【金识源】高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型导学案新人教A版必修1

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高中数学新人教版A版精品教案《人教A版必修一《3.2.1几类不同增长的函数模型》》

3.2.1 《几类不同增长的函数模型》教学设计第1课时教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的三维目标知识与技能：借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异过程与方法：恰当运用函数的三种表示方法解析式、表格、图象并借助信息技术解决一些实际问题情感态度价值观：让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣教学重、难点教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同教学难点:应用函数模型解决简单问题课时安排2课时教学过程一、导入新课澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．设计意图：一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的。

2022年高中数学3-2-1几类不同增长的函数模型习题含解析新人教A版必修

几类不同增长的函数模型班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________寒假作业【基础过关】1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图象大致为A. B. C. D.2．当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的是( )A.y=100xB.y=log100xC.y=x100D.y=100x3．某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来的价格相比,变化情况是 ( )A.增加7.84%B.减少7.84%C.减少9.5%D.不增不减4．已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,则当2<x<4时,有( )A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2D.y2>y3>y15．假设某商品靠广告销售的收入与广告费之间满足关系，那么广告效应D，当时，取得最大广告效应，此时收入 .6．四个变量，，，随变量变化的数据如下表：05101520253051305051130200531304505594.4781785.2337335305580105130155 52.31071.42951.14071.0461 1.0151 1.005关于呈指数型函数变化的变量是 .7．试比较函数y=x200,y=e x,y=lg x的增长差异.8．有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内,年增长20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长10%,现有两种砍伐方案:甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次.请计算后回答:十年后哪一个方案可以得到较多的木材?(不考虑最初的树苗成本,只按成材的树木计算)【能力提升】已知桶1与桶2通过水管相连如图所示,开始时桶1中有a L水,t min后剩余的水符合指数衰减函数y1=a·e-nt,那么桶2中的水就是y2=a-a·e-nt,假定5 min后,桶1中的水与桶2中的水相等,那么再过多长时间桶1中的水只有 L?答案【基础过关】1．D【解析】由已知可推断函数模型为指数函数.2．D【解析】由于指数函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.3．B【解析】设该商品原价为a,则四年后的价格为a(1+20%)2(1-20%)2=0.921 6a,所以(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a,即四年后的价格比原来的价格减少了7.84%.4．B【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.5．　【解析】，∴，即时，D最大.此时.6．【解析】由于指数函数的增长呈“爆炸式”，结合表中数据可知，关于x呈指数型函数变化的变量是.7．增长最慢的是y=lg x,由图象(图略)可知随着x的增大,它几乎平行于x轴.当x较小时,y=x200要比y=e x增长得快;当x较大(如x>1 000)时,y=e x要比y=x200增长得快. 8．设最初栽植量为a,甲方案在10年后木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.1×1.2)5≈4a.乙方案在10年后木材产量为y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.∴y1-y2=4a-4.98a<0,则y1<y2.因此,十年后乙方案可以得到较多的木材.【能力提升】由题意,得a·e-5n=a-a·e-5n,即e-5n=　①.设再过t min桶1中的水只有 L,则a·e-n(t+5)=a,即e-n(t+5)=　②.将①式两边平方得e-10n=　③,比较②,③得-n(t+5)=-10n,∴t=5.即再过5 min桶1中的水只有 L.。

人教A版高中数学必修一 3-2-1 几类不同增长的函数模型教案精品

3.2.1 几类不同增长的函数模型一、教学目标：知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.过程与方法能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、重点难点重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.难点：选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、展示。

四、教学过程（一）引入实例，创设情景1、有人说，一张普通的报纸对折30次后，厚度会超过10座珠穆朗玛峰的高度，会是真的吗？2、“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，用这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。

陛下，把这样摆满棋盘上所有６４格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”“爱卿，你所求的并不多啊！”（二）互动交流，探求新知.教师引导学生阅读例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案呢？分析：投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优(1) 比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。

