第一章求极限练习题答案
极限练习题及答案
极限练习题及答案
一. 选择题
1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.
F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?
1
x
,则
ex?1?1
x?0，x x?0，x
?1都是f?1都是f
的第一类间断点. 的第二类间断点
x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??
x?1x
?1是f
的第一类间断点.
1，则f[，x?0、，
1f
]?
1
A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）
X
D） x
1+ )?e
xx11lim??elimC） D）?e
xx
A） lim
x?0
?
1
x
?1B）lim
x?0
1
x
?
x?x
x??x??
5．已知lim
?9，则a?。
A.1；
B.?；
C.ln3；
D.2ln3。．极限：lim x
?
?2
A.1；
B.?；
C.e7．极限：lim
； D.e。
2
x??
x3?2
= x3
A.1；
B.?；
C.0；
D.2．
8．极限：lim
x?0
x?1?1x
=
A.0；
B.?；C 1； D.2．
2
9. 极限：lim=
x??
?
A.0；
B.?；
C.2；
D. 1．
2
sinx
10．极限: limtanx?=
x?0
sin2x
A.0；
B.?；
C.
二. 填空题 11．极限limxsin
x??
116
； D.16．
2xx?1
2
= ； 12. limarctanx= ；
x?0
x
13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?
14. lim
sin5xx
x?0
数学极限练习题考研
数学极限练习题考研
数学极限是考研数学中的一个重要的知识点，也是比较难以理解和掌握的内容之一。掌握了数学极限的概念和运算方法，对于考生在考研数学中获得高分非常有帮助。下面我将为大家列举一些数学极限的练习题，帮助大家更好地掌握和应用数学极限。
【练习题一】求极限
1. $\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}$
2. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$
3. $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}$
4. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$
5. $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right)$
【解答】
1. 根据极限的定义，可以得到：
$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{(e^x-1)'}{x'} = \lim_{x \to 0}\frac{e^x}{1} = 1$$
2. 同样根据极限的定义，可以得到：
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$
3. 根据极限的定义，可以得到：
$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x\cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1$$
4. 这是一个经典的极限，可以用连续复利公式证明，答案为：
第一章 函数与极限的练习解答
一、P21：1；5
1.设），（），（∞+∞=55--A
，）
，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。
解：),5()3,(+∞-∞= B
A
)5,10[-=B A
),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A
)5,10[)()\(\--=--=B A A B A A
5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？
（1）
x x g x x f lg 2)(,lg )(2==
解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D
),0(+∞=g D 。
（2）
2
)(,)(x x g x x f ==
解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。
（3）
3
3
4
)(x
x x f -=，
3
1)(-•=x x x g
解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。
（4）
x x x g x f 2
2tan sec )(,1)(-==
解：不同。定义域不同，R D f =
},1,0,2
{ ±=+
≠=k k x x D g π
π。
二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）；
P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16.
4.求下列函数的自然定义域：
（1）
23+=x y ；
解：32023-≥⇒≥+x x 。即：),3
2
[+∞-=D 。
（3）211x x y --=； 解：⎩⎨⎧≤≤-≠⎩⎨⎧⇒≥-≠1
10
0102
x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。
北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.3
习题1.3
1.(1,2,),lim 1,0,,2
|-1|,:
n n n n n x n x N n n N x εε→∞
=
==>+>< 设证明即对于任意求出正整数使得
当时有 并填下表
220,1,|-1||1|,2,22
22,,|-1|.2.lim ,lim ||||.
0,,,||,||||||||,lim ||||.
3.{},(1),n n n n n n n n n n n n n
x n n n N n N x a l a l N n N a l a l a l a l a l N εεεε
εεεεε→∞
→∞
→∞
∀><=-=
<>
-++⎡⎤
=
-><⎢⎥⎣⎦
==∀>∃>-<-≤-<=不妨设要使只需取
则当时就有设证明使得当时此时故设有极限证明
存在一个自然数证证1||||1;
(2){},,||(12,).
