北京市清华附中高一期末数学试卷理科(1)
北京市清华大学附属中学2019-2020学年高一上学期数学期末考试卷带讲解
则方程 ，即 在 内有实数根，
若函数 在 内有零点．
则 ，解得 ，或 ．
（1） ， ． ．
对称轴： ．
① 时， ， ， （1） ，因此此时函数 在 内一定有零点． 满足条件．
② 时， ，由于 （1） ，因此函数 在 内不可能有零点，舍去．
综上可得：实数 的取值范围是 ， ．
【详解】因为 ，所以 ； ； ； .
故 最大.
故选：B.
【点睛】本题考查了根据实数范围比较实数大小，属于基础题.
5.“ ， ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由 可解得 或 ，即可判断.
【详解】若 ，则 ， ，
即 或 ，
则可得“ ， ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
6.下列区间包含函数 零点的为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.
【详解】 ， ，
， ，
，又 为 上单调递增连续函数
故选：C .
7.函数 的定义域为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
2.下列函数在定义域内单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A， ，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于B， ，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C， ，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；
2019-2020学年北京市清华附中高一(上)期末数学试卷(1)
2019-2020学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题4分，共40分）.1．（4分）已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．（4分）下列函数在定义域内单调递增的是（）A．y＝x2B．y＝tan x C．y＝0.5x D．y＝lgx3．（4分）若点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝（）A．B．C．D．4．（4分）在a＝log30.1，b＝tan，c＝2，d＝sin2中，最大的数为（）A．a B．b C．c D．d5．（4分）“α+β＝+2kπ，k∈Z”是“sinα＝cosβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）下列区间包含函数f（x）＝x+log2x﹣5零点的为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）7．（4分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）8．（4分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件9．（4分）已知θ＝（0，），sin2θ＝，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（4分）若函数f（x）的图象上存在一点A（x0，y0），满足x0+y0＝0，且x0y0≠0，称函数f（x）为“可相反函数”．在：①y＝sin x；②y＝lnx；③y＝x2+4x+1；④y＝﹣e﹣x中，为“可相反函数”的全部序号是（）A．①②B．②③C．①③④D．②③④二、填空题（每小题5分，共30分）.11．（5分）已知幂函数f（x）＝x m经过点（2，），则f（）＝．12．（5分）已知θ为第二象限角，且sinθ＝，则sin（θ+）＝．13．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则函数f（x）的单调递增区间为．14．（5分）关于函数f（x）＝sin x与g（x）＝cos x有下面三个结论：①函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象平移得到：②函数f（x）与函数g（x）在（，π）上均单调递减；③若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|≤1．其中全部正确结论的序号为．15．（5分）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣k恰有两个不同的零点．则实数k的取值范围为．16．（5分）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”．x0是它的一个均值点，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分）.17．（13分）计算：（1）log64+2log63．（2）×（3）cos120°+tan135°．18．（13分）已知＝．（1）若α为第三象限角，求cosα的值；（2）求tan（α+）的值；（3）求cos2α的值．19．（13分）已知函数f（x）＝|log a x|（a＞0，a≠1）．（1）若f（2）＝，求实数a的值；（2）若0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求x1x2的值；（3）若函数f（x）在[，3]的最大值与最小值之和为2，求实数a的值．20．（13分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x+）．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程：（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，求实数m的取值范围．21．（14分）若函数f（x）的定义域为R，且存在非零实数T，使得对于任意x∈R，f（x+T）＝Tf（x）恒成立，称函数f（x）满足性质P（T）．（1）分别判断下列函数是否满足性质P（1），并说明理由；①f（x）＝sin2πx；②g（x）＝cosπx．（2）若函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），求函数f（x）的解析式；（3）若函数f（x）满足性质P（1.01）．求证：存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．22．（14分）已知集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{﹣1，1}，直接写出集合A+及A﹣；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，求证x1+x4＝x2+x3；（3）若集A⊆{x|0≤x≤2020，x∈N}，且A+∩A﹣＝∅，求集合A中元素的个数的最大值．2019-2020学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共40分）.1．（4分）已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】化简集合A，利用元素与集合之间的关系即可得出．【解答】解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，四个选项中，只有0∈A，故选：C．2．（4分）下列函数在定义域内单调递增的是（）A．y＝x2B．y＝tan x C．y＝0.5x D．y＝lgx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于B，y＝tan x，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝0.5x，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；对于D，y＝lgx，是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；故选：D．3．（4分）若点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝（）A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝＝，故选：A．4．（4分）在a＝log30.1，b＝tan，c＝2，d＝sin2中，最大的数为（）A．a B．b C．c D．d【分析】分别判断三个数的大小，进行比较即可．【解答】解：a＝log30.1＜0，b＝tan＝1，c＝2∈（0，1），d＝sin2＜1，则最大的是b＝1．故选：B．5．（4分）“α+β＝+2kπ，k∈Z”是“sinα＝cosβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】sinα＝cosβ⇒cos（﹣α）＝cosβ，可得β＝2kπ±（（﹣α），k∈Z．即可判断出结论．【解答】解：sinα＝cosβ⇒cos（﹣α）＝cosβ，∴β＝2kπ±（（﹣α），k∈Z．化为：α+β＝+2kπ，k∈Z，或β﹣α＝﹣+2kπ，k∈Z，∴“α+β＝+2kπ，k∈Z“是“sinα＝cosβ“的充分不必要条件．故选：A．6．（4分）下列区间包含函数f（x）＝x+log2x﹣5零点的为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【分析】此类选择题可以用代入计算出函数值，利用零点判定定理解决【解答】解：经计算f（1）＝1﹣5＝﹣4＜0，f（2）＝2+1﹣5＝﹣2＜0，f（3）＝3+log23﹣5＝log23﹣2＜0，f（4）＝4+2﹣5＝1＞0，故函数的零点所在区间为（3，4），故选：C．7．（4分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则ln（x+1）≠0，且x+1＞0，即x＞﹣1且x≠0，故函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠0}，故选：A．8．（4分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件【分析】若每批生产x件，则平均仓储时间为天，可得仓储总费用为，再加上生产准备费用为800元，可得生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝元，由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小值对应的x值【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f（x）取得最小值、可得x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B．9．（4分）已知θ＝（0，），sin2θ＝，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．【解答】解：∵θ＝（0，），sin2θ＝，∴sinθ﹣cosθ＜0，∴sinθ﹣cosθ＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故选：D．10．（4分）若函数f（x）的图象上存在一点A（x0，y0），满足x0+y0＝0，且x0y0≠0，称函数f（x）为“可相反函数”．在：①y＝sin x；②y＝lnx；③y＝x2+4x+1；④y＝﹣e﹣x中，为“可相反函数”的全部序号是（）A．①②B．②③C．①③④D．②③④【分析】根据已知条件把问题转化为函数f（x）与直线y＝﹣x有交点且交点不在坐标原点，结合图象即可得到结论【解答】解：由定义可得：；函数f（x）为“可相反函数”，即函数f（x）与直线y＝﹣x有交点且交点不在坐标原点．结合图象可得：只有②③④符合要求；故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）.11．（5分）已知幂函数f（x）＝x m经过点（2，），则f（）＝．【分析】把点的坐标代入幂函数解析式求出m的值，求出解析式，再计算f（）的值．【解答】解：幂函数f（x）＝x m经过点（2，），即2m＝，解得m＝﹣2，所以f（x）＝x﹣2；所以f（）＝＝．故答案为：．12．（5分）已知θ为第二象限角，且sinθ＝，则sin（θ+）＝﹣．【分析】由已知结合同角平方关系可求cosθ，然后结合诱导公式进行化简即可求解．【解答】解：因为θ为第二象限角，且sinθ＝，所以cos，则sin（θ+）＝cosθ＝﹣．故答案为：﹣13．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则函数f（x）的单调递增区间为[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A＝1，•＝﹣，∴ω＝π．再根据五点法作图，可得π×+φ＝π，∴φ＝，f（x）＝sin（π•x+）．令2kπ﹣≤π•x+≤2kπ+，求得2k﹣≤x≤2k﹣，故函数的增区间为[2k﹣，2k﹣]，k∈Z，故答案为：[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．14．（5分）关于函数f（x）＝sin x与g（x）＝cos x有下面三个结论：①函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象平移得到：②函数f（x）与函数g（x）在（，π）上均单调递减；③若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|≤1．其中全部正确结论的序号为①②．【分析】根据正弦函数与余弦函数的性质逐个判断即可．【解答】解：对于①，由于f（x）＝sin x＝cos（x+），所以函数f（x）＝sin x的图象可由函数g（x）＝cos x的图象向左平移个单位得到；①正确；对于②，函数f（x）＝sin x在（，π）上为减函数，函数g（x）＝cos x在（，π）上为减函数；②正确；对于③，若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|＝|sin t﹣cos t|＝|sin（t﹣）|≤．故③错误；故正确结论序号为①②；故答案为：①②．15．（5分）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣k恰有两个不同的零点．则实数k的取值范围为（﹣1，0）∪[1，3]．【分析】题目等价于函数f（x）与y＝k的图象有2个不同的交点，作出图象，数形结合即可【解答】解：条件等价于方程f（x）＝k有2个不等实根，也即函数f（x）与y＝k的图象有2个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：由图象可知，﹣1＜k＜0或1≤k≤3，故k∈（﹣1，0）∪[1，3]，故答案为（﹣1，0）∪[1，3]．16．（5分）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”．x0是它的一个均值点，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是[0，+∞）．【分析】根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，若函数g（x）＝x2+mx﹣m 在（﹣1，1）内有零点．首先满足：△≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．对称轴：x＝﹣．对m分类讨论即可得出．【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，若函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内有零点．则△＝m2+4m≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．g（0）＝﹣m．对称轴：x＝﹣．①m≥0时，﹣≤0，g（0）＝﹣m≤0，g（1）＞0，因此此时函数g（x）在（﹣1，1）内一定有零点．∴m≥0满足条件．②m≤﹣4时，﹣≥2，由于g（1）＝1＞0，因此函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内不可能有零点，舍去．综上可得：实数m的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．三、解答题（共6小题，共80分）.17．（13分）计算：（1）log64+2log63．（2）×（3）cos120°+tan135°．【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可得解．（2）利用指数的运算即可求解．（3）利用诱导公式化简根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：（1）log64+2log63＝+2＝＝＝lg6；（2）×＝2+2+2＝2＝21＝2．（3）cos120°+tan135°＝cos（180°﹣60°）+tan（180°﹣45°）＝﹣cos60°﹣tan45°＝﹣﹣1＝﹣．18．（13分）已知＝．（1）若α为第三象限角，求cosα的值；（2）求tan（α+）的值；（3）求cos2α的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得cosα的值．（2）由题意利用两角和的正切公式，求得所给式子的值．（3）由题意利用二倍角公式的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：（1）∵已知＝＝，∴tanα＝3＝．∵α为第三象限角，∴cosα＜0，sinα＜0，且sin2α+cos2α＝1．求得sinα＝﹣，cosα＝﹣．（2）由以上可得，tan（α+）＝＝＝﹣2．（3）cos2α＝2cos2α﹣1＝2•﹣1＝﹣．19．（13分）已知函数f（x）＝|log a x|（a＞0，a≠1）．（1）若f（2）＝，求实数a的值；（2）若0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求x1x2的值；（3）若函数f（x）在[，3]的最大值与最小值之和为2，求实数a的值．【分析】（1）代入直接求解即可；（2）计算可知log a（x1x2）＝0，由此得到x1x2＝1；（3）分析可知函数f（x）在[，3]的最大值为2，讨论即可得解．【解答】解：（1）依题意，，即或，解得a＝4或；（2）依题意，|log a x1|＝|log a x2|，又0＜x1＜x2，故log a x1+log a x2＝0，即log a（x1x2）＝0，故x1x2＝1；（3）显然当x＝1时，函数f（x）＝|log a x|取得最小值为0，则函数f（x）在[，3]的最大值为2，若，解得或；若f（3）＝|log a3|＝2，解得或；结合（2）可知，只有或满足题意．20．（13分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x+）．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程：（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）直接利用已知条件求解即可．（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和对称轴求得f（x）的最小正周期和对称轴即可．（3）求出函数f（0）的值，然后求解函数在（0，π）的范围内，求出x的值等于f（0），即可得到m的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝4cos x sin（x+）．f（）＝0．（2）依题意，得函数f（x）＝4cos x sin（x+）＝4cos x•（sin x+cos x）＝sin2x+2cos2x ﹣1+1＝2（sin2x+cos2x）+1＝2sin（2x+）+1．它的最小正周期为＝π．函数f（x）的图象的对称轴方程令2x+＝kπ+，求得x＝kπ+，k∈Z．（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，f（0）＝4cos0sin＝2．2sin（2x+）+1＝2，可得x＝时，f（）＝2，所以0＜m≤．21．（14分）若函数f（x）的定义域为R，且存在非零实数T，使得对于任意x∈R，f（x+T）＝Tf（x）恒成立，称函数f（x）满足性质P（T）．（1）分别判断下列函数是否满足性质P（1），并说明理由；①f（x）＝sin2πx；②g（x）＝cosπx．（2）若函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），求函数f（x）的解析式；（3）若函数f（x）满足性质P（1.01）．求证：存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．【分析】（1）根据P（1）的定义可知，该函数的周期为1，利用公式可分别求出它们的周期；（2）根据P（2）、P（3）的性质，合理变换x的取值，结合性质，可构造出关于f（x）的方程解出f（x）；（3）采用构造法，将P（1.01）的性质转化为，让函数值随着x后面累加1.01，绝对值逐渐缩小，再利用赋值法求得符合题意的x0．【解答】解：（1）令T＝1，则f（x+1）＝f（x），即该函数的周期为1，∵f（x）＝sin2πx的周期为＝1，故f（x）满足性质P（1），②g（x）＝cosπx的周期为＝2，故g（x）不满足性质P（1），（2）函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），∴f（x+2）＝2f（x），f（x+3）＝3f（x），∴f（x+3）＝f（x+1+2）＝2f（x+1）＝3f（x）①又f（x+2）＝f（x﹣1+3）＝3f（x﹣1）＝2f（x）②结合f（x+1）＝f（x﹣1+2）＝2f（x﹣1）③，联立①②③消去f（x+1）、f（x﹣1）解得f（x）＝0．（3）因为f（x+1.01）＝1.01f（x），所以f（x）＝f（x+1.01），所以f（x﹣1.01）＝，取x＝0，，，……，f（﹣n×1.01）＝，（n∈N+）易知＜0.001，且随着n的增大|f（﹣n×1.01）|的值递减．对两边取常用对数得：﹣nlg1.01+lg|f（0）|＜﹣3整理后得，取大于的整数n时，对应的x0＝﹣n×1.01满足|f（x0）|＜0.001．所以，存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．22．（14分）已知集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{﹣1，1}，直接写出集合A+及A﹣；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，求证x1+x4＝x2+x3；（3）若集A⊆{x|0≤x≤2020，x∈N}，且A+∩A﹣＝∅，求集合A中元素的个数的最大值．【分析】（1）根据题目定义，直接得到集合A+及A﹣；（2）根据两集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的关系；（3）通过假设A集合{m，m+1，m+2，…，4040}，m≤2020，m∈N，求出相应的A+及A ﹣，通过A+∩A﹣＝∅建立不等关系求出相应的值．【解答】解：（1）根据题意，由A＝{﹣1，1}，则A+＝{﹣2，0，2}，A﹣＝{0，2}；（2）由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，所以A﹣中也只包含四个元素，即A﹣＝{0，x2﹣x1，x3﹣x1，x4﹣x1}，剩下的x3﹣x2＝x4﹣x3＝x2﹣x1，所以x1+x4＝x2+x3；（3）设A＝{a1，a2，…a k} 满足题意，其中a1＜a2＜…＜a k，则2a1＜a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a k＜a2+a k＜a3+a k＜…＜a k﹣1+a k＜2a k，∴|A+|⩾2k﹣1，a1﹣a1＜a2﹣a1＜a3﹣a1＜…＜a k﹣a1，∴|A﹣|⩾k，∵A+∩A﹣＝∅，由容斥原理|A+∪A﹣|＝|A+|+|A﹣|⩾3k﹣1，A+∪A﹣中最小的元素为0，最大的元素为2a k，∴|A+∪A﹣|⩾2a k+1，∴3k﹣1⩾2a k+1⩾4041（k∈N*），∴k≤1347，实际上当A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，证明如下：设A＝{m，m+1，m+2，…，2020}，m∈N，则A+＝{2m，2m+1，2m+2，…，4040}，A﹣＝{0，1，2，…，2020﹣m}，依题意有2020﹣m＜2m，即m＞673，故m的最小值为674，于是当m＝674时，A中元素最多，即A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1347．。
北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学2024.7一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，且，则a 可以为（）A. －2B. －1C.D.2.在复平面内，复数对应点的坐标为，则（ ）A. B. C. D. 3. 若向量，，，则（ ）A.B. C. 4D. 4. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 5. 下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（ ）A. B. C D. 6. 已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B. C. D. 7. 若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数茎叶图如图所.的{}220A x x =-<a A ∈321iz+()2,1-z =13i +3i +3i-+13i--()2,5a = ()1,2b x x =-+ a b ⊥ x =1717-4-()f x =()1,1-()()1,12,-+∞ [)2,+∞()[)1,12,∞-⋃+ππ,04⎛⎫⎪⎝⎭tan y x =sin y x =212cos y x=-sin cos y x x=-1x <-210x ->12x x+<-sin 0x x ->cos 0x x +>{}n a {}n a {}n a ()*312N n n n n a a a a n +++⋅=⋅∈示，则下列结论错误的是（ ）A. 甲命中个数的极差为29B. 乙命中个数的众数是21C. 甲的命中率比乙高D. 甲每组命中个数的中位数是259. 已知，，，，成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为（ ）A. B. C.D.10. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）A. 72B. 74C. 76D. 78二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设是等差数列，且，，则数列的前项和_____________.12. 现有甲、乙、丙、丁、戊五种智慧黑板，某学校要从中随机选取3种作为教学工具备选，则其中甲、乙、丙中至多有2种被选取的概率为_____________.13. 函数，其中且，若函数是单调函数，则的一个取值为______，若函数存在极值，则的取值范围为______.14. 已知函数，则_____________.15. 若等差数列满足.对，在中的所有项组成集合.记中最小值为，最大值为，元素个数为，所有元素和为，则下列命题中①为等比数列；②；③；④.所有正确的命题的序号是_____________.1a 2a 3a 4a 5a 5a 81-27-181127G G L L D=L 0L D G 0G 0.50.40.20.21g20.3010≈{}n a 11a =12n n a a +=+{}n a 1010S =()2,11,1x a x f x ax x x ⎧≤=⎨-+>⎩0a >1a ≠a a ()22sin sin 2cos f x x x x =+-5π12f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a ()*3Nn a n n =∈*N k ∀∈{}na ()12,2kk +kT kTk b k c k L k S 12,,,,k c c c 32kk k b c +=⨯1k L k ≥-413kkS <<三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在中，，，分别为，，所对的边，已知.（1）求的大小；（2）若且的长.17. 已知数列满足，且.（1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求满足条件最大整数.18. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）证明：对，函数有且仅有两个极值点，，并求函数的单调区间；（3）在（2）的条件下，若，求实数的取值范围.19. 某学校为了解高一新生体质健康状况，对学生体质进行测试.现从男、女生中各随机抽取40人，测试数据按《国家学生体质健康标准》整理如下：等级数据范围男生人数男生平均分女生人数女生平均分优秀1091.3491良好883.98841及格 16702270.2不及格60以下649.6649.1总计\4075.04071.9（1）若按规定测试数据不低于60，则称体质健康为合格.试估计该校高一新生体质健康合格的概率；（2）在高一新生中，随机选取一名男生和一名女生，试估计恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；（3）已知表中男生与女生在优秀、良好、及格、不及格四个等级的各级平均分都接近（差的绝对值不大的.ABC V a b c A ∠B ∠C ∠()sin 2a C c A =-A 2226a b c c -=-ABC S =V a {}n a 123a =()*121n n n a a n a +=∈+N 11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}n a 121112025na a a +++< n ()()2xf x x a e =-0a =()y f x =()()00f ，R a ∀∈()f x 1x 212()x x x <()f x ()()()2112214x f x x f x x x -≥-a []90100，[]8089，[]6079，于0.5），但男生的总平均分75.0却明显高于女生的总平均分71.9.经研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级.（只需写出结论）20. 已知函数，.（1）若曲线在处切线过原点，求的值；（2）若在上最小值为1，求的值；（3）当时，若，都有，求整数的最小值.21. 对给定的正整数，设数列，若存在，使得，则将数列进行操作变换，得到数列，且为，或之一，记为. 设（个），从开始进行次操作变换，依次得到数列，即，.（1）当时，分别判断从开始进行次操作变换，是否可以得到如下数列？若不可以，直接判断即可；若可以，请写出相应的及；①；②；③；（2）当时，从开始进行次操作变换，是否可能得到数列？若不可以，请说明理由；若可以，求出与的所有可能取值.（3）给定正奇数，为使的各项均不相同，求操作变换次数的最小值.()ln 1f x k x x =++R k ∈()y f x =()()1,1f k ()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦k 1k =()0,x ∞∀∈+()()22f x m x x ≤+m 3n ≥12:,,...,n A a a a 1i j n ≤<≤i j a a =A T B B 121111,,...,,1,,...,,1,,...,i i i j j j n a a a a a a a a a -+-+-+121111,,...,,1,,...,,1,,...,i i i j j j n a a a a a a a a a -+-++-()B T A =0:0,0,...,0A n 00A m T 12,,...,m A A A ()1i i A T A -=1,2,...,i m =4n =0A m T m 121,,...,m A A A -2,0,0,2-2,1,0,2-3,0,1,2--5n =0A m T :,1,0,1,2m A x --x m 5n ≥m A n m北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学 答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】B 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】D 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】D 【9题答案】【答案】B 【10题答案】【答案】B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】##09.100910【13题答案】【答案】①. 2（满足均可）②. 【14题答案】【15题答案】【答案】②③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）证明略， （2）2024【18题答案】【答案】（1） （2）答案略 （3）【19题答案】【答案】（1） （2）（3）去掉的等级为优秀.【20题答案】【答案】（1） （2）或 （3）1【21题答案】【答案】（1）①可以，，，，；②不可以；③不可以1a >()0,1π6A =a =221nn na =+0y =2a ≥17203101k =1ek =e k =-4m =1:1,0,0,1A -2:1,1,1,1A --3:2,0,1,1A --（2），（3）2x =5m =324n n -。
2022-2023学年北京市清华附中高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
【解析】（1）根据指数函数和幂函数的性质可得合适的函数的模型.
