2021届四川省资阳市高中高三第一次诊断性模拟考试数学理试题Word版含答案

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四川省绵阳市2024届高三一模数学(理)试题含解析

2021级高三一诊模拟考试数学（理）试题（三）（答案在最后）一、单选题1.已知集合{}21,Z A x x k k ==-∈，{}41,Z B x x k k ==+∈，则（）A.A B A =B.A B B ⋃=C.()R B A ⋂=∅ðD.()R A B ⋂=∅ð【答案】C 【解析】【分析】通过推理得到B 是A 的真子集，从而根据交集，并集和补集的概念进行计算，对四个选项一一进行判断正误.【详解】{}{}{}21,Z 41,Z 41,Z A x x k k x x k k x x k k ==-∈==+∈⋃=-∈，故B 是A 的真子集，故A B B = ，A B A ⋃=，()R B A ⋂=∅ð，(){}41,Z R A B x x k k ⋂==-∈≠∅ð，故A ，B ，D 均错误，C 正确.故选：C.2.已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是（）A.ab >acB.c (b －a )<0C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，求得,c a 的正负，再结合b c >，则问题得解.【详解】由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0.由b >c ，得ab >ac 一定成立，即A 正确；因为0,0c b a <-<，故()0c b a ->，故B 错误；若0b =时，显然不满足22cb ab <，故C 错误；因为0,0ac a c -，故()0ac a c -<，故D 错误.故选：A .【点睛】本题考查不等式的基本性质，属简单题.3.若等比数列{}n a 满足232a a +=，246a a -=，6a =（）．A.32-B.8- C.8D.64【答案】A 【解析】【分析】根据条件先求出数列的首项和公比，即可求出.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，2231132411+26a a a q a q a a a q a q ⎧+==⎨-=-=⎩，解得2q =-，11a =，()55611232a a q ∴==⨯-=-.故选：A.4.下列命题正确的是（）A.命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题B.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题C.若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，则0x 为函数()f x 的极值点；D.命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++<”【答案】B 【解析】【分析】根据复合命题的真假判断A ，根据四种命题的关系判断B ，根据极值的定义判断C ，根据命题的否定判断D ．【详解】对于A ：命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 至少有一个假命题，故A 错误；对于B ：命题“若x y =，则sin sin x y =”显然为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，故B 正确；对于C ：若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，如果两侧的导函数的符号相反，则0x 为函数()f x 的极值点；否则，0x 不是函数()f x 的极值点，故C 错误；对于D ：命题“存在0R x ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意R x ∀∈，均有210x x ++≥”．故D错误.故选：B ．5.设0.70.362,log 4,4a b c ===，则（）A.c a b >>B.a c b>> C.b c a>> D.b a c>>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得；【详解】解：因为()0.30.320.6422==，00.60.71212222=<<<=，所以1a c >>因为66610log log 4g 1lo 6=<<=所以01b <<，所以ac b >>．故选：B6.若向量a ，b 满足2a = ，()26a b a +⋅=，则b 在a 方向上的投影为（）A.1 B.12C.12-D.－1【答案】B 【解析】【分析】先利用向量数量积的运算求得a b ⋅ ，再利用投影的定义求解即可.【详解】因为2a = ，()26a b a +⋅=，所以226a b a +⋅= ，即2622a b +⋅= ，则1a b ⋅= ，故b 在a 方向上的投影1cos ,2a b b a b a ⋅==.故选：B .7.函数()()100ln 0e exxx f x x -=≠-的大致图象是（）A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证即可【详解】因为()100ln 100ln ()e ee exxxxx x f x f x ---==-=---，所以()f x 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，所以排除CD ，因为(1)0f =，1111eeee1100ln 1100e0e e ee ef ---⎛⎫==< ⎪⎝⎭--，所以排除B ，故选：A8.已知角α的终边落在直线2y x =-上，则22cos2sin23sin ααα++的值为（）A.25-B.25C.±2D.45【答案】B 【解析】【分析】根据角α终边的位置得到tan 2α=-，然后将22cos 2sin 23sin ααα++转化为2222tan tan 1tan ααα+++再代入求值即可.【详解】角α的终边落在直线2y x =-上，所以tan 2α=-，2222222cos 2sin 2sin cos 3sin 2cos 2sin 23sin cos cos αααααααααα-++++=+22222cos 2sin cos sin cos sin αααααα++=+2222tan tan 1tan ααα++=+24414-+=+25=.故选：B.9.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A .向左平移6π个单位长度B.向左平移12π个单位长度C.向右平移6π个单位长度D.向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象得到()f x 、()g x 的解析式，然后利用图象平移的结论进行图象平移即可.【详解】根据图象可得2A =，周期T π=，因为2T πω=，所以2ω=，()()2sin 2f x x ϕ=+，将,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 可得()2222sin 2332k k πππϕϕπ⎛⎫=+⇒+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，解得()26k k πϕπ=-+∈Z ，因为0πϕ-<<，所以6πϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2sin 2g x x =，因为()2sin 212f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 向左平移12π个单位长度即可得到()g x 的图象.故选：B.10.过点()3,0作曲线()e xf x x =的两条切线，切点分别为()()11,x f x ，()()22,x f x ，则12x x +=（）A.3-B.C.D.3【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，设切点坐标为()000,ex x x ，即可得到切线方程，依题意关于0x 的方程200330x x -++=有两个不同的解1x 、2x ，利用韦达定理计算可得.【详解】因为()e x f x x =，所以()()1e xf x x '=+，设切点坐标为()000,e x x x ，所以()()0001e xf x x '=+，所以切线方程为()()00000e1e x x y x x x x -=+-，所以()()00000e1e 3x x x x x -=+-，即()02033e 0x x x -++=，依题意关于0x 的方程()20033e0x x x -++=有两个不同的解1x 、2x ，即关于0x 的方程200330x x -++=有两个不同的解1x 、2x ，所以123x x +=.故选：D11.已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（）A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题设可得()sin(26f x x π=+，将问题转化为在132[,)666t x πππ=+∈上sin y t =与y m =有两个交点且交点横坐标之差2||3a b t t π->，应用数形结合确定m 的取值范围.【详解】由题设，2T ππω==，则2ω=，即()sin(2)6f x x π=+，又()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，[0,)π上，132[,)666t x πππ=+∈，则sin y t =的图象如下：∴要使||3a b π->，则对应2||2||3a b t t a b π-=->，∴当1122m -<<时，()f x m =有两个交点且||3a b π->.故选：D12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-.若函数()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有10个零点，则实数m 的取值范围是（）A.[)3.5,4 B.(]3.5,4 C.(]5,5.5 D.[)5,5.5【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f =，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤<.故选：A【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往可以转化为常见函数的交点的个数问题，而图象的刻画需结合函数的奇偶性、周期性等来处理.二、填空题13.若x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则23z x y =-的最小值为______．【答案】5-【解析】【分析】先作出可行域，将目标函数23z x y =-化为2133y x z =-，要求z 的最小值，则需求直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值，由图可得答案.【详解】由x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩作出可行域,如图由2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得()1,1A -由210x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭由2100x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得11,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭将目标函数23z x y =-化为2133y x z =-，则z 表示直线2133y x z =-在y 轴上的截距的13-倍.要求z 的最小值，则需求直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值.由图可知，当目标函数过点()1,1A -时，直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值.此时z 的最小值为()21315z =⨯--⨯=-故答案为：5-14.当7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数23sin 2cos y x x =--的值域为________．【答案】728⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求得1sin [,1]2x ∈-，化简2172(sin )48y x =-+，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】因为7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得1sin [,1]2x ∈-，又由222173sin 2cos 3sin 2(1sin )2(sin 48y x x x x x =--=---=-+，当1sin 4x =，取得最小值min 78y =；当1sin 2x =-或sin 1x =，取得最大值min 2y =，即函数的值域为728⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故答案为：728⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和正弦函数的性质，以及二次函数的图象与性质是解答的关键，属于基础题.15.已知函数()()2e ,1lg 2,1x x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，则不等式()11f x +<的解集为______．【答案】()0,7【解析】【分析】分别在11x +≤和11x +>的情况下，结合指数和对数函数单调性可解不等式求得结果.【详解】当11x +≤，即0x ≤时，()()2111e e 1x x f x -+-+==<，10x ∴-<，解得：1x >（舍）；当11x +>，即0x >时，()()1lg 31f x x +=+<，0310x ∴<+<，解得：37x -<<，07x ∴<<；综上所述：不等式()11f x +<的解集为()0,7.故答案为：()0,7.16.数列{}n a 的前n 项和为n S ，23nn n a S +=，数列{}n b 满足()()211332n bn n a a n N *++=-∈，则数列{}n b 的前10项和为______．【答案】65【解析】【分析】由,n n a S 的递推式可得121323n n n a a +++-=⨯，结合已知条件有1n b n =+，即可求数列{}n b 的前10项和.【详解】由23nn n a S +=知：11123n n n a S ++++=，则1112233n n n n n n a S a S ++++--=-，得1323nn n a a +-=⨯，∴121323n n n a a +++-=⨯，而()()211332n bn n a a n N *++=-∈，∴1n b n =+，故数列{}n b 的前10项和为1010(211)652T ⨯+==，故答案为：65.【点睛】关键点点睛：,n n a S 递推式的应用求条件等式中因式213n n a a ++-的表达式，进而求数列{}n b 的通项，最后求{}n b 前10项和.三、解答题17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()2,1m b = ，()2,cos n a c C =- ，且//m n．（1）求角B 的大小；（2）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．【答案】（1）π3B =；（2）sin 7BAC ∠=.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示，再利用正弦定理边化角及和角的正弦公式求解作答.（2）取CM 中点D ，连接AD ，利用直角三角形边角关系及正弦定理求解作答.【小问1详解】向量()2,1m b = ，()2,cos n a c C =- ，且//m n，于是2cos 2b C a c =-，在ABC 中，由正弦定理，得2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，整理得2cos sin sin B C C =，又sin 0C ≠，因此1cos 2B =，而0πB <<，所以π3B =．【小问2详解】取CM 中点D ，连接AD ，由AM AC =，得AD CM ⊥，令CD x =，而点M 为BC 中点，则3BD x =，由（1）知π3B =，于是AD =，AC =，在ABC中，由正弦定理知4πsin sin 3x BAC =∠，所以sin 7BAC ∠=．18.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 前n 项和为n T ，从①1a ，2a ，5a 成等比数列，2n n T b -=，②53253S S -=，1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这两个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n M .【答案】（1）条件选择见解析；21n a n =-，112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）()2323nn M n =-⋅+.【解析】【分析】（1）选条件①：设数列{}n a 的公差为d ，根据等比中项的性质建立方程，解之可求得公差d ，由等差数列的通项公式求得n a ，再由2n n T b -=，112n n T b --=-两式相减得数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，根据等比数列的通项公式求得n b ；选条件②：由已知得等差数列{}n a 的公差为2d =，由等差数列的通项公式求得n a ，再由1112n n n n b T T --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭求得n b ，注意1n =时是否满足；（2）由（1）可得：()1212n nna nb -=-⋅，由错位相减法可求得n M .【详解】解：（1）选条件①：设数列{}n a 的公差为d ，由1a ，2a ，5a 成等比数列，可得：2215a a a =，即()2114d d +=+，解得：2d =或0d =（舍），所以()12121n a n n =+-=-，∵2n n T b -=，∴112n n T b --=-，2n ≥，两式相减整理得：112n n b b -=，2n ≥，又当1n =时，有112T b =-，解得：11b =，∴数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，∵112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；选条件②：∵5332253S S a a -=-=，∴等差数列{}n a 的公差为2d =，又11a =，∴()12121n a n n =+-=-，又∵1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴当2n ≥时，有1112n n n n b T T --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又当1n =时，有111T b ==，也适合上式，∵112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）由（1）可得：()1212n nna nb -=-⋅，∴·()0121123252212n n M n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，又()()12121232232212n n n M n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减得：()()()21232121222212121212n n n nn M n n ---=+++⋅⋅⋅+--⋅=+--⋅-整理得：()2323nn M n =-⋅+.19.设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆面积的最大值为234+【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值.试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=-由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc+=+≥即：2bc ≤当且仅当b c =时等号成立.因此12sin 24bc A +≤所以ABC ∆面积的最大值为24考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.20.已知()()3223,f x x ax bx aa b R =+++∈.（Ⅰ）若()f x 在=1x -时有极值0，求a ，b 的值；（Ⅱ）若()()6xg x f x b a e '=-+⋅⎡⎤⎣⎦，求()g x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，9b =；（Ⅱ）答案见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数()f x '，由题意可得2310630a ab b a ⎧+--=⎨-+=⎩，解方程组求出a ，b 的值，再验证是否在=1x -是否取得极值即可.（Ⅱ）由题意求出()()()322xg x x x a e '=++⋅，讨论1a =、1a >或1a <，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.【详解】解：（Ⅰ）由题意得()236f x x ax b '=++，则2310630a ab b a ⎧+--=⎨-+=⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，经检验当1a =，3b =时，函数()f x 在=1x -处无极值，而2a =，9b =满足题意，故2a =，9b =；（Ⅱ）()()()26322xxg x f x b a e x ax a e'=-+⋅=++⋅⎡⎤⎣⎦故()()()322xg x x x a e '=++⋅，故1a =时，()0g x '≥，函数()g x 在R 上递增，当1a >时，函数()g x 在(),2-∞-a 递增，在()2,2a --递减，在()2,-+∞递增，当1a <时，函数()g x 在(),2-∞-递增，在()2,2a --递减，在()2,a -+∞递增．21.已知函数()ln f x x x =-.（1）求证：()1f x ≤-；（2）若函数()()()0ex xg x af x a =+>有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）10ea <<【解析】【分析】（1）求出()1xf x x-'=，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.（2）求出()g x '，讨论其符号后可得函数的单调性，根据零点的个数可得最值的符号，从而可得a 的取值范围，注意利用零点存在定理验证.【小问1详解】()1xf x x-'=，则当01x <<时，()0f x ¢>，当1x >时，()0f x ¢<，故()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上减函数，故()()max 11f x f ==-即()1f x ≤-.【小问2详解】()ln e x x g x a x ax =-+，故()()()1111e e xx a x x a g x x x x --⎛⎫'=+=-+ ⎪⎝⎭，因为0,0a x >>，故10ex a x +>，所以当01x <<时，()0g x ¢>，当1x >时，()0g x ¢<，故()g x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上减函数，因为函数()g x 有两个零点，故()()max 110e g x g a ==-+>即10ea <<，又当10ea <<时，对任意10e a x -<<，有：ln ln ln 10ex xa x ax a x x a x -+<+<+<，故此时()g x 在()0,1上有且只有一个零点.下证：当e x >时，总有2ln x x >成立，设()2ln S x x x =-，则()20x S x x-'=>，故()S x 在()e,+∞上为增函数，故()()e e 20S x S >=->，即2ln x x >成立.故当e x >时有2e x x >.由（1）可得ln e e x xx x a x ax a -+≤-+，故当11(e)x a a >>时，11ln 0e x x axa x ax a x x--+<-+=<，故此时()g x 在()1,+∞上有且只有一个零点.综上，当()g x 有两个零点时，10ea <<.22.数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线:sin3()C ρθρ=∈R 被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．（1）当[0,)θπ∈，求以极点为圆心，22为半径的圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）设点P 是由（1）中的交点所确定的圆M 上的动点，直线:cos 24l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）2223211,,,,,2122424212ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）322.【解析】【分析】（1）由sin 322ρθρ=⎧⎪⎨=⎪⎩可得2sin 32θ=，然后解出θ的值即可；（2）将圆M 和直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后可求出答案.【详解】（1）由sin 322ρθρ=⎧⎪⎨=⎪⎩可得2sin 32θ=，所以324k πθπ=+或()3324k k Z πθπ=+∈所以2312k ππθ=+或()234k k Z ππθ=+∈因为[0,)θπ∈，所以311,,,124412ππππθ=所以交点的极坐标为2223211,,,,,,,2122424212ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由（1）可得圆M 的极坐标方程为22ρ=，转化为直角坐标方程为2212x y +=直线:cos 24l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的直角坐标方程为2x y -=所以点P 到直线l 23222+=23.已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[] 3,2-；(2)[]1,1-.【解析】【分析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【详解】（1）当2x ≤-时，()5f x ≤等价于215x --≤，解得[]3,2x ∈--；当21x -<<时，()5f x ≤等价于35≤，恒成立，解得()2,1x ∈-；当1x ≥时，()5f x ≤等价于215x +≤，解得[]1,2x ∈；综上所述，不等式的解集为[]3,2-.（2）不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，等价于()21f x x ax ≥-+在区间[]1,1-上恒成立，也等价于220x ax --≤在区间[]1,1-恒成立.则只需()22g x x ax =--满足：()10g -≤且()10g ≤即可.即120,120a a +-≤--≤，解得[]1,1a ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.。

