11.1因式分解教学课件
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七年级下册数学精品课件11.1 因式分解
×
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
√
D. ax+by+c=x(a+b)+c
×
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E. 2a3b=a2•2ab
×
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多
项式．(2)右边是积的形式. (3)右边的因式全是整式2019/.5/11
7
二 因式分解与整式乘法的关系
问题：因式分解与整式乘法的关系是什么？
因式分解
多项式
(整式)×(整式)×…×(整式)
整式乘法
两者互为逆运算.
2019/5/11
8
典例精析 例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2） （x+3），求a，b的值. 解：因为x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3） =ax2+ax-6a. 所以a=1，b=﹣6a=﹣6，
5
总结归纳
像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积的 形式，叫做多项式的因式分解，也叫做将多项 式分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
2019/5/11
6
辩一辩
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
当堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 （C ）
A. a(a+b-1)=a2+ab-a
B. a2-a-2=aa-1)-2
C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.
因式分解课件
分组分解法
方法介绍
将多项式分组，利用组与组之间的公 因式提取，使每个组都可以进行因式 分解。
实例说明
例如，对于$ax^2+bx+c$，可以分成 两组$(x+1)(x-1)$和$c(x+1)(x-1)$， 得到$(x+1)(x-1)(x+c)$。
03 因式分解的应用
在数学解题中的应用
约分
因式分解可以将一个较复 杂的分数转化为几个简单 的分数的乘积，简化计算 和约分。
现代数学已经形成了一套完整的因式分解理论和方法，包括各种高级的
分解技巧和算法。同时，因式分解也被广泛应用于其他学科领域的研究
和实践中。
02 因式分解的基本 方法
提公因式法
01
02
03
确定公因式
提取各项的公共因式，将 其放在括号外面，剩下的 因式留在括号内。
提公因式的依据
根据乘法的交换律和分配 律，提取公因式可以使表 达式简化。
变型公式
通过对公式进行适当的变形，可以将一些看似无法直接分解的多项式转化为可以分解的形式。例如， 对于形如x^2-1的多项式，可以通过变形转化为(x+1)(x-1)，再进一步进行因式分解。
如何进行复杂的分组分解
分组分解
对于一些包含多个不同项的多项式，可 以将其分为不同的组，然后分别对每一 组进行因式分解。例如，对于形如 x^2+2xy+y^2-z^2的多项式，可以将 其分为两个组：(x+y)^2-(z)^2，再分别 对两个组进行因式分解。
以简化方程的解法。
促进数学发展
因式分解的发展推动了数学理论 的发展，促进了数学与其他学科
的交叉融合。
因式分解的历史与发展
冀教版七年级下册11.1 因式分解1课件
(1)2x42(x2) —逆用乘法对加法的分配律
(2)xxyx(1 y ) —逆用乘法对加法的分配律 (3)1x 621(4x1)4(x1) —逆用平方差公式
(4)a26a9(a3)a(3) —逆用完全平方公式
四、导学交流，探究发现二
提公因式法
多项式
项
各项的公共因式
m ambmcm a,m b,m c
2.因式分解与整式乘法的关系
x2-y2
因式分解
( x+y ) ( x-y )
整式乘法
3.检验因式分解正确与否的方法 （1）看是否是积的形式 （2）右边几个整式相乘的积与左边的多项式是 否相等。
4.提公因式法 找公因式；分解因式
谢谢
(4)(x-3)2= x2-6x+9 (4) x2-6x+9=__(_x_-3__)2__
(5)(x+1)2= x2+2x+1 (5) x2+2x+1=(_x_+_1_)_2_
整式乘法互为逆过程 因式分解
二、导学交流，探究发现
多项式 整式的积
观察： a2 b2 (a b)(a b),
a2 2ab b2 (a b)2,
冀教版七年级下册11.1 因式分解1 课件(共13张PPT)
