课题研究：最短的路径问题
课题学习最短路径问题教学设计人教版数学八年级上册
高新技术产业开发区XX中学
备课日志
1.两点之间的所有连线中，什么线最短？
2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，什么线最短？
【课堂引入】
已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小．提示：连接AB，线段AB与直线l的交点P，就是所求．以学生学过的知识为基础引入课题，培养学生的学习兴趣
【探究新知】
1．问题1如图，牧马人从草场A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到帐篷B 地．问：到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能用自己的语言解释这个题的意思吗？能把它抽象为数学问题吗？
(1)将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线；
(2)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；探究活动，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程．
2
思考、合作交流，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养合作意识
(3)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
(4)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图).
追问2对于问题1，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？
追问3你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
教师讲解作法：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？
课题学习 最短路径问题
课题：课题学习——最短路径问题
教材：义务教育教科书《数学》八年级上册(人民教育出版社)
说课教师：南充市大通中学白萍
一教材分析
1、教材地位与作用最短路径在生活中经常遇到，初学阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“垂线段最短”为知识基础，有时还借助轴对称，平移等变换进行研究，体现化归思想，本节课以数学史中一个经典问题将军饮马为知识载体，展开了对最短路径问题的课题研究，将实际问题转化为数学问题，将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”“两边之和大于第三边”问题，让学生体会化归思想。
2、教学重难点及关键
重点：利用轴对称的知识解决实际中的最短路径问题.
难点：将“最短路径问题”抽象为线段和最小问题以及最短的证明.
关键：利用轴对称将“最短路径问题”转化为“两点之间，线段最短”. 二学情分析
1、学习的有利因素：
通过前面几何知识的学习,学生积累了一定的知识基础;有一定的生活经验和直观感受;学生学习积极性较高、求知欲较强、课堂活动参与较主动.
2、学习的不利因素：
本节内容是新教材的新增章节, 学生很难将实际问题转化成数学模型;加之,“最短路径问题”从本质上说就是最值问题,作为初中生,在此前很少涉及最值问题,解决这方面问题的数学经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的最值问题,更会感到陌生,无从下手.
三目标分析
【确定依据】依据初中数学新课程标准的要求,结合教材分析、学情分析我制定了以下三维教学目标:
1 知识与技能目标掌握最短的路径问题的分析方法和解决方法。
2 过程与方法目标体会转化的数学思想，感受轴对称作图在生活中的作用。
课题学习最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题
一、教课方案理念
最短路径问题在现实生活中常常碰到，初中阶段主要以“两点之间线段最短”、“连结
直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、
平移、旋转等变化进行研究。
本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马”“造桥选址”为载体睁开对“最短
路径问题”的课题研究，让学生经历将实质问题转变为数学识题，利用轴对称、平移等变化
再把数学识题转变为线段和最小问题，并运用“两点之间线段最短”（或“三角形两边之和
大于第三边”）解决问题，表现了数学化的过程和转变思想。
最短路径问题从实质上说是最值问题，作为初中生，此前极少在几何中接触最值问题，
解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对拥有实质背景的最值问题，更会感觉陌生，
无从下手．解答“当点 A、B 在直线 l 的同侧时，如安在直线 l 上找到点 C，使 AC 与 CB
的和最小”，需要将其转变为“在直线 l 异侧两点的线段和最小值问题”，为何需要这样
转变、如何经过轴对称、平移变化实现转变，一些学生在理解和操作上存在困难．在证明
作法的合理性时，需要在直线上任取点 (与所求作的点不重合 )，证明所连线段和大于所求作
的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到．因此在讲堂上特别对这几个问题进行了针对
性的设计。
二、教课对象剖析
八年级的学生已经学习研究过一些“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等问题。
向来以来，学生对多媒体环境下的几何研究都十分感兴趣，有较强的好奇心，在学习上有较
强的求知欲念，学习投入程度大。他们察看、操作、猜想能力较强，但演绎推理、概括、运
课题学习最短路径问题
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位著名的学者， 名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百 思不得其解的问题：将军从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地．将军到河边的什么地方饮马，可使所 走的路径最短？
B A
思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？
l
分析：
B A l A C C
思考：
你能把这个问题转化 为数学问题吗？
分析：
如图假定任选位置造桥 MN，连接AM和BN，从A到B 的路径是AM+MN+BN，那么 折线AMNB在什么情况下最 短呢？
A M
a b
N
B
由于河宽是固定的，因此当AM+NB 最小时，AM+MN+NB最小.
分析：
A A
C
b
A' B N
M
a b
B 如右图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点 A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化 为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
小结归纳
探究1
B l
A A' M N
探究2
a b
B
A C
B′
轴对称 变换
A
C l B
平移 变换
两点之间，线段最短.