为选择投资方案提供依据。

高中数学 3.2.1-1《几类不同增长的函数模型》学案新人教A版必修1

3.2.1几类不同增长的函数模型（1）教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。

教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。

建立实际问题的函数模型是难点。

教学过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。

投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。

再看累计回报数表P114。

投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。

例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。

现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝xlog＋1，y＝1.002x。

其中哪个模型2能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。

不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。

高中数学新人教版A版精品教案《3.2.1 几类不同增长的函数模型》

六．教学环境及资源准备
教学环境：多媒体教室
教学资源准备：PPT课件，几何画板软件
七．教学过程
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图及资源准备
创设问题情景
创设问题情景
例1的教学
多媒体展现例1投资方案的选择问题
1.提问:投资方案选择的标准如何确定？
三种方案中每天的回报量分别是多少？如何计算？
2.模型建立了，如何对模型进行分析研究，比较三个函数的增长差异？
2.通过对模型进行探究，能体会到不同函数的增长差异：常函
数没有增长，一次函数匀速增长，指数函数急速增长，对数函
数缓慢增长。
3.通过对问题的分析掌握：解析式法、列表法、图像法是研究
函数模型的基本方法。
（二）过程和方法：在引导学生建立函数模型解决实际问题的过程中，教师采用问题串的形式引导学生思考，同时充分利用信息技术手段通过对图像和表格的分析，了解不同函数模型的增长差异。
学生通过对表格的观察得出：常函数没有增长，一次函数匀速增长，指数函数急速增长。
学生通过图象的平缓与陡峭与函数变化的关系角度指出三类函数的增长差异。
学生做出回答
学生积极审题，并作出思考
学生作出回答
学生思考并积极作出回答
学生提出探究方法利用函数图像
学生根据图像做出判断y=0.25x显然不满足条件。然后通过函数的相关性质及计算得出结论。
（三）情感态度价值观：通过问题的解决让学生体会到数学是有用的，并学会用科学的方法去观察、分析、研究生活中的实际问题，从而提高解决问题的能力。
四．教学重难点
（一）教学重点：1.将实际问题转化为数学模型。
2。通过对模型的探究掌握几类不同增长的函数模型的增长差异：常函

高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型教案新人教A版必修1(2021年整理)

安徽省合肥市高中数学第三章函数的应用3.2.1 几类不同增长的函数模型教案新人教A版必修1
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几类不同增长的函数模型。

高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型(2)导学案新人教A版必修1

湖北省荆州市监利县柘木中学高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型(2)导学案新人教A 版必修1使用说明： “自主学习”15分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”8分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。

“巩固练习”7分钟完成，组长负责，小组内部点评。

“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结，并找出理解不到位的问题。

最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:①结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义. ②学会借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.③能恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题. ④通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用. 教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．学习过程（一）自主探究1、利用计算器或计算机完成2x y =，2y x =，2log y x =的图象，通过观察图形试完成以下问题：①请在图上标出使不等式22log 2x x x <<，22log 2x x x <<成立的自变量x 的取值范围。

②比较2x y =，2y x =的图象，说明两增长的差异③比较，2y x =，2log y x =的图象，说明两者增长的差异。

高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型教案新人教A版必修1

3.2.1几类不同增长的函数模型教学目标：1．借助计算器或计算机制作数据表格和函数图像，对几种常见的函数类型的增长情况进行比较，在实际应用的背景中理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异。

2．通过对投资方案的选择，学会利用数据表格和函数图像分析问题和解决问题；引导学生充分体验将实际问题“数学化”解决的过程，从而理解“数学建模”的思想方法解决问题的有效性。

3．鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，从而培养学习数学的兴趣。

教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。

技术手段：计算机辅助教学。

教学方法：启发探究式。

教学过程一、创设情境，引入课题（1）先看一张图片，这是什么动物？（2）关于兔子有这样一段故事：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．（3）请看画面。

（4）可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．（5）一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期的增长.（6）生活中的增长现象比比皆是，在我们学过的函数中也有许多成增长形态发展的。

