3.5.3 扰动稳态误差

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《自动控制原理》第三章 3-5 稳态误差计算

两种定义的联系： E'(s) E(s) H (s)
H (s) 1时，E(s) E'(s)
2020/1/21
3
1. 误差与稳态误差的定义…
e(t) L1[E(s)] L1[e (s)R(s)]
L1[ R(s) ] 1 G(s)H (s)
ets (t) ess (t) 稳态误差

Lim s2R
s0
K Lim s
s0
s0
ka

Lims2G(s)H (s),
s0
ess

R ka
系统静态加速度加速度误差
型别误差系数

ka
ess

R ka
0
0

I
0

II
K
R
K
III

0
2020/1/21
11
3. 输入作用下稳态误差计算…
（3）加速度作用下的稳态误差…
r (t )
K Lim s
s0
s0
kv

LimsG(s)H (s),
s0
ess

R kv
系统型别

静态速度误差系数
kv
速度误差
ess

R kv
0
0

稳态误差的计算_图文(精)

B(s)
Amplitude
System: untitled2 Final Value: 1
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
r t Cr (t ) 1 t
50 G G1G2 s 1.67s 1
t t
b t C (t )
e t 1 t C (t )
单位阶跃函数输入时的稳态误差
1 当输入为 R ( s ) 时（单位阶跃函数） s sR(s) 1 1 1 ess lim s 0 1 G ( s) 1 lim Gk (s) 1 lim K G (s) 1 K p k s 0 0 s 0 s 式中：K p lim Gk ( s ) 称为位置误差系数； s 0 1 当 0时，K p lim KG0 ( s ) K , ess s 0 1 K K 当 1时，K p lim G0 ( s ) , ess 0 s 0 s K p 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 K p 越大，ess 越小。所以说 K p 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。
ess 与输入和开环传递函数有关。显然，假设开环传递函数 Gk (s) 的形式如下：
K Gk ( s ) s
2 ( s 1 ) ( s i k 2 k k s 1) 2 ( T s 1 ) ( T s j l 2 lTl s 1) j 1 l 1 i 1 n1 k 1 n2 m1 m2

扰动信号作用下的稳态误差

由于扰动信号作用下的系统输出为
Cn
(s)
1
G2 (s) G1 ( s)G2
(s)
N
(s)
En
(s)
因此，扰动信号所产生的输出全部都是误差，故
En (s) Cn (s)
所以扰动信号作用下的稳态误差为
essn
lim
t
en
(t)
lim
s0
s
En
(s)
lim
s0
s
Cn (s)
lim
s0
s
1
G2 (s) G1 (s)G2
E(s) Er (s) En (s)
式中 Er (s)——输入信号作用下的误差；
En (s—) —扰动信号作用下的误差。
由误差定义可得
E(s) R(s) C(s) R(s) Cr (s) Cn (s)
R(s) G1(s)G2 (s) R(s) G2 (s) N (s)
1 G1(s)G2 (s)
Cr
(s)
r
(s)R(
s)
1
G1(s)G2 (s) G1(s)G2 (s)
ห้องสมุดไป่ตู้
R(s)
扰动信号单独作用下的闭环传递函数为
n
(s)
Cn (s) N (s)
1
G2 (s) G1(s)G2 (s)

自动控制理论第四版课后习题详细解答答案（夏德钤翁贻方版）

⾃动控制理论第四版课后习题详细解答答案（夏德钤翁贻⽅版）

《⾃动控制理论（夏德钤）》习题答案详解

第⼆章

2-1 试求图2-T-1所⽰RC ⽹络的传递函数。

(a)111

11111+=+?

