第四章12积分

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第四章.积分变换法-求解偏微分方程

e dk dk dk i(k1x1+k2x2 +k3x3 ) 123
3
3
3
∑ ∑ ∑ x = xiei ξ = ξiei k = kiei d 3ξ = dξ1dξ2dξ3
i =1
i =1
i =1
d 3 k = dk1dk2dk3
→→
k⋅ ξ = k1ξ1 + k2ξ2 + k3ξ3
4
12.1 傅里叶变换一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数
一个以2l为周期的函数f(x)，若在区间[-l, l]满足
狄利克莱条件：(1)连续或只有有限个第一类间断
点；(2)只有有限个极值点，则 f(x) 在[-l, l]上可展开
为傅里叶级数
∑ f
(x)
=
a0 2
+
∞
(ancos
n=1
nπ
l
x
+ bnsin
第12章积分变换法
——求解偏微分方程的另一种方法 1. 积分变换
通过积分运算，把一个函数 f(x)变换为另一个函数
F (α )，即 F (α ) = ∫ f (x)K (α , x)dx
K (α , x)：积分变换的核，决定了变换的具体形式
f(x)：原函数，F (α ) ：像函数
1
几种积分变换：傅里叶变换
+∞
∫ f (k) = f (x)e−ikxdx −∞
拉普拉斯变换
∞
∫ f ( p) = f (t)e− ptdt 0
梅林变换
∞
∫ F (α ) = f (x)xα −1dx 0
2
2. 为什么进行积分变换?
(1) 经过变换后，函数关系变得简单。如：常微分方程 ⇒代数方程；

《高等数学(上)》不定积分(全)

23
第二讲第一换元积分法
例3
求不定积分 cos3 xsin5 xdx.
解
cos3 xsin5 xdx cos2 xsin5 xdsin x
(1 sin2 x)sin5 xd sin x
sin5 xdsin x sin7 xdsin x
1 sin6 x 1 sin8 x C.
接积分法和第一换元法计算的题目.
31
第二讲第二换元积分法
例 1 求 a2 x2 dx (a 0).
解
令x a sin t( π t π),则dx a costdt,于是有 22
a2 x2 dx a cost a costdt a2 cos2 tdt a2 1 cos 2tdt 2
类似可得
x2
1
a2
dx
1 2a
ln
|
a a
x x
|
C.
20
第二讲第一换元积分法
例2
求 csc xdx.
解法一
csc
xdx
sin
x
dx
sin
x
sin
xdx
cos
d x
cos
x
利用例结论，得
原式 ln cos x cos x
C ln
( cos x) cos x
C
ln cos x C ln | csc x cot x | C sin x
1
3.
1dx x
ln
|
x
|
C;
6. sin xdx cos x C;
12
五、基本积分公式
7. cos xdx sin x C;
11. cot x csc xdx csc x C;

销售积分制管理制度

销售积分制管理制度第一章总则第一条为规范销售积分制管理，激励销售人员绩效提升，公司特制定本制度。

第二条本制度适用于公司所有销售人员，包括内部销售团队和外部合作伙伴。

第三条公司销售积分制管理以激励销售人员提升绩效为目的，通过积分奖励机制，激发销售人员的工作积极性，提高销售业绩。

第四条公司销售积分制管理原则上遵循公平、公正、公开、透明的原则进行。

第五条所有销售积分制管理相关事宜均需严格执行本制度和相关规定，不得擅自变更或违规操作。

第二章积分获取第六条销售人员通过销售行为获得积分。

第七条销售人员根据公司销售政策和目标，完成相应的销售任务即可获得积分奖励。

第八条销售任务完成后，销售人员需要准确报备销售数据以获取相应的积分。

第九条销售人员通过客户维护和业务拓展获得良好的客户反馈，也可获得额外的积分奖励。

第十条公司设定一些特定的销售活动或竞赛，销售人员通过参与并取得好成绩可获得额外的积分奖励。

第三章积分使用第十一条积分可用于公司组织的各项培训、学习和提升会议的报名费用。

第十二条积分也可用于现金等奖励兑换。

第十三条积分也可兑换为公司指定的优质商品或服务。

第十四条积分不可转让给其他人员或单位。

第十五条积分不可兑换为现金。

第四章积分管理第十六条公司设立专门的积分管理和监督机构，负责积分的获取、使用和管理。

第十七条积分管理和监督机构有权对销售人员的积分获取、使用进行监督和检查。

第十八条销售人员如有违规行为，公司有权扣减其相应积分，甚至取消其参与积分制管理的资格。

第十九条公司发现销售人员的不当行为或违规操作将视情节轻重给予相应处罚，包括扣减积分、限制其参与积分制管理时间等。

第二十条销售人员对自己的积分获取和使用有异议时，可向公司积分管理和监督机构申诉，相关机构将及时调查并给予处理。

第五章附则第二十一条公司保留修改本制度的权利。

第二十二条本制度若有未尽事宜，按照公司相关规定执行。

第二十三条本制度自颁布之日起开始执行，有效期为三年。

积分基本公式和法则

3 9、 ( x 1)( x 1)dx _____________；
(1 x ) 2 dx =____________________ . 10、 x
二、求下列不定积分：
x2 dx 1、 2 1 x 2 3x 5 2x dx 2、 3x 3x
cos 2 x x dx dx 3、 cos 4、 2 2 2 cos x sin x 1 5、 (1 2 ) x x dx x x 2 sin(2 e 2 , 32) ，且在任一点处的切线的斜三、一曲线通过点 x sec xdx 6、 x2 1 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
1 2 x 2 x ln x C 2
例6 求积分
2 x 3 x dx
6 C 解原式= 6 dx ln 6 2 1 x x 化和例7 求积分 dx . x (1 x 2 ) 2 2 1 x x x (1 x ) dx dx 解 2 2 x(1 x ) x(1 x ) 1 1 1 1 dx dx dx 2 2 x 1 x x 1 x
2.不定积分的性质
[k
1
f ( x ) k 2 g ( x )]dx k 1 f ( x )dx k 2 g( x )dx
k1 0, k 2 0
3.直接积分法：经过恒等变形后再用性质和积分公式求积分的方法叫做“直接积分法”.
一、填空题： 1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意两个的差是一个______； 2、 f ( x ) 的________称为 f ( x ) 的不定积分； 3、把 f ( x ) 的一个原函数F ( x ) 的图形叫做函数f ( x ) 的________，它的方程是 y F ( x ) ，这样不定积 f ( x )dx 在几何上就表示________，它的方程是 y F ( x) C ；

不定积分基本公式表

[ f ( x ) g( x )]dx

f ( x )dx

g( x )dx .
证根据不定积分定义，只须验证上式右端的导数等于左端的被积函数.
f ( x)dx g( x)dx
f ( x)dx g( x)dx
f ( x ) g( x ).
其中每一项虽然都应有一个积分常数，但是由于任意常数之和还是任意常数，所以只需在最后写出一个积分常数 C 即可.
2 5 x e C 1 2( cos x C 2 ) 2 x 2 C 3 5 5 4 2 x e 2 cos x x (C 1 2C 2 2C 3 ) 5 5 4 2 x e 2 cos x x C . 5
2
( x 1)
dx

( x 2 1) x 2 x ( x 1)
2 2
dx

x
x2 1
2
( x 1)
2
dx
x
x2
2
( x 1)
2
dx

x x
dx
2
1
2
1
dx
1 arctan x C . x
例７
求
x
x4
2
x4
2
1
dx .
解
x
1
dx

三、直接积分法
求积分时，如果直接用求积分的两个运算法则和基本公式就能求出结果，或对被积函数进行简单的恒等变形 (包括代数和三角的恒等变形) ，在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能求出结果，这种求不定积分的方法成为直接积分