高中数学第三章 3.2.1几类不同增长的函数模型导学案(2) 新人教版必修1

§3.2.1几类不同增长的函数模型(2)1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.98101，找出疑惑之处）复习1：用石板围一个面积为200平方米的矩形场地，一边利用旧墙，则靠旧墙的一边长为___________米时，才能使所有石料的最省.复习2：三个变量,,y y y 随自变量x 的变化情况如下表：，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.二、新课导学※ 学习探究探究任务：幂、指、对函数的增长差异问题：幂函数(0)n y x n =>、指数函数(1)x y a a =>、对数函数log (1)a y x a =>在区间(0,)+∞上的单调性如何？增长有差异吗？实验：函数2x y =，2y x =，log y x =，试计算：思考：22log ,2,x x x 大小关系是如何的？增长差异？尽管(1)x y a a =>，log (1)a y x a =>和结论：在区间(0,)+∞上，(0)n y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，(1)x y a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)n y x n =>的增长速度．而log (1)a y x a =>的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log n x a x x a <<．※ 典型例题例1某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t 与月份的x 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(,,)x y ab c a b c =+其中为常数. 已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.小结：待定系数法求解函数模型；优选模型.※ 动手试试练 1. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小后，y 与t 的函数关系式为1()16t a y -=（a 时）成正比；药物释放完毕为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.练2. 某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格. 经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数.（1）试求y 与x 之间的关系式；（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？三、总结提升※ 学习小结直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义.※ 知识拓展在科学试验、工程设计、生产工艺和各类规划、决策与管理等许多工作中，常常要制订最优化方案，优选学是研究如何迅速地、合理地寻求这些方案的科学理论、模型与方法. 它被广泛应用于管理、生产、科技和经济领域中，几乎可以用于凡是有数值加工的每个领域. 中.）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量y 与时间x 的函数图象大致是（）.2. 下列函数中随x 增大而增大速度最快的是（）.A ．2007ln y x =B ．2007y x =C ．2007xe y = D ．20072x y =⋅ 3. 根据三个函数2()2,()2,()log xf x xg xh x x ===给出以下命题：（1）(),(),()f x g x h x 在其定义域上都是增函数；（2）()f x 的增长速度始终不变；（3）()f x 的增长速度越来越快；（4）()g x 的增长速度越来越快；（5）()h x 的增长速度越来越慢。

高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案(新人教A版必修1)河北地区专用

4．教师引导学生利用解析式，结合图象，对例2的三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程.进一步认识三个函数模型的增长差异，并掌握解答的规范要求.（AB）
5．教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析，探究幂函数（＞0）、指数函数（＞1）、对数函数（＞1）在区间（0，+∞）上的增长差异，并从函数的性质上进行研究、论证，同学之间进行交流总结，形成结论性报告.教师对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示.（A）
教学
难点
选择合适的数学模型分析解决实际问题。
教学流程与教学内容
一、引入实例，创设情景.
教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.
二、互动交流，探求新知.
1.观察数据，体会模型.
教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.
2.作出图象，描述特点.
教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.
三、实例运用，巩固提高.
1.教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益.学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.
课题
§3.2.1几类不
目
标
知识与
能力
1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异性。（AB）

【配套K12】高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型导学案新人教A版必修1

3.2.1几类不同增长的函数模型班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课前预习· 预习案【温馨寄语】生活的海洋已铺开金色的路，浪花正分列两旁摇动着欢迎的花束。

