【精编】2014-2015年甘肃省兰州一中高一(上)数学期中试卷带解析答案
甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题
甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题一、选择题：（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的4个选项中只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填入答题卡的表格中.）（交卷只交答题卡） 1.设集合}3{<∈=x R x M ，3=a ,则下列选项正确的是 （ ） A. M a ∉ B. M a ∈}{ C. M a ⊆ D. M a ⊆}{ 2.下列各函数图象中，表示函数31-=x y 的是 （ ）3.已知集合]4,0[=A ，]2,0[=B ，下列从A 到B 的对应关系f ，A x ∈，B y ∈,不是从A 到B 的映射的是 （ ）A.x y x f =→:B. x y x f 32:=→C. x y x f 21:=→D. 281:x y x f =→4.某种细菌在培养过程中，每15min 分裂一次（由1个分裂成2个），这种细菌由1个分裂成4096个需要经过 （ ） A.12h B.4h C.3h D. 2h5.定义在R 上的奇函数在)(x f ),0(+∞上的表达式为,)(x x x f +=上的在则)0,()(-∞x f 表达式为 （ ） A. x x -- B. x x +- C. x x -+- D. x x --- 6. 16log 5log 10log 225log 5444⋅+-的值是 （ ） A. 2 B.－1 C. －2 D. 17.已知函数)1,0(log ≠>=a a x y a 与其反函数的图象有交点,设交点的横坐标为0x ，则 （ ）A. 110>>x a 且B. 10100<<<<x a 且C. 1010<<>x a 且D. 1100><<x a 且8.已知312128.1,2,1.0log ===c b a 则,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<9.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上为增函数，且0)31(=f ，则不等式0)(log 81>x f 的解集为 （ ）A. ),2()21,0(+∞⋃ B. ),2(+∞C. ),2()1,21(+∞⋃ D. )21,0(10.设函数),0(ln 31)(>-=x x x x f 则函数)(x f y = （ ）A.在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B.在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C.在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点D.在区间)1,1(e 内无零点，在区间),1(e 内有零点11.已知)2(log )(ax x f a -=在]1,0[上为减函数，则a 的取值范围为（ ）A.（0，1）B. （0，2）C. （1，2）D. ),2[+∞12.设奇函数)(x f 在]1,1[-上是增函数，且1)1(-=-f ，若对所有的]1,1[-∈x 及任意的]1,1[-∈a 都满足12)(2+-≤at t x f ，则t 的取值范围是（ ）A. 022=-≤≥t t t 或或B.02121=-≤≥t t t 或或C. 2121≤≤-t D. 22≤≤-t二、填空题 ：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13.函数271312-=-x y 的定义域是 . 14.函数)2(log 231x x y -+=的单调递减区间是 .15.若函数⎩⎨⎧<+≥=)4(,)2()4(,2)(x x f x x f x ，则)3(log 21f 的值为 .16.函数)(x f 对0>x 有意义，且满足1)2(=f ，)()()(n f m f mn f +=,)(x f 为增函数．如果2)3()(≤-+x f x f ，则实数x 的取值范围是 .三、解答题：（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共48分.）17.(本小题8分)（1）(4分)求值13256)71(027.0143231+-+-----（2）(4分) 设20≤≤x ，求函数524121+-=+-x x y 的最大值和最小值.18. (本小题8分)求实数m 的取值范围，使关于x 的方程22(1)260x m x m +-++= （1）有两个实根，且都大于1.（2）有两个实根α、β，且满足014αβ<<<<.19.(本小题10分)设=A {}{}222|40,|2(1)10,x x x B x x a x a +==+++-= （1）若A B B =，求 a 的值. （2）若A B B =，求 a 的值.20. (本小题10分)已知函数)12lg()(2++=x ax x f .(1)若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的范围.(2)若)(x f 的值域为R ，求实数a 的范围.21. (本小题12分)已知函数)(log )(x a a a x f -=. (1) 当1>a 时，求)(x f 的定义域、值域. (2) 当1>a 时，判断)(x f 的单调性,并用定义证明. （3）解不等式)()2(2x f x f >-.兰州一中2012—2013—1学期高一年级数学期中试卷答案一、选择题：（本大题共12小题,每小题3分,共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCBCADBCADCA二、填空题 ：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13. ),1[+∞- 14. ]21,1(- 15.36416. ]4,3( 三、解答题：（共48分）17. (本小题8分)（1）解:1918. (本小题8分)（1）0(1)02(1)12f m ⎧⎪∆≥⎪>⎨⎪-⎪->⎩514m ∴-<≤-（2）(0)0(1)0(4)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩7554m ∴-<<-（2）由A B B B A =⇔⊆，又{}0,4A =-，故①当B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<， 解得1a <-； ②当{}{}04B =-或时， 224(1)4(1)0a a ∆=+--=，解得1a =-， 此时{}0B =，满足B A ⊆；③当{}0,4B =-时，2224(1)4(1)02(1)410a a a a ⎧∆=+-->⎪-+=-⎨⎪-=⎩， 解得1a =. 综上所述，实数a 的取值范围是1a =或者1a ≤-.20. (本小题10分)解：(1)若f (x )的定义域为R ，则关于x 的不等式ax 2＋2x ＋1＞0的解集为R ，即⎩⎨⎧<-=>0440a Δa ，解得a ＞1(2)若f (x )的值域为R ，则ax 2＋2x ＋1能取一切正数∴a ＝0或⎩⎨⎧≥-=>0440a Δa ，解得0≤a ≤11log a =0,即f(x 1)＞f(x 2).∴f(x)为减函数.(3) 当1>a 时，x 2－2＜x,即 x 2－x －2＜0,解得－1＜x ＜2.又函数f(x)定义域为(－∞,1),即⎩⎨⎧<-<1212x x 故所求不等式的解为－1＜x ＜1.当10<<a 时， )(log 22--xa a a ＞)(log x a a a -,∴22-xa ＞a x ,∴x 2－2＜x ，解得－1＜x＜2. 又函数f(x)的定义域为(1，+∞)，即⎩⎨⎧>->1212x x 故所求不等式的解为23<<x 综上，当1>a 时，所求不等式的解集为}11{<<-x x当10<<a 时，所求不等式的解集为}23{<<x x。
甘肃省兰州一中1高一上学期期中试题数学.pdf
让历史课堂开出环保思想之花 【内容提要】：随着新课改的推行，环境保护意识教育，已经成为教育工作者的一项重要任务。
《全国环境宣传教育行动纲要》指出：“要根据大、中、小学的不同特点开展环境教育，使环境教育成为素质教育的一部分。
加强中、小学各科教材中环保内容的教学研究，提高课堂教学质量。
”因此，历史教学中，充分挖掘教育资源，不仅能引导学生树立科学的自然观，认识环境建设的重要性和紧迫性，而且能增强学生参与环境建设的自觉性和主动性。
【关键词】：历史课堂 情感教育? 儒家思想? 环保 新颁布的《历史课程标准》指出：“在掌握历史知识的过程中，既有能力的训练，也有对史学方法的了解和运用，更有态度、情感和价值观的体验和培养。
”新课改中情感教育已经成为历史课堂中不可或缺的重要环节。
尤其随着经济的迅速发展，环境教育日益为人们所重视。
这不仅表现在历史新课程中环境教育的比重显著增加，而且历史新课标也将“从历史的角度去了解和思考人与人、人与社会、人与自然的关系”置于“关注中华民族以及全人类的命运”的高度。
在《中国传统文化主流思想的演变》一单元的活动课中，我是这样突出环保教育的。
一、通过讲述儒家自然观思想，引导学生树立科学的环境观 自然观是人们对自然界的总的认识。
在中国哲学史上，自然观表现为天人观。
纵观儒学思想家们，他们或多或少都对天人关系作了许多精辟的论述。
这些论述对于我们树立科学的环境观都具有重要的借鉴意义。
人类在生存与发展过程中，首先面临的便是自然，儒家因而十分强调“天人合一”，甚至把人看成天的派生物，是自然的一部分。
孔子思想的核心是“仁”，在讲解这一内容时，我突破常规不仅讲到“仁者爱人”一面，更是向学生展示了其中所蕴含的自然观思想。
孔子的“仁”，不仅包括对人类要“仁民”，对自然也要“爱物”。
“获罪于天，无所祷也”，在孔子看来违背自然规律就有可能获罪于天，受到自然的惩罚。
所以，人应该从内心深处真正地热爱自然，与自然同呼吸，与自然息息相通，真正地体察自然，自觉地把人和自然融为一体。
甘肃高一高中数学期中考试带答案解析
甘肃高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面2.下列函数中,在区间上是增函数的是 ( )A．B．C．D．3.设函数，则的值为A．1B．3C．5D．64.无论值如何变化，函数（）恒过定点( )A．B．C．D．5.设，则使幂函数为奇函数且在上单调递增的a值的个数为( ) A．0B．1C．2D．36.一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是（）A．异面B．相交或平行或异面C．相交D．平行7.三个数的大小关系为 ( )A．B．C．D．8.已知偶函数在区间上单调递增，则满足不等式的的取值范围是（）A．B．C．D．9.偶函数在上单调递增，则与的大小关系是（）A．B．C．D．10.关于的方程，给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是A．0B．1C．2D．3二、填空题1.由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，每隔五年计算机的成本降低，现在价格为8100元的计算机经过15年的价格为2.一个几何体的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积为__________3.方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是_______4.下列5个判断：①若在上增函数，则；②函数只有两个零点；③函数的值域是；④函数的最小值是1；⑤在同一坐标系中函数与的图像关于轴对称。
其中正确命题的序号是。
三、解答题1.（12分）（1）已知集合，，若,求实数m的取值范围？（2）求值2.（10分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝.其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)3.（10分）已知函数，且（1）判断的奇偶性，并证明；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若，求的取值范围。
2014-2015学年度高一数学期中试卷(含答案解析)
第1页 共10页 ◎ 第2页 共10页绝密★启用前2014-2015学年度期中卷高一数学考试范围：必修一；考试时间：120分钟；命题人： 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则 （ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．{}1,4MN = D ．{}2,3M N =【答案】D【解析】解：因为根据已知 的集合，可以判定集合间的关系，以及集合的运算，那么显然选项D 成立。
2．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =，则使M∩N＝N 成立的a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．1或－1 【答案】C 【解析】试题分析：由于集合中的元素互不相同，所以20,1a a a a ≠⇒≠≠.又因为M∩N＝N ，所以1a =-. 考点：集合的特征及集合的基本运算. 3．设，则（ ）A ．﹣2＜x ＜﹣1B ．﹣3＜x ＜﹣2C ．﹣1＜x ＜0D ．0＜x ＜1 【答案】A【解析】因为y=3x在R 上单调递增，又，故﹣2＜x ＜﹣1故选A4．若0.90.48 1.54,8,0.5a b c -===则（ ）A .c b a >> B. a c b >> C.b a c >> D.b c a >> 【答案】D【解析】0.9 1.80.48 1.44 1.5 1.542,82.(0.5)2.-===函数2x y =是增函数，1.8 1.5 1.44,>>所以.a c b >>故选D5．函数()f x =的定义域是 A. {x ︱34x >} B. {01x x <≤} C. {1x x ≥} D. {x ︱314x <≤} 【答案】D 【解析】略6．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f xf f +=+=则=)5(f （）A．0B ．1C ．25D ．5【答案】C【解析】令x=-1可得(1)(1)(2)(1)(2),(2)2(1)1,f f f f f f f =-+=-+∴==13(3)(1)(2)122f f f ∴=+=+=,35(5)(3)(2)122f f f =+=+=.7．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b <a ), 当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离s 与时间t 的函数关系的图象大致为 ( )【答案】C【解析】分析：本题根据运动变化的规律即可选出答案．依据该同学出门后一系列的动作，匀速前往对应的图象是上升的直线，匀速返回对应的图象是下降的直线，等等，从而选出答案． 解答：解：根据他先前进了akm ，得图象是一段上升的直线，DCBA第3页 共10页 ◎ 第4页 共10页由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于t 轴的直线，由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm （b ＜a ），得图象是一段下降的直线， 由记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线， 综合，得图象是C ， 故选C ．点评：本小题主要考查函数的图象、运动变化的规律等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题． 8．函数的单调增区间为（ ）A ．B ．（3，+∞）C ．D ．（﹣∞，2）【答案】D【解析】由题意知，x 2﹣5x+6＞0∴函数定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞），排除A 、C ， 根据复合函数的单调性知的单调增区间为（﹣∞，2），故选D9．若函数()1(0,1)1x mf x a a a =+>≠-是奇函数，则m 为 A.1- B.2 C.1 D.2-【答案】B 【解析】 试题分析：111111x a(),()()xxxm m mf x f x aaa --=+=+-=-+--- 由于函数是奇函数，()(),f x fx ∴-=-即x a (1)1(1)2111x x x x m m m a a a a -+=-+∴=--- 所以2m =，故选：B.考点：函数的奇偶性10． 下列每组中两个函数是同一函数的组数共有（ ） （1）2()1f x x =+和2()1f v v =+(2) y =和y =(3) y=x 和321x xy x +=+ (4) y=和y(A) 1组 (B) 2组 (C) 3组 (D) 4组 【答案】C【解析】根据同意哈函数的定义可知选项A 中定义域和对应关系相同，成立，选项B 中，定义域相同，对应关系相同，选项C 中，相同，选项D 中，定义域不同，故是同一函数的 组数有3组，故选C 11．已知1a >，函数x y a =与log ()a y x =-的图像可能是（ ）【答案】B【解析】试题分析：因为根据1a >,可知指数函数递增函数，排除C ，D 选项，同时在选项A,B 中，由于对数函数log ()a y x =-的图像与log a y x =的图像关于y 轴堆成，那么可知.排除A.正确的选项为B.考点：本题主要是考查同底的指数函数与对数函数图像之间的关系的运用。
甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(PDF版,含解析)
兰州一中高一年级期中考试数学试卷 第 1 页 共 4 页兰州一中2023-2024-1学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A ．B ．C ．y =|x |D ．3．函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知，，且，则的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．86．函数的图像大致是（ ）A ．B ．C．D．7．，对于，，都有成立，求的取值范围（）A ．B ．C ．D ．8．设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（）A．B ．C．D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．下列各组函数表示相同函数的是（）A．，B．，C．，D．，10．下列说法正确的是（）A．的最小值为2 B．的最小值为1C．的最大值为3 D．最小值为11．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（）A．B．若在上有最小值，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．若时，，则时，兰州一中高一年级期中考试数学试卷 第 2 页共 4 页兰州一中高一年级期中考试数学试卷第 3 页共 4 页12．已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则（）A．B．C．，D．，不等式的解集为第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数，则 .14．已知，则的解析式为．15．函数在上的值域是 .16．已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；写出函数的解析式和值域．兰州一中高一年级期中考试数学试卷 第 4 页 共 4 页18．（12分）已知二次函数的图象过点，.(1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域.19．（12分）已知二次函数，(1)若为偶函数，求的值． (2)若在上最大值为4，求．20．（12分）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.21．（12分）已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，.(1)判断的单调性并加以证明； (2)若，解不等式.22．（12分）已知函数，．(1)判断函数 的奇偶性，并说明理由；(2)当 时，求函数的单调区间； (3)求函数 的最小值．兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 1 页 共 8 页兰州一中2023-2024-1高一期中考试答案1． C【详解】解：因为集合，所以．故选： C. 2．D 【详解】，都是奇函数，排除A ，B.，都是偶函数，在上递增，在递减，故选：D ． 3．C 【详解】由，则，解得且，即函数的定义域为，故选：C. 4．A【详解】对于不等式，可解得或， 所以可以推出，而不可以推出，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A. 5．C 【详解】因为，所以.因为，，所以，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为4.故选：C 6．B兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 2 页 共 8 页【详解】由函数，可得，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 又由时，，所以函数图象为B 选项.故选：B. 7．C【详解】因为定义在上的函数满足对，，都有，所以函数是上的减函数，则函数和均为减函数，且有，即，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C. 8．A【详解】解： 为定义在上的偶函数，在上为增函数，在上为单调递减， ， ，，即 ，解得：，所以实数 的取值范围为： ．故选：A. 9．CD【详解】选项A ，两个函数的对应法则不同，不是同一函数； 选项B ，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数； 选项C ，，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数；选项D ，两个函数的定义域和对应法则都相同，与自变量的符号表示无关，是同一函数. 故选：CD 10．BC兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 3 页 共 8 页【详解】对于A ，当时，，故选项A 错误； 对于B ，因为，即的最小值为1，故选项B 正确；对于C ，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为3，故选项C 正确；对于D ，因为，所以，所以当且仅当，即时，等号成立，因为，所以，即不成立，故等号不成立，所以最小值不为，故选项D 错误.故选：BC ． 11．ABD 【详解】由得，故正确； 当时，，且存在使得，则时，，，且当有,∴在上有最大值为1，故正确；若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；若时，，则时，，，故正确．故选：．12．AC【详解】A. 因为，，所以，正确； B.，，所以，错误；C. 由图得，当时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以； 时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以解析式为；即，，正确；兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 4 页 共 8 页D. 由C 得 ，，如图：所以不存在大于零的，使得不等式的解集为，故D 错误.故选：AC. 13．9【详解】解：根据题意，故答案为：9 14． 【详解】令，则，∴，故答案为：．15．【详解】解：当时，函数在上是增函数，故当时，函数取得最小值为1， 又，故函数的值域为，故答案为：．16． 【详解】因为，故，所以，当且仅当，即时等号成立，即有，所以，即a 的最小值为，故答案为： 17．（1）递增区间是，，图像见解析（2）兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 5 页 共 8 页【详解】解：因为函数为偶函数,故图象关于y 轴对称,补出完整函数图象如图所示:由图可得函数的递增区间是,. 设,则,所以,因为是定义在R 上的偶函数,所以,所以时,,故的解析式为, 由图像可得值域为.18．(1)；(2)【详解】（1）由题意可设，代入点坐标得，解得，故函数解析式为.（2）由第一问得上单调递增，在上单调递减而，故函数在上的值域为.19．(1) (2)或.【详解】（1）因为是偶函数，所以，即，则恒成立，由于的任意性，则； 当时，定义域为，且，所以.兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 6 页 共 8 页（2）因为，当，即时，在上单调递减，所以，解得，满足要求；当，即时， 则，解得或（舍去）；当，即时，在上单调递增，所以，解得，不满足要求；综上，或.20．(1)4米，28800元 (2)【详解】（1）设甲工程队的总造价为元， 则.当且仅当，即时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元. （2）由题意可得，对任意的恒成立.即，从而恒成立，令，又在为单调增函数，故.所以.21．(1)增函数，证明见解析； (2)【详解】（1）在上为增函数， 证明如下：任取且，则，则.又因为当时，，而，所以，所以，所以在上为增函数.（2）由定义域可得，解得，由已知可得，所以，所求不等式可转化为.由在上为增函数可得，解得，则不等式解集为.22．(1)见解析(2)单调递增区间是，单调递减区间是(3)【详解】（1）显然函数的定义域为R，当时，，此时函数为偶函数；当时，因为，，所以，，此时函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（3）因为，所以①当时，时，函数的最小值为，时，函数在上单调递减，，而，所以函数的最小值为．②当时，时，函数的最小值为，时，函数的最小值为，而，所以函数的最小值为．③当时，函数的最小值为．综上所述，．。
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案） 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ． 1y x =+C ．21y x =-+D ． 2x y -=2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（ ）A B C D3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时， ()22xf x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程22f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（ ）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．设}3 2, ,21 ,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（ ）A ．3 ,31B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31,1- 7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x，且3)4(log 5.0-=f ，则a的值为（ ）A ．3B ．3C ．9D ．238．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （ ） A ．2-或6 B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或3109．方程21231=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 的解所在的区间为（ ）A ．) 1 ,0 (B ．) 2 ,1 (C ．) 3 ,2 (D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xb a y =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能 是（ ）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是 ．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
【完美排版】甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题【含答案】
2) ,
(x 4)
(x
4)
，则
f
(log 1
2
3)
的值为
.
16.函数 f (x) 对 x 0 有意义，且满足 f (2) 1， f (mn) f (m) f (n) , f (x) 为增函数．如果
f (x) f (x 3) 2 ，则实数 x 的取值范围是
.
2
三、解答题：（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共 48 分.）
一、选择题：（本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分）
题号
123456789
10 11 12
答案
D C B C A D B C A DCA
二、填空题 ：(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13. [1,)
14. (1, 1 ] 2
64
15.
3
三、解答题：（共 48 分）17. (本小题 8 分)（1）解:19
B. {a} M
C. a M
1
2.下列各函数图象中，表示函数 y x 3 的是
D. {a} M （）
3.已知集合 A [0,4]， B [0,2]，下列从 A 到 B 的对应关系 f ， x A ， y B ,不是从 A 到
B 的映射的是
A. f : x y x
C.
f
:x
y
1 x
2
21. (本小题 12 分)已知函数 f (x) loga (a a x ) . (1) 当 a 1 时，求 f (x) 的定义域、值域. (2) 当 a 1 时，判断 f (x) 的单调性,并用定义证明. （3）解不等式 f (x2 2) f (x) .
2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题(含答案解析)
π 3 f (a ) − f (b ) > 0 成立，则必有（ 9. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意两个不相等实数 a，b ，总有 a −b
D. f (−1) > f (−π ) > f ( ) A. 函数 f ( x ) 是先增 加后减少 C. f ( x ) 在 R 上是增函数 B. 函数 f ( x ) 是先减少后增加 D. f ( x ) 在 R 上是减函数
）个
12.定义在 [ −1,1] 的函数 f ( x) 满足下列两个条件：①任意的 x ∈ [−1,1] ，都有 f (− x) = − f ( x) ；②任意的 m, n ∈ [0,1] ，当
f ( m) − f ( n) < 0 ，则不等式 f (1 − 3 x) < f ( x − 1) 的解集是 m−n 1 1 2 1 2 B. ( , ] C. [−1, ) D. [ ,1] A. [0, ) 2 2 3 2 3 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 2 x − 1 (x ≥ 3) ，则 f ( f (− 1)) 的值是 13. 已知函数 f ( x ) = 。 1 − 3 x (x < 3) m ≠ n ，都有
[来源:学科
π 3
B. f ( ) > f (−1) > f (−π )
π 3
π 3
）
10. 如果函数 f ( x) = x 2 + 2(a − 1) x + 2 在区间 ( −∞, 4] 上单调递减，那么实数 a 的取值范围是 A. a ≥ 5 B.