四川资阳市2021届高三第一次诊断性考试文科数学试题(含答案)

资阳市高中2018级第一次诊断性考试文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合()(){}130M x x x =+-<，{}0,1,2,3,4N =，则M N ⋂=（）．A ．{}1,2,3-B ．{}0,1,2C ．{}0,1,2,3D ．{}0,1,2,3,4 2．复数21i=+（）． A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 3．sin160cos10cos20sin10︒︒+︒︒=（）．A ．32-B ．12-C ．12D ．324．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（）．A ．32B ．3C ．92D ．95．已知()1,2A ，()3,4B ，()2,2C -，()3,5D -，则向量AB CD ⋅=（）．A ．4-B ．2-C ．4D ．66．执行如图所示的程序框图，若输入6N =，则输出的S =（）．A ．56B ．67C ．78D ．89 7．“()()3311a b +>+”是“lg lg a b >”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知2log 5a =，3log 7b =，0.30.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 9．函数()sin x f x e x =在区间[]π,π-的图象大致是（）．A ．B ．C ．D ．10．已知圆O 内切ABC △的三边AB ，BC ，AC 分别于D ，E ，F ，且23190OD OE OF ++=，则角B =（）．A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π611．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（）．A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数 12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()f x f x '<（其中()f x '为()f x 的导函数），若()22f e =，则()x f x e >的解集为（）． A ．()2,2-B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 二、填空题：13．221log 12log 92-=______． 14．设x ，y 满足1310x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2x y +的最大值为______． 15．等比数列{}n a 的各项均为正数，且12273a a +=，242816a a a =⋅，则n a = ______．a 的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题（1）求()f x 单调递增区间；18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+；数列{}n b 为等比数列，且22b =，516b =．（1）求n a ，n b ；19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos b A a C c A -=．（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b c +的最大值．20．已知函数()32g x x ax =+．（1）若函数()g x 在[]1,3上为单调函数，求a 的取值范围；（2）已知1a >-，0x >，求证：()2ln g x x x >． 21．已知函数()221x f x xe ax ax =++-．（2）当10a e--<≤时，讨论()f x 零点的个数．（二）选考题22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2:4cos C ρθ=．（1）求曲线2C 的直角坐标方程；23．[选修4-5：不等式选讲]（1）求M ；参考答案1．B 2．C 3．C 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A9．D 10．C 11．B 12．A13．2 14．10 15．124n - 16．11,3216⎛⎫⎪⎝⎭则ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以4331433sin 525210α+=⨯+⨯=． 18．（1）2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，由22n S n n =+可得113a S ==，可知13a =满足上式，于是21n a n =+．设等比数列{}n b 公比为q ，则12b q =，4116b q =，解得11b =，2q =，所以12n n b -=．（2）由（1）知1212n n n n a b -+⋅=，则021********2n n n T -+=++++ ① 于是12313572122222n n n T +=++++ ②①－②12111122111121213232122222212n n n n n n n T --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦==++++-=+⨯- ⎪⎝⎭- 1111212564110222n n n n n n T ---⎡⎤++⎛⎫=+--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 19．（1）由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A -=，则()2sin cos sin sin B A A C B =+=，于是1cos 2A =，又0πA <<，故π3A =．（2）根据余弦定理222222cos 2a b c bc A b c bc =+-=+-，则()()2224332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+- ⎪⎝⎭，即()216b c +≤，当且仅当b c =时等号成立，所以b c +的最大值为4．20．（1）由题()232g x x ax '=+，（2）由题即证：ln x a ax +>，【法1】令()ln u x x a x =+-，()11a x u x x x-'=-=，当01x <<，()0u x '<，函数()h x 单调递减，当1x >，()0u x '>，函数()h x 单调递增．所以()()11u x u a ≥=+，因为1a >-，所以()0u x >，故当1a >-时，对于任意0x >，()ln g x x >．【法2】令()ln u x x a x =+-，由1a >-，则()ln 1ln u x x a x x x =+->--，令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=，当01x <<，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当1x >，()0h x '>，函数()h x 单调递增．所以()()10h x h ≥=，即()0u x >，故当1a >-时，对于任意0x >，()ln g x x >．21．由()221x f x xe ax ax =++-，得()()()()12212x x f x x e ax a x e a '=+++=++．（2）（ⅰ）当0a =时，()1xf x xe =-，可知0x <，()0f x <，又()1xf x xe =-为()0,+∞的增函数，且()110f e =->，所以()f x 仅有一个零点．（ⅱ）当0a <时，由()0f x '=得1x =-或()ln 2x a =-，当()ln 2x a <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；()ln 21a x -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增．此时，()f x 仅有一个零点．因为()001f =-<，()3110e a f =+->，此时()f x 仅有一个零点．当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1ln 2x a -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减；()ln 2x a >-时，()0f x '>，()f x 单调递增．结合()001f =-<知()f x 仅有1个零点．22．（1）由4cos ρθ=可得24cos ρρθ=，可得2240x y +-=．（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩带入2C 的直角坐标方程，得()()()221cos sin 41cos 0t t t ααα++-+=，即有22cos 30t t α--=，所以122cos t t α+=，123t t ⋅=-．23．（1）当2x ≤时，253x -+<，得12x <≤；当23x <<时，13<成立，得23x <<；当3x ≥时，253x -<，得34x ≤<，所以原不等式的解集为()1,4x ∈，即()1,4M =．即证明()()2244bc c b +<+，即222216160b c b c +--<，即证明()()221610b c --<，由于,b c M ∈，所以2160b -<，210c ->，则有()()221610b c --<，。

