光的基本电磁理论-2-1
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13
由 E1 E 2 t 0可知， 1 E 2 垂直于界面，也就是平行于界面法线n ， E 故可以改写为 n E1 E 2 0
同理，在分界面上没有面电流时，由麦克斯韦方程组的（4）0 H1t H 2t
2、 在p和r 所在的平面内振动，B在与之垂直的平面内振动， E 同时E和B又都垂直于波的传播方向，E、B、k 三者成右螺 旋系统。E、B分别在各自的平面内振动，这一特性称为偏 振性，因此振荡电偶极子发射的光波是偏振的球面波。
二 辐射能 振荡的电偶极子向周围空间辐射电磁场，电磁场的传播伴 随着场能量的传播，这种场能量称辐射能。 已知电磁场的能量密度为
7
则辐射强度在一个周期内的平均值为
1 S T
T
0
2 4 p0 sin2 Sdt 16 2 v 3 r 2T
T
0
cos2 kr t dt
2 4 p0 sin2 32 2 v 3 r 2
4
可知：辐射强度的平均值与电偶极子振荡的振幅平方成正比；与振荡频 率的四次方成正比，即与波长的四次方成反比；还与角度有关。 考察离电偶极子很远处的球面波时，可将其视为平面波，平 面波的辐射强度在一个周期内的平均值为
一
电磁场法向分量的关系
假想在两介质的界面上作一个扁平的小圆柱体，柱高为h，底面 积为A，将麦克斯韦方程组的（3）式应用于该圆柱体，得出
B d B d B d B d
顶 底 壁
h
A n1
n2
1
2
10
因为底面积A很小，可认为B是常数。设柱顶和柱底分别是B1和B2， 上面的积分可改写为
二
电磁场切向分量的关系
假想在两介质分界面上作一个矩形 ABCD，其四 条边分别平行或垂直于分界面，如右图所示。将 麦克斯韦方程组的（2）式应用于该矩形，得出
E dl AB BC CD DA
B E dl d t
1
最简单的情况是：振荡电偶极子是电矩随时间作余弦（或正弦）变化
p0是电偶极子电矩的振幅， 是角频率。
原子作为一个振荡电偶极子，必定在周围空间内产生交 变的电磁场，右图是电偶极子附近电场中电力线的分布 图示。 应用麦克斯韦方程组对振荡电偶极子辐射的电磁场进行 计算，得到如下结果：
1、作简谐振荡的电偶极子在距离很远的M点辐射的电磁场的数值为
1x 1y 1x 1y 2x 2y
k1x k1x ' k 2x ,k1y k1y ' k 2y 0
k1y = k’1y = k2y =0 z k1
3k1 n1 k1/ ,k 2 n 2 v1 c v2 c
1 1’
k1 ’ x
k1’ k1z y 由右图，下面的几何关 系成立 : O k1x k1 sin 1 ,k1x ' k1 'sin 1 ',k 2x k 2 sin 2 r k1x’ / k1x 1 1 , 反射定律
k
E B M r p
2 p0 sin i kr t B e 3 4 v r
电偶极子辐射的电磁波是一个以电偶极子为中心的 发散球面波，但球面波的振幅是随角而变的。
3
Real-time evolution of the electric field of an oscillating electric dipole. The dipole is located at (60,60) in the graph, oscillating at 1 Hz in the vertical direction.