（2）根据选择的函数模型可求最小月份.
小问1详解】
指数函数 随着自变量的增大其函数的增长速度越大，幂函数 随着自变量的增大其函数的增长速度越小，因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选择 较为合适.
故 ，故 ， .
所以 .
【小问2详解】
1．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB=BC=1，SA= ，则球O的表面积是（）
A. B.
C. D.
2．已知命题“ ， ”是假命题，则实数单价为40元的商品按60元一个售出时，能卖出400个．已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得最大利润，售价应定为
【详解】∵幂函数y＝xα的图象过点（2， ），
∴ 2α，解得α ，
故f（x） ，即 ，
故选A
【点睛】本题考查了幂函数的定义，是一道基础题
11、A
【解析】首先理解圆锥体中母线与底面所成角的正弦值为它的高与母线的比值，结合圆锥的体积公式 及已知条件即可求出正弦值.
【详解】如图，根据圆锥的性质得 底面圆 ，
故选：D.
8、C
【解析】如图所示，补成直四棱柱 ，
则所求角为 ，
易得 ，因此 ，故选C
平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
当 时， ，
得 恒成立，
所以 ,得 ,
综上所述，得 .
2022-2023学年北京市海淀区清华大学附属中学高一下学期期末考考试数学试卷含详解
高一第二学期期末试卷数学第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知a =(1，2)，b=(4，2-)，下列说法正确的是（）A.a =B.a ⊥bC.//a bD.(3,4)b a -=2.已知集合(){}10A x x x =-≤，{}ln B x x a =≤，为使得A B A ⋃=，则实数a 可以是（）A.0B.1C.2D.e3.在复平面内，复数35i1i--对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.在ABC 中，5AB =，6BC =，3cos 5B =，则ABC 的面积为（）A.24B.18C.12D.95.已知等差数列{}n a 中，119a =，2826+=a a ，则数列{}n a 的前5项和为（）A.35B.40C.45D.806.已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（）A.48πB.24πC.12πD.6π7.已知函数1()213xf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则不等式()0f x <的解集为（）A.()0,1 B.()1,0- C.()(),10,-∞-⋃+∞ D.()(),01,-∞⋃+∞8.已知1AB =，2CD = ，2AD AC AC ⋅= ，则CB CD ⋅的最大值为（）A.1B.2C. D.49.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中10a >，则“31a a >”是“n S 无最大值”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 、H 分别为棱1111,,,BC CD C D B C 的中点，点M 为棱1CC 上的动点，则下列说法中正确的个数是（）①AM 与1BB 异面；②1//A H 平面AEM ；③平面AEM 截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面AEM ⊥平面1BB GF .A.1个B.2个C.3个D.4个第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知复数3i(0)z a a =+<的模为5，则=a __________.12.已知函数()sin cos (0)f x x a x a =+<的最大值为2，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭=__________.13.在正四棱锥P ABCD -中，底面边长为2，侧棱长为6，点E 是PA 的中点，则三棱锥E ABD -的体积为___________.14.已知函数2cos ,0()1e ,02x x x f x ax x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩在区间[)π,-+∞上是单调函数，则正数a 的一个取值为___________.15.已知函数()ln f x x =，取点()1111,()(0)A a f a a >，过1A 作曲线()ln f x x =的切线交y 轴于()220,(0)a a >，取点()222,()A a f a ，过2A 作曲线()ln f x x =的切线交y 轴于()30,a ......依此类推，直到当0(3)n a n ≤≥时停止操作，此时得到数列{}n a .给出下列四个结论：①10e a <<；②当*2N n n ≥∈，时，1ln 1n n a a -=-；③当*2N n n ≥∈，时，12n n a a -≤-恒成立；④若存在k ∈N*，使得1a ，2a ，…，k a 成等差数列，则k 的取值只能为3.其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知在ABC 中，22cos c b A a =-.（1）求B ；（2）若8,7a c b +==，且C A >，求BC 边上的高.17.已知首项为0的无穷等差数列{}n a 中，2a ，3a ，41a +成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记12,nn n a a n b n +⎧=⎨⎩，为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA=，2AB AD ==，点M 和点N 在棱1CC 上，且22CM CN ==.（1）求证：//AM 平面BDN ；（2）求证：1A C DN ⊥.19.已知函数()21cos cos 2f x x x x ωωω=+-，其中02ω<<，有如下三个条件：条件①：π132f 骣琪=琪桫；条件②：()()πf x f x +=；条件③：ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.从以上三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 在区间[]0,m 上的最大值为1，求实数m 的最小值.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20.已知函数()2=+bf x ax x，若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为3y =.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）当0x >时，若存在常数0t >，使得方程()f x t =有两个不同的实数解1x ，2x ，求证：122x x +>.21.给定正整数n ，记S (n )为所有由2n 个非负实数组成的2行n 列的数表构成的集合.对于A ∈S (n )，用()i R A ，()j C A 分别表示的第i 行，第j 列各数之和(i =1，2；j =1，2，...，n ).将A 的每列的两个数中任选一个变为0(可以将0变为0)而另一个数不变，得到的数表称为A 的一个残表.（1）对如下数表A ，写出A 的所有残表A '，使得12()()R A R A ''=；0.10.11000.1（2）已知A ∈S (2)且()1j C A =(j =1，2)，求证：一定存在A 的某个残表A '使得1()R A '，2()R A '均不超过23；（3）已知A ∈S (23)且()1j C A =(j =1，2，...，23)，求证：一定存在A 的某个残表A '使得1()R A '，2()R A '均不超过6.高一第二学期期末试卷数学第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知a =(1，2)，b=(4，2-)，下列说法正确的是（）A.a =B.a ⊥bC.//a bD.(3,4)b a -=【答案】B【分析】根据向量的模的计算公式，两个向量的差与数量积的坐标运算，两个向量垂直、平行的条件逐一检验各个选项是否正确，从而得到答案.【详解】(1,2),a a =∴==A 错误；(1,2),(4,2)142(2)0,a b a b ==-∴⋅=⨯+⨯-=故a b ⊥ ，B 正确；(1,2),(4,2),1(2)42100,a b ==-∴⨯--⨯=-≠故a 与b 不平行，C 错误；(41,22)(3,4)b a -=---=-，D 错误.故选：B.2.已知集合(){}10A x x x =-≤，{}ln B x x a =≤，为使得A B A ⋃=，则实数a 可以是（）A.0B.1C.2D.e【答案】A【分析】先化简集合,A B ，再根据已知得到e 1a ≤，解不等式即得解.【详解】由题得[0,1]A =，(0,e ]aB =，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.所以0e 1e ,0a a ≤=∴≤.故选：A3.在复平面内，复数35i1i--对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【分析】对复数进行化简，根据复数的几何意义即可.【详解】35i (35i)(1i)82i4i,1i (1i)(1i)2--+-===---+∴对应的点为(4,)1-，在第四象限，故选：D.4.在ABC 中，5AB =，6BC =，3cos 5B =，则ABC 的面积为（）A.24 B.18C.12D.9【答案】C【分析】根据平方关系求出sin B ，再由面积公式计算可得.【详解】3cos 5B =Q ，0πB <<，4sin 5B ∴=，又5AB c ==，6BC a ==，114sin 5612225ABC S ac B ∴==⨯⨯⨯= ．故选：C ．5.已知等差数列{}n a 中，119a =，2826+=a a ，则数列{}n a 的前5项和为（）A.35B.40C.45D.80【答案】D【分析】根据等差数列的定义，利用首项和公差，结合题意，建立方程，解得公差，利用前n 项和的计算公式，可得答案.【详解】由等差数列{}n a ，可设其公差为d ，2811738826a a a d a d d +=+++=+=，解得32d =-，数列{}n a 的前5项和()()()1511555451919680222a a a a d S +⨯++⨯+-====.故选：D6.已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（）A.48πB.24πC.12πD.6π【答案】C【分析】将正三棱锥-P ABC 放到棱长为2的正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，求出外接球的半径，再根据球的表面积公式计算可得.【详解】如图可将正三棱锥-P ABC 放到棱长为2的正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球且正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，设外接球的半径为R ，则()2222222212R =++=，即2412R =，即R （负值舍去），所以外接球的表面积24π12πS R ==.故选：C7.已知函数1()213xf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则不等式()0f x <的解集为（）A.()0,1 B.()1,0- C.()(),10,-∞-⋃+∞ D.()(),01,-∞⋃+∞【答案】B【分析】()0f x <的解集即为1123x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭的解集，画出13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =-的图象即可求解.【详解】令1()2103xf x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭,可得1123xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,在同一直角坐标系中画出13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =-的图象：由图可得，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =-的图象有两个交点，又()1112103f -⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，()0100103f ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，由图可得1123xx ⎛⎫<- ⎪⎝⎭的解集为()1,0-,即()0f x <的解集为()1,0-.故选:B.8.已知1AB = ，2CD = ，2AD AC AC ⋅= ，则CB CD ⋅的最大值为（）A.1 B.2C. D.4【答案】B【分析】根据数量积的运算律得到0CD AC ⋅=，则2cos ,CB CD AB CD ⋅= ，结合余弦函数的性质计算可得.【详解】因为2AD AC AC ⋅= ，即()2AC CD AC AC +⋅= ，即22AC CD AC AC +⋅= ，即22AC CD AC AC +⋅= ，所以0CD AC ⋅=，所以()CB CD CA AB CD CA CD AB CD⋅=+⋅=⋅+⋅cos ,2cos ,AB CD AB CD AB CD AB CD =⋅=⋅= ，因为1cos ,1AB CD -≤≤，所以当cos ,1AB CD = 时CB CD ⋅ 取最大值，最大值为2.故选：B9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中10a >，则“31a a >”是“n S 无最大值”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由等比数列{}n a 中31a a >等价于公比1q <-或1q >，结合前n 项和公式单调性的判定可得其是否具有充分性，必要性方面举反例发现n S 无最大值不一定推得31a a >,继而选项可定.【详解】充分性：设等比数列{}n a 的公比为q ，31a a >，10a >，∴211a q a >，21q ∴>可得1q <-或1q >，又()()111111n n n a q a S q qq -==---，当1q <-时，若n 为奇数，()()1111111nn n a a a S q q q q q=-=-+---，101a q>-，()1q ->，∴当n 为奇数时n S 单调增，则n S 无最大值，当1q >时()111n n a S q q =--，101a q >-，1q >,∴n S 单调增,则n S 无最大值；必要性：当1q =时，1n S na =，又10a >，则n S 无最大值.可得“31a a >”不是“n S 无最大值”的必要条件；由此可知“31a a >”是“n S 无最大值”的充分不必要条件.故选：A.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 、H 分别为棱1111,,,BC CD C D B C 的中点，点M 为棱1CC 上的动点，则下列说法中正确的个数是（）①AM 与1BB 异面；②1//A H 平面AEM ；③平面AEM 截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面AEM ⊥平面1BB GF .A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据正方体的几何性质逐项分析.【详解】对于①，连接11,A C AC ，1111,//,AA CC AA CC =∴ 四边形11AA C C 是平行四边形，AM ⊂平面11AA C C ，111//,BB CC CC ⊂平面11AA C C ，1BB ⊄平面11AA C C ，1//BB ∴平面11AA C C ，又1CC AM M = ，所以1BB 与AM 是异面直线，正确；对于②，连接EH ，则11//,,EH AA EH AA =∴四边形1AA HE 是平行四边形，1//A H AE ，又AE ⊂平面AEM ，1A H ⊄平面AEM ，1//A H ∴平面AEM ，正确；对于③，取1CC 的中点T ，当M 与T 重合时，连接1AD ，则有11//,,,,ET AD E T A D 四点共面，即平面AEM 截正方体的图形是四边形1AD TE ，如下图：当M 点在线段1C T 上时，在平面11AA D D 内作直线//AU EM ，交1DD 的延长线于U ，交11A D 于V ，连接UM ，111//,,,,DD CC D U C C ∴ 四点共面，UM ⊂平面11DD C C ，11UM D C W ∴= ，即平面AEM 截正方体的图形是五边形AEMWV ，如下图：错误；对于④，在正方形ABCD 内，πR R ,,,2t ABE t BCF EAB FBC FBC BEA ≅∠=∠∴∠+∠=所以AE BF ⊥，又1BB ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，1AE BB ∴⊥，1,BB BF ⊂平面11,BB GF BB BF B = ，AE ∴⊥平面1BB GF ，AE ⊂平面AEM ，∴平面AEM ⊥平面1BB GF ，正确；故选：C.【点睛】难点点睛：本题的难点在于当M 点移动时，平面AEM 与正方体的交面需要在平面11AA D D 内寻找到与直线EM 平行的直线AV ，从而确定交面的形状.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知复数3i(0)z a a =+<的模为5，则=a __________.【答案】4-【分析】根据复数的模长公式，建立方程，可得答案.【详解】由题意，可得295a a =+=，且0a <，解得4a =-.故答案为：4-.12.已知函数()sin cos (0)f x x a x a =+<的最大值为2，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭=__________.【答案】1-【分析】利用辅助角公式可得a ，再求函数值即可.【详解】函数()2()sin cos 1ϕ=+=++f x x a x a x ，tan a ϕ=，故函数()f x2=，解得a =所以()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以πππ12sin 216632f ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1-.13.在正四棱锥P ABCD -中，底面边长为2，侧棱长为，点E 是PA 的中点，则三棱锥E ABD -的体积为___________.【答案】23【分析】设底面AC BD O = ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，再利用勾股定理求出PO ，最后根据锥体的体积公式计算可得.【详解】设底面AC BD O = ，连接PO ，由正四棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，又底面边长为2，所以12AO AC ===则2PO =，因为点E 是PA 的中点，所以点E 到平面ABCD 的距离112h PO ==，所以11122213323E ABD ABDV S h -==⨯⨯⨯⨯= .故答案为：2314.已知函数2cos ,0()1e ,02x x x f x ax x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩在区间[)π,-+∞上是单调函数，则正数a 的一个取值为___________.【答案】1（答案不唯一，只要满足0e a <≤即可）【分析】首先分析函数在[]π,0-上单调递增，则()f x 在()0,∞+上单调递增且函数值大于等于1，当0x >时求出函数的导函数，则()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，参变分离可得e x a x≤在()0,x ∈+∞上恒成立，再利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围.【详解】因为cos y x =在[]π,0-上单调递增，且当0x =时1y =，又函数2cos ,0()1e ,02x x x f x ax x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩在区间[)π,-+∞上是单调函数，则()f x 在()0,∞+上单调递增且函数值大于等于1，当0x >时()21e 2x f x ax =-，且2011e 02a -⨯=，则()e x f x ax '=-，则()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，所以e xa x≤在()0,x ∈+∞上恒成立，令()e xg x x =，()0,x ∈+∞，则()()2e 1x x g x x-'=，所以当01x <<时()0g x '<，当1x >时()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 1e g x g ==，所以e a ≤，又0a >，所以0e a <≤.故答案为：1（答案不唯一，只要满足0e a <≤即可）15.已知函数()ln f x x =，取点()1111,()(0)A a f a a >，过1A 作曲线()ln f x x =的切线交y 轴于()220,(0)a a >，取点()222,()A a f a ，过2A 作曲线()ln f x x =的切线交y 轴于()30,a ......依此类推，直到当0(3)n a n ≤≥时停止操作，此时得到数列{}n a .给出下列四个结论：①10e a <<；②当*2N n n ≥∈，时，1ln 1n n a a -=-；③当*2N n n ≥∈，时，12n n a a -≤-恒成立；④若存在k ∈N*，使得1a ，2a ，…，k a 成等差数列，则k 的取值只能为3.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】②③④【分析】对函数()f x 进行求导之后，利用导数的几何意义可以利用直线的点斜式方程写出切线方程1111ln ()n n n y a x a a ----=-，令0x =，即可求出n a ，判断出②正确；利用1ln 1,2n n a a n -=-≥，求出2a ，利用20a >，可以判断出①错误；利用111(2)ln 1n n n n a a a a -----=-+，构造函数，利用函数的单调性求出最大值，即可判断出③正确；假设存在正整数3,k >满足条件，利用等差数列的定义得到数列也为等比数列，公差为零，得出矛盾,再验证3k =满足条件，从而④正确.【详解】因为()ln f x x =，所以1(),f x x'=则111(),2n n f a n a --'=≥，所以()ln f x x =在点1n x a -=处的切线方程为1111ln ()n n n y a x a a ----=-，令0x =，得1ln 1n y a -=-，所以1ln 1,2n n a a n -=-≥，所以②正确；根据上式，令2n =，则21ln 10a a =->，解得1e a >，故①错误；又当*2N n n ≥∈，时，111(2)ln 1n n n n a a a a -----=-+，设()ln 1,0g x x x x =-+>，则11()1x g x x x-'=-=，令()0g x '>，得01;x <<令()0g x '<，得1,x >则()g x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()(1)ln1110,g x g ≤=-+=所以当*2N n n ≥∈，时，12n n a a -≤-，故③正确；假设存在正整数3,k >使得1a ，2a ，…，k a 成等差数列，设公差为d ，则11112ln 1ln ln ,k k k k k k a a a a a a d ------=--=-=所以12e d k k a a --=，可知该数列既是等差数列又是等比数列，故0,d =但与12n n a a -≤-矛盾，故该数列不是等差数列，故不存在正整数3,k >使得1a ，2a ，…，k a 成等差数列.当3k =时，2121132ln 1,e ,ln 1,a a a a a a +=-==-又由1322,a a a +=得2122e ln 12a a a ++-=，令1()e ln 12,0x h x x x x +=+-->，其中21010110(1)e 120,(e )e 1012e 0,h h --+-=-->=---<故存在100(e ,1)x -∈，使得0()0,h x =即1322,a a a +=所以存在3k =，使得1a ，2a ，…，k a 成等差数列，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知在ABC 中，22cos c b A a =-.（1）求B ；（2）若8,7a c b +==，且C A >，求BC 边上的高.【答案】（1）2π3；（2.【分析】（1）根据正弦定理将边化为角，根据两角和的正弦公式可求cos B 的值，由B 的范围即可求解；（2）由余弦定理求出,a c ,过A 作CB 延长线的垂线，垂足为D ，在Rt △ABD 中求AD 即可.【小问1详解】由22cos c b A a =-及正弦定理可得2sin 2sin cos sin C B A A =-，即()2sin 2sin cos sin A B B A A +=-，即2sin cos 2cos sin 2sin cos sin A B A B B A A +=-，所以2sin cos sin A B A =-.因为()0,πA ∈,所以sin 0A ≠,所以1cos 2B =-.因为()0,πB ∈，所以2π3B =.【小问2详解】因为8,7a c b +==，2π3B =，所以由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，所以2249a c ac +-=-，即()249a c ac +-=，所以644915ac =-=.因为C A >，所以c a >.因为8a c +=，所以3,5a c ==.过A 作CB 延长线的垂线，垂足为D ，则BC 边上的高π53sin 5sin 32AD AB ABD =⋅∠=⨯=.17.已知首项为0的无穷等差数列{}n a 中，2a ，3a ，41a +成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记12,n n n a a n b n +⎧=⎨⎩，为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）1n a n =-；（2）2221223n n T n +-=+.【分析】（1）等差数列{}n a 的公差为d ，由等比数列的性质列式可得0d =或1d =，验证可得1d =，根据等差数列的通项公式即可求解；（2）12,n n n n b n -⎧=⎨⎩，为奇数为偶数，由分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为2a ，3a ，41a +成等比数列，所以()22431a a a +=，即()()2312d d d +=，即2d d =，解得0d =或1d =.若0d =，则0n a =，则2a ，3a 不能是等比数列中的项，故0d =不符合题意.所以1d =，()0111n a n n =+-⨯=-,可得231,2a a ==，414a +=，符合2a ，3a ，41a +成等比数列，所以1n a n =-.【小问2详解】112,2,n n n a n a n n n b n n -+⎧⎧==⎨⎨⎩⎩，为奇数，为奇数为偶数为偶数，所以21234212n n nT b b b b b b -=++++++ ()()135212462n n b b b b b b b b -=+++++++++ ()()13521135212222n n -=++++-+++++ ()()214121214n n n ⨯-+-⎡⎤⎣⎦=+-212223n n +-=+.所以2221223n n T n +-=+.18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA=，2AB AD ==，点M 和点N 在棱1CC 上，且22CM CN ==.（1）求证：//AM 平面BDN ；（2）求证：1A C DN ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）连接AC 、BD ，设AC BD O = ，连接ON ，即可得到//ON AM ，从而得证；（2）首先证明BD ⊥平面11AA C C ，得到1A C BD ⊥，再证1A C ON ⊥，即可得到1A C ⊥平面BDN ，从而得证.【小问1详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，点M 和点N 在棱1CC 上，且22CM CN ==，连接AC 、BD ，设AC BD O = ，连接ON ，则O 为AC 的中点，又N 为CM 的中点，所以//ON AM ，又AM ⊄平面BDN ，ON ⊂平面BDN ，所以//AM 平面BDN .【小问2详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，则ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11AA C C ，所以BD ⊥平面11AA C C ，1AC ⊂平面11AA C C ，所以1A C BD ⊥，又AC =OC=1CN =，14AA =，所以1AA AC AC CN=，所以1A AC OCN ∽，所以1A CA ONC ∠=∠，又1190A CA A CN ∠+∠=︒，所以190A CN ONC ∠+∠=︒，所以1A C ON ⊥，又BD ON O = ，,BD ON ⊂平面BDN ，所以1A C ⊥平面BDN ，又DN ⊂平面BDN ，所以1A C DN ⊥.19.