a≤5
C. a ≥ −3
第- 1 -页，共 4 页
20.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时， f ( x) = x （1）求 f ( x) 的解析式; （ 2）解关于 x 的不等式 f ( x) ≤
2014-2015学年甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题
2014-2015学年兰州一中高一上学期期中考试数学试题说明: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分100分, 考试时间100分钟. 答案写在答题卡上, 交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分. 在每小题给出的四个选项中只有一个．．．．选项符合题意)1.设集合}2,1{=A , 则满足}3,2,1{=B A 的集合B 的个数是( )1.A2.B 4.C 8.D2.对于映射:f A B →，{(,)|,}A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与B 中 的元素(3,1)-对应的A 中的元素为（ ）.A (3,1)- .B (1,3) .C (4,2)--.D (1,2)- 3.设,,a b c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是( ) .log log log a c c A b b a ⋅= .l o g l o g l og a c cB b a b ⋅=.log ()log log a a a C bc b c =⋅ .l o g ()l o g l oa aaD b c b c -=- 4.若函数)(x f y =是函数x a y =（0>a ，且1≠a ）的反函数，其图象经过点),(a a ， 则=)(x f （ ）.A x 21log .B x 2log .C x 21.D 2x5.下列四组函数中，（1）2()lg ,()2lg f x x g x x ==； （2）}4,2{,2∈=x x y 和}4,2{,2∈=x y x ；（3）21(),()11x f x g x x x -==+-； （4）1()2,()2xx f x g x -⎛⎫== ⎪⎝⎭. 表示相同函数的组数是（ ）1.A2.B3.C4.D6.设()833-+=x x f x, 用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）.A (1.25,1.5) .B (1,1.25 .C (1.5,2) .D 不能确定 7.计算12223)3)]235582log 10log 0.25+--=（ ）1.A2.B3.C4.D8.若函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图，其中b a ,为常数． 则函数b a x g x +=)(的图象大致是（ ）ABC D9.函数y = ）34.(,]A 4.(,]B -∞ 3.(,)C +∞ 4.[,)D +∞ 10.若函数⎩⎨⎧≤+->=1,1)32(1,)(x x a x a x f x 是实数集R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）.A )1,32( .B )1,43[ .C ]43,32( .D ),32(+∞11.设245log 6,log 12,log 15a b c ===, 则（ ）.A c b a >> .B b c a >> .C a c b >> .D a b c>> 12.当103x <≤时，8log ,x a x < 则a 的取值范围是（ ）.A (0,.B 1) .C (1, .D 3) 第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13.已知函数)(x f ,)(x g 分别由下表给出:则当2[()]f g x =时, =x _________.14.已知幂函数)(x f y =的图象过点)22,21(，则=)2(log 2f _________. 15.若函数1()||1f x m x =--有零点，则实数m 的取值范围是_________.16.已知函数()2)2f x x =+, 则1(lg2)(lg )2f f +=_________.三、解答题（本大题共4小题,共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分8分）设全集为实数集合R ，集合{|14}A x x =≤≤, {|121}B x m x m =+≤≤-. ⑴ 当3m =时，求 R ()A B ； ⑵ 若A B B =，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分8分）设函数)(x f =232log ()a x x --，其中0,a > 且1.a ≠ ⑴ 当12a =时，求函数)(x f 的单调递增区间；⑵ 若函数)(x f 在区间11[--上的最大值与最小值之差为2，求实数a 的值. 19．（本小题满分10分）已知函数)(x f =a xx++122是奇函数. ⑴ 求实数a 的值； ⑵ 判断)(x f 在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义证明； ⑶ 对任意的实数x ，不等式210()f x m -+>恒成立，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为11(,)- , 对于任意的11,(,)x y ∈-, 有 1()()()x yf x f y f xy++=+, 且当10x -<< 时, 0()f x >. ⑴ 求0f ()的值，并判断函数()f x 的奇偶性（不要求证明）；⑵ 若1211(),()a b a b f f ab ab+-==+-, 且11||,||a b <<, 求(),()f a f b 的值；⑶ 若112()f -=, 试解关于x 的方程12()f x =-.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）13. 3 ； 14.12； 15. (,1](0,)-∞-+∞； 16. 4 . 三.解答题（本大题共4小题, 共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解：⑴当4m =时，{|45}B x x =≤≤， ∴{|15}AB x x =≤≤.∴ R ()AB {|1,x x =<或5}.x > ………………………………………4分 ⑵A B B =⇔B ⊆A .①当121m m +>-，即2m <时，B A =∅⊆，符合题意. ②当121m m +≤-，即2m ≥时, 由B ⊆A 有11214,,m m +≥⎧⎨-≤⎩ 解得502m ≤≤. ∴522m ≤≤. 综合可得实数m 的取值范围是5{|}2m m ≤. …………………………………………8分18. 解: 由2320x x -->，解得31x -<<.(1) 当12a =时, 212()log (32)f x x x =--. 令21232,log u x x y u =--=.23(1)4u x =-++， ∴所以对称轴为1x =-，∴232u x x =--在区间[-1,1)上是减函数, 又12log y u =是减函数, 所以函数()f x 的单调递增区间是[-1,1). …………4分(2)121x --≤≤-+且2(1)4,u x =-++ ∴24u ≤≤.①当1a >时, log 4log 22a a -=, 解得a =②当01a <<时, log 2log 42a a -=, 解得2a =. ………………………8分19. 解：⑴ ∵)(x f =a x x++122是奇函数,∴对任意x ∈R, 有)(x f -=-().f x∴(122-=++--a x xa xx ++122）. ∴2a =-1121122-=+-+x x x .∴12a =- …………………………3分⑵)(x f 在R 上是增函数,证明如下：)(x f =12121211211221122+-=-+-+=-+xx x xx . 设1x 、2x ∈R 且1x ＜2x ，)12121()12121()()(1112+--+-=-x x x f x f =)12)(12(221212++-x x x x∵1x ＜2x ，∴22x＞120x >，∴)12)(12(221212++-x x x x ＞0, 即)(2x f ＞)(1x f ， ∴)(x f 在R 上是增函数. …………………………6分 ⑶ 对任意的实数x ，不等式210()f x m -+>恒成立， 则只要21m -＜)(x f min .∵x2+1＞1, ∴0＜121+x ＜1, ∴-1＜-121+x ＜0 ,∴-21＜21-121+x ＜21, 即 12-＜)(x f ＜21，∴1212m -≤-， ∴14m ≤. 故所求实数m 的取值范围是14{|}.m m ≤ …………………………10分20. 解：⑴ ∵1()()()x yf x f y f xy++=+ ① ∴由①式令0x y ==，得000()()()f f f +=， ∴00()f =.又由①式令11(,)y x =-∈-，得0()()()f x f x f +-=.∴函数()f x 是奇函数. ………………………………………………3分 ⑵ 由①式及已知，得 11()(),()(),f a f b f a f b +=⎧⎨+-=⎩ 由（1）知函数()f x 是奇函数， ∴11()(),()(),f a f b f a f b +=⎧⎨-=⎩解得3122(),().f a f b ==- ………………………………………………6分（3）112(),f -= ∴112(),f =-所解方程12()f x =-，即为21()f x =-，∴122()()f x f =. 又由①式令y x =得，221()()()x f x f x f x +=+，即2221()()xf x f x=+. ∴22121()()x f f x =+.设1211,x x -<<<∴1212010,,x x x x -<-> ∴121201x x x x -<-.又由题设知，当10x -<< 时, 0()f x >. 则1212121201()()()()(),)x x f x f x f x f x f x x --=+-=>- ∴12()(),f x f x >-∴()f x 在区间（-1，1）内为减函数；∴22121x x =+， 解得2x =11(,),x ∈- ∴2x = ………………………………………………10分。
2014-2015学年甘肃省兰州一中高三(上)期中数学试卷和答案
2014-2015学年甘肃省兰州一中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）函数的定义域是（）A．[1，2]B．[1，2） C． D．2．（5分）已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）若函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（）A．10 B．18 C．20 D．285．（5分）给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④6．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，则f（0.6），f（0），f（﹣0.5）的大小关系是（）A．f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6）B．f（0）＜f（0.6）＜f（﹣0.5）C．f（0.6）＜f（﹣0.5）＜f（0）D．f（﹣0.5）＜f（0）＜f（0.6）7．（5分）设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx在x=时取得极值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于点（π，0）对称B．偶函数且图象关于点（，0）对称C．奇函数且图象关于点（，0）对称D．偶函数且图象关于点（﹣π，0）对称9．（5分）函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于（）A．B．C．D．10．（5分）如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则•的取值范围是（）A．（﹣5，5）B．[﹣5，5]C．D．[0，5]11．（5分）定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，且f（4﹣x）=f（x）．现有以下三种叙述：①8是函数f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=2对称；③f（x）是偶函数．其中正确的是（）A．②③B．①②C．①③D．①②③12．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]13．已知函数f（x）=e x（x2﹣x+1）﹣m，若∃a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f （a）=f（b）=f（c）=0．则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，）C．（1，e3）D．（﹣∞，1）∪（e3，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分.）14．（5分）（+2x）dx=．15．y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点（1，3），则b的值为．16．（5分）若将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象关于直线x=对称，则φ的最小值为．17．（5分）已知tanα=4，则的值为．18．（5分）下列命题中①若|•|=||•||，则∥；②=（﹣1，1）在=（3，4）方向上的投影为；③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，则=20；④若非零向量、满足|+|=，则|2|＞|+2|．其中真命题是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S．△ABC20．（12分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|≤0，C={x|2x2+mx ﹣1＜0}．（Ⅰ）求A∩B，A∪B；（Ⅱ）若C⊆（A∪B），求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=4sinxcosx﹣4cos2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，]上的值域；（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x0）恒成立，求sin（2x0﹣）．22．（12分）已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值．23．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若∃x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜成立，试求实数m的取值范围；（Ⅲ）当a=0时，对于∀x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）﹣2．四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.）【选修4-1：几何证明选讲】24．（10分）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC；（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】25．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】26．已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1．证明：（Ⅰ）a2+b2+c2≥；（Ⅱ）++≥1．2014-2015学年甘肃省兰州一中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共13小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）函数的定义域是（）A．[1，2]B．[1，2） C． D．【解答】解：∵log（2x﹣1）≥00≤（2x﹣1）≤1，解得＜x≤1，故选：C．2．（5分）已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：=（﹣1，2）+（3，m）=（2，2+m）．由⇔﹣1×（2+m）﹣2×2=0，⇔m=﹣6．因此“m=﹣6”是“”的充要条件．故选：A．3．（5分）若函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点，∴m+log2x=0在x≥1时有解；∴m=﹣log2x≤﹣log21=0，故选：A．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（）A．10 B．18 C．20 D．28【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故选：C．5．（5分）给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④【解答】解：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可，故不正确；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，正确；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0＜1”，故不正确；④“x＞0”时，“x+≥2”，若“x+≥2”，则“x＞0”，∴“x＞0”是“x+≥2”的充要条件，故正确．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，则f（0.6），f（0），f（﹣0.5）的大小关系是（）A．f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6）B．f（0）＜f（0.6）＜f（﹣0.5）C．f（0.6）＜f（﹣0.5）＜f（0）D．f（﹣0.5）＜f（0）＜f（0.6）【解答】解：∵f（﹣x）=（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx=f（x），∴f（x）是偶函数；∴f（﹣0.5）=f（0.5）；又∵f′（x）=2x+sinx，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，∴f（0）＜f（0.5）＜f（0.6）；即f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6）．故选：A．7．（5分）设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移项化简，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx在x=时取得极值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于点（π，0）对称B．偶函数且图象关于点（，0）对称C．奇函数且图象关于点（，0）对称D．偶函数且图象关于点（﹣π，0）对称【解答】解：已知函数f（x）=asinx﹣bcosx在x=时取得极值，则f（）=（a﹣b）且为最值，由asinx﹣bcosx=sin（x+θ），即有±=（a﹣b），即有b=﹣a，f（x）=a（sinx+cosx）=asin（x+），则f（﹣x）=asin（π﹣x）=asinx．则函数y=f（﹣x）为奇函数，对称中心为（kπ，0），k∈Z．故选：A．9．（5分）函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于（）A．B．C．D．【解答】解：由，得||•||•c os（π﹣∠ABC）=，即||•（﹣cos∠ABC）=，由图知||=2||，所以cos∠ABC=﹣，即得∠ABC=120°，过B作BD⊥x轴于点D，则BD=，在△ABD中∠ABD=60°，BD=，易求得AD=3，所以周期T=3×4=12，所以ω==．故选：B．10．（5分）如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则•的取值范围是（）A．（﹣5，5）B．[﹣5，5]C．D．[0，5]【解答】解：如图所示：设∠PAB=θ，作OM⊥AP，则∠AOM=θ，∴sinθ=，AM=5sinθ，AP=2AM=10sinθ．∴•=10sinθ×1×cosθ=5sin2θ∈[﹣5，5]．