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理(含解析)

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

2021届新高考全国100所名校高考模拟示范卷(一)数学试题(word版,含解析)

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.若,2z i i =-+则z= A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i 2.已知集合2{|30},{2,2}A x x x a B =-+==-,若A∩B={2},则A ∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62()x x-的展开式的常数项为 A.-120 B.-60 C.120 D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答｡若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布2(15,),N σ且X 在区间(10,20)内的人数占总人数的19,25则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.140 5.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念｡星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗｡到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念｡天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述｡两颗星的星等与亮度满足12212.5(lg lg )m m E E -=-,其中星等为i m 的星星的亮度为(1,2).i E i =已知"角宿一"的星等是0.97,"水委一"的星等是0.47.“水委一”的亮度是"角宿一"亮度的r 倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.596.已知圆C:22(3)(3)9x y -++=,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C 到直线l 的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为A.4 .25B .23C .27D7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 是梯形,2//,,43AB CD BCD AB π∠==,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为A.16πB.18πC.20πD.24π8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F(1,0),准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A ､B(A 在x 轴上方),且点A 的横坐标为3,D 是y 轴正半轴上一点,O 为坐标原点,∠ODA 的角平分线过AF 的中点,则点D 的坐标为A.(0,2) 53.(0,)2B C.(0,3) .(0,33)D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知曲线C:221.x y a b+= A.若C 是双曲线,则ab<0B.若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3b a =- C.若ab>0,则C 是椭圆D.若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知()cos()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<,其部分图象如图所示,M ､N 分别为最高点､最低点,则A.A=7B.B=29 .4C πϕ= D.f(11)=32.511.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C ∈α,点B,D ∈β,且A ､B ､C ､D ∉l,点M ､N 分别是线段AB ､CD 的中点｡A.当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B.当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C.当A ､B ､C ､D 四点共面且AC//l 时,BD//lD.当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交12.已知数列{}n a 的通项公式是2,n n a =1a 和2a 之间插入1个数11,x 使1112,,a x a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ,使221223,,,a x x a 成等差数列;…;在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n n n x x x ,使121,,,,,n nn n n n a x x x a +成等差数列｡这样得到新数列{}:n b 1112212233132334,,,,,,,,,a x a x x a x x x a …,记数列{}n b 的前n 项和为,n S 则836.A a b =B.112132n n n n n n n a x x x a n -++++++=⋅ 38.320C b = 45.6401D S =三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卡中的横线上｡13.若向量a =(1,2),b -a =(-2,1),则a ·b =____.14.若函数21()7ln 2f x x x a x =-++在x=2处取极值,则a=____ ,f(x)的极大值为____.15.已知正实数a,b,c 满足22243,a b c +=则2c c a b +的最小值为____. 16.如图,在△ABC 中,,3BAC A π∠=B=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B到达B '的位置,且平面AB D '⊥平面ACD.当CD=_____时,B C '到最小值｡四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题满分10分)在3210,9,3a S b ==<-①②③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中｡设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足____2,36nn n a a S b +=+是否存在实数b,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由｡(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况｡普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员｡普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名､公民身份证号码､性别､年龄､民族､受教育程度､行业､职业､迁移流动､婚姻生育､死亡､住房情况等｡普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报｡某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失普查员使用手机上门入户登记通过互联网自主填报年龄不超过40岁10 a 年龄超过40岁b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a,b 的值；(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001K 0 3.841 6.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知28sin 72cos2.2B C A -+-=(1)求A;(2)若7,a =b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°,1,.AC BC AB AA ==D ､E 分别是1CC 、1BB 的中点.(1)证明:1C E ⊥平面ACB 1；(2)求二面角1C AB D --的余弦值.21.(本小题满分12分)已知12F F 、分别为椭圆C:22184x y +=的左､右焦点,点M 是椭圆C 上异于左､右顶点的一点,过点1F 作12F MF ∠的外角平分线的垂线交2F M 的延长线于P 点.(1)当M 点在椭圆C.上运动时,求P 点的轨迹方程E.(2)设点N(t,0)(t≠0),过点N 作一条斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为B '直线AB '交x 轴于点T,O 是坐标原点,求证:|ON|·|OT|为定值.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln 1.f x x x =-+(1)求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若方程f(x)=b 有两个实数根12,,x x 且12,x x <证明:2112.x x b -<-。

四川省资阳市2021届高三第一次诊断性考试文科数学试题(解析版)

资阳市高中2018级第一次诊断性考试文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}130M x x x =+-<，{}0,1,2,3,4N =，则M N =（）A. {}1,2,3-B. {}0,1,2C. {}0,1,2,3D. {}0,1,2,3,4【答案】B【分析】先求出M ，进而求出M N ⋂即可【详解】()(){}{}13013M x x x x x =+-<=-<<，{}0,1,2,3,4N =，所以，MN ={}0,1,2故选B2. 复数21i=+（）. A. 1i -- B. 1i -+C. 1i -D. 1i +【答案】C【分析】利用复数的除法运算化简即可求解. 【详解】()()()22122222111112i i i i i i i i ---====-++--，故选：C3. sin160cos10cos20sin10︒︒+︒︒=（）A. B. 12-C.12D.【答案】C【分析】利用诱导公式将160化为20，再根据两角和的正弦公式可得结果.【详解】1sin160cos10cos 20sin10sin 20cos10cos 20sin10sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒==。

