椭圆中的最值问题归纳

Ｂ２＝２ ｂ ．
２ ． 椭 圆中最长 的焦 点 弦为 Ａ ＝ ２ ａ ， 最 短 的焦 点弦
为 通 径 ．
ａ
， Ｊ
３ ． 椭 圆中最大 的焦半 径为 ａ＋ ｃ ， 最小 的焦半径为 ａ— ｃ ； 或者说 ： 椭 圆上任一点 到焦 点 的距 离 的最大值 为 ａ＋ｃ ，
最 小 值 为 ａ— ｃ ．
Ｐ ＦＩ ＝ｌ ｌ —ｌ
Ｉ ＋ ６ ． 当 Ｐ， Ａ， Ｆ 三点共 线 时， Ｉ Ｉ —
Ｐ Ｆ Ｉ 取到最： ｋ ￣ｉ Ａ Ｆ Ｉ ＝ ， 或者最小值 一Ｉ ａ Ｆ Ｉ ＝一 ．
・
．
．
Ｉ Ｉ ＋Ｉ Ｐ Ｆ Ｉ 的最大值为 ６ ＋ √ ， 最小值 为 ６一 √ ．
４ ． 求一点与椭 圆上 一点 的距 离 最值 问题 常 用两 点距 离 公式 表 示 ， 消去 或 Ｙ转化成 二次 函数求最 值
二、 例 题 分 析
例题 ｌ （ ２ ０ １ ４年
２
Ｐ
ｄ
．．
问题． 求解 时 需 注意 自变 量 的取 值 范围． ５ ． 在平面 内， 设 Ｐ为一 动点 ， Ｍ 为定直线 Ｚ 外一定点 ， ｄ为 Ｐ到 Ｚ 的 距离， 为 到 ｚ 的距离 ， 则 Ｊ Ｐ Ｍ Ｊ ＋ ｄ的最小值 为 ｄ ． ６ ． 设 Ａ、 Ｂ是直 线 ｚ 同侧 两定 点 ， 且 直线 Ａ Ｂ上Ｚ ， 点 Ｐ为直 线 ｚ 上一 动 点， 则 ／Ａ Ｐ Ｂ有最 大值． ７ ． 设 点 Ｐ为 椭 圆 上 任 一 点 ， 则 Ｃ Ｏ Ｓ ／Ｆ １ ２ ≥１ — ２ ｅ ， ５ 的最大值
●
福建卷 ） 设 Ｐ， Ｑ分别 为圆 ＋（ ｙ一 ６ ） ＝ ２和 椭圆 ＋ Ｙ
＝
／ 一
—
１ 上的点 ， 则 Ｐ， Ｑ两点 问的最 大距离是 （
）
Ｐ
Ａ ． 姬
解析
Ｂ ．
＋
Ｃ ． ７ 十
Ｄ ．
设 椭 圆上任意 一点 为 Ｑ（ ， Ｙ ） ， 则 圆心 （ ０ ， ６ ）
作者简介 ： 陈 国林（ １ ９ ９ ４ ． １ ２一） ， 男， 安徽 利辛人 ， 从事数 学教 育研 究
＝
数理化 解 题 研 究
例 题 ３设 Ｐ 是 椭 圆 等＋ ＝ １ 上 一 点 ， Ｆ 。 ， Ｆ ２ 是 椭
１ ７年第 ３ １ 期 总第 ３ ８ ０ 期
（ ２ ） 当 变化 时 ， 讨论 线段 Ａ Ｄ与 Ｂ Ｃ长度 之 间 的关 系， 并给 出证 明； （ ３ ） 当ｏ ｔ 变化 时， 求 四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ面积 的最大 值及对 应 的 值． 解 析 （ ｔ ） 由已 知 ， 得 ｂ ＝ Ｃ ＝ ｌ ， 所以ａ ＝ ２ ．
收 稿 日期 ； ２ ０ １ ７—０ ７— ０ １
／ Ｓ ｏ 一
．
动点 ， Ａ （ １ ， １ ） 是一定点 ， 求ｌ Ｐ Ａｌ ＋ Ｉ Ｐ ＦＩ 的最大值和最小值． 解 析 由 题 意 知 ａ＝３ ， ｂ＝
，
—