故选：B．11．（5分）定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，且f（4﹣x）=f（x）．现有以下三种叙述：①8是函数f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=2对称；③f（x）是偶函数．其中正确的是（）A．②③B．①②C．①③D．①②③【解答】解：对于①，由于定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，则f（x+2）=﹣f（x），即有f（x+4）=﹣f（x+2），则f（x+4）=f（x），即4是函数的最小正周期，故①对；对于②，由于f（x）满足f（4﹣x）=f（x），即有f（2+x）=f（2﹣x），即f（x）的图象关于直线x=2对称，故②对；对于③，由于f（4﹣x）=f（x），即有f（﹣x）=f（x+4），又f（x+4）=f（x），则f（﹣x）=f（x），则f（x）为偶函数，故③对．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]【解答】解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．13．已知函数f（x）=e x（x2﹣x+1）﹣m，若∃a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f （a）=f（b）=f（c）=0．则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，）C．（1，e3）D．（﹣∞，1）∪（e3，+∞）【解答】解：因为f′（x）=（x2﹣x+1）•e x+（2x﹣1）•e x=x（x+1）•e x，由f′（x）＞0⇒x＞0，或x＜﹣1；由f′（x）＜0⇒﹣1＜x＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（0，+∞）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，∴函数f（x）的极大值为f（﹣1）=，极小值为f（0）=1．由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=m有3个交点，如图所示：故有1＜m＜，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分.）14．（5分）（+2x）dx=1+ln2．【解答】解：（+2x）dx=[ln（x+1）+x2]=1+ln2；故答案为：1+ln2．15．y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点（1，3），则b的值为3．【解答】解：由题意y'=3x2+a，∵y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点（1，3），∴3+a=2，3=1+a+b∴a=﹣1，b=3故答案为316．（5分）若将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象关于直线x=对称，则φ的最小值为．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=sin2（x﹣φ）的图象，再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2×﹣2φ=kπ+，k∈z，即﹣φ=+，k∈z，即φ=﹣﹣，k∈z，再根据φ＞0，可得φ的最小值为，故答案为：．17．（5分）已知tanα=4，则的值为．【解答】解：=====．故答案为：．18．（5分）下列命题中①若|•|=||•||，则∥；②=（﹣1，1）在=（3，4）方向上的投影为；③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，则=20；④若非零向量、满足|+|=，则|2|＞|+2|．其中真命题是①②．【解答】解：对于选项A，根据，则cosθ=±1，θ=0°或180°，则∥，故正确；对于选项B，根据投影的定义可得，在方向上的投影为||cos＜，＞==，故正确；对于选项C，由余弦定理可知cosC=，=5×8×cos（π﹣C）=﹣20，故不正确；对于选项D，|+|=，不正确；故答案为：①②三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；．（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC【解答】解：（1）由正弦定理可设，所以，所以．…（6分）（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，又a+b=ab，所以（ab）2﹣3ab﹣4=0，解得ab=4或ab=﹣1（舍去）所以．…（14分）20．（12分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|≤0，C={x|2x2+mx ﹣1＜0}．（Ⅰ）求A∩B，A∪B；（Ⅱ）若C⊆（A∪B），求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣1|＜2，∴﹣2＜x﹣1＜2，即﹣1＜x＜3，∴集合A=（﹣1，3）；由，得x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣4）≤0，且（x﹣1）（x﹣2）≠0，由穿根法解得0≤x＜1，2＜x≤4，∴集合B=[0，1）∪（2，4]．∴A∩B=[0，1）∪（2，3），A∪B=（﹣1，4]；（Ⅱ）∵C⊆（﹣1，4]，∴方程2x2+mx﹣1=0小根大于或等于﹣1，大根小于或等于4，令f（x）=2x2+mx﹣1，则．21．（12分）已知函数f（x）=4sinxcosx﹣4cos2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，]上的值域；（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x0）恒成立，求sin（2x0﹣）．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=4sinxcosx﹣4cos2x+1=2sin2x﹣2（1+cos2x）+1=4sin（2x﹣）﹣1∵0，∴，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴﹣3≤f（x）≤3，即函数f（x）在[0，]上的值域是[﹣3，3]．（Ⅱ）∵对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x0）恒成立，∴f（x0）是f（x）的最大值，∴由2x0﹣=2kπ+，k∈Z，解得2x0=2kπ+，k∈Z∴sin（2x0﹣）=sin（2kπ+﹣）=sin=．22．（12分）已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵公差为d的等差数列{a n}中，S4=2S2+8，∴4a1+6d=2（2a1+d）+8，化简得：4d=8，解得d=2．…（4分）（Ⅱ）由a1=1，d=2，得a n=2n﹣1，…（5分）∴=．…（6分）∴T n==≥，…（8分）又∵不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立，∴≥，…（10分）化简得：m2﹣5m﹣6≤0，解得：﹣1≤m≤6．∴m的最大正整数值为6．…（12分）23．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若∃x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜成立，试求实数m的取值范围；（Ⅲ）当a=0时，对于∀x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）﹣2．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），（x＞0）．①当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．②当a＜0时，若，f′（x）＞0，∴f（x）在上为增函数；若，f′（x）＜0，∴f（x）在上为减函数．综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数．当a＜0时，f（x）在上为增函数，在上为减函数．（Ⅱ）∵∃x∈（0，+∞），使得不等式成立，∴∃x∈（0，+∞），使得成立，令，则，当x∈（0，+∞）时，∵e x＞1，，∴，∴h′（x）＜0，从而h（x）在（0，+∞）上为减函数，∴h（x）＜h（0）=3，∴m＜3．（Ⅲ）当a=0时，f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）﹣f（x）﹣2，则φ（x）=e x﹣lnx ﹣2，∴，且φ′（x）在（0，+∞）上为增函数．设φ′（x）=0的根为x=t，则，即t=e﹣t．∵当x∈（0，t）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上为减函数；当x∈（t，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上为增函数，∴∵φ′（1）=e﹣1＞0，，∴，由于φ（t）=e t+t﹣2在上为增函数，∴，∴f（x）＜g（x）﹣2．四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.）【选修4-1：几何证明选讲】24．（10分）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC；（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．【解答】解：（Ⅰ）∵AC∥DE，直线DE为圆O的切线，∴D是弧的中点，即又∠ABD，∠DBC与分别是两弧所对的圆周角，故有∠ABD=∠DBC，所以BD平分∠ABC（Ⅱ）∵由图∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC∴△ABH∽△DBC，∴又∴AD=DC，∴∵AB=4，AD=6，BD=8∴AH=3【选修4-4：坐标系与参数方程】25．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值．【解答】解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．【选修4-5：不等式选讲】26．已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1．证明：（Ⅰ）a2+b2+c2≥；（Ⅱ）++≥1．【解答】证明（Ⅰ）∵a，b，c∈R+，且a+b+c=1，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥，当且仅当a=b=c时，等号成立．（Ⅱ）∵+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，∴+++a+b+c≥2（a+b+c），∴++≥a+b+c=1，∴++≥1。
甘肃省兰州一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷
2014-2015学年甘肃省兰州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.）1．（3分）已知集合A={1，16，4x}，B={1，x2}，若B⊆A，则x=（）A．0B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或±42．（3分）函数y=的定义域是（）A．6．（3分）已知函数f（+1）=x+1，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2B．f（x）=x2+1（x≥1）C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）7．（3分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．t=158．（3分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）9．（3分）函数f（x）=3•4x﹣2x在x∈B．C．时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.13．（4分）函数f（x）=log2（x2﹣5x+4）的单调递减区间是．14．（4分）函数y=的值域是．15．（4分）已知函数为定义在区间上的奇函数，则a+b=．16．（4分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数，对于下列命题：①函数f（x）满足f（x+4）=f（x）；②函数f（x）图象关于点（1，0）对称；③函数f（x）的图象关于直线x=2对称；④函数f（x）的最大值为f（2）；⑤f=0．其中正确的序号为．三、解答题：（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（6分）设集合A={x|a﹣1≤x≤a+1}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．（1）若a=5，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．18．（10分）（1）若a＞0，b＞0，化简：﹣（4a﹣1）（2）若log23=a，log52=b，试用a，b表示log245．19．（10分）已知f（x）=log2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．20．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈，求函数g（x）的最小值h（a）．21．（12分）已知函数f（x）是定义在上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈，x+y≠0有（x+y）•＞0．（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；（2）解不等式；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈，a∈恒成立．求实数m的取值范围．2014-2015学年甘肃省兰州一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.）1．（3分）已知集合A={1，16，4x}，B={1，x2}，若B⊆A，则x=（）A．0B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或±4考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：根据集合的包含关系与集合元素的互异性进行判断．解答：解：∵A={1，16，4x}，B={1，x2}，若B⊆A，则x2=16或x2=4x，则x=﹣4，0，4．又当x=4时，4x=16，A集合出现重复元素，因此x=0或﹣4．故答案选：C．点评：本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性2．（3分）函数y=的定义域是（）A．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出x的不等式组，求解即可．解答：解：要使原式有意义只需：，解得且x≠2，故函数的定义域为点评：求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的x的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．3．（3分）点（x，y）在映射f：A→B作用下的象是（x+y，x﹣y），则点（3，1）在f的作用下的原象是（）A．（2，1）B．（4，2）C．（1，2）D．（4，﹣2）考点：映射．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：直接由，列式求解x，y的值即可得到答案．解答：解：由，解得x=2，y=1．∴象（3，1）的原象是（2，1）．故选：A．点评：本题考查了映射的概念，训练了二元一次方程组的解法，是基础的计算题．4．（3分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=|x|，B．，C．，g（x）=x+1 D．，考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：函数的性质及应用．分析：分别判断两个函数定义域和对应法则是否一致即可．解答：解：A．函数g（x）==|x|，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数．B．函数f（x）==|x|，g（x）=x，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数．C．函数f（x）=x+1的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．D．由，解得x≥1，即函数f（x）的定义域为{x|x≥1}，由x2﹣1≥0，解得x≥1或x≤﹣1，即g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选：A．点评：本题主要考查判断两个函数是否为相等函数，判断的标准是判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同．5．（3分）幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x的值是（）A．B．﹣C．3D．﹣3考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：现根据幂函数的图象过定点，代入后求出幂函数解析式，然后在解析式中取y=27求x的值．解答：解：设幂函数为y=xα，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有=（﹣2）α，解得：α=﹣3所以幂函数解析式为y=x﹣3，由f（x）=27，得：x﹣3=27，所以x=．故选A．点评：本题考查了密函数的概念、解析式，解答此题的关键是掌握幂函数的表达式，是基础题．6．（3分）已知函数f（+1）=x+1，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2B．f（x）=x2+1（x≥1）C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：通过换元：令，将已知条件中的x都换为t，得到关于t的函数解析式，再将t换为x即可．解答：解：令则x=（t﹣1）2（t≥1）∴f（t）=（t﹣1）2+1=t2﹣2t+2∴f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）故选C点评：已知f（ax+b）的解析式来求f（x）的解析式，一般通过换元的方法或配凑的方法．7．（3分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．t=15考点：指数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式．专题：计算题．分析：直接利用指数函数的单调性判断a、b的大小，通过幂函数的单调性判断b、c的大小即可．解答：解：因为y=是减函数，所以，幂函数y=是增函数，所以，∴a＜b＜c．故选：C．点评：本题考查指数函数的单调性幂函数的单调性的应用，考查的比较一般利用函数的单调性．8．（3分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性求出f（﹣2）=0，xf（x）＜0分成两类，分别利用函数的单调性进行求解．解答：解：∵f（x）为奇函数，且满足f（2）=0，且在（0，+∞）上是增函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（﹣∞，0）内是增函数∵xf（x）＜0，∴或根据在（﹣∞，0）内是增函数，在（0，+∞）内是增函数解得：x∈（0，2）∪（﹣2，0）．故选：D．点评：本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．9．（3分）函数f（x）=3•4x﹣2x在x∈B．C．点评：本题是一元二次方程的根为依托，求二次函数的最小值问题，必须注意到方程的根与系数的关系．另外，本题容易发生的错误是，没有注意到方程有根的条件：△≥0，导致错解．12．（3分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：作出在区间（﹣2，6]内函数f（x）的图象，将方程的根的个数化为函数图象交点的个数．