已知函数()21cos cos 2f x x x x ωωω=+-，其中02ω<<，有如下三个条件：条件①：π132f 骣琪=琪桫；条件②：()()πf x f x +=；条件③：ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.从以上三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 在区间[]0,m 上的最大值为1，求实数m 的最小值.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）()πππ,π36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）π6.【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得()πsin 26f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，分别选择条件①，②，③都可得到1ω=，再根据正弦函数的单调性求解即可；（2）令πππ2,2666t x m ⎡⎤=+∈+⎢⎣⎦，画出图象，数形结合即可求解.【小问1详解】()21cos cos2f x x x x ωωω=+-1πsin 2cos 2sin 2226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.若选①，π2ππ1sin 3362f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为02ω<<，所以2πππ3π,3662ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以2ππ5π366ω+=，解得1ω=.若选②，()()πf x f x +=，所以π是()f x 的一个周期.所以()()ππ22f f =-，即ππsin πsin π66ωω⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()()3131sin πcos πsin πcos π2222ωωωω+=-+，即()sin π0ω=.因为02ω<<，所以()π0,2πω∈，所以ππω=，解得1ω=.若选③，因为ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π6x =为函数()f x 的对称轴，所以πππsin 1636f ω⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()ππππ362k k ω+=+∈Z ，所以()13πk k ω=+∈Z .因为02ω<<，所以1ω=.综上，1ω=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.令()πππ2π22π262k x k k -+≤+≤+∈Z ，解得()ππππ36k x k k -+≤≤+∈Z .所以()f x 的单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .【小问2详解】[]0,x m ∈时，πππ2,2666x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令πππ2,2666t x m ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，则sin y t =在ππ,266t m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，画出sin y t =在π,3π6t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦图象如图所示：当π2t =，πsin sin 12y t ===,由图可知，要sin y t =在ππ,266t m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则ππ262m +≥，解得π6m ≥,所以实数m 的最小值为π6.20.已知函数()2=+b f x ax x，若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为3y =.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）当0x >时，若存在常数0t >，使得方程()f x t =有两个不同的实数解1x ，2x ，求证：122x x +>.【答案】（1）1a =、2b =（2）单调递减区间为(),0∞-，()0,1，单调递增区间为()1,+∞（3）证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()()1310f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得()22f x x x=+，求出函数的定义域与导函数，再解得关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（3）由（2）不妨设12x x <，则1201x x <<<，则只需证明()()212f x f x >-，即证()()112f x f x >-，令()()()2g x f x f x =--()01x <<，利用导数说明函数的单调性，即可得证.【小问1详解】因为()2=+b f x ax x ，所以()22b f x ax x'=-，因为函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为3y =，所以()()1310f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即320a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】由（1）可得()22f x x x =+定义域为()(),00,∞-+∞U ，则()()()232222112222x x x x f x x x x x-++-'=-==，因为22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以当0x <或01x <<时()0f x '<，当1x >时()0f x ¢>，所以()f x 的单调递减区间为(),0∞-，()0,1，单调递增区间为()1,+∞.【小问3详解】由（1）可得当0x >时()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞，则()f x 在1x =处取得极小值()13f =，因为当0x >时，存在常数0t >，使得方程()f x t =有两个不同的实数解1x ，2x ，即()y f x =()0x >与y t =有两个交点，则3t >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证122x x +>，即证212x x >-，又101x <<，所以1122x <-<，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以只需证明()()212f x f x >-，又()()12f x f x =，则只需证明()()112f x f x >-，令()()()()2222222g xx f x f x x x x +----==--()01x <<，则()()()()()()2222222222222222222x x x x x x x x g x x x '⎡⎤----⎣⎦-=+--=--()()()()()()3232222221264413222x x x x x x x x x x --+--+==--，令()3232h x x x =-+，()01x <<，则()()236320h x x x x x '=-=-<，则()h x 在()0,1上单调递减，且()10h =，所以()0h x >，所以()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减，所以()()10g x g >=，即()()20f x f x -->在()0,1上恒成立，所以()()2f x f x >-在()0,1上恒成立，即()()112f x f x >-在()10,1x ∈上恒成立，则122x x +>.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21.给定正整数n ，记S (n )为所有由2n 个非负实数组成的2行n 列的数表构成的集合.对于A ∈S (n )，用()i R A ，()j C A 分别表示的第i 行，第j 列各数之和(i =1，2；j =1，2，...，n ).将A 的每列的两个数中任选一个变为0(可以将0变为0)而另一个数不变，得到的数表称为A 的一个残表.（1）对如下数表A ，写出A 的所有残表A '，使得12()()R A R A ''=；0.10.11000.1（2）已知A ∈S (2)且()1j C A =(j =1，2)，求证：一定存在A 的某个残表A '使得1()R A '，2()R A '均不超过23；（3）已知A ∈S (23)且()1j C A =(j =1，2，...，23)，求证：一定存在A 的某个残表A '使得1()R A '，2()R A '均不超过6.【答案】（1）见详解（2）证明见详解（3）此题解析征解【分析】（1）由题意，注意对残表的理解，可得出答案；（2）由A ∈S (2)且()1j C A =(j =1，2)，可知，数表A 中每列两数的和为1，设为m ，1m -；n ，1n -，易发现1()R A '，2()R A '取值情况，分析可得证.（3）用反证法，可得证.【小问1详解】解：根据残表的定义，数表A 的所有残表A '，且满足12()()R A R A ''=如下：00.10000.10.100000.1【小问2详解】证明：由A ∈S (2)且()1j C A =(j =1，2)，可知，不妨设数表A 如下：mn 1m -1n-显然，01m ≤≤，01n ≤≤.不难发现其残表A '满足：()()120R A m n R A ''⎧=+⎪⎨=⎪⎩，或()()121R A m R A n ⎧='-'⎪⎨=⎪⎩，或()()121R A n R A m ⎧='-'⎪⎨=⎪⎩，或()()()1202R A R A m n ⎧=⎪⎨=-+''⎪⎩当103m ≤≤，103n ≤≤时，A 的残表：m n00使得1()R A '，2()R A '均不超过23.当103m ≤≤，113n ≤≤时，A 的残表：m 001n -使得1()R A '，2()R A '均不超过23.当1233m ≤≤，203n ≤≤时，A 的残表：0n1m-0当1233m ≤≤，213n ≤≤时，A 的残表：m001n -使得1()R A '，2()R A '均不超过23.当213m ≤≤，203n ≤≤时，A 的残表：0n1m -0使得1()R A '，2()R A '均不超过23.当213m ≤≤，213n ≤≤时，A 的残表：001m -1n-使得1()R A '，2()R A '均不超过23.综上，一定存在A 的某个残表A '使得1()R A '，2()R A '均不超过23.【小问3详解】设A 为1a 2a …23a 1b 2b …23b 则1(1,2,,23)j j a b j +== 不妨设1223a a a ≤≤≤ ，则1223b b b ≥≥≥ 若12236a a a +++≤ ，则可取A 的残表A '1a 2a ...23a 00 0（则每列都将第二个数变为0），即有()11223R a a a A =++'+ 而()20R A '=，均不超过6．若12236a a a +++> ，则可设正整数22k ≤满足1116k k k a a a a a +++≤<+++ （即123,,a a 中至多取前k 个数之和不超过6）由于12116(1)k k a a a k a ++<+++≤+ ，知161k a k +>+于是122316(23)(23)1k k k k a a a k a k ++--+++≥->+ 有()()122312311k k k b b b a a ++++++=-++- ()123=(23)k k a a +--++ 6(23)164(23)2911k k k k k -≤--=--++14430(1)3061=k k ⎡⎤-++≤-=⎢⎥+⎣⎦故可取A 的残表A '为1a 2a …k a 0…000…01kb +…23b （即前k 列都将第二个数变为0，而后23k -列都将第一个数变为0），即有()112k R a a A a =+'++ ，()2123k A R b b +'=++ ，均不超过6．【点睛】思路点睛：本题是新概念题，要准确理解数表以及残表的概念，采取从特殊到一般的方法，逐层突破.。
2024届北京市海淀清华附中数学高一下期末综合测试模拟试题含解析
2024届北京市海淀清华附中数学高一下期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知ABC 满足6072A a b =︒==，，，则c =（ ）A ．1B ．3C ．5D ．72．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ） A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量3．设函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x =，则()2f -=（ ） A ．－4B ．14C ．14-D ．44．化简AC AB -=（ ）A ．BCB ．CAC ．CBD ．05．若cos cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A ．-1B ．12C ．-1或12D ．12-或146．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S an bn =+，若723a a =，82S a λ=，则λ的值为（ ） A ．15B ．16C ．17D ．187．如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )A ．B ．C ．D ．8．若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 03a b c A +B +=，则角（ ）A ．90B ．60C ．45D ．309．在直角坐标系中，直线30x y -=的倾斜角是 A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( )A ．－3B ．5C ．33D ．－31二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020-2021学年北京市清华大学附属中学高一上学期期末考试数学试卷含答案
2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．33．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜07．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为．12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有.（填上正确选项序号即可）三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】由α的范围求出π﹣α的范围，进而看可确定π﹣α的范围．【解答】解：因为×3，k∈Z，所以﹣＜π﹣α＜﹣2kπ，k∈Z，所以π﹣α为第四象限．故选：D．2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】根据题意可得a＞2，即可判断正确的选项．【解答】解：∵集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，∴a＞2，∴a的值可以为3．故选：D．3．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）【答案】B【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：由a＞b＞c，当c＝0时，故A不成立；∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b，故B成立；∵b＞c，∴﹣b＜﹣c，∴a﹣b＜a﹣c，故C不成立；例如a＝1，b＝0，c＝﹣1，则c（b﹣a）＝1，a（b﹣c）＝1，故D不成立．故选：B．4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα的值，进而根据两角和的余弦公式即可得到结论．【解答】解：因为点P（3，﹣4）是角α终边上一点，所以sinα＝＝﹣，cosα＝＝，所以＝cosαcos﹣sinαsin＝（cosα﹣sinα）＝（+）＝．故选：B．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出sinα＝，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：sinα＝等价于或，所以“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的充分不必要条件．故选：A．6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜0【答案】C【分析】结合指数函数为y＝0.3x的单调性即可比较x，y的大小．【解答】解：因为y＝0.3x在R上单调递减，且0.3x＞0.3y＞0.30，所以x＜y＜0．故选：C．7．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由正弦函数的对称性可令2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t，再通过k的取值可得结论．【解答】解：由正弦函数的对称性可得2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t＝+，k∈Z，当k＝0时，t＝，故选：B．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）【答案】B【分析】先求函数的对称轴，然后结合函数取得最大于最小值的位置即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣4x的开口向上，对称轴x＝2，且f（0）＝f（4）＝0，f（2）＝﹣4，∵函数f（x）在[0，m]内的值域为[﹣4，0]，则实数2≤m≤4故选：B．9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【答案】C【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．【解答】解：y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x＝0时，e b＝192，当x＝22时e22k+b＝48，∴e22k＝＝e11k＝e b＝192当x＝33时，e33k+b＝（e11k）3•（e b）＝（）3×192＝24故选：C．10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]【答案】A【分析】根据该分段函数的性质，由函数零点问题转化为函数图像交点问题，由F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇函数的性质，转化为x∈（0，2]时有两解，结合函数图像即可得解．【解答】解：由F（﹣x）＝f（﹣x）﹣f（x）＝﹣[f（x）﹣f（﹣x）]＝﹣F（x），所以F（x）为奇函数，根据对称性可得x∈（0，2]时有两个零点即可，令F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝0，可得f（x）＝f（﹣x），若x∈（0，2]则﹣x∈[﹣2，0），即有两解，结合对称性可得：如图所示可得：，所以0＜a＜2．故选：A．二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为π．【答案】见试卷解答内容【分析】根据三角函数的周期公式即可得到结论．【解答】解：根据三角函数的周期公式可得函数的周期T＝，故答案为：π12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝0．【答案】0．【分析】首先计算f（x）+f（﹣x）的和为常数，再由已知条件可得所求值．【解答】解：函数f（x）＝a sin x+bx+1，则f（﹣x）+f（x）＝a sin（﹣x）+b（﹣x）+1+a sin x+bx+1＝（﹣a sin x+a sin x）+（﹣bx+bx）+2＝2，所以f（1）+f（﹣1）＝f（1）+2＝2，解得f（1）＝0．故答案为：0．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．【答案】．【分析】由正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间，再由集合的包含关系，解不等式可得所求最大值．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+），可令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，由题意可得[﹣，m]⊆[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，即有kπ﹣≤﹣且m≤kπ+，k∈Z，即k≤，可得k＝0时，m取得最大值，故答案为：．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．【答案】；【分析】（1）由题意可得m＝3，则可得y＝3f（x）的解析式，求解3f（x）≥2，即可得答案．（2）先分析有效治疗末端时间点，由此列出满足再服用m个单位药剂后，接下来2个小时能㫃持续有效的不等式，利用恒成立求得m的范围，即可得答案．【解答】解：（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则m＝3，所以当0≤x＜6时，，当6≤x≤8时，令，解得，当6≤x≤8时，令，解得，所以若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，则m＝2，所以，此时，所以治疗时间末端为第6小时结束，因为在治疗时间末端再服用m个单位药剂，所以6≤x≤8，所以，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，设，为开口向上，对称轴为x＝4的抛物线，所以g（x）在[6，8]上单调递增，所以，故，所以m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有②③.（填上正确选项序号即可）【答案】②③．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，根据三角函数图像和图像的变换即可求解．【解答】解：①y＝cos2x＝cos2x+，其可由y＝cos2x先纵坐标缩小一半，再向上平移得到，二者不是同形函数，故①错误；②y＝2sin x cos x＝sin2x＝cos（2x﹣），可由y＝cos2x向右平移个单位得到，故②正确；③y＝sin4x﹣cos4x＝（sin2x2）（sin2x﹣cos2x）＝sin2x+cos2x＝﹣cos2x＝cos（2x+π），可由y＝cos2x向左平移个单位得到，故③正确；④y＝sin2x•tan x＝2sin x cos x•＝2sin2x＝1﹣cos2x＝cos（2x+π）+1，因为y＝sin2x•tan x的定义域不是R，而cos2x的定义域是R，所以不可能平移得到．故④错误；综上所述，②③正确．故答案为：②③．三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝﹣；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．【答案】（Ⅰ）（1）；（2）﹣；（Ⅱ）（1）[﹣1，4]；（2）当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．【分析】（Ⅰ）（1）根据对数定义计算即可；（2）根据诱导公式计算即可；（∐）（1）根据一元二次不等式运算即可；（2）根据一元二次不等式解法对a进行讨论运算即可．【解答】解：（Ⅰ）（1）log93＝；（2）＝﹣cos＝﹣；（Ⅱ）（1）一元二次方程x2﹣3x﹣4的解为﹣1，4，结合二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图像可得一元二次不等式x2﹣3x﹣4≤0的解集为[﹣1，4]；（2）关于x的不等式x2≥ax即为x（x﹣a）≥0，当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）1．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而根据两角和的正切公式即可求解的值．（Ⅱ）由题意利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα，所以tanα＝﹣2，所以＝＝＝﹣．（Ⅱ）因为α为第二象限角，所以∈（kπ+，kπ+），k∈Z，是第一或第三象限角，所以＝﹣＝＝＝＝＝1．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．【答案】（I）a＝2；（II）a＝或a＝．【分析】（I）由已知f（2）＝2（II）结合对数函数的单调性对a进行分类讨论，结合对数的运算性质可求．【解答】解：（I）因为f（2）＝log a（2+a）＝2，所以a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2或a＝﹣1（舍），（II）当a＞1时，f（x）在[1，3]上单调递增，由题意得，，解得，a＝，当0＜a＜1时，f（x）在[1，3]上单调递减，由题意得，，解得，a＝，综上，a＝或a＝．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．【答案】（Ⅰ）2．（Ⅱ）最大值为2+，最小值为0．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行转化求解即可．（Ⅱ）求出角的范围，根据三角函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝4（sin x+cos x）cos x＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+（1+cos2x）＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，则＝2sin（2×+）+＝2sin+＝2×＝2．（Ⅱ）当x∈时，2x∈[0，π]，2x+∈[，]，则sin（2x+）∈[sin，sin]，即sin（2x+）∈[﹣，1]，则2sin（2x+）∈[﹣，2]，2sin（2x+）+∈[0，2+]，即f（x）的最大值为2+，最小值为0．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）【答案】（I）a＝1，b＝﹣1；（II）1．【分析】（1）把已知点的坐标直接代入即可求解a，b；（II），由题意可得相应方程只有一个解，然后结合二次方程根的存在条件可得m，k的关系，再结合二次函数的性质可求．【解答】解：（I）由题意得，，解得，a＝1，b＝﹣1；（II）由题意得，T（﹣，0），k≠0，由x﹣＝kx+m只有一个解，即（k﹣1）x2+mx+1＝0只有一个解，因为k≠1，所以Δ＝m2﹣4（k﹣1）＝0，所以|OT|2＝＝＝﹣4（）＝﹣4[（）2﹣，根据二次函数的性质得，当k＝2时，上式取得最大值1，此时|OT|取得最大值1．21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．【答案】（I）；（II）；（III）．【分析】（I）（II）根据定义和条件得到不等式组，求解即得；（III）先找一特例，使得，然后证明不可能更大即可．【解答】解：（I），，；（II）若，∴，或，解得或，即实数b的所有可能取值构成的集合；（III）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，当时，，所以．若存在X＝{x1，x2，…，x n}∈Ωn，使得，则，∴，∴，∴，矛盾．所以L的最小值．。
北京市海淀区清华大学附属中学2023届高一数学第一学期期末复习检测试题含解析
16．已知定义在 上的函数
是奇函数
（1）求实数 ， 的值； （2）判断函数 的单调性；
（3）若对任意的
，不等式
有解，求实数 的取值范围
17．已知
且
，求使不等式
恒成立的实数 m 的取值范围
18．如图，四边形 ABCD中， AB AD ， AD∥BC ， AD 6 ， BC 2AB 4 ， E 、 F 分别在 BC 、 AD 上， EF∥AB ，现将四边形 ABCD沿 EF 折起，使平面 ABEF 平面 EFDC （1）若 BE 1，是否存在折叠后的线段 AD 上存在一点 P ，且 AP PD ，使得 CP 平面 ABEF ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 （ 2 ）求三棱锥 A CDF 的体积的最大值，并求此时点 F 到平面 ACD 的距离
D. (1 ， 3 ) 22
二、填空题（本大题共 5 小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．若
f
x
sin
x
3
1 2
0 在
,
3 2
内无零点，则
的取值范围为___________.