高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用

极限
当n→∞时，积分和的极限存在，则称函数f(x)在[a,b]上可积，该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
积分和
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n，取每个小区间的任意一点ξi，对应的函数值为f(ξi)，则f(x)在[a,b]上的积分和为Σf(ξi)Δx。
拓展延伸及未来发展趋势
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中有着广泛的应用，如计算变力做功、液体静压力等，需要进一步学习和掌握。
定积分在经济学中的应用
定积分也可以应用于经济学领域，如计算收益、成本等经济量，为决策提供科学依据。
定积分与计算机技术的结合
随着计算机技术的发展，定积分与计算机技术的结合将越来越紧密，如利用计算机进行定积分的数值计算、绘制定积分的图形等。这将为定积分的应用提供更广阔的空间和更高效的手段。
A
一阶导数法
通过求解一阶导数等于零的点来找到函数的极值点，从而确定最优解。
二阶导数法
通过判断二阶导数的符号来确定函数的凹凸性，从而确定最优解。
B
C
约束优化方法
在存在约束条件的情况下，通过构造拉格朗日函数等方法来求解最优解。
数值计算方法
对于难以求解的复杂函数，可以采用数值计算方法（如牛顿法、梯度下降法等）来逼近最优解。
几何应用
通过具体案例介绍如何利用定积分求解平面图形的面积，如求解由直线和曲线围成的图形面积等
。
物理应用
介绍定积分在物理中的应用，如求解变力做功、液体静压力等问题中涉及的面积计算。
经济应用
通过实际案例介绍定积分在经济领域的应用，如求解由需求曲线和价格曲线围成的面积所表示的消费者剩余或生产者剩余等。

