高考数学总复习第四章三角函数、解三角形课时规范练19 三角函数的图象与性质理新人教A版

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三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解

2 简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”. 题型归纳及思路提示
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别思路提示
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值
和简单恒等式的证明.
命题趋势探究
1.一般以选择题或填空题的形式进行考查.
2.角的概念考查多结合函数的基础知识.
3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点. 知识点精讲一、基本概念
正角---逆时针旋转而成的角；（1）任意角负角---顺时针旋转而成的角；
二、任意角的三角函数 1.定义已知角终边上的任一点 P(x, y) （非原点 O ），则 P 到原点 O 的距离
r OP x2 y2 0 . sin y , cos x , tan y .
r
r
x
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对 y ，邻 x ，斜 r ，如图 4-2 所示.
的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.
注：弧度或 rad 可省略（5）两制互化：一周角= 3600 2 r 2 （弧度），即 1800 .
r
1（弧度）
180
0
57.30
57018
故在进行两制互化时，只需记忆 1800 ，10 两个换算单位即可：如： 180
5 5 1800 1500 ； 360 36 .
C. 0, ，是第一、二象限角

数学(浙江专用)总复习教师用书：第四章三角函数、解三角形第讲三角函数的图象与性质

第3讲三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2。

理解正弦函数、余弦函数在区间［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间错误!内的单调性。

知识梳理1。

用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，错误!，（π，0），错误!，（2π，0).（2）余弦函数y＝cos x,x∈［0，2π]的图象中，五个关键点是：（0,1)，错误!，(π，－1）,错误!，（2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R｛x错误!错误!值域［－1，1]［－1，1］R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数1。

判断正误(在括号内打“√”或“×"）（1)由sin错误!＝sin 错误!知，错误!是正弦函数y＝sin x(x∈R）的一个周期。

( )（2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.（）（3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )(4）已知y＝k sin x＋1，x∈R,则y的最大值为k＋1。

( ）（5）y＝sin｜x｜是偶函数。

（)解析（1）函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z).（2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.（3）正切函数y＝tan x在每一个区间错误!(k∈Z）上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数。

(4)当k〉0时，y max＝k＋1；当k<0时，y max＝－k＋1.答案(1）×(2）×(3）×(4)×(5)√2。

（2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ）A。

y＝sin错误!B。

y＝cos错误!C.y＝sin 2x＋cos 2xD.y＝sin x＋cos x解析y＝sin错误!＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数；y＝cos错误!＝－sin 2x是最小正周期为π的奇函数;y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin错误!是最小正周期为π的非奇非偶函数；y＝sin x＋cos x＝错误!sin错误!是最小正周期为2π的非奇非偶函数.答案B3。

【高考数学核心突破解三角形】三角函数的图象与性质、三角恒等变换与解三角形(含规范大题示范)