12．已知函数
f
x
a
1 2
x
b 的图象过原点，则 a
b
___________
13．两个球的体积之比为 8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．
必要不充分条件；
④被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮假设“天津之眼”旋转一周需 30 分钟，
且是匀速转动的，则经过 5 分钟，转过的角的弧度 3
A.1
B.2
C.3
D.4
3．在空间给出下面四个命题（其中 m 、 n 为不同的两条直线）， 、 为不同的两个平面）
2022-2023学年北京市清华大学附属中学高一上学期数学期末试卷含逐题详解
高一第一学期期末试卷数学（清华附中高22级）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{}{}|1,|21x A x x B x =≤=≥，则A B ⋂等于（）A.{|0}x x ≤B.{|1}x x ≤ C.{|0}x x ≥ D.{|01}x x ≤≤2.若点(1,2)P -在角α的终边上，则sin α=（）A.2- B.12-C.5-D.3.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.64.为了得到函数sin(2)4y x π=+的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度C.向左平移8π个单位长度 D.向右平移8π个单位长度5.已知0.50.2lg12,log 5,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c>> B.c b a>> C.a c b>> D.b a c >>6.下列函数中，以2π为最小正周期，且在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A.sin 2y x= B.πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.tan 2y x=7.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)8.若函数()cos(3)f x x ϕ=+是奇函数，使得|()|f x 取到最大值时的一个x 值为（）A .π6-B.0C.π4D.π39.已知实数,αβ，则“(21)π,Z k k αβ=+-∈”是“cos cos αβ=-”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.已知函数()*()sin cos N nnf x x x n =+∈，则下列说法正确的是（）①1n =时，()f x ；②2n =时，方程()2sin |sin |f x x x =+在[0,2π]上有且只有三个不等实根；③3n =时，()f x 为奇函数；④4n =时，()f x 的最小正周期为π2A.①②B.①③C.②④D.①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知1sin 3θ=，则sin(π)θ+=___________．13.已知函数()a f x x =经过点(9,3)，则不等式()211f x x -+<的解集为___________．14.设函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________．15.已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，给出下列四个结论：①若(2)1f =，则12a =或2；②若0m n <<，且()()f m f n =，则1mn =；③不存在正数k ，使得()()1g x f x kx =--恰有1个零点；④存在实数1a >，使得()()x g x f x a =-恰有3个零点．其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知二次函数2()1f x x x m =-+，其中0m >．（1）若()f x 的最小值为0，求m 的值；（2）若()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：()2121284x x x x -+>+．17.已知函数π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1)，相邻的两个对称中心之间的距离为π2.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 单调递增区间和对称中心．18.已知函数2()21x x f x a a =--，其中0a >且1a ≠．（1）已知()f x 的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；（2）若2a =，求()f x 的最小值；（3）若()f x 在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值．19.已知函数22π()2sin 4f x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭．（1）求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭，并求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求相应的x 值．20.如图，在函数2()log f x x =图像任取三点(,()),(,()),(,())A a f a B b f b C c f c ，满足1a ≥，2b a =+，2c b =+，分别过A 、B 、C 三点作x 轴垂线交x 轴于D 、E 、F．（1）当2a =时，求梯形ADEB 的周长；（2）用a 表示ABC 的面积S ，并求S 的最大值．21.已知整数,3m n ≥，集合(){}12,,,{0,1},1,2,,n niX x x x x i n =∈= ∣，对于nX 中的任意两个元素()12,,,n A a a a = ，()12,,,n B b b b = ，定义A 与B 之间的距离为1(,)ni i i d A B a b ==-∑．若12,,,m n A A A X ∈ 且()()()12231,,,m m d A A d A A d A A -=== ，则称是12,,,m A A A 是n X 中的一个等距序列．（1）若1234(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,1)A A A A ====，判断1234,,,A A A A 是否是4X 中的一个等距序列？（2）设A ，B ，C 是3X 中的等距序列，求证：(,)d A C 为偶数；（3）设12,,,m A A A 是6X 中的等距序列，且161(1,1,,1)A = 个，60(0,0,,0)m A = 个，()12,5d A A =．求m 的最小值．高一第一学期期末试卷数学（清华附中高22级）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{}{}|1,|21x A x x B x =≤=≥，则A B ⋂等于（）A.{|0}x x ≤B.{|1}x x ≤ C.{|0}x x ≥ D.{|01}x x ≤≤【答案】D【分析】首先解指数不等式得到{}|0B x x =≥，再求A B ⋂即可.【详解】{}{}|21|0xB x x x =≥=≥，{}|1A x x =≤，则{}|01A B x x =≤≤ .故选：D2.若点(1,2)P -在角α的终边上，则sin α=（）A.2-B.12-C.5-D.【答案】C【分析】根据三角函数的概念求解即可得到答案.【详解】O 点为坐标原点，OP ==根据三角函数的概念可得，225sin5OP α-===-.故选：C.3.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.6【答案】B【分析】由对数的运算法则化简即可求得.【详解】由对数运算法则化简得23333333362log 6log 4log 36log 4log log 9log 324-=-====故选：B4.为了得到函数sin(2)4y x π=+的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度C.向左平移8π个单位长度 D.向右平移8π个单位长度【答案】C【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.【详解】因为sin(2)sin[2(48y x x ππ=+=+，所以由函数sin 2y x =的图象向左平移8π个单位长度可以得到函数sin(24y x π=+的图象，故选：C5.已知0.50.2lg12,log 5,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】C【分析】根据题意得到1a >，0b <，01c <<，即可得到答案.【详解】1lg12lg 01a =>=，即1a >.0.20.2log 5log 10b =<=，即0b <.00.544-<<0，即01c <<.所以a c b >>.故选：C6.下列函数中，以2π为最小正周期，且在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A.sin 2y x =B.πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.tan 2y x=【答案】B【分析】逐项分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可得出结论.【详解】对于A 选项，函数sin 2y x =的最小正周期为2ππ2=，故A 错误；对于B 选项，函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ,044x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因为sin y x =在π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C 选项，函数πcos 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为2π，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,442⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭x ，因为cos y x =在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以πcos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对于D 选项，函数tan 2y x =的最小正周期为π2，故D 错误.故选：B.7.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处的函数值，根据零点存在定理即可判断答案.【详解】因为函数2x y =在()-∞+∞，上单调递增，函数4y x =-在()-∞+∞，上单调递增，函数()24x f x x =+-在()-∞+∞，上单调递增，因为()()()()11250,0140,1=230,220,(3)70f f f f f --=-<=-<-<=>=>，所以()()120f f <，函数零点在区间(1,2)内，故选：C.8.若函数()cos(3)f x x ϕ=+是奇函数，使得|()|f x 取到最大值时的一个x 值为（）A.π6-B.0C.π4D.π3【答案】A【分析】根据三角函数的奇偶性求出ϕ,再根据对称轴使得|()|f x 取到最大值,计算即可.【详解】若函数()cos(3)f x x ϕ=+是奇函数,所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.所以π()cos(3π)sin32f x x k x =++=,当|()|f x 取到最大值时,()sin31,sin31f x x x ===±,即π3π,Z 2x k k =+∈,可得ππ,Z 63k x k =+∈，当1k =-时,π6x =-.故选:A .9.已知实数,αβ，则“(21)π,Z k k αβ=+-∈”是“cos cos αβ=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据诱导公式，结合充分性、必要性、余弦型函数的性质进行求解即可.【详解】当(21)π,Z k k αβ=+-∈时，[]()(21)πcos cos cos πcos k αβββ+-==-=-，当cos cos αβ=-时，()()()cos cos cos π2ππZ k k αββαβ=-=-⇒=±-∈，(21)π(Z)k k αβ⇒=+-∈，或(21)π(Z)k k αβ=-+∈，所以“(21)π,Z k k αβ=+-∈”是“cos cos αβ=-”的充分不必要条件，故选：A10.已知函数()*()sin cos Nnnf x x x n =+∈，则下列说法正确的是（）①1n =时，()f x ；②2n =时，方程()2sin |sin |f x x x =+在[0,2π]上有且只有三个不等实根；③3n =时，()f x 为奇函数；④4n =时，()f x 的最小正周期为π2A.①②B.①③C.②④D.①④【答案】D【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函数性质化简不等式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命题③，根据三角恒等变换及余弦型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项.【详解】因为()*()sin cos Nnnf x x x n =+∈，所以当1n =时，π()sin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 的，命题①为真命题；当2n =时，22()sin cos 1f x x x =+=，方程()2sin |sin |f x x x =+可化为2sin |sin |1x x +=，当0πx ≤≤时，3sin 1x =，故1sin 3x =，由正弦函数性质可得方程1sin 3x =在[]0,π上有两个解，当π2πx <≤时，原方程可化为sin 1x =，方程sin 1x =在(]0,2π上无解，所以方程()2sin |sin |f x x x =+在[0,2π]上有且只有两个不等实根；命题②为假命题；当3n =时，33()sin cos f x x x =+，33πππ2sin cos 4442f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f f ⎛⎫⎛⎫≠-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 不为奇函数，命题③为假命题；当4n =时，44()sin cos f x x x =+2212sin cos x x =-211sin 22x =-31cos 444x =+，所以()f x 的最小正周期为π2，命题④正确；故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知1sin 3θ=，则sin(π)θ+=___________．【答案】13-【分析】直接运用正弦的诱导公式进行求解即可.【详解】1sin(π)sin 3θθ+=-=-，故答案为：13-13.已知函数()a f x x =经过点(9,3)，则不等式()211f x x -+<的解集为___________．【答案】{01}xx <<∣【分析】首先代入求出12a =，则()()211f x x f -+<，利用函数单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】由题意得93a =，解得12a =，故12()f x x =，则()211f x x -+<即为()()211f x x f -+<，根据12()f x x =在[)0,∞+上为单调增函数，则有2011x x ≤-+<，解得01x <<，故解集为{}1|0x x <<，故答案为：{}1|0x x <<.14.设函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________．【答案】1【分析】由条件确定当π3x =时，函数取得最大值，代入即可求ω的集合，从而得到ω的最小值.【详解】由条件π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，可知，π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的最大值，当π3x =时，πππ2π362k ω⋅+=+，Z k ∈，解得：61,Z k k ω=+∈，0ω>，所以当k =0时，ω取最小值为1.故答案为：115.已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，给出下列四个结论：①若(2)1f =，则12a =或2；②若0m n <<，且()()f m f n =，则1mn =；③不存在正数k ，使得()()1g x f x kx =--恰有1个零点；④存在实数1a >，使得()()x g x f x a =-恰有3个零点．其中，所有正确结论的序号是___________．【答案】①②【分析】对于①，解log 21a =即可判断；对于②，由对数函数的图象与性质可得log log a a m n -=，由对数的运算可判断；对于③，分01x <<与1x >讨论，结合对数函数的图象即可判断；对于④，根据指对数的图象即可判断.【详解】对于①，若(2)1f =，则log 21a =，解得12a =或2，故①正确；对于②，若0m n <<，且()()f m f n =，则log log a a m n -=，则()log log log 0a a a n m mn +==，解得1mn =，故②正确；对于③，当01x <<，易知1y kx =+与()y f x =的图象有一个交点，当k →+∞时，1y kx =+与()y f x =的图象在()1,+∞上没有交点，此时()()1g x f x kx =--恰有1个零点，故③错误；对于④，当1a >时，log ,01()log log ,1a a a x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩，易知x y a =与()y f x =的图象在()0,1上有一个交点，因为x y a =与()log a f x x =的图象关于y x =对称，且没有交点，故()()x g x f x a =-恰有1个零点，故④错误.故答案为:①②.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知二次函数2()1f x x x m =-+，其中0m >．（1）若()f x 的最小值为0，求m 的值；（2）若()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：()2121284x x x x -+>+．【答案】（1）2m =（2）证明见解析【分析】（1）根据二次函数的性质即可得到()2min104m f x =-=，再解方程即可.（2）首先根据题意得到()2121284x x m x x m-+=++，再利用基本不等式的性质求解即可.【小问1详解】222()1124m f x x m x m x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，因为()2min104m f x =-=，0m >，解得2m =.【小问2详解】因为()f x 有两个不同的零点12,x x ，所以240m ->，又因为0m >，所以m>2.因为12x x m +=，121=x x ，所以()()2221212121212848444x x x x x x m m x x x x m m-++-+===+≥+++，当且仅当4m m=，即2m =时等号成立，因为m>2，所以()2121284x x x x -+>+，即证.17.已知函数π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1)，相邻的两个对称中心之间的距离为π2.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 单调递增区间和对称中心．【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）()f x 的增区间为(),,36k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，对称中心为(),0,Z 122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数所过点，建立方程，结合周期的性质以及公式，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的单调性以及对称性，可得答案.【小问1详解】由函数π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1)，()02sin 1f ϕ==，则1sin 2ϕ=，由02πϕ<<，则6πϕ=，由相邻的两个对称中心之间的距离为π2，则函数()f x 的周期222T πππω=⨯==，解得2ω=，故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()222,262k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，解得(),36k x k k ππππ-+<<+∈Z ，则函数()f x 的增区间为(),,36k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ；令()2,6x k k ππ+=∈Z ，解得(),Z 122k x k ππ=-+∈，则函数()f x 的对称中心为(),0,Z 122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.18.已知函数2()21x x f x a a =--，其中0a >且1a ≠．（1）已知()f x 的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；（2）若2a =，求()f x 的最小值；（3）若()f x 在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值．【答案】（1）()0,2-；（2）2-；（3）3.【分析】（1）求出()0f 即可得出结果；（2）由已知2()2221x x f x =-⨯-，令2x t =，0t >，可得()()212f t t =--，即可求出最小值；（3）令x u a =，则2()21f u u u =--.分类讨论当01a <<以及1a >时，根据指数函数的单调性求出x u a =在[0,1]上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出a 的值．【小问1详解】因为()000212f a a =-⨯-=-，所以定点坐标为()0,2-.【小问2详解】当2a =时，2()2221x x f x =-⨯-.令2x t =，0t >.则()()222112f t t t t =--=--，当1t =，即0x =时，函数()f x 有最小值2-.【小问3详解】令x u a =，则2()21f u u u =--.①当01a <<时，可知x u a =在[0,1]上单调递减，所以1a u ≤≤.又根据二次函数的性质可知，当1a u ≤≤时，2()21f u u u =--单调递减，所以2()21f u u u =--在u a =处取得最大值2()21f a a a =--.由已知可得，2212a a --=，解得1a =-或3a =.因为01a <<，所以两个数值均不满足；②当1a >时，可知x u a =在[0,1]上单调递增，所以1u a ≤≤.又根据二次函数的性质可知，当1u a ≤≤时，2()21f u u u =--单调递增，所以2()21f u u u =--在u a =处取得最大值2()21f a a a =--.由已知可得，2212a a --=，解得3a =或1a =-（舍去），所以3a =.综上所述，3a =.19.已知函数22π()2sin 4f x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭．（1）求π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求相应的x 值．【答案】（1）π04f ⎛⎫=⎪⎝⎭，πT =（2）π12x =时，()max 1f x =；5π12x =时，()min 2f x =-.【分析】(1)将函数化简为正弦型函数即可求解；(2)整体替换法先计算区间内是否含有极值，若有则为最值，若无则最值在端点处取得.【小问1详解】22π()2sin4f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ππcos 221sin 2212sin 2123x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 212cos 104433f ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π2ππ2T ω===.【小问2详解】由(1)知()π2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令ππ22π,32x k +=+得ππ,Z 12x k k =+∈,当0k =时，，()max πππ2sin 21112123f x f ⎛⎫⎛⎫==⨯+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ22π,32x k +=-+得5ππ,Z 12x k k =-+∈,与区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦无交集，又π2sin 0116f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，5π7π2sin 121126f ⎛⎫⎛⎫∴=-=-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()min 5π212f x f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭故π12x =时，()max 1f x =；5π12x =时，()min 2f x =-.20.如图，在函数2()log f x x =图像任取三点(,()),(,()),(,())A a f a B b f b C c f c ，满足1a ≥，2b a =+，2c b =+，分别过A 、B 、C 三点作x 轴垂线交x 轴于D 、E 、F．（1）当2a =时，求梯形ADEB 的周长；（2）用a 表示ABC 的面积S ，并求S 的最大值．【答案】（1）5+；（2）答案见解析.【分析】对于（1），由题可得12，AD BE DE ===，AB =，据此可得答案；对于（2），设AC 与BE 交点为P ，则S 12BP DF =⋅，据此可得答案.【小问1详解】由题可得，221log AD ==，2242，log DE BE ===.AB ==，则梯形ADEB 的周长为5+【小问2详解】设AC 与BE 交点为P ，则S 12BP DF =⋅.