积分及其应用

第四章积分及其应用学习目标•理解原函数与不定积分的概念及关系，掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式；.掌握不定积分的直接积分法、第一类换元法、第二类换元法及分部积分法并能熟练的运用；•理解定积分的定义，掌握定积分的性质；理解积分上限函数，熟练掌握牛顿 -莱布尼兹公式; •掌握定积分的换元积分法和分部积分法并能熟练的运用； • 了解广义积分的概念，会判定广义积分的敛散性；•掌握定积分的元素法，能用定积分解决一些几何问题与物理问题. 本章的重点：不定积分的直接积分法，第一、二类换元法及分部积分法；定积分的换元积分法和分部积分法，定积分的应用.本章的难点：积分方法的应用及广义积分.第一节不定积分的概念与性质、直接积分法一、主要知识解析 1•原函数与不定积分若f(x)在区间I 上连续，则其原函数 F(x) —定存在；设f (x)的任意两个原函数 F(x)与G(x)，则 G(x)=F(x) +C ( C 为常数)；原函数与不定积分之间是个体与整体的关系.2•性质线性运算性质f[k i f (x) +k 2g(x)]dx = k , J f (x)dx + k ? f g(x)dx ；(Jf (x)dx) = f (x)或 d[ J f (x)dx)] = f (x)dx ；J F '(x)dx = F(x) +C 或 JdF(x) =F(x)+C .3 .直接积分法利用公式直接积分或将被积函数经过恒等变形后直接利用积分公式求得结果，常用的技巧有“将分子加一项减一项”、“将分子、分母同乘一个因子”或“利用三角函数的恒等变形”等等.二、典型例题解析 1 2 3 4 5 6设 J f (x)dx = ln(1 +x 2) +C ，试求 f(x).于是2x f(x) =[ln(1 +x 2)+C]'=——2 . 1 +xX 2v2设e 为f (x)的一个原函数，试求 J e f (x)dx .由题设，得 f (x^(e x )' = 2xe xJ e * f (x)dx = J e^ 2xe x dx = J2xdx = x 2 +C (理解概念和性质) 予「(1—x)2x 求 J ——尸一dx .V x223J 1：) dx = j 1~2y x dx= j (¥ -2J x + x 2)dxv x J x v x_35=2 J x ——X 2 + -x 2 +C3 54求f .'1 +x 244.,.r X , r X T +1 ,= ；2dx= J(x 2-1+ 11+X 2)dx(将分子加一项减一项)(对性质的理解)积分与求导互为逆运算:1例1例5 求f ——2 ---- 4— dx .、sin xcos X2 2 的 r 1 」 ,si n x +cos Xj F 4」 r 1 . 解 J ——2 -- dx = J ---- 2 --- 4——dx = fsec xdx + J ——2 - dx、sin xcos X 、sin xcos x ' sin xcos x.2 2s 丄* 2 、，丄 rSin X + cos X . =f (1 +tan x)d(tanx) + f - 2 --- 2—dx‘ sin xcos X1=2 tan X + — tan 3 x - cot x + C (利用三角函数公式进行恒等变形)3 计算 JJ l -sin2xdx .J -sin 2xdx = jJ (sin x -cosx)2dx =J|s in X — cosx dxp1 /(sin X —cosx)dx = —cosx —sin x + C一、主要知识解析 1 •换元积分法不定积分的换元积分法包括第一类换元积分法和第二类换元积分法•第一类换元法也称为“凑微分”的方法，步骤为Jg(x)dx = J f[W (x)] ®'(x)dx (凑微分)=J f[W (x)] *d[®(x)] =F[®(x)] +C (积分形式不变性).其中“凑微分”是关键的一步，并且“凑微分”的方法、技巧灵活多变，对于常用的凑微分的经验公式要熟悉. 第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即X =asi nt 或x = a cost , x = ata nt 与x =asect ，分别适用于三类函数 f(J a2-X 2) , f (J x 2 +a 2)与f(J X 匸孑)•“倒代换” x#也属于第二类换元法.2 .分部积分法在公式Judv =uv-Jvdu 中，关键是如何正确地选择 U 和V .若选取不当，得到的新的积分比原积分更不易求出，所以选取 u,v 时首先考虑V 要容易求得，即“凑微分”容易凑成；其次要考虑 Jvdu 比Judv(即原积分)容易积出.当 sin X > cosx 时; =1〔J(cosx —sin x)dx =sin x +cosx + C, 、心「si n X , 计算f ------- dx .'1+sin X sin X f dx '1+sin X当sin X < cosx 时. F sin x(1 —sin x) , f --------------- d x '(1+s in x)(1—si nx)・2 一 J 2 cos x2=J(tanxsecx —sec x + 1)dx= secx-tanx + x+C (将分子、分母同乘一个因子)1二、典型例题解析1 •第一类换元(凑微分法)例1 求J(2xeX + x J l -x2 +tan x)dx .+丄e 3计dx .x(1 + 21 n X)V xf [ ---1 ----- + -^e 3"'X]dx = f ----- 1---- dx + f-^e ^X dx ‘ x(1+2ln X) T x 'x(1+2lnx) ' 4x1 12 — 一 =—f d(1+2lnx)+- [e 3J x d3j x2 1 +21 nx3、12 3 X=-1n| 1 +21nx|+-e '' +C . 2 3已知 Jf(x)dx = x 1 2 3+C ，求 Jxf(1-x 2)dx .J xf (1 -x 2)dx =J f (1 —x 2)d(1 -x 2)=-丄(1 -X 2)2+C .2计算下列积分：234Jsin XCOS xdx ； ⑵ Jsin 2xcos3xdx ；(3) ftan xdx ； ⑷ J —4— - dx •=J- (sin 5x —sin x)dx 1 1=一 f sin 5xdx —— f sin xdx 2' 2'1 1=——cos5x + — cosx + C .10 2⑶ f tan 4xdx = J (tan 4x T +1)dx=J[(ta n 2x-1)(ta n 2x +1)+1]dx22=J [(tan X -1) sec x + 1]dx=J tan 2 xsec 2 xdx - /sec xdx + J dx 1 3=-tan 3 X - tan x + x + C . 解原式=f2xeXdx + f x J 1 — X 2dx + f sinX dx、cosx1=f eX dx 2-丄 f (1 _x 2)2d(1 -X 2) - f — d cosx2' ‘ cos X31 2 -=e -一 (1 - X )2 -1n | cosx | +C .3求J [11sin X + cos x⑴ J sin2xcos3xdx=f sin2xcos2xd(sin x)=f sin2x(1-sin2x)d(sinx)=f(sin2X -sin4x)d(sinx)=〔sin3 X —^sin5 x +C .3 5J sin 2x cos3xdx11 ⑷ f —一■———dx = f ——2 ------ 2一2 ------ 2----- - dx sin X+cos X (sin x+cos x) -2sin xcos xdx “壘孚U 丄arctan'2+tan 2x J 2tan2x+c1 --(si n2x)22 .第二类换元x 3,, ________ dx,( U (a +x )解⑴令X =atant ,(a 》0):⑵ 严 ~4dx ； dx⑶MJ (1+仮)依x 3a 3 tan 3t J 3 3 a sec tdtsin 31严"Jcos 21 一 1cos 2td(cost) =a f(1) d (cost) = a (cost +丄)+ C =-= cos t cost J x 2+a 2+ 7x 2 +a 2 ⑵令X =2sect ，则丿 2J —_ X = f2tant ^2sect tantdt =2 Jtan 2 tdt = 2 J(sec 21 -1)dt= 2(tant -t) + C = J x 2 -4 -2arccos? +C .侣gx(令 X =sint )=f _ costdt = f sintdt — f sin 2tdt = -cost -丄住-^sin2t) cost 2 2cost=_J 1-x 2 -^arcsinx + △曲一x 2 +C2⑷令X =t 6，则dx 6t 513dt=6J(1-^)dt (1+ V X)V X —(1 +t 2)t= 6(t -arctant) + C =6(V X —arctan 划x)+C dx解令xx J 1 +x 4=1，则dxdt = -1dt 2★(EEC1 +(1 +x 4dx‘ X 2 +2x +3 dx r11⑶ fcos(l nx)dx =xcos(l nx)-Jx[-s in (l n x)] —dx = xcos(l nx)+ Js in (Inx)dx 、 x1= xcos(l n X)+xs in (I n x) - fxcos(l n x) -dx = x[cos(l n x) +s in (I n x)]- f cos(l nx)dx , xxJcos(lnx)dx =?［cos(lnx) +sin(In x)］ +C .第三节定积分的概念、性质与基本公式一、主要知识解析 1.定积分的存在性b如果f(x)在［a,b ］上连续或f (x)有界且有有限个间断点(第一类)，则［f(x)dx 存在. 2.主要性质bbb线性性质f[k 1f (xpHk 2g(x)]d^ k ^ f(x)dx +k 2 J g(x)dx .aaabcb对区间的可加性 f f (x)dx = f f (x)dx + f f(x)dx, (\/c € R).'a'a'c中值定理[bf(x)dx= f (E )(b -a),(E 可a,b]).3 •积分上限函数X如果f(x)在［a,b ］上连续，则①(X) = J f(t)dt 在［a,b ］上可导，且ad xH f (t)dt] = f (x), (a < X < b).且有 dx 0f(t)dt] = f[®(x)]®'(x)；=f ------------ 2d(x+1) d 2 +(血)21 丄 X +1 c =arct + C . J2 J 23 •分部积分arcsin x⑴ fxcos2xdx ； ⑵ f --- 2dx ;⑶fcos(lnx)dx 1x 解 ⑴ fxcos2xd^ = fxd^si n2x)=5S in 2x - 1 f —sin2xdx x 1=—sin 2x +—cos2x 中 C .2 4arcs in x , 「 . 一 1、 arcsin x x 2arcs in x _ arcs in x r 1 J arcs inx+ J — dx= -------- xZ-X 2 I +C . -In |厂1—dxx J 1 -X 21 1 -歸 d(—) j (-) -1V X 于是f.a1ddx[bf(t)dt] — f [屮(X)]屮&);x)dc)( x)-［爲 f(t)dt ］ = f ［玖x)］A(x) - f ［屮(x)N 〔X).4 •牛顿-莱布尼兹公式如果f(x)在［a,b ］上分段连续或是分段函数， C 是其间断点或分段点时，牛顿-莱布尼兹公式则有:b Cbcbaf(x)dx = a f (x)dx + C f(x)dx= F 1(x)|a +F 2(x)|c .二、典型例题解析概念与性质X例3 求函数F(x) = ( (t -x)sintdt 的导数.解被积函数中含有变量 X ，应先把变量X (在积分过程中它是常数)移出积分号外再求导,XXXF( X)=『(t 一 X) sin tdt =『t sin tdt - x 『s int dt .所以因此2ie2 2设 f(x)=e X七 x“0,2]，则 f (X)=(2x-1)e X」1 1 (x)=0,得唯一驻点，又fC)1估计定积分2x»dx 的1 = e^, f(0) =1, f(2) =m = min f (x) X 砂]'‘12e^ <1 = eP,M =maX ]f (x) 2=e .2 2 •0eX」dx<2e 2. 1+ 4x 0 f (x)dx ，求 f(x)的表达式.1 2解令 T f (x)dx = A ，贝U f(X)=3x 2+4 Ax ,f f (x)dx = f(3x 2 +4Ax)dx =[x 3 +2A X 2]0 =1+2A ,A=1 +2A , A = -1.f(X)=3x 2 — 4x .例 2 设 f(x)=3x2两边积分即所以于是2 •积分上限函于是xTsintCe' dtCOSXdt + COSx 00 = COSx —1 . 