计算下列各式: 根据左面的算式填空:
(1)x(x-y)= x2-xy
(1) x2-xy=_x_(_x_-_y_)_
(2)a(a+1) = a2+a
(2) a2+a=_a_(_a_+_1_)
(3)(m+4)(m-4)= m2-16 (3) m2-16=_(பைடு நூலகம்__+_4_)_(_m_-_4)
(2)xxyx(1 y ) —逆用乘法对加法的分配律 (3)1x 621(4x1)4(x1) —逆用平方差公式
(4)a26a9(a3)a(3) —逆用完全平方公式
四、导学交流，探究发现二
提公因式法
多项式
项
各项的公共因式
m ambmcm a,m b,m c
2.因式分解与整式乘法的关系
x2-y2
因式分解
( x+y ) ( x-y )
整式乘法
3.检验因式分解正确与否的方法 （1）看是否是积的形式 （2）右边几个整式相乘的积与左边的多项式是 否相等。
4.提公因式法 找公因式；分解因式
谢谢
(4)(x-3)2= x2-6x+9 (4) x2-6x+9=__(_x_-3__)2__
(5)(x+1)2= x2+2x+1 (5) x2+2x+1=(_x_+_1_)_2_
整式乘法互为逆过程 因式分解
二、导学交流，探究发现
多项式 整式的积
观察： a2 b2 (a b)(a b),
a2 2ab b2 (a b)2,
冀教版七年级下册11.1 因式分解1 课件(共13张PPT)
计算下列各式: 根据左面的算式填空:
(1)x(x-y)= x2-xy
(1) x2-xy=_x_(_x_-_y_)_
(2)a(a+1) = a2+a
(2) a2+a=_a_(_a_+_1_)
(3)(m+4)(m-4)= m2-16 (3) m2-16=_(பைடு நூலகம்__+_4_)_(_m_-_4)
七年级下册冀教版数学【授课课件】11.1 因式分解
) x 2) ；
（3）a 2 2ab b2 (a b)2 .
等式从左到右的变形叫做因式分解.每个多项式的因式分别为
（1）2和（x+2);(2)(x+2)和（x-2 )；(3)a+b.
探究新知
整式乘法
因式分解
x(x－2)=x2－2x，
(x＋y)(x－y)=x2－y2，
(x＋1)2=x2＋2x＋1.
所以m＋n = +1= .
当堂训练
4. 已知二次三项式x2-6x+a分解因式后的一个因式是
(x+2) ，求另一个因式及a的值.
解：因为x2-6x+a的最高次数是2，
所以可设x2-6x+a = (x+2) (x+m)，
则x2-6x+a =x2+(m+2)x+2m，
比较系数，得 m+2 =-6， 2m =a，
解得m=-8，a=-16.
所以另一个因式是x-8．
回顾反思
1.因式分解：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式.
2.因式分解与整式乘法的关系
x2-y2
因式分解
( x+y ) ( x-y )
整式乘法
3.检验因式分解正确与否的方法：
（1）看是否是积的形式；
（2）看积中的每个因式是否都是整式;
（3）右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.
探究新知
问题3.请你举出有这样特征的一些式子.
探究新知
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，
叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解
因式.其中每个整式都叫做这个多项式的因式.
（3）a 2 2ab b2 (a b)2 .
等式从左到右的变形叫做因式分解.每个多项式的因式分别为
（1）2和（x+2);(2)(x+2)和（x-2 )；(3)a+b.
探究新知
整式乘法
因式分解
x(x－2)=x2－2x，
(x＋y)(x－y)=x2－y2，
(x＋1)2=x2＋2x＋1.
所以m＋n = +1= .
当堂训练
4. 已知二次三项式x2-6x+a分解因式后的一个因式是
(x+2) ，求另一个因式及a的值.
解：因为x2-6x+a的最高次数是2，
所以可设x2-6x+a = (x+2) (x+m)，
则x2-6x+a =x2+(m+2)x+2m，
比较系数，得 m+2 =-6， 2m =a，
解得m=-8，a=-16.
所以另一个因式是x-8．
回顾反思
1.因式分解：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式.
2.因式分解与整式乘法的关系
x2-y2
因式分解
( x+y ) ( x-y )
整式乘法
3.检验因式分解正确与否的方法：
（1）看是否是积的形式；
（2）看积中的每个因式是否都是整式;
（3）右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.
探究新知
问题3.请你举出有这样特征的一些式子.