第1讲三角函数的图象与性质[考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)(2018·资阳三诊)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2，1)，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4等于( ) A ．－7 B ．－17 C.17 D ．7答案 A解析由角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)，可得x ＝2，y ＝1，tan α＝y x ＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43，∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝43＋11－43×1＝－7. (2)(2018·衡水金卷信息卷)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案 A解析由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α ＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1＝4＋6－25＝85. 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)(2018·合肥质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin(π＋α)等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 B解析由诱导公式可得，sin 5π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－sin π3＝－32， cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π3＝12，即P ⎝⎛⎭⎫－32，12，由三角函数的定义可得，sin α＝12⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫122＝12，则sin ()π＋α＝－sin α＝－12.(2)(2018·衡水金卷调研卷)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)等于( )A.12B.13C.16 D ．－16 答案 D解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.热点二三角函数的图象及应用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：(先平移后伸缩)y ＝sin x ――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度 y ＝sin(x ＋φ)―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． (先伸缩后平移)y ＝sin x ――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin ωx ―――――――→向左(φ>0)或右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．例2 (1)(2018·安徽省江淮十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 A解析由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象，故选A.(2)(2018·永州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则θ＝________.答案 π3解析函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，则A ＝2，T 2＝13π12－7π12＝π2，解得T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，当x ＝π3时，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，因为函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12－2π3＝2cos 2x ，若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则2cos 2θ＝－1，则θ＝k π＋π3，k ∈Z ，或θ＝k π＋2π3，k ∈Z ，所以θ＝π3.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向．跟踪演练2 (1)(2018·潍坊模拟)若将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( ) A.12 B.32 C.52 D.72 答案 B解析将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数的解析式为y ＝cosω⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3. ∵平移后得到的函数图象与函数y ＝sin ωx 的图象重合， ∴－ωπ3＝2k π－π2(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋32(k ∈Z )．∴当k ＝0时，ω＝32.(2)(2018·北京朝阳区模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，π上的零点为________．答案 27π12解析从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3，－π6，从而求得函数的最小正周期为T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，根据T ＝2πω可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，结合所给的区间，整理得出x ＝7π12.热点三三角函数的性质 1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0,2π]上的单调递减区间．解 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3(1＋cos 2ωx )2＋32 ＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3，设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝⎛⎭⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4， ∵f (x )max ＝1，∴⎝⎛⎭⎫T 22＋4＝π2＋4，整理得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，∴ω＝12.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∴f (x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ－π3. ∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，∴sin ⎝⎛⎭⎫φ－π3＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . 又∵x ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6，2π3；当k ＝1时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤7π6，5π3.∴函数g (x )在[0,2π]上的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6，2π3，⎣⎡⎦⎤7π6，5π3. 思维升华函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 (2018·四川成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋sin 2x ＋a 的最大值为1.(1)求函数f (x )的最小正周期与单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋sin 2x ＋a ＝3cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ≤1， ∴2＋a ＝1，即a ＝－1，∴最小正周期为T ＝π. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1，令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . (2)∵将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴当2x ＋2π3＝2π3，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取最大值3－1；当2x ＋2π3＝3π2，即x ＝5π12时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，g (x )取最小值－3.真题体验1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．答案－332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当12<cos x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )，∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值，即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.2．(2018·全国Ⅱ改编 )若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是________．答案 π4解析 f (x )＝cos x －sin x＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4.3．(2018·天津改编)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数______．(填序号)①在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增； ②在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减； ③在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增； ④在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减．答案 ①解析函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，一个单调减区间为⎣⎡⎦⎤5π4，7π4.由此可判断①正确．4．(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______．答案 3解析由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0. ∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6， ∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3. 押题预测1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度押题依据本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错．答案 A解析由于函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋3π20＋π5，所以要得到函数g (x )的图象，只要将f (x )的图象向左平移3π20个单位长度即可．故选A.2．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3B.1633 C ．8 D ．16 押题依据由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A ，考查数形结合思想．答案 B解析由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M ⎝⎛⎭⎫a 2，－a2，由两点间距离公式，得 PM ＝⎝⎛⎭⎫2－a 22＋⎝⎛⎭⎫a 22＝25，解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，得f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3，从而f (0)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－8，得A ＝163 3. 3．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x .(1)若x 是某三角形的一个内角，且f (x )＝－22，求角x 的大小； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的值．押题依据三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式．解 (1)∵f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x －22sin 2x＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－22，可得cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－12. 由题意可得x ∈(0，π)， ∴2x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，9π4，可得2x ＋π4＝2π3或4π3，∴x ＝5π24或13π24.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22， ∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－2，1]． ∴f (x )的最小值为－2，此时2x ＋π4＝π，即x ＝3π8.A 组专题通关1．(2018·佛山质检)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π， 2 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π， 2 答案 B解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π，振幅为2.2．(2018·天津市十二校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( ) A.π2 B.3π8 C.π4 D.5π8答案 D解析由函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π＝2πω，可得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋|φ|)＋π4的图象， ∵平移后图象关于y 轴对称， ∴2|φ|＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴|φ|＝k π2＋π8(k ∈Z )，令k ＝1，得φ＝±5π8.3．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx －2cos 2ωx2＋1(ω>0)，将f (x )的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度，所得函数g (x )的部分图象如图所示，则φ的值为( )A.π12B.π6C.π8D.π3 答案 A解析 ∵f (x )＝3sin ωx －2cos 2ωx2＋1 ＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6，则g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤ω(x －φ)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωφ－π6. 由图知T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6，则g ⎝⎛⎭⎫5π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6－π6－2φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2φ＝2，即2π3－2φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π12－k π，k ∈Z .又0<φ<π2，∴φ的值为π12.4．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，若|x 1－x 2|的最小值为12，且f ⎝⎛⎭⎫12＝1，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈ZB.⎣⎡⎦⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤16＋2k ，76＋2k ，k ∈Z 答案 B解析由f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值为12，可知T 4＝12，∴T ＝2，∴ω＝π，又f ⎝⎛⎭⎫12＝1，则φ＝±π3＋2k π，k ∈Z ， ∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3. 令－π2＋2k π≤πx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56＋2k ≤x ≤16＋2k ，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z . 5．(2018·焦作模拟)函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)图象的相邻对称轴之间的距离为π2，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称C ．