向量数乘运算
向量的数乘运算
[典例 3] 设 a，b 是不共线的两个非零向量． (1)若―O→A ＝2a－b，―O→B ＝3a＋b，―O→C ＝a－3b，求证：A， B，C 三点共线； (2)若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，求实数 k 的值； (3)若―OM→＝m a，―ON→＝n b，―O→P ＝α a＋β b，其中 m，n， α，β 均为实数，m≠0，n≠0，若 M，P，N 三点共线，求证： mα ＋nβ＝1.
A．k＝0
B．k＝1
C．k＝2 解析：当
k＝12时，mD＝．－ke＝1＋12 12e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此时 m，n 共线． 答案：D
3.如图，已知 AM 是△ABC 的边 BC 上的中线，若―AB→＝a， ―A→ C ＝b，则―AM→等于( )
A.12(a－b)
B．－12(a－b)
[方法技巧] 用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法：
(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形 法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量 关系，然后解关于所求向量的方程．
[对点练清]
1．在△ABC 中，若点 D 满足―BD→＝2―D→C ，则―AD→等于( )
A.13―AC→＋23―AB→
2．在四边形 ABCD 中，若―AB→＝－12―CD→，则此四边形是(
)
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
解析：因为―AB→＝－12―CD→，所以 AB∥CD，且 AB≠CD，所
以四边形 ABCD 是梯形．
答案：C
3．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，―AB→ ＋―AD→＝λ―AO→，则 λ＝________. 解析：∵四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点 O，∴―AB→＋―AD→＝―A→ C ＝2―AO→，∴λ＝2. 答案：2
向量数乘运算及其几何意义
例1．计算：
（1） 3 4a
-12a
（2）3a b 2a b a
5b
（3）2a 3b c 3a 2b c -a+5b-2c
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线． 解： AE AD DE
E C
3AB 3 BC
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 AE 共线．
练习： (1)设 e1、e2 是两个不共线向量，已 AB 2e1 Re2 ， CB e1 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值．
答:R=6
小节:
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律 3、向量共线的判定
作业：
课本P103 9
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有
且仅有一个实数 ，使得 b a ．
证明：（1）对于向量 （a a 0) ，如果有一个实数
使 b a
那么，由向量数乘的定义知，a与b共线
（2）已知
向量 a 的
a与b共线
倍，即
，a 0
b
，且向量 b 的长度是
a ，那么当 a与b
同向时，有 b a ；当 a与b 反向时 ， 有 b a
综上，如果 （a a 0) b 与 共线，那么有且只有一个实
数 使 b a
2.2.3 向量数乘运算及 其几何意义
学习目标：
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律
向量数乘运算及其几何意义新
解释力和力矩的方向
在分析力学中，向量数乘可以用来解释力和力矩的 方向，以及它们对物体运动状态的影响。
描述磁场和电场的变化
在电磁学中，向量数乘可以用来描述磁场和 电场的变化，以及它们对电荷和电流的作用 。
在数学中的应用
描述向量的缩放
向量数乘可以用来描述向量的缩 放，即改变向量的长度而不改变 其方向。
实例分析
标量与向量的数乘实例
在二维平面中，假设有一个向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2)$，当标量为 $k = 2$时，数乘后的向量为$overset{longrightarrow}{b} = (2,4)$；当标量为$k = -3$时，数乘后的向量为$overset{longrightarrow}{c} = (-3,-6)$。
详细描述
向量数乘在数学中可以丰富数学理论体系，例如在解析几 何中，通过向量数乘运算可以描述平面几何图形的旋转和 缩放，从而丰富了平面几何的理论基础。
总结词
促进数学与其他学科的交叉融合
总结词
解决数学难题
详细描述
向量数乘在数学与其他学科的交叉融合中也有着重要的应 用，例如在生物力学中，通过向量数乘运算可以描述肌肉 收缩和骨骼运动的关系，从而促进了生物学和力学的交叉 融合。
在物理建模过程中，向量数乘运算可以简化复杂的物理模 型，例如在力学中，通过向量数乘运算可以描述力的合成 与分解，从而简化了对物体运动轨迹的分析。
详细描述
向量数乘在物理中有着广泛的应用，例如在电磁学中，通 过向量数乘运算可以描述电荷的运动轨迹和电场线的分布 ，从而揭示电磁现象的本质。
总结词
提高物理实验的精度
案例三：向量数乘在工程中的运用
向量的数乘定义-概述说明以及解释