探究新知
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，
叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解
因式.其中每个整式都叫做这个多项式的因式.
因式分解ppt课件
识别多项式的系数
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
冀教版七年级下册数学课件第11章11.1因式分解
由此可得n＝3k－4， p＝－4k.
∴2m－2n－p＋86＝2(＋k)－2(3k－4)－(－4k)＋86 ＝6＋2k－6k＋8＋4k＋86＝100.
综合创新练 18．阅读理解：我们知道因式分解与整式乘法是互逆关系，那么
逆用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，即 x2＋(a＋b)x ＋ab＝(x＋a)(x＋b)是否可以因式分解呢？当然可以，而且也 很简单．如：x2＋4x＋3＝x2＋(1＋3)x＋1×3＝(x＋1)(x＋3)； x2－4x－5＝x2＋(1－5)x＋1×(－5)＝(x＋1)(x－5)． 请你仿照上述方法分解因式： (1)x2－7x－18； 解：x2－7x－18＝(x＋2)(x－9)．
基础巩固练
3．【2019·河北石家庄平山期末】下列各式从左到右的变形是因 式分解，并分解正确的是( A ) A．(a－b)3－b(b－a)2＝(b－a)2(a－2b) B．(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6 C．4a2－9b2＝(4a－9b)(4a＋9b) D．m2－n2＋2＝(m＋n)(m－n)＋2
综合创新练 17．若 x－1，x＋4 均为多项式 x3＋mx2＋nx＋p 的因式，求 2m
－2n－p＋86 的值．
解：∵x－1，x＋4均为多项式x3＋mx2＋nx＋p 的因式，且三次项系数为1， ∴设第三个因式为x＋k， 则x3＋mx2＋nx＋p＝(x－1)(x＋4)(x＋k)，
综合创新练
整理得：x3＋mx2＋nx＋p＝x3＋(3＋k)x2＋(3k－4)x－4k， m＝3＋k，
基础巩固练
4．因式分解和整式乘法是互逆的变形过程，
多项式
几个整式的乘积．
基础巩固练
5．下列因式分解中，正确的个数为( C ) ①x3＋3xy－x＝x(x2＋3y)；②x2－4x＋4＝(x－2)2；③－x2＋ y2＝(x＋y)(x－y)． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
∴2m－2n－p＋86＝2(＋k)－2(3k－4)－(－4k)＋86 ＝6＋2k－6k＋8＋4k＋86＝100.
综合创新练 18．阅读理解：我们知道因式分解与整式乘法是互逆关系，那么
逆用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，即 x2＋(a＋b)x ＋ab＝(x＋a)(x＋b)是否可以因式分解呢？当然可以，而且也 很简单．如：x2＋4x＋3＝x2＋(1＋3)x＋1×3＝(x＋1)(x＋3)； x2－4x－5＝x2＋(1－5)x＋1×(－5)＝(x＋1)(x－5)． 请你仿照上述方法分解因式： (1)x2－7x－18； 解：x2－7x－18＝(x＋2)(x－9)．
基础巩固练
3．【2019·河北石家庄平山期末】下列各式从左到右的变形是因 式分解，并分解正确的是( A ) A．(a－b)3－b(b－a)2＝(b－a)2(a－2b) B．(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6 C．4a2－9b2＝(4a－9b)(4a＋9b) D．m2－n2＋2＝(m＋n)(m－n)＋2
综合创新练 17．若 x－1，x＋4 均为多项式 x3＋mx2＋nx＋p 的因式，求 2m
－2n－p＋86 的值．
解：∵x－1，x＋4均为多项式x3＋mx2＋nx＋p 的因式，且三次项系数为1， ∴设第三个因式为x＋k， 则x3＋mx2＋nx＋p＝(x－1)(x＋4)(x＋k)，
综合创新练
整理得：x3＋mx2＋nx＋p＝x3＋(3＋k)x2＋(3k－4)x－4k， m＝3＋k，
基础巩固练
4．因式分解和整式乘法是互逆的变形过程，
多项式
几个整式的乘积．
基础巩固练
5．下列因式分解中，正确的个数为( C ) ①x3＋3xy－x＝x(x2＋3y)；②x2－4x＋4＝(x－2)2；③－x2＋ y2＝(x＋y)(x－y)． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