又()224log ，log AD a CF a ==+，且AD BE CF ∥∥，E 为DF 中点，则由梯形中位线定理得()222142log log log PE a a ⎡⎤=++=⎣⎦1a =，PE 变为三角形中位线，结论不变.），则()2222log log log BP BE PE a ⎛⎫=-=+-=则S 22222144421244log log a a BP DF BP a a a a ⎛⎫⎛⎫++=⋅===+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，其中1a ≥.因()22424a a a +=+-，则函数24y a a =+在[)1,+∞上单调递增，得当1a ≥时，2224449450115544a a a a a a+≥⇒<≤⇒<+≤++.当且仅当1a =时取等号.又函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，则22249154log log a a ⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a =时取等号.即ABC 的面积22414log S a a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，其中1a ≥；当且仅当1a =时，ABC 的面积有最大值295log ⎛⎫⎪⎝⎭.21.已知整数,3m n ≥，集合(){}12,,,{0,1},1,2,,n n iX x x x x i n =∈= ∣，对于n X 中的任意两个元素()12,,,n A a a a = ，()12,,,n B b b b = ，定义A 与B 之间的距离为1(,)n i i i d A B a b ==-∑．若12,,,m n A A A X ∈ 且()()()12231,,,m m d A A d A A d A A -=== ，则称是12,,,m A A A 是n X 中的一个等距序列．（1）若1234(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,1)A A A A ====，判断1234,,,A A A A 是否是4X 中的一个等距序列？（2）设A ，B ，C 是3X 中的等距序列，求证：(,)d A C 为偶数；（3）设12,,,m A A A 是6X 中的等距序列，且161(1,1,,1)A = 个，60(0,0,,0)m A = 个，()12,5d A A =．求m 的最小值．【答案】（1）1234,,,A A A A 不是4X 中的一个等距序列（2）见解析（3）7【分析】（1）算出()12,d A A 与()23,d A A 验证不相等；（2）()(),,d A B d B C =结果为0,1,2,3来讨论；（3）分析从1变成0经过变换次数的规律，根据()12,5d A A =知道每次需要变换几个对应坐标.【小问1详解】()4121,110100001i i i d A A a b ==-=-+-+-+-=∑ ()4231,101101002i i i d A A a b ==-=-+-+-+-=∑ ()()1223,,d A A d A A ∴≠所以1234,,,A A A A 不是4X 中的一个等距序列【小问2详解】设()()()123123123,,,,,,A a a a B b b b C c c c ===把123123123,,a a a b b b c c c 分别称作()()()123123123,,,,,,A a a a B b b b C c c c ===的第一个，第二个，第三个坐标，若(){},,0,1,2,3d A B x x =∈则,A B 中有x 个对应坐标不相同，例如当(),1d A B =时，说明,A B 中有1个对应坐标不相同，其中()()1,1,0,1,1,1A B ==就是符合(),1d A B =的一种情况.①当()(),,0d A B d B C ==得A B C ==，所以(),0d A C =是偶数②当()(),,1d A B d B C ==，则,A B 中有1个对应坐标不相同，并且,B C 中有1个对应坐标不相同，所以,A C 中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A C =则(),0d A C =，当有2个对应坐标不相同时，(),2d A C =，都满足(),d A C 为偶数.③当()(),,2d A B d B C ==则,A B 中有2个对应坐标不相同，并且,B C 中有2个对应坐标不相同，所以,A C 中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A C =则(),0d A C =，当有2个对应坐标不相同时，(),2d A C =，都满足(),d A C 为偶数.④当()(),,3d A B d B C ==则,A B 中有3个对应坐标不相同，并且,B C 中有3个对应坐标不相同，所以,A C 中有0个对应坐标不相同，即A C =则(),0d A C =，满足(),d A C 为偶数.综上：A ，B ，C 是3X 中的等距序列，则(,)d A C 为偶数【小问3详解】根据第二问可得()12,5d A A =，则说明12,A A 中有5个对应坐标不相同由i A 变换到1i A +需改变5个坐标，保留1个不变，又因为从1变成0经过奇数次变化，所以从161(1,1,,1)A = 个变到60(0,0,,0)m A = 个至少经过6次变换，每个坐标变换5次，故m 的最小值为7.。
北京市清华附中2021-2021学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析
北京市清华附中2017-2018学年第一学期高一期末数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.下列各角中，与50°的角终边相同的角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】写出与50°的角终边相同的角的集合，取k＝﹣1得答案．【详解】与50°的角终边相同的角的集合为{α|α＝50°+k•360°，k∈Z}．取k＝﹣1，可得α＝﹣310°．∴与50°的角终边相同的角是﹣310°．故选：D．【点睛】本题考查终边相同角的概念，是基础题．2.设向量，则的夹角等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，∴，∴的夹角等于，故选A考点：本题考查了数量积的坐标运算点评：熟练运用数量积的概念及坐标运算求解夹角问题是解决此类问题的关键，属基础题3.已知角α的终边经过点P（4，-3），则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简求出值．【详解】∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴p到原点的距离为5∴sinα，cosα∴故选：C．【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题.4.为了得到函数y=cos（2x-）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由条件利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．【详解】函数cos2（x），故把函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：B．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.已知非零向量与满足=且，则△ABC为（）A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】根据得出B＝C，得出A，由此判断△ABC是等边三角形．【详解】△ABC中，，∴，∴cos，cos，，∴B＝C，△ABC是等腰三角形；又，∴1×1×cos A，∴cos A，A，∴△ABC是等边三角形．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形形状的判断问题，是基础题．6.同时具有性质“①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在[，]上是增函数”的一个函数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的图象与性质，判断满足条件的函数即可．【详解】“①最小正周期是π，可得ω＝2，排除选项A；②图象关于直线x对称，可得：2，cos，排除选项B，2，cos，排除选项D；对于C，函数y＝sin（2x），最小正周期为π，且2，sin1，函数图象关于x对称；x∈[，]时，2x∈[，]，∴y＝sin（2x）是单调增函数，C满足条件．故选：C．【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.7.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A. fB. fC. fD. f【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析可得f（﹣x）＝f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，据此分析可得f（x）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sinα＞cosβ，从而根据f（x）在（0，1）上是增函数即可得出f（sinα）＞f（cosβ），即可得答案．【详解】根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则有f（﹣x）＝f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则α+β，则有αβ，则有sinα＞sin（β）＝cosβ，又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则f（sinα）＞f（cosβ）；故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性．8.若定义[-2018，2018]上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[-2018，2018]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2017，且当x＞0时，有f（x）＞2017，设f（x）的最大值、最小值分别为M，m，则M+m的值为（）A. 0B. 2018C. 4034D. 4036【答案】C【解析】【分析】计算f（0）＝2017，构造函数g（x）＝f（x）﹣2017，判断g（x）的奇偶性得出结论．【详解】令x1＝x2＝0得f（0）＝2f（0）﹣2017，∴f（0）＝2017，令x1＝﹣x2得f（0）＝f（﹣x2）+f（x2）﹣2017＝2017，∴f（﹣x2）+f（x2）＝4034，令g（x）＝f（x）﹣2017，则g max（x）＝M﹣2017，g min（x）＝m﹣2017，∵g（﹣x）+g（x）＝f（﹣x）+f（x）﹣4034＝0，∴g（x）是奇函数，∴g max（x）+g min（x）＝0，即M﹣2017+m﹣2017＝0，∴M+m＝4034．故选：C．【点睛】本题考查了奇偶性的判断与性质，考查函数的最值求法，注意运用赋值法，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若θ为第四象限的角，且，则cosθ=______；sin2θ=______．【答案】(1). (2). -【解析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．【详解】∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ，sin2θ＝2sinθcosθ＝2×（）．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则△ABC的面积为______．【答案】【解析】【分析】利用三角形的内角和解出B，使用余弦定理解出c，代入三角形的面积公式计算．【详解】∵A+C＝2B，A+B+C＝π，∴B，由余弦定理得cos B，解得c＝2或c＝﹣1（舍）．∴S△ABC sin B．故答案为：．【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题．11.已知tanx=2，则cos2x+sin（π+x）cos（+x）=______【答案】【解析】【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得cos2x+sin（π+x）cos（x）的值．【详解】∵tan x＝2，则cos2x+sin（π+x）cos（x）＝cos2x﹣sin x•（﹣sin x），故答案为：．【点睛】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.已知α∈（0，π）且sin（α+）=，则cos（α+）=______；sinα=______【答案】(1). (2).【解析】【分析】直接利用同角三角函数基本关系式求cos（α）；再由sinα＝sin[（）]，展开两角差的正弦求解．【详解】∵α∈（0，π），∴α∈（），又sin（α），∴cos（α）；则sinα＝sin[（）]＝sin（）cos cos（）sin．故答案为：；．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13.如图，在直角梯形中，，若分别是线段和上的动点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】以AB为x轴，BC为y轴建立直角坐标系，则A(-3,0),C(0,2),设F(0,m)，E(n，2)故=2m-3n-4，由图可知：，所以2m-3n-4点睛：对于向量问题，最容易解答的办法就是将问题的点转化为坐标求解写表达式，然后再根据题意范围求解结果14.已知函数f（x）=2sin2x-2sin2x-a．①若f（x）=0在x∈R上有解，则a的取值范围是______；②若x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，则sin（x1+x2）=______【答案】(1). [，](2).【解析】【分析】①利用三角函数的公式化简，f（x）＝0在x∈R上有解，转化为两个函数图象有交点问题即可求解；②x1，x2是函数y＝f（x）在[0，]内的两个零点，即么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．即可求解【详解】f（x）＝2sin2x﹣2sin2x﹣a＝2sin2x﹣（1﹣cos2x）﹣a＝2sin2x+cos2x﹣1﹣a1﹣a．其中tanθ①f（x）＝0在x∈R上有解，则sin（2x+θ）＝a+1有解，∵∴a+1．则a的取值范围是[，]，故答案为：[，]②∵x1，x2是函数y＝f（x）在[0，]内的两个零点，那么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．由f（x）1﹣a．其中tanθ其对称轴2x+θkπ，k∈Z．x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．又[0，]，且tanθ∴对称轴x∴x1+x2．则sin（x1+x2）＝sin（）＝cosθ．∵tanθ，即，∴cosθ，则sin（x1+x2）．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，同角三角函数间的基本关系式，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=4sinxcos（x+）+1．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的最小正周期；（3）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）；（3）最小值为-1，最大值为2.【解析】【分析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简为f（x）＝2sin（2x），即可计算；（2）根据周期公式求解即可；（3）由x在[0，]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．【详解】函数f（x）=4sinx（cosxcos-sinxsin）+1，=2sinxcosx-2sin2x+1，=sin2x+cos2x，=2sin（2x+），（1）f（）=2sin（+）=2sin=（2）周期T=；（3）由x在[0，]上，∴2x+∈[，]，当2x+=，即x=，f（x）取得最小值为-1；当2x+=，即x=，f（x）取得最大值为2．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的性质，属于中档题16.已知不共线向量，满足．（1）求；（2）是否存在实数λ，使与共线？（3）若，求实数k的值．【答案】（1）；（2）；（3）k=.【解析】【分析】（1）直接利用向量的数量积的应用求出结果；（2）利用向量的共线求出λ的值；（3）利用向量垂直的充要条件求出结果．【详解】（1）不共线向量，满足||=3，||=5，（ -3）•（2+）=20．所以：，解得：，所以：•（-）=．（2）存在实数使λ+与（-2）共线由于：λ+与（-2）共线故：，所以：．（3）若（k2）⊥（k-2），则：，整理得：，∴k=.【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量垂直和共线的充要条件的应用．17.设锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且sinA-cosC=cos（A-B）．（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．【答案】（1）；（2）（，）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式，两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得sin B的值，可得B的值．（2）化简要求的式子sin（A），根据A∈（，），利用正弦函数的定义域和值域，求得cos A+sin C的取值范围．【详解】（1）设锐角三角形中，sinA-cosC=cos（A-B），即sinA+cos（A+B）=cos（A-B），即sinA+cosAcosB-sinAsinB=cosAcosB+sinAsinB，即sinA=2sinAsinB，,∴sinB=，锐角三角形中B=．（2）cosA+sinC=cosA+sin（π-A-B）=cosA+sin（-A）=cosA+sin（+A）=cosA+cosA+sinA=sin（A+）．∵B=，∴A∈（，），A+∈（，），∴sin（A+）∈（，），∴sin（A+）∈（，），即cosA+sinC的取值范围为（，）．【点睛】本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ）．（1）若，求的值；（2）若记f（θ）=，θ∈[0，]．当1≤λ≤2时，求f（θ）的最小值．【答案】（1）1 ；（2）--1.【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案；（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f（θ）＝2cos2（θ）﹣2λcos（θ）﹣1，令t＝cos（θ），根据二次函数的性质即可求出．【详解】（1）∵向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ），∴-=（cosθ-cosβ，sinθ-sinβ），∴|-|2=（cosθ-cosβ）2+（sinθ-sinβ）2=2-2cos（θ-β）=2-2cos=2-1=1，∴|-|=1；（2）•=cosθcosβ+sinθsinβ=cos（θ-β）=cos（2θ-），∴|+|==2|cos（θ-）|=2cos（θ-），∴f（θ）=cos（2θ-）-2λcos（θ-）=2cos2（θ-）-2λcos（θ-）-1令t=cos（θ-），则t∈[，1]，∴f（t）=2t2-2λt-1=2（t-）2--1，又1≤λ≤2，≤≤1，∴t=时，f（t）有最小值--1，∴f（θ）的最小值为--1．【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．19.借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数，例如要表示分段函数g（x）=总可以将g（x）表示为g（x）=xh （x-2）+（-x）h（2-x）．（1）设f（x）=（x2-2x+3）h（x-1）+（1-x2）h（1-x），请把函数f（x）写成分段函数的形式；（2）已知G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+log a x⋅h（x-1）是R上的减函数，求a的取值范围；（3）设F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），求函数F（x）的最小值．【答案】（1）f（x）=；（2）≤a＜；（3）当a≤-时，最小值为-a+；当a≥时，最小值为为a+；当-＜a＜时，最小值为F（a）=a2+1．【解析】【分析】（1）分当x＞1、当x＝1和当x＜1时3种情况加以讨论，分别根据函数的对应法则代入，可得f（x）相应范围内的表达式，最后综合可得函数f（x）写成分段函数的形式；（2）运用分段函数形式表示G（x），再由一次函数、对数函数的单调性，可得a的范围；（3）由题意，讨论x＞a，x＝a，x＜a，求得F（x）的解析式，再结合二次函数的图象与性质，分a、a和a的4种情况进行讨论，最后综合可得F（x）的最小值．【详解】（1）当x＞1时，x-1＞0，1-x＜0，可得f（x）=（x2-2x+3）+0•（1-x2）=x2-2x+3；当x=1时，f（x）=2；当x＜1时，x-1＜0，1-x＞0，可得f（x）=1-x2．即有f（x）=；（2）G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+log a x⋅h（x-1）=，由y=G（x）是R上的减函数，可得，解得≤a＜；（3）F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），当x＞a时，x-a＞0，可得F（x）=x2+x-a+1；若a≥-，可得F（x）在x＞a递增，可得F（x）＞F（a）=a2+1；若a＜-，可得F（x）的最小值为F（-）=-a；当x=a时，可得F（x）=2（a2+1）；当x＜a时，x-a＜0，a-x＞0，则F（x）=x2-x+a+1．若a≥，可得F（x）在x＜a的最小值为F（）=a+；若a＜，可得F（x）在x＜a递减，即有F（x）＞F（a）=a2+1．①当a≥时，F（x）在区间（-∞，-）上单调递减，在区间（-，a）上单调递增，在区间（a，+∞）上单调递增，可得F（-）为最小值，且为-+a+1=a+；②当-＜a＜时，F（x）在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增．F（x）的最小值为F（a）=a2+1；③当a≤-时，在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，-）上单调递减，在区间（-，+∞）上单调递增．所以F（x）的最小值为F（-）=-a+；综上所述，得当a≤-时，F（x）的最小值为-a+；当a≥时，F（x）的最小值为为a+；当-＜a＜时，F（x）的最小值为F（a）=a2+1．【点睛】本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性与最小值，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数解析式的求解及常用方法和单调性的综合等知识，属于难题．20.一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断f1（x）=x，f2（x）=log2（6+2sinx-cos2x）中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（2）若函数g（x）=lnx（x∈[M，+∞））是“保三角形函数”，求M的最小值；（3）若函数h（x）=sinx（x∈（0，A））是“保三角形函数”，求A的最大值．【答案】（1）见解析；（2）2 ；（3）.【解析】【分析】（1）不妨设a≤c，b≤c，由函数的值域，即可得到结论；（2）要利用“保三角形函数”的概念，求M的最小值，首先证明当M≥2时，函数h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函数，然后证明当0＜M＜2时，h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函数，从而求出所求；（3）A的最大值是，讨论①当A时；②当A时；结合新定义和三角函数的恒等变换，即可得到最大值．【详解】（1）不妨设a≤c，b≤c，由a+b＞c，可得f1（a）+f1（b）＞f1（c），即有f1（x）=x为“保三角形函数”；由6+2sinx-cos2x=sin2x+2sinx+5=（sinx+1）2+4∈[4，8]，可得f2（x）∈[2，3]，即有2+2＞3，可得f2（x）为“保三角形函数”；（2）M的最小值为2（i）首先证明当M≥2时，函数h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））是保三角形函数．对任意一个三角形三边长a，b，c∈[M，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，则h（a）＝lna，h（b）＝lnb，h（c）＝lnc．因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a﹣1）（b﹣1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，即lna+lnb＞lnc．同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长．故函数h（x）＝lnx（x∈[M，+∞），M≥2），是保三角形函数…13分（ii）其次证明当0＜M＜2时，h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函数，h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函数因为0＜M＜2，所以M+M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，而lnM+lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，所以h（x）＝lnx不是保三角形函数．所以，当M＜2时，h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函数．综上所述：M的最小值为2（3）A的最大值是．①当A＞时，取a==b，c=，显然这3个数属于区间（0，A），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h（x）=sinx，x∈（0，A）不是保三角形函数．②当A=时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，），若a+b+c≥2π，则a≥2π-b-c＞2π--=，即a＞，同理可得b＞，c＞，∴a、b、c∈（，），∴sina、sinb、sinc∈（，1]．由此可得sina+sinb＞+=1≥sinc，即sina +sinb＞sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．若a+b+c＜2π，则+＜π，当≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，∴0＜sin＜sin≤1．当＞时，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，∴0＜sin＜sin＜1．综上可得，0＜sin＜sin≤1．再由|a-b|＜c＜，以及y=cosx在（ 0，π）上是减函数，可得cos=cos＞cos＞cos＞0，∴sina+sinb=2sin cos＞2sin cos=sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．故当A=时，h（x）=sinx，x∈（0，A）是保三角形函数，故A的最大值为．【点睛】要想判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可，属于创新题．。
