2010年芜湖市中考数学模拟试卷和答案(四)

2010年芜湖市初中毕业学业考试数学模拟试卷（四）
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.)
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把你认为正确的选项前字母填写在该题后面的括号中.
1．的绝对值是（）
A．3B．3-C．
1
3
D．
1
3
-
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．等腰梯形B．平行四边形C．正三角形D．矩形
3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350
x x
-+=的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
4．小婷五次数学测验的平均成绩是90分，中位数是91分，众数是94分，则最低两次测验的成绩之和是（）
A．171 B．174 C．175
D．176
5.若关于x，y的二元一次方程组
5
9
x y k
x y k
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
的解也是二元一次方程6
3
2=
+y
x的解，则k的值为（）
A．
4
3
-B．
4
3
C．
3
4
D．
3
4
-
6.已知锐角A满足关系式2
2sin7sin30
A A
-+=，则sin A的值为（）
A．
1
2
B．3 C．
1
2
或3 D．4
7．将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的
长是
（）
A B C D．2cm
8．如图所示的44
⨯正方形网格中，
1234567
∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=（）
A．330°B．315°C．310°D．320°
60°
P Q
2cm
9．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22
127x x +=，则
212()x x -的值是（ ）
A ．1
B ．12
C ．13
D ．25
10．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．函数12-=
x y 的自变量x 的取值范围是_____________． 12．若实数x y 、满足0xy ≠，则y
x m x y
=
+的最大值是 ． 13． 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D C 、分别落在
11 D C 、的位置．若65FED ∠=°，则1AED ∠等于_______度．
14．已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么
这个
平行四边形是菱形”，写出它的逆命题： ． 15. 分解因式3
9a a -= ，2
21218x x -+= ． 16. 如图，
圆心角等于45°的扇形AOB 内部作一个正方
形CDEF ，使点C 在OA 上，点D E 、在OB 上，点F 在 AB 上，则
阴
影部分的面积为（结果保留π） ．
三、解答题（本大题共8小题，共80分.）解答应写明文字说明和运算步骤.
17.（本题共两小题，每小题6分，满分12分）
（1
）计算：2201001(1)π)|12sin 60|2-⎛⎫
-⨯-++- ⎪⎝⎭
°．
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
垂直 A ． B ． C ． D ．
7
6
5
4 3 2 1
A
E
D C F B
D 1
C 1
3(2)412 1.3
x x x
x --⎧⎪
⎨+>-⎪⎩ ≤
，①②
18.（本小题满分8分）
小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都
在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm ）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
19.（本小题满分8分） 如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k
y x
=
的图象交于A B ，两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，
已知OA =1
tan 3
AOC ∠=，点B 的坐标为(2)m -，．
（1）求反比例函数的解析式． （2）求一次函数的解析式．
（3）在y 轴上存在一点P ，使得PDC △与ODC △相似，请你求出P 点的坐标． 20.（本小题满分8分）
在全市中学运动会800m 比赛中，甲乙两名运动员同时起跑，刚跑出200m 后，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，并取得了优异的成绩．图
C
中分别表示甲、乙两名运动员所跑的路程y （m ）与比赛时间x （s ）之间的关系，根据图像解答下列问题：
（1）甲摔倒前，________的速度快（填甲或乙）； （2）甲再次投入比赛后，在距离终点多远处追上乙？
21.（本小题满分10分）
如图，边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF GH 、分割成四
个小矩形，EF 与GH 交于点P ．
（1）若AG AE =，证明：AF AH =；
（2）若45FAH ∠=°，证明：AG AE FH +=； （3）若Rt GBF △的周长为1，求矩形EPHD 的面积．
22.（本小题满分10分） 有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记
作一次函数表达式中的k ，第二次从余下．．的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b ．
（1）写出k 为负数的概率；
（2）求一次函数y kx b =+的图象经过二、三、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
1- 2- 3
正面
背面
A E D
H G
P
B F C
23.（本小题满分１２分）
如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径．大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F ．AD ，BE 相交
于点G ，连接BD ．
（1）求BD 的长；
（2）求∠ABE +2∠D 的度数；
（3）求BG
AG
的值． 24.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点(40)B ，
、(80)C ，、(88)D ，．抛物线2y ax bx =+过A C 、两点．
（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q
从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动，速度均为每秒1个单位长
度，
运动时间为t 秒．过点P 作PE AB ⊥交AC 于点E ．
过点E 作EF AD ⊥于点F ，交抛物线于点G ．当t 为何值时，线段
EG 最长？
2010年初中毕业学业考试（四）
数学试题参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每题4分，满分40分)
二、填空题(本大题共6小题，每题5分，满分30分)
11．x ≥
2
1
12． 2 13．50 14．如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直 15．(3)(3)a a a +-，22(3)x - 16．
5π382
- 三、解答题（本大题共8小题，共80分）解答应写明文字说明和运算步骤.
17.（本小题满分12分） (1) 解：原式
=14112⨯++-
=4114+= (2) 解：由①，得x ≥ 1 由②，得x < 4
∴原不等式组的解集是：1 ≤ x < 4
18.（本小题满分8分）
解：作BE l ⊥于点E ，DF l ⊥于点F ．
18018090909036.
DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=-∠=-=∠+∠=︒∴∠==︒ °°°°，， 根据题意，得BE =24mm ，DF =48mm.