(1)1,,,||1,|||||||||| 1.(2)m ax {||1,||,,||},||(12,).-313(1)lim
23
n n n n n n n N n n n N a l a M a M n N n N a l a a l l a l l l M l a a a M n N n n εε→∞
<<+≤==∃>-<=-+≤-+<+=+≤=+=
- 是一个有界数列即存在一个常数使得对于使得当时此时令则 4.用说法证明下列各极限式:
证23/23/2; (2)lim
0;
2
1
!(3)lim 0(||1); (4)lim
0;
111(5)lim 1;1223(1)11(6)lim 0.(1)(2)31311(1),23
极限方程题型练习题答案
极限方程题型练习题答案
随着教育水平的提高，数学的重要性日益凸显。而在数学中，极限是一个关键的概念，涉及到许多不同的题型和解题方法。本文旨在提供一些极限方程题型的练习题答案，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
1. 问题：求极限lim(x→0) [(sin2x)/(x^2)]
解答：我们可以使用泰勒级数展开来解决这个问题。根据泰勒级数展开公式，sinx在x等于0的情况下的展开式为x-x^3/6。将其代入题目中的极限式中得到：
lim(x→0) [(sin2x)/(x^2)] = lim(x→0) [(2x-2x^3/3)/(x^2)] = lim(x→0) [2-2x^2/3] = 2-0 = 2。
因此，极限lim(x→0) [(sin2x)/(x^2)]等于2。
2. 问题：求极限lim(x→∞) [ln(x+1)/ln(x)]
解答：我们可以利用洛必达法则来解决这个问题。洛必达法则可以用于解决形如f(x)/g(x)形式的极限问题，其中f(x)和g(x)均可导。
不妨设f(x) = ln(x+1)和g(x) = ln(x)，则我们可以直接对其求导：
f'(x) = 1/(x+1) 和 g'(x) = 1/x。
根据洛必达法则，当x趋于正无穷时，lim(x→∞) [f(x)/g(x)] =
lim(x→∞) [f'(x)/g'(x)]，所以我们可以计算lim(x→∞) [f'(x)/g'(x)]：
lim(x→∞) [f'(x)/g'(x)] = lim(x→∞) [(1/(x+1))/(1/x)] = lim(x→∞)
北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.3-推荐下载
习题1.3
1.(1,2,),lim 1,
0,
,
2
|-1|,:
n n n n n
x n x N n n N x εε→∞===>+>< 设证明即对于任意求出正整数使得当时有 并填下表
2
2
0,1,|-1||
1|,2,
22
22,,|-1|.
2.lim ,lim ||||.
0,,,||,
||||||||,
lim ||||.
3.{},
(1),n n n n n n n n n n n n n x n n n N n N x a l a l N n N a l a l a l a l a l N εεεε
εεεεε→∞
→∞
→∞
∀><=-=<>
-++⎡⎤
=-><⎢⎥⎣⎦==∀>∃>-<-≤-<=不妨设要使只需取则当时就有设证明使得当时此时故设有极限证明存在一个自然数证证1||||1;
(2){},,
||(12,).
(1)1,,,||1,
|||||||||| 1.
(2)max{||1,||,,||},
||(12,).
-313(1)lim 23n
n n n n n n N n n n N a l a M a M n N n N a l a a l l a l l l M l a a a M n N n n εε→∞<<+≤==∃>-<=-+≤-+<+=+≤=+=- 是一个有界数列即存在一个常数使得对于使得当时此时令则 4.用说法证明下列各极限式:
证23/23/2; (2)0;2!