故选：C【点睛】关键点点睛：利用诱导公式将160化为20是解题关键. 4. 等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（）. A.32B. 3C.92D. 9【答案】A【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--，所以5433322a a d =+=-=. 故选：A5. 已知()1,2A ，()3,4B ，()2,2C -，()3,5D -，则向量AB CD ⋅=（）. A. 4- B. 2-C. 4D. 6【答案】C【分析】首先求向量AB 和CD ，再根据数量积的坐标表示求解. 【详解】()2,2AB =，()1,3CD =-，所有()21234AB CD ⋅=⨯-+⨯=.故选：C6. 执行如图所示的程序框图，若输入6N =，则输出的S =（）A.56B.67C.78D.89【答案】B【分析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】初始值6,0,1N S k ===，第一步：1101,6122S k =+=-<⨯，进入循环；第二步：111111112,(1)11,262232233k S k =+==-+=-+-=-=<⨯，进入循环；第三步：111213,(1)1,363344k S k =+==-+=-=<⨯，进入循环；第四步：111314,(1)1,464455k S k =+==-+=-=<⨯，进入循环；第五步：111415,(1)1,565566k S k =+==-+=-=<⨯，进入循环；第六步：1116516,(1)1,666777k S k =+==-+=-==⨯，结束循环，输出67S =.故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题主要考查程序框图，只需分析框图的作用，逐步执行即可，属于常考题型. 7. “()()3311a b +>+”是“lg lg a b >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B【分析】分别证明充分性和必要性即可判断选项【详解】充分性证明：取()()33011a b >+>+，明显地有，0a b >>，由于对数的真数大于0，所以，无法推导出lg lg a b >，所以，充分性不成立；必要性证明：lg lg a b >0a b ⇒>>，可得()()331111a b a b +>+⇒+>+，所以，必要性成立；故选B8. 已知2log 5a =，3log 7b =，0.30.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. c b a << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A【分析】找中间量1和2进行比较可得答案.【详解】22log 54log 2a ==>,33log 7log 31b =>=,33log 7log 92b =<=,0.300.50.51c =<=, 所以c b a <<.故选：A【点睛】思路点睛：指数式、对数式、幂值比较大小问题，思路如下：思路一、对于同底数的幂值或对数式，直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小；思路二、对于不同底数的幂值或对数式，化为同底数的幂值或对数式，再根据思路一进行比较大小；或者找中间量（通常找0和1）进行比较.9. 函数()sin xf x e x =在区间[]π,π-的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据函数值的符号可排除,A B ，由函数的极值点可排除C ，从而得到正确结果. 【详解】因为当(,0)x π∈-时，sin 0x <，所以()sin 0xf x e x =<，图象落在第三象限，所以排除,A B ，因为'()(sin cos )x f x e x x =+，分析其单调性，可知其极大值点应为34π，在2π的右侧，故排除C ，故选：D.【点睛】方法点睛：该题考查函数图象的识别，通常采用排除法来进行判断；排除的依据通常为：（1）函数的定义域、奇偶性；（2）特殊位置的符号、单调性；（3）利用导数研究其单调性和极值点.10. 已知圆O 内切ABC 的三边AB ，BC ，AC 分别于D ，E ，F ，且23190OD OE OF ++=，则角B =（） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C【分析】先设出内切圆的半径，结合题中所给的条件，利用向量数量积的运算性质，求得126OD OE ⋅=，利用向量夹角运算公式求得3DOE π∠=，进而求得B 的大小.【详解】因为圆O 是ABC 的内切圆，设其半径为1，又23190OD OE OF ++=，所以2319OD OE OF +=-，所以22(23)19OD OE OF +=，即222412919OD OD OE OE OF +⋅+=，因为1OD OE OF ===，所以可求得126OD OE ⋅=，所以1cos 2OD OE DOE OD OE⋅∠==，所以3DOE π∠=，所以233B πππ=-=，故选：C .【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关角的求解问题，在解题的过程中，关键点是利用向量的运算性质，以及向量夹角运算公式，求得3DOE π∠=，再利用四边形的内角和求得结果.11. 已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（）. A. ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()5π2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D. π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数【答案】B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x xϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得a b =，整理得()sin 4f xx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=，又()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+=⎝⎪⎭，即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=，所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确；对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=---⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确，故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x的最值，π4f ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题. 12. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()f x f x '<（其中()f x '为()f x 的导函数），若()22e f =，则()e x f x >的解集为（）A. ()2,2-B. 11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C. 1,22⎛⎫-⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【分析】由()()()[]x x f x f x f x e e '-'=，结合已知条件有偶函数||()x f x e 在[0,)+∞上单调减，(,0)-∞上单调增，再由 ||2()(2)1x f x f e e>=，即可求解集. 【详解】由()()()[]x x f x f x f x e e '-'=，而()()f x f x '<知：()xf x e在[0,)+∞上单调减，而()2f e =，即(2)1f e=，又()xf x e >知：||2()(2)1x f x f e e >=，∴在[0,)+∞上有02x ≤<，又()f x 是定义在R 上的偶函数，则||()x f x e在R 上为偶函数， ∴||()x f x e 在(,0)-∞上单调增，即||2()(2)x f x f e e ->，可得20x -<<，综上，有22x -<<，故选：A【点睛】思路点睛：由()f x 与()f x '组成的复合型函数式，一般可以将其作为某函数导函数的一部分，构造出原函数，再利用奇偶性、单调性求函数不等式的解集.二、填空题：13. 221log 12log 92-=______. 【答案】2；【分析】根据对数的运算性质求值即可. 【详解】222222211log 12log 9log 34)log 32log 3log 3222(-=⨯-=+-=，故答案为：214. 设x 、y 满足1310x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2x y +的最大值为______.【答案】10【分析】由已知得出()23x y x x y +=--，利用不等式的基本性质可求得2x y +的最大值. 【详解】()23x y x x y +=--，由于13x ≤≤，10x y -≤-≤，可得()01x y ≤--≤，339x ≤≤，由不等式的基本性质可得()3310x x y ≤--≤，即3210x y ≤+≤，因此，2x y +的最大值为10. 故答案为：10.15. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且12327a a +=，242816a a a =⋅，则n a =______.【答案】124n -【分析】根据等比数列的通项公式求出首项和公比，可得n a . 【详解】设公比为q (0)q >，则1126281132716a a q a q a q +=⎧⎨=⎩，即112327116a a q q +=⎧⎨=⎩，解得14q =（负值已舍），12a =，所以111124n n n a a q --⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭124n -=.故答案为：124n -【点睛】关键点点睛：熟练掌握等比数列的通项公式是解题关键.16. 已知函数()()2,1,12,1,2x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若关于x 的方程()()1f x a x =-有且仅有4个不等实数根，则a的取值范围是______. 【答案】11,3216⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数解析式，作出函数图象，将方程有4个不等实数根，转化为函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-有四个不同的交点，利用数形结合的方法，即可求出结果. 【详解】因为()()2,1,12,1,2x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，作出其图象如下：因为关于x 的方程()()1f x a x =-有且仅有4个不等实数根，所以函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-有四个不同的交点，由图象可知，当0a ≤时，显然不满足题意；当0a >时，因为()()()111311244f f f ==-=，()()115328f f ==，横坐标为5对应的空心点的坐标为15,4⎛⎫ ⎪⎝⎭由图象可得，当直线()1y a x =-过点15,8⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线()1y a x =-与函数()y f x =的图象有五个不同的交点，此时10185132a -==-；当直线()1y a x =-过点15,4⎛⎫⎪⎝⎭时，直线()1y a x =-与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，此时10145116a -==-；因此，为使直线()1y a x =-与函数()y f x =的图象有四个不同的交点，只需113216a <<. 故答案为：11,3216⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题17. 已知函数()ππ2sin cos cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 单调递增区间；（2）若825f α⎛⎫=⎪⎝⎭，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin α的值. 【答案】（1）()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）310. 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简()f x ，再根据正弦函数的递增区间可得结果；（2）由825f α⎛⎫=⎪⎝⎭得到π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得π3cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再根据ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求得结果.【详解】（1）()πsin 22cos 222s 6πin 22f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()πππ2π22π262k x k k -≤+≤+∈Z ，得()ππππ36k x k k -≤≤+∈Z ，则函数单调递增区间()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）由825f α⎛⎫=⎪⎝⎭得π82sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，π2π7π,636α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得π3cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以4313sin 525210α=⨯+⨯=. 【点睛】关键点点睛：第（2）问将α拆为已知角6πα+和特殊角6π是本题解题关键. 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+；数列{}n b 为等比数列，且22b =，516b =. （1）求n a ，n b ；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+；12n n b -=；（2）125102n n n T -+=-. 【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求n a ，利用等比数列的通项公式求1b ，q ，写出通项公式即可.（2）由（1）结合错位相减法求n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【详解】（1）当1n =时，113a S ==当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，可知13a =满足上式，于是21n a n =+.设等比数列{}n b 公比为q ，则12b q =，4116b q =，解得11b =，2q ，所以12n nb -=.（2）由（1）知1212n n n n a b -+⋅=，则021357212222n n n T -+=+++⋅⋅⋅+，①于是12313572122222n n n T +=+++⋅⋅⋅+，② ①-②得：12111122111121213232122222212n n n n nn n T --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-=+⨯-⎪⎝⎭-，则1111212564110222n n n n n n T ---⎡⎤++⎛⎫=+--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和125102n n n T -+=-.【点睛】方法点睛：1、由,n n S a 的递推关系式，结合11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩确定n a 或得到{}n a 中项的关系，进而确定是否为等差或等比数列.2、若已知公差、公比、项等条件，直接应用等差、等比的通项公式求基本量，写出通项公式即可.3、由等差、等比数列组成的混合数列：一般考虑应用错位相减法求数列前n 项和.19. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos b A a C c A -=. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b c +的最大值. 【答案】（1）π3A =；（2）4. 【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合两角和公式化简三角函数式即可求cos A ，得到角A 的大小；（2）由（1）中角A 的大小，应用余弦定理及基本不等式求b c +的最大值即可. 【详解】（1）由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A -=，则()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=，0B π<<，则sin 0B >，于是1cos 2A =，又0πA <<，故3A π=；（2）根据余弦定理222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，则()()2224332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+- ⎪⎝⎭，即()216b c +≤，当且仅当b c =时等号成立. 所以b c +的最大值为4.【点睛】关键点点睛：由已知边角关系，应用正弦定理边角互化及三角形内角和性质求角，综合应用余弦定理、基本不等式求三角形边长和的最值. 20. 已知函数()32g x x ax =+.（1）若函数()g x 在[]1,3上为单调函数，求a 的取值范围；（2）已知1a >-，0x >，求证：()2ln g x x x >.【答案】（1）93,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）求得()232g x x ax '=+，根据()g x 在[]1,3上为单调函数，分类讨论，即可求解.（2）要证()2ln ,0g x x x x >>，转化为证明ln x a x +>，构造函数()ln u x x a x =+-，利用导数求得函数()u x 的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()32g x x ax =+，则()232g x x ax '=+，若()g x 为单调递增，则()2320g x x ax '=+≥在[]1,3上恒成立，则32a ≥-；若()g x 为单调递减，则()2320g x x ax '=+≤在[]1,3上恒成立，则92a ≤-.所以，a 的取值范围是93,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.（2）由题意，要证()2ln ,0g x x x x >>，即证322ln x ax x x >+，即证ln x a x +>，令()ln ,0u x x a x x +->=，可得()111,0x u x x x x-=-=>'，当01x <<，()0u x '<，函数()u x 单调递减，当1x >，()0u x '>，函数()u x 单调递增. 所以()()11u x u a ≥=+，因为1a >-，所以()0u x >，故当1a >-时，对于任意0x >，()ln g x x >.【点睛】利用导数的方法证明不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立的基本方法是构造新函数()()()h x f x g x =>，然后根据函数()h x 的单调性，或者函数的最值证明()0h x >，其中一种重要的技巧就是找到函数()h x 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的突破口. 21. 已知函数()2e 21xf x x ax ax =++-.（1）当212ea =时，求()f x 在2x =-处的切线方程；. （2）当110ea --<≤时，讨论()f x 零点的个数. 【答案】（1）22261e e y x =---；（2）当110ea --<≤时，()f x 有1个零点.【分析】（1）先求出()f x 的导数，再利用切线公式写出切线方程即可（2）先讨论0a =时，()f x 零点的个数；再讨论当0a >时，因为()()()()1e 221e 2xxf x x ax a x a '=+++=++，得到11x =-和2ln(2)x a =-，进而通过对1-和ln(2)a -进行比较，进而讨论此时()f x 的零点个数【详解】由()2e 21xf x x ax ax =++-，得()()()()1e 221e 2x x f x x ax a x a '=+++=++.（1）212ea =时，可得()222e f '-=-，()2221e f -=--，则切线方程为()222221e e y x =-+--，即22261e ey x =---.（2）（ⅰ）当0a =时，()e 1xf x x =-，可知0x <，()0f x <，又()e 1xf x x =-为()0,∞+的增函数，且()1e 10f =->，所以()f x 仅有一个零点.（ⅱ）当0a <时，由()0f x '=得1x =-或()ln 2x a =-， ①若()ln 21a -<-，即102a e-<<，则当()ln 2x a <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；()ln 21a x -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增.而()()()()2ln 2ln 210f a a a -=--<，()31e 31e 102ef a =+->-->，此时，()f x 仅有一个零点②若()ln 21a -=-，即12ea =-，则()0f x '≥，()f x 为R 上的增函数，因为()010f =-<，()1e 310f a =+->，此时()f x 仅有一个零点. ③若()ln 21a ->-，即12ea <-，则当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1ln 2x a -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减； ()ln 2x a >-时，()0f x '>，()f x 单调递增.因111e 2e a --<<-，则()1110ef a -=---<，()222e 810f a =+->，结合()010f =-<知()f x 仅有1个零点，综上，当110ea --<≤时，()f x 有1个零点. 【点睛】关键点睛：对a 进行讨论时，要先讨论0a =时，()f x 零点的个数；再讨论当0a >时，()f x 的导数为0时，两根的大小情况来求解，属于中档题（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：4cos ρθ=. （1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点1,0A ，且1C 和2C 的交点分别为点M ，N ，求11AM AN +的取值范围. 【答案】（1）2240x y x +-=；（2）43⎤⎥⎣⎦. 【分析】（1）由直角坐标与极坐标关系将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）由（1）将1C 参数方程代入2C 的直角坐标方程得22cos 30t t α--=，由根与系数关系即可得点M ，N 对应参数的数量关系，又1,0A 对应参数0t =，即可得11AM AN+关于cos α的函数式，求其值域即可.【详解】（1）由4cos ρθ=可得24cos ρρθ=，可得2240x y x +-=.（2）将1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩带入2C 的直角坐标方程，得()()()221cos sin 41cos 0t t t ααα++-+=，即有22cos 30t t α--=，所以122cos t t α+=，123t t ⋅=-.则121212121133AM AN t t t t t t AM AN AM AN t t +++-+=====⋅43333⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：1、直角坐标与极坐标关系222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，与已知方程结合求直角坐标方程或极坐标方程.2、由参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩知：极点为1,0A ，即可令12||,||t AM t AN ==，结合已知求范围即可.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知不等式233x x -+-<解集为M . （1）求M ；（2）若b ，c M ∈，证明：44bc c b +<+. 【答案】（1）(1,4)；（2）证明见解析. 【分析】（1）分类讨论去绝对值可解得结果；（2）利用分析法转化为证()()221610b c --<，再根据b ，c M ∈，可证()()221610b c --<成立. 【详解】（1）当2x ≤时，253x -+<，得12x <≤；当23x <<时，13<成立，得23x <<；当3x ≥时，253x -<，得34x ≤<，所以原不等式的解集为()1,4，即(1,4)M =. （2）要证明44bc c b +<+，即证明()()2244bc c b +<+，即222216160b c b c +--<，即证明()()221610b c --<，由于b ，c M ∈，所以2160b -<，210c ->，则有()()221610b c --<，所以44bc c b +<+.【点睛】关键点点睛：利用分析法将不等式化为()()221610b c --<来证是解题关键.。

