一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0

若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x 。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运

用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02

=++c bx ax

（0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】01>x ，02

>x (两个正根)⇔21212400

0b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪

⎪⎪

+=->⎨⎪

⎪=>⎪⎩

， 推论：01>x ，02

>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆0

0)0(0

42b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例1】 若一元二次方程0)1(2)1(2

=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101m m m m m m

m ⎧

⎪∆=++-≥⎪

+⎪->⎨

-⎪-⎪>⎪-⎩

0

【定理2】01

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆0004212

12

a c x x a

b x x a

c b ，

推论：01

2>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆0

0)0(0

42b c f a ac b

由二次函数图象易知它的正确性。

【例2】 若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。（

k>3）

【定理3】210x x <<⇔

0

c

【例3】 k 在何范围内取值，一元二次方程0332

=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？

分析：依题意有

3

k k

-<0=>0

101=x ，02>x ⇔0=c 且0

b

； ○

201a

b

。

【例4】 若一元二次方程03)12(2

=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？

分析：由已知k －3=0，∴k =3，代入原方程得32

x +5x =0，另一根为负。 设一元二次方程02

=++c bx ax

（0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。k 为常数。则一元二次

方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。

【定理1】2

1x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

>->≥-=∆k a

b k af a

c b 20

)(0

42

【定理2】k

x x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

<->≥-=∆k a

b k af a

c b 20)(0

42。

【定理3】21x k x <<⇔0)(

推论1 210x x <<⇔0

【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21

【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧<>><<0

)(0

)(0)(0

)(021

21p f p f k f k f a

此定理可直接由定理4推出，请读者自证。

【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆212

1220

)(0)(004k a b k k f k f a ac b

三、例题与练习

【例5】 已知方程02112

=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。（4

12912<

（2）若一元二次方程

03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求

m 的取值范围。

（6252+>-

（3）若一元二次方程

3)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2，求m

的取值范围。

（6252

1

+>-

2

=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围。

（2

21221+-<<-

-m ）

（2）已知方程

012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在0和1之间，求

m

的取值范围。

（

3

221<

=-+-+m x m x 的较大实根在0和1之间，求实数m 的取值范围。 变式：改为较

小实根 （不可能；22

1

<

0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（1-、1）内，求k 的取值范围。

（2

1

324-<<+-k ）

（5）若方程012)2(2

=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围。 （3

221<

2=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足βα<<<10，求m 的

取值范围。 （73-<<-m 或72<

【例7】 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.

本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.

技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.

解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧>+=<+=>=-<+=65,

21,210

56)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m

.