《因式分解》ppt课件
因式分解涉及多次运算，强调 计算的准确性，避免后续步骤
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。
冀教版七年级数学下册11.1《因式分解》ppt课件
D：
正确
:
质因数分解：12 2 2 3 2 整数的乘法： 2 3 12
〔运算过程正好相反〕
互逆
:
:
1: ma b c ma mb mc
1: m a m b m c (m)( a+b+c )
2 : a ba b a2 b2
2 : a2 b2 ( a+b )( a-b )
:
因式分解：
1.写成整式积的方式
No Image
2.与整式乘法过程恰好相反
3.因式分解要分解彻底
:
:
:
提取公因式法的普通步骤： 〔1〕确定应提取的公因式 〔2〕多项式除以公因式，所得的商作为
另一个因式 〔3〕把多项式写成这两个因式的积的方式
:
质因数分解
因式分解
把12进展质因数分解，以下正确的选项是D 〔〕
以下各式因式分解，正确的选项是Ｃ〔 〕？
12 25 2
×A：：必需是积得方式
12 3 4
3 : a b2 a2 2ab b2
3 : a2 2ab b2 (a+b )2
:
:
思索在上面小题中，等号左边是__多__项__式________,
等号右边是_整__式_乘__积_________的方式。像上面 这样把一个多项式分解成几个整式乘积的方式， 叫多项式的分解因式，也叫多项式的因式分解。
:
:
:
:
回想
质因数分解：6 2 3 10 25
把一个合数化为几个质数的积的方式，这种变形叫 质因数分解，也 叫分解质因数。
如：要把12进展质因数分解，以下正确的选项是：D
〔〕
12 25 2
A×：：必需是积得方式
正确
:
质因数分解：12 2 2 3 2 整数的乘法： 2 3 12
〔运算过程正好相反〕
互逆
:
:
1: ma b c ma mb mc
1: m a m b m c (m)( a+b+c )
2 : a ba b a2 b2
2 : a2 b2 ( a+b )( a-b )
:
因式分解：
1.写成整式积的方式
No Image
2.与整式乘法过程恰好相反
3.因式分解要分解彻底
:
:
:
提取公因式法的普通步骤： 〔1〕确定应提取的公因式 〔2〕多项式除以公因式，所得的商作为
另一个因式 〔3〕把多项式写成这两个因式的积的方式
:
质因数分解
因式分解
把12进展质因数分解，以下正确的选项是D 〔〕
以下各式因式分解，正确的选项是Ｃ〔 〕？
12 25 2
×A：：必需是积得方式
12 3 4
3 : a b2 a2 2ab b2
3 : a2 2ab b2 (a+b )2
:
:
思索在上面小题中，等号左边是__多__项__式________,
等号右边是_整__式_乘__积_________的方式。像上面 这样把一个多项式分解成几个整式乘积的方式， 叫多项式的分解因式，也叫多项式的因式分解。
:
:
:
:
回想
质因数分解：6 2 3 10 25
把一个合数化为几个质数的积的方式，这种变形叫 质因数分解，也 叫分解质因数。
如：要把12进展质因数分解，以下正确的选项是：D
〔〕
12 25 2
A×：：必需是积得方式
七年级数学下册《11.1 因式分解》课件【冀教版适用】
(3) 5a＋10b=5(a＋2b)；
(4) x2－2x＋1=x(x－2)＋1. (2)(3)是因式分解． 解：
（来自教材）
知1－练
2 对下列各式所进行的因式分解正确吗？如果不 正确，请改正过来. (1) ab－b=b(a－1); (2) －10x－10=－10(x－ 1); (3) 3x＋3y=3(3x＋3y);
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
知1－练
4
【中考· 常德】下列各式由左到右的变形中，属于 因式分解的是( C ) A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
x2－2x=x(x－2)，
x2＋2x＋1= (x＋1)2.
x2－y2=(x＋y)(x－y) ，
（来自教材）
知1－导
归
纳
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做
多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式.其中每
个整式都 叫做这个多项式的因式.