3
由于电场和磁场的变化频率高达10 Hz数量级，所以S的值也在 迅速改变，用任何方法都不能接受到其瞬时值，只能接受到在 2 某一时间段内的平均值。已知辐射强度的瞬时值为S=E ，设 电偶极子辐射球面波，代入球面波电场波函数的实数表达式
2 4 p0 sin 2 S v E 2 cos2 kr t 16 2 v 3 r 2
§1-5 光波的辐射
光是电磁波，光源发光就是产生物体电磁辐射。物体的发光实质上是 组成物体的分子、原子发光。因为大部分物体的发光属于原子发光类 型，所以可以只研究原子辐射电磁波的情况。
一、电偶极子辐射模型
经典电磁场理论把原子发光看作是原子内部过程形成的电偶极子的 辐射。原子由带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子组成，在 外界能量的激发下，原子核和电子产生剧烈运动，发生相互作用， 使得原子的正电中心和负电中心通常并不重合，且两者间的距离在 不断发生变化，形成一个振荡电偶极子。设原子核所带电荷为q，正 负电中心的距离（矢径）为l，方向由负电中心指向正电中心，原子 的电矩为p = q l
16
前式对任意时刻t 和界面上的任意位置矢量 r 均成立， 式中各项的指数必相等。 因此可得：
1 2
或
1 1/ 2
即入射波、反射波、折射波频率相同。 / k1 r k1 r k 2 r / k1 k1 r 0 k1 k 2 r 0
9
§1-6 电磁场的边值关系
光学中经常遇到光波从一种介质传播到另一种介质的问题。由于两种 介质对光传播所表现的物理性质不同（这种不同以介电系数和磁导率 的变化来表征），所以在两种介质的分界面上电磁场量是不连续的， 但它们相互间有一定的关系，这种关系称为电磁场的边值关系。 下面应用麦克斯韦方程组的积分式来研究这个边值关系。
t1 A D t2
B 1 C
2
12
设AB、CD很小，在两线段范围内E可视为常数，则介质1中为E1，介 质而中为E2。当矩形高度h趋于零时，沿BC和DA路径的积分趋于零； 由于矩形的面积将趋于零，前面等式右侧的积分也为零，前式变为：
E dl E dl 0 或 E1 t1 l E 2 t 2 l 0
n n1 n2 n B1 B2 0 B1n B2 n
11
再将麦克斯韦方程组的（1）式用于上图的圆柱体。在界面没有自 由电荷的情况下，可得 nD1 D2 0 D1n D2 n 即在此条件下， 的法向分量也是连续的 D 。
此情况下，磁场强度矢量的切向分量连续
三
结论
在两种介质的分界面上，电磁场量整体是不连续的，但在界面上没有 自由电荷和面电流时，B和D的法向分量以及E和H的切向分量是连续的。
14
§1-7 光在两介质分界面上的反射和折射
光在两透明介质分界面上的反射和折射 光波的电磁场与物质的相 互作用问题，精确处理很复杂，涉及到次波的产生和相干问题。 一种较简单的方法：用介质的介电系数、磁导率和电导率来表示大量 分子的平均作用，根据麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件，研究平面 光波在两介质分界面上的反射和折射问题。 一 反射定律和折射定律 一个单色平面光波入射到两不同介质的分界面 折射波和反射波。 从电磁场的边值关系可以证明这两个波的存在，并求出它们的传播方向 的关系。
AB CD
t1、t 2 分别为沿AB、CD切线方向的单位矢量， l为AB、CD的长度。
以t 表示分界面切线方向的 单位矢量，方向由 指向B， A 则t t1 t2，上式可写为 E1 E2 t 0 或 E1t E2t 此结果表明：分界面上 电场强度的切向分量连 续。
/ 由于 r 为原点在界面上任意点的位置矢量，则 k1 k1 和 k1 k 2 与界面垂直，也就是与界面法线平行，故： / k1、k1 、k 2三个波矢量是共面的，即同在入射面内。
17
选入射面平行于 XOZ平面，则入射光的波矢 k1与y轴垂直， k1y 0，在界面上 z 0,设r xi yj ， E的边值关系式变成： i k x k y / i k 'x k 'y i k x k y n A1e n A1 e n A2e
B1 n1 A B2 n2 A B d 0
壁
n1、n2分别为柱顶和柱底的外 向法线单位矢量。
当柱高h趋于零时，上式的第三项趋于零，且柱顶和柱底趋近分界 面。此时用一个法线方向的单位矢量n来替代n1、n2，方向从介质2 指向介质1。
这个结果说明：两介质 的分界面上B的法向分量是连续的。
1 1 1 2 2 w w e w m (E D H B ) （E B ） 2 2
5
为了描述辐射能的传播，引进辐射强度矢量（Poynting矢量） S，它的大小为单位时间内、通过垂直于传播方向的单位面 积的辐射能量，它的方向为能量的传播方向。
在dt时间内通过d 的能量为wvd dt，辐射强度矢量的值为 v 2 1 2 s wv E B 2
1 2
由电磁场的边值关系，应有 / n E1 E1 n E2
/ 代入E1、E1、E2的表达式： i k1 r 1t / i k1/ r 1/ t i k r 2t n A1e n A1 e n A2 e
1 S T
T
0
1 Sdt v A T
2
T
0