向量的数乘定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:向量的数乘是线性代数中的重要概念之一，它是描述向量进行数量放缩的操作。
通过数乘，我们可以对向量进行拉伸或压缩，使得向量的长度或方向发生变化。
本文将深入探讨向量的数乘定义、数乘的性质以及数乘的应用，并对未来可能的研究方向进行展望。
通过对向量的数乘进行详细的讨论，我们可以更好地理解和应用向量的数学概念，为进一步的数学学习和应用奠定坚实的基础。
1.2 文章结构本文包括引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将概述向量的基本概念，介绍本文的结构以及论述本文的目的。
在正文部分，我们将详细阐述向量的基本概念，探讨向量的数乘定义以及数乘的性质。
在结论部分，我们将总结向量的数乘定义，探讨数乘在实际应用中的意义，以及展望未来向量研究的方向。
整个文章结构清晰，逻辑严谨，旨在帮助读者全面了解和掌握向量的数乘概念和性质。
1.3 目的本文的目的在于介绍向量的数乘定义及其性质，通过对向量的数乘进行深入分析，以便读者更加全面地了解数乘的概念和作用。
同时，也旨在探讨数乘在实际生活中的应用，并展望未来对向量数乘的研究方向，为相关领域的学术研究提供借鉴和参考。
通过本文的阐述，希望读者能够对向量的数乘有一个清晰的认识，并对其在数学和实际问题中的应用有更深入的了解。
2.正文2.1 向量的基本概念向量是在数学和物理学中经常使用的重要概念。
在几何学中，向量通常用来表示具有大小和方向的量。
在代数学中，向量可以表示为一个有序的数字序列。
向量在现实生活中也有着广泛的应用，比如力的大小和方向、速度、位移等。
在数学中，向量通常表示为一个有序的数对或数组。
比如，可以用(x, y) 表示一个二维向量，用(x, y, z) 表示一个三维向量。
向量的大小通常称为模或长度，用v 表示。
而向量的方向通常用角度或单位向量来表示。
向量可以进行加法和数乘运算。
对于两个向量u 和v，它们的加法运算定义为(u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)，其中ui 和vi 分别表示向量u 和v 的第i 个分量。
空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算
在线性代数中，空间向量的数乘运算是指将一个向量与一个实数（标量）相乘的操作。
数乘是向量运算中最基本的运算之一。
设向量为 v = [x1, x2, ..., xn]，标量为 a。
向量 v 乘以标量 a 的数乘结果记作 av，计算方法如下：
av = [ax1, ax2, ..., a*xn]
即将向量 v 的每个分量与标量 a 相乘得到新的向量 av。
数乘运算改变了向量的长度和方向，当 a > 0 时，数乘会拉长向量的长度，并保持方向不变；当 a < 0 时，数乘会拉长向量的长度，同时改变向量的方向；当 a = 0 时，数乘结果为零向量。
例如，对于向量 v = [2, -3, 4]，标量 a = 3 进行数乘运算：
av = [32, 3(-3), 3*4]
= [6, -9, 12]
因此，数乘运算的结果是 av = [6, -9, 12]。
数乘运算在线性代数中广泛应用，它可以用于调整向量的大小、实现向量的平行移动等操作，同时也是计算矩阵乘法、向量内积、向量投影等许多重要运算的基础。
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义知识点一 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎨⎧ 当λ>0时，与a 方向相同；当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二 向量数乘的运算律(1)λ(μa )＝(λμ)a ；(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .知识点三 向量共线定理(1)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .规律总结：1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a |a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．4．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则A ，P ，B 三点共线⇔m ＋n ＝1.概念理解：1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( )2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( )3．若λa ＝0，则a ＝0.( )类型一 向量的线性运算向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．1、3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ＝________.2、若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______.3、计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a .类型二 向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．1、已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线． (2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．