2012届高考数学第一轮复习考试题23-矩阵与变换

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2012年高考试题分项解析数学(理科)专题18 选修系列：矩阵与变换(教师版).pdf

[提问] 什么叫相对原子质量呢?它是如何来表示原子的质量的?请大家带着问题阅读P69相对原子质量一段内容。 1个氢原子的质量为1．67×10-27 kg，作为标准碳原子质量的1／12为 1．66×10-27 kg，所以氢的相对原子质量=≈1。 1个氧原子的质量为2．657×10-26 kg。所以氧的相对原子质量=≈16。相对原子质量=质子数+中子数经过这样的计算得到的数字都比较简单，便于书写、记忆和计算，对于这个计算过程大家要掌握。 [作业]《基础训练册》P31-32 第二课时一、引入：问题激疑我们每天喝的水由什么粒子构成？温度计里的金属汞怎样构成？二、新授：投影：行星围绕太阳运转图片视频：核外电子的分层运动问题：行星围绕太阳运动与核外电子的运动有何不同？学生：行星绕太阳旋转有固定的轨道，而核外电子的运动没有固定的轨道。师讲解：行星绕太阳旋转有固定的轨道，而核外电子的运动没有固定的轨道。但核外电子的运动也有自己的特点，即有经常出现的区域，科学家把电子经常出现的区域称为电子层。电子是在不同的电子层上运动的，人们又把这种现象叫做核外电子的分层排布。离核最近的为第一层，依次往外第二层、第三层……，到目前为止，发现最多的为七层。提问：核外电子的分层排布如何直观的表示出来呢？大家看书78页板书：原子结构示意图。投影：一些元素的原子结构示意图表4-4 学生说出其中一种原子结构示意图中各部分的含义投影：1-18号元素原子结构示意图。小组活动探究同学们观察以上原子结构示意图，从中你会发现核外电子排布的某些规律学生迷惑时提示：如第一层电子最多排了几个？第二层电子最多排了几个？最外层呢？学生回答第一层最多排2个，第二层最多排2个，最外层最多排8个。教师评价回答得很好。而且这些电子在排布的时候，它先要排满离核近的电子层，然后再依次往外排在离核渐远的电子层。投影练一练某元素的原子结构示意图为 +9 2 7，该元素原子核内有（）个质子，核外共有（）个电子层，最外电子层上有（）个电子。投影思考：（1）以上1-18号元素的原子核外电子排布中，最后一纵行的元素——氦、氖、氩属于什么元素？它们的化学性质怎样？它们的最外层电子数有什么特点？（2）什么叫相对稳定结构？原子具有相对稳定结构，其化学性质怎样？（3）金属元素、非金属元素的原子最外层电子数有何特点？结构稳定吗？在化学反应中易得、失电子？化学性质怎样？投影总结：稀有气体元素，它们的化学性质很稳定，最外层电子数除氦为2个外，其余为8个。相对稳定结构：最外层有8个电子（只有一个电子层的具有2个电子）的结构。金属元素的原子最外层电子数一般核外电子数，粒子带正电为阳离子；核内质子数<核外电子数，粒子带负电为阴离子。离子符号的书写： 3．离子和原子的区别和联系：质子数、核电荷数、元素种类、中子数、质量相同；最外层电子数、化学性质、电子总数、带电情况、电子层数不同。（强调：失电子形成离子时电子层数改变，得电子形成离子时电子层数不变。）