2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(一)理科数学

【答案】B
【解析】
【分析】
根据在上投影为，以及，可得；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入即可求得 .
【详解】在上投影为，即
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到的最小值.
【答案】A
【解析】
【分析】
考虑既属于又属于的集合，即得.
【详解】 .
故选：
【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.
2.已知复数z满足 ,则在复平面上对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
设，由得：，由复数相等可得的值，进而求出，即可得解.
该几何体的体积为，
故选：D.
【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.
11.定义，已知函数，，则函数的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数定义得，，则 ,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得，再根据余弦定理可求得值.
（2）由正弦定理得，，代入得，运用三角形的面积公式可求得其值.
【详解】（1）由及正弦定理得，即
由余弦定理得，， .
（2）设外接圆的半径为，则由正弦定理得，

2021-2022年高三5月模拟考试数学(理)试题含答案

2021年高三5月模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）的共轭复数表示的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合{}{}240,2M x x x N x x M N =-<=≤⋃=，则A．B．C．D．3．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号1，，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为A．12 B．13 C．14 D．154．函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是5．下列说法不正确的是A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“”的否定是“”C．“”是“为偶函数”的充要条件D．当时，幂函数上单调递减6．执行如图所示的程序框图，输出的T=A．29 B．44 C．52 D．627．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是A．B．C．D．8．变量满足线性约束条件320,2,1,x yy xy x+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数仅在点取得最小值，则k的取值范围是A．B．C．D．9．函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列公比的是A．B．C．D．10．在上的函数满足：①（c为正常数）；②当时，()()()213.f x x f x=--若图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上．则c=A．1或B．C．1或3 D．1或2第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为_____．12．已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则_____．13．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是______．14．在平面直角坐标系中，设直线与圆交于A,B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足，则=________．15．函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定（为线段AB的长度）叫做曲线在点A 与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A,B是抛物线上不同的两点，则；④设曲线（e是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x yB x y x x-=且，若恒成立，则实数t的取值范围是．其中真命题的序号为________．（将所有真命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（本小题满分12分）在中，已知()111 sin,cos2142A Bππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．17．（本小题满分12分）直三棱柱中，，E，F分别是的中点，为棱上的点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）已知存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，请说明点D 的位置．18．（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（Ⅰ）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）已知数列的前项和为()2,2,n nS S n n n N*=+∈且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设集合{}{}22,,2,nA x x n n NB x x a n N**==+∈==∈，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求数列的通项公式．20．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为，过点F作直线l交抛物线C于A,B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率．（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；（Ⅱ）经过A,B两点分别作抛物线C的切线，切线相交于点M．证明；（Ⅲ）椭圆E上是否存在一点，经过点作抛物线C的两条切线（为切点），使得直线过点F？若存在，求出抛物线C与切线所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；（Ⅲ）若正实数满足()()()2212121220f x f x x x x x++++=，证明．xx 山东省滕州市善国中学高三5月模拟考试理科数学参考答案一、选择题 AACDC,ADCDD 二、填空题11．12．． 13．．14．．15．②③． 16．解：（Ⅰ），，又，．1cos(π)cos 2B B -=-=-，且，．……………………………………………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．…………………………………………………………………12分17．（Ⅰ）证明：，∥,, 又, , 面，又面, ,以为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ,则,,,,, 设， , 且,即：, , , ,, ． ………6分（Ⅱ）设面的法向量为，则，，，111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即：()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩，令,．由题可知面的法向量 , ………9分平面与平面所成锐二面的余弦值为．∴1414),cos(=⋅=nm n m , ()()()2221141491241λλλ-=+++- ,或．又,舍去．点为中点． ………12分 18．解：（Ⅰ）设事件为“两手所取的球不同色”，则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P ． ………5分（Ⅱ）依题意，的可能取值为0,1,2．左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为， ………7分24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ，18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ，， ………10分所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E ． ………………… ……12分19．解（Ⅰ）∵．当时，，当时，满足上式，所以数列的通项公式为． ………………… ……5分（Ⅱ）∵*{|22,N }A x x n n ==+∈，*{|42,N }B x x n n ==+∈， ∴．又∵，其中是中的最小数，∴， ∵的公差是4的倍数，∴．又∵，∴，解得，所以，设等差数列的公差为，则1011146121019c c d --===-，∴6(1)12126n c n n =+-=-，所以的通项公式为． ………………… ……12分 20．解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为可得抛物线的方程为．设椭圆的方程为，半焦距为．由已知可得：222132b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得．所以椭圆的方程为：． ……4分（Ⅱ）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，故可设直线的方程为112212(,),(,)()A x yB x y x x ≠，由, 消去并整理得 ∴ ．∵抛物线的方程为，求导得，∴过抛物线上两点的切线方程分别是，, 即，，解得两条切线的交点的坐标为，即，122121(,2)(,)2x x FM AB x x y y +⋅=-⋅--=22222121111()2()0244x x x x ---=,∴． ………………………9分（Ⅲ）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点．令得，，解得或，故不妨取，即直线过点．综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），能使直线过点．此时，两切线的方程分别为和．抛物线与切线、所围成图形的面积为223220011142[(1)]2()41223S x x dx x x x =--=-+=⎰． ………………… ……13分21．解：（Ⅰ）2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=>，由，得，又，所以．所以的单调减区间为． ………………………………………… 4分（Ⅱ）令221()()[(1)1]ln (1)122a g x f x x ax x ax a x =--+-=-+-+，所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当时，因为，所以．所以在上是递增函数，又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>，所以关于的不等式≤不能恒成立．……………………6分当时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-，令，得．所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数．故函数的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-．…8分令，因为，，又因为在是减函数．所以当时，．所以整数的最小值为2． …………………………………………………………10分（Ⅲ）由22121212()()2()0f x f x x x x x ++++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=，实用文档从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅令，则由得，，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以，所以，又，因此成立． ………………………………………………14分。

2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

2021届高考预测诊断性试卷 -理科数学(二)(带答案及解析A3试卷版)