2、已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________．命题角度2 利用向量共线求参数值1、已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值．2、设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？类型三 用已知向量表示其他向量1、在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC → C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB →2、如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.练习：1．下列各式计算正确的有( )(1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( )A.12AM → B.AM → C ．2AM → D.MA →3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝ 。
数学(2.2.3向量数乘运算及其几何意义)
运算规则
总结词
向量数乘运算的规则包括与标量乘法类似，但需要注意向量的方向性。
详细描述
向量数乘运算的规则与标量乘法类似，实数与向量的每个分量相乘，得到的结果仍为一个向量。但需要注意的是， 向量的方向性在数乘运算中会发生变化。当实数为正时，向量的方向保持不变；当实数为负时，向量的方向会反 向；当实数为零时，向量的长度为零，方向任意。
性质
总结词
向量数乘运算具有分配律和结合律。
详细描述
向量数乘运算具有分配律，即对于任意实数$k$和$l$， 以及任意向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$(k + l)overset{longrightarrow}{a} = koverset{longrightarrow}{a} + loverset{longrightarrow}{a}$。同时，向量数乘运算也 具有结合律，即对于任意实数$k$、$l$和向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$、 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(kl)overset{longrightarrow}{a} = k(loverset{longrightarrow}{a})$。
向量的长度和方向的变化
长度变化
标量数乘会导致向量的长度发生变化。设$k > 0$，则$koverset{longrightarrow}{a}$ 的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的$|k|$倍；设$k < 0$，则
$koverset{longrightarrow}{a}$的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的 $frac{1}{|k|}$倍。
6.2.3 向量的数乘运算
(3) ( x y )a ( x y )a [( x y ) ( x y )]a 2 ya
例析
例6.如图，□ 的两条对角线相交于点，且 = ， = ，
用，表示，，和.
解：在□中， = + = + ， = − = − .
= + 3.猜想, , 三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，
不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想, , 三点共线.
3
事实上，因为 = − = + 2 − ( + ) = ，
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a ) 15a 10b 8b 12a 3a 2b;
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) (a b )
3
4
2
1
2
3
1
1
1
11
1
a b a b a b a b
3
3
4
2
2
2
12
3
(3)原式= 2 + 3 − − 3 + 2 − = − + 5 − 2.
2. 化简：课本练习（第16页）
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a );
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) ( a b );
3
4
2
(3) ( x y )a ( x y )a .
量.
新知探索
2.2.3向量的数乘
一般的， 的积是一个向量 向量， 一般的，实数λ与向量 a 的积是一个向量，记 它的长度和方向规定如下： 作 λ a ，它的长度和方向规定如下： (1) | λ a |=| λ | ⋅ | a | ；
Байду номын сангаас
λ (2) 当 λ > 0 时， a 与 a 方向相同； 方向相同；
λ 方向相反； 当 λ < 0 时， a 与 a 方向相反；
不共线， 例3：设 e1 和 e2 不共线，且 xe1 + ye2 = 0 ， ： 求证： 求证：x = y = 0 .
不共线， 例4：已知非零向量 e1 和 e2 不共线，若 ：
ke1 + e2与 e1 + ke2 共线，求实数 k 的值 共线， 的值.
上一点， 例5：△OAB中，C为AB上一点，AC = λ CB ， ： 中 为 上一点 请用 λ ，OA ，OB 表示向量 OC .