高考数学 3-2-1精品系列专题16 矩阵与变换、行列式

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题16 矩阵与变换、行列式（教师版）【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换．（3）变换的复合——二阶方阵的乘法① 了解矩阵与矩阵的乘法的意义．② 理解矩阵乘法不满足交换律．③ 会验证二阶方阵乘法满足结合律．④ 理解矩阵乘法不满足消去律．（4）逆矩阵与二阶行列式① 理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在．② 理解逆矩阵的唯一性和111()AB B A ---= 等简单性质，了解其在变换中的意义．③ 了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵．（5）二阶矩阵与二元一次方程组① 能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义．② 会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组．③ 理解线性方程组解的存在性、唯一性．（6）变换的不变量① 掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向量的意义．② 会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）．（7）矩阵的应用利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A nα简单的表示，并能用它来解决问题．例1：已知曲线C ：xy ＝1.(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程；(2)求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程．(2)曲线C ′的焦点坐标为F 1(0，－2)，F 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±x .再顺时针旋转45°后，即可得到曲线C 的焦点坐标(－2，－2)和(2，2)；渐近线方程为：x ＝0，y ＝0. 【名师点睛】把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解．考点二、二阶逆矩阵例2 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221的逆矩阵．解设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z ω，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z ω＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2ω2x ＋z 2y ＋ω＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，3y ＋2ω＝0，2x ＋z ＝0，2y ＋ω＝1解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，ω＝－3，从而A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 22 －3.3)．(1) 求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3，所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.【名师点睛】(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量．(2)计算矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征向量的步骤如下：①由矩阵M 得到特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ；②求特征多项式的根，即求λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0的根；③将特征多项式的根(特征值)代入特征方程⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M 对应的特征向量．【三年高考】10、11、12 高考试题及其解析 12 高考试题及其解析1 ．（2012年高考（上海理））函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是_________ .【解析】x x x x f 2sin 2cos sin 2)(21--=--=∈],[2325--.2 ．（2012年高考（上海春））若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 满足:11122122,,,{1,1},a a a a ∈-且111221220a a a a ＝　,则这样的互不相等的矩阵共有______个.【解析】23．（2012年高考（江苏））[选修4 - 2:矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ,求矩阵A 的特征值.【解析】∵1-A A =E ,∴()11--A =A . ∵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ,∴()11 2 32 1--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =A . ∴矩阵A 的特征多项式为()22 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦. 令()=0f λ,解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，.【考点】矩阵的运算,矩阵的特征值.4．（2012年高考（福建理））选修4-2:矩阵与变换设曲线22221x xy y ++=在矩阵0(0)1a A a b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=.(Ⅰ)求实数,a b 的值.(Ⅱ)求2A 的逆矩阵.11年高考试题及解析1、2011年数学理（上海）行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是【解析】62、2011年数学（江苏卷）已知矩阵1121A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2Aαβ=．2111132212143A⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦3、2011年数学理（福建）（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵aMb⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中a＞0，b＞0）．（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；（II）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：1y4x22=+，求a，b的值．本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题16 矩阵与变换、行列式(教师版)

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题16 矩阵与变换、行列式（教师版）【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换．（3）变换的复合——二阶方阵的乘法① 了解矩阵与矩阵的乘法的意义．② 理解矩阵乘法不满足交换律．③ 会验证二阶方阵乘法满足结合律．④ 理解矩阵乘法不满足消去律．（4）逆矩阵与二阶行列式① 理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在．② 理解逆矩阵的唯一性和111()AB B A ---= 等简单性质，了解其在变换中的意义．③ 了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵．（5）二阶矩阵与二元一次方程组① 能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义．② 会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组．③ 理解线性方程组解的存在性、唯一性．（6）变换的不变量① 掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向量的意义．② 会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）．（7）矩阵的应用利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A nα简单的表示，并能用它来解决问题．例1：已知曲线C ：xy ＝1.(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程；(2)求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程．(2)曲线C ′的焦点坐标为F 1(0，－2)，F 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±x .再顺时针旋转45°后，即可得到曲线C 的焦点坐标(－2，－2)和(2，2)；渐近线方程为：x ＝0，y ＝0. 【名师点睛】把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解．考点二、二阶逆矩阵例2 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221的逆矩阵．解设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z ω，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z ω＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2ω2x ＋z 2y ＋ω＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，3y ＋2ω＝0，2x ＋z ＝0，2y ＋ω＝1解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，ω＝－3，从而A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 22 －3.3)．(1) 求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3，所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.【名师点睛】(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量．(2)计算矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征向量的步骤如下：①由矩阵M 得到特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ；②求特征多项式的根，即求λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0的根；③将特征多项式的根(特征值)代入特征方程⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M 对应的特征向量．【三年高考】10、11、12 高考试题及其解析 12 高考试题及其解析1 ．（2012年高考（上海理））函数1sin cos 2)(-=x xx f 的值域是_________ .【解析】x x x x f 2sin 2cos sin 2)(21--=--=∈],[2325--. 2 ．（2012年高考（上海春））若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 满足:11122122,,,{1,1},a a a a ∈-且111221220a a a a ＝　,则这样的互不相等的矩阵共有______个.【解析】23．（2012年高考（江苏））[选修4 - 2:矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ,求矩阵A 的特征值.【解析】∵1-A A =E ,∴()11--A =A . ∵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ,∴()11 2 32 1--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =A . ∴矩阵A 的特征多项式为()22 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦. 令()=0f λ,解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，. 【考点】矩阵的运算,矩阵的特征值.4．（2012年高考（福建理））选修4-2:矩阵与变换设曲线22221x xy y ++=在矩阵0(0)1a A a b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=.(Ⅰ)求实数,a b 的值.(Ⅱ)求2A 的逆矩阵.11年高考试题及解析1、2011年数学理（上海）行列式a bc d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是【解析】62、2011年数学（江苏卷）已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2A αβ=． 2111132212143A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦3、2011年数学理（福建）（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵00a M b ⎛⎫=⎪⎝⎭（其中a ＞0，b ＞0）．（I ）若a=2，b=3，求矩阵M 的逆矩阵M -1；（II ）若曲线C ：x 2+y 2=1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ’：1y 4x 22=+，求a ，b 的值．本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。

