柯西不等式的证明、记忆、应用
柯西不等式的证明与推广应用
西不等式的证明过程以及其在不同领域的应用。
一、柯西不等式的证明
柯西不等式的一般形式为：对于任意非负实数序列 {a_i} 和 {b_i} (i=1,2,...,n)，都有
(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) * (b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) ≥ (a_1 * b_1 + a_2 * b_2 + ... + a_n * b_n)^2
当且仅当 a_i/b_i (i=1,2,...,n) 为常数时，等号成立。
证明过程如下：
首先，我们构造两个向量 A = (a_1, a_2, ..., a_n) 和 B = (b_1, b_2, ..., b_n)。
计算向量 A 和 B 的点积，即 A·B = a_1 * b_1 + a_2 * b_2 + ... + a_n * b_n。
根据向量的施瓦茨不等式（Schwarz Inequality），有 |A·B| ≤ ||A|| * ||B||，其中 ||A|| 和 ||B|| 分别表示向量 A 和 B 的模长。
将向量 A 和 B 的模长展开，得到
||A|| = sqrt(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)
||B|| = sqrt(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)
将 |A·B|、||A|| 和 ||B|| 的表达式代入施瓦茨不等式，整理后即得柯西不等式。
二、柯西不等式的应用
柯西不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，以下列举几个例子：
线性代数：在求解向量空间中的角度、长度等问题时，柯西不等式可以提供有用的界限。
浅谈柯西不等式的证明及应用
浅谈柯西不等式的证明及应用
刘治和
柯西 （Cauchy ）不等式21122 ()n n a b a b a b ++⋯+
≤2222221212 ()()n n a a a b b b ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+(,,1,2,)i i a b R i n ∈=⋅⋅⋅， 当且仅当
12
12n n
a a a
b b b ==⋅⋅⋅=时等号成立。现将它的证明介绍如下： 证明1（构造法）：构设二次函数
222
1122()()()()n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅++222222212112212()2()(),n n n n a a a x a b a b a b x b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+22212()0n a a a f x ++⋅⋅⋅+≥＞0,恒成立，
2222222112212124()()n n n n a b a b a b a a a b b b ∴∆=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+≤-4(++)+0,
即222222*********()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+(++)+,当且仅当
12
120(1,2,,),n i i n
a a a a x
b i n b b b +==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=即
时等号成立. 证明2（数学归纳法）：
1）22211111=),=,=n a b a b =当时,左式(右式显然左式右式，
2n =当时，右式
=2222222222121211222112()()=()()a a b b a b a b a b a b +++++≥
a十b十c柯西不等式证明
a十b十c柯西不等式证明
摘要：
1.柯西不等式的基本概念
2.柯西不等式的证明方法
3.柯西不等式在实际问题中的应用
正文：
一、柯西不等式的基本概念
柯西不等式（Cauchy Inequality）是一种在数学中广泛应用的不等式，主要用于证明其他不等式或解决实际问题。柯西不等式的基本形式为：(a + b +
c)(x + y + z) ≥(ax + by + cz)。其中，a、b、c 和x、y、z 是实数。
二、柯西不等式的证明方法
柯西不等式有多种证明方法，其中最常见的是利用平方法。以下是柯西不等式的证明过程：
证明：(a + b + c)(x + y + z) ≥(ax + by + cz)
= ax + ay + az + bx + by + bz + cx + cy + cz
= (ax + by + cz) + (ay - bx) + (az - bz)
= (ax + by + cz) + (ay - bx) + (az - bz)
根据平方的非负性，上式成立，因此柯西不等式得证。
三、柯西不等式在实际问题中的应用
柯西不等式在实际问题中有广泛的应用，例如在解决三角形的余弦定理问题、证明矩阵的谱范数不等式等。下面以一个简单的例子来说明柯西不等式在实际问题中的应用：
例：已知实数a、b、c 满足a + b + c = 1，求证：|ax + by + cz| ≤√(a + b + c)
证明：由柯西不等式，有：
(a + b + c)(x + y + z) ≥(ax + by + cz)
当且仅当ax = by = cz 时，等号成立。
证明柯西不等式
证明柯西不等式
证明柯西不等式
柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它是用于描述内积空间
