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第5讲三角函数、解三解形

cos cot
1 sin 2 2 x cos 2 x 成立的x的 3 0, , 取值范围是 4 4 . 7.三角函数诱导公式 ( k )(k Z)的本质是:奇变偶不 2
②若0≤2x≤2 ，则使
变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+ ,0≤<2 ;(2)转化为锐角三角函数.如①cos 9
2
4
sin 2
1 cos 2 2
2 1 与升幂公式： cos 2 2 cos ,1
1 cos 2 , 2
cos 2 2 sin 2 ).
10.辅助角公式中辅助角的确定： sin x b cos x a
（其中角所在的角限由a,b的 a 2 b 2 sin( x ) 符号确定，角的值由 tan b 确定）在求最值、
2 2
点，再用光滑的曲线把这五点连结起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象.
12.正弦函数y=sin x(x∈R)、余弦函数y=cos x(x∈R)
的性质（1）定义域：都是R. （2）值域：都是［-1,1］，对y=sin x，当 x 2k 时，y取最小值-1；对y=cos x，当 x 2k (k∈Z) 时，y取最大值1，当 x 2k (k∈Z)时，y取最

《高中数学课件-解三角形》

按角度
锐角三角形，所有角度都小于90度。
三角形的性质
1
角度和
三角形内角和为180度。
边长关系
2
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
如何求解三角形的各个角度？
1 角度和
已知两个角度，可以计算第三个角度。
2 正弦定理
3
可以求解任意角度的正弦值，并计算角度大小。
余弦定理
可以求解任意角度的余弦值，并计算角度大小。
如何利用三角函数求解三角形边长？
1
余弦定理
2
可以用已知角度的余弦值、已知角度、
另一条边，计算第三边。
3
正弦定理
可以用已知角度的正弦值、已知角度、另一条边，计算第三边。
正切定理
可以用已知角度的正切值、已知角度、另一条边，计算第三边。
如何应用海伦公式求解三角形面积？
公式
海伦公式：$\sqrt{s(s-a)(sb)(s-c)}$
如何解三角形在平面几何中的应用？
可以用来计算各种图形的面积、周长、角度大小等，是很多数学问题的基础和工具。
如何应用三角函数求解解决实际问题？
可以用来求解各种实际问题，如测量高度、距离、角度大小、速度等。
含义
s是半周长，a、b、c是三角形的三条边长。
优点
不需要知道高或者角度，适用面较广。

“高中数学选修4-解三角形课件”

探讨海龙公式的应用
学习使用海龙公式解决特殊情况下的三角形问题。
1 海龙公式
s =(a +b +c) / 2
解决一个三角形不唯一的情况的方法
探讨当一个三角形不唯一时，如何确定其特殊属性和解决问题的方法。
1
等腰三角形
了解等腰三角形的特点和解决方法。
直角三角形
2
讲解如何确定直角三角形以及解题
技巧。
3
其他特殊情况
学习如何用已知两边和一个角度的条件解决三角形问题。
1
题目分析
仔细阅读题目并整理所给信息。
解题思路
2
根据已知条件使用三角函数来计算
未知量。
3
举例解题
通过例题演示如何解决这类问题。
已知两角和一边的情况
探索如何应用几何知识来求解已知两角和一边的三角形问题。
角和求解
使用角和公式计算第三个角度。
边长求解
根据正弦、余弦、正切定理计算边长。
举例演示如何运用三角函数解决三角形问题。
利用对称性解决三角形问题的方法
介绍如何利用对称性解决特殊情况下的三角形问题。
1
角平分线
2
详细解释角平分线的特性和应用。
3
中位线
讲解中位线的定义和性质，以及如何运用。
高线和垂心
探讨高线和垂心在解决三角形问题中的作用。

人教高中数学必修五第一章解三角形复习课件(共18张PPT)

A
b
ha
aC
Leabharlann Baidu
本章知识框架图
正弦定理余弦定理
解三角形
一、选择题
1.在ＡＢＣ中， AC=3, A45o, C75o,则 BCA
A . 2B . 3C .2 D . 5
2 . 在 A B C 中， A 6 0 o ， a 6 , b 3 , 则 A B C 解得情况是 A
得 tan （ AB ） tanAtanB 3 ， C60o
1tanA •tanB
QSABC1 2absinC323， ab6
由余弦定理得： c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C
c 2 （ a b ） 2 2 a b 2 a b c o s C代入计算得：ab11
b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cosC
三角形的面积公式：
a2 c2 b2 cos B
2ac cosC a 2 b2 c2
2ab
S A B C1 2aha1 2bhb1 2chc
c
S A B C 1 2 a b sin C 1 2 b c sin A 1 2 a c sin B B
例在 A B C 中， a 2 （ b b c ），求 A 与 B 满足的关系
本题启示：由正弦定理、余弦定理进行边角转化一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要