绝密 ★ 启用前2021届高考预测诊断性试卷理科数学（二）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·雅安诊断]当1m <时，复数()21i m +-在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】∵1m <，∴10m -<，∴复数()21i m +-在复平面内对应的点()2,1m -位于第四象限，故选D ．2．[2019·龙泉中学]已知全集U =R ，集合A ={x||x −1|>2}，B ={x|x 2−6x +8<0}，则集合(∁U A )∩B =( ) A ．{x|2<x ≤3} B ．{x|−1≤x ≤4} C ．{x|2≤x <3}D ．{x|−1<x <4}【答案】A【解析】由|x −1|>2，可得x >3或x <−1，故A =(−∞，−1)∪(3，+∞)， C U A =[−1，3]，由x 2−6x +8<0，解得2<x <4 ，∴B =(2，4)，∴(C U A )∩B =(2，3]，故选A ． 3．[2019·泉州质检]函数f(x)=x 3e x的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当x <0时，x 3e x <0，故排除选项B ；()1e 1f =>，故排除D ；()()323e x f x x x =+'，令f ′(x)=0，得x =0或3x =-，则当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (),3-∞-3-()3,0-0 (0，+∞)f ′(x) − 0 + 0 + f(x)单调递减极小值()3f -单调递增单调递增又因为f ′(0)=0，故f(x)在x =0的切线为x 轴，故排除选项A ，所以选C ．4．[2019·汉中质检]已知向量a 、b 的夹角为60°，2=a ，1=b ，则-=a b （） A ．√3 B ．√5 C ．2√3 D ．√7【答案】A 【解析】()222242cos6013-=-=-⋅+=-⋅︒+=a b a b a a b b a b ，因此本题选A ．5．[2019·江淮十校]甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5}，若|a −b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（） A ．1125B ．1225C ．1325D ．1425【答案】C【解析】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是5×5=25种，“心有灵犀”的情况包括：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)共13种，故他们“心有灵犀”概率为1325，故选C ． 6．[2019·福建质检]已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点(√5，0)到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．12y x =±B ．23y x =±C ．32y x =±D ．2y x =±【答案】D【解析】设双曲线的方程为22221x y a b -=，其渐近线方程为by x a =±，依题意可知2222552a b ba b ⎧+==+⎪⎨⎪⎩，解得a =1，b =2， ∴双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ，故选D ．7．[2019·汕尾质检]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√3+1，b =2，π3A =，则B =（）A ．3π4 B ．π6C ．π4D ．π4或3π4【答案】C【解析】31c =+，2b =，π3A =， ∴由余弦定理可得：a =√b 2+c 2−2bc cos A =√4+(√3+1)2−2×(√3+1)=√6，∴由正弦定理可得：32sin 22sin 6b AB a⨯⋅===，∵b <a ，B 为锐角，π4B ∴=．故选C ． 8．[2019·汕尾质检]《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的，输出的，则判断框“”中应填入的是（）A ．k ≤2?B ．k ≤3?C ．k ≤4?D ．k ≤5?【答案】C【解析】模拟程序的运行过程如下，输入114111333x k y ===⨯+=，，，411321339k y ==⨯+=，， 13140319327k y ==⨯+=，， 4011214127381k y ==⨯+=，，此时不满足循环条件，输出12181y =，则判断框中应填入的是k ≤4?．故选C ．9．[2019·九江二模]已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（）A ．23B ．49C 26D ．827【答案】B【解析】设圆锥底面圆半径为R ，球的半径为r ，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，所以3r =，22234π4π4π3S r R ⎫=⋅=⎪⎪⎝=⎭球的表面积， 22π2π3πS R R R R =⋅+=圆锥表面积，所以球与圆锥的表面积之比为224π4393πRR =，故选B ．10．[2019湛江模拟]把函数()y f x =的图像向左平移2π3个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数()g x 的图像，并且()g x 的图像如图所示，则()f x 的表达式可以为（）A ．()2sin π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵()02sin 1g ϕ==，即1sin 2ϕ=， ∴5π2π6k ϕ=+或2ππ6k ϕ=+,k ∈Z （舍去），则()5π2sin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又7π5π2π126k ω+=，k ∈Z ，512267k ω⎛⎫∴=-⨯ ⎪⎝⎭，当1k =，2ω=，即()5π2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()g x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到5π2sin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把纵坐标缩短到原来的12，得到5πsin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得曲线向右平移2π3个单位长度得到函数()f x 的图象，即()2π5π8π5π11ππsin 4sin 4sin 4sin 4363666f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选B ．11．[2019·四川质检]已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |=2c ，则椭圆C 的离心率为（） AB ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x ，y)，则y =，由|AB |=2c ，可知|OA |=√x 2+y 2=cc =，解得x =，所以1,3A c ⎫⎪⎪⎝⎭，把点A代入椭圆方程得到2222131c a b ⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得8e 4−18e 2+9=0，即(4e 2−3)(2e 2−3)=0，因0<e <1，所以可得e =A 项． 12．[2019·郴州质检]已知函数f(x)为R 上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当x ∈(0，3)时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数f(x)在区间[2013，2018]上的（）A ．最小值为34-B ．最小值为78-C ．最大值为0D ．最大值为78【答案】A【解析】因为函数f(x)的图象关于点(3，0)对称，所以f(6+x)=−f(−x)．又函数f(x)为奇函数，所以f(6+x)=f(x)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，又函数f(x)的定义域为R ，且为奇函数，故f(0)=0，()()330f f -==，依次类推，f(3n)=0(n ∈N)．作出函数的大致图象，如图所示，根据周期性可知，函数f(x)在区间[2013，2018]上的图象与在区间[−3，2]上的图象完全一样，可知函数f(x)在(−3，2]上单调递减，且()30f -=，所以函数f(x)在区间[2013，2018]上的最小值为34-．选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·赣州摸底]设曲线y =x −aln(x +1)在点(0，0)处的切线方程为y =2x ，则a =____．【答案】1-【解析】因为曲线y =f(x)=x −aln(x +1)，所以()11af x x =-+'，因为曲线y =f(x)=x −aln(x +1)在点(0，0)处的切线方程为y =2x ，所以()01121af a =-=-='，1a =-．14．[2019·上饶联考]若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤-+≥≤⎧⎪⎨⎪⎩，则15y z x -=+的最小值为_______．【答案】4-【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数其几何意义表示点()5,1P -与可行域内的点连线的斜率，据此可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程22010x y x y --=-+=⎧⎨⎩，可得点的坐标为()4,3A --，据此可知目标函数的最小值为min 31445z --==--+，故答案为4-． 15．[2019·四川质检]已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，2sin2cos αα+=则_______．【答案】710【解析】tan tan2144tan tan 344121tan tan44ππππππαααα⎛⎫+- ⎪⎡⎤--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭，所以2222222sin cos cos 2tan 12317sin2cos =10sin cos tan 131ααααααααα++⨯++===+++． 16．[2019·湛江模拟]圆锥Ω的底面半径为2，母线长为4．正四棱柱ABCD −A ′B ′C ′D ′的上底面的顶点A ′，B ′，C ′，D ′均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____．【答案【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，设棱柱的高h ，根据相似性可得：22=，解得h =（其中0x <<）．∴此正四棱柱体积为22V x h x ==V '=，令0V '=，解得x =，易得：2V x =在⎛ ⎝⎭上递增，在⎝上递减，三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·乌鲁木齐质检]记公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=2， a 4是a 2与a 8的等比中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．【答案】（1）a n =2n ；（2）1n nT n =+．【解析】（1）由已知a 42=a 2⋅a 8，得(2+3d)2=(2+d )(2+7d )，又d ≠0，解得d =2，∴a n =2+2(n −1)=2n ．（2）由（1）得，()()12212n n n S n n n -⨯=+=+，()111111n S n n n n ∴==-++， 11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 18．（12分）[2019·湛江质检]某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：参考公式：回归直线的方程是：y ̂=b ̂x +a ̂，其中，()()()1122211ˆn niii i i i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，a ̂=y ̅−b̂x̅．（1）据题中数据，求月支出y （千元）关于月收入x （千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．【答案】（1）0.2.6ˆ0y x =-；（2）见解析．【解析】（1）203035404855386x +++++==，456881176y +++++==，()2222222204305356408488551163870.2203035404855638ˆb⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=≈+++++-⨯，a ̂=y ̅−bx̅=7−0．2×38=−0．6，所以月支出y 关于x 月收入的线性回归方程是：0.2.6ˆ0yx =-．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3， ()303336C C 1020C P ξ⋅===，()213336C C 9120C P ξ⋅===， ()123336C C 9220C P ξ⋅===，()033336C C 1320P C ξ⋅===，故ξ的分布列为：数学期望()19910123 1.520202020E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（12分）[2019·延安模拟]如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB =BE =EC ，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．（1）求证：GF ∥平面ADE ；（1）求平面AEF 与平面BEC 所成角的余弦值．【答案】（1）见证明；（2）23．【解析】（1）如图，取AE 的中点H 连接HG ，HD ，又G 是BE 的中点，所以HG AB ∥，且12HG AB =，又F 是CD 中点，所以12DF CD =，由四边形ABCD 是矩形得，AB CD ∥，AB =CD ，所以GH DF ∥且GH =DF ．从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF DH ∥，∵DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，∴GF ∥平面ADE ．（2）如图，在平面BEC 内，过点B 作BQ EC ∥，因为BE ⊥CE ，所以BE ⊥BQ ．又AB ⊥平面BEC ，所以AB ⊥BE ，AB ⊥BQ ．以B 为原点，分别以BE ，BQ ，BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB =4，则A(0，0，4)，B(0，0，0)，E(4，0，0)，F(4，4，2)．因为AB ⊥平面BEC ，所以()0,0,4BA =为平面BEC 的法向量，设(),,x yz =n 为平面AEF 的法向量．又()4,0,4AE =-，()4,4,2AF =-，0n AE n AF ⎧⎪⎨⎪⋅=⋅=⎩，即4404420x z x y z -=+-=⎧⎨⎩，取()2,1,2=-n ，242cos 43,3BA BA BA 〉⋅⨯∴〈===⨯n n n，所以平面AEF 与平面BEC 所成角的余弦值为23．20．（12分）[2019·石景山期末]已知抛物线C:y 2=2px 经过点()1,2P ，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B ．（1）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（2）若△BMF 与△ABF 的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．【答案】（1）抛物线C 的方程为y 2=4x ，焦点F 点坐标为()1,0；（2）见解析．【解析】（1）因为抛物线C:y 2=2px 经过点()1,2P ，所以22=2p ，p =2．所以抛物线C 的方程为y 2=4x ，焦点F 点坐标为()1,0．（2）证明：因为△BMF 与△ABF 的面积相等，所以BM AB =，所以B 为AM 的中点．设()00,M x y （000x y ≠），则()00,A x -．所以直线l 的方程为()0002y y x x x =+，与抛物线y 2=4x 联立得2000840x y y x y -+=， 220000206464161604x x Δx x x y =-=-=，所以直线l 是抛物线C 的切线．21．（12分）[2019·郑州一中]设函数()()2e 1x f x x ax =--．（1）若12a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x >时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在(),1-∞-，()0,+∞上单调递增，在()1,0-上单调递减；（2）(],1-∞．【解析】（1）12a =时，()()2112e x f x x x =--，()()()111e e e x x x f x x x x '=-+-=-+，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>；当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>．故()f x 在(),1-∞-，()0,+∞上单调递增，在()1,0-上单调递减．（2）()()()2e 11e x x f x x ax x ax =--=--．令()e 1x g x ax =--，则()e x g x a '=-，若a ≤1，则当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()00g =，从而当x ≥0时，()0g x ≥，即()0f x ≥．若1a >，则当()0,ln x a ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，而()00g =，从而当()0,ln x a ∈时，()0g x <，即()0f x <．综上可得a 的取值范围是(],1-∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·兰州模拟]在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ==+⎧⎨⎩（ϕ为参数），以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α，0<α<π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |=4√2，求实数α的值．【答案】（1）C 1的普通方程为x 2+(y −2)2=4，C 2的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4；（2）3π4．【解析】（1）由曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ==+⎧⎨⎩（ϕ为参数），消去参数得曲线C 1的普通方程为x 2+(y −2)2=4，因为曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ，所以ρ2=4ρcos θ，所以C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=4x ，整理得(x −2)2+y 2=4．（2）C 1：x 2+(y −2)2=4化为极坐标方程ρ=4sinθ，所以=4sin cos πn 4A B AB ρρααα⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭所以sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，所以()π42ππk k α-=+∈Z ，即()3ππ4k k α=+∈Z ，又因为0<α<π，所以3π4α=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·兰州二诊]已知()2221f x x x a =+-+．（1）当a =−3时，求不等式f (x )>x 2+|x |的解集；（2）若不等式f (x )≥0的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1x x x ⎧⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭或；（2）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）当a =−3时，f (x )=2x 2+|2x −1|−3，当x ≤0时，由f (x )>x 2+|x |得x 2−x −2>0，得x <−1，或x >2，所以x <−1．当102x <≤时，由f (x )>x 2+|x |，得x 2−3x −2>0，解得x x x ∈∅；当12x >时，由f (x )>x 2+|x |得x 2+x −4>0，解得x <或x ，所以x >综上：当α=−3时，f (x )>x 2+|x |的解集为1x x x ⎧⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭或．（2）()0f x ≥的解集为实数集2221R a x x ⇔≥---，当12x ≥时，2221312212212222x x x x x ⎛⎫---=--+=-++≤- ⎪⎝⎭，当12x <时，2221112212212222x x x x x ⎛⎫---=-+-=---<- ⎪⎝⎭，2221x x ∴---的最大值为12-．∴实数a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。

四川省资阳市2021届高三数学第一次诊断性考试试题理(1)

四川省资阳市2021届高三一诊数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

总分值150分。

考试时刻120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试终止后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必需利用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合{|(2)(2)0}M x x x =+-≤，{|13}N x x =-<<，那么M N =(A){ x|－1≤x ＜2}(B){ x|－1＜x ≤2}(C){ x|－2≤x ＜3}(D){ x|－2＜x ≤2}2．在复平面内，复数1－3i ，(1＋i)(2－i)对应的点别离为A 、B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为 (A)－4＋2i(B) 4－2i(C)－2＋i(D) 2－i3．已知a ，b ∈R ，以下命题正确的选项是(A)假设a b >，那么||||a b >(B)假设a b >，那么11a b <(C)假设||a b >，那么22a b >(D)假设||a b >，那么22a b >4．已知向量3AB =+a b ，53BC =+a b ，33CD =-+a b ，那么 (A) A 、B 、C 三点共线 (B) A 、B 、D 三点共线 (C) A 、C 、D 三点共线(D) B 、C 、D 三点共线5．已知命题p 0x ∃∈R ，2000x ax a ++<．假设p ⌝是真命题，那么实数a 的取值范围是(A) [0,4](B)(0,4)(C)(,0)(4,)-∞+∞(D)(,0][4,)-∞+∞6．将函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ(0ϕ>)个单位，所得图象关于原点O 对称，那么ϕ的最小值为 (A)23π(B)3π(C)6π(D)12π7．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学高作之一．书中有如此一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小的一份为 (A)53(B)116(C)136(D)1038．若执行右面的程序框图，输出S 的值为3，那么判定框中应填入的条件是 (A) k ＜6？ (B) k ＜7？ (C) k ＜8？ (D) k ＜9？9．已知函数31()2sin ()31x x f x x x x -=++∈+R ，12()()0f x f x +>，那么以下不等式正确的选项是 (A)x1＞x2(B) x1＜x2 (C) x1＋x2＜0(D) x1＋x2＞010．已知m ∈R ，函数2|21|,1,()log (1),1,x x f x x x +<⎧=⎨->⎩2()221g x x x m =-+-，假设函数(())y f g x m =-有6个零点，那么实数m 的取值范围是(A)3(0,)5(B)33(,)543(,1)4(D)(1,3)(C)第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必需利用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。