f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的一个零点为x ＝－π3D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减答案 D解析因为f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的相邻的对称轴之间的距离为π2，所以2πω＝π，得ω＝2，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最大值为2，所以A 错误；当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，所以f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，所以x ＝5π12不是函数图象的对称轴，所以B 错误；由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π6 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，当x ＝－π3时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2≠0，所以x ＝－π3不是函数的一个零点，所以C 错误；当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤5π6，7π6，f (x )单调递减，所以D 正确． 6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 答案33解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，∴x ＝－3，y ＝－1，∴tan α＝y x ＝33，cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α－cos α＝0. 7．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知tan α＝2，则sin 22α－2cos 22αsin 4α＝________.答案112解析 ∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， ∴sin 22α－2cos 22αsin 4α＝sin 22α－2cos 22α2sin 2αcos 2α＝tan 22α－22tan 2α＝169－22×⎝⎛⎭⎫－43＝112.8．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 9．(2018·潍坊模拟)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x －π)＝f (x )－sin x ，当－π<x ≤0时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫2 018π3＝________.答案32解析 ∵f (x －π)＝f (x )－sin x ， ∴f (x )＝f (x －π)＋sin x ，则f (x ＋π)＝f (x )＋sin(x ＋π)＝f (x )－sin x . ∴f (x ＋π)＝f (x －π)，即f (x ＋2π)＝f (x )． ∴函数f (x )的周期为2π，∴f ⎝⎛⎭⎫2 018π3＝f ⎝⎛⎭⎫672π＋2π3＝f ⎝⎛⎭⎫2π3 ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＋sin 2π3. ∵当－π<x ≤0时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫2 018π3＝0＋sin 2π3＝32. 10．已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b . (1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解 m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)， f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋32＋b . (1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32＋b ，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32＋b ， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π3， ∴当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，∴当f ⎝⎛⎭⎫π3>0≥f ⎝⎛⎭⎫7π12或f ⎝⎛⎭⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点，即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. B 组能力提高11.如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35 答案 B解析 ∵点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35，设∠AOB ＝θ， ∴sin(2π－θ)＝－35，cos(2π－θ)＝45，即sin θ＝35，cos θ＝45，∵∠AOC ＝α，BC ＝1，∴θ＋α＝π3，则α＝π3－θ，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝32cos α－12sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＝35.12．(2018·株洲质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x )>2对∀x ∈⎝⎛⎭⎫π24，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，π2 B.⎣⎡⎦⎤π6，π3 C.⎝⎛⎭⎫π12，π3 D.⎣⎡⎦⎤π12，π6答案 D解析因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期为T ＝π，ω＝2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π24，π3时，2x ＋φ∈⎝⎛⎭⎫π12＋φ，2π3＋φ，且|φ|≤π2，由f (x )>2知，sin(2x ＋φ)>12，所以⎩⎨⎧π6≤π12＋φ，2π3＋φ≤5π6，解得π12≤φ≤π6.13．函数f (x )＝12－x的图象与函数g (x )＝2sin π2x (0≤x ≤4)的图象的所有交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (x 1＋x 2＋…＋x n )＝________. 答案 12解析如图，画出函数f (x )和g (x )的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.14．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， ∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z 时，g (x )单调递增；当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z 时，g (x )单调递减．∴g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .第2讲三角恒等变换与解三角形[考情考向分析] 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)(2018·广东省省际名校(茂名市)联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α等于( )A.2325 B ．－2325C.725 D ．－725答案 D解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝45，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－725. (2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)(2018·湖南G10教育联盟联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6，则tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝________. 答案 23－4解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6， ∴－sin α＝－3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， ∴sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6 ＝332sin α＋32cos α， ∴tan α＝32－33，又tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝tan π3－tan π41＋tan π3tanπ4＝3－11＋3＝2－3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝tan π12＋tan α1－tan π12tan α＝()2－3＋32－331－()2－3×32－33＝23－4. (2)(2018·江西省重点中学协作体联考)若2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ等于( )A.13 B ．－23C.23 D ．－13答案 B解析由题意得2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝2(cos 2θ－sin 2θ)22(cos θ－sin θ)＝2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，将上式两边分别平方，得4＋4sin 2θ＝3sin 22θ，即3sin 22θ－4sin 2θ－4＝0，解得sin 2θ＝－23或sin 2θ＝2(舍去)，所以sin 2θ＝－23.热点二正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc. 例2 (2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即28＝4＋c 2－4c ·cos2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4. 所以c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.思维升华关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (2018·广州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，c ＝8.(1)若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，BM ＝13BC ，ANBM ＝23，求AM 的值；(2)若b ＝12，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得M ，N 是线段BC 的两个三等分点，设BM ＝x ，则BN ＝2x ，AN ＝23x ，又B ＝60°，AB ＝8，在△ABN 中，由余弦定理得12x 2＝64＋4x 2－2×8×2x cos 60°，解得x ＝2(负值舍去)，则BM ＝2. 在△ABM 中，由余弦定理，得AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos B ＝AM 2，AM ＝82＋22－2×8×2×12＝52＝213.(2)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C，得sin C ＝c sin B b ＝8×3212＝33.又b >c ，所以B >C ，则C 为锐角，所以cos C ＝63. 则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝32×63＋12×33＝32＋36，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A＝48×32＋36＝242＋8 3.热点三解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得 b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝217 . 因为a <c ，所以cos A ＝277 .因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B＝437×12－17×32＝3314. 思维升华解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解．跟踪演练3 (2018·雅安三诊)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，若b ＋c ＝2a ，且·＝6，求a 的值．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1 ＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12，可得2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π6＋2k π(k ∈Z )．∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∵·＝bc cos A ＝12bc ＝6，∴bc ＝12，又∵2a ＝b ＋c ，∴cos A ＝12＝(b ＋c )2－a 22bc －1＝4a 2－a 224－1＝a 28－1，∴a ＝2 3.真题体验1．(2017·山东改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是______．(填序号) ①a ＝2b; ②b ＝2a; ③A ＝2B; ④B ＝2A .答案 ①解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ，∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B .由cos C >0，得sin A ＝2sin B .根据正弦定理，得a ＝2b .2．(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.答案－12解析 ∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12， ∴sin(α＋β)＝－12. 3．(2018·全国Ⅲ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝________.答案 π4解析 ∵S ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4. 4．(2018·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．答案 233 解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C .又sin B sin C >0，∴sin A ＝12. 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc>0， ∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.押题预测1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________．押题依据三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点．答案 52解析因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又由5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C 知，cos C >0，并结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝ 3. 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52. 2．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．押题依据三角函数和解三角形的交汇命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－12，因为函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2ω＝2π3，所以ω＝32.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6－12，易得f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12.因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sin B sin C ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc2bc≥2bc －bc2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)．因为0<A <π，所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6≤1，所以－1<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12≤12，所以f (A )的值域为⎝⎛⎦⎤－1，12.A 组专题通关1．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α等于( )A.89B.79C ．－79D ．－89答案 B解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3 B.33 C ．－33 D ．－ 3答案 D解析因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2018·凯里市第一中学《黄金卷》模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A ＝b c，则该三角形为( ) A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．直角三角形答案 D解析由cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，化简得c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形．4．(2018·衡水金卷调研卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( ) A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7 答案 D解析在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ，即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.。