(3)lim 0(||1); (4)lim
0;
111(5)lim 1;1223(1)11(6)lim 0.(1)(2)31311
第1章极限的定义习题集及答案
第一章 习题一 极限的定义
一．选择题 1．设1,1
()0,1
x f x x ⎧≤⎪=⎨
>⎪⎩，则[]{}()f f f x =（ B ）
（A ）0 （B ）1 （C ）1,10,1
x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ （D ）0,11,1
x x ⎧≤⎪⎨
>⎪⎩
2．“数列极限∞
→n lim n x 存在”是“数列}{n x 有界”的（ B ）
（Ａ）必要条件；（Ｂ）充分条件；（Ｃ）充要条件；（Ｄ）既非充分也非必要条件．
3．下列命题错误的是（ B ）
（A ）∞→n lim n x 存在，则∞→n lim n x 存在； （B ）∞→n lim n x 存在，则∞
→n lim n x 存在； （C ）∞→n lim n x 存在，则∞→n lim n x =n n x ∞
→lim ；（D ）∞→n lim n x 不存在，则∞
→n lim n x 也不存在． 4．若lim n n x →∞
存在，则以下选项错误的是（ B ）
（A ）lim n n x →∞存在 （B ）lim(1)n n n x →∞
-存在 （C ）1lim n n n x x +→∞存在 （D ）1
lim
2
n n n x x +→∞
+存在
5．设{}{}{}n n n a b c 均为非负数列，且lim 0,lim 1,lim n n n n n n a b c →∞
→∞→∞
===∞，则必有（ D ）
（A ）n n a b
不存在 （D ）极限lim n n n b c →∞
不存在 6．设n n n z y x ≤≤，下列命题不正确的是（ B ） （A ）若a z x n n n n ==∞
（完整word版）第一章求极限练习题答案
（完整word版）第⼀章求极限练习题答案1．求下列极限：
(1) 2
221lim (1)n n n n →∞++- 解：原式=2
221lim 21n n n n n →∞++-+=2
2
112lim 21
1n n n n n
→∞++-+=2 (2) 2
0lim(1)x x x →+解：原式=12
lim[(1)]x x x →+=2e
(3) 32
lim
3
x x →- 解：原式
=3x →
=x →=1
4
(4) 1
lim (1)x x x e →∞-解：原式=1(1)lim
1x
x e x
→∞
-=1(5) 0x ≠当时，求lim cos cos cos 242n n x x x
→∞L .解：原式=cos cos (2cos sin )2422lim
2sin 2n n n n x x x x x →∞L =1cos sin
22lim 2sin 2
n n n
x x x →∞-=sin lim 2sin 2n n
n x x →∞ =sin 2lim()sin 2
n n n x x x x →∞g =sin x x
(6) 2
1sin
lim x x 解：原式
=
21lim
x x g
=
lim
x
=
lim
x
=
(7)
22212lim(
)12n n
n n n n n n n
→∞+++++++++L 解：令
222
1212n n
y n n n n n n n
=+++++++++L 因 2222(1)(1)
121222
11n n n n n n n
y n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++L L ⽽2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++， 2(1) 1
厦门理工学院高数练习题答案第一章 函数与极限
高等数学练习题 第一章 函数与极限
________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______
第一节 映射与极限
一．选择题 1.函数216ln 1
x x
x y -+-=
的定义域为 [ D ] （A ）（0，1） （B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3
arcsin 2lg
x
x x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++
=x x y 是 [ A ]
（A ）奇函数 （B ）非奇非偶函数 （C ）偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ] （A ）222-+=x x y （B ）)1(2x y -= （C ）|
|)2
1(x y = （D ）.||log 2x y = 二．填空题
1. 已知),569(log )3(2
2+-=x x x f 则=)1(f 2 2. 已知,1)1(2
++=+x x x f 则)(x f 12
+-x x
3. 已知x
x f 1
)(=
,x x g -=1)(, 则()=][x g f x -11
4. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数 1
102-+=x y
5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2=： x s s v v u u y ====,ln ,tan ,2
微积分第五版影印版)课后练习题含答案
微积分第五版影印版课后练习题含答案
本文提供微积分第五版影印版课后练习题及其答案，方便读者进行练习和自我检验。
前言
微积分是高等数学中最基础也是最重要的一门学科，在各个领域中都有广泛的应用。本文提供微积分第五版影印版的课后练习题及其答案，希望读者通过练习，加深对微积分的理解，提高自己的能力。
课后习题
第一章函数与极限
1.1 函数的概念与性质
1.已知函数f(x)=2x+1，求f(3)。
答案：$f(3)=2 \\times 3 +1=7$。
2.已知函数y=x2+1，求y(2)。
答案：y(2)=22+1=5。
3.已知函数f(x)=x3+3x，求f(−2)。