2022-2023学年北京市清华大学附中非马班高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市清华大学附中非马班高一（上）期末数学试卷1. 设集合A ={x|x ≤1}，B ={x|2x ≥1}，则A ∩B 等于( ) A. {x|x ≤0}B. {x|x ≤1}C. {x|x ≥0}D. {x|0≤x ≤1}2. 若点P(1,−2)在角α的终边上，则sinα=( ) A. −2B. −12 C. −2√55D. √55 3. 计算：2log 36−log 34=( ) A. 1B. 2C. 3D. 64. 要得到函数y =sin(2x +π4)，只需将函数y =sin2x 的图象( ) A. 向左平移π8个单位长度 B. 向右平移π8个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度 D. 向右平移π4个单位长度 5. 已知a =lg12，b =log 0.25，c =4−0.5，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. c >b >aC. a >c >bD. b >a >c6. 下列函数中，以2π为最小正周期，且在区间(0,π4)上单调递增的是( ) A. y =sin2xB. y =sin(x −π4) C. y =cos(x +π4) D. y =tan2x 7. 下列区间包含函数f(x)=2x +x −4零点的为( ) A. (−1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 8. 若函数f(x)=cos(3x +φ)是奇函数，使得|f(x)|取到最大值时的一个x 值为( )A. −π6B. 0C. π4D. π39. 已知实数α，β，则“α=(2k +1)π−β，k ∈Z ”是“cosα=−cosβ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 已知函数f(x)=sin n x +cos n x(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是( )①n =1时，f(x)的最大值为√2；②n =2时，方程f(x)=2sinx +|sinx|在[0,2π]上有且只有三个不等实根； ③n =3时，f(x)为奇函数； ④n =4时，f(x)的最小正周期为π2.A. ①②B. ①③C. ②④D. ①④11. 函数f(x)=lg(x −1)+3x−2的定义域是______. 12. 已知sinθ=13，则sin(π+θ)=______.13. 已知函数f(x)=x a 经过点(9,3)，则不等式f(x 2−x +1)<1的解集为______. 14. 设函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______.15. 已知f(x)=|log a x|(a >0,a ≠1)，给出下列四个结论：①若f(2)=1，则a =12则2；②若0<m <n ，且f(m)=f(n)，则mn =1；③不存在正数k ，使得g(x)=f(x)−kx −1恰有1个零点； ④存在实数a >1，使得g(x)=f(x)−a x 恰有3个零点． 其中，所有正确结论的序号是______.16. 已知二次函数f(x)=x 2−mx +1，其中m >0.(Ⅰ)若f(x)的最小值为0，求m 的值；(Ⅰ)若f(x)有两个不同的零点x 1，x 2，求证：(x 1−x 2)2+8x 1+x2>4.17. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,1)，相邻的两个对称中心之间的距离为π2. (Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅰ)求f(x)单调递增区间和对称中心．18. 已知函数f(x)=a 2x −2a x −1，其中a >0且a ≠1.(Ⅰ)已知f(x)的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (Ⅰ)若a =2，求f(x)的最小值；(Ⅰ)若f(x)在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值．19. 已知函数f(x)=−2sin 2(π4−x)+2√3cos 2x −√3.(Ⅰ)求f(π4)，并求f(x)的最小正周期；(Ⅰ)求f(x)在区间[−π6,5π12]上的最大值和最小值，并求相应的x 值．20. 如图，在函数f(x)=log 2x 图象任取三点A(a,f(a))，B(b,f(b))，C(c,f(c))，满足a ≥1，b =a +2，c =b +2，分别过A 、B 、C 三点作x 轴垂线交x 轴于D 、E 、F. (Ⅰ)当a =2时，求梯形ADEB 的周长； (Ⅰ)用a 表示△ABC 的面积S ，并求S 的最大值．21. 已知整数m ，n ≥3，集合X n ={(x 1,x 2,⋯,x n )|x i ∈{0,1},i =1,2,⋯,n}，对于X n 中的任意两个元素A =(a 1,a 2,⋯,a n )，B =(b 1,b 2,⋯,b n )，定义A 与B 之间的距离为d(A,B)=∑|n i=1a i −b i |.若A 1，A 2，⋯，A n ∈X n 且d(A 1,A 2)=d(A 2,A 3)=⋯=d(A m−1,A n )，则称A 1，A 2，⋯，A m 是X n 中的一个等距序列．(Ⅰ)若A 1=(1,0,0,0)，A 2=(1,1,0,0)，A 3=(0,1,1,0)，A 4=(0,1,1,1)，判断A 1，A 2，A 3，A 4是否是X 4中的一个等距序列？(Ⅰ)设A ，B ，C 是X 3中的等距序列，求证：d(A,C)为偶数；(Ⅰ)设A 1，A 2，⋯，A m 是X 6中的等距序列，且A 1=(1,1,⋯,1)6个1，A m =(0,0,⋯,0)6个0，d(A 1,A 2)=5.求m 的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A ={x|x ≤1}，B ={x|2x ≥1}={x|x ≥0}， 则A ∩B ={x|0≤x ≤1}. 故选：D.根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：若点P(1,−2)在角α的终边上， 则sinα=√1+(−2)=−2√55. 故选：C.由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．本题考查了任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：2log 36−log 34=log 336−log 34=log 3364=log 39=2. 故选：B.根据对数的运算性质即可求出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：y =sin(2x +π4)=sin[2(x +π8)]，所以要得到函数y =sin(2x +π4)，只需将函数y =sin2x 的图象向左平移π8个单位长度． 故选：A.根据函数图象“左加右减”的平移法则，得解．本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的平移变换是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为a =lg12>lg10=1， b =log 0.25<log 0.21=0， 0<4−0.5<40=1，即0<c <1， 所以b <c <a. 故选：C.由对数函数与指数函数的性质即可得解．本题主要考查对数值大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：y =sin2x ，它的最小正周期为T =2π2=π，故A 不满足条件； y =sin(x −π4)，它的最小正周期为T =2π1=2π，若x ∈(0,π4)，可得x −π4∈(−π4,0)，则y =sin(x −π4)在区间(0,π4)上单调递增，故B 满足条件； y =cos(x +π4)的最小正周期为T =2π1=2π，若x ∈(0,π4)，可得x +π4∈(π4,π2)，则y =cos(x +π4)在区间(0,π4)上单调递减，故C 不满足条件； y =tan2x 的最小正周期为T =π2，故D 不满足条件， 故选：B.由题意利用三角函数周期公式，三角函数的周期性，对各个选项做出判断，从而得出结论． 本题主要考查三角函数周期公式，三角函数的周期性，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2x +x −4是增函数，经计算f(1)=2+1−4=−1<0，f(2)=4+2−4=2>0，f(1)f(2)<0， 故函数的零点所在区间为(1,2)， 故选：C.此类选择题可以用代入计算出函数值，利用零点判定定理解决． 本题考查函数零点判定定理，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：若f(x)=cos(3x +φ)为奇函数， 则φ=π2+kπ，k ∈Z ， 不妨取φ=π2，此时f(x)=cos(3x +π2)=−sin3x ， |f(x)|=sin3x ，使得|f(x)|取到最大值时3x=π2+kπ，k∈Z，即x=π6+kπ3，k∈Z，取k=−1，可得x=−π6，故选：A.根据余弦函数的图象和性质即可得到结论．本题主要考查余弦函数奇偶性的应用、最值得求法，比较基础．9.【答案】A【解析】解：由α=(2k+1)π−β，k∈Z，得cosα=cos[(2k+1)π−β]=cos(π−β)=−cosβ，反之，由cosα=−cosβ，得cosα+cosβ=0，即2cosα+β2cosα−β2=0，即cosα+β2=0或cosα−β2=0，∴α+β2=kπ+π2，或α−β2=kπ+π2，k∈Z.∴α+β=2kπ+π或α−β=2kπ+π，k∈Z，即α=(2k+1)π±β，k∈Z，即“α=(2k+1)π−β，k∈Z”是“cosα=−cosβ”的充分不必要条件．故选：A.由α=(2k+1)π−β，k∈Z，得cosα=−cosβ，反之，由cosα=−cosβ得α=(2k+1)π±β，k∈Z，再结合充分必要条件的判定得答案．本题考查充分必要条件的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】D【解析】解：对于①，当n=1时，f(x)=cosx+sinx=√2sin(x+π4)，所以f(x)的最大值为√2，故正确；对于②，当n=2时，f(x)=cos2x+sin2x=1，所以f(x)=2sinx+|sinx|⇔2sinx+|sinx|=1(∗)，又因为x∈[0,2π]，所以方程(∗)等价于3sinx=1(x∈[0,π])或sinx=1(x∈(π,2π]),当3sinx=1(x∈[0,π])时，有sinx=13(x∈[0,π])，由正弦函数的性质可知此时方程有2个解；当sinx=1(x∈(π,2π])时，由正弦函数的性质可知此时方程无解；所以f(x)=2sinx+|sinx|在[0,2π]上只有2个解，故错误；对于③，当n=3时，f(x)=sin3x+cos3x，f(−x)=sin3(−x)+cos3(−x)=−sin3x+cos3x≠−f(x)，所以f(x)不是奇函数，故错误；对于④，当n=4时，f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2−2sin2x⋅cos2x=1−12sin22x=1−12×1−cos4x2=14cos4x+34，所以T=2π4=π2，故正确．所以说法正确的有①④．故选：D.对于①，由题意可得f(x)=√2sin(x+π4)，即可判断；对于②，由题意可得f(x)=1，所以方程等价于2sinx+|sinx|=1，分sinx≥0和sinx<0分别求解即可确定解的个数；对于③，验证f(−x)=−f(x)是否成立即可；对于④，化简得f(x)=14cos4x+34，根据周期公式计算即可．本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及对函数奇偶性的判断，属于中档题．11.【答案】(1,2)∪(2,+∞)【解析】解：由题意得：{x−1>0x−2≠0，解得：x>1或x≠2，故函数的定义域是(1,2)∪(2,+∞)，故答案为：(1,2)∪(2,+∞)根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．12.【答案】−13【解析】解：因为sinθ=13，则sin(π+θ)=−sinθ=−13.故答案为：−13.由已知结合诱导公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．13.【答案】(0,1)【解析】解：函数f(x)=x a经过点(9,3)，∴3=9a，∴a=12，∴f(x)=x12，∴f(x)在[0,+∞)单调递增，∵x2−x+1>0恒成立，又f(x2−x+1)<1=f(1)，∴x 2−x +1<1， 解得0<x <1， 故不等式的解集为(0,1). 故答案为：(0,1).先求出函数的解析式，再根据函数的单调性即可求出不等式的解集． 本题考查了幂函数的性质和不等式的解法，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：因为f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立， 所以函数f(x)在x =π3处取最大值， 所以π3ω+π6=2kπ+π2，k∈Z ，解得ω=6k +1，k ∈Z ， 又因为ω>0， 所以k ≥0，所以当k =0时，ω取最小值为1. 故答案为：1.由题意可得函数f(x)在x =π3处取最大值，从而有ω=6k +1，k ∈Z ，再根据ω>0，k ∈Z ，即可求得ω的最小值．本题考查了三角函数的性质，得出函数f(x)在x =π3处取最大值是关键，属于基础题．15.【答案】①②④【解析】解：对于①，由已知得|log a 2|=1，故log a 2=±1，故a =2或12，故①对；对于②，不妨设a >1，则f(x)={log a x,x ≥1−log a x,0<x <1，因为0<m <n ，故f(n)−f(m)=log a n +log a m =log a mn =0，故mn =1， 同理0<a <1时，也有相同结论，故②对；对于③④，不管a >1或0<a <1，f(x)的图象形状一样，如图：对于③，可看成y =kx +1与y =f(x)交点的个数问题，显然当k 足够大时，两函数图象只在(0,1)上有一个交点，故③错误；对于④，由于a >1时，当a 足够趋近于1时，y =log a x 与y =a x 的图象在(1,+∞)上与y =x 都会产生两个交点，且两函数图象关于y =x 对称，故该题中y =a x 与y =f(x)在(0,1)上有一个交点，在(1,+∞)产生两个交点，共三个交点，故④对． 故选：①②④．对于①，直接计算即可；对于②先去掉绝对值符号，再计算即可；对于③④，结合图象的性质判断即可．本题考查指数函数与对数函数的性质和图象来解决函数零点的判断问题，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)若f(x)的最小值为0，则m 2−4=0， 因为m >0， 所以m =2；(Ⅰ)证明：由题意得x 1+x 2=m ，x 1x 2=1，Δ=m 2−4>0， 因式m >0， 所以m >2，则(x 1−x 2)2+8x 1+x2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2+8x 1+x 2=m 2+4m =m +4m ≥2√m ⋅4m =4，当且仅当m =4m，即m =2时取等号，但显然等号无法取得，所以(x 1−x 2)2+8x 1+x 2>4.【解析】(Ⅰ)根据二次函数的性质可得Δ=m 2−4=0，从而可求m ； (Ⅰ)由已知结合方程的根与系数关系及基本不等式即可证明．本题主要考查了二次函数的性质，方程的根与系数关系，基本不等式，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,1)，可得f(0)=2sinφ=1，则sinφ=12，所以φ=π6， 由相邻的两个对称中心之间的距离为π2，则函数f(x)的周期T =2×π2=π=2πω，解得ω=2， 所以f(x)=2sin(2x +π6).(Ⅰ)由(1)可知，f(x)2sin(2x +π6)，令−π2+2kπ<2x +π6<π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π3+kπ<x <π6+kπ，k ∈Z ， 则函数f(x)的增区间为(−π3+kπ,π6+kπ)，k ∈Z ，令2x +π6=kπ，k ∈Z ，解得x =−π12+kπ2，k ∈Z ，则函数f(x)的对称中心为(−π12+kπ2,0)，k ∈Z.【解析】(Ⅰ)根据函数所过点，建立方程，结合周期的性质以及公式，可得答案； (Ⅰ)利用整体思想，根据正弦函数的单调性以及对称性，可得答案．本题主要考查三角函数解析式的求法，正弦型函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)令x =0，则f(0)=a 0−2a 0−1=1−2−1=−2，所以定点坐标为(0,−2)；(Ⅰ)当a =2时，f(x)=22x −2⋅2x −1=(2x −1)2−2≥−2，当x =0时，等号成立， 所以f(x)的最小值为−2；(Ⅰ)f(x)=(a x −1)2−2，令t =a x ，当0<a <1时，由于y =a x 在[0,1]上单调递减，则t ∈[a,1]，而函数y =(t −1)2−2在[a,1]上单调递减，则y max =(a −1)2−2=2，解得a =3或a =−1，不合题意；当a >1时，由于y =a x 在[0,1]上单调递增，则t ∈[1,a]，而函数y =(t −1)2−2在[1,a]上单调递增，则y max =(a −1)2−2=2，解得a =3或a =−1(舍)； 综上，实数a 的值为3.【解析】(Ⅰ)令x =0，求得f(0)的值，即可得到定点坐标； (Ⅰ)将a =2代入，利用二次函数的性质即可得解； (Ⅰ)分0<a <1及a >1两种情况，讨论即可得出答案．本题考查指数函数以及二次函数的性质，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于基础题．19.【答案】解：因为f(x)=−2sin 2(π4−x)+2√3cos 2x −√3=−2(√22cosx −√22sinx)2+√3(2cos 2x −1)=−1+sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)−1， (Ⅰ)f(π4)=2sin(2×π4+π3)−1=0，周期T =2π2=π；(Ⅰ)因为x ∈[−π6,5π12]，所以2x +π3∈[0,7π6]， 所以当2x +π3=7π6，即x =5π12时，f(x)取最小值， 所以f(x)min =f(5π12)=2×(−12)−1=−2； 当2x +π3=π2，即x =π12时，f(x)取最大值， 所以f(x)max =f(π12)=2×1−1=1.【解析】根据条件，可得f(x)=2sin(2x +π3)−1，(Ⅰ)将x =π4代入f(x)=2sin(2x +π3)−1计算即可；根据周期公式计算周期即可；(Ⅰ)由x ∈[−π6,5π12]，可得2x +π3∈[0,7π6]，根据正弦函数的性质，求出最值及对应的x 的值． 本题考查了三角恒等变换、三角函数的性质，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知A(2,1)，B(4,2)，∴AD =1，DE =2，EB =2，AB =√(2−4)2+(1−2)2=√5，故梯形ADEB 的周长为：1+2+2+√5=5+√5；(Ⅰ)由题意可知A(a,log 2a)，B(a +2,log 2(a +2))，C(a +4,log 2(a +4))，∴S 梯形ADEB =12[log 2a +log 2(a +2)]×2=log 2a(a +2)，S 梯形BEFC =12[log 2(a +2)+log 2(a +4)]×2=log 2(a +2)(a +4)，S 梯形ADFC =12[log 2a +log 2(a +4)]×4=2log 2a(a +4)，∴S =log 2a(a +2)+log 2(a +2)(a +4)−2log 2a(a +4)=log 2(a+2)2a(a+4)=log 2(1+4(a+2)2−4)， ∵a ≥1，∴(a +2)2−4≥5，∴1+4(a+2)2−4≤1+45=95， ∴S ≤log 295，即三角形△ABC 的面积的最大值为：log 295.【解析】(Ⅰ)分别计算出点A ，B 的坐标，即可解出；(Ⅰ)三角形△ABC 的面积等于梯形ADEB 和梯形BEFC 的面积之和减去梯形ADFC 的面积，即可解出．本题考查了函数的性质，转化思想，学生的数学运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)因为d(A 1,A 2)=∑|4i=1a i −b i |=|1−1|+|0−1|+|0−0|+|0−0|=1， 所以d(A 2,A 3)=∑|4i=1a i −b i |=|1−0|+|1−1|+|0−1|+|0−0|=2，所以d(A 1,A 2)≠d(A 2,A 3)，所以A 1，A 2，A 3，A 4不是X 4中的一个等距序列．(Ⅰ)证明：设A =(a 1,a 2,a 3)，B =(b 1,b 2,b 3)，C =(c 1,c 2,c 3)，把a 1a 2a 3，b 1b 2b 3，c 1c 2c 3分别称作A =(a 1,a 2,a 3)，B =(b 1,b 2,b 3)，C =(c 1,c 2,c 3)的第一个，第二个，第三个坐标，若d(A,B)=x ，x ∈{0,1,2,3}则A ，B 中有x 个对应坐标不相同，例如当d(A,B)=1时，说明A ，B 中有1个对应坐标不相同，其中A =(1,1,0)，B =(1,1,1)，就是符合d(A,B)=1的一种情况．当d(A,B)=d(B,C)=0时，A=B=C，所以d(A,C)=0是偶数；当d(A,B)=d(B,C)=1时，则A，B中有1个对应坐标不相同，并且B，C中有1个对应坐标不相同，所以A，C中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A=C则d(A,C)=0，当有2个对应坐标不相同时，d(A,C)=2，都满足d(A,C)为偶数；当d(A,B)=d(B,C)=2时，A，B中有2个对应坐标不相同，并且B，C中有2个对应坐标不相同，所以A，C中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A=C则d(A,C)=0，当有2个对应坐标不相同时，d(A,C)=2，都满足d(A,C)为偶数；当d(A,B)=d(B,C)=3时，A，B中有3个对应坐标不相同，并且B，C中有3个对应坐标不相同，所以A，C中有0个对应坐标不相同，即A=C则d(A,C)=0，满足d(A,C)为偶数，综上，A，B，C是X3中的等距序列，则d(A,C)为偶数．(Ⅰ)根据第二问，可得d(A1,A2)=5，则说明A1，A2中有5个对应坐标不相同，由A i变换到A i+1需改变5个坐标，保留1个不变，又从1变成0经过奇数次变化，所以从A1=(1,1,⋯,1)6个1变到A m=(0,0,⋯,0)6个0，d(A1,A2)=5至少经过6次变换，每个坐标变换5次，故m的最小值为7.【解析】(Ⅰ)直接求出d(A1,A2)与d(A2,A3)，由d(A1,A2)是否相当d(A2,A3)即可判断；(Ⅰ)分d(A,B)=d(B,C)结果为0，1，2，3来讨论；(Ⅰ)分析从1变成0经过变换次数的规律，根据d(A1,A2)=5，可知每次需要变换几个对应坐标．本题考查了等距序列的定义及其应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。
北京清华附中2022年高一上学期期末数学试题及答案
高一第一学期期末试卷数学（清华附中高21级）2022.01.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若集合{|20}A x x =−<，{|1}xB x =>e ，则AB =( )A.RB.(,2)−∞ C.(0,2)D.(2,)+∞2．已知命题:p (0,)a ∀∈+∞，12a a+>，则p ⌝是 ( ) A.(0,)a ∃∈+∞，12a a +> B.(0,)a ∃∉+∞，12a a +>C.(0,)a ∃∈+∞，12a a+≤ D.(0,)a ∃∉+∞，12a a+≤3． 已知n 3l a =，0.3log 2b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为( )A .a c b<<B .b c a<<C .a b c<<D .c a b<<4．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上为减函数的是( )A. sin 2y x =B. 2cos y x =C. tan y x =−D.cos2x y =5．已知f −1(x )是函数f (x )=10x 的反函数，则 f −1(1) 的值为 ( )A.0B.1C.10D.1006．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点()33−，则cos()απ+=( )B .3C .3−D 37． 已知实数α，β，则 “k αβ=π+，k ∈Z ”是”sin 2sin 2αβ=”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8． 已知指数函数()x f x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是( )A.32B.23C.39． 已知函数1()sin()f x x ωϕ=+ (其中0,2πωϕ><)的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为 ( )A. 2, 3πB. 2, 3π− C. 1, 6π D. 1, 6π−10． 已知函数()12x f x =−，2()43g x x x =−+，若存在实数,a b 使得()()f a g b =，则b 的取值范围是( )A ．2⎡⎣B ．(2C ．[]1,3D ．(1,3)第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市海淀区清华大学附属中学2022年高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析
，
结合 ，则 ，所以 ，
又由题设，得 ，
所以 ，
所以 ，
∴三角形ABC的周长 ，
∵外接圆的直径 ，∴ ，
∴外接圆的面积 .