2024年高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》三角函数的图象与性质

4 的单调递减区间为
π＋kπ，5π＋kπ 8 2 8 2 (k∈Z)．
题组三易错自纠
5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线 x＝π对称的是( ) 3
2x＋π A．y＝2sin 3
2x－π B．y＝2sin 6
x＋π C．y＝2sin 2 3
2x－π D．y＝2sin 3
答案 B
解析
函数 y＝2sin
答案 x
3
sin x>0，
解析要使函数有意义，则 cos x－1≥0， 2
sin x>0，
即 cos x≥1， 2
2kπ<x<π＋2kπ，k∈Z，
解得－π＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z，
3
3
所以 2kπ<x≤π＋2kπ(k∈Z)， 3
|2kπ<x≤2kπ＋π，k∈Z
(2)由 sin
π＋2π 63
＝sin
π知，2π是正弦函数 y＝sin x(x∈R)的一个周期．(
×
)
63
(3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( × )
(4)已知 y＝ksin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( × )
(5)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
题组二教材改编
2x－π
－3，3
即 y＝3sin
6 的值域为 2 .
2x－3π
4．函数 y＝－tan
4 的单调递减区间为
．
π＋kπ，5π＋kπ 答案 8 2 8 2 (k∈Z)
解析由－π＋kπ<2x－3π<π＋kπ(k∈Z)，
2
42
得π＋kπ<x<5π＋kπ(k∈Z)， 82 8 2

