答题（共10小题）16．÷﹣×+=﹣+2=4+．17．解答：解：原式=÷=•==；∵m是方程x2+3x﹣1=0的根．∴m2+3m﹣1=0，即m2+3m=1，∴原式=．18．解答：解：（1）①当m=0时，原方程可化为x﹣2=0，解得x=2；②当m≠0时，方程为一元二次方程，△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0，故方程有两个实数根；故无论m为何值，方程恒有实数根．（2）∵二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2，∴=2，整理得，3m2﹣2m+1=0，解得m1=-1/3，m2=1．则函数解析式为y=x2﹣2x或．19．解答：解：（1）画树状图得：∵总共有9种情况，每一种出现的机会均等，每人获胜的情形都是3种，∴两人获胜的概率都是．（2）由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为．任选其中一人的情形可画树状图得：∵总共有9种情况，每一种出现的机会均等，当出现（胜，胜）或（负，负）这两种情形时，赢家产生，∴两局游戏能确定赢家的概率为：．20．解答：解：（1）答：AE⊥GC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2；∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHG=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣90°=90°，∴AE⊥GC．（2）答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，∴∠1=∠2=90°﹣∠3；∴△ADE≌△CDG，∴∠5=∠4；又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°﹣∠DCE=180°﹣90°=90°，∴∠6=∠7，又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，∴∠CEH+∠7=90°，∴∠EHC=90°，∴AE⊥GC．21．解答：解：（1）证明：连接OD，∵点D是的中点，∴∠DOA=∠EBA∴OD∥BE，∵DE⊥BC，∴∠MDO=∠MEB=90°，∴ED是⊙O的切线；（2）如图，连接AD，作FG⊥AB于G点，∵AB是直径，∴∠ACB=∠FGB=90°，∴△AFG∽△ABC∴∵BD平分∠ABE，∴FC=FG=3，∴=，∴BC=6，∴BF==3，∵△DFA∽△CFB，∴即：∴DF=∴BD=BF+FD=3+=4．22．解答：解：（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F．由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①．∵DF∥BE，∴△ADF∽△ABE，∴==，即AE=2AF②，①与②联立，解得AE=2，AF=1，∴点A的坐标为（﹣2，0）；（2）∵抛物线过原点（0，0），∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx．∵抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），∴对称轴为直线x==﹣1，∵B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4，∴C点横坐标为2，∴BC=2﹣（﹣4）=6．∵抛物线开口向上，OB=BC时，设B（﹣4，y1），则16+=36，解得y1=±2（负值舍去）．将A（﹣2，0），B（﹣4，2）代入y=ax2+bx，得，解得．∴此抛物线的解析式为y=x2+x；23．解答：（1）解：S=6，S1=9，S2=1；（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，∴△ADE∽△EFC，∴，∵，∴，∴，而S=ah，∴S2=4S1S2；（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF，∴BH=EF∴BE=HF，∴△DBE≌△GHF，∴△GHC的面积为5+3=8，由（2）得，▱DBHG的面积为，∴△ABC的面积为2+8+8=18．24．解答：解：（1）设y=kx+b，由图象可得，，解得，k=﹣1，b=260，∴y=﹣x+260（50≤x≤150）；（2）设公司第一个月的盈利为w元，由题意得，w=y（x﹣40）﹣12500，=﹣x2+300x﹣10400﹣12500，=﹣（x﹣150）2﹣400，∴第一个月公司亏损了，最小亏损为400元，此时商品售价定为150元/件；（3）由题意，两个月共盈利11600元，得，﹣x2+300x﹣10400﹣400=11600，解得，x1=140，x2=160又∵50≤x≤150，∴x=140，∴每件商品售价定为140元时，公司两个月可盈利11600元；25．解答：解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）∴，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；②EC为平行四边形的边，则EC MN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）．。