勇敢地去吧，朋友!前进，已吹响出征的海螺；彩霞，正在将鲜花的大旗飞舞……【学习目标】1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们的增长差异.2．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.3．恰当运用函数的三类表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题.【学习重点】1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2．集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合【学习难点】1．怎样选择数学模型分析解决实际问题2．难点是集合特征性质的概念，以及运用特征性质描述法表示集合【自主学习】1．三类增长型函数图象性质的变化特征2．三类增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数和幂函数在区间(0，+∞)上，由于的增长速度的增长速度，因而总存在一个实数，当时，就会有_____________(，).(2)对数函数和幂函数，的增长的增长，因而在区间(0，+∞)上，总存在一个实数，使时有_____________(，).结论：三类增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上，在(0，+∞)上，总会存在一个，当时有 .【预习评价】1．下表显示了函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能符合的函数模型为A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型2．某种植物生长发育的数量与时间的关系如下表：下面的函数关系式中，能表达这种关系的是A. B.C. D.3．某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是 .4．某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价 .知识拓展· 探究案【合作探究】1．几类函数模型的特征及其增长差异的比较观察函数，，在区间(0，+∞)上的图象，思考以下几个问题：(1)三个函数在区间(0，+∞)上的图象有什么特点？(2)当趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？(3)一般情况下，函数，和在区间(0，+∞)上增长速度怎样？2．几类函数模型的应用当题目条件中的信息以表格等形式给出时，常常先根据相关数据中的信息进行描点，结合描点后的图象，选择合适的函数模型来解决有关问题，观察下列图象探究有关问题：(1)根据图象的特点，①②③④应分别选用哪种函数模型较好？(2)已知函数模型，求函数的解析式一般常用的方法是什么？【教师点拨】1．四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.2．几类函数模型的选择(1)一次函数模型：当增加一个单位时，增加或减少的量为定值，则是的一次函数，一次函数的图象为直线.(2)二次函数模型：二次函数是常用的重要模型，是或其他量的二次函数，常用来求最大值或最小值问题，但要注意定义域.(3)指数函数模型、对数函数模型：当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同，则为指数函数模型或对数函数模型，一般与增长率、衰减率、利息等现实问题联系紧密.【交流展示】1．当自变量足够大时，下列函数中增长速度最快的是A. B. C. D.2．若，，试分析三个函数模型，，的增长差异，用“＞”把它们的取值大小关系连接起来为 .3．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此判断符合这组数据的最恰当的函数模型是4．2005年1月6日是“中国十三亿人口日”，如果要使我国总人口在2015年以前控制在十四亿之内，那么从2005年1月6日开始的随后10年由我国的年平均人口自然增长率应控制在多少以内.【学习小结】1．建立函数模型要遵偱的原则(1)简化原则建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.2．三种函数模型的表达式及其增长特点的总结(1)指数函数模型：表达式为(，，为常数，)，当时，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当时，函数值由快到慢地减少.(2)对数函数模型：表达式为，，为常数，)，当时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当时，相应函数值逐渐减少，变化得越来越慢. (3)幂函数模型：表达式为((，，为常数，，，为常数，，)，其增长情况由和的取值确定，常见的有二次函数模型.【当堂检测】1．三人赛跑，假设其路过的路程和时间的函数关系分别是，，，他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是A. B. C. D.一样快2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售800台，则下列函数模型中能准确地反映销售量与投放市场的月数之间关系的是A. B.C. D.3.2.1几类不同增长的函数模型详细答案课前预习· 预习案【自主学习】1．增函数增函数增函数y轴x轴2．(1)快于a x＞x n(2)慢于x n＞log a x a x＞x n＞log a x(a＞1，n＞0)【预习评价】1．C2．D3．4．11.11％知识拓展· 探究案【合作探究】1．(1)三个函数在区间(0，＋∞)上的图象都是上升的，即单调递增.(2)三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢.(3)一般情况下，y＝a x(a＞1)增长速度越来越快，一般称为爆炸式增长，y＝log a x(a＞1)增长会越来越慢，y＝x n(n＞0)介于它们两个之间.2．(1)①随着x值的增大y值的变化越来越大，所以常选用指数型函数来模拟；②随着x值的增大y值的变化越来越近似为零，所以常用对数型函数模拟；③图形中的点先升后降，所以常选用二次函数模拟；④数据点大致都落在一条直线附近，所以常选用一次函数模拟.(2)已知函数类型求函数的解析式一般常用的方法是待定系数法，根据函数的类型，可设出其函数解析式，用待定系数法求解.【交流展示】1．A2．3．A4．74％【当堂检测】1．A2．C。

高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型(1)导学案新人教A版必修1

高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型(1)导学案新人教A 版必修1§3.2.1几类不同增长的函数模型(1)学习目标1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.学习过程一、课前准备（预习教材P95~ P98，找出疑惑之处）阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．二、新课导学※典型例题模型是否符合公司要求？※ 动手试试练 1. 如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y 与净化时间t （月）的近似函数关系：ty a =(t ≥0，a >0且a ≠1)．有以下叙述① 第4个月时，剩留量就会低于15； ② 每月减少的有害物质量都相等；③ 若剩留量为111,,248所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=.其中所有正确的叙述是 .练 2. 经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前n 个月，对某种商品需求总量()f n (万件)近似地满足关系写出明年第n 个月这种商品需求量()g n (万件)与月份n 的函数关系式.三、总结提升※ 学习小结1. 两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；2. 几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数；3. 应用建模（函数模型）；※ 知识拓展解决应用题的一般程序： 4(2,)9 1 2 y1 t (①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（）.A．12x= B. y=21x- C. y=2x D. y=2xy+2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（）.A. 一次函数B. 二次函数C. 指数型函数D. 对数型函数3. 一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为（）.A. y=20-2x（x≤10）B. y=20-2x（x<10）C. y=20-2x（5≤x≤10）D. y=20-2x（5<x<10）4. 某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y与投放市场的月数x 之间的关系可写成 .5. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有台计算机被感染. （用式子表示）课后作业某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价20%销售. 这样，仍可获得25%的纯利. 求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系.。