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∵对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），∴f（x）是周期函数，且周期为4；∵当x∈时，f（x）=（）x﹣1，∴其在区间（﹣2，6]内的图象如右图，∴在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根可转化为，函数f（x）的图象与y=log a（x+2）的图象有且只有三个不同的交点，则log a（2+2）＜3，且log a（6+2）＞3解得，a∈（，2）．故选D．点评：本题通过分析可得函数f（x）的性质，并由这些性质根据图象变换作出其图象，将方程问题化为图象交点问题，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.13．（4分）函数f（x）=log2（x2﹣5x+4）的单调递减区间是（﹣∞，1）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=x2﹣5x+4＞0，求得函数的定义域，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得t在定义域内的减区间．解答：解：令t=x2﹣5x+4＞0，求得x|x＜1，或x＞4，故函数的定义域为{x|x＜1，或x＞4}，且f（x）=log2t，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得t=x2﹣5x+4在定义域{x|x＜1，或x＞4}内的减区间为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．（4分）函数y=的值域是{y|y≠0}．考点：函数的值域．专题：计算题．分析：由于y===，结合反比例函数的值域及函数图象的平移可求解答：解：∵y===又∵的图象向左平移可得y=的图象，且反比例函数y=≠0∴y===≠0故答案为{y|y≠0}点评：本题主要考查了反比例函数的值域的求解及函数图象的平移，属于基础试题15．（4分）已知函数为定义在区间上的奇函数，则a+b=2．考点：指数函数综合题；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数定义域的特点解出a，然后奇函数的定义建立方程求解b，即可得到a+b 的值．解答：解：∵f（x）是定义在上奇函数，∴定义域关于原点对称，即﹣2a+3a﹣1=0，∴a=1，∵函数为奇函数，∴f（﹣x）==﹣，即b•2x﹣1=﹣b+2x，∴b=1．即a+b=2，故答案为：2．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用和判断，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．16．（4分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数，对于下列命题：①函数f（x）满足f（x+4）=f（x）；②函数f（x）图象关于点（1，0）对称；③函数f（x）的图象关于直线x=2对称；④函数f（x）的最大值为f（2）；⑤f=0．其中正确的序号为①②③⑤．考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：①利用函数的定义判断．②利用点对称的性质判断．③利用轴对称去判断．④利用函数的周期性和对称性判断．⑤利用周期性和对称性将f进行转换求值．解答：解：①对因为f（x+2）+f（x）=0得f（x+2）=﹣f（x）即f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=﹣=f（x）②对函数f（x+1）为奇函数，即函数f（x）向左平移一个单位以后关于（0，0）对称，∴平移之前的图象应该关于（1，0）对称，故②正确；③对由f（x+2）=﹣f（x）得f（x+1+2）=﹣f（x+1）又由f（﹣x+1）=﹣f（x+1）知f（x+1+2）=f（﹣x+1）即f（x+3）=f（﹣x+1）故函数f（x）有对称轴x=2即f（x）的图象关于直线x=2对称④不对对于f（x+2）+f（x）=0，因为是奇函数，所以f（0）=0，也就是f（2）=﹣f（0）=0，因为函数的单调性没有给出，所以无法确定函数的最大值，即④错误．⑤对由①知f=f（502×4+1）=f（1）又由②知F（x）=f（x+1）令x=0，则F（0）=f（0+1）=0即f（1）=0即f=0点评：本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，还考查了函数的对称及与图象的平移变换，综合性较强，属于中档题．三、解答题：（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（6分）设集合A={x|a﹣1≤x≤a+1}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．（1）若a=5，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．考点：并集及其运算；交集及其运算．专题：集合．分析：（1）利用交集的定义求解．（2）利用并集的性质求解．解答：解：（1）∵a=5，A={x|a﹣1≤x≤a+1}={x|4≤x≤6}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．∴A∩B={x|4≤x≤5}．（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，∴，解得0≤a≤4．点评：本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意集合的性质的合理运用．18．（10分）（1）若a＞0，b＞0，化简：﹣（4a﹣1）（2）若log23=a，log52=b，试用a，b表示log245．考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用分数指数幂的运算法则求解．（2）利用对数的性质和运算法则化简求值．解答：解：（1）∵a＞0，b＞0，∴=．（2）∵log245=log2（5×9）=log25+log29=log25+2log23，而log52=b，则，∴．点评：本题考查对数式和指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意分类指数幂和对数的运算法则的合理运用．19．（10分）已知f（x）=log2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可得到结论．（2）根据函数单调性的定义即可得到结论．解答：解：（1）若有意义，则，解得定义域为（﹣1，1），关于原点对称．又因为，所以f（x）为奇函数．（2）函数f（x）在定义域（﹣1，1）上单调递减．证明：任取x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==，因为x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，所以，即f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x）在区间（﹣1，1）上为减函数．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明，利用定义法是解决本题的关键．20．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈，求函数g（x）的最小值h（a）．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用函数的奇偶性，求出分段函数的解析式．（2）利用分类讨论思想，进一步求出函数的最值解答：解：（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．当x＞0时，f（x）=x2﹣2x所以：（2）①当a+1≤1时，即a≤0，g（x）min=g（1）=1﹣2a②当1＜a+1＜2时，即0＜a＜1③当a+1≥2时，即a≥1g（x）min=g（2）=2﹣2a综上：．故答案为：（1）（2）点评：本题考查的知识要点：函数的奇偶性，利用奇偶性求函数的解析式，利用分类讨论思想求函数的最值21．（12分）已知函数f（x）是定义在上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈，x+y≠0有（x+y）•＞0．（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；（2）解不等式；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈，a∈恒成立．求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；综合题．分析：（1）设x1，x2∈，且x1＜x2，则x1﹣x2＜0，利用x，y∈，x+y≠0有（x+y）•＞0，可得f（x1）+f（﹣x2）＜0，根据函数f（x）是定义在上的奇函数，即可得函数f（x）在上单调增；（2）由（1）知，，解之即可；（3）先确定函数f（x）在上的最大值为f（1）=1，将f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈，a∈恒成立转化为：0≤m2﹣2am对所有a∈恒成立，从而可求实数m的取值范围．解答：解：（1）函数f（x）在上单调增，证明如下由题意，设x1，x2∈，且x1＜x2则x1﹣x2＜0∵x，y∈，x+y≠0有（x+y）•＞0．令x=x1，y=﹣x2，∴f（x1）+f（﹣x2）＜0∵函数f（x）是定义在上的奇函数∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴函数f（x）在上单调增；（2）由（1）知，，解得：（3）由于函数f（x）在上单调增，∴函数f（x）在上的最大值为f（1）=1∴f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈，a∈恒成立可转化为：0≤m2﹣2am对所有a∈恒成立∴，解得m≥2或m≤﹣2或m=0点评：本题以抽象函数的性质为载体，考查函数的单调性，考查单调性与奇偶性的结合，同时考查了恒成立问题，解题的关键是：f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈，a∈恒成立转化为：0≤m2﹣2am对所有a∈恒成立。
甘肃兰州一中2014—2015学年度高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
XXXX 一中2021—2021 学年度上学期期中考试高一数学试题一、选择题：〔本大题共12 小题，每题 3 分，共 36 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 ，请将正确选项填在试卷 的答题卡中 .〕1．集合A{1,16,4 x} ，B {1, x 2} ，假设BA ，那么x〔 C〕A. 0B. 4C. 0或4D.0或42x3〔 B〕2．函数y的定义域是x 2A ．3,B ．3,22,22C ．3,22,D ．(, 2)∪(2,)23．点(x, y)在映射f ：AB 作用下的象是 ( xy, x y) ，那么点 (3,1) 在 f 的作用下的原象是〔 A〕A ．2,1B ．4,2C ．1,2D ．4,24．以下四组函数中，表示相等函数的一组是〔 A 〕A. f (x)x , g( x)x2C. f (x)x 2 1 x 1x, g( x)15 幂函数yf ( x) 的图像经过点 ( 2,．A.31B.276．函数f ( x 1) x 1 ，那么函数B.f ( x)x 2 , g( x) ( x )2D . f ( x)x1x 1 , g (x )2x 11) ，那么满足 f ( x)27 的x 的值为〔D 〕81 C.27D.3f(x)的解析式为〔C 〕A ．f(x)= x2B ．f(x)= x 2＋1(x ≥1)C ．f(x)= x 2－2x ＋ 2 (x ≥1)D ．f(x)= x 2－2x(x ≥1)7．设a ( 2 ) 53, b( 2 ) 52, c ( 3 )52，那么 a, b, c 的大小关系是 〔 C〕555A. a b cB. c a bC. a b cD. b c a8．假设函数f ( x)为定义在R 上的奇函数，且在(0,) 内是增函数，又 f (2) 0 ，那么不等式xf ( x)0 的解集为〔 B 〕A ． 2,02,B ． 2,00,2C ．, 22,D ．, 20,29．函数f (x)3 4 x 2x 在 x0，上的最小值是〔 C〕1B . 0C. 2D. 10A .1221 x , x 1，那么满足 f ( x)2的取值X 围是〔 D〕10．设函数f ( x) log 2 x, x11A. [ 1,2]B. [ 0,2]C. [1, )D. [0, )11．设x, y 是关于m 的方程m 2 2am a 60 的两个实根,那么(x -1)2+( y -1)2的最小值是〔 B〕A ．． 121B ．8C ．18D ．34412．设 f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的 x ∈R ，都有 f(x －2)＝f(x ＋2)，且当xx2,0 时，1 1 ，假设在区间 (－ 2,6]内关于 x 的方程 f(x)－log a＋ 2) ＝0(a>1)f ( x)2(x 恰有 3a 的取值X 围是()个不同的实数根，那么DA ．(1,2)B ．2,C ．1,34D ．34,2二、填空题：〔本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16分〕 .13．函数f ( x)log 2 (x 2 5x 4) 的单调递减区间是 .( ,1)114．函数y ＝2x ＋1的值域是___________【答案】(0， 1)b 2x为定义在区间2a,3a 1 上的奇函数，那么 ab ________15．函数f (x)2 x 1【答案】 216．定义在R 上的函数f ( x)满足: f ( x 2)f (x) 0,且函数 f ( x 1) 为奇函数， 对于以下命题：①函数 f (x) 满足 f ( x 4) f ( x) ； ②函数 f ( x) 图象关于点〔 1， 0〕对称；③函数 f (x) 的图象关于直线 x 2 对称；④函数f (x) 的最大值为f (2) ；⑤ f ( 2021)0 ．其中正确的序号为________．【答案】①②③⑤三、解答题：〔本大题共 5 小题，共 48 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．〕 17. 〔本小题总分值 6 分〕设集合Ax | a1xa 1，集合 B x | 1 x5， 〔1〕假设a5 ，求 AB； 〔 2〕假设 ABB，XX 数a 的取值X 围.【答案】（ 1〕A B 4,5(2) 0 a 418.〔本大题共 2 个小题，每题4 分，共 10 分〕2 11 1〔 1〕假设a0,b 0 ，化简：(2a 3b 2) ( 6a 2 b 3 )15(4 a 1)3a 6 b 6〔2〕假设 log 2 3 a ， log 5 2 b ，试用a, b 表示 log 2 45【答案】2 11 12111 〔 1〕 (2 a 3b 2) ( 6a 2 b 3)(4 a 1)2 ( 6) a3 2b2 31 531 5(4 a 1)3a 6b6a 6b67 5a 6b 6(4 a 1) 4a(4 a 1) 141 5a 6b 6〔 2〕∵log 245log 2 (5 9)log 2 5 log 2 9log 2 5 2log 2 3 而 log 5 2 1b ，那么ogl 52，1 2ab 1b∴ log 2 45 2abb.19. 〔本小题总分值10 分〕f ( x)log 21x .1 x〔 1〕判断f x 的奇偶性；〔 2〕判断f x 在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．【答案】：解：〔 1〕假设fxlog 2 1x 有意义，那么1x 0，解得定义域为〔 -1,1〕，关于原点对称 .1 x1 x又因为1 x 1 x所以 f x 为奇函数.f x log2 1xlog2 1x f x〔2〕函数f x 在定义域〔-1,1〕上单调递减.证明：任取 x 1 , x 2 1,1 且 x 1 x 2，f x 1 f x 2 log 2 1 x 1 log 21x 21 x 11 x2 log 2 1 x 11 x2 1 x 11 x2 log 21 x 21 x 11 x 1 1 x 2因为 x 1, x 21,1 且 x 1x 2，所以1 x 21,1 x11, 1 x 2 1 x 111 x 11 x 21 x 1 1 x 2即 f x 1 f x 2 0所以 f x在区间〔 -1,1〕上为减函数 .20. 〔本小题总分值 10 分〕函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，且当 x 0 时，f ( x) x 22x ．〔 1〕写出函数 f ( x), x R 的解析式；〔 2〕假设函数g( x)f ( x) 2ax 2, x1,2 ，求函数 g (x) 的最小值 h(a) .【答案】〔 1〕f (x)x 2 2x, x 0 x22x, x〔 2〕①当a 1 1 时，即 a 0g ( x)m i n g(1)1 a2②当 1 a 12时，即 0 a 1g (x)min g (a 1)a 2 2a1③当 a 1 2 时，即 a1g (x)min g(2)2 2a1 2a, a 0综上： h(a)a 2 2a 1,0a 124a, a 121. 〔本小题总分值 12 分〕已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在1,1 上 的 奇 函 数,且f (1)1 ,假设x, y1,1 ,xy 0有( x y) f (x) f ( y) 0 .(1)判断f(x) 的单调性,并加以证明;(2)解不等式f ( x1) f (12x) ;2(3)假设f(x)m22am1对所有x[ 1,1], a1,1 恒成立,XX数 m 的取值X围.(1)证 :任取x1, x2[1,1] ,且 x1x2,那么x2x10由题意 (x2x1 )[ f (x2 ) f (x1 )]0因为 f ( x) 为奇函数,所以(x2x1 )[ f( x2 ) f (x1 )]0所以 f ( x2 ) f (x1 )0 ,即 f (x2 ) f ( x1 )所以 f ( x) 在 [1,1]上单增⋯⋯⋯⋯4 分1x 11 2(2)由题意 ,112x1x 112x 2所以,0x 1⋯⋯⋯⋯8 分6(3)由f(x) 在 [1,1] 上单增,f (x)max f (1)1由题意 ,1m 22am1,即 m 22am0 对任意a1,1 恒成立令 g( a)2ma m 2, a1,1g ( 1)2m m20g (1)2m m20所以 m0或 m2或 m2综上所述 , m{ m | m0 或 m 2 或 m2}⋯⋯⋯⋯ 12 分所有：网()。
甘肃省兰州第一中学高三数学上学期期中试题
