2012-2013-1高数A1 A卷

2012-2013

1 高等数学A1 （A 卷）

数理学院 全校相关专业 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．函数22()1

x x f x x -=-的间断点是 ，其中第二类间断点是 ； 2．232lim 11n n n -→∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭ ；

3. 设2()2ln f x x x =+，则(1)f ''= ；

4．设函数()y y x =由x y xy e

+=确定，则=dy ； 5．若2(),x f x dx e C =+⎰则()xf x dx =⎰ .

二、选择题（每小题3分，共15分）

1．当0→x 时，下列函数中与x 是等价无穷小量的是 ；

)A 2

sin x )B (1)1x x x -+ )C 22x x + )D x 2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则方程()0f x '=在区间(1,4)内实数根的个数 为 ；

)A 1 )B 2 )C 3 )D 4

3．由原点(0,0)向曲线ln y x =作切线，则切线方程为 ；

)A y x = )B x y e

= )C 2y x = )D y ex = 4．2

2

1+x dx x =⎰ ； )A arcsin x x C -+ )B arctan x x C ++

)C arctan x x C -+ )D arcsin x C +

课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:

5．函数2

0()x f x =⎰在0x =处 .

)A 取极小值0 )B 取极小值1 )C 取极大值0 )D 没有极值

三、计算题（每小题7分，共21分）

1．求极限20sin cos lim ln(1)

x x x x x x →-+； 2．设函数2,1

(),1x b x f x ax x +<⎧=⎨≥⎩在1x =处可导，求,a b 的值，并求)(x f '；

3. 求由参数方程22ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=+⎩

所确定函数()y y x =的一阶及二阶导函数. 四、计算题（每小题7分，共21分）

1. 计算不定积分2(1)cos 2x xdx -⎰；

2．计算定积分5

13

dx x +⎰； 3．计算反常积分220(1)x x e dx +∞

--⎰

. 五、计算题（10分） 列表求函数32

693y x x x =-+-的单调区间、极值、凹凸区间及拐点.

六、应用题（8分）

从点(0,3)向抛物线22y x =-作两条切线，设切线和抛物线22y x =-所围平面图形为D ，试求：

1．两条切线的方程；

2．平面图形D 的面积；

3．平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

七、证明题（每小题5分，共10分） 1．证明：当0x >时，222ln(1)1

x x x x +>++； 2．设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且(0)0f =，(1)2f =，(2)1f =， 试证明：（1）在(1,2)内至少存在一点ξ，使得2()f ξξ=；

（2）在(0,)ξ内至少存在一点η，使得2()+()+2f f ηηηη'=.