cos2 kr t dt
1 1 v A 2 2 2
2 A
8
5
物理光学中将S称为光强度，用 I 表示。由（5）式得： 2 I ∝A 2 当讨论相对光强时，在均一介质中比例系数可消去，则I =A 。
三、对实际光波的认识
设d 为垂直于电磁波传播方 向的面积元，假定介质 对能量无吸收，
1
v
v
1
E B
2
1
1 s v E EB
2
6
已知S的方向为电磁波的传播方向，而波的传播方向、E、B三者 相互垂直，故（2）式在各向同性介质中可以写成矢量式
1 S EB
15
1 、 光波的不连续性 振荡电偶极子辐射的并不是连续的光波，而是持续时间极短的波列， -9 每一波列的持续时间为10 秒数量级，各波列之间没有确定的位相关 系，光矢量的振动方向也是随机的。 2 、 自然光的非偏振性 光学中将普通光源辐射的、未经过特殊的起偏振装置处理的光波叫 自然光。这种光波在空间各个方位上的振动几率相等，不表现出偏 振性。
2 p0 sin i kr t E e 2 4 v r 2 p0 sin i kr t B e 3 4 v r
p p0 cos t
+
-
式中：r为电偶极子到M点的距离，为r与电偶极子轴线间夹角
2
2 p0 sin i kr t E e 2 4 v r
15
设介质1、介质2的分界面为无穷大平面， 单色平面光波由1入射到2，入射波、反射 波、折射波的波矢量分别为k1、k1'、k2， , 角频率分别为 1 , 1 , 2 。三个波分别表 示为
k1
n k` 1 1` 1 k2 2
E1 A1 exp i k1 r 1t / / / / E1 A1 exp i k1 r 1 t E2 A2 exp i k 2 r 2 t
由 E1 E 2 t 0可知， 1 E 2 垂直于界面，也就是平行于界面法线n ， E 故可以改写为 n E1 E 2 0
同理，在分界面上没有面电流时，由麦克斯韦方程组的（4）0 H1t H 2t
2、 在p和r 所在的平面内振动，B在与之垂直的平面内振动， E 同时E和B又都垂直于波的传播方向，E、B、k 三者成右螺 旋系统。E、B分别在各自的平面内振动，这一特性称为偏 振性，因此振荡电偶极子发射的光波是偏振的球面波。
二 辐射能 振荡的电偶极子向周围空间辐射电磁场，电磁场的传播伴 随着场能量的传播，这种场能量称辐射能。 已知电磁场的能量密度为
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则辐射强度在一个周期内的平均值为
1 S T
T
0
2 4 p0 sin2 Sdt 16 2 v 3 r 2T
T
0
cos2 kr t dt
2 4 p0 sin2 32 2 v 3 r 2
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可知：辐射强度的平均值与电偶极子振荡的振幅平方成正比；与振荡频 率的四次方成正比，即与波长的四次方成反比；还与角度有关。 考察离电偶极子很远处的球面波时，可将其视为平面波，平 面波的辐射强度在一个周期内的平均值为
一
电磁场法向分量的关系
假想在两介质的界面上作一个扁平的小圆柱体，柱高为h，底面 积为A，将麦克斯韦方程组的（3）式应用于该圆柱体，得出
B d B d B d B d
顶 底 壁
h
A n1
n2
1
2
10
因为底面积A很小，可认为B是常数。设柱顶和柱底分别是B1和B2， 上面的积分可改写为
二
电磁场切向分量的关系
假想在两介质分界面上作一个矩形 ABCD，其四 条边分别平行或垂直于分界面，如右图所示。将 麦克斯韦方程组的（2）式应用于该矩形，得出
E dl AB BC CD DA
B E dl d t
1
最简单的情况是：振荡电偶极子是电矩随时间作余弦（或正弦）变化
p0是电偶极子电矩的振幅， 是角频率。
原子作为一个振荡电偶极子，必定在周围空间内产生交 变的电磁场，右图是电偶极子附近电场中电力线的分布 图示。 应用麦克斯韦方程组对振荡电偶极子辐射的电磁场进行 计算，得到如下结果：
1、作简谐振荡的电偶极子在距离很远的M点辐射的电磁场的数值为
1x 1y 1x 1y 2x 2y
k1x k1x ' k 2x ,k1y k1y ' k 2y 0
k1y = k’1y = k2y =0 z k1
3k1 n1 k1/ ,k 2 n 2 v1 c v2 c
1 1’
k1 ’ x
k1’ k1z y 由右图，下面的几何关 系成立 : O k1x k1 sin 1 ,k1x ' k1 'sin 1 ',k 2x k 2 sin 2 r k1x’ / k1x 1 1 , 反射定律
k
E B M r p
2 p0 sin i kr t B e 3 4 v r
电偶极子辐射的电磁波是一个以电偶极子为中心的 发散球面波，但球面波的振幅是随角而变的。
3
Real-time evolution of the electric field of an oscillating electric dipole. The dipole is located at (60,60) in the graph, oscillating at 1 Hz in the vertical direction.