=Cs R R Cs

R Cs R z ，22R z =，则传递函数为： 2

1212

21212)()(R R Cs R R R Cs R R z z z s U s U i o +++=+= (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压⽅程：

=++=)(1

)()]()([)(1)(2221111s I s C s U s I s I R s I s

C s U o i 并且有

)()1

()(122211s I s

C R s I s C += 联⽴三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：

)(1

111)

()

(2221112

21212211112++++=

+ ++=s C R C R C R s C C R R R s C R s C s C R s

C s U s U i o 2-2 假设图2-T-2的运算放⼤器均为理想放⼤器，试写出以i u 为输⼊，o u 为输出的传递函数。

(a)由运算放⼤器虚短、虚断特性可知：dt

C dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=，对上式进⾏拉⽒变换得到

)()()

s U i i +-= 故传递函数为

RCs

RCs s U s U i 1

)()(0+=

(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du C

稳态误差公式

稳态误差公式是控制系统中常用的一个概念，用于评估系统输出与期望输出之间的偏差。在控制系统设计和分析中，稳态误差公式被广泛应用，能够帮助工程师评估系统的性能和稳定性。

稳态误差公式的含义

稳态误差公式指的是控制系统在稳态下输出与期望输出之间的偏差。稳态是指系统已经达到恒定状态，即输入信号已经稳定，系统没有改变时的状态。稳态误差是输出与期望输出之间的差值，通常用e表示。稳态误差公式可以用以下公式表示：

e(t) = y(t) - r(t)

其中e(t)表示在时间t时刻的稳态误差，y(t)表示系统输出在时间t时的值，r(t)表示期望输出在时间t时的值。

稳态误差公式的应用

稳态误差公式在控制系统中具有广泛的应用，通常被用于以下几个方面：

1. 系统性能分析

稳态误差公式可以用于分析系统的性能，帮助工程师评估系统输出与期望输出之间的差距。通过分析稳态误

差，可以明确系统的性能限制，从而确定是否需要改进系统的设计。

2. 系统稳定性分析

稳态误差公式也可以用于系统稳定性分析。稳态误差越小，系统的稳定性越好。因此，通过分析稳态误差的大小可以评估系统的稳定性。

3. 控制系统设计

在控制系统设计中，稳态误差公式是一个非常重要的工具。通过控制系统的参数设置，可以调整系统的稳态误差。因此，稳态误差公式可以帮助工程师设计出性能更好、稳定性更高的控制系统。

稳态误差公式的限制

稳态误差公式虽然在控制系统中具有广泛的应用，但也存在一些限制。其中最重要的一个限制是，稳态误差公式只适用于稳态下的系统。如果系统还没有进入稳态，稳态误差公式将无法提供准确的结果。

扰动稳态误差的静态误差系数法

扰动稳态误差的静态误差系数法（与给定稳态误差的静态误差系数法相似但有不同！）

假设某控制系统如上图所示，其中11011()()v K W s W s s =g ，22022()()v K W s W s s =g ，0()()f

f f vf K W s W s s =

g ,而且

010lim ()1s W s →=，020lim ()1s W s →=，00

lim ()1f s W s →= （1）若扰动信号()N s 已知，那么根据终值定理可计算扰动稳态误差：

()lim ()ssn n s e sE s →∞= 2012lim(())1s f

W s N s WW W →=-⋅

⋅+ 20220120102012lim ()1v s f f v v vf K W s sN s K K K W W W s s s

→=-⋅+⋅⋅ 120212012010203

lim ()v vf v v vf s f s K W sN s s K K K W W W +++→⋅=-⋅+ 如果121v v vf ++≥，那么120lim 0v v vf

s s ++→=，同时考虑到（1）式，由上式求极限可得到

101()lim ()v vf

ssn s f

s e sN s K K +→∞=-⋅ 这样一来我们可以考虑在不同的扰动信号下求出不同的扰动稳态误差：

从上面这个表格我们可看出用静态误差系数法求扰动稳态误差时与求给定稳态误差时很相似，但是又有很大不同：用静态误差系数法求扰动稳态误差判定系统的型号和开环放大系数时，只需考虑1()W s 和()f W s ，即只考虑原系统扰动作用点之前的前向通道传函以及反馈通道传函，至于系统扰动作用点之后的前向通道传函2()W s 与扰动稳态误差无关（而求给定稳态误差时所有的环节都要考虑）。因此要减小扰动稳态误差的话只需改变扰动作用点之前的前向通道传函以及反馈通道传函，改变扰动作用点之后的前向通道传函是无效的。除去这个不同点，根据不同的系统型号和输入信号求给定稳态误差和扰动稳态误差是非常类似的，比直接用终值定理求解要方便。