超实用高考数学专题复习：第四章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质

规律方法求解三角函数的值域(最值)常见三种类型： (1)形如 y＝asin x＋bcos x＋c 的三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋c 的形式，再求值域 (最值)； (2)形如 y＝asin2x＋bsin x＋c 的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如 y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设 t＝sin x±cos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值).
(2)余弦函数 y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，__(_π_，__－__1_)_， 32π，0，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
值域最小正周期
R ___[_－__1_，__1_] ___ ______2_π______
故函数的定义域为x|x≠π4＋kπ，且x≠2π＋kπ，k∈Z.
sin x>0，
sin x>0，
(2)函数有意义，则 cos
x－12≥0，即cos
x≥12，
解得2－kππ3<＋x<2kππ＋≤2xk≤π（π3＋k∈2kZπ）（，k∈Z），
所以 2kπ<x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为x|2kπ<x≤π3＋2kπ，k∈Z.
面对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难
”，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30 天冲刺复习方法。

2022届高考一轮复习第4章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质课时跟踪检测理含解

第四章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质A 级·基础过关 |固根基|1.函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≠kπ＋3π4，k∈Z解析：选D y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，由x －π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋3π4，k∈Z.故选D ．2．(2019届重庆南开中学月考)函数f(x)＝(1＋3tan x )·cos x 的最小正周期为( ) A ．2π B ．3π2C ．πD ．π2解析：选 A ∵f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x cos x ·cos x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴T＝2π.故选A ．3．函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin 2x 是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选 D ∵f(x)＝(1＋cos 2x)sin 2x ＝2cos 2xsin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos 4x 4，∴T＝2π4＝π2且为偶函数．故选D ．4．(2019届江西六校联考)下列函数中，最小正周期是π且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是增函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin xC ．y ＝tan x2D ．y ＝cos 2x解析：选D y ＝sin 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的单调性是先减后增；y ＝sin x 的最小正周期是T ＝2πω＝2π；y ＝tan x 2的最小正周期是T ＝πω＝2π；y ＝cos 2x 满足条件，故选D ．5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x∈[0，π])的增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π解析：选C ∵y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2kπ≤2x －π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π3＋kπ≤x ≤5π6＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋kπ，5π6＋kπ，k∈Z，∴当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.故选C ．6．若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( ) A ．－π6B ．π6C ．－π3D ．π3解析：选D 因为f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，且f(x)的图象关于原点对称，所以f(0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，所以θ－π3＝kπ(k∈Z)，即θ＝π3＋kπ(k∈Z)．又|θ|<π2，所以θ＝π3.7．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x|在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )A B C D解析：选D y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，结合选项图形知，D 正确．8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增解析：选D f(x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f(x)为奇函数，所以φ＝3π4，即f(x)＝－2sin ωx.又直线y ＝2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f(x)的最小正周期为π2.由2πω＝π2，可得ω＝4，故f(x)＝－2sin 4x.由2kπ＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k∈Z，得k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k∈Z.令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D ． 9．(2019年北京卷)函数f(x)＝sin 22x 的最小正周期是________．解析：∵f(x)＝sin 22x ＝1－cos 4x 2，∴f(x)的最小正周期T ＝2π4＝π2.答案：π210．已知函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g(x)＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f(x)的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 11．(2018年北京卷)已知函数f(x)＝sin 2x ＋3sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．解：(1)因为f(x)＝sin 2x ＋3sin xcos x＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，由题意知，－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m≥π3.所以m 的最小值为π3.12．(2019届福州调研)已知函数f(x)＝a2cos 2x2＋sin x ＋b.(1)若a ＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a ，b 的值．解：f(x)＝a(1＋cos x ＋sin x)＋b ＝2asinx ＋π4＋a ＋b.(1)当a ＝－1时，f(x)＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2kπ＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k∈Z)，得2kπ＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a≠0. ①当a>0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a<0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届河南部分示范性高中联考)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<ω<6，|φ|<π2的图象经过点π6，2和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，则函数f(x)的图象的对称轴可以是( )A ．x ＝－11π6B ．x ＝－3π5C ．x ＝π4D ．x ＝π3解析：选A 由题意得，2π3－π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋12T ，k 1∈N ，得T ＝π2k 1＋1(k 1∈N)，故ω＝2πT ＝4k 1＋2(k 1∈N)．因为0<ω<6，k 1∈N ，所以ω＝2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2，∴π3＋φ＝2k 2π＋π2(k 2∈Z)．因为|φ|<π2，故φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2x ＋π6＝π2＋kπ(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k∈Z)，取k ＝－4，得x ＝－11π6.故选A ．14．(2019届湖南长沙一中模拟)若函数f(x)＝sin ωx－cos ωx (ω>0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，则ω的取值不可能为( )A ．14B ．15C ．12D ．34解析：选D f(x)＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ωx －π4(ω>0)，令－π2＋2kπ≤ωx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－π4ω＋2k πω≤x ≤3π4ω＋2k πω，k∈Z.∵f(x)＝sin ωx －cos ωx (ω>0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴令－π4ω≤－π2且3π4ω≥π2，得0<ω≤12，结合选项知选D ．15．(2019届河北、河南重点中学联考)若对于任意x∈R，都有f(x)＋2f(－x)＝3cos x －sin x ，则函数f(2x)图象的对称中心为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k∈Z)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k∈Z)C ．⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k∈Z)D ．⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k∈Z)解析：选D 因为f(x)＋2f(－x)＝3cos x －sin x ，x∈R，① 所以f(－x)＋2f(x)＝3cos x ＋sin x ．②联立①②解得f(x)＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f(2x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝kπ(k∈Z)，得x ＝k π2－π8(k∈Z)，所以f(2x)图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k∈Z)．16．(2019届湖南长沙高三模拟)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点，设∠BPC＝θ，若tan θ2＝34，则f(x)图象的对称中心可以是( )A ．(0，0)B ．(1，0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 解析：选D 由已知作出图形，连接BC ，过P 作BC 的垂线，如图所示．由题意知，A ＝2.又∠BPC＝θ，所以tan θ2＝12|BC|2＋|－2|＝34，解得|BC|＝6，所以T ＝6＝2π|ω|.又∵ω>0，∴解得ω＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ.将点P(1，2)的坐标代入函数解析式，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2，解得φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．令k ＝0，得φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6.令π3x ＋π6＝mπ(m∈Z)，解得x ＝3m －12(m∈Z)．令m ＝1，得x ＝52，即f(x)图象的对称中心可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.故选D ．。