3
由于电场和磁场的变化频率高达10 Hz数量级，所以S的值也在 迅速改变，用任何方法都不能接受到其瞬时值，只能接受到在 2 某一时间段内的平均值。已知辐射强度的瞬时值为S=E ，设 电偶极子辐射球面波，代入球面波电场波函数的实数表达式
2 4 p0 sin 2 S v E 2 cos2 kr t 16 2 v 3 r 2
§1-5 光波的辐射
光是电磁波，光源发光就是产生物体电磁辐射。物体的发光实质上是 组成物体的分子、原子发光。因为大部分物体的发光属于原子发光类 型，所以可以只研究原子辐射电磁波的情况。
一、电偶极子辐射模型
经典电磁场理论把原子发光看作是原子内部过程形成的电偶极子的 辐射。原子由带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子组成，在 外界能量的激发下，原子核和电子产生剧烈运动，发生相互作用， 使得原子的正电中心和负电中心通常并不重合，且两者间的距离在 不断发生变化，形成一个振荡电偶极子。设原子核所带电荷为q，正 负电中心的距离（矢径）为l，方向由负电中心指向正电中心，原子 的电矩为p = q l
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前式对任意时刻t 和界面上的任意位置矢量 r 均成立， 式中各项的指数必相等。 因此可得：
1 2
或
1 1/ 2
即入射波、反射波、折射波频率相同。 / k1 r k1 r k 2 r / k1 k1 r 0 k1 k 2 r 0
9
§1-6 电磁场的边值关系
光学中经常遇到光波从一种介质传播到另一种介质的问题。由于两种 介质对光传播所表现的物理性质不同（这种不同以介电系数和磁导率 的变化来表征），所以在两种介质的分界面上电磁场量是不连续的， 但它们相互间有一定的关系，这种关系称为电磁场的边值关系。 下面应用麦克斯韦方程组的积分式来研究这个边值关系。
t1 A D t2
B 1 C
2
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设AB、CD很小，在两线段范围内E可视为常数，则介质1中为E1，介 质而中为E2。当矩形高度h趋于零时，沿BC和DA路径的积分趋于零； 由于矩形的面积将趋于零，前面等式右侧的积分也为零，前式变为：
E dl E dl 0 或 E1 t1 l E 2 t 2 l 0
n n1 n2 n B1 B2 0 B1n B2 n
11
再将麦克斯韦方程组的（1）式用于上图的圆柱体。在界面没有自 由电荷的情况下，可得 nD1 D2 0 D1n D2 n 即在此条件下， 的法向分量也是连续的 D 。
此情况下，磁场强度矢量的切向分量连续
三
结论
在两种介质的分界面上，电磁场量整体是不连续的，但在界面上没有 自由电荷和面电流时，B和D的法向分量以及E和H的切向分量是连续的。
14
§1-7 光在两介质分界面上的反射和折射
光在两透明介质分界面上的反射和折射 光波的电磁场与物质的相 互作用问题，精确处理很复杂，涉及到次波的产生和相干问题。 一种较简单的方法：用介质的介电系数、磁导率和电导率来表示大量 分子的平均作用，根据麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件，研究平面 光波在两介质分界面上的反射和折射问题。 一 反射定律和折射定律 一个单色平面光波入射到两不同介质的分界面 折射波和反射波。 从电磁场的边值关系可以证明这两个波的存在，并求出它们的传播方向 的关系。
AB CD
t1、t 2 分别为沿AB、CD切线方向的单位矢量， l为AB、CD的长度。
以t 表示分界面切线方向的 单位矢量，方向由 指向B， A 则t t1 t2，上式可写为 E1 E2 t 0 或 E1t E2t 此结果表明：分界面上 电场强度的切向分量连 续。