1、如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、 B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使奶站到A、B 两区距离之和最短．
课题学习 最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题
1．最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．
【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．
2.运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．
警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．
3．利用平移确定最短路径选址
选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．
七年级下册数学最短路径问题
七年级下册数学的最短路径问题通常涉及到图论知识，其中最短路径问题可以归结为寻找图中的两个节点之间的最短路径。
最短路径问题有不同的算法，其中包括：
确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
在解决最短路径问题时，需要注意考虑到图中可能存在的边权重和节点数量，以及选择合适的算法来求解。
13.4 课题学习 最短路径问题
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． A
在△AB′C′中，
C
AB′＜AC′+B′C′，
C′
l
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸 的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮 水再回家，所走的最短距离是 1000 米.
C
D 河
A
B
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节 将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问 题”及“造桥选址问题”.
P ①
②
A ③B
A BC
Dl
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可
使所走的路径最短？
B
B 抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题说课稿(新版)新人教版
八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题说课稿（新版）新人教版
一. 教材分析
八年级数学上册13.4课题学习“最短路径问题”是新人教版教材中的一项重要内容。这一节内容是在学生掌握了平面直角坐标系、一次函数、几何图形的性质等知识的基础上进行学习的。本节课的主要内容是最短路径问题的研究，通过实例引导学生了解最短路径问题的背景和意义，学会利用图论知识解决实际问题。教材中给出了两个实例：光纤敷设和城市道路规划，让学生通过解决这两个实例来理解和掌握最短路径问题的求解方法。
二. 学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于平面直角坐标系、一次函数等知识有了一定的了解。但是，对于图论知识以及如何利用图论解决实际问题还比较陌生。因此，在教学过程中，我需要引导学生理解和掌握图论知识，并能够将其应用到实际问题中。
三. 说教学目标
1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用
图论知识解决最短路径问题的方法。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实
际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，让学生体验到数学
在实际生活中的应用价值。
四. 说教学重难点
1.教学重点：最短路径问题的求解方法。
2.教学难点：如何将实际问题转化为图论问题，并利用图论知识解决。
五. 说教学方法与手段
1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来学习和掌
握最短路径问题的求解方法。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过展示实例和动画效果，帮
助学生更好地理解和掌握知识。
运筹学最短路径问题
运筹学最短路径问题
在运筹学中，最短路径问题是指寻找图中两个节点之间的最短路径。最短路径可以通过一系列边连接起来，使得路径上的累计权值总和最小。
最短路径问题是运筹学中的经典问题，有广泛的应用领域，如交通网络规划、物流路径优化等。常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是用于解决单源最短路径问题的一种算法。它从起点开始，通过不断更新节点的最短路径估计值和前驱节点，逐步扩展到其他节点，直到找到目标节点或所有节点都被处理。
弗洛伊德算法是用于解决全源最短路径问题的一种算法。它通过动态规划的方式，对所有节点之间的最短路径进行逐步计算和更新，最终得到所有节点之间的最短路径。
除了迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法，还有其他一些算法可以用于解决最短路径问题，如贝尔曼-福特算法和A*算法等。
总之，最短路径问题在运筹学中具有重要的实际应用价值，可以通过不同的算法来求解。这些算法在实践中可以根据具体的问题特点和需求选择合适的算法进行求解。
课题学习 最短路径问题
13.4 课题学习：最短路径问题
学习目标：1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。
2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。
3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，
感受学习成功的快乐。
学习重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。
学习难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。
学习过程：
一、自主学习。
我们已经学习过“两点的所有连线中，。”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等问题，这些问题都是最短路径问题。
二、合作交流
探究一：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
（1）、两点在一条直线异侧：
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。
思考：为什么这样做就能得到最短距离呢？你如何验证PA+PB最短呢？
(2) 两点在一条直线同侧
如图，牧马人从A地出发到一条笔直的河边L饮马，然后到C地，牧马人到B河边的什么地方饮马，可是所走的路径最短？这个问题可以转化为;当点L在的什么位置时。AC与BC 的和最小。
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
如图，A和B连地在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B 路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
三、展示提升
1、 问题：如图，点A 是总局，想在公路L1上建一分局D ，在公路L2上建一分局E ，怎
《13.4 课题学习 最短路径问题》作业设计方案-初中数学人教版12八年级上册
《课题学习最短路径问题》作业设计方案（第一课时）
初中数学课程《课题学习最短路径问题》作业设计方案（第一课时）
一、作业目标：
1. 理解和掌握最短路径问题的基本概念和解决方法；
2. 通过实际问题的解决，提高运用数学知识解决实际问题的能力；
3. 培养独立思考和团队协作的精神。
二、作业内容：
1. 基础练习：
(1)请列举几个生活中的最短路径问题，并说明如何求解。
(2)请用几何画图的方式，表示如何找到两点之间的最短路径。
2. 探究性问题：
(1)设计一个公园规划的问题情境，其中包含几个景点和一条步行道。
(2)假设你要规划一条步行道，如何设计可以使得行程最短？
(3)在实际操作中，需要注意哪些因素？如何应对这些因素？
3. 合作任务：
分组进行，每组选择一个实际问题（如学校运动场的路径设计、社区的停车位规划等），通过小组讨论、实地考察等方式，设计出最短路径方案，并绘制出相应的示意图。
三、作业要求：
1. 基础练习部分，请根据课本知识和老师讲解，独立完成；