(1) 3(a − b) − 2(a + 2b) (2) 2(2a + 6b − 3c) − 3(−3a + 4b − 2c)
1 1 1 (3) (a + 2b) + (3a − 2b) − (a − b) 3 4 2
例2： ：
2 (1) 若 (4a − 3x) + 3(5 x − 4b) = 0 ，其中 a 、 3 b 为已知向量，求向量 x ； 为已知向量，
A C B O
例6：AD、BE、CF为△ABC的中线，G为 ： 、 、 为 的中线， 为 的中线 重心， 重心，若 AD = m ，BC = a ，用 m 、a 表示 (1) AB ；(2) CA ； (3) BE ；(4) CF .
F G D E A
向量的数乘及几何意义
向量的数乘及几何意义数乘是指将一个向量与一个标量相乘。
数乘运算可以用来改变向量的大小和方向，并且在几何上具有重要的意义。
首先，考虑一个向量v，并将其数乘一个正数k。
当k>1时，数乘会使得向量v的大小增大，但方向不变。
当k=1时，数乘不会改变向量v的大小和方向。
当0<k<1时，数乘会使向量v的大小减小，同时方向保持不变。
当k=0时，结果是一个零向量，其大小为零。
当k<0时，向量v被反向，并且大小也被取绝对值后增大。
因此，数乘可以使向量扩大、缩小、翻转。
在几何中，数乘具有以下几何意义：1.缩放：数乘可以用来缩放一个向量。
当数乘的绝对值大于1时，向量的大小会增大，而当绝对值小于1时，向量的大小会减小，但方向保持不变。
这意味着数乘可以用来缩放一个对象。
2.平行：当数乘为正数时，数乘后的向量与原向量的方向是相同的，它们是平行的。
当数乘为负数时，数乘后的向量与原向量的方向是相反的，它们也是平行的。
这意味着数乘可以用来判断两个向量是否平行。
3.方向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，即改变向量的方向。
这意味着数乘可以用来改变向量的方向。
4.零向量：当数乘为零时，结果是一个零向量，其大小为零。
这意味着数乘可以用来判断向量是否为零向量。
5.反向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，并且大小也会取绝对值后增大。
这意味着数乘可以用来使向量翻转。
6.平面的法向量：考虑一个向量v，它在x轴和y轴上的分量分别为vₓ和vᵧ。
如果将一个向量与一个数乘后的向量相加，结果为零向量，则这个数乘后的向量是由vₓ和vᵧ的相反数构成的。
这表明数乘后的向量是平面上法向量的一种表示方法。
总而言之，数乘在几何中具有重要的意义，它可以用来缩放、改变方向、判断平行性和零向量，以及使向量翻转。
这些几何意义使数乘成为向量运算中的一个重要操作。
向量的数乘运算
①λ(μa )=(λμ)a ②(λ+μ) a =λ a +μ a ③λ( a +b )=λa +λb 一般地，有
0a= 0, λ0 = 0
向量的数乘运算
【实数与向量的积】
注意：向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关 运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移 项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算 中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是
向量的数乘运算典型例题1在平行四边形abcd中o为两对角线交点如试用ab表示向量分析因为所以需要首先分别求出向量aoacodbdbd向量的数乘运算典型例题aoacodbd向量的数乘运算典型例题2若abc化简3a2b23bc2aba
知识点—— 向量的数乘运算
向量的数乘运算
【定义】 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算.
CD CA AD d c,
DM 1 (DB DC ) 1 (b d c d ) 1 (b c 2d ),
2
2
2
AQ AD DQ d 2 DM , 3
d 1 (b c 2d ) 1 (b c d ).
3
3
不同的．
向量的数乘运算
【典型例题】
1、在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如
图A Ba,A Db，试用a, b表示向量 A O 、O D ．
分析 因为 AO1AC,O D1BD,所以 .