/ 由于 r 为原点在界面上任意点的位置矢量，则 k1 k1 和 k1 k 2 与界面垂直，也就是与界面法线平行，故： / k1、k1 、k 2三个波矢量是共面的，即同在入射面内。
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选入射面平行于 XOZ平面，则入射光的波矢 k1与y轴垂直， k1y 0，在界面上 z 0,设r xi yj ， E的边值关系式变成： i k x k y / i k 'x k 'y i k x k y n A1e n A1 e n A2e
B1 n1 A B2 n2 A B d 0
壁
n1、n2分别为柱顶和柱底的外 向法线单位矢量。
当柱高h趋于零时，上式的第三项趋于零，且柱顶和柱底趋近分界 面。此时用一个法线方向的单位矢量n来替代n1、n2，方向从介质2 指向介质1。
这个结果说明：两介质 的分界面上B的法向分量是连续的。
1 1 1 2 2 w w e w m (E D H B ) （E B ） 2 2
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为了描述辐射能的传播，引进辐射强度矢量（Poynting矢量） S，它的大小为单位时间内、通过垂直于传播方向的单位面 积的辐射能量，它的方向为能量的传播方向。
在dt时间内通过d 的能量为wvd dt，辐射强度矢量的值为 v 2 1 2 s wv E B 2
1 2
由电磁场的边值关系，应有 / n E1 E1 n E2
/ 代入E1、E1、E2的表达式： i k1 r 1t / i k1/ r 1/ t i k r 2t n A1e n A1 e n A2 e
1 S T
T
0
1 Sdt v A T
2
T
0
cos2 kr t dt
1 1 v A 2 2 2
2 A
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5
物理光学中将S称为光强度，用 I 表示。由（5）式得： 2 I ∝A 2 当讨论相对光强时，在均一介质中比例系数可消去，则I =A 。
三、对实际光波的认识
设d 为垂直于电磁波传播方 向的面积元，假定介质 对能量无吸收，
1
v
v
1
E B
2
1
1 s v E EB
2
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已知S的方向为电磁波的传播方向，而波的传播方向、E、B三者 相互垂直，故（2）式在各向同性介质中可以写成矢量式
1 S EB
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1 、 光波的不连续性 振荡电偶极子辐射的并不是连续的光波，而是持续时间极短的波列， -9 每一波列的持续时间为10 秒数量级，各波列之间没有确定的位相关 系，光矢量的振动方向也是随机的。 2 、 自然光的非偏振性 光学中将普通光源辐射的、未经过特殊的起偏振装置处理的光波叫 自然光。这种光波在空间各个方位上的振动几率相等，不表现出偏 振性。
2 p0 sin i kr t E e 2 4 v r 2 p0 sin i kr t B e 3 4 v r
p p0 cos t
+
-
式中：r为电偶极子到M点的距离，为r与电偶极子轴线间夹角
2
2 p0 sin i kr t E e 2 4 v r
15
设介质1、介质2的分界面为无穷大平面， 单色平面光波由1入射到2，入射波、反射 波、折射波的波矢量分别为k1、k1'、k2， , 角频率分别为 1 , 1 , 2 。三个波分别表 示为
k1
n k` 1 1` 1 k2 2
E1 A1 exp i k1 r 1t / / / / E1 A1 exp i k1 r 1 t E2 A2 exp i k 2 r 2 t