2. 探究性问题，请根据问题情境和所学知识，充分发挥想象力，积极思考，共同讨论，尝试提出多种解决方案；
3. 合作任务部分，请注意分工明确，积极沟通，共同完成任务。在完成任务的过程中，要注重收集资料、图片等证据，以便于后续的作业反馈。
四、作业评价：
1. 基础练习部分，请根据答案和老师讲解进行自我评价；
2. 对于探究性和合作任务部分，老师将根据以下方面进行评价：问题解决的方法是否合理、方案是否可行、团队协作是否良好、成果展示是否清晰等。评价结果将作为平时成绩的参考。
13.4课题学习 最短路径问题
P
.B
两点之间,线段最短
自主探究
问题1 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC +CB 最小？
·
思考： 如何将点B“移”到l 的另一侧 B′处？ 你能利用轴对称的有关知识， 找到符合条件的点B′吗？
B
·
A
l
c
B′
合作交流
问题1 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一ห้องสมุดไป่ตู้动点，当点C 在l 的什么位置时，AC +CB 最小？ 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求． B
13.4 课题学习
最短路径问题
温故知新
如图所示，从A地到B地有三条路可 供选择，你会选走哪条路最近？你的 理由是什么？
C A
①D ②
E B
③
两点之间,线段最短
F
温故知新
已知：如图，A，B在直线l的两侧， 在l上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线l的交点P ， 就是所求。
.A l
B
A l
巩固提升
1.自主P64T5
2.已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 点A',A''分别是点A关于直线OM，ON的对称 点，线段A'A''交OM,ON于点B,C.若△ABC 的周长是10cm,则线段A'A''的长是______.
13.5课题学习_最短路径问题
P Q B
3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化 为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.
A A1 A1 A
M P Q N P Q
连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
沿垂直于河岸方向依次把Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ， Ａ１Ａ２ ＝ＰＱ ； 连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．
B
A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l
将A，B 两地抽象为两个点，将 河l 抽象为一条直线．
B · A · l
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
H
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点 平移至A１、A２、A3，使 AA１＝MN， A１A２＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于 H点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的 P点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对 岸于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
课题学习 最短路径问题
课件说明
• 学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． • 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．
引入新知
引言： “两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一 点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问 题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉 及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究 数学史中著名的“将军饮马问题”．
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
·
A
·
B
C′ C
l
B′
归纳 实际上是通过轴对称变换，把A，B在直线同
侧的问题转化为在直线的两侧的问题，从而可利
用“两点之间线段最短”加以解决.
·
C
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
·
A
·
B
C
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． B 由轴对称的性质知， · A BC =B′C，BC′=B′C′． · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′， C AC′+BC′ = AC′+B′C′． B′
20.4课题学习最短路径问题
一 牧人饮马问题
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，
牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B
A 实际问题
抽象成
A
B
C 数学问题
l
l 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC
最短问题.
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
A
C C′
B
l B′
变式练习1
如图，牧马人要把马从马棚 A牵到草地边吃草，然后到河 边饮水，最后再回到马棚A. 问题：请你确定这一过程的 最短路径.
转化为数学问题
如图，在l1、l2之间有一点A,要使
AM+MN+NA最小,点M、N应该
在 l1、l2的什么位置 ?
l1
M A
A
小
河
l2 N
二 造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥
造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行
的直线，桥要与河垂直）？ A
A
M
?
B N
B
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路 径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
●A
M
M
N
N
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总体归纳：
1、求直线异侧的两点到直线上的一点距离的和 最短的方法：----------------------
2、求直线同侧的两点到直线上的一点距离的和 最短的方法：----------------------
3、利用平移解决最短路径的选址问题。
实际应用 教材 p93 15. 同步解析 P441、2、
能力提升1、
B. 画一画，归纳方法和依据。
2、阅读教科书P85内容，想一想问题1是如何 解决的？应用的有关知识点是 如何证明你的结论是正确的。
3、认真阅读问题2的解决过程，归纳解题步骤： 试一试证明结论。
归Hale Waihona Puke Baidu：
1、过点A作AA1垂直于河岸，且使AA1=MN； （河宽）
2、连接A1B交靠近点B的河岸与点N1；
3、过点N1作河岸的垂线角另一条河岸与点M1， 则M1N1为建桥位置。
13.4 课题研究 最短的路径问题
课标要求：
1、进一步理解轴对称变换，并能用轴对称变换解决 实际问题中的路径最短问题。
2、体会将实际问题转化为数学问题的方法，发展应用 数学的意识。
复习准备 1、两点之间的距离：----------------------------。 2、三角形的三边关系：-------------------------。 3、线段垂直平分线的性质：--------------------。
学习目标：
1、能运用“两点之间，线段最短”“连接直线外 一点与直线上个点的所有线段中，垂线段最短” 探索最短路径问题。
2、能运用“三角形两边之和大于第三边”说明关 于最短路径的选址问题的道理，会运用轴对称 性质解决实际问题中最短路径的选址问题。
问题引领： 1、点A和点B分别在直线L异侧的两点，在L上 找到一个点C使AC+CB最小。如 A .