矩阵与变换高考题精选

矩阵与变换高考题精选
汇报人： 2024-01-07
目录
• 矩阵的基本概念 • 矩阵的变换 • 高考中的矩阵与变换题目 • 解题技巧与策略 • 高考真题解析
01
矩阵的基本概念
矩阵的定义与性质
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有行标和列标，表示为“aij”，其中i表示行标，j表示列标。
矩阵的标量乘法
03
利用矩阵的变换和几何意义解决一些复杂的几何问题，如平面上的曲
线、曲面等。
利用矩阵的性质和运算解决一些复杂的代数问题，如高次方程的求解、多项式的因式分解等
。
利用矩阵的逆和其他高级性质解决一些优化问题，如最小二乘法、线
性规划等。
04
解题技巧与策略
解题思路分析
明确题目要求
首先需要仔细阅读题目，明确题目要求解决的问题和给定的条件。
逆矩阵的求解错误
在求解逆矩阵时，未能正确使用逆矩阵的公式或方法，导致结果不正确。
忽略矩阵的单位元性质
在计算过程中，忽略了矩阵的单位元性质，导致结果出现偏差。
对空间几何变换理解不足
对平移、旋转、缩放等变换理解不透彻，导致在解决相关问题时出现错误。
05
高考真题解析
近年真题回顾
2018年全国卷
考察矩阵的乘法运算及逆矩阵的概念。
2019年全国卷解析
利用矩阵的初等变换，将原方程组化为标准形式，进而求解。
2021年全国卷解析
利用逆矩阵的性质，求解线性变换问题。
真题总结与启示
总结
从近年高考真题来看，矩阵与变换是高考数学的重要考点之一，主要考察矩阵的基本运算、逆矩阵、初等变换、行列式以及特征值等知识点。
启示