／
Ｃ＝ ２， ，（一 ２， ０） ．
设 椭 圆 右焦 点 为 Ｆ ， 则Ｉ Ｐ Ｆｌ ＋Ｉ Ｐ Ｆ ｌ ＿ ６＇ ． ． ． Ｉ Ｐ ＡＩ ＋
７
Ｐ ｌ ＿ ｙ
２
＝ Ｊ
为６ ｃ ．
１ 的左焦点 ， Ｐ是 此椭 圆上 的
８ ． 当直线 ｚ 与椭 圆相离 时 ， 椭 圆上 总存在 到直线 ｚ 的 距离有最大 （ 小） 值 的点． 方法 １ 设 Ｐ （ ａ ｃ ｏ ｓ ０ ， ｂ ｓ ｉ ｎ ０ ） ， 利用点 到直线 的距离公 式——求三角 函数 的最值 ； 方法 ２ 设 与 Ｚ 平行 的直线 系 Ｚ ——与椭 圆方程联立 消元——令 △＝ ０ ——得 出与 Ｚ 平行的椭圆的两条切线 ｚ ． 、 Ｚ ——求 出 ｚ 与ｚ 。 、 Ｚ 与 Ｚ 的距离 即为所求． ９ ．设 Ｐ为平 面内一 动点 ， Ａ、 Ｂ为两定 点 ， 则 （ １ ） Ｉ Ｐ Ａ ｌ ＋Ｉ 朋 ｌ ≥Ｉ Ａ Ｂ ｌ 当且仅 当点 Ｐ在线 段 Ａ Ｂ 上 时取得 最小值 ；
２
． ．
圆的两个焦点 ， 求Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ＿ Ｆ 。 Ｐ 的最小值．
解析 由题 意 ， 『 Ｐ Ｆ 。 Ｉ ＋ｌ
以 ｃ ｏ ｓ ／Ｆ １ Ｐ Ｆ ２ ＝
ｆ ＝６ ， ｛ Ｆ ｌ ＝ ， 所
到椭圆的距离 ｄ ＝ 。 ＋ （ ｙ 一 ６ ） ＝／一 ９ ｙ 一 １ ２ ｙ ＋ ４ ６＝
厂—————～ ———一
√一 ９ （ ＋ 寺） ＋ ５ ０ ≤ ． Ｐ ， Ｑ 两 点间 的 最大 距离ｄ ＝
ｄ ＋ ＝ ． 故选 Ｄ ． 例题 ２ 已知 Ｆ是椭 圆 ＋
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数理化 解 题 研 究
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椭 圆中的 学 院 ３ ４ １ ０ ０ ０ ）
摘 要： 本 文就椭 圆中的几类最值 问题加 以归纳 ， 并举例加 以阐述． 关键词 ： 椭 圆； 最值 问题 ； 例题 中图分类 号 ： Ｇ ６ ３ ２ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ８— ０ ３ ３ ３ （ ２ ０ １ ７ ） ３ １ — ０ ０ １ １ — ０ ２
（ ２ ） 一Ｉ Ａ Ｂ Ｉ ≤ｌ Ｐ Ａ Ｉ —
一
、
知 识 归 纳
１ ． 椭 圆过中心的弦 中， 最 长的为 Ａ Ａ ： ＝ ２ ａ ， 最短 的为
ｌ
ｌ Ｐ Ｂｌ ≤ｌ Ａ ＢＩ 当且 仅 当点 Ｐ在 线 段 Ａ Ｂ（ 或 Ｂ Ａ） 的延 长线 时取等号． １ ０ ． 椭 圆 上 点 与 一 定 点 距离之和 （ 差） 的最值 问 题往往可用 定义转 化 到 另一焦点距离之差 （ 和） 进而求解．