求极限lim T1 上! e dt'COSXlim 设 2-COS X /、・-e (cos x) ------ ---- =lim 2—COS x ・e sin X 2x -2ef (x)在[0, +处]内连续且f (x) >0，证明函数xI tf(t)dtF(x)= --------0 f (t)dt内为单调增加函数.x在(0, +处)d x d x>0, 匹 ___________7 计算『J 1 -2sin 2xdx .H ________ 迟. ____________________f j1-2sin2xdx=『J (sinx-cosx)2dx=『|sinx-cosx|dx『(cosx -sinx)dx + 后(sin x -cosx)dx = [ si n + c o x]# +[-c ox-s i rx]=2(72-1).第四节定积分的计算一、主要知识解析 1 .定积分的换元法在第二类换元中，当原积分变量x 改换为新的积分变量t 时，原积分上下限a,b 也要相应换成t 的上下限a ,P ，即“换元必换限”.在换元换限后，按新的积分变量做下去，不必还原成原变量.其次，由9 (Ct ) =a,®(P ) =b 确定的a ,P ，可能a<P ,也可能a > P ，但必须保证下限a 对应的a 仍放在下限，上限b 对应的P 仍放在上限，即“换限须对应”.2 .定积分的分部积分法bbb在公式J udv =[uv]a - f vdu 中，凑微分的各种类型与不定积分分部积分方法完全相同.a a3 .奇偶函数积分(求导)性质a [0,ff (X)dX 詔 a故由商的求导法则和 x 》t 得x xxf(x)0 f(t)dt-f(x)[0tf(t)dtF '(x) =故F(x)在(0, +处)内为单调增加函数. 3.牛顿一布尼兹公式的使用例6计算下列定积分：⑵ f 4tan 2日d 0 ；x -11⑴ f ^dx'』x『tan 2日d '0Indx x 2(1 +x 2)=1 n1-ln2 =-ln2 .H匹『(sec 29 -1)d e =[tan 0 -日]]=1兀-4 ■ -&)dx_ 2,3(1 + x ) 22 2 -dxX 2(1 +x 2)1 "3Q 3兀=arcta nx]；3 =1-= — —.y 3dxx 2(1 +x 2)>0, = l2.0f(x)dx.f (x)奇函数f(x)偶函数.奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数.奇函数的原函数全部是偶函数；偶函数的原函数只x x有[f(t)dt是奇函数，其他的原函数[f (t)dt +C(C H0)没有奇偶性.二、典型例题解析定积分的换元法1 计算fJ sin3x-sin5 xdx .〔J sin3 X —sin5 xdx = ( (sin x 乍Ucos2xdx4=f(si nx远37 cosXdx =『(sin X 乍 cosxdx - 3JI—:啟sin x)2cosxdx例2计算 3 兀 3 4 7d sin x - h (sinx)2d sinx = - • 7 5 ln2 r --------- [Je -ldx • 解设 t = -1，贝U X = 1 n(t 2-1) X = 0时t = 0 ； X = In 2时 t= 1 In 2 ( ------- 1 2t 21 故 0 J e X -1dx = 0 岂 Jt =2 [ (1 - 1 兀 = 2t[t —arctant]0 =2 - 一 • 2 若f(x)在[0, 1]上连续，证明『f (sin x)dx =『f (cosx)dx ；JI J I H _0 xf (sin x)dx = — L f (sin x)dx ，由此计算「兀 xsin X , 0 — dx•1 +cos (1)设 X = — -t,则dx = -dt ,2 兀 JI , 且当X = 0时，t =—；当X =—时t = 0 2 一迟 0 「故 0 f(sinx)dx =-射 |sin2 L=丘 f (cost dt 2 0=丘 f (cost dx •2(2)设 X =兀-t , 兀 0(xf (si x)dx =屈兀-t) f [s in (兀-t)d(—t) 0 0 =J 兀f (sin t)dt - J tf (sin t)dt J T J [ 兀兀 (1) 证明 2a ¥--t idt12丿」兀 ■- __•••，0 兀f (sint)dx = —0 f (sint)dt • 利用此公式可得：f 三竺莎dx “c 2 1 十 cos1 .. 2x 1 + COSJI JI=一一J -------- -- 2X d cos x2 01 +cos J T r 机 =-—arctg(cosx)£2 兀2Ixe- ,x >04例 4 设函数 f(x)={1，计算 f f(x-2)dx .I ----- 1 e x <0 II + cosx解设x-2 =t ，则42[f(X -2)dx = [f (t)dt0 2=L f(t)dt + 0 f(t)dt122=f ------- dt + rte dt y 1+cost 01 = tan 」e2 例5计算+丄 2 =『In(1+tanx)dx .4 0兀 I = [41n(1 +tanx)dx = (J n[1 +tan(— -t)]d(—t) 7 4 TC=[4In(1 +1— tant)dt = f |n(—2—)dtb 1+tant 0 1+tant =『[I n2-l n(1 +tan t)]dt 远兀所以 2l=[4ln2dx= —ln2 ,从而 ■b 4 2 .定积分的分部积分法计算『xsin 2xdx .『xsin 2xdx = f1 =—x 4 兀2 16例7 2 1 - cos2x 2 x -------) 2 兀2 dx『xcos2xdxH 1 卫 02 -1 [2xd(sin2x)= 0 4 o1 1 —丄(0 +丄cos2x 2) 42 0证明定积分公式fsi nxdx1 :—--(xsin 2x 16 4「丄 16 4 ■ 『xdx — 『s in 2 xdx) 5 "2 0 n - 3… n - 2 n - 3… n-2 上,n 为正偶数，22 2, n 为大于1的正奇数. 3证明设U =sin n4x 由分部积分公式可得： I n =(nT)『si nUk (n -1)『si nxdx= (n-1)仁一(n —1)l n .,dv =sinxdx ,士后I n -1I故 I n = --- I n 二- n由此递推公式可得所证明等式. 3 .对称区间上的定积分例8计算下列定积分：a 2「X [f(X)-f(_X)]dX ；1 .0 xarcsinx , (21 , - dx ；⑴因为f(x)-f(—X)是奇函数,3因为sin X + X 是奇函数，所以有a 2所以有 f X [ f(X)- f (—x)]dx =0 ；，_af 兀3/ (sin x + x)dx =0 ；—JI因为春是偶函数，所以有J^f (x)dx = a f (x)dx ；-be-beJ f(x)dx=J f(x)dx+ f f (x)dx .——*01-^dx(a>0)当p>1时收敛；当p<1时发散.xf (x)dx =F(X )|T=F (址)-F(a).2.被积函数有无穷间断点的广义积分a 为无穷间断点,b 为无穷间断点,兀3r (sin X + x)dx ；51 1 ・,xarcs^d^2f xarCSinx=-2[山-x 2 arcsinx =-2[(1 -x 2 arcsinx 1 _________________________J ___ dx = 2『arcs in xd( J 1一 x 2) -茁L^dx]山-X73——JI6 ■1-x|2] =1- 5Q —⑷因为(1 -X )2是偶函数，所以由I n 的公式，得1 — 1 —L(1-x 2 尸 dx = 2[(1-x 2)2dx .265!!兀=2 [2 cos tdt = 216 =2^ — X (令 X =sint )第五节一、主要知识解析1.无限区间上的广义积分讼bJ f(x)dx 啊」bb 5 =—兀6!! 2 16广义积分f(x)dx ；结论：⑴rILac为无穷间断点,b b〔f(x)dx=i^+a^f (x)dx；b b_Sf f (x)dx = lim, f f (x)dx ；'a 十’a\ /b c b〔f(x)dx= [ f(x)dx+ C f (x)dx1 1 X '0结论：⑴ c-£I 鸟 J a f(X)dX + 勢+ [J (X)dX .J a b■ [ ------- d x 当p <1时收敛；当P >1时发散.a(X —a)pa 为无穷间断点,b ba f(x)dx=F(x)i a_=F(b) —F(a —).二、典型例题解析无限区间上的广义积分1讨论广义积分dxk =1 时,-be ! X(lnx)k-be2 x(ln x)k 七"l n X J 2的敛散性.L (ln x)k dx k =1时,“ 、k 司nWx(ln x)严 dx 12x(ln x)k "[1 -k%)］严=处，发散; 八\1-k 1 -be (ln X) ]2 k <1 所以,k >1时，积分收敛；当 k <1时，积分发散.计算X 2 + X —2-bei- 1 乂dx “2 - I n X 2+x —2 &+丄)-32 2-be(x +丄) 2 2X -1 n ----x +2 M X +2」2J 2…. 2 =-(lim In ---- +ln 4) = — In 2 -3 I 处 x +232.被积函数有无穷间断点的广义积分判断广义积分的敛散性.X =1是无穷间断点，按定义，有X I —&dX=-」0L dXJ 1 -X 2=-x 2]0Y w-lim] - J 1 -(1 - g )2 ]=1 . &H 0-因此，广义积分. -------dx 收敛于1. 例4计算广义积分dx解 X = e 是无穷间断点，有.e dx ,ed I nxe=1 = [arcsin(ln x)]1 J 1-(In X)2JI =lim arcs in(I n x) — arcsin 0 =—.X 卡一2dx ' x j l — (In X)22例5计算广义积分f ‘ _________ J x （2 一X ）解 X = 0, X：= 2都是无穷间断点，则有 2 dx dxJ x(2 - X)d(x-1) 21 ______ + f 0J x(2 -x) 7x(2-X)十[2』(x -1) j 1-(x -1)217j l _(X _1)2= arcsin(x -1) L^+arcsin(x -1) ” _=0 — lim arcsin(x —1) + lim arcsin(x — 1) - 0 =兀.第六节定积分的应用一、主要知识解析平面图形的面积若平面图形是由曲线 y = f （x ）、直线x = a 、x = b 及ox 轴所围成，则面积为bA = J I f （X ）|dx = A i + A 2 + A 3 （如图 6-1）.a图6-2 (f(X)> g(x)) 若平面图形是由上下两曲线 y = f （X ）、y = g （X ）及直线X =a 、X = b 所围成，则面积为 bA = ［［ f （X ）— g （x ）］dx （如图 6-2 ）. ⑶ 若平面图形是由左右两曲线 x=®（y ）、x =^ （y ）及直线y =c 、y = d 所围成，则面积为 d A =『［®（y ）—屮（y ）］dy （如图 6-3 ）. 求平面图形面积的基本步骤如下：作草图、选变量、定区间；分整体、求（面积）微元；作（定）积分、算结果.2.体积 ⑴ 由曲线y = f （x ）、直线X = a 、x = b （acb ）及ox 轴所围成的曲V In>)(®(y)沙(y)) 图6-3边图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积为V =兀 f ［ f (x)］2dx = p f 2(x)dx (如图 6-7 ).⑵ 由曲线x=d(y)、直线y=c 、y=d (ccd)及oy 轴所围成的曲边图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积为d2d 2V =兀｛［®(y)］2dy =［曲2(y)dy (如图 6-8).(3)由曲线y = f(x)>0、直线x=a 、x = b (0<a<b)及ox 轴所围成的曲边图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积为bb 2V =2兀［xf (x)dx =［兀f (x)dx (如图 6-9).3 •平面曲线的弧长若曲线由方程y = f(x) (a<x<b)给出，其中y=f(x)在［a,b ］上具有一阶连续导数，，则曲线的弧长为I = J J l + y 迄 dx . "aF(x)作用下，沿着x 轴从a 运动到b 、则变力做功为bW = J F(x)dx .a5.液体的压力设垂直于液面的平面图形是由曲线y = f(X)、直线X = a 、X = b (a < b)及ox 轴所围成，ox 轴为液面，则垂直于液面的平面图形所受的静压力为：b ・P = f ■i Xf( x)dx ,a其中Y 为液体的比重.6 •已知边际函数，求总量函数若已知边际成本函数 C'(Q)和固定成本C(0)，则总成本函数为QC(Q)=C(0) +，0C'(t)dt ,Q其中积分0 C \t )dt 表示产量从0增加到Q 时，总成本的增加量.Q若已知边际收益函数 R'(Q)，则总成本函数为 R(Q) = R(0) +R'(t)dt , —般地,QR(0) =0，即销售为零时的总收益也为零，此时， R(Q) = .0 R (t)dt .7.已知总产量的变化率，求总产量1 1 III1 1 Ml工B 鼻仝■** « * i F*7^ if 币1 1二:+二〒■云亘上旦亘V t « =L = ■'K 仙ifr i图6-94 .变力做功设某物体在变力图 6-7图6-8若某产量的总产量Q的变化率是时间t的函数Q'(t)，而初始时刻产量函数tQ(t) =Q(t0)+ (Q (s)ds (txt。