四川省资阳市高三数学上学期第一次诊断考试试题理

资阳市高中2014级高三第一次诊断性考试数学（理工类）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2|432234M x x N =>=--，，，，，，则M N =(A ）{}34，（B ）{}334-，，（C){}234-，，（D){}32234--，，，， 2．设i 是虚数单位，则复数43iiz -=的虚部为 (A) 4i (B) 4 (C) 4i -(D ）－43．“2x >"是“112x<”的（A) 充分不必要条件 (B ）必要不充分条件 (C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件4．函数sin 232y x x =的图象的一条对称轴方程为(A) π12x =（B ） π12x =- (C ） π6x =（D) π6x =-5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足3564a a ⋅=，22a =，则1a =(A) 4（B ） 2(C) 11 (D)26．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合,(2)(0)P m m m -≠，是角α终边上的一点．则tan()4απ+的值为（A) 3 （B) 13(C ） 13-(D) 3-7．函数222x y x =--||的图象可能是8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若532a a =,则95SS = (A) 185（B ） 145（C ） 125（D ） 959．公元263年左右，我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的n 值为（参考数据：3 1.732=，sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈)(A) 12 (B) 24 (C) 48 (D) 9610．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论一定成立的是(A ）若50a >,则20170a < (B ）若60a >，则20180a <11．已知△ABC 的外接圆半径为1,圆心为O ，且满足24OA OB OC ++=0,则AB OC ⋅=(A ） 1516-（B ） 716-（C) 716(D ） 151612．已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数,其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，则(A ） 4(1)(2)f f < （B) 4(1)(2)f f > （C)(1)4(2)f f <（D ） (1)4(2)f f '<第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2021年高三3月模拟数学理试题 Word版含答案

延庆县xx学年度高考模拟检测试卷高三数学（理科） xx.32021年高三3月模拟数学理试题 Word版含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集，，,则（）A. B． C．或 D．2. 下列函数是奇函数，并且在定义域上是增函数的是（）A. B. C. D.3. 设，则的大小关系为（）A. B．C． D．4. 执行右边的程序框图，当输入时，则该程序运行后输出的结果是（）A. B.C. D.5. 在边长为的正方形中，分别为和的中点，则（）A. - B． C．- D．-6. “”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（）侧视图主视图A. B.C. D.88. 有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母.现规定：当卡片的一面为字母时，它的另一面必须是数字. 如图，下面的四张卡片的一个面分别写有，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是（）A.第一张，第三张B.第一张，第四张C.第二张，第四张D.第二张，第三张第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.9. 复数在复平面上对应的点的坐标为 .10. 有三个车队分别有2辆、3辆、4辆车，现分别从其中两个车队各抽调两辆车执行任务，则不同的抽调方案共有种.与半圆相切于点，．若，，则圆的半径为，．12.已知，集合,，如果,则的取值范围是 .13. 曲线的对称轴方程是，的取值范围是 .14. 是矩形，，，沿将折起到，使平面平面,是的中点，是上的一点，给出下列结论：①存在点，使得平面②存在点，使得平面③存在点，使得平面④存在点，使得平面其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）中，,.（Ⅰ）若，,求的长度；（Ⅱ）若，，求的最大值.16.（本小题满分14分）如图1，在边长为的正方形中，,且,且，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成图所示的三棱柱，在图中. (Ⅰ)求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；将近视程度由低到高分为4个等级：当近视度数在0-100时，称为不近视，记作0；当近视度数在100-200时，称为轻度近视，记作1；当近视度数在200-400时，称为中度近视，记作2；当近视度数在400以上时，称为高度近视，记作3.（Ⅰ）从该校任选1名高二学生，估计该生近视程度未达到中度及以上的概率；（Ⅱ）设，从该校任选1名高三学生，估计该生近视程度达到中度或中度以上的概率；（Ⅲ）把频率近似地看成概率，用随机变量分别表示高二、高三年级学生的近视程度,若,求.18.（本小题满分13分）已知函数（为常数）在点处的切线的斜率为，（Ⅰ）求实数的值;（Ⅱ）若函数在区间上有极值，求的取值范围.CC 1 Q19.（本小题满分14分）两端点分别为.（Ⅰ）求椭圆的方程；是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.20.（本小题满分13分）对于集合，定义函数，对于两个集合,，定义集合已知，.（Ⅰ）写出与的值，并用列举法写出集合；（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；（Ⅲ）求有多少个集合对满足，且.延庆县xx学年度一模统一考试高三数学（理科答案）xx年3月一、选择题：1．D 2. D 3. A 4. B 5. C 6. D 7. C 8. B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. ①③；三、解答题：15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ），…………………2分……………………5分……………………6分（Ⅱ）5,,66BAC ABC BCA ππθθ∠=∠=∴∠=-………………7分 ……………………9分， ……………………10分，当时，即时的最大值为4 …………………………13分 16.（本小题满分14分） (Ⅰ)证明：∵,且是正方形,∴, ………………1分又∵∴， ………………2分∴平面 ………………3分 ∴ ………………4分（Ⅱ）∵,以分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， ………………5分∴,，，， , ,设平面的法向量，则∴令，则∴ ………………7分∴·cos ,||||3m BC m BC m BC <>===………………9分 ∴与平面所称角的正弦值为 ………………10分(Ⅲ) 过作与交于，连，则 …………………11分 ∵平面, ∴, …………………12分 ∴为矩形, ∴, …………………13分 ∴, ∴. …………………14分 17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件………………1分则………………3分（Ⅱ）设该生近视程度达到中度或中度以上为事件 ………………4分则………………8分法2：设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件 ………………4分∵,∴(0.000520.0010.00240.003)1001b +⨯+++⨯=, ∴, ………………6分 ∴………………8分(Ⅲ) ………………10分010.32(1000.1)30.12000.8,EY a b b =⨯+⨯+⨯⨯++⨯=+………12分∵, ∴,∴. ………………13分18. （本小题满分13分）解： (Ⅰ)， ………………2分 , ………………3分∴ ………………4 分（Ⅱ）∵，，∴令, 则,令, 则, 令, 则，令, 则在上为减函数, 当时，当时，，∵， ∴ ………………4 分当时，，∵， ∴ ………………4 分 ∴存在，使得，即：, 并且当时, ,当时, ,∴当时，取得极大值………8 分∴的取值范围是. ………………13 分 19. （本小题满分14分）（Ⅰ），，，∴ ，∴，…………3分∴ 椭圆方程为 …………5分（Ⅱ）设，则，， ,000011:1,:1,y y AC y x BD y x x x -+=+=-- ……………………7分令，则 ……………………8分设的中点为,则的坐标为，即：，半径为，∴ 圆的方程为，………10分 ∵ ，∴ 化为令，则，代入得：， …①………11分令，则，代入得：，…②…12分由①②得：，代入得：左=右 ………………13分∴ 圆恒过定点 ………………14分 20. （本小题满分13分）（Ⅰ）， ………3分（Ⅱ）根据题意可知，对于集合,①若且，则, ②若且，则,∴要使的值最小，一定属于集合，是否属于集合不影响的值；集合不能含有之外的元素. ∴当为集合的子集与集合的并集时，取到最小值. ………………8分（Ⅲ）因为，∴，由定义可知：∴对任意元素，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ⊗⊗⊗=⋅=⋅⋅()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ⊗⊗⊗=⋅=⋅⋅∴, ∴, 由知：,∴()()()()()P Q A B A B A B A B ⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗⊗, ∴, ∴, ∴, ∴ 而∴满足题意的集合对的个数为个………………13分`32045 7D2D 紭UOK37934 942E 鐮b29897 74C9 瓉 ?26772 6894 梔 W34362 863A 蘺39274 996A 饪。

高三数学上学期第一次诊断考试试题文(2021年整理)

四川省资阳市2017届高三数学上学期第一次诊断考试试题文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（四川省资阳市2017届高三数学上学期第一次诊断考试试题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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资阳市高中2014级高三第一次诊断性考试数学（文史类）注意事项:1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}|(2)(2)032234M x x x N =+->=--，，，，，，则M N = (A){}34，(B ）{}334-，，(C ）{}234-，，（D){}32234--，，，， 2．设i 是虚数单位，则复数43ii-= （A) 34i -+（B) 34i - (C ） 34i + (D) 34i --3．“2x >”是“112x<”的（A) 充分不必要条件 (B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件4．函数πsin(2)3y x =-的图象的一条对称轴方程为 (A ） π12x =(B ） π12x =-（C) π6x =(D) π6x =-5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足1516a a ⋅=，22a =,则公比q = (A ） 4(B) 52(C) 2 (D ） 126．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合,(2)(0)P m m m -≠，是角α终边上的一点．则tan()4απ+的值为 (A ） 3 （B ） 13(C) 13-(D ） 3-7．函数222x y x =--||的图象可能是8．设n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,若552a b =，则99S T = (A ） 2 (B) 3 (C) 4（D ） 69．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为 (参考数据：3 1.732=,sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈)（A) 12 （B ） 24 (C ） 48 （D ） 9610．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列结论一定成立的是 (A ）若50a >，则20170a < （B ）若60a >，则20180a < (C) 若50a >,则20170S > (D) 若60a >,则20180S >11．已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且满足24OA OB OC ++=0,则AB OA ⋅=（A ） 154-(B ） 74-(C ） 74（D ） 15412．已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立,则（A) 4(1)(2)f f < (B) 4(1)(2)f f > （C) (1)4(2)f f <(D ） (1)2(2)f f '<第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2021届四川省南充市高三上学期12月第一次高考适应性考试(一诊)数学(理)试卷及答案

2021届四川省南充市高三上学期12月第一次高考适应性考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)注意事项:1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将答题卡交回。