影响稳态误差的参数

稳态误差是指系统在稳定状态下，输出与期望值之间的差异。参数是影响系统稳态误差的重要因素之一。具体来说，以下是几个常见的参数对系统稳态误差的影响。

1. 传输函数中的零点和极点：零点和极点的位置对系统的稳态误差有很大的影响。例如，当系统存在一个零点时，系统的稳态误差通常会下降。当存在一个极点时，稳态误差往往会增加。

2. 控制器增益：控制器的增益对系统稳态误差也有很大的影响。当增益越大时，稳态误差通常会越小。然而，增益过大也会导致系统不稳定。

3. 反馈信号的强度：反馈信号的强度也会影响系统稳态误差。如果反馈信号很强，则稳态误差通常会减小。反之，如果反馈信号很弱，则稳态误差会增加。

4. 控制信号的频率：控制信号的频率也会对稳态误差产生影响。当控制信号的频率越高时，稳态误差往往会减小。但是，当频率太高时，系统可能会失去稳定性。

总之，参数对系统稳态误差的影响非常重要，因此在设计控制系统时需要仔细考虑这些因素。

- 1 -

3.5 控制系统的稳态误差分析与计算终

sE s lim sE s e ss lim e t lim r s 0 s 0
t
1 lim s X i s s 0 1 G s
非单位反馈系统
E s 1 H s X i s 1 Gs H s 1 1 1 ess lim s X s E s X s i i s 0 H s 1 Gs H s 1 Gk s
该系统为一阶惯性系统，稳定
E s 1 X i s 1 G s
1 s 10 s 10 1 s
s e ss lim s X i s s 0 s 10 s 1 lim s 0 s 0 s 10 s
二、稳态偏差系数
1.稳态偏差系数的定义当不同类型的典型信号输入时，其稳态误差不同。因此，可根据不同的输入信号来定义不同的稳态偏差系数，进而用稳态偏差系数来求得稳态误差。
3.5
控制系统的稳态误差分析和计算
——控制系统的稳态精度
对控制系统的基本要求： 1、稳定 2、准确误差 3、快速
3.5.1 稳态误差的基本概念
一、系统的误差与偏差
E ( s) E' ( s) H ( s)
误差： er ( t ) 希望输出实际输出即er ( t ) xor ( t ) xo ( t ) E r ( s ) X or ( s ) X o ( s ) 偏差： ( t ) 给定值反馈值即 ( t ) x i ( t ) b( t ) E ( s ) X i ( s ) B( s ) E ( s) X i ( s) H ( s) X o ( s) 当xor ( t ) xo ( t )时，E ( s ) 0 当xor ( t ) xo ( t )时，E ( s ) 0 X i ( s) H ( s) X o ( s) 0 X i ( s) H ( s) X o ( s) E ( s ) H ( s ) X or ( s ) H ( s ) X o ( s ) [ X or ( s ) X o ( s )]H ( s ) Er ( s) H ( s)