下向量之间的一种关系，具有广泛的应用。本文将从内积空间的定义、柯西不等式的表述、证明方法和应用等四个方面来说明柯西不等式。
一、内积空间的定义
内积空间是指一个向量空间V，满足存在一个二元函数（内积）
< , >，对任意两个向量x，y∈V，满足以下条件：
1. 线性：对于任意的x1, x2 ∈ V，以及α, β ∈ R，有<
αx1 + βx2, y > = α< x1, y > + β< x2, y >。
2. 对称性：对于任意的x, y∈V，有< x, y > = < y, x >。
3. 非负性：对于任意的x∈V，有< x, x > ≥ 0，且当且仅当
x=0时，< x, x > = 0。
二、柯西不等式的表述
对于内积空间V中的任意两个向量x，y∈V，有以下柯西不等式
成立：
其中< x, y >表示x，y的内积，||x||和||y||分别表示x和y
的模长（或范数）。
三、证明方法
柯西不等式可以有多种证明方法，这里介绍一种基于勾股定理的
证明方法。
以二维欧几里得空间（平面）的情形为例，设有两个向量x=(x1，x2)，y=(y1，y2)，则它们的内积为< x, y >=x1y1+x2y2。由勾股定理
可知，x和y的模长之间的关系为：
||x||^2 = x1^2 + x2^2
||y||^2 = y1^2 + y2^2
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用
1.柯西不等式的证明：
柯西不等式的最常见的证明是基于构造内积的思路。假设有两个n维
向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn)，我们可以定义它们的内积为a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。柯西不等式就是说，对于任意两个向量a和b，有，a·b，≤，a，b。这个不等式可以通过构造内积的平方来进行证明。
具体的证明过程可以参考高等数学相关教材或参考资料。
2.柯西不等式的应用：
-线性代数：柯西不等式可以用来证明向量范数的性质，如欧几里得
范数和曼哈顿范数的非负性、三角不等式等。
-概率论：柯西不等式可以用来证明概率论中的一些重要定理，比如
马尔可夫不等式、切比雪夫不等式等。
-信号处理：柯西不等式可以用来证明信号处理中的一些重要性质，
比如能量守恒定理、奇异值分解等。
-函数分析：柯西不等式可以用来证明函数分析中的一些重要定理，
比如巴拿赫空间的完备性定理等。
-矩阵论：柯西不等式可以用来证明矩阵论中的一些重要性质，比如
矩阵的条件数、病态度等。
总之，柯西不等式是一条十分重要的不等式，具有广泛的应用价值。
它不仅是高等数学中的重要工具，还可以应用于其他学科的研究中。通过
了解柯西不等式的证明和应用，我们可以更好地理解和运用它，进一步深
化数学和相关学科的学习。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用
(a1b1 + a2b2 + … + anbn)，≤ √(a1^2 + a2^2 + … + an^2) * √(b1^2 + b2^2 + … + bn^2)
其中a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn为实数或者复数。
下面将介绍几种柯西不等式的证明以及其应用。
证明1：使用向量的点乘形式证明柯西不等式。
设有两个n维向量A = (a1, a2, …, an)和B = (b1, b2, …, bn)，则根据向量的点乘定义：
A·B， = ，a1b1 + a2b2 + … + anbn，≤ ，a1，b1， + ，a2，
b2，+ … + ，an，bn
根据向量的模的定义，有：
A·B，≤ √(a1^2 + a2^2 + … + an^2) * √(b1^2 + b2^2 + …
+ bn^2)
这就是柯西不等式的一种证明方法。
证明2：使用函数的积分形式证明柯西不等式。
设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，那么根据积分的定义，有：∫[a,b] (f(x)g(x)) dx ≤ √(∫[a,b] (f^2(x)) dx) * √(∫[a,b] (g^2(x)) dx)
假设f(x) = 1，g(x) = sqrt(1/x)，那么有：
∫[1,2] (sqrt(1/x)) dx ≤ √(∫[1,2] (1^2) dx) * √(∫[1,2] (sqrt(1/x))^2 dx)
化简得：
√(ln 2) ≤ √(∫[1,2] (1/x) dx)
继续化简得：
√(ln 2) ≤ √(ln 2)
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用
1.柯西不等式的证明：
(x1,y1) + (x2,y2) + ... + (xn,yn)，≤ √(，x1，^2 + ，x2，
^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2)
证明：
设向量(x1,x2,...,xn)与(y1,y2,...,yn)的内积为A，则有：
A = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn
考虑不等式(，x1，^2/，A， + ，x2，^2/，A， + ... + ，xn，^2/，A，) * (，y1，^2A + ，y2，^2/，A， + ... + ，yn，^2/，A，) ≥ 1根据乘法交换律，可以将上式化简为：
(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2) * (，y1，^2 + ，y2，
^2 + ... + ，yn，^2) ≥ ，A，^2
由于A是内积，其绝对值不超过向量的模的乘积，即，A，≤ √(，
x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ...