第 I 卷(共60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A = {x | x2 +5x>0} ,B ={x |-3<x<4} ,则A∩B =A. (-5,0)B. (-3,0)C. (0,4)D. (-5,4)2. 若( z-1) i = i+1,则z =A. -2+iB. -2-iC. 2+iD. 2-i3. 我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农送来米1512石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 216 粒内夹谷 27 粒,则这批米内夹谷约A. 164 石B. 178 石C. 189 石D. 196 石4. (1-x+1x2021)10的展开式中x2的系数为A. 45B. -45C. 120D. -1205.已知各项均为正数的等比数列{a n} 的前 3 项和为 21,且a1 = 3,则a3 +a5 =A. 36B. 60C. 84D. 926.已知直线x-my+4m-2 = 0 与圆x2 +y2 = 4 相切,则m =A. 0B. -43C. 0 或-43D. 0 或437. 函数331x x y =-的图象大致为8. 执行如图所示的程序框图,如果输入 k 的值为 3,则输出 S 的值为A. 10B. 15C. 18D. 219. 已知二面角 α-AB -β 的平面角是锐角θ,M ∈α,N ∈β,MN ⊥β,C ∈AB ,∠MCB 为锐角,则A. ∠MCN <θB. ∠MCN = θC. ∠MCN >θD. 以上三种情况均有可能 10. 双曲线2222:1x y C a b-=( a >0,b >0) 的左焦点为 F ,A ,B 分别为C 的左,右支上的点,O 为坐标原点,若四边形 ABOF 为菱形,则 C 的离心率为A. 5B. 2 3C. 3 +1D. 3 +211. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (-x )= f ( x ),且当 x <0 时,f ( x )= 3x +1,若 a =432,b =254 ,c =1325 ,则A. f ( a ) <f ( b ) <f ( c )B. f ( b ) <f ( c ) <f ( a )C. f ( b ) <f ( a ) <f ( c )D. f ( c ) <f ( a ) <f ( b ) 12. 已知函数312ln e ()2e x x ax f x x---=+只有一个零点,则 a = A. e 3 +1 B. e 3-1 C. eD. 1e第 II 卷(共90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

2021年资阳市高三第一次诊断性考试文科数学试题及答案解析

2021年资阳市高三第一次诊断性考试文科数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()3213z i i ⋅-=，则z 的虚部为（） A ．2-B ．3iC ．1D ．32．若,a b 是互相垂直的单位向量且()(3)a b a b λ+⊥+，则λ=（） A ．3B ．3-C ．1D ．1-3．已知集合()(){}(){},,,1A x y y f x B x y x ====，则AB 中元素的个数为（）A ．必有1个B ．1个或2个C ．至多1个D ．可能2个以上4．已知120.5343log (244)a b c b x x -=-=++，，则实数a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>5．按照图1——图3的规律，第10个图中圆点的个数为（）个．A ．40B ．36C ．44D ．526．下列四个命题：①命题“若20x x -=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则20x x -≠”； ②若“p ⌝或q ”是假命题，则“p 且q ⌝”是真命题； ③若p ：(2)0x x -≤，q ：2log 1x ≤，则p 是q 的充要条件；④已知命题p ：存在x ∈R ，使得22x x <成立，则p ⌝：任意x ∈R ，均有22x x ≥成立；其中正确命题的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．47．若1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．BC ．13-D ．138．在等腰直角ABC 中，1,3,2AB AC BD DC CE CA CD ====+，则AD BE ⋅=( ) A ．116B ．716C ．2132-D ．78-9．执行如图的程序框图，则输出x 的值是（）A ．1B ．2C ．12D ．1-10．函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（） A ．()1,1-B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(),-∞+∞11．如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1B C 的中点，动点M 在其表面上运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，运行轨迹为S ，当M 从P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（）A ．B ．C ．D ．12．已知角α的终边经过点()1,2P -，则()cos πα-=（）A B ．-C D ．二、填空题13．设0a >，0b >，若a 与2b 的等差中项是2，则22log 2log a b +的最大值是________． 14．若3030a b -<<<，则2a b-范围为______. 15．已知()()11f x x x =+⋅-，若关于x 的方程()f x x m =+有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围__________．16．在等比数列{}n a 中，13a =，且对任意的n ∈+N ，点1()n n a a +，在直线32y x =-上，则n a =________三、解答题17．已知圆1C 的参数方程为2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. (1)将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)圆1C ，2C 是否相交？若相交，请求出公共弦长；若不相交，请说明理由．18．已知函数2()(1)1()x f x e k x k R =---∈.（1）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数k 的最小值；（2）若函数()f x 在区间(0,1)上无零点，求实数k 的取值范围.19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =+. （1）求角B 的大小；（2）若2c =，a 的值.20．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-. （1）求不等式()3g x <的解集；（2）若不等式()()f x g x 的解集包含[1-，1]，求实数a 的取值范围.21．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈. （1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a =+,求122320172018111b b b b b b +++的值.22．已知函数1()(cos )()x f x e a x a R -=-+∈.(Ⅰ)若函数()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若0a =，证明： 1[1,]2x ∀∈-，总有0,0a b >>因为：. 23．已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线1l 平行于直线 4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限, ⑴求P 0的坐标;⑵若直线1l l ⊥, 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.【答案与解析】1．D由复数的除法运算化简，即可得z 的虚部. 由复数除法运算化简可得()133213233213i i i z i i +===-+-，由复数的概念可知z 的虚部为3. 故选：D.本题考查了复数的概念与复数的除法运算，属于基础题. 2．B由()(3)a b a b λ+⊥+，可得()(3)a b a b λ+⋅+0=，再求解即可. 解：由,a b 是互相垂直的单位向量，则0a b ⋅=且1a b ==，又()(3)a b a b λ+⊥+，则()(3)a b a b λ+⋅+223(13)300a b a b λλλ=+++⋅=++=， ∴3λ=-，故选：B.本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了向量垂直的充要条件，属基础题. 3．C集合A={（x ，y ）|y=f （x ），x ∈D}，B={（x ，y ）|x=1}，当1∈D 时，直线x=1与函数y=f （x ），有一个交点，当1∉D 时，直线x=1与函数y=f （x ），没有交点，所以A∩B 中元素的个数为1或0．故答案为：C. 4．C将第一个等式两边同时除以13b -，然后比较a ，b 大小，对第二个等式进行整理，比较出c ，b 的大小，可得三者大小关系．由题得1133433aa b b -+-==>，可得11a b -+>，则a b >；因为222442[(1)1]2x x x ++=++≥，则22log 2[(1)1]1c b x -=-++≤-，可得10c b -+≤，因此c b <，所以有a b c >>，故选C ．本题考查比较实数大小，此类题的整体思路是做差或者做商，再根据函数特点进行化简判断大小． 5．A根据图1-3可判断从第二个图开始，图中圆点的个数比上一个图多4个，即成等差数列，首项为4，公差为4，所以101949440a a d =+=+⨯=，故填：40. 6．C①命题“若20x x -=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则20x x -≠”，故①正确； ②若“p ⌝或q ”是假命题，则p ⌝，q 均为假命题，所以p 和q ⌝是真命题，故②正确； ③若p ：()20x x -≤，得02x ≤≤；由q ：2log 1x ≤，得02x <≤，则p 是q 的必要不充分条件，故③错误；④因为特称命题的否定为特称命题，所以命题p ：存在x R ∈，使得22x x <成立，则p ⌝：任意x R ∈，均有22x x ≥成立，正确，故④正确.所以正确的命题由3个. 故选C 7．C 由712122πππαα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求值. 因为712122πππαα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，所以由三角函数的诱导公式可知：71cos cos sin 12122123ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：C本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是发现角之间的关系，再选择诱导公式求值. 8．A以BC 中点O 为坐标原点，BC 所在直线x 轴建立直角坐标系，得到,,,A B C D 坐标，由已知E 为AD 中点，确定E 点坐标，进而求出,AD BE ，即可求出结论.设BC 的中点为O ，连接AO ，以BC 所在直线x 轴，AO 所在直线y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为ABC 是等腰直角三角形，1AB AC ==，所以12AO BO CO BC ====，又3BD DC =，所以OD ，则(A B D ，2(AD =,由2CE CA CD =+可得E 为AD 的中点，所以5(E BE =，所以21482416AD BE ⋅=-=. 故选：A.本题考查向量数量积的坐标运算，建立适当的坐标系是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 9．D易知当1024y =时，循环结束；再寻找x 的规律求解. 计算过程如下：当1024x =时，循环结束，所以输出1x =-. 故选D .本题考查程序框图，选择表格计算更加简洁.当循环次数较多时，要注意寻找规律. 10．B构造函数()()24g x f x x =--，利用导数判断出函数()y g x =在R 上的单调性，将不等式()24f x x >+转化为()()1g x g >-，利用函数()y g x =的单调性即可求解.依题意可设()()24g x f x x =--，所以()()20g x f x ''=->. 所以函数()y g x =在R 上单调递增，又因为()()11240g f -=-+-=. 所以要使()()240g x f x x =-->，即()()1g x g >-，只需要1x >-，故选B.本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．D画出图象如图所示,由于平面1//B AC 平面11A DC ,故三角形1AB C 即M 点的运行轨迹.以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,故()()111,0,1,0,1,1A C .当M 在11,1,22P ⎛⎫⎪⎝⎭时,02l =,当M 在()11,1,1B 时,102l l =>,由此排除,A C 两个选项. 当M 在P,Q 以及AC 中档时2l =,故排除B 选项.所以选D.12．B根据角α的终边经过点()1,2P -，利用三角函数的定义求得cos α==，再利用诱导公式求()cos πα-.因为角α的终边经过点()1,2P -，所以cos 5α==，所以()cos cos παα-=-=. 故选：B本题主要考查三角函数的定义及诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13．2根据题意，先得到24b a +=，再由对数运算，以及基本不等式，即可求出结果. 因为a 与2b 的等差中项是2，所以24b a +=，又0a >，0b >，则()2222222log 2log log log 22a b a b ab ⎛⎫++== ⎪⎝⎭≤，当且仅当2a b =，即2,a b ==.故答案为：2.本题主要考查由基本不等式求最值问题，涉及等差数列，以及对数运算，属于常考题型. 14．()30,0-先根据条件计算出-a b 的取值范围，然后即可计算出2a b-的取值范围，注意临界值的计算. 因为3030a b -<<<，所以()30300a b --<-<，所以600a b -<-<，所以3002a b--<< ，所以()30,02a b-∈-. 故答案为：()30,0-.本题考查根据不等式的性质求解范围，难度较易.已知()()()12341234,,,,a x x b x x x x x x ∈∈<<，则有1423x x a b x x -<-<-.15．51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭因为221(1)()(1)11(1)x x f x x x x x ⎧-≥=+-=⎨-<⎩，在同一坐标系作(),y f x y x m ==+的图象如图：当直线与抛物线相切时，联立方程组得210x x m ---=，14(1)540m m ∆=+-=-=，解得54m =，方程()f x x m =+有三个不同的实数解就是直线与抛物线有三个交点，由图可知514m -<<，故填51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.点睛：涉及方程根的个数问题，经常需要转化为两个函数图象交点问题，因此需要作出函数图象，通过观察分析函数图象得到交点个数，特别要注意相切等特殊位置,从而数形结合的方式得到结果. 16．1231n -⋅+由已知得到递推关系132n n a a +=-，两边同时减去1，得到113(1)n n a a +-=-，利用等比数列的定义判定数列{1}na -是等比数列，进而求解即可.∵点1()n n a a +，在直线32y x =-上，∴132n n a a +=-，则113(1)n n a a +-=-，1131n n a a +-=-，又∵112a -=， ∴数列{1}na -是等比数列，首项为2，公比为3，∴1123n n a --=⋅，。

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