（来自教材）
知1－讲
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) 1 2 A．a ＋1＝ a a＋ a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
（来自教材）
=2011.
知1－导
小明的方法
372－362 =1 369－1 296 =73.
小亮的方法
372－362 = (37＋36)×(37－36) =73.
小亮的方法是运用了乘法对加法的分配律以及平方
差公式，运算较简单.
因式分解ppt课件
02
03
04
因式分解的基本概念：定义、 性质、方法等
因式分解的技巧：提公因式、 平方差公式、十字相乘法等
因式分解的应用：代数式化简 、解方程等
Hale Waihona Puke 学习方法：理论学习、练习、 小组讨论等
因式分解的应用与重要性
01
02
03
04
代数式化简
利用因式分解简化复杂的代数 式，提高计算效率
解方程
通过因式分解将方程转化为多 个简单方程，便于求解
因式分解的作用
有助于理解方程的解 法
可以用于解决一些数 学问题，如求根、解 方程等
可以将一个复杂的多 项式简化成易于理解 的形式
课程目标和学习方法
掌握因式分解的基本方法 学习如何将一个多项式分解成几个整式的乘积
通过练习，达到能够快速、准确地完成因式分解的目标
02
因式分解的基本概念
整式和因式的定义
分解6a4b3+18a3b2+12a2b
首先，我们可以发现6a4b3和18a3b2可以组合成一项，得到(6a4b3+18a3b2)，接着观察多项式，我 们可以发现12a2b可以单独列出来，所以原多项式可以分解为(6a4b3+18a3b2)+12a2b。
应用题中的例子
在一个水池设计中，需要将一个圆形的水池分割成若干个小 的区域，这时候就需要使用到因式分解的方法，将圆形水池 的面积分解成若干个小的面积之和，这样就可以更加方便地 进行设计和规划。
掌握因式分解的方法
因式分解的方法有很多种，初学者可能难以掌握。解决办 法是加强对方法的学习，可以通过大量的练习来掌握。
解决因式分解的问题
因式分解的问题可能比较复杂，初学者可能难以解决。解 决办法是加强对问题的分析，学会拆解问题，找出合适的 解决方法。
冀教版数学七年级下册11.1因式分解课件
三、变式练习 拓展提高
1.请将下列等式左边多项式的另一个因式填在 括号里。
（1）2x+4=2（ x+）2 （2）x-xy=x( 1-y)
(3) 16 x2 1 (4x （1) 4x-）1
（4）a 2 6a 9 （a+3）（ a）+3
2、若 x2 mx 15 分解为 (x 3)(x n)
方
法
一五、、情课境堂导小入结明：确我目的标知识树
？
因式分解
因
？
式
分
解
六、布置作业
习题1、2
x 2 y 2 = ( x+)y( x-y)
x 2 2xy y 2 =( x+y)( x+)y
2、你能概括一下因式分解的概念吗？
像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积
的情势，叫做多项式的因式分解，也叫多项
式的分解因式。
其中每个整式都叫做这
个多项式的因式。
3、你能举一个因式分解的例子吗？
二、新知探究（一）因式分解的概念
整式的乘法
?
因式分解 因式分解
因
式
?