向量的数乘运算
【典型例题】
解：A C ＝a＋b, B D ＝b −a，
因为O分别为AC，BD的中点，所以
AO1AC1(ab)1a1b,
2.2.3向量的数乘运算
3.如图所示,向量、.不共线.画出有向线段,使 = + .
解：
A
作 = , =
则 = + = +
+
B
O
4.如图所示,⏥的两条对角线交于点, = , = .试用向量、
分别表示向量、和.
= − − + +
= − +
(3)原式= + − − + −
= − + + − −
= − + −
例6 如图,为⏥两条对角线的交点, = , = ,
1.计算.
（）( − )
解：原式= −
（） ( + ) − ( − )
解：原式= + − +
− + +
= − +
=
（） − ( − − ) + ( + − )
解：原式= − + + + + −
向量数乘运算的几何意义
当 > 时,向量可以看作由向量伸长或缩短到倍得到;
当 < 时,向量可以看作由向量−伸长或缩短到||倍得到;
向量数乘运算的运算律
对于任意向量、,及任意实数、,向量数乘运算满足如下运算律.
①() = () = ()
②( + ) = +
记 =
1.定义：一般地,实数与向量的乘积仍是一个向量,记作.
的长度和方向规定如下：
向量数乘运算
VS
详细描述
在数学表达式中，应遵循先乘除后加减的 原则。在进行向量运算时，数乘作为乘法 运算的一种，应优先于加法和减法进行。 因此，在复杂的数学表达式中，应特别注 意数乘运算的优先级，确保运算顺序的正 确性。
理解数乘运算的实际意义
总结词
理解数乘运算的实际意义对于正确应用向量 数乘至关重要。
详细描述
数乘在物理和工程领域有着广泛的应用，如 速度和加速度的缩放、力的放大或缩小等。 理解数乘运算在具体问题中的应用背景和意 义，有助于正确理解和应用数乘运算，避免 出现错误或偏差。在进行向量数乘运算时， 应结合具体问题，深入理解数乘运算的实际
向量数乘运算
CONTENTS 目录
• 向量数乘运算的定义 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的代数性质 • 向量数乘运算的应用 • 向量数乘运算的注意事项
CHAPTER 01
向量数乘运算的定义
标量与向量的数乘
标量与向量的数乘
标量与向量相乘时，标量会与向量的每个分量相乘，得到新的向量。
总结词
数乘和点乘是两种不同的运算，具有不同的数学意义和性质 ，容易混淆。
详细描述
数乘是指向量与标量的乘法，结果仍为向量，其长度或模发 生变化，方向可能改变。点乘则是向量的内积，结果为标量 ，表示两向量的夹角和大小关系。在进行向量数乘运算时， 应明确区分这两种运算，避免混淆。
注意数乘运算的优先级
总结词
CHAPTER 03
向量数乘运算的代数性质
数乘运算的结合律
总结词
数乘运算满足结合律，即对于任意标量$k_1, k_2$和向量$vec{a}$，有$(k_1 k_2) vec{a} = k_1 (k_2 vec{a}) = (k_2 vec{a}) k_1$。
向量 乘法 运算顺序
向量乘法运算顺序向量乘法是一种基本的数学运算，在物理和工程学等领域有广泛应用。
向量乘法包括数量乘法、向量乘法、坐标乘法、内积乘法和外积乘法等多种形式。
本文将详细介绍这些乘法的运算顺序和注意事项。
1. 数量乘法数量乘法是一种简单的乘法运算，它将一个标量与一个向量相乘，得到的结果是一个与原向量长度相同的新向量。
数量乘法的运算顺序是：先确定一个标量，然后将这个标量与一个向量的每一个元素相乘，最后得到一个新的向量。
示例：设a 为一个标量，v 为一个向量，则数量乘法可以表示为：a * v = (a * v1, a * v2, a * v3, ...)2. 向量乘法向量乘法是一种比较复杂的乘法运算，它将两个向量相乘，得到的结果是一个与原向量长度相同的新向量。
向量乘法的运算顺序是：先确定两个向量，然后将这两个向量的对应元素相乘，最后得到一个新的向量。
示例：设v1 和v2 为两个向量，则向量乘法可以表示为：v1 * v2 = (v11 * v21, v12 * v22, v13 * v23, ...)需要注意的是，两个向量的长度必须相同，否则无法进行向量乘法运算。
3. 坐标乘法坐标乘法是一种特殊的乘法运算，它将一个向量的坐标值与另一个向量的坐标值相乘，得到的结果是一个新的向量。
坐标乘法的运算顺序是：先确定两个向量，然后将这两个向量的对应坐标相乘，最后得到一个新的向量。
示例：设v1 为一个向量，其坐标为(a, b, c)，v2 为另一个向量，其坐标为(x, y, z)，则坐标乘法可以表示为：v1 * v2 = (a * x, b * y, c * z)需要注意的是，两个向量的长度必须相同，否则无法进行坐标乘法运算。
同时，坐标乘法也可以用于计算向量的模长和单位向量等。
4. 内积乘法内积乘法是一种特殊的乘法运算，它将两个向量的内积结果相乘，得到的结果是一个标量。
内积乘法的运算顺序是：先确定两个向量，然后计算这两个向量的内积，最后将内积结果相乘得到一个新的标量。