高考数学一轮复习三角函数的图象与性质

＝－2cos
x＋342＋187，－1≤cos
x≤1，
∴当cos x＝1时，f(x)有最小值－4.
(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为__－__1_＋__22___2_，__1_ _.
设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，
f(x)＝sinπ3－2x的单调递减区间是 f(x)＝sin2x－π3的单调递增区间. 由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2，k∈Z. 故所给函数的单调递减区间为kπ－1π2，kπ＋152π，k∈Z.
延伸探究若函数不变，求在[0，π]上的单调递减区间.
_π_ 奇函数
单调递增区间 _2_k_π_－__2π_，__2_k_π_＋__2π__ _[_2_kπ_－__π_，__2_k_π_]_ _k_π_－__π2_，__k_π_＋__π2__
单调递减区间 __2_kπ_＋__2π_，__2_k_π_＋__3_2π__ _[_2_k_π_，__2_kπ_＋__π_]_
C.f x－1π2为奇函数
√D.f(x)的图象关于直线 x＝1112π对称
因为函数 f(x)＝ 3sin2x－π3，所以 f(x)的最大值为 3，A 正确；最小正周期 T＝22π＝π，B 正确； f x－1π2＝ 3sin2x－1π2－π3＝ 3sin2x－π2＝－ 3cos 2x 为偶函数，
递增，则实数 a 的最大值为
√A.π3
π B.2
2π C. 3
D.π
函数 f(x)＝cosx－π3的单调递增区间为－23π＋2kπ，π3＋2kπ(k∈Z)，而函数f(x)又在[－a，a]上单调递增，

2024版高考数学大一轮第四章三角函数与解三角形4-4三角函数的图象与性质

解：令 ,解得 ,故函数的单调递增区间为 .则函数在上单调递增.故选B.
√
3.（教材改编）函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
解：，最小正周期为 .
故选A.
4.（教材改编）函数图象的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
考点三三角函数的奇偶性
例3 （1）判断下列函数的奇偶性.
（Ⅰ）；
解： .因为，，所以是奇函数.
（Ⅱ）；
解：因为，所以 ,所以，即 ,定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数.
（Ⅲ） ;
解：定义域为，，又因为，所以 ,所以是奇函数.
（2） ,则为奇函数 .
6.正、余弦函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其半周期；图象与轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是半周期；函数取最值的点与其相邻的零点距离为周期.
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
值域
_______
_______
___
名称
无
对称轴：_ ________；对称中心：_______
对称轴：_______；对称中心：_ __________
无对称轴;对称中心：_ _______
续表
名称
最小正周期
____
____
___
单调递增区间：_ _________________单调递减区间：_ _________________
（2）若是函数的一个周期，则（且）也是的周期.
（3）周期函数的定义域是无限集.
（4）函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.因此要研究某周期函数的性质，一般只需要研究它在一个周期内的性质.

2024届高考数学一轮复习第四章《三角函数与解三角形》第四节三角函数的图象与性质

[解析] ∵函数，∴ ∴ ，∴函数的定义域为 .
易错提醒易忽视正切函数本身的定义域致误.
关键能力·突破
考点一三角函数的定义域和值域（最值）
1. （2022河北邯郸二模）函数在上的值域为( )
A. B. C. D.
C
[解析] 由，得 .当，即时，；当，即时，，故的值域为 .
（答案不唯一）
[解析] 可取，令，则 , ，所以函数的图象关于直线对称，令，则 , ，则函数图象的对称中心为，，即函数的图象关于原点中心对称，所以符合题意.
5. 函数， .若为偶函数，则 ___;若为奇函数，则 _ __.
[解析] 若为偶函数，则 , ，即，，， .若为奇函数，则，，即，，， .
角度2 已知三角函数的单调性求参数的值（范围）
例2
（1）（2022山东潍坊模拟）若在区间上单调递增，则实数的取值范围为_ _______.
[解析] 由，得，易知，则解得 .
（2）（2022湖南永州模拟）已知函数在上单调递增，写出的一个取值：_________________.
（2）（2022湖北模拟）若直线是函数图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是( )
A. B. C. D.
D
[解析] 因为直线是函数图象的对称轴，所以 , , ，故 , , ，所以，故的最小正周期的最大值为 .
角度2 三角函数的奇偶性
A. B. C. D.
C
[解析] 图象的两条相邻对称轴之间的距离为，的最小正周期，解得，，令，得，此时，图象的对称中心为，当时，图象的一个对称中心为 .