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《矩阵与变换》经典测试题附答案解析

【高中数学】数学《矩阵与变换》期末复习知识要点一、151．已知函数()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x πααπαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调增区间. （2）函数()f x 的图象F 按向量,13a π⎛⎫=-⎪⎝⎭v 平移到'F ，'F 的解析式是()'y f x =.求()'f x 的零点.【答案】（1）42,233k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）23x k ππ=±，k Z ∈. 【解析】【分析】（1）由题意根据二阶行列式的运算法则及利用两角和差的三角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）由题意利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()2cos 1f x x '=-，再根据函数零点的定义和求法求得()f x '的零点．【详解】解：（1）()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x πααπαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭Q()2cos cos 2sin sin 33f x x x ππαααα⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2cos 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令223k x k ππππ-≤+≤，k Z ∈，求得42233k x k ππππ-≤≤-，k Z ∈，则()f x 的单调增区间42,233k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）()2cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q 按向量,13a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 平移到'F'F ∴的解析式是()'2cos 1y f x x ==-，令2cos 10x -=，解得23x k ππ=±，k Z ∈.所以()'f x 的零点为23x k ππ=±，k Z ∈.【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的单调性，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，函数零点的定义和求法，属于基础题．2．解方程：23649x xx=.【答案】1x = 【解析】【分析】根据行列式的运算性质，求得29346xx x ⨯-⨯=，转化为322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2x t =，得到方程1231t t ⨯-⨯=，进而即可求解【详解】根据行列式的运算性质，可得23293449xxxx=⨯-⨯，即29346x x x ⨯-⨯=，方程两边同除6x ，可得322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2xt =，且0t >，则21()3xt =，可得1231t t⨯-⨯=，解32t =或1t =-（舍去），即33()22x=，解得1x =. 故答案为：1x =. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及指数幂的运算和一元二次方程的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合指数幂的运算和一元二次方程的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.3．解方程组()32021mx y x m y m+-=⎧⎨+-=⎩，并求使得x y >的实数m 的取值范围.【答案】()1,3 【解析】【分析】计算出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，求出方程组的解，再由x y >列出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】由题意可得()()2362321m D m m m m m ==--=+--，2321x D m m m ==---，()()224222y m D m m m m==-=-+.①当0D ≠时，即当260m m --≠时，即当2m ≠-且3m ≠时，1323x y D x D m D m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩.x y >Q ，则()()()2222133m m m ->--，即()22130m m ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩，解得13m <<； ②当2m =-时，方程组为2320232x y x y -+-=⎧⎨-=-⎩，则有232x y -=，该方程组有无穷多解，x y >不能总成立；③当3m =时，方程组为33202230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，即203302x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，该方程组无解.综上所述，实数m 的取值范围是()1,3. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，在解题时要注意对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．讨论关于x ，y ，z 的方程组2112x y z x y az x ay a z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解的情况.【答案】当1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩；当1a =时，无解.【解析】【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解．【详解】方程组可转化为：2111111121x a a a y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，2211111(1)1a a D a a ==--，21111(1)(2)12x D a a a a a ==---， 211111112y D a a a ==-+，111101112z D a ==，（1）当系数行列式||0D ≠时，方程组有唯一解，即1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩（2）当1a =时，原方程组等价于112x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩所以无解.【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性、唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．5．利用行列式讨论关于,x y 的方程组1323ax y ax ay a +=-⎧⎨-=+⎩解的情况.【答案】①当03a a ≠≠-且时，方程组有唯一解12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时，方程组无解；③当3a =-时，方程组有无穷多解，可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【解析】【分析】由题,可得()()()3,3,23x y D a a D a D a a =-+=-+=+,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可【详解】()21333a D a a a a a a==--=-+-,()()11233323x D a a a a a a -==-+=--=-++-, ()()212332623323y aD a a a a a a a a a -==++=+=++,①当03a a ≠≠-且时,方程有唯一解,()()()()3132323x y a D x D a a a D a a y D a a ⎧-+===⎪-+⎪⎨+⎪===-⎪-+⎩,即12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时,0D =，30x D =-≠,方程组无解；③当3a =-时,0x y D D D ===,方程组有无穷多解,设()x t t R =∈,则原方程组的解可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【点睛】本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想6．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩.【答案】见解析【解析】【分析】计算出系数行列式D ，以及x D 、y D ，然后分0D ≠和0D =两种情况讨论，在0D ≠时，直接利用行列式求出方程组的解，在0D =时，得出2m =±，结合行列式讨论原方程组解的情况. 【详解】系数行列式为2441m D m m==-，()242x m D m m mm+==-，()()222211y m m D m m m m m+==--=-+.①当240D m =-≠时，即当2m ≠±时，原方程组有唯一解()()()2224221142x y m m D m x D m m D m m m y D m m ⎧-===⎪⎪-+⎨-++⎪===⎪-+⎩；②当240D m =-=时，2m =±.（i ）当2m =-时，0D =，8x D =，4y D =，原方程组无解；（ii ）当2m =时，0x yD D D ===，原方程为24422x y x y +=⎧⎨+=⎩，可化为22x y +=，该方程组有无数组解，即12x R x y ∈⎧⎪⎨=-⎪⎩.【点睛】本题考查利用行列式求二元一次方程组的解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.7．(1)用行列式判断关于x y 、的二元一次方程组2373411x y x y -=⎧⎨-=⎩解的情况；(2)用行列试解关于x y 、的二元一次方程组12mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】(1)51x y =⎧⎨=⎩；(2)当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，22x y x y +=⎧⎨+=⎩，令()x t t R =∈ ,原方程组的解为()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【解析】【分析】(1) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ,即可求解方程组的解. (2) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D 下面对m 的值进行分类讨论：①当1m ≠-，1m ≠时，②当1m =-时，③当1m =时，分别求解方程组的解即可．【详解】(1)列出行列式系数 112a =,123a =-,17b =,213a =,224a =,211b =,23D =34--891=-+=,711x D = 34--=28335-+=,23y D =711=22211-= ,5xD x D ∴== ,1y D y D== , 所以二元一次方程组2373411x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为51x y =⎧⎨=⎩ . (2)1m D =1m=21m - =()()11m m +- , 12x m D m+=1m=2m m - =()1m m - ,1y m D =12m m+ =()()221211m m m m --=+- ,当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组有唯一解，解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，22x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，令()x t t R =∈ ,原方程组的解为()2x tt R y t=⎧∈⎨=-⎩ .【点睛】本题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题.8．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +．（1）求矩阵M ；（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．【答案】（1）2011⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3x -4y -10=0. 【解析】【分析】（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵M ；（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方程．【详解】解：（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由题意，2a b x x M c d y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦g ，所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立；所以2a =，0b =，1c =，1d =；所以矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）设点(,)x y 在直线l 上，在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上，则2x x '=，y x y '=+，所以12x x ='，12y y x ='-'；代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=；所以直线l '的方程为34100x y --=．【点睛】本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 901lg 4m n <. 【答案】证明见解析【解析】【分析】由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，则2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，又由lg 919lg ln 9lg ln 144lg 4m m n m n n=-⨯=-，所以lg 901lg 4m n <. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．已知函数2sin ()1x xf x x -=．（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭4a =，5b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2 【解析】【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．（2）由条件求得A ，利用余弦定理求得bc 的值，可得△ABC 的面积．