人教版高中数学必修五第一章解三角形课件PPT

3.在△ABC 中，sinA＝sinB，则△ABC 是( B )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
[解析] 由正弦定理ab＝ssiinnAB＝1，∴a＝b.
4. (2014·湖北高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边
分别为 a,b,c.已知
A=
π 6
,a=1,b=
6 2<
2.
∴∠A 有两解，∴A＝60°或 120°.
当 A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝bssiinnBC＝
s2isni4n57°5°＝
6＋ 2
2 .
当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝bssiinnBC＝
s2isni4n51°5°＝
6－ 2
2 .
第一章解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求 A,C两点的距离呢？
.C
.B .A
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.（重点、难点）
b
b 2R, a 2R. 即得 :

高中数学：第1章解三角形 §1.1-§1.1.2

2＋ 4
6 .
综合
新知
故 a＝b×ssiinn AB＝
2＋ 2
6＝1＋
3，
典例
c＝b×ssiinn CB＝2×ssiinn 6405° °＝ 6.
训练 · 能力提
剖析
答案 (1)45° (2)a＝1＋ 3 c＝ 6
升
·
探
究
突
破
菜单
数学(A)·必修5
第一章解三角形
预习
综合训练·能力提升
例剖
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝ 52.
· 能力提升
析 ·
在△BCD 中，由余弦定理得
探
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC
究突破
＝25＋8－2×5×2 2× 52＝25.
所以 BC＝5.
菜单
数学(A)·必修5
第一章解三角形
预
习
◆方法规律
典 b＝7k，则 b＋c＝9k，c＋a＝10k，求得 a＝4k，b＝3k，c
能力
例剖析
＝6k.再利用余弦定理可得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－2114＜0，
提升
· 探
故 C 为钝角.∴△ABC 一定为钝角三角形.故选 C.
究突破
答案

高中数学解三角形ppt课件

解三角形在实际问题中的应用举例
01
02
03
测量问题
利用解三角形的方法解决测量中的距离、高度等问题。
航海问题
在航海中，通过观测天体的高度和方位角，利用解三角形的方法确定船位。
物理问题
在物理中，解三角形的方法可用于解决力学、光学等问题。
解三角形在数学竞赛中的应用举例
几何证明题
在数学竞赛中，解三角形的方法常用于几何证明题中，通过构造直角三角形或一般三角形来证明
04
三角形面积公式及其应用
三角形面积公式推导与证明
已知三角形三边a, b, c，记p为半周长，即p = (a 01 + b + c) / 2
面积公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)]的推导 02 过程
通过海伦公式和秦九韶公式证明面积公式的正确 03 性
利用面积公式求解三角形问题
01 已知三边求面积
直接代入面积公式进行计算
02 已知两边及夹角求面积
利用面积公式S = 1/2ab*sinC进行计算
03 已知三角形的三条高求面积
利用面积公式S = 1/2ah进行计算，其中a为底， h为高
面积公式在几何问题中的应用
பைடு நூலகம்
判断三角形的形状
通过计算面积和比较边长，可以判断三角形是等边、等腰还是一般三角形

高中数学必修5高中数学复习课《解三角形》PPT

变式练习2 将本例条件变为“若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13”，则△ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析在△ABC 中， sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13， ∴a∶b∶c＝5∶11∶13，故设 a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得
解析答案
(2)求a的最小值. 解 ∵bc＝5，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2×5×35，
∴a2＝b2＋c2－6， ∴a2＝b2＋c2－6⇒b2＋c2＝6＋a2≥2bc＝10. ∴amin＝2.
当且仅当 b＝c＝ 5时，a 有最小值 2.
点评
解析答案
跟踪演练 3 已知函数 f(x)＝2cos 2x( 3cos 2x－sin 2x)，在 △ABC 中，有 f(A)＝ 3＋1.
得 4＝b2＋12－2×b×2 3× 23，
即b2－6b＋8＝0， ∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2.
解析
(2)(2016·课标全国乙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. ①求C；
解由已知及正弦定理得， 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C.