同济大学(高等数学)_第四章_不定积分

第四章不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分)的问题，例如,变速直线运动中已知位移函数为()s s t =,则质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1。

1。

1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =，那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如,在变速直线运动中，()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数；再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数．一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之,连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出。

关于原函数，不难得到下面的结论：若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ,()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ，即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理:定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ(C 为任意常数）．若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1。

高等数学（上）第四章不定积分

第四章不定积分内容：不定积分的概念和性质、换元积分法、分部积分法、几种特殊类型函数的积分、简单无理函数的积分、积分表的使用。

要求：理解不定积分的概念和性质，掌握不定积分的基本公式、换积分法和分部积分法，理解有理函数的积分，了解简单无理函数的积分重点：不定积分的概念和性质；不定积分的基本公式；换元积分法、分部积分法、难点：凑微分、三角代换法、分部积分法到目前为止，我们已经学会了对函数作如下运算：四则、复合、求导. 在四则运算中, 加减法互为逆运算, 积商也互为逆运算; 我们能将简单函数复合, 也能将复合函数分解. 于是, 我们自然会想到这点: 既然我们能求得任一函数的导数, 我们当然也想知道谁的导数是一个任意给定的函数呢? 即研究求导的逆运算.例: 对于变速直线运动, 若已知位移函数)(t s s =, 则即时速度)(t s v '=, 反之, 若已知)(t v v =, 能否求得位移函数?§1. 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念1. 原函数定义: 设)(),(x F x f 在区间I 上有定义, 若∀x ∈I, 有)()(x f x F =' (或dx x f x dF )()(=)则称)(x F 为)(x f 在I 上的原函数.例: -sinx 是cosx 的原函数, x ln 是x1的原函数. 我们自然会提出三个问题:(1) 是不是任一函数都有有原函数. (2) 一个函数的原函数是否唯一.(3) 若不唯一, 不同的原函数间的关系. 逐一回答:(1) 定理: 若)(x f 在I 上连续, 则存在)(x F , 使得)()(x f x F ='. (2) 常数的导数为0. 若)()(x f x F =', 则())()(x f C x F ='+. (3) 若)()()(x G x f x F '==', 则()0)()(='-x F x G . 回忆中值定理得到的重要结果, 可得:Cx F x G Cx F x G +==-)()()()(综合(2), (3), 得出结论: 若)(x F 是)(x f 的一个原函数, 则 1°所有的)(x F +C 也是)(x f 的原函数. 2°)(x f 的任一原函数也写成)(x F +C.即})({C x F +(C 为任意常数)是)(x f 的所有原函数的集合. 命名之. 2. 不定积分定义: 函数)(x f 的全体原函数称为)(x f 的不定积分, 记作⎰dx x f )(.若)()(x f x F =', 则⎰dx x f )(=)(x F +C.⎰: 积分符号; )(x f 被积函数; dx x f )(被积表达式;x : 积分变量; C: 积分常量. 例1.C x xdx C x dx x +=+=⎰⎰sin cos ,4143例2. 证明:C x dx x +=⎰ln 1.证一: ⎩⎨⎧<->=0)ln(0ln ln x x x xx()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->='0101ln x xx x x证二: 2ln ln x x =为简便, 记C x dx +=⎰ln 1.(曲线族中任意一条曲线都可由另一条曲线经过上下平移而得到, 表现在图形上, 即: 所有平行于y 轴的虚线被相同的两条积分曲线所截得的长度都相同.)3. 不定积分与导数、微分的关系()()Cx F x dF C x F dx x F dxx f dx x f dx f dx x f +=+='=='⎰⎰⎰⎰)()(,)()()2()()(),()()1(不定积分与导数、微分互为逆运算. 注2: 导数是一个函数, 不定积分是一族函数.二、基本积分公式由导数公式，可直接得出积分公式Caa dx a C e dx e C x xdx x C x xdx x C x xdx dx x C x xdx dx x Cx xdx C x xdx Cx dx x Cx dx x Cx dx x C x dx x C kx kdx xxx x +=+=+-=⋅+=⋅+-==+==+-=+=+=-+=++=-≠++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+ln )13()12(csc cot csc )11(sec tan sec )10(cot csc sin 1)9(tan sec cos 1)8(cos sin )7(sin cos )6(arcsin 11)5(arctan 11)4(ln 1)3()1(11)2()1(2222221μμμμ三、不定积分的运算法则[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰±±±=±±±=dxx f dx x f dx x f dx x f x f x f dxx f k dx x kf n n )()()()()()()2()()()1(2121.例1.⎰⎰+--+dxx x xdxx e x )213114()2()cos 52()1(2 例2.()⎰⎰-=dx x xdx 1sec tan22例3. ⎰⎰+-+=+dt t t dt t t 22221111例4. ⎰⎰+=dt xx x x dt x x 222222cos sin cos sin cos sin 1§2. 换元积分法积分的许多方法都是来源于求导（微分）公式，凑微分法来源于复合函数求导公式，或者说是一阶微分形式不变性.一、第一类换元法（凑微分法）(){}()⎰⎰⎰=='=='⇒'=⋅'=+='⇒'⋅='⋅='⋅'='duu f dx x x f du u F dx x F x F d C x F dx x x f x x f u u f u u F x F x u x x u f u F xx u x)()()]([)()]([)]([)]([()()]([)()]([)()()]([)()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ定理设)(u f 有原函数，)(x u ϕ=可导，则)()()()]([)()]([x u duu f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='此定理的实质是将对变量x 的积分转化为对x 的函数)(x ϕ的积分.1. b ax x +=)(ϕ例1.⎰xdx 2sin 2不能对⎰xdx 2sin 直接积分, 但若令u=2x, 则可对⎰udu sin 直接积分, 只需将原积分中的“dx ”转化为“du ”即“d(2x)”.Cx C u udu x xd xdx xu +-=+-===⎰⎰⎰=2cos cos sin )2(2sin 2sin 22 熟练后可省略例2. []⎰⎰⋅++=+21)12()12sin()12sin(x d x dx x 例3. ⎰-dx x 100)45(, ⎰-dx x 23)45(若是二或三次方, 或许可以考虑二项展开, 但对于100次或是非正整数次方显然不适用.例4.⎰⎰+→+dx x dx x a 222111例5.⎰⎰-→-dx xdx xa 222111一般地, ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f . 2.b ax x +=2)(ϕ例6. ⎰dx xe x 22 例7.⎰-dx x a x2一般地,⎰⎰++=+)()(21)(222b ax d b ax f adx b ax xf . 利用1111+++=μμμμdx x dx x , 我们常用的凑微分法有: ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅-=⋅⋅=⋅xd f dx x fxd f dx x f dx f dx f x 2131232例8.⎰dx x x 1tan 122例9.⎰dx xe x33. 其它类型例10. ⎰⎰=dx xxxdx cos sin tan , ⎰xdx cot 例11.⎰+dx x x 21arctan把对x 积分转化为对)(x ϕ积分，即)()(x d f dx f x ϕϕ⋅→⋅'，这实际上也是一个积分过程，只是这个积分较为直接明了，因此，所有积分公式都可以被考虑用于凑微分.如:⎰⎰⋅=⋅x d f dx f x ln 14. 综合性凑微分(先变形, 再凑) ① 代数变形例12. ⎰-dx x x2例13. C ax ax a dx x a C a x ax a dx a x +-+=-++-=-⎰⎰ln 211,ln 2112222例14.⎰⎰++=++dx x dx x x 2)3(1116122例15.⎰⎰-+=--dx x x dx x x )1)(3(12312总之: ⎰⎪⎩⎪⎨⎧→→→++arctanln12不可分解因式可分解因式dx c bx ax 例16.⎰⎰+-=--dx x dx xx 22)1(21211例17．⎰⎰+=dx x xdx 212cos cos 2例18. C x x x dx x xdx +++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰832sin 414sin 321212cos cos 24例19. ⎰⎰--=x d x xdx cos )cos 1(sin 23例20. ⎰⎰--=x xd x xdx x cos cos )cos 1(cos sin2223例21.⎰⎰+=dx xx xdx x 22sin 8sin 3cos 5sin总结之:⎰⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++积分化和差公式平方和公式并换元倍角公式降次dx Bx Ax Bx Ax Bx Ax dx x x dx x x n n n ncos cos sin sin cos sin )3(cos sin )2(cos sin )1(121222例22.⎰xdx csc()Cx x xx C x x C x x C x x x d x dx xx dx x xdx ++-=+-=+-+-=+-+-=++-=--===⎰⎰⎰⎰)cot ln(csc sin cos 1ln cos 1cos 1ln 21cos 1cos 1ln 211cos 1cos ln 21cos cos 11sin sin sin 1csc 2222 Cx x xdx C x x xdx ++-=++=⎰⎰)cot ln(csc csc )tan ln(sec sec 总结: 三角函数微分、积分公式记忆： (1) 弦函数↔ 弦函数; 切函数↔ 割函数 (2) 正函数→ 正号; 余函数→ 负号例23.