+ ，yn，^2)
将不等式化简可得：
(x1,y1) + (x2,y2) + ... + (xn,yn)，≤ √(，x1，^2 + ，x2，
^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2)
2.柯西不等式的应用：
2.1内积空间中的角度和长度：
根据柯西不等式，可以得出两个向量的内积的绝对值小于等于它们的
模的乘积，即，A，≤ ，x，y，其中x和y是向量。从而可以推出内积
柯西不等式的应用(整理篇).doc
柯西不等式的证明及相关应用
摘要 ：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容，
也是高中数学的一个重要知识点， 它不仅历史悠久， 形式优美，
结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词 ：柯西不等式
柯西不等式变形式 最值
一、柯西（ Cauchy ）不等式：
a 1
b 1 a 2 b 2 a n b n
2
a 12 a 22
a n 2
b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n
等号当且仅当 a 1 a 2 a n
0 或 b i
ka i 时成立（ k 为常数， i 1,2
n ）
现将它的证明介绍如下：
方法 1 证明：构造二次函数
f ( x) a x b 2
a x b
2
a x b
2
1
1
2
2
n
n
= a 12 a 22
a n 2 x 2 2 a 1
b 1 a 2 b 2
a n
b n x b 12 b 22
b n 2
由构造知
f x
0 恒成立
又 Q a 12 a 22 L a n n
4 a 1b 1 a 2 b 2
a n
b n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22
b n 2
即 a 1b 1
a 2
b 2
a n
b n
2
a 12 a 22
a n 2
b 12 b 22
b n 2
当且仅当 a i x
b i 0 i 1,2
n
即
a
1
a 2 L a n 时等号成立
b 1
b 2 b n
方法 2
证明 :数学归纳法
（ 1） 当 n 1 时
左式 = a 1b 1 2
2
右式 =
a 1
b 1
显然
左式 =右式
当 n
2 时
a 12 a 22
b 12 b 22
a 1
b 1 2 a 2 b 2
柯西不等式的证明、推广及应用
柯西不等式的证明、推广及应用
2 柯西不等式的推广
2.1 命题1
若级数∑∑==n
i i n
i i b a 12
12
与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛n
i i n i i n i i i b a b a 12
122
1。
证明：∑∑==n
i i n i i b a 12
12, 收敛，⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 12122
10
i n
i i b a ∑=∴1收敛，且∑∑∑=∞
→=∞→=∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛n
i i n n i i n n i i i n b a b a 12
122
1lim lim lim
从而有不等式∑∑∑===≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛n
i i n i i n i i i b a b a 12
122
1成立。
2.2 命题2[3]
若级数∑∑==n
i i n
i i b a 12
12
与收敛，且对N n ∈∀有∑∑∑===≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛n
i i n i i n i i i b a b a 12
122
1，则对定义在[]b a ,上
的任意连续函数()()x g x f ,有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f b
a b a
b a ⎰⎰⎰≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛222
证明：因为函数()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续，所以函数()()()()x g x f
x g x f 22
、、与在
[]b a ,上可积，将[]b a ,区间n 等分，取每个小区间的左端点为i ξ，由定积分的定义得：
柯西不等式的证明及相关应用
柯西不等式的证明及相关应用
一、柯西不等式的证明：
(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)
证明过程如下：
1. 首先构造一个关于t的二次函数f(t) = (at - b)^2，其中a和b
为任意实数。
2. 将函数f(t)进行完全平方，得到f(t) = a^2t^2 - 2abt + b^2
3.根据二次函数的性质，可以发现f(t)≥0，即二次函数的图像在t
轴上方或与t轴相切。
4.根据二次函数的图像性质，我们可以得到二次函数在顶点处取到最
小值。
5.通过求解f(t)对t的导数等于0，得到当t=b/a时，函数f(t)取
到最小值。
6. 将f(t)中的a和b代换成数列a和b的对应元素，我们得到f(t) = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 - 2(a1b1 + a2b2 + ... + anbn) + (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
7. 将t = b/a = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)/(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)代入f(t)，得到f(t) ≥ 0，即(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2
≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
8. 由于a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为任意实数，因此柯
柯西不等式的证明及应用
柯西不等式的证明及应用
柯西（Cauchy ）不等式
()2
2211n n b a b a b a +++ ()()
2
2
22212
22221n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,=∈
等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下：
证明1：
构造二次函数 ()()()2
2
222
11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=
=()()()22222121122122n n
n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++
22120n
n a a a +++≥
()0f x ∴≥恒成立
()()()2
2
2
2
2
1122121
2440n
n
n n n
n a b a b a b a a a b
b b ∆=+++-++++++≤
即()()()2
2
2
22
1122121
2n
n
n n n
n a b a b a b a a a b
b b +++≤++++++
当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即121
2
n n
a a a
b b b =
== 时等号成立
证明2：数学归纳法
（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()2
11a b 显然 左式=右式 当
2
n =时，
右式
()()()()22
2
2
2
2
2
2
2
2
12
1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++
()()()2
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等
式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，
正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式
在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式
()()
()2
2222
bd ac d c b a
+≥++
等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：(
)()()2
2222
2222123123112233n
n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+
等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫
==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭
当或时，和都等于，不考虑
二维形式的证明：
()()()
()()()
2
22222222222
222222222
2
2,,,220=a
b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立
柯西不等式及应用
柯西不等式及应用
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：
柯西不等式及应用
武胜中学周迎新
柯西不等式:设ａ1,a2,…aｎ，b1,b2…b n均是实数，则有（a1b1+ａ2ｂ2+…+a n b n)2≤（ａ１2＋ａ
２２+…ａ
n
2)（b
1
2+ｂ
2
2+…b
n
2）等号当且仅当a
i＝λb i（λ为常数，i=1,2.3，…
n)时取到。
注:二维柯西不等式：
(一)、柯西不等式的证明
柯西不等式有多种证明方法,你能怎么吗?