【详解】解：（1）21()sin cos cos 2)sin 2sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭Q ，又02x π≤≤，得42333x πππ≤+≤，所以sin 21,0sin 2133x x ππ⎛⎫⎛⎫≤+≤≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为0,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2）∵2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin 3A π⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<，解得：233A ππ+=，所以3A π=．由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-，216( c)3b bc ∴=+-．因为5b c +=，所以3bc =，1sin 2ABC S bc A ∆∴==【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．11．已知矩阵120A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 的逆矩阵1B -满足17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （1）求实数x ，y 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量.【答案】（1）1,3x y ==；（2）特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）计算()1AB B -，可得12514721y y -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，根据()1A AB B -=，可得结果.（2）计算矩阵A 的特征多项式()121f λλλ+-=-，可得2λ=-或1λ=，然后根据Ax x λ=r r，可得结果.【详解】（1）因为17177ABy --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以()17175712723514721ABB y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦由()1A ABB -=，所以12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以514172103y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩（2）矩阵A 的特征多项式为：()()()()1212211f λλλλλλλ+-==+-=+--令()0f λ=，解得2λ=-或1λ= 所以矩阵A 的特征值为2-和1. ①当2λ=-时，12222102x x x y xy y x y--+=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=-⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则2x =-，所以矩阵M 的一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ②当1λ=时，12210x x x y x y y x y--+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则1x =所以矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因此，矩阵A 的特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的应用，第（1）问中，关键在于()1A ABB -=，第（2）问中，关键在于()1201f λλλ+-==-，考验分析能力以及计算能力，属中档题.12．已知函数cos 2()sin 2m x f x nx=的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （1）求函数()f x 的最大值与最小值；（2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数()y g x =图象的对称中心.【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24k k Z ππ+∈. 【解析】【分析】（1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值；（2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在()g x 图象上，由此可求得ϕ，结合余弦函数的性质可求得对称中心．【详解】（1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =-，则由条件，得sin cos 6644sin cos 233m n m n ππππ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得 1.m n ==-故()2cos22sin(2)6f x x x x π=+=+.故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.-（2）由（1）可知： ()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++.于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件.(0)2sin(2)26g πϕ∴=+=. 由0ϕπ<<，得.6πϕ=故()2sin(2)2cos 22g x x x π=+=. 由22x k =+ππ，得().24k x k Z ππ=+∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24k k Z ππ+∈. 【点睛】本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．13．已知矩阵2101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵M 的特征值及特征向量；（2）若21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r，求3M αv.【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r（2）91⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】【分析】(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r可得33312M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即可. 【详解】（1）矩阵M 的特征多项式为21()01f λλλ--=-(2)(1)λλ=--，令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2，当1λ=，时由二元一次方程0000x y x y --=⎧⎨+=⎩.得0x y +=，令1x =，则1y =-，所以特征值1λ=对应的特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦；当2λ=时，由二元一次方程0000x y x y -=⎧⎨+=⎩. 得0y =，令1x =，所以特征值2λ=对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r；（2）1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u ur u u r rQ ，33312M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦91⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.14．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12- 【解析】【分析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出．【详解】解：(1)不等式201x a x+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -．1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-.【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ⎡=⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .【答案】2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】由题意可知，1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2314a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即矩阵2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解.16．解关于x 、y 的方程组(1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案见解析；【解析】【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数项构成列向量．而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．【详解】解：Q (1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩化成矩阵形式Ax b =则1124m A m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，216m b -⎛⎫= ⎪-⎝⎭()()()24212242111242m m D m m m m m m ∴==-+=+=-++---,()()()42161122116422412x D m m m m m m ==-++-=-+=++,()()()162222412216y D m mm m m m ==----+-=-当系数矩阵D 非奇异时，或者说行列式24220D m m =--≠，即1m ≠且2m ≠-时，方程组有唯一的解， 61x D x D m ==-，41y D m y D m-==-．当系数矩阵D 奇异时，或者说行列式24220D m m =--=，即1m =或2m =-时，方程组有无数个解或无解．当2m =-时，原方程为4044160x y x y --=⎧⎨-++=⎩无解，当1m =时，原方程组为21024160x y x y +-=⎧⎨++=⎩，无解．【点睛】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立，属于中档题．17．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 求AB;若曲线C 1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）228x y += 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程．试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=.因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：228x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．18．设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据矩阵的乘法运算求出MN ，然后由02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦列出方程组，即可求出4,3x y ==，从而确定矩阵M ，再利用求逆矩阵的公式，即可求出矩阵M 的逆矩阵1M -．【详解】解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩所以4,3x y ==；矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查矩阵的乘法运算及逆矩阵的求解．19．已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3. （1）求a ，b 的值；（2）求属于2λ的一个特征向量α. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r. 【解析】【分析】（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值；（2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．【详解】（1）令2()()(4)(4)4014a bf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =. （2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦r，故2343x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ．【点睛】本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．20．定义()111111n n n n x x n N y y +*+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换，（1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v；（2）设向量()11,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v的坐标.【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()36,4OP =-u u u v；（2）()25216,0. 【解析】【分析】（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u ur .（2）根据向量的递推关系可得816n n OP OP +=u u u u u r u u u r 对任意的*n N ∈恒成立，据此可求9OP u u u r、2017OP u u u u u u r的坐标.【详解】（1）因为()12,3P ，故123OP⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，设2x OP y ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()36,4OP =-u u u r . （2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n nn x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r . 又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,()911616,0OP OP ==u u u r u u u r所以()252252201711616,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.。

矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等一轮复习专题练习(一)附答案人教版高中数学高考真题汇编

高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测
经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人
得分一、填空题
1．已知X 是二阶矩阵，且满足满足23321211X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则X =＿＿＿＿＿。

4511-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
132233223451112111211X ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2．行列式cos
sin
66sin
cos 66ππππ的值是 0.5 。

评卷人
得分二、解答题
3．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵． 4．已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．。

2012年江苏高考数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题目：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A ，，，{246}B ，，，则A B ▲．2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生．3．设a b R ，，117ii 12i a b（i 为虚数单位），则a b的值为▲．4．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲．5．函数()f x 的定义域为▲．6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3 为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．7．如图，在长方体1111ABCD A BCD 中，3cm AB AD ，12cm AA ，则四棱锥11A BB D D 的体积为▲cm 3．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m 的离心率的值为▲．9ABCD 中，2AB BC ，点E 为BC 的中点，开始k ←1k 2－5k +4>0k ←k +1NY 输出k 结束（第4题）DA B C1C 1D 1A 1B （第7题）点F 在边CD上，若AB AF AE BF 的值是▲．10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11] ，上，0111()201x x ax f x bx x≤≤≤，，，，其中a b R ，．若1322f f，则3a b 的值为▲．11．设为锐角，若4cos 65 ，则sin 212的值为▲．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x ，若直线2y kx 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是▲．13．已知函数2()()f x x ax b a b R ，的值域为[0) ，，若关于x 的不等式()f x c 的解集为(6)m m ，，则实数c 的值为▲．14．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b ≤≤≥，，则b a 的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在ABC 中，已知3AB AC BA BC．（1）求证：tan 3tan B A ；（2）若cos 5C，求A 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，1111A B A C ，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（第9题）（点D 不同于点C ），且AD DE F ，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE 平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．17．（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．18．（本小题满分16分）若函数()y f x 在x =x 0取得极大值或者极小值则x =x 0是()y f x 的极值点已知a ，b 是实数，1和1 是函数32()f x x ax bx 的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c ，其中[22]c ，，求函数()y h x 的零点个数．FECADB（第16题）x （千米）y （千米）O（第17题）19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b 的左、右焦点分别为1(0)F c ，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和2e ，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i）若122AF BF，求直线1AF 的斜率；（ii ）求证：12PF PF 是定值．20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a nN ．（1）设11n n n b b n a N ，，求证：数列2n n b a是等差数列；（2）设1n n nbb n aN ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．（第19题）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，AC，AE，DE．．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。

(江苏专用)高考数学一轮复习第二十三章选修系列 23.2 矩阵与变换课件.pptx

,
2
所以A-1B=
1 0 0 1 2
1 2 0 6
= 1 . 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 3
7
B组统一命题·省(区、市)卷题组
考点矩阵与变换
(2013福建,21(1),7分)选修4—2:矩阵与变换
1 2
已知直线l:ax+y=1在矩阵A=
01 对应的变换作用下变为直线l':x+by=1.
(1)求实数a,b的值;
,即 xy
所以2x0y0y,x,
x0 y,
y0
x. 2
因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则 x02 + y02 =1,
82
从而 y2 + x2 =1,即x2+y2=8.
88
因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.
3
2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A= 10 2,矩2阵B的逆矩阵B-1=
10, 求 12矩 2阵AB.
解析
设B=
a c
,db
则B-1B= 10 12 2 =ac db ,
1 0
10
即
a
1c
2=
2c
b1
, 2
2d
d
1 0
10
a
1 2
c
1,
故 b
1 2
d
解0,得
2c 0,
2d 1,
a 1,
b
1
,
c
4所以B=
0,
d
1 2
,
82
2
解析本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.

矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等一轮复习专题练习(二)带答案人教版高中数学高考真题汇编

高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、填空题1．已知矩阵27b A a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵是273a B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则=+b a ． 2．三阶行列式21145324---k 第2行第1列元素的代数余子式为10-，则=k ____________．评卷人得分二、解答题3．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．【考点定位】本题考查的是矩阵的特征值特征向量和逆矩阵的运算，正确理解概念是本题的关键。

4．已知曲线2:2C y x = ，在矩阵1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，对应的变换作用下得到曲线1C ，在矩阵0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程．5．已知矩阵33A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求矩阵A 的逆矩阵．6．已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．7．若点A （2，2）在矩阵M= ⎢⎣⎡ααsin cos ⎥⎦⎤-ααc oss in 对应变换的作用下得到的点为B （-2，2），求矩阵M 的逆矩阵。

（本小题满分10分）8．已知二阶矩阵A 有特征值31=λ及其对应的一个特征向量111轾犏=犏臌α，特征值12-=λ及其对应的一个特征向量211轾犏=犏-臌α，求矩阵A 的逆矩阵1A -．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．82．14- 评卷人得分二、解答题3．4．选修4－2：矩阵与变换解：设A NM =，则011002100210A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，……………3分设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2''x y y x =-⎧⎨=⎩， ∴'1'2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩．……………7分又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．……………10分 5．6．（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，这里a b c d ∈R ,,,，因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，则有110110a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦①， ………4分又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有210100a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ②， ………6分根据①②，则有1010200a b c d a c --=⎧⎪-+-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩,,,,………………………………………………………………8分从而21a b c d ==-==,,,,因此2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， …………………………………………10分 7．解：11222cos 2sin 2,,222sin 2cos 2cos sin 1cos 0,sin cos 1sin 1011001,10011001cos90sin 90,10sin 90cos90o o o o M M M M M M αααααααααα-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=-=⎧⎧∴⎨⎨+==⎩⎩-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫-⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即得即由得另解：1O 9001cos 90sin 9010sin 90cos 90o o o o o M-⎛⎫--⎛⎫== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭看作绕着原点逆时针旋转旋转变换矩阵，（-）（）于是（）（）8．。