分
解
一、情境导入 明确目标
逆 学习目标： 向 1.记住多项式因式分解定义，理解因 思 式分解与整式乘法之间的区分与联 考 系。
2.能判断因式分解的正误，会进行简 单的因式分解。
二、新知探究（一）因式分解的概念
1、你能根据单元知识树复习的内容填好下面的空
吗？ x 2 2x = （ ）x （ x-）2
冀教版数学七年级下册第十一章 11.1因式分解
一、情境导入 明确目标
2112 211 210 372 362
=211×（211-210） =211 ×1
《因式分解》课件
分解因式的口诀
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
常用公式
分解因式的步骤
提公因式法
分组分解法
公式法
十字相乘法
例Байду номын сангаас精讲
04
1
因式分解例题解析
2
3
总结：通过几道典型例题的解析，让学生掌握因式分解的基本方法和技巧。
高级、技巧性
总结词
十字相乘法是一种高级的因式分解方法，需要一定的技巧和观察力。它通过将一个二次三项式分解为两个一次因式的乘积。
详细描述
$ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)$
公式
$2x^2+5x+3=(2x+1)(x+3)$
例子
因式分解技巧
03
负数方根不能行，零取方根仍为零。
负数方根不能行，零取方根仍为零。
总结
针对学生在因式分解过程中容易出现的错误进行分析和纠正。
纠正方法
加强公式记忆、注重细节把握、多练习等。
学生易错点分析
练习题及解析
05
总结词：巩固掌握、循序渐进
具体内容：分别包括基础、进阶和提高三个级别的因式分解练习题，以供不同程度的学员进行练习。
详细描述
基础级：提供一些简单的因式分解题目，如分解多项式成组，重点在于熟悉因式分解的基本操作和概念；
详细描述
$ax+ay=a(x+y)$
公式
$8a+12b=4(2a+3b)$
【最新冀教版精选】冀教初中数学七下《11.1因式分解》PPT课件.ppt
分解因式
一、创 设 情 境
23×12+19×12+18×12 =12×（23+19+18）=12×60=720
速算，写出过程，说明依逆据用。乘法分配律
1、23×12+19×126+.1628-×3.6122
解2、决6问.6题2-3的.6关2
=（6.6+3.6）（6.6-3.6） =10.2×3=30.6 逆用平方差公式
过程？）
拓
展
应
归
用 深化概念
纳
类 比
表
达 获得概念
辨
析 本质属性
现实问题
抓住本质，明辨是非
(2) (a-3)(a+3)=a2-9 (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) 5x3-10x2-1=5x2(x-2)-1 (7) 2x(x-3y)=2x2-6xy (10) (x+2y)(x-2y)=x2-4y2
C、D等式的左边是一个多项式，右边
2、回答：下列变形是，几哪个些整是式因的乘式积分，解将，加说减明运算原关因系。
式分解。
把一个多项式化成几个
是因式分解
整式的积的形式,叫做 把这个多项式分解因式。
(1)a2+2ab+b2=(a+b)2 (5) x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
特别注意：1.分解的对 象必须是多项式。2.分 解的结果一定是几个整 式乘积的形式（单项式 和多项式）。
(6)a2-9=(a-3)(a+3) (8)2πR+2πr= 2π(R+r) (9)a3-a=a(a+1)（a-1） C a2b + ab2= ab(a+b)
一、创 设 情 境
23×12+19×12+18×12 =12×（23+19+18）=12×60=720
速算，写出过程，说明依逆据用。乘法分配律
1、23×12+19×126+.1628-×3.6122
解2、决6问.6题2-3的.6关2
=（6.6+3.6）（6.6-3.6） =10.2×3=30.6 逆用平方差公式
过程？）
拓
展
应
归
用 深化概念
纳
类 比
表
达 获得概念
辨
析 本质属性
现实问题
抓住本质，明辨是非
(2) (a-3)(a+3)=a2-9 (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) 5x3-10x2-1=5x2(x-2)-1 (7) 2x(x-3y)=2x2-6xy (10) (x+2y)(x-2y)=x2-4y2
C、D等式的左边是一个多项式，右边
2、回答：下列变形是，几哪个些整是式因的乘式积分，解将，加说减明运算原关因系。
式分解。
把一个多项式化成几个
是因式分解
整式的积的形式,叫做 把这个多项式分解因式。
(1)a2+2ab+b2=(a+b)2 (5) x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
特别注意：1.分解的对 象必须是多项式。2.分 解的结果一定是几个整 式乘积的形式（单项式 和多项式）。
(6)a2-9=(a-3)(a+3) (8)2πR+2πr= 2π(R+r) (9)a3-a=a(a+1)（a-1） C a2b + ab2= ab(a+b)
冀教版七年级数学下册11.1因式分解课件
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You made my day!
我们，还在路上……
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
(3) 9(x+a)2_ 16(y-b)2
例题精讲
2、把多项式2a3-8a分解因式.
解：2a3-8a =2a (a2-4)
=2a (a2_22) =2a(a+2)(a-2)
★若多项式中有公因式,应先提取公因式,然 后再进一步分解因式,直到不能分解为止.