兰州一中2014-2015-1学期高三期中考试数学试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．函数y = ( )A. [1,2]B. [1,2)C. 1(,1]2 D. 1[,1]22. 已知向量(1,2)a =-r ,(3,)b m =r ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +r r r”的( )A ．充要条件 B.充分不必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3. 若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，则实数m 的取值范围是 ( )A ． (,0]-∞ B. [0,)+∞ C ． (,0)-∞ D. (0,)+∞ 4．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则=+753a a ( )A ．10 B. 18 C ． 20 D ．28 5．给出如下四个命题：①若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题；②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b-≤”；③“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+≤”；④“0x >”是 “12x x +≥”的充要条件．其中不正确的命题是 ( )A ．①② B.②③ C ．①③ D.③④6．已知函数2()cos f x x x=-，则(0.6),(0),(0.5)f f f -的大小关系是 ( )A ．(0)(0.6)(0.5)f f f <<- B. (0)(0.5)(0.6)f f f <-< C ．(0.6)(0.5)(0)f f f <-<D. (0.5)(0)(0.6)f f f -<<7.若G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且303aGA bGB cGC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则角A = ( ) A ．90oB.60oC ．45oD.30o8．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，则函数3()4y f x π=-是( )A ．奇函数且图象关于点(,0)π对称B. 偶函数且图象关于点3(,0)2π对称C ．奇函数且图象关于点3(,0)2π对称 D. 偶函数且图象关于点(,0)-π对称9．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示,若2||AB BC AB =⋅,则ω等于( )A ．12π B.4πC ．3π D.6π10．如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB u u u r 在A 点处与圆O 相切， 点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP u u u r ×AB u u u r的取值范围是( )A ．(5,5)- B. []5,5- C ．55(,)22- D. []0,5 11．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是 ( )A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③12．(理)已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则++a b c 的取值范围是 ( )A. (1,2014)B. [1,2014]C. (2,2015)D. [2,2015]（文）已知函数m x x e x f x -+-=)1()(2，若,,a b c R ∃∈，且a b c <<，使得 0)()()(===c f b f a f .则实数m 的取值范围是 ( )A ．)1,(-∞ B. ()31,e C ． )3,1(e D.)()1,(3∞+-∞e Y 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13.（理）11(2)1x dx x ++ò=_______________________.（文）已知直线21=+y x 与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)，则实数b 的值为______.14. 若将函数sin 2y x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为_________.15．已知tan 4α=，则21cos 24sin sin 2++ααα的值为 .16．以下命题： ①若⋅=⋅r r r ra b a b,则//r ra b ；②向量(1,1)a =-r 在(3,4)b =r方向上的投影为15；③若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则u u u r BC ×20=u u u rCA ；④若非零向量a r ,b r 满足+=r r r a b b ,则22>+r r rb a b.所有真命题的序号是______________.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2,60c C ︒==.(Ⅰ)求sin sin a bA B ++的值；（Ⅱ）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABCS ∆.18. （本小题满分12分）已知集合}2|1||{<-=x x A ，()()()4{|0}12x x B x x x -=≤-- ，}012|{2<-+=mx x x C ,m R ∈.（Ⅰ）求B A B A Y I ,；（Ⅱ）若)(B A C Y ⊆，求m 的取值范围． 19. （本小题满分12分）已知函数1cos 4cos sin 34)(2+-=x x x x f ． （Ⅰ）求函数()f x 在]2,0[π上的值域； （Ⅱ）若对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，求0sin(2)3x π-． 20．（本小题满分12分） 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，且4228S S =+．（Ⅰ）求公差d 的值；（Ⅱ）若11a =，n T 是数列11{}n n a a +的前n 项和，不等式21(5)18n T m m ≥-对所有的*n N ∈恒成立,求正整数m 的最大值.21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =+，函数()xg x e =，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <m 的取值范围；（Ⅲ）当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-．四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.） 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 已知,,,A B C D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，//AC DE ，AC 与BD 相交于H 点.(Ⅰ)求证：BD 平分ABC ∠.(Ⅱ)若4,6,8,AB AD BD ===求AH 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， 2C ：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. (Ⅰ)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (Ⅱ)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2,=+⎧⎨=-+⎩x t C y t （t 为参数）距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,,,+∈a b c R 且1++=a b c .证明：（Ⅰ）22213++≥a b c ；（Ⅱ）2221++≥a b c b c a .兰州一中2014-2015-1学期高三期中考试数学 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）题号 123456789101112答案CAACCBDADBDC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13. （理）2ln 1+（文）3 14. 512π 15．334 16． ①②④三、解答题（17-21每题12分,共60分.22-24为选考题，10分.）17．解：(Ⅰ)由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60a b c A B C =====︒，所以sin sin a b A B+==+. …………………6分 （Ⅱ）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-， 又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去），所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯= …………………12分18．解：（Ⅰ） A (1,3)=-Q ，B [0,1)(2,4]=?，A B [0,1)(2,3),∴=⋃I A B (1,4]=-U . …………………6分（Ⅱ）2C (1,4]2mx 10?\+-=Q x 方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4， 令()221f x x mx =+-，则[]f (1)1m 031f (4)4m 310,m 1.4m 144ìïïï-=-?ïïïï=+?＃íïïïïï-<-<ïïïî解之得 …………………12分19．解：(Ⅰ)1)2cos 1(22sin 321cos 4cos sin 34)(2++-=+-=x x x x x x f1)62sin(4--=πx ， …………………3分∵20π≤≤x ，∴65626πππ≤-≤-x ，∴1)62sin(21≤-≤-πx ，∴3)(3≤≤-x f ，即函数)(x f 在]2,0[π上的值域是[－3，3] ． …………6分 （Ⅱ）∵对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，∴)(0x f 是)(x f 的最大值，∴由Zk k x ∈+=-,22620πππ，解得Z k k x ∈+=,32220ππ∴233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x ．……12分 20．解：（Ⅰ）∵4228S S =+，即11462(2)8+=++a d a d ，化简得：48=d ，解得2=d ． ………………4分 （Ⅱ）由11,2,21===-得n a d a n ，∴ 11n n a a +=1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+． …………………6分 ∴=n T 12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=11111111(1)2335572121-+-+-+⋅⋅⋅+--+n n =11(1)221n -+≥13， ……………………8分 又∵ 不等式≥n T 21(5)18m m -对所有的*n N ∈恒成立∴13≥21(5)18m m -，化简得：2560--≤m m ，解得：16-≤≤m ．∴正整数m 的最大值为6．……12分21．解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x '=+(0)x >．①当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数.②当0a <时，若1(0,)x a ∈-，()0f x '>,()f x ∴在1(0,)x a ∈-上为增函数； 若1(,)x a ∈-+∞，()0f x '<,()f x ∴在1(,)x a ∈-+∞上为减函数.综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数.当0a <时，()f x 在1(0,)-a 上为增函数，在1(,)-+∞a 上为减函数 . ………4分(Ⅱ) Q (0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <成立，∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e<-+成立，令()3h x x e =-+，则()1x h x e '=-，当(0,)x ∈+∞时，Q 1xe >，+≥=，1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴< ………8分(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2xx e x ϕ=--， ∴1()x x e x ϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数.设()0x ϕ'=的根为x t =，则1t e t =，即t t e -=.Q 当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+- Q (1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=-<，1(,1)2t ∴∈由于()2t t e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022tx t e t e ϕϕ∴==+->+->+-=()()2f x g x ∴<-. …………………12分22．证：(Ⅰ)ACD CDE AC DE ∠=∠∴,//Θ又DE Θ切圆O 于点D ，CBD CDE ∠=∠∴CBD ACD ∠=∠∴，而ABD ACD ∠=∠（同弧） ABD CBD ∠=∠∴，所以，BD 平分ABC Ð. ………5分(Ⅱ)由（1）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠Θ，CAD ABD ∠=∠∴ 又ADH ∠Θ为公共角，所以DBA ∆与DAH ∆相似.BD ADAB AH =∴，因为AB 4,AD 6,BD 8,===所以AH 3\= ………10分23.解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=，1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. …5分（Ⅱ）当2t π=时，(4,4)-P .设(8cos ,3sin )Q θθ，则3(24cos ,2sin )2M θθ-++，3Q C 为直线270x y --=，∴M 到3C 的距离4cos 3sin 13|d θθ=--43cos ,sin 55∴==-θθ时，d. .… ………10分24．解：（Ⅰ）222,+≥Q a b ab 222,+≥b c bc 222,+≥c a ac 222222222,∴++≥++a b c ab bc ac 222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac2()1=++=a b c22213∴++≥a b c . ………5分（Ⅱ）22+≥Q a b a b ，22+≥b c b c ，22+≥c a c a ，2222()∴+++++≥++a b c a b c a b c b c a ，222∴++≥++a b c a b c b c a ,2221∴++≥a b c b c a . ………10分。
甘肃省兰州一中2014届高三上学期期中考试数学(理)试题
数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合22{|20,},{|20,}M x x x x R N x x x x R =+=∈=-=∈，则 MN = ( )A . {0}B . {0,2}C . {2,0}-D . {2,0,2}-2. 若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为 （ ） A ．45-B ．45C ．4-D ．4 3. 若3sin 5α=，α是第二象限的角，则tan 2α的值为 （ ）A .247 B . 247- C . 724 D . 724- 4. 已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ==-=,若2a b -与c 共线，则k 的值为 ( ) A . 1B . 1-C . 2D . 2-5. 由曲线21y x =+，直线3y x =-+及坐标轴所围成图形的面积为 ( ) A . 73B .83C .103D . 36.“0a ≤”是“函数()(1)f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则()y f x = （ ） A ．在区间1(,1)e ， (1,)e 内均有零点 B ．在区间1(,1)e ， (1,)e 内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点D ．在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点8. 设123log 2,ln 2,5a b c -===则 ( )A .a b c <<B . b c a <<C . c a b <<D . c b a << 9. 函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ的值为 ( )A .56π B . 56π- C . 6π D . 6π- 10. 设,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅=，则()()a c b c -⋅-的最小值为 ( )A 1-B . 1-C .D .11. 已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是 （ ） A . ()y f x =的图象关于点 (,0)π中心对称 B . ()y f x =的图象关于直线2x π=对称C . ()f xD . ()f x 既是奇函数，又是周期函数12. 已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点12,x x 12()x x <，则 （ ）A . 121()0,()2f x f x >>-B . 121()0,()2f x f x <<- C . 121()0,()2f x f x ><- D . 121()0,()2f x f x <>-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(2,1),10,52a a b a b =⋅=+=，则b =_ _. 14. 若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减， 则ω= .15. 已知函数lg 010()16102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是 .16. 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点. 若点,P A 之间的最短距离为，则实数a 值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)设函数1()log (1)1a xf x a x+=>-.（Ⅰ）判断()f x 的奇偶性；（Ⅱ）当[0,1)x ∈时，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围． 18.（本小题满分12分）设向量(3sin ,sin ),(cos ,sin ).[0,]2a x xb x x x π==∈（Ⅰ）若,a b =求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的值域.19.（本小题满分12分）已知函数2()()4xf x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为44y x =+. （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）求()f x 的极大值.20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（Ⅰ）求sin sin CA的值；（Ⅱ）若1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积S .21．（本小题满分12分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m .在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再B 从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量， 1312cos =A ，53cos =C . （Ⅰ）求索道AB 的长；（Ⅱ）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （Ⅲ）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？22．（本小题满分12分）已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极值，对(0,)x ∀∈+∞，不等式()2f x bx ≥- 恒成立. 求实数b 的取值范围；（Ⅲ）当1x y e >>-时，证明：ln(1)ln(1).xye y e x +>+CBA兰州一中2013-2014-1学期期中考试 高三数学试题参考答案（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
甘肃省兰州市第一中学高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