稳态误差补偿方法

稳态误差是指在系统达到稳定工作状态后产生的偏差，通常由于系

统的非线性特性、外界干扰或传感器误差等因素所引起。稳态误差的

存在会影响系统的准确性和性能，在一些对精度要求较高的应用中尤

为重要。为了解决稳态误差的问题，工程师们提出了各种不同的补偿

方法。本文将介绍几种常见的稳态误差补偿方法。

一、增益调整法

增益调整法是一种简单直接的稳态误差补偿方法。它通过调整系统

的增益参数来改变系统的响应特性，从而减小或消除稳态误差。具体

而言，对于系统输出与输入之间的误差，可以通过增大或减小系统的

放大倍数来达到补偿的目的。增益调整法是一种常用的误差补偿方法，适用于线性系统和部分非线性系统。

二、积分补偿法

积分补偿法是一种基于误差积分的稳态误差补偿方法。它通过对误

差进行积分运算，将积分结果作为修正量引入系统中，从而实现对稳

态误差的补偿。积分补偿法适用于系统存在恒定误差的情况，通过积

分运算，可以逐步减小并最终消除误差。然而，积分补偿法也存在一

定的问题，尤其是对于非线性系统，可能会引入过度补偿和系统不稳

定等问题。

三、滑模控制法

滑模控制法是一种基于滑模面思想的稳态误差补偿方法。它通过引入滑模面来实现快速有效地消除误差。具体而言，滑模控制法将误差作为滑模面的状态变量，通过设计合理的控制律使系统状态与滑模面的交点快速收敛，从而达到对稳态误差的补偿。滑模控制法具有很好的鲁棒性和快速响应的特点，适用于一些非线性系统和具有较大扰动的系统。

四、自适应控制法

自适应控制法是一种根据系统实时状态和性能要求来调整控制参数的稳态误差补偿方法。它通过引入自适应算法，实现对系统参数的实时调整和优化，从而减小稳态误差并提高系统的性能。自适应控制法可以根据实际情况进行参数补偿，并对系统动态特性作出相应调整，具有较好的适应性和优化效果。然而，自适应控制法也存在着计算复杂度高和对系统模型要求较高的问题。

三、扰动稳态误差终值的计算

3.6.7、扰动稳态误差终值的计算

根据终值定理及式(3-81)、式(3-82)，式(3-84)、式(3-86), 扰动稳态误差的终值e sn 可由

下式计算：

)()(lim )(lim )(lim 0

s s sN s sE t e e en s n s sn t sn φ-===→→∞

→

∏∏∏∏=--=++==→+++++-=m

j j

v n i i

v m

l j j

q i i

s s K s s s s s

K s sN 1

)

1()1()

(lim τ

ττ

τμμ

(3-105)

比较式(3-105)及(3-87)可见，)(s en φ的分母多项式与)(s ex φ一样，但)(s en φ的分子多项

式中只有v

s 项，不象)(s ex φ的分子多项式中有μ

+v s 项。它说明只是控制环节传递函数)

(1s G 中串联积分环节的数目v 对系统扰动稳态误差有决定性影响。

一阶跃扰动作用下的稳态误差

在单位阶跃扰动作用下 n t N s s

(),()==

这时扰动稳态误差终值为

)(lim 0

s e en s sn φ→= (3-106)

二斜坡扰动作用下的稳态误差

在单位斜坡扰动作用下

n t t N s s (),()==12

这时扰动稳态误差终值为

e s

s sn s n =→lim ()01φ (3-107)

三加速度扰动作用下的稳态误差

在单位加速度扰动作用下

n t t ()=122 N s s

()=13 这时扰动稳态误差终值为

e s s sn s n =→lim

()0

φ (3-108)