《向量数乘运算》课件
几何意义
要点一
总结词
向量数乘运算的几何意义是标量$k$与向量$mathbf{a}$的 模长相乘，再根据$k$的正负确定几何意义可以理解为标量$k$与向量 $mathbf{a}$的模长相乘，即新的向量的长度是原向量长 度乘以标量$k$。同时，根据标量$k$的正负来确定新向量 的方向。当$k > 0$时，新向量的方向与原向量方向相同 ；当$k < 0$时，新向量的方向与原向量方向相反；当$k = 0$时，新向量为零向量。这种几何意义有助于直观理解 向量数乘运算的过程和结果。
实数与向量的数乘的几何意义
实数与向量的数乘的几何表示
实数λ与向量a的数乘在几何上表示将向量a的长度扩大或缩小λ倍，并改变其方 向。
实数与向量的数乘在几何上的应用
在物理、工程和科学实验中，实数与向量的数乘常用于描述力的合成与分解、 速度和加速度等物理量。
实数与向量的数乘的性质
1 2 3
实数与向量的数乘的模的性质
02
向量数乘运算的性质
线性性质
总结词
线性性质是指向量数乘运算满足线性组合的特性。
详细描述
向量数乘运算具有线性性质，即对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k_1, k_2$，有$(k_1 k_2)mathbf{a} = k_1(k_2mathbf{a}) = (k_2mathbf{a})k_1 = k_2(k_1mathbf{a})$。线性性质在向 量运算中非常重要，它使得向量数乘运算可以像标量运算一样进行简化。
乘运算来计算其合加速度。
实例三：向量的投影
向量的投影是向量数乘运算的一个重要应用
在物理和工程领域中，向量的投影是一个常见的概念 。通过向量数乘运算，可以方便地计算一个向量在另 一个向量上的投影。这有助于描述力的作用效果、速 度的方向变化等。例如，在机械工程中，当一个力作 用在物体上时，可以通过向量的投影来计算该力对物 体产生的旋转效应。在建筑学中，向量的投影可以用 来描述建筑结构在不同方向上的变形。
向量的数乘运算
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第六章 平面向量及其应用
27
(1)证明三点共线推论： 设 A，B，C 是平面内三个点，且 A 与 B 不重合，点 P 是平面内任意一 点，若存在实数 λ，μ，使得P→C ＝λP→A ＋μP→B ，且 λ＋μ＝1，则 A，B， C 三点共线． (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等 求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方 程，从而解方程求得参数的值．
C．B，C，D
D．A，C，D
解析：因为B→D ＝B→C ＋C→D ＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)
＝2A→B ，且B→D 与A→B 有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线．
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第六章 平面向量及其应用
32
3 ． 已 知 a ＝ 2e1 ＋ e2 ， b ＝ e1 － 2e2 ， 则 a ＋ b ＝ ________ ， a － b ＝ ____________，2a－3b＝____________． 解析：因为a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2， 所以a＋b＝3e1－e2，a－b＝e1＋3e2， 2a－3b＝4e1＋2e2－3e1＋6e2＝e1＋8e2. 答案：3e1－e2 e1＋3e2 e1＋8e2
20
用已知向量表示未知向量的求解思路 (1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中． (2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知 向量表示未知向量． (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则或平行四边形法则建立 关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
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D
C
b
Aa
B
注意向量的方向，向量 AC=a+b,向量DB=a-b
练习1：选择题
uuur uuur uuur
（1）AB BC AD D
uuur
uuur
uuur
( A) AD (B)CD (C)DB
uuur (D)DC
uuur uuur uuur
（2）AB AC DB C
uuur
uuur
uuur