答案：$f(-2)=(-2)^3+3 \\times (-2)=-8-6=-14$。
…
注：为了节约篇幅，本文仅列举几道习题及其答案。
第二章导数与微分
2.1 导数的概念
1.求函数y=x2在x=1的导数。
答案：y′=2x|x=1=2。
…
第三章微分中值定理与导数的应用
3.1 中值定理及其应用
1.证明函数y=x2在区间[0,1]上满足罗尔定理的条件。
答案：由罗尔定理可得，若f(a)=f(b)，且f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，那么必存在一点 $c\\in(a,b)$，使f′(c)=0。
在本题中，f(0)=0，f(1)=1，f(x)=x2在[0,1]上连续，f(x)在(0,1)内可导，于是满足罗尔定理的条件。
…
第四章曲线的性质与应用
4.1 曲率
1.求函数y=x3在点(1,1)处的曲率半径。
答案：函数y=x3的导函数为y′=3x2，曲率公式为$R=\\frac{[1+(y')^2]^{3/2}}{|y''|}$。
高等数学C习题答案-1
高等数学（少学时）习题解答
第一章 函数与极限
习题1-1
1.求下列函数的定义域: (1) 211
x x
y --=
; 解：110≤≤-≠x x 且；
(2) ;1arctan
3x
x y +-= 解：30≤≠x x 且； (3) ()
x x x y -+
--=2ln 1
562;
解：由020562>-≥--x x x 且，得16≤≤-x ； (4) 2
12arccos
x
x
y +=. 解：由,11212
≤+≤
-x
x
R x ∈. 2. 设()x f 的定义域为[]1,0，求()()()0>-++a a x f a x f 的定义域.
解：⎩⎨
⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a x a a
x a a x a x 111010－知由从而得 ][.2
1
1,210φ时，定义域为；当时，定义域为当>-≤<a a a a
3. 设 ⎪⎩
⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x ,求)2(46ϕπϕπϕ、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛.
解：6sin )6(ππϕ=2
1
=；22)4sin()4(=-=-ππϕ；()02=ϕ
4.判断下列函数的奇偶性:
(1) x x x f cos sin )(+=;
解：x x x x x f cos sin )cos()sin()(+-=-+-=-；非奇非偶；
(2) ()1e e 2
-=
+x
x y ; 解：)()(2
1)(x f e e x f x x
=+=--；偶函数； (3) ()1e e 2
-=
-x x
y ; 解：)()(2
大一上高数作业及课堂练习
高数作业及课堂练习
注意：
（1）没有布置的习题，请利用课余时间自行完成；（2）总习题一定要自行练习。
第一章：函数与极限
第一节 映射与函数
1、试求下列各题中的
()f x 表达式：
（1）2
2
1
1()sin() 2 , 1f x x x x
x +=
++> （2）22(sin )cos(2)tan , 0<1f x x x x =+< 答案：
（1）2()sin(2) 2 , 2f x x x =
-+>
（2）21
()2, 0
=-+
<- 2、设满足方程：1
()()sin , a af x bf x b x +-=≠ ，求
()f x 。
答案：22
11
()(sin sin )f x a x b a b x
=
+- 3、 设
22(,)+cos() y
f x y x y xy x
+=- ，求(,)f x y 。
答案：222
(1)(,)cos ) , (y 1)1(1)
x y x y
f x y y y -=+≠++ 4、设() f x 是以T 为周期的函数，证明：() ( a>0 ) f ax 是以T
a
为周期的函数。 5、设函数
() , (,) f x x ∈-∞+∞的图形关于 , x a x b ==对称（ a b ≠）
，证明： () y f x =是周期函数，并求其周期。
提示：() () , () ()f a x f a x f b x f b x +=-+=-，于是
() [()] [()] (2) =[(2)] f x f a x a f a x a f a x f b a x b =+-=--=-+--
第一章 函数与极限的练习解答
一、P21：1；5
1.设），（），（∞+∞=55--A
，）
，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。
解：),5()3,(+∞-∞= B
A
)5,10[-=B A
),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A
)5,10[)()\(\--=--=B A A B A A
5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？
（1）
x x g x x f lg 2)(,lg )(2==
解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D
),0(+∞=g D 。
（2）
2
)(,)(x x g x x f ==
解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。
（3）
3
3
4
)(x
x x f -=，
3
1)(-•=x x x g
解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。
（4）
x x x g x f 2
2tan sec )(,1)(-==
解：不同。定义域不同，R D f =
},1,0,2
{ ±=+
≠=k k x x D g π
π。
二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）；
P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16.