第4章第四章三角函数、解三角形第6节三角函数的图象与性质课件高考数学一轮复习

内容索引
内容索引
1. ( 多选 )(2022 山东高三开学考试 ) 函数 f(x) ＝ tan(ωx ＋ φ)
0<|φ|<π2，ω>0的某相邻两支图象与坐标轴分别交于点 Aπ6，0，B23π，0，
则方程 f(x)＝sin2x－π3，x∈[0，π]的解为(
)
5π A. 12
2π B. 3
内容索引
【解析】因为 sin2x＋π6∈[－1,1]，所以－2asin2x＋π6∈[－2a,2a]，所以 f(x)∈[b,4a＋b]．因为 f(x)的值域是[－5,1]，所以 b＝－5，4a＋b＝1，解得 a＝32>0，故实数 a 的值为32.
内容索引
1 已知 a>0，函数 f(x)＝－2asin2x＋π6＋2a＋b.当 x∈0，π2时，f(x) 的值域是[－5，1]，求实数 a 的值．
sin2x＝±1，即 x＝k2π＋π4，k∈Z 时取等号，即当 x＝k2π＋π4，k∈Z 时，ymax
＝ 2，故 A 错误；对于 B，y＝－(cos2x－sin2x)＝－cos2x≤1，当且仅当
2x＝2kπ－π，即 x＝kπ－π2，k∈Z 时取等号，即当 x＝kπ－π2，k∈Z 时，ymax ＝1，故 B 正确；对于 C，y＝(2sinxcosx)2＝sin22x≤1，当且仅当 sin2x＝±1，
所以－π4ωπ≤3ω2π≥，－π2，
解得ω≤23， ω≤2.
又 ω>0，所以 0<ω≤32，故 ω 的取值范围是0，32.
内容索引
已知 ω＞0，函数 f(x)＝sinωx＋π4在区间π2，π上是减函数，则 ω 的取值范围是________.
【解析】由π2＜x＜π，且 ω>0，得π2ω＋π4＜ωx＋π4＜πω＋π4.由题意知

[推荐学习]高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时训练理

[推荐学习]高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时训练理第3节三角函数的图象与性质【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.(2015高考四川卷)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) (A)y=cos(2x+) (B)y=sin(2x+)(C)y=sin 2x+cos 2x (D)y=sin x+cos x解析:选项A,y=cos(2x+)=-sin 2x,符合题意.2.(2016合肥质检)下列关系式中正确的是( C )(A)sin 11°<cos 10°<sin 168°(B)sin 168°<sin 11°<cos 10°当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( A )(A)f(2)<f(-2)<f(0) (B)f(0)<f(2)<f(-2) (C)f(-2)<f(0)<f(2) (D)f(2)<f(0)<f(-2)解析:因为f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期为π,且x=,x=分别是经过最小值点,最大值点的对称轴.即f(x)在(,)上为减函数,又f(-2)=f(π-2), f(0)=f(),<<π-2<2<.所以f()>f(π-2)>f(2).即f(0)>f(-2)>f(2).故选A.6.(2016济南调研)关于函数f(x)=sin(2x+)与函数g(x)=cos(2x-),下列说法正确的是( D )(A)函数f(x)和g(x)的图象有一个交点在y轴上(B)函数f(x)和g(x)的图象在区间(0,π)内有3个交点(C)函数f(x)和g(x)的图象关于直线x=对称(D)函数f(x)和g(x)的图象关于原点(0,0)对称解析:g(x)=cos(2x-)=cos(2x--)=cos[-(2x-)]=sin(2x-),由f(0)=,g(0)=-,故A错;易知f(x)和g(x)的图象在(0,π)内有2个交点,B错;由f(π-x)=sin[2(π-x)+]=-sin(2x-)≠g(x). f(x)和g(x)的图象不关于直线x=对称,C错; 由f(-x)=sin[2(-x)+]=-sin(2x-)=-g(x),f(x)和g(x)的图象关于原点(0,0)对称,选D.7.(2016合肥质检)设y=sin(ωx+ϕ) (ω>0,ϕ∈(-,))的最小正周期为π,且其图象关于直线x=对称,则在下面四个结论中:①图象关于点(,0)对称;②图象关于点(,0)对称;③在[0,]上是增函数;④在[-,0]上是增函数. 正确结论的编号为.解析:因为T=π,所以ω=2,所以y=sin(2x+ϕ).因为图象关于直线x=对称,所以+ϕ=+kπ(k∈Z),所以ϕ=+kπ(k∈Z).又因为ϕ∈(-,),所以ϕ=.所以y=sin(2x+).当x=时,y=sin(+)=,故①不正确;当x=时,y=0,故②正确;当x∈[0,]时,2x+∈[,],y=sin(2x+)不是增函数,即③不正确;当x∈[-,0]时,2x+∈[0,]⊆[0,],故④正确.答案:②④8.若f(x)=sin(x+),x∈[0,2π],关于x的方程f(x)=m有两个不相等实数根x1,x2,则x1+x2等于.解析:对称轴x=+kπ∈[0,2π], 得对称轴x=或x=,所以x1+x2=2×=或x1+x2=2×=,答案:或9.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0,]上的最大值是,则ω= .解析:由0≤x≤,得0≤ωx≤<,则f(x)在[0,]上单调递增,又在这个区间上的最大值是,所以2sin =,又0<<,所以=,解得ω=.答案:10.(2015高考北京卷)已知函数f(x)=sincos-sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.解:(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)=sin(x+)-,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤.当x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f(-)=-1-.11.(2015高考重庆卷)已知函数f(x)=sin sin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在上的单调性.解:(1)f(x)=sin(-x)sin x-cos2x=cos xsin x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin(2x-)-,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为. (2)当x∈[,]时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在[,]上单调递增;在[,]上单调递减.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016黄山质检)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在x=1处取最大值,则( D ) (A)f(x-1)一定是奇函数(B) f(x-1)一定是偶函数(C)f(x+1)一定是奇函数(D)f(x+1)一定是偶函数解析:由f(x)=Asin(ωx+ ),且f(x)在x=1处取得最大值,得f(x)关于x=1对称,则f(x+1)关于y轴对称,即f(x+1)一定是偶函数.13.(2016赤峰质检)函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象如图所示,其中A>0,ω>0,|ϕ|<,则关于f(x)的说法正确的是( D )(A)对称轴方程是x=+2kπ(k∈Z)(B)ϕ=-(C)最小正周期为π(D)在区间(-,-)上单调递减解析:-(- )=π=×,故ω=1,由题图知-+φ=k π,k∈Z,A=1,又|φ|<,故φ=,所以函数f(x)=sin(x+).函数f(x)图象的对称轴方程为x+=kπ+,即x=+kπ(k∈Z),选项A中的说法不正确;选项B中的说法不正确;函数f(x)的最小正周期为2π,选项C中的说法不正确;由2kπ+≤x+≤2kπ+,得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递减区间是[2kπ+,2kπ+](k∈Z),令k=-1,得函数f(x)的一个单调递减区间为[-,-],即[-,-],由于(-,-),即(-,-)⊆[-,-],所以函数f(x)在(-,-)上单调递减.故选D. 14.函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π]的最小值是.解析:设sin x-cos x=t,t=sin(x-),因为x∈[0,π],所以x-∈[-,π],所以t∈[-1,],sin xcos x=,所以y=t+=-(t-1)2+1,当t=-1时,y=-1.min答案:-115.(2015金华模拟)已知f(x)=2sin (2x+)+a+1.(1)若x∈R,求f(x)的单调递增区间;(2)当x∈[0,]时,f(x)的最大值为4,求a的值;(3)在(2)的条件下,求满足f(x) =1且x∈[-π,π]的x的取值集合.解:(1)f(x)=2sin (2x+)+a+1,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,可得x∈[kπ-,kπ+](k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)当x=时,f(x)取最大值f()=2sin +a+1=a+3=4,所以a=1.(3)由f(x)=2sin (2x+)+2=1可得sin(2x+)=-,则2x+=+2kπ,k∈Z或2x+=π+2kπ,k∈Z, 即x=+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,又x∈[-π,π],可解得x=-,-,,,所以x的取值集合为(-,-,,].16.已知a>0,函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,当x ∈[0,]时,-5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值;(2)设g(x)=f(x+)且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.解:(1)因为x∈[0,],所以2x+∈[,].所以sin(2x+)∈[-,1],所以-2asin(2x+)∈[-2a,a].所以f(x)∈[b,3a+b].又因为-5≤f(x)≤1,所以b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得a=2,b=-5,所以f(x)=-4sin(2x+)-1,g(x)=f(x+)=-4sin(2x+)-1=4sin(2x+)-1,又由lg g(x)>0得g(x)>1,所以4sin(2x+)-1>1,所以sin(2x+)>,所以2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z.所以g(x)的单调增区间为(kπ,kπ+],k∈Z. 又因为当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.所以g(x)的单调减区间为(kπ+,kπ+),k∈Z.精彩5分钟1.(2015邯郸模拟)已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[-,]上的最小值是-2,则ω的最小值为( B )(A) (B) (C)2 (D)3解题关键:利用数形结合分析[-,]上的最值.解析:因为ω>0,所以-ω≤ωx≤ω,由题意,结合正弦曲线易知,-ω≤-,即ω≥.故ω的最小值是.2.(2015大连模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ),x∈R,其中ω>0,-π<ϕ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则( A )(A)f(x)在区间[-2π,0]上是增函数(B)f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数(C)f(x)在区间[3π,5π]上是减函数(D)f(x)在区间[4π,6π]上是减函数解题关键:先由题中条件确定ω与ϕ的值,再验证各选项即可.解析:因为f(x)的最小正周期为6π,所以ω=, 因为当x=时,f(x)有最大值,所以×+ϕ=+2kπ(k∈Z),ϕ=+2kπ(k∈Z),因为-π<ϕ≤π,所以ϕ=.所以f(x)=2sin(+),由此函数验证易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上不是单调函数,在区间[4π,6π]上是增函数.。