几类不同增长的函数模型学案【人教版】高中数学必修

§3.2.1 几类不同增长的函数模型一、学习目标:1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2.能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性。

二、学习重点、难点：1.重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、教学设想：（一）引入实例，创设情景.例1 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一、每天回报40元；方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？（二）互动交流，探求新知.1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？解：设第x天所得回报是y元方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述3、三个函数模型的增减性如何？4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？5、观察数据，体会模型.6、作出图象，描述特点.借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方P图3.2-1）案选择提供依据.（96p）下面再看累积的回报数。

（97进而确定选择哪种投资方案（三）实例运用，巩固提高.例 2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时奖金总数不超过利润的25%,现有三个奖励模型：y=0.25x,y=1log 7 x ,y=x 002.1 ,其中哪个模型能符合公司的要求？探索过程：（1）在同一坐标系作出三个函数图像（2）通过观察函数图像，讨论，找出符合要求的图像（3）通过计算，进一步验证所选函数是否符合要求课堂练习教材P 98练习1、2。

高中数学 3.2.2几类不同增长的函数模型教案新人教A版必修1

3.2.2 几类不同增长的函数模型（一）教学目标1．知识与技能利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.2．进程与方法在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.3．情感、态度与价值观在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.（二）教学重点与难点重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.例1 有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.【解析】设单位购买x台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x，则总费用在乙商场购买，费用y = 600x.（1）当0＜x＜10时，(800x– 20x2)＞600x∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买.（2）当x = 10时，(800x– 20x2) = 600x∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.（3）当10＜x≤18时，(800x– 20x2)＜600x∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.（4）当x≥18时，600x＞440x∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买.答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：y = ax + b，y = ax2 + bx + c，y = a+ b，y = ab x + c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题意知A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）.（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有，解得所以得y=0.1x+1.因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.（2）设y = ax2 + bx + c，将A、B、C三点代入，有，解得，所以y= – 0.05x2+0.35x+0.7.因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x=3.5），不合实际.（3）设y=+b，将A，B两点的坐标代入，有，解得，所以y=.因此把x = 3和4代入，分别得到y=1.35和1.48，与实际产量差距较大.（4）设y = ab x + c，将A，B，C三点的坐标代入，得，解得，所以y= – 0.8×(0.5)x+1.4.因此把x= 4代入得y= –0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y= –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.。

高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案新人教版必修1

321几类不同增长的函数模型（教学设计）教学目标:知识与技能：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.过程与方法：能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.教学重点：重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题.一、新课导入：材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋. 1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只•可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口•这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.二、师生互动，新课讲解：例1 （课本P95例1）,假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？探究：1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？2）分析解答（略）（见P95--97 ）3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？例2 :（课本P97例2）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润X （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%现有三个奖励模型：y 0-25x y log7X 1 y「oo, •问：其中哪个模型能符合公司的要求？探究：1）本例涉及了哪几类函数模型？2）本例的实质是什么？3）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？解答：（课本P97—98）幕函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幕函数y ^（n°）、指数函数y a><（a 1）、对数函数y lOg a X（a 1）在区间（°，）上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结。

人教A版数学必修一教案：3.2.1几类不同增长的函数模型

§3.2.1 几类不同增长的函数模型一、教学目标:1. 知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2. 过程与方法能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3. 情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、教学重点、难点：1. 教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、学法与教学用具：1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.（二）互动交流，探求新知.1. 观察数据，体会模型.教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.2. 作出图象，描述特点.教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.（三）实例运用，巩固提高.1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。

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高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型教案新人教A版必修1(2021年整理)

高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型(2)导学案新人教A版必修1

高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型教案 新人教A版必修1

高中数学 第三章 3.2.1几类不同增长的函数模型导学案(2) 新人教版必修1