大学_自动控制原理第二版(王划一著)课后答案下载

自动控制原理第二版（王划一著）课后答案下载自动控制原理第二版（王划一著）课后答案下载

1控制系统导论

1.1自动控制的基本原理

1.1.1一个实例

1.1.2控制系统方框图

1.2自动控制系统的分类

1.2.1按信号的传递路径来分

1.2.2按系统输入信号的变化规律来分

1.2.3按系统传输信号的性质来分

1.2.4按描述系统的数学模型来分

1.2.5其他分类方法

1.3对控制系统的基本要求

1.4自动控制的发展简史

1.4.1经典控制理论阶段

1.4.2现代控制理论阶段

1.4.3大系统控制理论阶段

1.4.4智能控制阶段

习题1

2控制系统数学模型

2.1导论

2.2控制系统的微分方程

2.2.1微分方程式的建立

2.2.2非线性方程的线性化

2.3控制系统的传递函数

2.3.1传递函数的概念

2.3.2传递函数的性质

2.3.3典型环节及其传递函数 2.4控制系统结构图与信号流图 2.4.1控制系统的结构图

2.4.2控制系统的信号流图

2.4.3控制系统的.传递函数

2.5应用Matlab控制系统仿真 2.5.1举例

2.5.2传递函数

2.5.3结构图模型

习题2

3控制系统的时域分析法

3.1二阶系统的瞬态响应及性能指标 3.1.1典型输入信号

3.1.2系统的性能指标

3.1.3瞬态响应分析

3.1.4线性定常系统的重要特性

3.2增加零极点对二阶系统响应的影响 3.3反馈控制系统的稳态误差

3.3.1稳态误差的概念

3.3.2稳态误差的计算

3.3.3主扰动输入引起的稳态误差

3.3.4关于降低稳态误差问题

3.4劳斯赫尔维茨稳定性判据

3.4.1稳定性的概念

《自动控制原理》第三章 3 5 稳态误差计算

性系统的时域分析法第三章线性系统的时
域分析法第三章线性系统的时域分析法
R k
0
13
3. 输入作用下稳态误差计算…
稳态误差的物理意义（单位反馈系统）
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
位置随动系统
r (t ) 1(t ), k能p源与动, 力ess学院0 第三章线性系统的时域分
减小统或的消时除域稳分态析误法差的措第施三章线性系统的时
域分析法第三章线性系统的时域分析
法第三章线性系统的时域分析法
第三章线性系统的时域分析法
2
1. 误差与稳态误差的定义
R(s) E(s)
C(s)
G(s)
H s
R(s) 1
E'(s)
C(s)
H(s)
G(s)H (s)
输入端定义的稳态误差 e(t) 输出端定义的稳态误差 e’(t)=希望输出-c(t)
别
误差系数
kv
速度误差
e ss
R kv
ess
Lim sR(s) s0 1G(s)H(s)
Lims1R(s)
s0
K Lims
s0
0
0
Lsim0 sGR(s)来自百度文库能H法源(s)与动KL力第sim学三0Lss 院章im01Rs线性第系三统章的时线I域性II 分系析统法的 K时域分第

对扰动作用下稳态误差的一个误解

摘要对应于扰动量N(s)的稳态误差，容易从误差的输入端定义分析，而得到“若越小，则输出量C(s)对输入量N(s)的跟踪效果越好”的错误结论。只有从误差的输出端定义分析才能得到正确的结果。

关键词扰动量；稳态误差;自动控制系统

自动控制系统的输出量一般都包含着两个分量，一个是稳态分量，另一个是暂态分量。暂态分量反映了控制系统的动态性能。对于稳定的系统，暂态分量随着时间的推移，将逐渐减小并最终趋向于零。稳态分量反映系统的稳态性能，即反映控制系统跟随给定量和抑制扰动量的能力和准确度。稳态性能的优劣，一般以稳态误差的大小来度量。

作为稳态性能，控制系统的稳态误差，是系统控制准确度（控制精度）得一种度量。对一个实际的控制系统，由于系统结构、输入作用的类型（控制量或扰动量）、输入函数的形式（阶跃、斜坡或加速度）不同，控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当，也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置。此外，控制系统中不可避免地存在摩擦、间隙、不灵敏区、零位输出等非线性因素，都会造成附加的稳态误差。可以说，控制系统的稳态误差是不可避免的，控制系统设计的任务之一，是尽量减小系统的稳态误差，或者使稳态误差小于某一容许值。显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义；对于不稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。有时，把在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统，称为无差系统；而把具有原理性误差的系统，称为有差系统。

控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。例如：负载转矩的变动，放大器的零位和噪声，电源电压和频率的波动，组成元件的零位输出，以及环境温度的变化等。因此，控制系统在扰动作用下的稳态误差值，反映了系统的抗干扰能力。在理想的情况下，系统对于任意形式的扰动作用，其稳态误差应该为零，但实际上这是不能实现的。设控制系统如下图所示：

稳态误差计算

稳态误差是指控制系统在稳定状态下输出与期望输出之间的差异。在控制系统中，我们希望输出能够尽量接近期望输出，从而实现优化和准确的控制。稳态误差的大小直接影响到控制系统的性能和精确度。本文将介绍稳态误差的计算方法及其普通解法。