兰州一中2019-2020-1学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2A =，则满足{}1,2,3A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 4个D. 8个【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．{}{}A 12A B 123=⋃=，，，，，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个． 考点：并集及其运算．2.对于映射{}(|)f A B A B x y x y →∈R ：，＝＝，，，且()()f x y x y x y →-+：，，，则与B 中的元素()31-，对应的A 中的元素为（ ） A. ()1,2﹣ B. ()1,3C. ()4,2﹣﹣ D. ()3,1﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知中映射()():,f x y x y x y →-+，，得到3,1x y x y -=-+=，即可求解． 【详解】由题意，:f A B →，且映射()():,f x y x y x y →-+，，令31x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得1,2x y =-=，所以与B 中的元素()3,1-对应的A 中的元素为()1,2-． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了映射的定义及应用，其中解答中熟记映射的概念与对应关系，列出方程组是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题． 3. 下列函数中表示同一函数的是（ ） A. ()44y x y x ==与B. 233x y x y x==与 C. 21y x x y x x =+=⋅+与D. 21y y x x==与 【答案】D 【解析】 试题分析：的定义域为R ，的定义域是，故A 不正确；的定义是R ，的定义域是，故B 不正确；的定义域是，解得，的定义域是，解得，所以两个函数的定义域不同，故C 不正确；和的定义域都是，并且化简后就是，故D 正确．考点：函数的定义【方法点睛】考察了函数的表示以及函数的三个要素，属于基础题型，函数的三个要素包含定义域，对应关系和值域，只有两个函数的定义域相同，对应法则也相同，才是同一函数，当两个函数的定义域相同时，再看两个函数能否变形为同一个函数解析式． 4.函数()()0231log 32y x x =-+- （ ）A. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,13⎛⎤⎥⎝⎦C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：要使函数()1y x =-有意义，需满足223310{log 1log (32)0x x -≠=-≥，即1{321320x x x ≠-≤->，解得213x <<，所以函数()01y x =-2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，应选D ．考点：求函数的定义域．【方法点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、对数式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性，特别是解对数不等式时，注意真数一定大于0，这时易错点，解决此类问题应从以下几个方面入手1、真数大于0；2、分母不为0；3、被开方数有意义；4、()01x -有意义．5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +＝，若()32f -=，则()7f 等于（ ） A. 2019 B. 2-C. 2020D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据()()4f x f x +=，求得函数的周期，再利用函数的周期性和奇偶性，即可求解． 【详解】由题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，则(7)(421)(1)f f f =⨯-=-，又由函数()f x 上在R 上的奇函数，且()32f -=，所以(1)(1)(413)(3)2f f f f -=-=-⨯-=--=-，即(7)2f =-， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的周期性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性和周期性，合理利用奇偶性和周期性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 6.已知函数22xxy b a +=+（,a b 是常数，且01a <<）在区间3[,0]2-上有最大值3，最小值52，则ab 的值是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】通过换元令2232(1)1,[,0]2u x x x x =+=+-∈-，然后由u y b a =+单调递减，结合u 的范围可列方程解得,a b .【详解】令2232(1)1,[,0]2u x x x x =+=+-∈-，最大值为0，最小值为1-. 则[],1,0uy b a u =+∈-当01a <<时，uy b a =+单调递减.所以10352b a b a -⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，有1ab =， 故选A.【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的最值问题，通常的解题的方法为换元，解题时注意新变元的范围，属于常考题型.7.若32232(),,log 3xa b x c x ===，当x ＞1时，,,a b c 的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D.a cb <<【答案】B 【解析】解：因为3223 2(),,log3xa b x c x===，那么当x>1时，则利用指数函数和对数函数的值域可知，0<a<1,b>1,c<0,因此选B8.已知函数()()1222,1log1,1x xf xx x-⎧-≤⎪⎨-+>⎪⎩＝,且()3f a＝-，则()6f a-＝（）A.74- B.54- C.34- D.14-【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，求得7a=，进而可求解(6)f a-的值，得到答案．【详解】由题意，函数()()1222,1log1,1x xf xx x-⎧-≤⎪⎨-+>⎪⎩＝，当1a≤时，令1223a--=-，即121a-=-，此时不成立；当1a>时，令()2log13a+=--，解得7a=，所以117(6)(1)224f a f---=-=-=-．故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答涉及到对数的运算性质和指数幂的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．9.若函数()()logaf x x b=+的大致图象如图，其中,a b为常数，则函数()xg x a b=+的大致图像是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()xg x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.10.若函数()()0,1xf x a a a ≠＝＞且在[]1,2-上的最大值为4，最小值m ，且函数()(14g x m x -＝[)0+∞，上是增函数，则a ＝（ ）A.12 B. 12-C.14D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用()f x 在[]1,2﹣上的最大值为4，先确定a 的值，再利用函数()(14g x m x -＝[)0+∞，上是增函数，即可求得实数a 的值，得到答案． 【详解】由题意，当1a >时，函数()xf x a =在[1,2]-为单调递增函数，所以()24f =，即24a =，解得2a =，此时最小值11(1)22m f -=-==； 当01a <<时，函数()xf x a =在[1,2]-为单调递减函数，所以()14f -=，即14a -=，解得14a =，此时最小值211(2)()416m f ===，又由函数()(14g x m -＝[)0+∞，上是增函数，则140m ->，解答14m <， 综上可得14a =，116m =．故选：C.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和幂函数的性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及计算能力，属于基础题．11.函数()f x =()()221(01xx ax x a a x ⎧+-≤⎪>⎨->⎪⎩且1a ≠),在()0,∞+上是增函数,则实数a 的取值范围是A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. ()0,1C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】因为()f x 在()0,∞+上是增函数,即当01x <≤时,()f x =22x ax +-单增,即02a-<,解得0a >;当1x >时,()xf x a =-单增,即01,a <<且212a a +-≤-,解得12a ≤;所以102a <≤,即实数a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.选C. 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12.若对于定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()λλ∈R 使得()()0f x f x λλ++＝对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为（ ）①()0f x ＝是常数函数中唯一的“λ～特征函数”； ②()21f x x +＝不是“λ～特征函数”； ③“13λ～特征函数”至少有一个零点；④()xf x e ＝是一个“λ～特征函数”．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用新定义“λ～特征函数”，对选项逐个进行判定，即可求解，得到答案．【详解】对于①中，设()f x C =，当1λ=-时，函数()f x C =是一个“λ～特征函数”， 所以()0f x =不是唯一的一个常值的“λ～特征函数”，所以①不正确； 对于②中，函数()21f x x +＝，则()()2()1(21)0f x f x x x λλλλ++=++++=，即2(221)x λλ=-+-， 当1λ=-时，()()20f x f x λλ++=-≠，当1λ≠-时，方程2(221)x λλ=-+-由唯一的解，所以不存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立， 所以函数()21f x x +＝不是“λ～特征函数”，所以②正确．对于③中，令0x =，可得11()(0)033f f +=，所以11()(0)33f f =-， 若(0)0f =，显然()0f x =有实数根，若(0)0f ≠，211()(0)[(0)]033f f f ⋅=-<，又因为()f x 的函数图象是连续的，所以()f x 在1(0,)3上必由实数根，因此任意的“λ～特征函数”必有实根，即任意“13λ～特征函数”至少有一个零点，所以③是正确；对于④中，假设()xf x e ＝是一个“λ～特征函数”，则0x x e e λλ++=对任意的实数x 成立，则有0e λλ+=，而此式有解，所以()xf x e ＝是“λ～特征函数”，所以④正确的，所以正确命题共有②③④． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的基本概念及其应用，其中解答中熟记函数的零点，以及正确理解“λ～特征函数”，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二．填空题（共3小题）13.如果11x f x x⎛⎫⎪-⎝⎭＝，则当0x ≠且1x ≠时，()f x ＝_____．【答案】1()1f x x =- 【解析】 【分析】 根据函数()1xf x x=-，利用换元法，即可求得函数的解析式，得到答案． 【详解】由题意，令1t x =，则1x t=且0t ≠， 因为()1x f x x =-，所以11()111t f t t t==--，其中0t ≠且1t ≠，所以1()1f x x =-． 故答案为：1()1f x x =-．【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中熟练应用换元法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.若函数()23xf x x --+=的零点为0x ，满足()01x k k ∈+，且k ∈Z ，则k ＝_____．【答案】3【解析】 【分析】根据题意，得到函数()f x 为减函数，进而求得()()3,4f f 的值，利用零点的存在定理，即可求解．【详解】由题意，函数()23xf x x --+=，分析可得函数()f x 为减函数，又由()31323308f -=+=>-，()4154243016f --=+=-<， 则()()340f f ⋅<，根据零点的存在定理，可得函数()f x 的零点在区间()3,4上， 所以3k =． 故答案为：3．【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记函数零点的概念，以及熟练应用零点的存在定理进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15.设函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,2()(1)g x x f x =-，则函数()g x 的递减区间是________．【答案】[)0,1 【解析】()22,10,1,1x x g x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩,如图所示，其递减区间是[)0,1．16.下列几个命题： ①函数2211y x x =--偶函数，但不是奇函数；②方程()230x a x a +-+＝的有一个正实根，一个负实根，0a ＜；③()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＜时，()221f x x x =+-，则0x ≥ 时，()221f x x x ++=-④函数3222xx y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的序号是_____（把所有正确命题的序号都写上）． 【答案】②④ 【解析】 【分析】①中，函数()f x 既是奇函数又是偶函数，即可判定；②中，方程有一个正实根，一个负实根，得到0a ∆>⎧⎨<⎩，即可判定；③中，()f x 是定义在R 上的奇函数，则必有()00f =，即可判定；④中，令2(0)xt t =>，原函数可化为35122t y t t -==-+++，即可判定，得到答案．【详解】由题意，对于①中，函数()f x =的定义域为{}1,1-，即()0f x =，所以函数()f x 既是奇函数又是偶函数，所以不正确；对于②中，方程()230x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则满足2(3)40a a ∆=-->且120x x a =<，解得0a <，所以是正确的；对于③中，()f x 是定义在R 上的奇函数，则必有()00f =，而当0x =时，()20200110f =⨯++=≠-，所以不正确；对于④中，令2(0)xt t =>，原函数可化为35122t y t t -==-+++， 因为22t +>，所以531122t -<-+<+，即原函数的值域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以是正确的． 综上，正确命题的序号为②④． 故答案为：②④．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用，以及一元二次方程的性质，指数函数的性质和函数的值域的求解等知识点的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．三．解答题（共6小题）17.计算下列各式的值：（1）()()2234116 4.3238⎛⎫++-- ⎪⎝⎭；（2）32221ln lg0.01log 20log 16log 5e ++-+ 【答案】（1）354-； （2）1-. 【解析】 【分析】（1）由实数指数幂的运算性质，即可求解；（2）由对数的运算性质和对数的运算公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质， 可得：()()221123402433441113516() 4.32316()1122()1128224⨯⨯++--=++-=++-=-．（2）根据对数的运算性质，可得32222211ln lg0.01log 20log 16log 32log 204log 55e ++-+=-+-+ 22213(log 20log )3log 43215=-++=-+=-+=-．【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简、求值问题，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．18.己知集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|116B x x x =-或 （1）若A 为非空集合，求实数a 的取值范围； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[]6,+∞；（2）()15,6,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）若A ≠∅，那么2135a a +≤-，求解； （2）若A B ⊆，分，或是两种情况讨论．当时，即，当时，即351{2135a a a -<-+≤-或2116{2135a a a +>+≤-，求解． 试题解析：解：（1）作出数轴可知若A ≠∅则有2135a a +≤-，解得：6a ≥可得实数a 的取值范围为[]6,+∞ （2）A B ⊆则有如下三种情况：1）A =∅，即3521a a -<+，解得：6a <；2）A ≠∅，(],1A ⊆-∞-，则有351{2135a a a -<-+≤-解得：a 无解；3）A ≠∅，(]16,A ⊆+∞，则有2116{2135a a a +>+≤-解得：152a >．综上可得A B ⊆时实数a 的取值范围为()15,6,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭考点：集合的关系运算【易错点睛】本题主要考察了两个集合的关系，属于基础题型，第一问容易出错在有等号函数没等号上面，这就要求我们做题时要细心，第二问当时，易忽略的情况，以及时，(],1A ⊆-∞-或(]16,A ⊆+∞是一种或的关系，而不是且的关系，做题时切记或是求并集，且求交集． 19.已知幂函数()()22122m f x m m x+=+-在（0，＋∞）上是增函数（1）求()f x 的解析式 （2）若(21fa fa -<-，求4a 的取值范围【答案】（1）()3f x x =；（2）(]8,16 【解析】 【分析】(1)由幂函数的性质可得，2221m m +-=，再由()f x 在()0,+∞上为增函数，则2m+1＞0，然后，根据以上条件，求解即可.(2)由()f x 为R 上的增函数，可得201021a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪-<-⎩，求出a 的范围，然后根据4a 单调递增的特性，即可求出4a 的取值范围.【详解】（1）因为()()22122m f x m m x+=+-是幂函数，所以2221m m +-=即32m =-或1m = 因为()f x 在()0,+∞上是增函数，所以2m+1＞0，即m ＞-12，则m=1 故()f x =3x .（2）因为()f x 为R 上的增函数.所以201021a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪-<-⎩， 解得322a <≤. 故4a 的取值范围为(]8,16.【点睛】本题考查幂函数的性质和单调性，注意幂函数的系数为1，难点在于利用函数的单调性转化成不等式求解，属于中等题. 20.函数f （x ）=2ax b4x 1++是定义在R 上的奇函数，且f （1）=1． （1）求a ，b 的值；（2）判断并用定义证明f （x ）在（1,2+∞）的单调性． 【答案】（1）a=5，b=0； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数，可利用f （1）=1和f （-1）=-1，解方程组可得a 、b 值，然后进行验证即可；（2）根据函数单调性定义利用作差法进行证明． 【详解】（1）根据题意，f （x ）=2ax b4x 1++是定义在R 上的奇函数，且f （1）=1，则f （-1）=-f （1）=-1，则有a b15a b 55+⎧=⎪⎪⎨-+⎪=-⎪⎩，解可得a=5，b=0；经检验，满足题意.