证法一:判别式法:
令f(x)＝（a１x+b1)2+(a2x＋b２）2+…+(a n x+b n)2=(a１２+a22+…＋a n2)x２+2（ａ1b1+a2b2+…+ａn b n)x ＋(b１２+b22＋…＋bｎ2)
∵f（ｘ)≥０∴△≤0 即 (ａ１b1＋a２b2＋…＋a n b n)２≤（ａ１2+a22＋…+ａｎ2）（b12+b22+…+bｎ2)
等号仅当 aｉ＝λbｉ时取到。
证法二：
（二)、柯西不等式的应用
柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐,应用灵活广泛,灵活巧妙的运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。
使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关
的问题。
1． 证明不等式
利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，
(1）巧拆常数：
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式（CauchyInequality）在数学中是一种常见的不等式，它表示两个实数乘积的平方和大于或等于它们的乘积。即a+b≥2ab，柯西不等式也可以写成a+b≥ab。在中学数学中，柯西不等式可以用来解决多种问题，比如：
一、计算平方和
用柯西不等式可以很容易的计算出一个实数的平方和。假设我们有一个数列 1,2,3,4,5，我们可以使用柯西不等式来计算它们的平方和。首先，我们可以将其分解成两部分，1+2+3+4+5=（1+2+3）（1+2+3）+4+5，由柯西不等式可知，（1+2+3）（1+2+3）≥9，所以1+2+3+4+5≥9+4+5，因此，1+2+3+4+5≥55，也就是说，它们的平方和至少是55。
二、求实数的最大值
用柯西不等式也可以求得实数的最大值。假设有一组数a,b,c,它们的乘积是abc，对于这组数，柯西不等式可以写成a+b+c≥abc，其中abc是给定值。为了得到a,b,c的最大值，我们可以用微积分法，求解柯西不等式的最大值，得到的结果就是a,b,c各自的最大值。
三、求两个数之间的最小值
用柯西不等式也可以求得两个实数之间的最小值。假设有两个实数a和b，a+b=k，那么柯西不等式可以写成a+b≥2ab，由此可以得到a+b≥2k(1/2)，其中2k(1/2)=k，也就是说，两个实数之间的最小值至少是k。
以上就是柯西不等式在中学数学中的应用，它可以用来计算实数的平方和、求实数的最大值以及求两个数之间的最小值。柯西不等式在中学数学中被频繁使用，它让一些复杂的问题变得简单，也为数学发展做出了重要贡献。
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用(最新整理)
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式
应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正
是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式
在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式
()()
()
2
2222
bd ac d c b a
+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：(
)()()
2
2222
2222123123112233n
n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫
==⋅⋅⋅= ⎪
=⋅⋅⋅⎝⎭
当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：
()()()
()()()
2
22222222222
222222222
2
2,,,220=a
b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立
柯西不等式的证明及妙用
柯西不等式的证明及妙用
柯西不等式（Cauchy-Schwarz inequality）是线性代数中的一个重要定理，它被广泛应用于数学、物理和工程学科中的不等式证明。该不等式以法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）和德国数学家施瓦兹（Hermann Amandus Schwarz）的名字命名，因为他们都独立地发现了这个不等式。
(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)，≤ sqrt(a1^2 + a2^2 + ... +
an^2) * sqrt(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)
其中，a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn是任意实数或复数。
接下来，我将对柯西不等式的证明及其妙用进行一些解释。
1.柯西不等式的证明：
假设有两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，我们可以将其表示为两个多项式的展开形式：
a·b = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)
a·a = (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)
b·b = (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)
将a·b的平方表示为一个多项式：
(a·b)^2 = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2
= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) - (a1b2 - a2b1)^2 - (a1b3 - a3b1)^2 - ... - (an-1bn - anbn-1)^2