2012江苏省高考数学真题(含答案)

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．解析：由已知，集合{124}A =，，，{246}B =，，，所以A B = {1,2,4,6}. 答案：{1,2,4,6},2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．解析：由已知，高二人数占总人数的310，所以抽取人数为3501510⨯=. 答案：153．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ．解析：由已知，2117i 117i i 2515i 2515ii ===53i 12i (12i)(12i 1-4i 5a b --+++==+--+（）(1+2））. ∴538a b +=+=.答案：8.4．右图是一个算法流程图，则输出的k解析：将1k =带入0=0不满足，将2k =带入40-<不满足，将3k =带入20-<不满足，将4k =带入00=不满足，将5k =带入40>满足，所以5k =. 答案：5.5．函数()f x 的定义域为 ▲ ．解析：由题意6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，所以x ∈.答案：6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．解析：满足条件的数有1，-3，33-，53-，73-，93-；所以63105p ==. 答案：35.7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．解析：12632V =⨯=. 答案：6.8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ▲ ． DABC 1 1D 1A1B（第7题）解析：22450m m e mm ⎧++==⎪⎨⎪>⎩，解得2m =. 答案：2.9．如图，在矩形ABCD中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB AF = AE BF的值是 ▲ ．解析：以A 为坐标原点，AB,AD 所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，则由题意知：点B ，点E),设点F (,)a b ，所以AB =u u u r ，(,)AF a b =u u u r；由条件解得点(1,2)F ，所以AE =uu u r，()12BF uu u r ；所以AE BF =uu u r uu u rg10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ．解析：因为2T =，所以(1)(1)f f -=，求得20a b +=.由13()()22f f =，2T =得11()()22f f =-，解得322a b +=-.联立20322a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩所以310a b +=-.答案10-（第9题）11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．解析: Q α为锐角，2663πππα∴<+<，4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q ，3sin 65απ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭；12cos 66sin 22sin 253αααππ⎛π⎛⎫∴+= ⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎝，sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 1234343450ααααπππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：50.12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ．解析：圆C 的圆心为(4,0)，半径为1；由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；故存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤；而min AC 即为点C 到直线2y kx =-2≤，解得403k ≤≤，即k 的最大值是43. 答案：4313．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．解析：由值域为[0)+∞，得240a b =-=V ，即24a b =；2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫∴=++=++=+ ⎪⎝⎭，2()2a f x x c ⎛⎫∴=+< ⎪⎝⎭解得2a x +<；Q 不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，)()622a a∴-=，解得9c =. 答案：914．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．答案：[,7]e二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC ⋅=⋅ ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值．解析：16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．解析：17．（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．1A1C（第16题）FDCA B E1B解析：18．（本小题满分16分）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．解析：19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若12AF BF -=，求直线1AF 的斜率；（ii ）求证：12PF PF +是定值．解析：（第19题）20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a n *+∈N ．（1）设11n n n b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．解析：绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)准考证号21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ．求证：E C ∠=∠．解析：B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．解析：21-A 题）C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解析：D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．解析：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．解析：23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．解析：。

2012年江苏高考数学题目及解析

参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．（2012年江苏省5分）已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．【答案】{}1,2,4,6。

【考点】集合的概念和运算。

【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6A B = 。

2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．【答案】15。

【考点】分层抽样。

【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。

将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。

因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。

3．（2012年江苏省5分）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ．【答案】8。

【考点】复数的运算和复数的概念。

【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b + 。

4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】5。

【考点】程序框图。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k 2k 5k 4-+循环前 0 0 第一圈是 1 0 第二圈是 2 －2 第三圈是 3 －2 第四圈是 4 0 第五圈是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。

直击高考——选修4-2《矩阵与变换》2010-2012高考题汇总(含答案)

直击高考——选修4-2《矩阵》2010-2012高考题汇总（含答案）1. （2012·福建高考理科·Ｔ21）设曲线2x 2+2xy+y 2=1在矩阵0(0)1a A a b ⎛⎫=>⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为x 2+y 2=1。

（Ⅰ）求实数a ，b 的值。

（Ⅱ）求A 2的逆矩阵。

2.（2012·江苏高考·Ｔ21B ）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值． 3.（2011·福建卷理科·Ｔ21）（1）设矩阵M=00a b ⎛⎫⎪⎝⎭（其中a ＞0，b ＞0）. （I ）若a=2，b=3，求矩阵M 的逆矩阵M -1；（II ）若曲线C ：x 2+y 2=1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：1y 4x 22=+，求a ，b 的值. 4.（2011·江苏高考·Ｔ21B ）已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2A αβ=． 5．（2010·江苏高考·Ｔ21B ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。