4.求下列函数的自然定义域：
（1）
23+=x y ；
解：32023-≥⇒≥+x x 。即：),3
2
[+∞-=D 。
（3）211x x y --=； 解：⎩⎨⎧≤≤-≠⎩⎨⎧⇒≥-≠1
10
0102
x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。
高等数学上册极限习题答案
高等数学上册极限习题答案
高等数学上册极限习题答案
高等数学是大学数学的重要组成部分，其中极限是一个关键的概念。在学习高等数学的过程中，我们经常会遇到一些极限习题。这些习题不仅能够帮助我们巩固和深化对极限的理解，还能够培养我们的分析和解决问题的能力。在本文中，我将为大家提供一些高等数学上册极限习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x)
解：根据极限的定义，我们知道当x趋近于0时，sinx/x的极限应该是1。这是因为sinx/x在x趋近于0时，可以近似地看作是1。因此，答案是1。
2. 求极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x
解：这是一个经典的极限问题，我们可以利用自然对数的性质来求解。首先，我们将(1+1/x)^x取对数，得到ln[(1+1/x)^x]。然后，利用对数的性质，我们可以将指数移到前面，得到xln(1+1/x)。接下来，我们可以利用极限的性质，将x 趋近于无穷大，得到lim(x→∞) xln(1+1/x)。再利用极限的性质，我们可以将
ln(1+1/x)的极限写成ln[(1+1/x)^x]的极限，即lim(x→∞) ln[(1+1/x)^x]。由于
ln[(1+1/x)^x]的极限是1，所以答案是1。
3. 求极限：lim(x→0) (e^x-1)/x
解：这是一个常见的极限问题，我们可以利用泰勒展开来求解。首先，我们将e^x-1展开成泰勒级数，得到x+x^2/2!+x^3/3!+...。然后，我们可以将(e^x-1)/x展开成(x+x^2/2!+x^3/3!+...)/x，即1+x/2!+x^2/3!+...。接下来，我们可以利用极限的性质，将x趋近于0，得到lim(x→0) (1+x/2!+x^2/3!+...)。由于x趋
第一章 函数极限与连续练习题
1 −n n n →∞
（C）3 ） (D)
（D）4
9、 设 0 < a < b ，则 lim(a − n + b ) = （ （A） a 10、 已知 lim ⎜ (A) (B)
a −1
(C) b
b −1
⎛ x2 ⎞ − ax − b ⎟ = 0 ，其中 a , b 是常数，则（ ） x →∞ x + 1 ⎝ ⎠
(B) 4 (C) 6 (D)8
(A) 2 15、 “
f ( x) 在点 a 连续”是 f ( x) 在点 a 处连续的（ ）条件
(B) 充分非必要 (C) 充要 (D)既非充分又非必要
(A) 必要非充分
⎧ ln(1 − x3 ) 1 ⋅ sin , x < 0 ⎪ 16、 f ( x) = ⎨ 则 f ( x ) 在 x = 0 处( ) x x ⎪1 − cos x , x≥0 ⎩
5)
( x + a) ( x + b) lim 2 x + a +b x →∞ ( x + a + b)
x+a
x +b
x
6)
x →0
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lim x 1+ ln x +
⎛ x⎞ ⎟ ⎟ ⎠
.