⎰⎰⎰-=--=+dx x xdx x x dx x 22cos sin 1sin 1sin 1sin 11在积分过程中, 分母中的正减号是积分的障碍.二、第二类换元法（变量置换法）定理设)(t x ψ=是单调且可导的函数，0)(≠'t ψ. 又设)()]([)(t t f t g ψψ'=有原函数, 则[]⎰⎰-='=)(1)()]([)(x t dt t t f dx x f ψψψ.事实上:[]C t G dt t g dt t t f t d t f dxx f x t t x +=='=⋅=⎰⎰⎰⎰-==)()(1)()()()]([)]([)]([)(ψψψψψψ第二类换元的实质是将f (x )复杂式变简单或将明显不可积变为可积. 1. 三角代换例1.⎰+dx x 112Ct t tdt t t d t dxx t x ++=⋅==+⎰⎰⎰=)tan ln(sec sec sec 1)(tan sec 1112tan 2不定积分是被积变量的函数, 故需写成x 的函数. 而用反函数代入的方法显然很繁琐.1tan tan x t t x =⇒=, 即在直角三角形中, t 是一个锐角, x 是其对边, 1是其邻边.⎰⎰+++=++++=++==C x a x dx a x C x x dx x x t t )ln(1)1ln(1111cos 1sec 2222222例2.⎰-dx ax 221xCa x x C aa x a x C t t tdtt t t a d t a dxax xa t ta x +-+=+-+=++=⋅==-==⎰⎰⎰)ln()ln()tan ln(sec tan sec tan 1)sec (tan 12222cos sec 22积分公式:⎰++±=±C x a x dx a x )ln(12222例3．⎰-dx x a 2C ax a a x a x a C t t t a dt t a tdtat td adx x a ax t t a x +-⋅+=++=+===-⎰⎰⎰⎰==)(arcsin 2)cos sin (2)2cos 1(2cossin cos 22222222sin sin 2三角代换的实质：用六角形公式消去根式(或分母)中平方和、平方差.2. 根式代换例4.⎰++dx x 1211Cx x C t t dt t t t d t dxx t x t x +++-+=++-=+-+=-+=++⎰⎰⎰=+-=)121ln(12)1ln(11121111211212212例5.⎰+xx dx)1(322a x -xCt t dt t t dt t t xx t x tx +-=+-+=+=+⎰⎰⎰==arctan 661116)1(1)1(22632366例3.dx xx⎰-+11 （选讲、习题课）法一：()dt t t t td t xxt t x ⎰⎰+=+-==-++-=2222111114)121(22 法二：()⎰⎰⎰⎰⎰+=--=-=--=--==dt t dt tt dt t t dx x x dx x x t x )sin 1(sin 1sin 1sin 1cos 111122sin 222法三：()()⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+=2222221121111111x d x dx xdx xx dx x x§3.分部积分法由导数的乘法公式:())()()()()()(x g x f x g x f x g x f '+'=',可知)()(x g x f 是)()()()(x g x f x g x f '+'的一个原函数,即[])()()()()()()()()()()()()()()()()()(x df x g x g x f x dg x f dx x g x f x g x f dx x g x f C x g x f dx x g x f x g x f ⎰⎰⎰⎰⎰-=⇔'-='⇒+='+' 其实质是将被积函数看作两个函数的乘积,将其中一个函数先凑到d 的后面(做一部分积分),从而变形为求另一个函数的积分.简言之,将被积表达式写成d 前面一部分,d 后面一部分,再交换前后两部分的位置.分部积分公式:⎰⎰⎰⎰'-=-=='dx u v uv vdu uv udv dx v u 例1.⎰xdx x sinx,sinx 都可以放到d 的后面去,但是,变形后的结果截然不同:前者变形为求⎰xdx xsin 2,后者变形为求⎰xdx cos ,显然选择后者.注: 选择u,v(d 前函数,d 后函数)的原则: (1)v 明显可求(2)简单比v u u v ''(即新得到的积分比原积分简单) 例2.⎰dx xe x例3. ⎰dx e x x 2例4.⎰xdx x ln 2例5. ⎰xdx ln , ⎰xdx 2ln例6. ⎰xdx arcsin例7. ⎰xdx e xsin例8. ⎰=xdx x I sec tan 2(选讲)⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==⋅==xdxI x x xdx x x x xdx x x x xd x x xxd xdx x x xdxx I sec sec tan sec )1(tan sec tan sec sec tan tan sec sec tan sec tan sec tan tan sec tan 232 注2.分部积分法主要类型:dxe ax ax x e ax ax d x dxe ax ax x ax n ax n ax n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⎰⎰⎰-sin cos sin cos cos sin )1(1\函数类型不变求导后积分后降次求导dx x ax ax x n ⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅类型趋同求导后类型不变积分后ln arctan arcsin )2(dx x d x ax ax n ⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→+幂函数1ln arctan arcsin方程二次分部积分函数类型不变求导后积分→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎰⎰⎰⎰dx bx bx e dx bx bx e e d bx bx dxbx bx e ax ax ax ax cos sin sin cos cos sin cos sin )3(\例9.⎰dx ex例10. dx xexdx e xx⎰⎰-=22cos 1sin 2例11. dx xe dx x e xx ⎰⎰=22sin cos sin 例12. ()dx x x xdx x ⎰⎰-=1sec tan 22 例13. ⎰=dx x I )sin(ln例14.⎰+++dx xx x 221)11ln(不定积分小结一积分公式(分类分组) 1．幂函数类⎪⎩⎪⎨⎧-≠⎰⎰dx xdx x 11(μμ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+⎰⎰dx ax dx ax 222211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±-⎰⎰dx a x dx x a 222211 2．指数函数类⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰dx a dxe xx3．三角函数类⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰xdx xdx cos sin⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x d x s e c t a n⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x d x c s c c o t⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰xdx xdx 22csc sec⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x x d x x c s c c o t s e c t a n 二、凑微分法)()()()]([)()]([x u duu f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='常用的凑微分法有:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅=⋅+⋅=⋅xd f dx x fx d f dx x f dx f dx f x dx f dx xf b ax d f a dx f 213121)(12322⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅=⋅xxdef dx f e x d f dx f x x d f dx xfcos sin ln 二、变量置换法[])()(1)()]([)]([)]([)(x t t x dt t t f t d t f dx x f -==⎰⎰⎰'=⋅=ψψψψψψ 常用代换:1. 三角代换⎰⎰⎰⎰⎰⎰====-=+=-tdtt t a f a dx a x f tdtt a f a dx x a f tdtt a f a dx x a f ta x ta x ta x tan sec )tan ()(sec )sec ()(cos )cos ()(22sec 22222tan 2222sin 222. 根式代换⎰⎰--=+=⋅=++dt t t t f anmdxb ax b ax f nm n m ab tx b ax t mn nmnm 1),(),( 三、分部积分法⎰⎰⎰⎰'-=-=='dx u v uv vdu uv udv dx v u分部积分法主要类型:dxe ax ax x e ax ax d x dxe ax ax x ax n ax n ax n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⎰⎰⎰-sin cos sin cos cos sin )1(1\函数类型不变求导后积分后降次求导dx xax ax x n ⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅ 类型趋同求导后类型不变积分后ln arctan arcsin )2(dx x d x ax ax n ⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→+幂函数1ln arctan arcsin方程二次分部积分函数类型不变求导后积分→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎰⎰⎰⎰dx bx bx e dx bx bx e e d bx bx dxbx bx e axax ax axcos sin sin cos cos sin cos sin )3(\ 注2:有些函数经过变形、代换后成为上述类型.注3:选择u,v(d 前函数,d 后函数)的原则:留在d 前的函数求导后变易, 进入d 的函数积分后不变难.四、特殊函数积分归类归类1:⎰⎪⎩⎪⎨⎧→→→++arctan ln 12平方和平方差dx c bx ax 归类2:⎰⎩⎨⎧→<→>→++arcsin 0012a a dx c bx ax 三角代换归类3:⎰⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++积分化和差公式平方和公式并换元倍角公式降次dx Bx Ax Bx Ax Bx Ax dx x x dx x x n n n ncos cos sin sin cos sin )3(cos sin )2(cos sin )1(121222 归类4：有理函数.。