18、（1）
（2）
【解析】【小问1详解】
， ， ，
若选① ，则 ，
则 ，
若选② ，则 ，
则 ，
则 ，
若选③ ，则 ，
， ，则
综上 ，
【小问2详解】
， ， ，
， ，
，
16．已知定义在 上的函数 ，满足不等式 ，则 的取值范围是______
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数 的部分图像如图所示
（1）求函数f（x）的解析式，并写出其单调递增区间；
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 ，且a、b是方程 的两个实数根，试求△ABC的周长及其外接圆的面积
【详解】对于命题①，函数 的定义域为 ，且 ，则函数 为偶函数，命题①为真命题；
对于命题②，当 时， ，则 ，此时，函数 在区间 上单调递减，命题②正确；
对于命题③，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
由偶函数的性质可知，当 时， ，则函数 在 上有无数个零点，命题③错误；
对于命题④，若函数 取最大值时， ，则 ，
A. 或1B.7或
C. 或 D.7或1
6．关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；② 在区间 单调递减；
③ 在 有 个零点；④ 的最大值为 .
其中所有正确结论的编号是（）
A.①②④B.②④
C.①④D.①③
7．已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，函数 是奇函数，且当 时， ，则 （）
2022-2023学年北京市清华大学附中高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2022-2023学年北京市清华大学附中高一（上）期末数学试卷1. 已知集合A ={y|y =log 2x,x >2}，B ={y|y <4}，则A ∩B =( ) A. {y|0<y <4}B. {y|0<y <1}C. {y|1<y <4}D. ⌀2. 命题“∀x >0，x 2−2x +1≥0”的否定是( ) A. ∃x >0，x 2−2x +1<0 B. ∀x >0，x 2−2x +1<0 C. ∃x ≤0，x 2−2x +1<0D. ∀x ≤0，x 2−2x +1<03. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( ) A. y =−1x B. y =3x −3−xC. y =tanxD. y =√x4. 已知a =(12)3.1,b =3.112,c=lg 12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <a <bB. a <c <bC. c <b <aD. a <b <c5. 函数f(x)=x|x|+lnx 2的图象可能是( )A.B.C. D.6. 已知函数f(x)={ax 2−x −14,x ≤1log a x −1,x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( )A. [14,12)B. [14,12]C. (0,12]D. [12,1)7. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的最小正周期为π，f(x)≤f(π8)，下列说法正确的是( ) A. f(x)的一个零点为−π8 B. f(x +π8)是偶函数C. f(x)在区间(3π8,7π8)上单调递增D. f(x)的一条对称轴为x =−3π88. 定义域和值域均为[−a,a]的函数y =f(x)和y =g(x)的图象如图所示，其中a >c >b >0，下列四个结论中正确有( )A. 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解B. 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解C. 方程f[f(x)]=0有且仅有八个解D. 方程g[g(x)]=0有且仅有一个解9. 函数f(x)=lg(x −2)+1x−3的定义域是______ .10. 把函数y =cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象向左平移π4个单位，则所得图象对应的函数解析式为______.11. 若α的终边过点(−1,2)，则tanα=______ .sin(π−α)sin(π2+α)−cos(π+α)=______ .12. 设函数f(x)={log a x(x >0)2x (x ≤0)，若f(12)=12，则实数a = (1) ，f(f(2))= (2) . 13. 已知函数f(x)={x 2+2x −3,x ≤0−2+lnx,x >0，方程f(x)=k 有两个实数解，则k 的范围是__________.14. 已知集合A ={x|x−4x+3>0}，集合B ={x|a −2≤x ≤2a +1}.(Ⅰ)当a =3时，求A 和(∁R A)∪B ；(Ⅰ)若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.15. 已知α∈(π2,π)，tanα=−34.(Ⅰ)求tan2α的值； (Ⅰ)求sinα+2cosα5cosα−sinα的值； (Ⅰ)求sin(2α−π6)的值.16. 函数f(x)=2x −b2x+1+a是R 上的奇函数，a ，b 是常数．(1)求a ，b 的值；(2)若不等式f(k ⋅3x )+f(3x −9x −2)<0对任意实数x 恒成立，求实数k 范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={y|y >1}，B ={y|y <4}，∴A ∩B ={y|1<y <4}.故选：C.可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，对数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由已知得，命题“∀x >0，x 2−2x +1≥0”的否定是： ∃x >0，x 2−2x +1<0. 故选：A.全称量词命题的否定，一是量词变成存在量词，二是否定结论，据此解决问题． 本题考查全称量词命题的否定方法，属于基础题．3.【答案】B【解析】 【分析】结合基本初等函数的单调性和奇偶性分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题． 【解答】解：根据反比例函数的性质可知，y =−1x在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)内不单调，不符合题意； 由于y =3x −13x为奇函数且在R 上单调递增，符合题意； 根据正切函数的性质可知，y =tanx 在定义域内不单调，不符合题意；根据幂函数的性质可知，y =√x 定义域[0,+∞)不关于原点对称，为非奇非偶函数，不符合题意． 故选：B.4.【答案】A【解析】解：∵a =(12)3.1∈(0,1)，b =3.112>1，c =lg 12<0，∴c <a <b.故选：A.根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a ，b ，c 的取值范围，从而可得结果．本题主要考查指数函数与对数函数的关系，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数f(x)=x|x|+lnx2在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，故排除AD；因为f(−1)=−1，f(1)=1，所以f(−1)≠f(1)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故排除C.故选：B.根据函数的单调性排除A D；根据f(−1)≠f(1)排除C.本题主要考查函数的图象与图象的变换，属于基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数函数、二次函数的单调性，分段函数单调性的判断，以及减函数的定义，属于基础题．根据题意可讨论a：a>1时，可看出f(x)在(1,+∞)上单调递增，而f(x)在(−∞,1]上不是增函数，显然不合题意；0<a<1时，可看出f(x)在(1,+∞)上单调递减，从而得出{12a≥1a−1−14≥−1，解出a的范围即可．【解答】解：①a>1时，f(x)在(1,+∞)上是增函数；∴f(x)在R上是增函数；显然f(x)在(−∞,1]上不是增函数；∴a>1的情况不存在；②0<a<1时，f(x)在(1,+∞)上是减函数；∴f(x)在R上是减函数；∴{12a≥1a−1−14≥−1；解得14≤a≤12；综上得，实数a的取值范围为[14,1 2 ].故选：B.7.【答案】ABD【解析】解：因为函数f(x)的周期为π，则ω=2，又f(x)≤f(π8)，则f(x)=max =f(π8)，所以2×π8+φ=π2+2kπ,k ∈Z ，解得φ=π4+2kπ,k ∈Z ， 所以f(x)=sin(2x +π4)，选项A ：因为f(−π8)=sin[2×(−π8)+π4]=sin0=0，故A 正确； 选项B ：因为f(x +π8)=sin[2×(x +π8)+π4]=sin(2x +π2)=cos2x ，而cos(−2x)=cos2x ，故B正确；选项C ：当x ∈(3π8,7π8)时，2x +π4∈(π,2π)，此时函数f(x)不单调，故C 错误；选项D ：因为f(−3π8)=sin[2×(−3π8)+π4]=sin(−π2)=−1=f(x)min =sin(−π2)=−1=f(x)min ，故D 正确， 故选：ABD.由函数的周期求出ω的值，再由为f(x)≤f(π8)可得f(π8)为函数的最大值，由此求出φ的值，进而可以求出函数f(x)的解析式，然后对应各个选项逐个判断即可求解．本题考查了三角函数的周期性以及最值问题，考查了正弦函数的性质以及学生的运算能力，属于基础题．8.【答案】ABD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，设t =g(x)，则由f[g(x)]=0，即f(t)=0，当t =0时，则t =g(x)有三个不同值，由于y =g(x)是减函数，所有三个解，A 正确；对于B ，设t =f(x)，若g[f(x)]=0，即g(t)=0，则t =b ，所以f(x)=b ，因为c >b >0，所以对应f(x)=b 的解有3个，B 正确；对于C ，设t =f(x)，若f[f(x)]=0，即f(t)=0，t =−b 或t =0或t =b ，则f(x)=−b ，或f(x)=0，或f(x)=b ，因为a >c >b >0，所以每个方程对应着三个解，所以共9个解，C 错误；对于D ，设t =g(x)，若g[g(x)]=0，即g(t)=0，所以t =b ，则g(x)=b ，因为y =g(x)是减函数，所以方程g(x)=b 只有1解，D 正确； 故选：ABD.根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查根的存在性及根的个数判断，涉及复合函数单调性的判断，属于中档题．9.【答案】(2,3)∪(3,+∞)【解析】解：要使原函数有意义，需要{x −2>0x −3≠0解得：x >2且x ≠3.所以原函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞). 故答案为(2,3)∪(3,+∞).函数解析式含有对数式和分式，由对数式的真数大于0和分式的分母不等于0取交集． 本题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．10.【答案】y =−sin2x【解析】解：函数y =cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，得到y =cos2x ，把图象向左平移π4个单位，得到y =cos[2(x +π4)]=cos(2x +π2)=−sin2x 故答案为：y =−sin2x函数y =cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)x 的系数变为原来的2倍，然后根据平移求出函数的解析式．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换．准确理解变换规则是关键．11.【答案】−2−1【解析】解：∵α的终边过点(−1,2)，∴tanα=2−1=−2； 则sin(π−α)sin(π2+α)−cos(π+α)=sinαcosα+cosα=sinα2cosα=12tanα=12×(−2)=−1.故答案为：−2；−1.由已知利用正切函数的定义求得tanα，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式求sin(π−α)sin(π2+α)−cos(π+α).本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．12.【答案】14√22【解析】解：函数f(x)={log a x(x >0)2x (x ≤0)，若f(12)=12，可得log a 12=12，解得a =14；f(2)=log 142=−12.f(f(2))=f(−12)=2−12=1√2=√22.故答案为：14；√22.利用分段函数的解析式通过f(12)=12，求解a 的值，利用分段函数逐步求解f(f(2))即可． 本题考查分段函数的应用，函数值的求法函数解析式的求法，考查计算能力．13.【答案】{k|k =−4或k >−3}【解析】 【分析】本题考查分段函数的图象及应用，方程的解的个数问题，考查数形结合的思想方法，属于基础题． 画出函数f(x)的图象，作出直线y =k ，观察图象，即可得解. 【解答】解：函数f(x)={x 2+2x −3,x ≤0−2+lnx,x >0的图象如图，作出直线y =k ，观察图象，k =−4或k >−3时，直线y =k 与函数f(x)有两个交点，即方程f(x)=k 有两个实数解，故实数k 的取值范围是{k|k =−4或k >−3}. 故答案为：{k|k =−4或k >−3}.14.【答案】解：(Ⅰ)集合A ={x|x−4x+3>0}，整理得：A ={x|x >4或x <−3}，∁R A ={x|−3≤x ≤4}， 集合B ={x|a −2≤x ≤2a +1}. 当a =3时，B ={x|1≤x ≤7}. 所以(∁R A)∪B ={x|−3≤x ≤7}. (Ⅰ)若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，所以B ⫋A ，当B =⌀时，a −2>2a +1，解得a <−3； 当B ≠⌀时，{a −2≤2a +1a −2>4或{a −2≤2a +12a +1<−3，整理得a >6或−3≤a <−2；综上所述：a 的取值范围为{a|a >6或a <−2}.【解析】本题主要考查集合的交、并，补集的混合运算，必要不充分条件，以及利用集合关系求参数范围，属于中档题.(Ⅰ)首先求出集合A ，再求出集合B ，根据补集和并集的定义即可求出(∁R A)∪B ； (Ⅰ)由x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，可得B ⫋A ，分B =⌀和B ≠⌀讨论即可得解.15.【答案】解：(Ⅰ)∵α∈(π2,π)，tanα=−34，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=−247.(Ⅰ)由tanα=−34，可得sinα+2cosα5cosα−sinα=tanα+25−tanα=−34+25+34=523. (Ⅰ)∵sin2α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=−2425，cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2αtan 2α+1=1−916916+1=725， ∴sin(2α−π6)=sin2αcos π6−cos2αsin π6=−2425×√32−725×12=−24√3+750. 【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的三角公式，属于基础题．(Ⅰ)由题意利用倍角公式，求得tan2α的值; (Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系，求得sinα+2cosα5cosα−sinα的值;(Ⅰ)先求得sin2α、cos2α的值，再利用两角差的正弦公式，求出sin(2α−π6)的值．16.【答案】解：(1)因为函数f(x)=2x −b 2x+1+a是R 上的奇函数，所以{f(0)=0f(−1)=−f(1)，即{1−b2+a=02−1−b 1+a=−2−b 4+a，解得{a =2b =1； (2)由(1)知f(x)=2x −12x+1+2=12−12x+1， 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)，因为x 1<x 2， 所以2x 1−2x 2<0，又2x1+1>0,2x2+1>0，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数，因为不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)<0对任意实数x恒成立，所以不等式f(k⋅3x)<−f(3x−9x−2)=f(−3x+9x+2)对任意实数x恒成立，所以不等式k⋅3x<−3x+9x+2对任意实数x恒成立，所以不等式k<−1+3x+23x对任意实数x恒成立，令g(x)=−1+3x+23x，令t=3x>0，则由对勾函数的性质得：y=−1+t+2t≥2√2−1，即g(x)的最小值为2√2−1，所以k<2√2−1.所以实数k的范围是(−∞,2√2−1).【解析】(1)根据函数f(x)是R上的奇函数，即可求解；(2)由(1)知f(x)=12−12x+1，先利用单调性的定义证明f(x)是R上的增函数，再结合奇偶性，将不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)<0对任意实数x恒成立，转化为不等式k<−1+3x+23x对任意实数x恒成立求解．本题主要考查不等式恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．。
2021年北京大学附属中学高一数学理上学期期末试题含解析
2021年北京大学附属中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则的大小关系为（）A． B． C． D．参考答案：D略2. 已知数列{a n}满足要求，，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由，知为等差数列，首项为1，公差为2，从而可得解. 【详解】由，可得，即得为等差数列，首项为1，公差为2.所以，所以.故选D.3. 已知M是△ABC的BC边上的中点，若向量，，则向量等于（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】线段的定比分点；向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质可得， +=2，解出向量．【解答】解：根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，有．故选 C．4. 函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为()A．2 B. C. D．1参考答案：B5. 定义在R的函数f（x）=ln（1+x2）+|x|，满足f（2x﹣1）＞f（x+1），则x满足的关系是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，﹣1）B．（2，+∞）∪（﹣∞，1）C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（2，+∞）∪（﹣∞，0）参考答案：D【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化即可．【解答】解：∵f（x）=ln（1+x2）+|x|，∴f（﹣x）=ln（1+x2）+|﹣x|=ln（1+x2）+|x|=f（x），则f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（1+x2）+x为增函数，则不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），等价为f（|2x﹣1|）＞f（|x+1|），即|2x﹣1|＞|x+1|，平方得（2x﹣1）2＞（x+1）2，即x2﹣2x＞0，解得x＞2或x＜0，故选：D6. 当时，（）A. B. C. D.参考答案：C略7. 下列四个函数中，在上为增函数的是(A) (B)(C)(D)参考答案：D略8. 下列四式中不能化简为的是（）A．B．C．D．参考答案：C9. 已知函数的周期为2，当，那么函数的图像与函数的图像的交点共有（）A.10个B.9个C.8个D.1个参考答案：A略10. 若平面四边形满足,,则该四边形一定是（）A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行 2 46 8第2行16 14 1210第3行 18 2022 24 (28)26则2006在第行，第列。