稳态误差的计算可以通过以下步骤进行：

1.确定系统的开环传递函数

系统的开环传递函数是控制系统的输入与输出之间的关系。它描述了控制系统的动态特性。通常，开环传递函数可以由系统的物理方程或实验数据拟合得出。

2.确定系统的期望输入信号

期望输入信号是控制系统的期望输出值。它可以是一个固定值或者一个随时间变化的函数。期望输入信号决定了控制系统的目标。

3.计算系统的闭环传递函数

闭环传递函数描述了控制系统的反馈路径对输出的影响。它是开环传递函数与控制器传递函数的乘积。

4.计算系统的稳态误差

在进行稳态误差计算之前，需要确定系统的类型。根据系统是否包含积分环节，可以将系统分为4种类型：类型0系统、类型1系统、类型2系统和类型3系统。

-类型0系统：开环传递函数中不包含积分环节。例如，开环传递函

数为G(s)=K/(s+a)。类型0系统的稳态误差可以通过输入信号的阶数来

确定。对于阶数为n的输入信号，稳态误差为0。

-类型1系统：开环传递函数中包含一个积分环节。例如，开环传递

函数为G(s)=K/(s*(s+a))。类型1系统的稳态误差可以通过输入信号的

阶数来确定。对于阶数为n的输入信号，稳态误差为1/((n+1)*K)。

-类型2系统：开环传递函数中包含两个积分环节。例如，开环传递

函数为G(s)=K/(s^2*(s+a))。类型2系统的稳态误差可以通过输入信号

稳态误差的计算_图文(精)

注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念
从图形和公式中体会误差和稳态误差
2 1.8 1.6 1.4 1.2 Step Response
R(t)
E(s)
N(s)
+
H(s)=1
C(s)
C(t)=b(t)
System: untitled1 Settling Time (sec): 7.54
K=0.3
阶跃响应
0
2
4
6
8
10 Time (sec)
12
14
16
18
20
单位加速度函数输入时的稳态误差 1 当输入为R ( s ) 3 时（单位加速度函数） s sR(s) 1 1 1 ess lim 2 s 0 1 G ( s) lim s Gk (s) lim K G (s) K a k s 0 0 s 0 s 2 式中： K a lim s 2Gk ( s ) 称为加速度误差系数；
3-6 线性系统的稳态误差分析项目内容
教学目的理解稳态及稳态误差的概念，掌握其计算方法和
计算结果，进而熟悉减小或消除稳态误差的措施。ห้องสมุดไป่ตู้
教学重点稳态误差系数定义和典型输入信号作用下的稳态
误差，即表3－5 ；减小或消除稳态误差的措施。

3-3系统的稳态误差(1)

K ( j s 1)
j1
m
s (i s 1)
i 1
n
0
e ss
1 Ka
K ( j s 1)
j1 m
2 对于2型系统，
Ka
2 s lim s 0
s 2 (i s 1)
i 1
n 2
K
e ss
15
1 1 Ka K
对于3型系统（或高于3型的系统）， 3
G(s) H (s)
7
K ( j s 1) s

m
( s 1)
i 1 i
j 1 n
（3-50）
式中
K lim s G ( s ) H ( s )
s 0
(3-51)
称为系统的开环放大环节或开环增益。式（ 3-50 ）分母中的 s 表示开环传递函数在原点处有重极点，或者说有个积分环节串联。当 0, 1, 2 ……时，分别称系统为0型、1型、2型……系统。分类是以开环传递函数中串联的积分环节数目为依据的，而 G(s)H(s)中其它零、极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差。
则系统的总稳态误差为
e ss
B C 1 K p Kv Ka
18
综上所述，稳态误差系数 K p 、 K v 和 K a 描述了系统对减小和消除稳态误差的能力，因此，它们是系统稳态特性的一种表示方法。提高开环放大系数 K或增加开环传递函数中的积分环节数，都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，对于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量。