银行工作人员违规行为积分管理办法

银行员工违规行为积分管理办法目录第一章总则第二章积分标准第三章积分管理程序第四章积分结果运用第五章附则第一章总则第一条为有效解决有章不循、违章操作问题，引导和督促各级机构和工作人员遵章守纪、依法合规经营，制定本办法。

第二条轻微违规行为积分管理，是指工作人员违反银行规章制度，不足以按照《银行员工违规违纪行为处分办法》进行处理，但有必要按照本办法对工作人员及其直接管辖行进行累计积分并据以处理的管理方法。

本办法所称的轻微违规行为，是指未造成不良后果或者情节轻微的违规行为。

第三条本办法适用于银行各级机构及其工作人员。

第四条实施积分管理应遵循实事求是、客观公正、处罚与教育相结合的原则。

第五条发现工作人员的轻微违规行为，应当对违规当事人及其直接管辖行连带等值积分。

但直接管辖行自查发现的，不对本行积分。

对工作人员的积分为个人积分，对其直接管辖行的积分为机构积分。

第六条个人自查发现的轻微违规行为，能够立即纠正且没有造成不良后果的，可以免除积分。

第七条本办法生效之后发生的轻微违规行为，发生的当年未发现或未处理，应当按照本办法进行积分的，积分记入处理生效年度。

第二章积分标准第八条发现工作人员轻微违规行为的，应当按照本办法所附《轻微违规行为积分标准》进行积分，分值为1－5分。

第九条积分年度为每年的1月1日至12月31日。

最小积分单位为1分。

个人积分上限为24分。

一个积分年度内，个人积分达到24分的，给予停职检查、调整岗位、待岗培训等处理后，积分从零分起算。

每个积分年度，个人积分和机构积分均从零分起算。

第十条2人或2人以上共同违规的，分别给予积分，不因其中一人积分而免除其他人的积分。

第十一条一次发现同一工作人员数个轻微违规行为，分别进行积分后累计计算，但最高不超过10分。

第十二条一次发现一名工作人员因同一轻微违规行为同时触犯《轻微违规行为积分标准》多项规定的，依照该行为对应的积分分值最高的条款进行积分。

第十三条对及时有效制止、举报违规行为，堵截案件，化解风险，避免财产损失的或有其他立功表现的工作人员，如果当年有积分，经积分管理领导小组审议，可减轻或免除积分处理。

经济数学复习第四章积分及应用

为求积分, 必须掌握!!!
如下不定积
分的基本积分公式:
根据导数可推得基本公式
1.0dxC
2.kdxkxC
3 .xd x1 1x 1 C ( 1 ) 4.1xdxlnxC
5. axdxlan x aC (a0,a1) 6. exdxexC
7.sixn dxcox sC
8.coxdsxsixnC
y
y f (x) A
面积 A?
由定积分的定义知 B
Aab f (x) dx.
(f(x)0,ab).
oa
bx y
特别地,在区间[a , b ]上,若
1
y 1
f(x)1, 则
AA??
Abf(x)dxbdxba.o a
a
a
bx
ESC
一、定积分的概念与性质
y
oa
A?
x
y f(x)
在区间[a , b ]上,若 f(x)0,
五、分部积分法
设函数 uu(x)v,v(x)都有连续的导数,则
uvdxuvvudx.
分部
积分或 udvuvvdu.
法公式
设函数uu(x)v,v(x)在闭区间[a, b]上都有连续
的导数, 则
或
abudvuvb a
b
vdu.
a
ESC
五、分部积分法
下面列出应用分部积分法的常见积分形式及 u，dv 的选取方法：
经济数学复习第四章积分及应用
一、定积分的概念与性质
积分上限被积函数
积分变量
b
n
积分号
a
f
(x)
dx
lim x0 i1
f (i)xi.

高等数学(上)第4章不定积分

4
定理如果在区间(a,b)内，函数F(x)为f(x)的一个原函数，则F(x)+c是f(x)的全体原函数，其中c为任意常数.
5
定义2 函数f(x)在区间I上的全体原函数称为 f(x)在区间I上的不定积分，记作∫f(x)dx ∫f(x)dx=F(x)+c c为任意常数）其中 F′(x)=f(x)（x∈I），“∫ f(x) 称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，而x称为积分变量.
27
定理设u=u(x),v=v(x)具有连续导数，则 ∫uv′dx=uv－∫u′vdx 根据式（4.3），求积分∫udv的问题化成了求积分∫vdu的问题. 后一个问题可能比前一个问题简单，从而对计算有利.
28
由此可见，如果u和dv选取不当，就求不出结果，所以在应用分部积分法时，恰当选取u和dv是一个关键，选取u和dv ①v ② ∫v du要比∫u dv .
第4章不定积分
前面介绍了微分学，本章开始讲积分学. 积分学分为不定积分和定积分两部分. 不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的反问题引进的. 两者概念不相同，却有紧密联系.
1
4.1 众所周知，求函数的导数或微分是微分法的基本问题. 但是，在力学、物理学以及其他自然科学中，常常遇到与此相反的问题. 例如，已知一质点沿直线运动的速度v=v(t)，求它的运动规律，即要找质点在数轴上的位置与运动时间的依赖关系： s=f(t)，从数学的角度来说，这个相反问题的实质是：要找一个函数s=f(t)，使得它的导数f ′(t)等于已知函数v(t) f ′(t)=v(t) 的逆问题，即已知函数的导数，要找出原来的函数，这就是本章将要讨论的中心问题.
20
利用公式（4.1）计算不定积分，一般要比复合函数的求导困难一些，因为其中需要一定的技巧，而且如何适当地选择变量代换u=φ(x),没有一般途径可循，因此要掌握好第一类换元法，除了熟悉一些典型的例子外，还必须多做练习才行.