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25
02 合作探究
[规律方法] 测量高度问题的两个关注点 (1 )“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. (2 )“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.
2020-5-11
例 3、如图 127，为了测量河对岸的塔高 A B ，有不同的方案，其中之一是选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 和 D ，测得 C D ＝200 米，在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的仰角分别是 45°和 30°，且∠C B D ＝30°，求塔高 A B .
2020-5-11
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2020-5wk.baidu.com11
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4
01 学习目标
思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
提示：利用正弦定理和余弦定理．
2020-5-11
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5
01 学习目标
3
即 2 0 0 2＝h 2＋( 3 h )2－2·h · 3h · ，
2
所以 h 2＝2 0 0 2，解得 h ＝2 0 0 (h ＝－2 0 0 舍去)，即塔高 A B ＝200 米．

(人教版)高中数学必修5课件：第1章解三角形1.1.2

1．利用余弦定理解三角形的步骤： (1) 两边和它们的夹角余―弦――定→理另一边余―正弦―弦定――定理―理推→论另两角
数学必修5
第一章解三角形
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2．利用余弦定理解三角形的注意事项： (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”． (2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论也可利用正弦定理求解．利用余弦定理的推论求解运算较复杂，但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断，尽可能减少出错的机会．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
a2＝b2－c2＋ 2ac，则角B的大小是( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．135°
数学必修5
第一章解三角形
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解析： ∵a2＝b2－c2＋ 2ac， ∴a2＋c2－b2＝ 2ac，由余弦定理得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝ 22aacc＝ 22，又0°<B<180°，所以B＝45°.
第一章解三角形
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第一章解三角形教学课件 PPT (全) 高中数学必修五

其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选 B.
第一章解三角形
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自主预习
1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ___si_an_A_＝__s_ibn_B__＝__s_inc_C_____.
第一章解三角形
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对正弦定理的理解： (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．
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第一章
解三角形
第一章解三角形
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
第一章解三角形

高中数学课件第3单元三角函数、解三角形第21讲二倍角公式与简单的三角恒等变换

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高中数学必修5《解三角形》PPT课件

解析：在△ABC 中，
由正弦定理得 sin B＝bsin A＝ a
6×
2 2 ＝1，因为
b＜a，
23 2
所以 B＜A，所以 B＝30°，
C＝180°－A－B＝105°，sin C＝sin 105°＝
sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝
6＋ 2 4.
解三角形
知识梳理
1．正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R
为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a sin
b
c
A＝_s_i_n_B__＝_s_in__C_＝2R
a2＝_b_2_＋__c_2_－__2_b_c_co_s__A_；
b2＝_c_2_＋__a_2－__2_c_a_c_o_s_B__； c2＝_a_2_＋__b_2－__2_a_b_c_o_s__C_
则2c－a＝2k sin C－k sin A ＝2sin C－sin A ，
b
ksinB
sinB
所以cos A －2cos C＝2sinC－sin A .
cosB
sinB
即(cosA －2cosC)sin B ＝(2sin C－sin A )cosB ，
化简可得 sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．

人教版高中数学必修5第1章《解三角形》PPT课件

(2)表达式：__s_i_na_A__＝__si_nb_B__＝__si_nc_C_____.
数学必修5
第一章解三角形
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1．正弦定理的变形公式
正弦定理以下变形，可直接应用．
(1)asin B＝bsin A；asin C＝csin A；bsin C＝csin B(交叉相
2．在△ABC中，若c＝ 6，C＝π3，a＝2，求A，B，b.
解析：
由sina
A＝sinc C，得sin
A＝asicn
C＝
2 2.
∴A＝π4或A＝34π.
又∵c>a，∴C>A.∴只能取A＝π4，
5π ∴B＝π－π3－π4＝51π2，b＝cssiinnCB＝ 6·sinπ12＝ 3＋1.
sin3
数学必修5
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解析：
由已知得
a2sin B cos B
＝
b2sin A cos A
，由正弦定理的推广得
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆的半径)， ∴4R2scino2sABsin B＝4R2scino2sBAsin A，
数学必修5
第一章解三角形
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第四章解三角形
正弦定理和余弦定理内角和定理：
1
面积公式: 3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
2
4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
3
已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论 B
4
5
2判断三角形形状
6
7
考点2: 三角形中的三角变换
8
9
10
考点3 与三角形的面积相关的题
11
题型2:已知面积求线段长或角
12
13
C
14
Biblioteka Baidu
15
16
17
18
19
解三角形应用举例
1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b
2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．
3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C．

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第5讲 三角函数、解三解形

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人教高中数学必修五 第一章 解三角形复习课件(共18张PPT)

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高中数学：第1章 解三角形 §1.1-§1.1.2

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高中数学课件第3单元 三角函数、解三角形第21讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换

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