在Rt ABE △中，sin BE
AB
α=，
24
40sin 360.60
BE AB ∴===°mm
在Rt ADF △中，cos DF
ADF AD
∠=，
48
60cos360.80
DF AD ∴===°mm ．
∴矩形ABCD 的周长=2（40+60）=200mm ．
19.（本小题满分8分） 答案：解：（1）过A 作AE 垂直x 轴，垂足为E ，
221tan 33
101 3.
AOE OE AE OA OE AE AE OE ∠=∴==+=∴== ，.
，
，
C
l
∴点A 的坐标为（3，1）． A 点在双曲线上，13k
∴=，3k ∴=．
∴双曲线的解析式为3
y x
=．
（2） 点(2)B m -，
在双曲线3
y x
=上， 33
22
m m ∴-=∴=-，．
∴点B 的坐标为322⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，． 231332 1.
2a b a a b b +=⎧⎧=⎪⎪∴∴⎨⎨-+=-⎪⎪=-⎩⎩，
，
∴一次函数的解析式为2
13
y x =
-． （3）过点C 作CP AB ⊥，垂足为点C ，
C D ，两点在直线2
13
y x =
-上， C D ∴，的坐标分别是：30(01)2C D ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，，．
即：3
12
OC OD =
=，，
DC ∴=
． PDC CDO △∽△，
213
.
4PD DC
DC OD
DC PD OD ∴
=∴==，
又139
144
OP DP OD =-=
-= P ∴点坐标为904⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
20.（本小题满分10分） 解：（1）甲．
（2）设线段OD 的解析式为1y k x =．
把(125800)，
代入1y k x =，得132
5
k =． ∴线段OD 的解析式为32
5
y x =
（0125x ≤≤）． 设线段BC 的解析式为2y k x b =+．
把(40200)，
，(120800)，分别代入2y k x b =+． 得2220040800120k b k b =+⎧⎨=+⎩，． 解得2152100k b .
⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
∴线段BC 的解析式为15
1002
y x =
-（40120x ≤≤）． 解方程组325151002y x,y x .⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得100011
640011x y .⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
64002400
8001111
-
=． 答：甲再次投入比赛后，在距离终点
2400
m 11
处追上了乙． 21.（本小题满分10分） 证明：（1）在Rt ADH △与Rt ABF △中， ∵AD AB DH AG AE BF ====，， ∴Rt ADH △≌Rt ABF △． ∴AF AH =．
（2）将ADH △绕点A 顺时针旋转90°到ABM △的位置． 在AMF △与AHF △中，
∵ AM AH AF AF ==，，
904545MAF MAH FAH FAH ∠=∠-∠=-==∠°°°，
∴AMF AHF △≌△．
∴MF HF =．
E D A
∵MF MB BF HD BF AG AE =+=+=+， ∴AG AE FH +=．
（3）设BF x GB y ==，，则1FC x =-，1AG y =-．（0101x y <<
<<，） 在Rt GBF △中，22222GF BF BG x y =+=+． ∵Rt GBF △的周长为1，
∴1BF BG GF x y ++=++=．
1()x y =-+．
即22212()()x y x y x y +=-+++． 整理得22210xy x y --+=． ∴矩形EPHD 的面积
11
(1)(1)1122
S PH EP FC AG x y xy x y ===--=--+=-+=··．
∴矩形EPHD 的面积是1
2
．
22.（本小题满分10分） 解：（1）k 为负数的概率是23
（2）画树状图
或用列表法：
第二次 第一次
1-
2-
3
1- （1-，2-）
（1-，3） 2-
（2-，1-） （2-，3）
3
（3，1-）
（3，2-）
共有6种情况，其中满足一次函数y kx b =+经过第二、三、四象限， 即00k b <<，的情况有2种
所以一次函数y kx b =+经过第二、三、四象限的概率为2163
= 23.（本小题满分12分）
2
- 3 1- 3
2- 1
1- 2
-3开始
第一次 第二次
解： （1）连接OC ，并延长BO 交AE 于点H ，
∵AB 是小圆的切线，C 是切点， ∴OC ⊥AB ，
∴C 是AB 的中点． ∵AD 是大圆的直径， ∴O 是AD 的中点．
∴OC 是△ABD 的中位线． ∴BD =2OC =10．
（2） 连接AE ，由（1）知C 是AB 的中点． 同理F 是BE 的中点． 由切线长定理得BC =BF ．
∴BA =BE ． ∴∠BAE =∠E ． ∵∠E =∠D ，
∴∠ABE +2∠D =∠ABE +∠E +∠BAE =180º． （3） 连接BO ，在Rt △OCB 中， ∵OB =13，OC =5， ∴BC =12．
由（2）知∠OBG =∠OBC =∠OAC ． ∵∠BGO =∠AGB ， ∴△BGO ∽△AGB ．
∴
13
24
BG OB AG AB ==
． 24.（本小题满分12分） 解：（1）点A 的坐标为（4，8）．
将(48)A ，
、(80)C ，两点坐标分别代入2
y ax bx =+， 得81640648.
a b a b =+⎧⎨
=+⎩，解得1
42a b =-=，．
∴抛物线的解析式为：2
142
y x x =-
+． （2）在Rt APE △和Rt ABC △中，tan PE BC PAE AP AB ∠==，即4
8
PE AP =． ∴11
22
PE AP t =
=，8PB t =-． ∴点E 的坐标为1482t t ⎛
⎫+
- ⎪⎝⎭
，． ∴点G 的纵坐标为2
2111144482228t t t ⎛⎫⎛
⎫-+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭．
∴2
1
8(8)8
EG t t =-+--2
18
t t =-+．
∵
1
8
-<，∴当4
t=时，线段EG最长为2．
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