（2）由（1）的结论，f （x ）=25x4x 1+，设12＜x 1＜x 2， f （x 1）-f （x 2）=1215x 4x 1+-2225x 4x 1+=()()()()12122212514x x x x 4x 14x 1--++， 又由12＜x 1＜x 2，则（1-4x 1x 2）＜0，（x 1-x 2）＜0， 则f （x 1）-f （x 2）＞0， 则函数f （x ）在（12，+∞）上单调递减． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题． 21.已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）3(0,1)(1,)2U ； （2）不存在. 【解析】 【分析】（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案； （2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案．【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-， 因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数， 则满足()2320g a =->，解得32a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2U ． （2）不存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1，可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题． 22.已知指数函数()y g x =满足()327g =，定义域为R 的函数()()()3n g x f x m g x -=+是奇函数.（1）求函数()(),y g x y f x ==的解析式；（2）若函数()()h x kx g x =-在()0,1上有零点，求k 的取值范围；（3）若对任意的()1,4t ∈，不等式()()230f t f t k -+->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()3xg x =，113()33xx f x +-=+；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）．【解析】试题分析：（1）根据指数函数利用待定系数法求()g x ，利用奇函数用特值法求m,n ，可得到()f x 解析式；（2）根据函数零点的存在性定理求k 的取值范围；（3）分析函数()f x 的单调性，转化为关于t 恒成立问题，利用分离参数法求k 的取值范围． 试题解析： （Ⅰ）设()xg x a=()01a a >≠且,则327a =，∴a=3, ∴()3x g x =，∴()133x x n f x m +-=+， 因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即1012n n m-=⇒=+ , ∴()1133xx f x m+-=+，又()(1)1f f -=-，11133=319m m m --∴-⇒=++；∴()11333x x f x +-=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()3xg x =，又因()()h x kx g x =-在（0，1）上有零点，从而(0)(1)0h h ⋅<，即(01)(3)0k -⋅-<，∴30k ->， ∴3k >，∴k 的取值范围为(3,)+∞．（Ⅲ）由（Ⅰ）知()113131121··333313331x x x x x f x +--==-=-++++， ∴()f x 在R 上减函数（不证明不扣分）．又因()f x 是奇函数，()()230f t f t k -+->所以()()23f t f t k ->--=()f k t -，因为()f x 减函数，由上式得：23t k t -<-, 即对一切(1,4)t ∈，有33t k -<恒成立，令m(x)=33t -,[1,4]t ∈,易知m(x)在[1,4]上递增，所以max 3439y =⨯-=， ∴9k ≥，即实数k 的取值范围为[)9,+∞．点睛：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题．。
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2014-2015学年甘肃省兰州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.）1．（3.00分）已知集合A={1，16，4x}，B={1，x2}，若B⊆A，则x=（）A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或±42．（3.00分）函数y=的定义域是（）A．[，+∞）B．[，2）∪（2，+∞）C．（，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）3．（3.00分）点（x，y）在映射f：A→B作用下的象是（x+y，x﹣y），则点（3，1）在f的作用下的原象是（）A．（2，1） B．（4，2） C．（1，2） D．（4，﹣2）4．（3.00分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=|x|，B．，C．，g（x）=x+1 D．，5．（3.00分）幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x的值是（）A．B．﹣ C．3 D．﹣36．（3.00分）已知函数f（+1）=x+1，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2B．f（x）=x2+1（x≥1）C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）7．（3.00分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．t=158．（3.00分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）9．（3.00分）函数f（x）=3•4x﹣2x在x∈[0，+∞）上的最小值是（）A．﹣B．﹣4 C．﹣2 D．210．（3.00分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）11．（3.00分）设x、y是关于m的方程m2﹣2am+a+6=0的两个实根，则（x﹣1）2+（y﹣1）2的最小值是（）A．﹣12B．18 C．8 D．12．（3.00分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.13．（4.00分）函数f（x）=log2（x2﹣5x+4）的单调递减区间是．14．（4.00分）函数y=的值域是．15．（4.00分）已知函数为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b=．16．（4.00分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数，对于下列命题：①函数f（x）满足f（x+4）=f（x）；②函数f（x）图象关于点（1，0）对称；③函数f（x）的图象关于直线x=2对称；④函数f（x）的最大值为f（2）；⑤f（2009）=0．其中正确的序号为．三、解答题：（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（6.00分）设集合A={x|a﹣1≤x≤a+1}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．（1）若a=5，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．18．（10.00分）（1）若a＞0，b＞0，化简：﹣（4a﹣1）（2）若log23=a，log52=b，试用a，b表示log245．19．（10.00分）已知f（x）=log2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．20．（10.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值h（a）．21．（12.00分）已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；（2）解不等式；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立．求实数m的取值范围．2014-2015学年甘肃省兰州一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.）1．（3.00分）已知集合A={1，16，4x}，B={1，x2}，若B⊆A，则x=（）A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或±4【解答】解：∵A={1，16，4x}，B={1，x2}，若B⊆A，则x2=16或x2=4x，则x=﹣4，0，4．又当x=4时，4x=16，A集合出现重复元素，因此x=0或﹣4．故选：C．2．（3.00分）函数y=的定义域是（）A．[，+∞）B．[，2）∪（2，+∞）C．（，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）【解答】解：要使原式有意义只需：，解得且x≠2，故函数的定义域为[）∪（2，+∞）．故选：B．3．（3.00分）点（x，y）在映射f：A→B作用下的象是（x+y，x﹣y），则点（3，1）在f的作用下的原象是（）A．（2，1） B．（4，2） C．（1，2） D．（4，﹣2）【解答】解：由，解得x=2，y=1．∴象（3，1）的原象是（2，1）．故选：A．4．（3.00分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=|x|，B．，C．，g（x）=x+1 D．，【解答】解：A．函数g（x）==|x|，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数．B．函数f（x）==|x|，g（x）=x，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数．C．函数f（x）=x+1的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．D．由，解得x≥1，即函数f（x）的定义域为{x|x≥1}，由x2﹣1≥0，解得x≥1或x≤﹣1，即g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选：A．5．（3.00分）幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x的值是（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【解答】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有=（﹣2）α，解得：α=﹣3所以幂函数解析式为y=x﹣3，由f（x）=27，得：x﹣3=27，所以x=．故选：A．6．（3.00分）已知函数f（+1）=x+1，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2B．f（x）=x2+1（x≥1）C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）【解答】解：令则x=（t﹣1）2（t≥1）∴f（t）=（t﹣1）2+1=t2﹣2t+2∴f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）故选：C．7．（3.00分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．t=15【解答】解：因为y=是减函数，所以，幂函数y=是增函数，所以，∴a＜b＜c．故选：C．8．（3.00分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）【解答】解：∵f（x）为奇函数，f（2）=0，且在（0，+∞）上是增函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（﹣∞，0）内是增函数∵xf（x）＜0，∴或根据在（﹣∞，0）内是增函数，在（0，+∞）内是增函数解得：x∈（0，2）∪（﹣2，0）．故选：D．9．（3.00分）函数f（x）=3•4x﹣2x在x∈[0，+∞）上的最小值是（）A．﹣B．﹣4 C．﹣2 D．2【解答】解：∵x∈[0，+∞），∴2x∈[1，+∞），∵f（x）=3•4x﹣2x=3（2x﹣）2﹣，∴当2x=1时，f（x）=3•4x﹣2x在x∈[0，+∞）上的最小值为：3（1﹣）2﹣==2．故选：D．10．（3.00分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log 2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选：D．11．（3.00分）设x、y是关于m的方程m2﹣2am+a+6=0的两个实根，则（x﹣1）2+（y﹣1）2的最小值是（）A．﹣12B．18 C．8 D．【解答】解：由△=（﹣2a）2﹣4（a+6）≥0，得a≤﹣2或a≥3．于是有（x﹣1）2+（y﹣1）2=x2+y2﹣2（x+y）+2=（x+y）2﹣2xy﹣2（x+y）+2=（2a）2﹣2（a+6）﹣4a+2=4a2﹣6a﹣10=4（a﹣）2﹣．由此可知，当a=3时，（x﹣1）2+（y﹣1）2取得最小值8．故选：C．12．（3.00分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，故函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象如下图所示：若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解则log a4＜3，log a8＞3，解得：＜a＜2故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.13．（4.00分）函数f（x）=log2（x2﹣5x+4）的单调递减区间是（﹣∞，1）．【解答】解：令t=x2﹣5x+4＞0，求得x|x＜1，或x＞4，故函数的定义域为{x|x ＜1，或x＞4}，且f（x）=log2t，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得t=x2﹣5x+4在定义域{x|x＜1，或x＞4}内的减区间为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．14．（4.00分）函数y=的值域是{y|y≠0} ．【解答】解：∵y===又∵的图象向左平移可得y=的图象，且反比例函数y=≠0∴y===≠0故答案为{y|y≠0}15．（4.00分）已知函数为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b=2．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数，∴定义域关于原点对称，即﹣2a+3a﹣1=0，∴a=1，∵函数为奇函数，∴f（﹣x）==﹣，即b•2x﹣1=﹣b+2x，∴b=1．即a+b=2，故答案为：2．16．（4.00分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数，对于下列命题：①函数f（x）满足f（x+4）=f（x）；②函数f（x）图象关于点（1，0）对称；③函数f（x）的图象关于直线x=2对称；④函数f（x）的最大值为f（2）；⑤f（2009）=0．其中正确的序号为①②③⑤．【解答】解：①对，因为f（x+2）+f（x）=0，得f（x+2）=﹣f（x），即f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x）．②对，函数f（x+1）为奇函数，即函数f（x）向左平移一个单位以后关于（0，0）对称，∴平移之前的图象应该关于（1，0）对称，故②正确；③对，由f（x+2）=﹣f（x），得f（x+1+2）=﹣f（x+1），又由f（﹣x+1）=﹣f（x+1），知f（x+1+2）=f（﹣x+1），即f（x+3）=f（﹣x+1），故函数f（x）有对称轴x=2，即f（x）的图象关于直线x=2对称．④不对，对于f（x+2）+f（x）=0，因为是奇函数，所以f（0）=0，也就是f（2）=﹣f（0）=0，因为函数的单调性没有给出，所以无法确定函数的最大值，即④错误．⑤对，由①知，f（2009）=f（502×4+1）=f（1），又由②知F（x）=f（x+1），令x=0，则F（0）=f（0+1）=0，即f（1）=0，即f（2009）=0．故答案为：①②③⑤．三、解答题：（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（6.00分）设集合A={x|a﹣1≤x≤a+1}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．（1）若a=5，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵a=5，A={x|a﹣1≤x≤a+1}={x|4≤x≤6}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．∴A∩B={x|4≤x≤5}．（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，∴，解得0≤a≤4．18．（10.00分）（1）若a＞0，b＞0，化简：﹣（4a﹣1）（2）若log23=a，log52=b，试用a，b表示log245．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴=．（2）∵log245=log2（5×9）=log25+log29=log25+2log23，而log52=b，则，∴．19．（10.00分）已知f（x）=log2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．【解答】解：（1）若有意义，则，解得定义域为（﹣1，1），关于原点对称．又因为，所以f（x）为奇函数．（2）函数f（x）在定义域（﹣1，1）上单调递减．证明：任取x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==，因为x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，所以，即f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x）在区间（﹣1，1）上为减函数．20．（10.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值h（a）．【解答】解：（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．当x＞0时，f（x）=x2﹣2x所以：（2）①当a+1≤1时，即a≤0，g（x）min=g（1）=1﹣2a②当1＜a+1＜2时，即0＜a＜1③当a+1≥2时，即a≥1g（x）min=g（2）=2﹣2a综上：．故答案为：（1）（2）21．（12.00分）已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；（2）解不等式；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立．求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）在[﹣1，1]上单调增，证明如下由题意，设x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2则x1﹣x2＜0∵x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．令x=x1，y=﹣x2，∴f（x1）+f（﹣x2）＜0∵函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调增；（2）由（1）知，，解得：（3）由于函数f（x）在[﹣1，1]上单调增，∴函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1∴f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立可转化为：0≤m2﹣2am对所有a∈[﹣1，1]恒成立∴，解得m≥2或m≤﹣2或m=0赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。