设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值。

6．（2010·福建高考理科·Ｔ21）已知矩阵1M b ⎛= ⎝ 1a ⎫⎪⎭，0c N ⎛= ⎝ 2d ⎫⎪⎭，且22MN ⎛= -⎝ 00⎫⎪⎭。

(Ⅰ)求实数,,,a b c d 的值； (Ⅱ)求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程。

解答：1. 解：2. 解：3.解：设曲线C 上任意一点(,)P x y ，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点(,).P x y ''' 则0,0a x x b y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭即ax x by y '=⎧⎨'=⎩又点(,)P x y '''在曲线C '上，所以22 1.4x y ''+= 则222214a xb y +=为曲线C 的方程. 又已知曲线C 的方程为22+y 1x =，故2241a b ⎧=⎨=⎩，又0,0a b >>，所以21a b =⎧⎨=⎩. 4.解：设x y α⎡⎤=⎣⎦，由2A αβ=得：321432x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，32111,43222x y x x y y α+==--⎧⎧⎡⎤∴∴∴=⎨⎨⎢⎥+==⎩⎩⎣⎦5.解:由题设得0010011010k k MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由00220010001022k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可知A 1（0，0）、B 1（0，-2）、C 1（k ，-2）。

高考数学一轮复习 x42矩阵与变换课件理

【2013年高考会这样考】 1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质． 2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2021/12/162021/12/16December 16, 2021 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2021年12月2021/12/162021/12/162021/12/1612/16/2021 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/12/162021/12/16
2．已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是11，求矩阵A. 解设A＝ac bd，由ac bd 10＝23，得ac＝＝32.，由ac bd11＝311＝33，得ac＋＋db＝＝33.，所以bd＝＝10， . 所以A＝23 10.
3．(2011·苏州调研测试)已知圆C：x2＋y2＝1在矩阵形A＝
解 MN＝10 02 －11 01＝－12 02. 设P(x′，y′)是曲线2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵 MN对应的变换下变为点P(x，y)，则xy＝－12 02xy′′＝－2x′＋x2′y′，于是x′＝x，y′＝x＋2y，代入2x′2－2x′y′＋1＝0，得xy＝1. 所以曲线2x2－2xy＋1＝0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy＝1.

高考数学第一轮知识点巩固题库矩阵与变换(含解析)新人教A版选修42

选修4-2 矩阵与变换1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，求满足AXB ＝C 的矩阵X .解 AXB ＝C ，所以(A －1A )XB ·B －1＝A －1CB －1而A －1AXB ·B －1＝EXBB －1＝X (BB －1)＝X ，所以X ＝A －1CB －1因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1， B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2，所以X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －31 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1. 2．设圆F ：x 2＋y 2＝1在(x ，y )→(x ′，y ′)＝(x ＋2y ，y )对应的变换下变换成另一图形F ′，试求变换矩阵M 及图形F ′的方程．解 ∵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1. ∵圆上任意一点(x ，y )变换为(x ′，y ′)＝(x ＋2y ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y y ′＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－2y ′y ＝y ′. ∵x 2＋y 2＝1，∴(x ′－2y ′)2＋(y ′)2＝1.即F ′的方程为(x －2y )2＋y 2＝1.(1)求实数a 、b 、c 、d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程．解 (1)由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(2)∵矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)，∴可取直线y ＝3x 上的两点(0，0)，(1，3)，得点(0，0)，(1，3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(0，0)，(－2，2)．从而，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y ＝－x .4．已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求矩阵A . 解由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1. 同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1. 因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321. 5．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00 b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.∴2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1200 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上， ∴x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 6．给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1)求证：M 和N 互为逆矩阵；(2)求证：向量α同时是M 和N 的特征向量；(3)指出矩阵M 和N 的一个公共特征值．解 (1)证明：因MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以M 和N 互为逆矩阵． (2)证明：因为Mα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，所以α是N 的特征向量．因为N α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，所以α是N 的特征向量．(3)由(2)知，M 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值为1，N 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值也为1，故1是矩阵M 和N 的一个公共特征值．。

【三年考点汇总】2012年高考数学考点汇总52矩阵与变换(新人教版)

考点52 矩阵与变换
一、解答题
1.（2012·福建高考理科·Ｔ21）设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为．
(Ⅰ) 求实数，的值；
(Ⅱ) 求的逆矩阵．
【解题指南】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.
【解析】（Ⅰ）设曲线上任一点在矩阵对应变换下的像是，则得
又点在上，所以即
整理得
依题意得解得或
因为，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
所以，.
2.（2012·江苏高考·Ｔ21）已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．
【解题指南】由矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵，从而求出矩阵的特征值.
【解析】∵，∴.
∵，∴。

∴矩阵的特征多项式为.
令，解得矩阵的特征值.。