江苏省专转本《高等数学》自学教程第一章《极限、连续与间断》(附练习和答案)
第一章 极限、连续与间断
本章主要知识点
● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类
● 连续函数的介值定理及应用
一、求极限的七类题型
求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。
（1）题型I ()
()lim
m x n
P x P x ->∞
方法：上下同除以x 的最高次幂
例1.1．5422
lim x x x x x
->∞+-+ 解：原式5
34
111lim 11
x x x x x ->∞+-==∞+ 例1.2．()()22
4
3123lim
31
x x x x ->∞
+-+
解：原式()()
2
2
2
2
4
3123lim
1
3x x x x x x ->∞
+-=+
22
4
1332lim 1
3x x x x
->∞⎛
⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=+=12 例1.3．1
11313lim
-++-++∞
→x x x x x
解：原式=1
11313lim
-++-++∞
→x x x x x =x
x x x x 11111313lim
-++-++
∞
→=3 例1.4．)214(lim 2
x x x x -+-+∞
→
解：原式=x
x x x x 2141lim
2
++-+-+∞
→
=2
1
141
1lim 2++-+-+∞→x
x x x =41-
例1.5．x
x x x
x x x 234234lim --+++∞→
解：原式=x
x x
x x )2
1
()43(1)21()43(1lim
--+++∞→=1 （2）题型II ()
lim
()
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n d
A
l l t
h i n
b e
a r
g
o
1．求下列极限：(1) 解：原式==
=22
2
21
lim
(1)
n n n n →∞
++-2
221lim 21n n n n n →∞++-+2
2
112lim 21
1n n n n n
→∞+
+-+(2) 解：原式==(3) 解：原式
20lim(1)x x x →+1
2
lim[(1)]x x x →+2e 3x →==(4) 解：原式=
3x →x →1
4
1
lim (1)x
x x e →∞
-=1(5) 求.解：原式=1(1)
lim
1x
x e x
→∞-0
x ≠当当当lim cos cos cos 2
4
2n
n x x x
→∞
==cos cos (2cos sin )2422lim
2sin 2n n n n x x x x x →∞ 1cos sin
22lim 2sin 2
n n n
x x
x →∞-sin lim 2sin 2n n
n x x →∞ ==(6) 解：原式==sin 2lim()sin 2n n n
x x x x →∞A sin x x lim
x lim x (7) lim
x lim x 22212lim(12n n
n n n n n n n
→∞+++++++++ 解：令 222
1212n n
y n n n n n n n =
+++++++++ 因 2222(1)(1)
121222
11n n n n n n n
y n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而，，2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++2(1)
12lim 12
n n n n n →∞+=++故222121
lim(
122
n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (8)
解：原式=
n →∞
A
l t
h n
g i n
t h
i n g
2
n n →∞
→∞
==1.3 函数的极限 作业
1.根据函数极限的定义,验证下列极限:(1) 解: ,要使, 即,
3
1
lim
0x x
→∞
=0ε∀>3311|0|||x x ε-=<||x >只要取,则当时,恒有 , 所以. X =||x X >31
|
0|x
ε-<31
lim
0x x
→∞
=(2) 解: ,要使,
2x →=0ε∀>|4|
|2|2x ε-=
<<还要使，即，或，只要取,0x ≥44x -≥-|4|4x - 2x →=2.求下列数列极限:(1) 222 12lim( 12n n n n n n n n n →∞ +++++++++ 解：令 2221212n n y n n n n n n n =+++++++++ 因 2222(1)(1) 121222 11n n n n n n n y n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而，，2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++2(1) 12lim 12 n n n n n →∞+= ++故222121 lim( 122 n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (2) 解：原式= n →∞ 2 n n →∞ →∞ ==3．求下列函数极限： (1) 解：原式=-9(2) 解：原式==4225lim 3x x x →+-224 lim 2 x x x →--2lim(2)x x →+ a r e (3) 解：原式=1 x → 11x x →→==(4) 解：原式=x →∞ x =(5) 解：原式=2(21)(32) lim (21) x x x x →∞--+226723lim 4412x x x x x →∞-+=++(6) 解：原式=21 21lim( )11x x x →---211(1)11 lim lim 112 x x x x x →→---==--+4.设 ，分别讨论在，和 23 2 0() 1 01 1 x>11 x x f x x x x ⎧ ⎪+≤⎪ =+<≤⎨⎪⎪-⎩()f x 0x →1x →时的极限是否存在. 2x →解：，，故不存在.0lim ()2x f x - →=0lim ()1x f x + →=0 lim ()x f x →，趋向无穷大，故不存在.1lim ()2x f x - →=1 lim ()x f x + →1 lim ()x f x →，，故.2lim ()1x f x - →=2 lim ()1x f x + →=2 lim ()1x f x →=1.4 3．求下列函数极限：(1) =-9(3) ==4225lim 3x x x →+-224 lim 2 x x x →--2lim(2)x x →+1 x →1x x →→==(7) 00h h h →→→===(9) =x →∞ x =