2、设e1，e2是两个不共线向量，已知 AB=2e1+re2，CB=e1+3e2，若A，B， C三点共线，求r的值.
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
3
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
则MN=
1
…=
a
+
1
b
63
D
C
MC= … = 1 a+ b 2
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC， 试判断AC与AE是否共线。 E
C
A B D
练习1：设a，b是两个不共线的向量，已知 AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：A，
B，D三点共线。
证明：∵BD=BC+CD
=(2a+8b)+3(a-b)
=5a+5b
=5(a+b)
=5AB
∴BD//AB，又它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为 非零向量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和
2a+2b，a并进行比较3(。2a)
b a
3(2a)
=
6a
2a
2b
a
b
2b
2(a
b)
2a
2b
2a
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
例4：如图平行四边形ABCD, AB a,
uuur r uuur r
DA b,OC c,
D
C
r r r uuur 证明：b c a OA
b
c
O
A
a
B
证明：b c DA OC OC CB OB
b c a OB AB OB BA OA
已知非零向量 a （如图）
a
试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)
B 过O作OB=
以b OA,OB为边作
a a+b
平行四边形
A
则对角线
C
OC= a+b
向量的减法(三角形法则）
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
b a
o b
a a-b A
作法:
在平面中任取一点o,
B 过O作OA= a
过O作OB= b 则BA= a-b
例：如图，平行四边形ABCD，AB=a，
AD=b，用a、b表示向量AC、DB。
( A) AD (B) AC (C)CD
uuur (D)DC
练习2
(1)化简AB AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
Come on!
uuur r
(3) (2a+3b-c) –(3a-2b+c) -a+5b-2c
对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ,μ 问题1：如果 b=λa ,
那么，向量a与b是否共线？ 问题2：如果 向量a与b共线
那么，b=λa ？
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有且只有一个实数λ，使得 b=λa
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有且只有一个实数λ，使得 b=λa
向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量a 和向量 b,作向量 a+b.
b ao
作法:在平面中任取 一点O,
过O作OA= a
a A
a+b 过A作AB= b
则OB= a+b. bB
向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
作法:在平面中任取一点O,
b ao
b
过O作OA= a
aaa
O
A
B
C
-a -a -a
N
M
Q
P
相同向量相加以后， 和的长度与方向有什么变化？
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa， 它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
对于向任量意的的加向、量减ar、、数br ,乘以运及算任统意称实为数向量、的1、线形2，运恒算有。
(1ar
2br )=1ar
r
2b
例1 计算： (1) (-3)×4a
-12a
(2) 3(a+b) –2(a-b)-a
5、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0 )
b=λa 向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线 3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
课本 :
P101 第 9题（3）（4） P102 第 4题