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北京市清华附中高一(下)期末数学试卷(理科)一、选择题1 .已知集合 U={1, 2, 3, 4}，集合 A={1 , 3, 4} , B={2, 4}，则集合(？u A ) U B=( A . {2} B .{4} C . {1 ,2 . x 2> 0 是 x > 0 的(A .充分不必要条件 C .充要条件D .既不充分也必要条件 3.在等比数列{a n }中，a 2=6, a 3= - 18,则 a 1+a 2+a s +a 4=()26 B . 40 C . 54 D . 80 £ +2设等差数列｛a n ｝的公差为d ,前n 项和为S n .若a 1=d=1，则.的最小值为(10n A .向右平移——个单位长度6C .向左平移.个单位长度b 已知平面向量n nB .7.<x < 1对，f (x ) =x 2.若直线y=x+a 与函数y=f ( x )的图象在［0, 2］内恰有两个不同的公 共点，则实数a 的值是( A . 0 B . 0 或 -=C .:则( )3｝ D . ｛2, 4｝ )B .必要不充分条件4.5. 为了得到函数y=sin (2x=)的图象，可以将函数 y=sin2x 的图象( B .向左平移-二个单位长度 7TD .向右平移.：个单位长度-,:满足 I -I = =2, ( - + 2 ) ? ( - -) = - 6,则-与的夹角为(-2兀…5兀-. C . —:— D .——63 3 6己知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的 x € R ,都有f (x+2) =f (x ).8.设△ ABC , P o 是边 AB 上一定点, ■：.,且对于边AB 上任一点P ,恒有6. D .:或-满足：A. Z ABC=90°B.Z BAC=90°C. AB=ACD. AC=BC二、填空题1—9.已知两点A (1, 1), B (- 1, 2),若BC=》BA则C点坐标是______________ .10 .在等差数列｛a n｝中，2 (a1+a4+a7)+3 (a g+an) =24,则此数列的前13项之和等于 _________12•若正数a, b满足a+b=1O，则订+一；+』学二的最大值为________ •13.在平面直角坐标系xOy中，A (1, 0),函数y=e x的图象与y轴的交点为B, P为函数y=e图象上的任意一点，则石5 •忑的最小值 ____________________ .14•已知点A (晋，罟)，B (专，1), C (冷-,0),若这三个点都在函数 f (x) =sin cox 的图象上，则正数o的所有取值的集合为_________ .三、解答题.15.已知｛a n｝是等差数列，满足a1=3 , %=12,数列｛b n｝满足5=4, b4=20，且｛b p-即｝为等比数列.(1)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(2)求数列｛b n｝的前n项和.2 1 =sinxcosx+cos x- .2(1 )求f (x)的最小正周期；(2) 求f (x)的单调递减区间；(3) 若函数f (x)在区间［0, m］上恰好有10个零点，求正数m的最小值.17•如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ ABO为正三角形.7 JT(2)若/ AOC=x (0v x<4z-),四边形CABD的周长为y,试将y表示成x的函数，并(1)求函数f (x)的单调区间;(2)若存在m, n €( 2, 3),且m丰n,使得f (m) =f (n),求实数a的取值范围.19. 设函数f (x) =ln (x+1) +a (x - x),其中a€ R.(1 )当a=0时，求证：f (x)< x,对任意的x €( 0, +〜成立；(2)讨论函数f (x)极值点的个数，并说明理由；(3)若？ x>0, f (x)> 0成立，求a的取值范围.*20. 设集合S={x|x= ,k€ N } •ii•设函数fG)二(y) - V仗＜0)Vx (垃＞0)苔二;打匚1,则实数a的取值范围是16.已知函数(x)，其中a€ R.(1)若点A的坐标为A，求cos/ BOC的值;5 "2 -x(x +ax+a) ek(1)请写出S的一个4元素，使得子集中的4个元素恰好构成等差数列；(2)若无穷递减等比数列{a n}中的每一项都在S中，且公比为q,求证：q €( 0,)；2(3)设正整数n> 1，若S的n元子集A满足：对任意的x ,y€ A，且x丰y,有|x - y| >求证：n W 15.北京市清华附中高一(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题1. 已知集合U={1, 2, 3, 4}，集合A={1 , 3, 4} , B={2, 4}，则集合(？u A) U B=( )A. {2}B. {4}C. {1 , 3}D. {2, 4}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】根据补集与并集的定义，进行计算即可.【解答】解：集合U={1, 2, 3, 4},A={1 , 3, 4} , B={2, 4},-?U A={2},•••( ?U A) U B={2 , 4}. 故选：D.2. x2>0 是x> 0 的( )A •充分不必要条件B •必要不充分条件C.充要条件D •既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据x2> 0，得到x的范围和x> 0比较即可.【解答】解：由x2> 0得到：X M 0,而X M 0推不出x > 0,不是充分条件，由x> 0能推出x M 0,是必要条件，••• x2> 0是x> 0的必要不充分条件，故选：B.3. 在等比数列{a n}中，a2=6, a3= - 18,则a1+a2+a s+a4=( )A. 26B. 40C. 54D. 80【考点】等比数列的前n项和.【分析】根据等比数列{a n}中，a2=6, a3= - 18,求得数列的首项与公比，即可求和. 【解答】解：•••等比数列{a n}中，a2=6, a3=- 18,a 3= 3a2 =2a2i q••• a i +a 2+a 3+a 4_ - 2+6 - 18+54=40 故选B .4. 设等差数列｛a n ｝的公差为d ,前n 项和为S n .若S +8ai _d_1，则.的最小值为(【考点】【分析】 最小值. 【解.S n +8C .D . .. +2等差数列的前n 项和. S +8由已知条件推导出%n(n - 1)―2 —+* 1+n-l解：•••等差数列｛a n ｝的公差为d ,前n 项和为 n(n 1)',由此利用均值定理 'n 2S n . a i _d_1 ,故选：B .5.为了得到函数y_sin (2x匚)的图象，可以将函数y_sin2x 的图象(nA .向右平移个单位长度6C .向左平移一■—个单位长度6 五点法作函数y_Asin 【考点】 兀B .向左平移.个单位长度 7TD .向右平移•：个单位长度(3X+ ©)的图象.【解答】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论.”"兀兀解：•••函数 y_sin ( 2x ---- ) _sin[2 (x -67T JT•••为了得到函数y=sin (2x- )的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位36长度故选A .6•已知平面向量',;满足|〕=「=2, ( ' +2「)? ( ■- .：) =- 6,则一与「的夹角为(n ■?C.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据条件进行向量数量积的运算即可得出.：,!,『：：--】--［-：：”-：丁 ...:.." - 昇-"1〔，从而可求出:... ”的值，进而便可得出向量；「的夹角.【解答】解：［,|一；｛「二■:)= m* - -■'=J…：丁 -:, 〔-「-；=-6；•• m ，. 一；故选：C.7.己知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x€ R,都有f (x+2) =f (x).当0 <x< 1对，f (x) =x2.若直线y=x +a与函数y=f (x)的图象在［0, 2］内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是( )1A . 0B . 0或-帀C . 0或——D. ——或【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质.【分析】由题意可得函数的图象，属性结合可得当直线为图中的m,或n是满足题意，求出其对应的a值即可.【解答】解：由对任意的x € R，都有f (x+2) =f (x)可知，函数的周期为T=2 ,结合函数为偶函数，且当0<X W 1对，f (x) =x2可作出函数y=f (x)和直线y=x+a的图象，由厶=1+4a=0可得a= ，故a 的值为0，或--,4 4故选C&设厶ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足；.让，且对于边 AB 上任一点P ,恒有F= alu 二二厂则( )A ./ ABC=90°B .Z BAC=90°C . AB=ACD . AC=BC【考点】平面向量数量积的运算.【分析】设| ：；|=4，则I 』|=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为 H ，在AB 上任取一点P , 设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得 |「| -( a+1) | ;|+a > 0恒成立，只需△ = (a+1) 2 -4a= (a - 1)2< 0即可，由此能求出△ ABC 是等腰三角形，AC=BC .【解答】解：设| ：；|=4，则|「，|=1,过点C 作AB 的垂线，垂足为H ,在AB 上任取一点P ,设HP o =a ，则由数量积的几何意义可得，* T ；=|「|?|「'|=| ；|2-( a+1) |「| ,r_| 己？"」：-= -£于是二？ [A 卡？？「恒成立，2 _________________________整理得 | Fl |2-( a+1) | Fl |+a >0 恒成立，只需△ = ( a+1) 2 - 4a= (a - 1) 2< 0 即可，于是 a=1 ,因此我们得到HB=2，即H 是AB 的中点，故△ ABC 是等腰三角形， 所以AC=BC . 故选：D .当直线为n 时，直线与曲线相切，联立y=x 2消 y 可得 x 2- x - a=0,m 时，过原点，a=0,二、填空题9•已知两点A (1, 1), B (- 1, 2),若焦气冠，则C点坐标是_(0,寻)_. 【考点】平面向量的坐标运算.【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出.【解答】解：T厂.1,•「「J ■：■ •丄 - F.=—•■丄厂=.:二-—一U= .故答案为：.一.26 10.在等差数列｛a n｝中，2 (a i+a4+a7)+3 (a g+a ii) =24,则此数列的前13项之和等于【考点】数列的函数特性.【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出.【解答】解：等差数列｛a n｝中，2 (a1+a4+a7)+3 (a g+a^) =24 ,•- 6a4+6a10=24,•- 2a7=4，即a7=2.、、13( Si + a 1?)则此数列的前13项之和S13= =13a7=26.2故答案为：26.7 (x<0)J 贝U实数a的取值范围是3v a【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点.【分析】由于函数为分段函数，可分别讨论当a>0和a v 0两种情况，进而求出实数a的取值范围.【解答】解：函数f (x)为分段函数，当a> 0时，二［泊二丁一v 1,得O w a v 1.当a v 0 时，^ . | _ 一- v 1,解得a>—3,即—3v a v 0, 故答案为：-3v a v 1.12.若正数a, b满足a+b=10，则心d二三的最大值为——_.【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】对无理数可以先求平方，再利用均值定理求出最值，最后得出原表达式的最大值.【解答】解：正数a, b满足a+b=10,令y= —二7,则y =a+2+b+3+2 ：—「「，•/ a+b=10,15=a+2+b+3>2 j 二：,［.；.(当a+2=b+3时等号成立),••• y2w 30,—7 + —的最大值为U.故答案为：—.13•在平面直角坐标系xOy中，A (1, 0),函数y=e x的图象与y轴的交点为B, P为函数y=e x图象上的任意一点，则.'的最小值 1 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由题意可得向量的坐标，进而可得-「「'=- x0+「「，构造函数g (x) =- x+e x,通过求导数可得其极值，进而可得函数的最小值，进而可得答案.【解答】解：由题意可知 A (1, 0), B (0, 1),故"(0, 1)-( 1, 0) = (- 1, 1),设P (x o , ._■'),所以.=(x0 , ./'),故］■ I:=-x o+ 一「，构造函数g (x) =-x+e x,贝y g' (x) =- 1+e x,令其等于0可得x=0 ,且当x v 0时，g' (x) v 0 ,当x>0 时，g' (x)> 0,故函数g (x)在x=0处取到极小值，故g min (x) =g (0) =1,故的最小值为：1故答案为：1IT ■- q-r q-p 14•已知点A (=, 竺)，B ( = , 1), C ( = , 0),若这三个点都在函数 f (x ) =sin cox6242的图象上，则正数 o 的 所有取值的集合为 { o o =81+2, k € N} Q { o o =121+2，或12k+4,k € N ｝ U ｛2, 4｝ . •【考点】y=Asin (ox +Q)中参数的物理意义.【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数 得出结论.【解答】 解：若三个点都在函数 f (x ) =sin ox 的图象上, 则有 sin ( o? —) =^^, sin ( o? ) =1 , sin6 2 4 ⑷・罟=业兀+斗，或3 ■壬2k 兀七弓，Z6 363则* 3 •牛=弧兀+弓k€Z3・手k 兀,kezF 二 12k+2,或©=12k+4, k€2即.w=8k+2T k£Z,W kEZ求得正数 o 的 所有取值的集合为：{ o o =8k^2, k € N} n { o o =12k+2，或12k+4,k € N} U {2, 4} • 故答案为：{ o o =8k+2, k € N} n{ o o =12k+2，或 12k+4, k € N} U {2, 4}. 三、解答题.15. 已知｛a n ｝是等差数列，满足 a 1=3 , %=12，数列｛b n ｝满足 5=4, b 4=20，且｛b p - OJ 为等 比数列.(1) 求数列｛a n ｝和｛ b n ｝的通项公式； (2) 求数列｛b n ｝的前n 项和. 【考点】 数列的求和；数列递推式.【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比， 即可求数列的通项公式；(2)禾9用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求解 数列的和.【解答】 解：(1)设等差数列｛a n ｝的公差为d ，由题意得d j 12 - 3d= ------------- ==3.3 3二a n =a 1+ (n - 1) d=3n (n=1, 2,…). 数列｛a n ｝的通项公式为：a n =3n ;设等比数列｛b n - a n ｝的公比为q ，由题意得：o 的值，从而=0,3 ■- i 二；前 12q == =8，解得 q=2.匕［-巧3••• b n — a n = (b i _a i ) q n 1=2n 1 • 从而b n =3n+2n —1 ( n=1, 2,…). •数列｛b n ｝的通项公式为：b n =3n+2n — 1;n — 1(2 )由(1)知 b n =3 n+2 — ( n=1, 2,…).数列｛3n ｝的前n 项和为』n (n +1),数列｛ 2n —1｝的前n 项和为 -----J =2n - 1 .2 1-2, 216. 已知函数 f (x ) =sinxcosx+cos x -T (1 )求f (x )的最小正周期； (2) 求f (x )的单调递减区间；(3) 若函数f (x )在区间［0, m ］上恰好有10个零点，求正数 m 的最小值. 【考点】 正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法. 【分析】(1 )根据二倍角及辅助角公式求得 f (x )的解析式，利用周期公式即可求得f (x )的最小正周期； (2)令2k n + W 2x+W 2k n + ，函数f (x )单调递减，解得f (x )的单调递减区间；24 2jr jr (3) 根据正弦函数图象，f (x ) =0, sin (2x+—) =0,解得 2x+——=k n, ( k € Z ),当 k=10 ,44为f (x )的第10个零点，求得 m 的最小值.2 1【解答】 解：(1) f (x ) =sinxcosx+cos 2x -2=sin 2x+ cos2x+2 2 2f (x )的最小正周期 n•函数的单调递减区间为：［k n+ .. , k n+ . ］ ( k € Z )；OQ(3)函数f (x )在区间［0, m ］上恰好有10个零点， 由正弦函数周期性，可知： f ( x ) =0 ,•数列｛b n ｝的前n 项和为三n ( n+1) +2n - 1 .最小正周期 T=(2)令 2k n + W 2x+ W 2k n +, 24 2 ?(k € Z ),解得:nk n + 8W x W k n +(k € Z ),sin (2x+sin (2x+) =0,4解得：2x+ =k n, (k € Z ),47TT.•.当 k=10 , x=丄丄 8正数m 的最小值817•如图，A 、B 是单位圆O 上的点，C 、D 分别是圆O 与x 轴的两个交点，△ ABO 为正 三角形.求出y 的最大值.bBD\ J厂【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值；平面直角坐标系与曲线方程. 【分析】(1)根据△ ABO 为正三角形求得/ BOA ，利用点A 的坐标求得sin /AOC 和cos / AOC ，进而利用两角和公式求得 cos / BOC .(2)利用余弦定理分别求得 AC 和BD ，进而根据△ ABO 为正三角形求得 AB ，CD 可知， 四边相加得到y 的函数解析式，利用两角和公式化简整理后， 利用x 的范围和正弦函数的性 质求得函数的最大值.【解答】解：(1)v^ ABO 为正三角形， ./ BOA=60 ，••• tan / AOC= \3••• sin / AOC= 1，cos / AOC= _，5 5(2)由余弦定理可知 AC=-：,：=2sin 二,BD= i .［工 “：.=2sin:，x=(2)若/ AOC=x(0 v x v 求cos / BOC 的值;辽)，四边形CABD 的周长为y ，试将y 表示成x 的函数，并.• cos / BOC=cos (/ AOC+60°) =cos / AOCcos60—sin / AOCsin60 =3-4^310(1)若点A 的坐标为 •••点A 的坐标为AB=0B=1 , CD=2,• ■/..： .".^771 J二一门I 〒_—； 1 .：=' t 匚二三 _ 二让一L =云门亍「71 . 271=,」[.亍；丁山，Ov x< —ir• ••当X=^^时，y max=5 .2 - x18. 已知函数f (x) = (x +ax+a) e ，其中a€ R.(1)求函数f (x)的单调区间；(2)若存在m, n €( 2, 3),且m丰n,使得f (m) =f (n),求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)结合(1)得到f (x )在(0 , 2 - a)递增，在(2 - a, +叼递减，满足条件，从而得到关于a的不等式，解出即可.【解答】解：(1)： f (x) = (x2+ax+a) e-x,x[x+(a- 2)1•f' (x)= ---------------- ,e①a-2>0 即a>2 时，2- a< 0,令f'(x)> 0,解得：2- a<x< 0,令f'( x)< 0, x > 0 或x < 2- a,• f (x )在(-a, 2 - a)递减，在(2 - a, 0)递增，在(0, +〜递减；x2②a- 2=0 即a=2 时，f'( x) = - < 0, f (x )在R 递减；e③a-2< 0 即a< 2 时，2 - a>0,令f'(x)> 0,解得：0<x<2 - a,令f'(x)< 0, x > 2 - a 或x < 0,• f (x )在(-a, 0)递减，在(0, 2 - a,)递增，在(2 - a, +〜递减;(2)由(1)得：2< 2 - a< 3,解得：-1< a< 0.219. 设函数f (x) =ln (x+1) +a (x - x),其中a€ R.(1 )当a=0时，求证：f (x)< x,对任意的x €( 0, +a)成立;(2)讨论函数f ( x)极值点的个数，并说明理由；(3)若？ x> 0, f (x )> 0成立，求a 的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】(1)求出f (x )的表达式，令g (x ) =ln (x+1)- x ,根据函数的单调性求出g (x )v g (0) =0,从而证出结论；(2) 求出f (x )的导数，令g (x ) =2ax 2+ax -a+1,通过讨论a 的范围，判断函数的单调 性，从而求出函数的极值的个数； (3)通过讨论a 的范围，结合函数的单调性求出满足题意的a 的范围即可.【解答】 解：(1) a=0时，f (x ) =ln (x+1)，定义域是(-1，+〜， 令 g (x ) =ln (x+1) - x ， g'( x ) =〔 - 1= - " v 0，x+1K +1• •• g (x )在(0，+y 递减， ••• g (x )v g ( 0) =0，故f (x ) v x ，对任意的x €( 0，+x)成立；(2)函数 f (x ) =ln (x+1) +a (x2 - x )，其中 a € R ，x € (- 1， +*).x+12令 g (x ) =2ax +ax - a+1.(i )当 a=0 时，g (x ) =1，此时 f'( x )> 0,函数 值点. 2(ii )当 a > 0 时，△ =a 2— 8a (1 - a ) =a (9a - 8).无极值点. ②当a >〔时，△> 0，设方程2ax2+ax -a+1=0的两个实数根分别为x1, x2, x1Vx2.x1+x2=-:x1v-订，x2>-由 g (- 1)> 0，可得-1 v x 1 v ------------ 7• ••当 x € (- 1, X 。