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课时规范练19三角函数的图像与性质

课时规范练19三角函数的图像与性质基础巩固组1.函数y=|2sin x|的最小正周期为()A.πB.2πC.π2D.π42.函数y=sinπ4-x的一个单调递增区间为()A.3π4,7π4B.-π4,3π4C.-π2,π2D.-3π4,π43.(2020天津,8)已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论:①f(x)的最小正周期为2π;②f(π2)是f(x)的最大值;③把函数y=sin x的图像上所有点向左平移π3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图像.其中所有正确结论的序号是()A.①B.①③C.②③D.①②③4.已知函数f(x)=sinωx+π6-1(ω>0)的最小正周期为2π3,则f(x)的图像的一条对称轴方程是()A.x=π9B.x=π6C.x=π3D.x=π25.(多选)设函数f(x)=sin x-π4,则下列结论正确的是()A.f(x)的一个周期为2πB.f(x)的图像关于直线x=π4对称C.f(x)的图像关于点-π4,0对称D.f(x)在区间0,π2上单调递增6.(多选)(2020山东青岛五十八中模拟)已知函数f(x)=cos2x-π6,则下列结论中正确的是()A.函数f(x)是周期为π的偶函数B.函数f(x)在区间π12,5π12上单调递减C.若函数f (x )的定义域为0,π2,则值域为-12,1 D.函数f (x )的图像与g (x )=-sin 2x-2π3的图像重合7.函数f (x )=tan 2x+π3的单调递增区间是 .8.已知直线y=m (0<m<2)与函数f (x )=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图像相邻的三个交点依次为A (1,m ),B (5,m ),C (7,m ),则ω= .综合提升组9.(2020广东广州一模,理6)如图,圆O 的半径为1,A ,B 是圆上的定点,OB ⊥OA ,P 是圆上的动点,点P 关于直线OB 的对称点为P',角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,将|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |表示为x 的函数f (x ),则y=f (x )在[0,π]上的图像大致为( )10.已知ω>0,函数f (x )=sin ωx+π4在π2,π上单调递减,则ω的取值范围是( ) A.12,54 B.12,34 C.0,12D.(0,2]11.(2020全国3,文12)已知函数f (x )=sin x+1sinx,则 ( )A.f (x )的最小值为2B.f (x )的图像关于y 轴对称C.f (x )的图像关于直线x=π对称D.f (x )的图像关于直线x=π2对称12.已知函数f (x )=√2sin 2x-π4的定义域为[a ,b ],值域为-√2,√22,则b-a 的值不可能是( ) A.5π12B.π2C.7π12D.π13.(2020江西名校大联考,理16)函数f (x )=sin x+12sin 2x 的最大值为 .创新应用组14.(2020北京西城十五中一模,14)已知函数f(x)=sin x,若对任意的实数α∈-π4,-π6,都存在唯一的实数β∈(0,m),使f(α)+f(β)=0,则实数m的最大值是.参考答案课时规范练19三角函数的图像与性质1.A由图像知T=π.2.A y=sinπ4-x=-sin x-π4,故由2kπ+π2≤x-π4≤2kπ+3π2(k∈Z),解得2kπ+3π4≤x≤2kπ+7π4(k∈Z).故单调递增区间为2kπ+3π4,2kπ+7π4(k∈Z).当k=0时,函数的一个单调递增区间为3π4,7π4.3.B∵f(x)=sin(x+π3),∴①f(x)最小正周期T=2π1=2π,正确;②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6≠1,不正确;③y=sin x f(x)=sin x+π3,正确.故选B.4.A依题意,得2π|ω|=2π3,即|ω|=3.又ω>0,所以ω=3,所以3x+π6=kπ+π2,k∈Z,解得x=kπ3+π9,k∈Z,当k=0时,x=π9.因此函数f(x)的图像的一条对称轴方程是x=π9.5.AD函数的最小正周期为T=2π|ω|=2π,所以2π是函数f(x)的一个周期,故A正确;当x=π4时,fπ4=sinπ4−π4=0,直线x=π4不是f(x)图像的对称轴,故B错误;当x=-π4时,f-π4=sin-π4−π4=-1≠0,故C错误;当x∈0,π2时,x-π4∈-π4,π4,所以函数f(x)=sin x-π4单调递增,故D正确.故选AD.6.BD因为f(x)=cos2x-π6,则函数f(x)是周期为π的函数,但不是偶函数,故A错误;当x∈π12,5π12时,2x-π6∈0,2π3,且0,2π3⊆[0,π],则函数f(x)在区间π12,5π12上单调递减,故B正确;若函数f(x)的定义域为0,π2,则2x-π6∈-π6,5π6,其值域为-√32,1,故C错误;g(x)=-sin2x-2π3=-sin-π2+2x-π6=sinπ2-2x-π6=cos2x-π6,故D正确.故选BD.7.kπ2−5π12,kπ2+π12(k ∈Z ) 由k π-π2<2x+π3<k π+π2(k ∈Z ),得kπ2−5π12<x<kπ2+π12(k ∈Z ),所以函数f (x )=tan 2x+π3的单调递增区间为kπ2−5π12,kπ2+π12(k ∈Z ).8.π3由题意,f (x )图像的相邻的两条对称轴分别为x=1+52=3,x=5+72=6,故函数的周期为2×(6-3)=2πω,得ω=π3.9.B 由题意,当x=0时,P 与A 重合,则P'与C 重合,所以|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,故排除C,D 选项;当0<x<π2时,|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P'P|=2sin π2-x =2cos x ,由图像可知选B .故选B .10.A 由π2<x<π,得π2ω+π4<ωx+π4<πω+π4,由题意π2ω+π4,πω+π4⊆2k π+π2,2k π+3π2,k ∈Z ,∴{π2ω+π4≥2kπ+π2,k ∈Z ,πω+π4≤2kπ+3π2,k ∈Z ,∴4k+12≤ω≤2k+54,k ∈Z ,当k=0时,12≤ω≤54,故选A .11.D 由sin x ≠0可得函数的定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z },关于原点对称,且函数f (-x )=sin(-x )+1sin (-x )=-sin x-1sinx =-f (x ),故该函数为奇函数,其图像关于原点对称,选项B 错误;令t=sin x ,则t ∈[-1,0)∪(0,1],由g (t )=t+1t的性质,可知g (t )∈(-∞,-2]∪[2,+∞),故f (x )无最小值,选项A 错误;由f (2π-x )=sin(2π-x )+1sin (2π-x )=-sin x-1sinx =-f (x ),f (π-x )=sin(π-x )+1sin (π-x )=sin x+1sinx =f (x ),故函数f (x )的图像关于直线x=π2对称,选项D 正确.故选D .12.D ∵a ≤x ≤b ,∴2a-π4≤2x-π4≤2b-π4.又-√2≤√2sin 2x-π4≤√22,即-1≤sin 2x-π4≤12,∴2b-π4-2a-π4max =π6--7π6=4π3,2b-π4-2a-π4min =π6--π2=2π3,故π3≤b-a ≤2π3,故b-a 的值不可能是π,故选D .13.3√34 由题意,f'(x )=cos x+cos 2x=2cos 2x+cos x-1=(2cos x-1)(cos x+1),因为cos x+1≥0,所以当cos x>12时,f'(x )>0,当-1<cos x<12时,f'(x )<0,即x ∈2k π-π3,2k π+π3时,f (x )单调递增,当x ∈2k π+π3,2k π+5π3时,f (x )单调递减,故f (x )在x=2k π+π3,k ∈Z 处取得极大值,即f (x )的最大值,所以f (x )max =sin π3+12sin 2×π3=√32+12×√32=3√34.14.3π4由f(x)=sin x,且α∈-π4,-π6,可得f(α)∈-√22,-12,因为存在唯一的实数β∈(0,m),使f(α)+f(β)=0,即f(β)=k,k∈12,√22有且仅有一个解,作函数y=f(β)的图像及直线y=k,k∈12,√22如下,当两个图像只有一个交点时,由图像,可得π4≤m≤3π4,故实数m的最大值是3π4.。