课堂练习（三）
1、把下列各式因式分解 (1)-5ax2+5ay4
之平方差公式法
知识回顾
1、什么叫把多项式分解因式? 把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫做多项式的分解因式.
2、已学过哪一种分解因式的方法?
提公因式法
知识探索
平方差公式：
（a+b)(a-b)=a2-b2
a2-b2= (a+b)(a-b)
整式乘法 因式分解
这种分解因式的方法称为公式法。
知识探索
解：4(a+b)2-9(a-b)2 =[2(a+b)]2-[3(ab=)[]22(a+b)+3(a-b)] [2(a+b)-3(a-b)]
You made my day!
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•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
(3) 9(x+a)2_ 16(y-b)2
例题精讲
2、把多项式2a3-8a分解因式.
解：2a3-8a =2a (a2-4)
=2a (a2_22) =2a(a+2)(a-2)
★若多项式中有公因式,应先提取公因式,然 后再进一步分解因式,直到不能分解为止.
课堂练习（三）
1、把下列各式因式分解 (1)-5ax2+5ay4
之平方差公式法
知识回顾
1、什么叫把多项式分解因式? 把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫做多项式的分解因式.
2、已学过哪一种分解因式的方法?
提公因式法
知识探索
平方差公式：
（a+b)(a-b)=a2-b2
a2-b2= (a+b)(a-b)
整式乘法 因式分解
这种分解因式的方法称为公式法。
知识探索
解：4(a+b)2-9(a-b)2 =[2(a+b)]2-[3(ab=)[]22(a+b)+3(a-b)] [2(a+b)-3(a-b)]
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因式分解与因数分解
整数乘法 2×3×7=42
整式乘法
42=2×3×7 因数分解
x(2x 1) 2x2 x
2x2 x x(2x 1)
因式分解
三、独立练习，巩固新知
1．下列各式从左到右哪些是因式分解？
（1）x2-x＝x(x-1) （2）a(a-b)＝a2-ab （3）(a+3)(a-3)＝a2-9 （4）a2-2a+1＝a(a-2)+1
(√) (×) (×) (×)
（5）x2-4x+4＝(x-2)2
(√)
2．完成教科书P113的观察与思考。
３．做一做：（教科书P114）
四、例题教学，运用新知：
将下列多项式进行因式分解
(1)x2 x (2)a2 1 (3)10x 5y (4)x2 2x 1
解：(1)x2 x x(x 1) (2)a2 1 (a 1)(a 1) (3)10x 5y 5(2x y)
2ab+2b2= 2b(a+b)
(a+b)(a+2b)= a2+3ab+ 2b2
2a2+3ab+b2= (2a+b)(a+b)
一、提出问题，创设情境
观察思考
m ma mb mc
a bc
ma+mb+mc = m(a+b+c)
整式?乘法
m(a+b+c)=ma+mb+mc
ma+mb+mc=m(a+b+c)
(4)x2 2x 1 (x 1)2
五、整理知识，形成结构
1．因式分解的概念 因式分解 是整式中的一种恒等变形 2．因式分解与整式乘法是两种 相反的恒等变形，也是思维方 向相反的两种思维方式，因此， 因式分解的思维过程实际也是 整式乘法的逆向思维练习、习题 2.思维拓展：
11.1 因式分解
河北省隆化县第二中学 马立山
一、提出问题，创设情境
游戏
现有两种边长分别为a、b的正方形和长、宽分别为a、b的一 种矩形，你能从其中选择若干图形拼接成一个矩形图案，再从所 拼接的图案中找出一个等式吗？
a b b a
a
b
a
a(a+b)= a2+ab a2+2ab+b2=(a+b)2
（1）若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则
m=
,n= 。
（2）x2-8x+m=(x-4)( ),则m= 。
因式?分解
二、探求新知 自主学习 解决问题
1.因式分解的概念
把一个多项式分解成几个整式的乘积形式，叫 做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式。
2.因式分解与整式乘法的关系
◆ 因式分解的特点：由和差形式（多项式） 转化成整式的积的形式；
◆ 整式乘法的特点：由整式积的形式转化成 和差形式（多项式）。