高数上4.1 不定积分概念与性质

f (x)dx dF(x) F(x) C,
从形式上看, 若能把 f ( x)dx 中的被积函数 f(x) 凑
到微分号后, 即把积分号下的 f (x)dx 转变成 dF(x) 则微分号后的函数 F ( x)就是所求的一个原函数。
因此积分运算可以看成是微分运算的逆运算。
例2 求下列不定积分
2
x 2
dx
12(1 cos x)dx 12 (1 cos x)dx
1 2
[
dx
cos
xdx]
1 2
(
x
sin
x)
C
.
例11 求满足下列条件的F ( x).
F ( x) 1 x , 13 x
F (0) 1.
解根据题设条件, 有
F( x) F( x)dx 1 x dx (1 3 x 3 x2 )dx 13 x
即 kf ( x)dx k f ( x)dx (k 0); 证[k f ( x)dx] k[ f ( x)dx] kf ( x) [ kf ( x)dx]
证毕.
五、直接积分法
从前面的例题知道, 利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的. 为解决不定积分的计算问题, 这里我们先介绍一种利用不定积分的运算性质和积分基本公式, 直接求出不定积分的方法, 即直接积分法.
第四章不定积分
一、不定积分的概念与性质二、换元积分法三、分部积分法四、有理函数的积分
第一节不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的几何意义三、基本积分表四、不定积分的性质五、直接积分法
一、原函数的概念
定义设 f ( x)是定义在空间 I上的函数, 若存在函数F ( x)对任何 x I均有

数理方程参考答案4第四章积分变换法

若在点连续，则
1
定义
设函数 f ( x) 在 (−∞, +∞) 上的任意有限区间上满足狄利克雷条件，在 (−∞, +∞) 上绝
对可积，则称广义积分
为
的傅里叶变换，或者称为定义称
的像函数。通常记为
，或
。
为
的傅里叶逆变换，或者称为傅里叶变换及其逆变换的基本性质
的像原函数。记为
.
性质 1（线性性质）傅里叶变换及其逆变换都是线性变换，即
其中，是任意常数。性质 2（相似性质）对于任意实常数，有 . 性质 3（位移性质）对于任意实常数，有 , 性质 4（微分性质）设，的傅里叶变换存在，则 . 一般地，若 , ,…, 的傅里叶变换存在，则 . 性质 5（乘多项式性质）设的傅里叶变换存在，则
2
.
. 性质 6 (积分性质) . 性质 7 (对称性质) . 定义于所有的设函数和是上定义的函数。如果广义积分对
2 ∂ 2u 2 ∂ u a − = 0 (−∞ < x < +∞, t > 0), ∂t 2 ∂x 2 ∂u u| ψ ( x). ( x), = = t =0 ϕ ∂t t =0
的解为
二维拉普拉斯方程的边值问题
∂ 2u ∂ 2u = 0 ( −∞ < x < +∞, y > 0), ∂x 2 + ∂ y2 u | = f ( x ), x =0 u = 0. |xlim |→+∞ 的解为
2
s2
例3 解
求函数 F ( p ) = 因为
p 的拉普拉斯逆变换 p − 2 p +5

第四章微积分中值定理与证明

在上连续，所以在上连续，且
．
若，我们取或，结论显然成立．若，则
根据零点定理，有，所以有．
（方法2：利用介值定理）由于在上连续，所以在上可以达到最
大值和最小值，使得，当然，所以
，
故
，
从而有
，
根据介值定理，有
，
所以有
．
例2设在上连续，，证明：，使得．
证明引入辅助函数，则
4．设，在上连续，在可导，证明：在内至少存在一
点，使得．
（提示：对两个函数和在上应用柯西中值定理）
5．设在上连续，在可导，且，证明：在，使得．
（提示：引入辅助函数，在上满足罗尔定理条件）
6．设在上可导，且，证明：
（1），使得．
（2）在上存在，使得．
所以
整理得到
．
例12设在上连续，且，证明：存在满足
．
分析解方程，即，所以辅助函数为
．
例13和例14对数三考生不做要求：
例13若在上有三阶导数，且，设，证明：
在内至少存在一个使得 .
证明由于具有三阶导数，于是
由于
，
所以，故
，
因为，所以，即存在一个使得 .
例14设在区间上具有三阶连续导数，且，，
柯西中值定理，有
，；
，．
将上面两式相除，整理得到
．
4.1练习
1．试证方程，其中至少有一个正根并且不超过．
（提示：只需证明函数在至少有一个根）
2．试证方程恰有两个实根．
（提示：函数是偶函数，关于轴对称）

数值分析讲义第四章数值积分

方法的选取
不同的数值积分方法具有不同的收敛性和稳定性，应根据具体问题选择合适的方法。
初值和边界条件
初值和边界条件对数值积分的收敛性和稳定性也有影响，不合理的初值和边界条件可能导致数值积分发散或误差增大。
05
数值积分的应用实例
在物理模拟中的应用
01
流体动力学模拟
数值积分被广泛应用于流体动力学模拟中，如计算流体速度、压力、温度等的分布。
02
数值积分方法
矩形法
总结词：简单直观
详细描述：矩形法是一种基本的数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的矩形，然后求和近似计算积分值。由于计算简单直观，适用于初学者理解数值积分的基本思想。
梯形法
总结词：易于理解
详细描述：梯形法是另一种数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求和近似计算积分值。与矩形法相比，梯形法更接近于真实曲线下面积的形状，因此误差相对较小。
衍生品定价
通过数值积分方法，可以对复杂的衍生品进行定价，如期权、期货等。
蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛模拟是一种基于随机抽样的数值积分方法，常用于估计预期收益和风险。
在图像处理中的应用
图像滤波
通过数值积分方法，可以对图像进行滤波处理，如平滑、锐化等。
图像重建
在图像重建中，数值积分常用于从部分图像数据中恢复完整的图像。
辛普森法
总结词：精度较高
详细描述：辛普森法是数值积分的一种改进方法，它利用了被积函数在积分区间的端点和中心点的函数值进行近似计算，因此精度相对较高。辛普森法是数值积分中常用的方法之一。
高斯法
总结词：高精度
VS
详细描述：高斯法是一种基于高斯积分的数值积分方法，它利用了被积函数在积分区间内的高斯点的函数值进行近似计算，具有很高的精度。高斯法适用于需要高精度计算的情况，但计算过程相对复杂。

第四章积分及其应用

规则图形
的面积
矩形的面积=长宽.
宽
中位线,长为
a
2
b
直角梯形的面积=
a
2
b
h.
上底
a
直角梯形的面积可用矩形面积计算.
长
下底
b 高h
那么,不规则图形的面积如何求呢?
y
?? ?
?A ?
?
? ? ??
o 求不规则图形的面积问题
转化为
求曲边梯形的面积问题
如左图,将其放入平面直角坐标系中.
B
曲边梯形的面积.
A1 A2
A3
A i
An
Ai表示第 i个小
曲边梯形面积, 则有:
x o =xa0 x1 n x2 x3 xi1 xi xn1b=xn
A ΔA1 ΔA2 ΔAn ΔAi.
i 1
(2)近似代替——用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积
在每一个小区间[xi1, xi ]上任选一点 i( i 1,2,，n ),用与
则
a
a
f (x)dx 2 f (x)dx.
a
0
性质4 (比较性质) 若函数 f (x) 和 g(x) 在闭区间[a,b]上总有
f (x) g(x),
则
b
b
y
f (x)dx g(x)dx.
a
a
A1
由图,两个曲边梯形的面积有关系:
y g(x) B1
aABb 的面积 aA1B1b的面积 A y f (x) B
曲
统一
按下述程序计算曲边梯形的面积:
(1)分割——分曲边梯形为个小曲边梯形
在区间[a,b]上任意选取分点 a yx0 x1 x2 xn1 xn b,