2018届上海市闵行区七宝中学高三下学期开学考数学试题缺答案

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2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二下学期开学考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．（上海市崇明区2018届高三4月模拟）若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A ．2b =， 3c =B ．2b =， 1c =-C ．2b =-， 3c =D ．2b =-， 1c =-【答案】C【解析】由题意可得：()()2110b c +++=，则：()()120b c -++++=，整理可得：()()10b c i +-+=，据此有：10b c +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解方程组可得：23b c =-⎧⎨=⎩. 本题选择C 选项.2．关于x ，y ，z 的三元一次方程组()1232136ax y z x ay z x a y z ⎧++=⎪++=⎨⎪+++=⎩解的情况是（）A ．一组解B ．一组解或无穷多组解C ．一组解或无解D ．无解【答案】B【解析】分别计算D,,,x y z D D D ,并对a 讨论求解即可【详解】21111111(1),21132136213x a D aa D aa a a ==-==-++11111210,12(21)(1)3633216y z a a D D aa a a ===--+当1a ≠，110211x y z D x D a D y D D a x D a ⎧==⎪-⎪⎪==⎨⎪-⎪==⎪-⎩方程组有唯一解当 1 ,0y z x a D D D ====即方程组为123336x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，方程组无解故选：B 【点睛】本题考查行列式与方程组的解，考查运算能力，是基础题3．双曲线C 的左、右焦点为1F ，2F ，P 为C 右支上的动点（非顶点），I 为12F PF ∆的内心.当P 变化时，I 的轨迹为（） A ．直线的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．无法确定【答案】A【解析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q 的横坐标，PF 1﹣PF 2＝F 1Q ﹣F 2Q ＝2a ，F 1Q +F 2Q ＝F 1F 2解出OQ ，可得结论．【详解】如图设切点分别为M ，N ，Q ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标与Q 横坐标相同．由双曲线的定义，PF 1﹣PF 2＝2a ＝4．由圆的切线性质PF 1﹣PF 2＝F 1M ﹣F 2N ＝F 1Q ﹣F 2Q ＝2a ， ∵F 1Q +F 2Q ＝F 1F 2＝2c ， ∴F 1Q ＝a +c ，F 2Q ＝c ﹣a ，∴OQ ＝OF 2﹣QF 2＝c ﹣（c ﹣a ）＝a ．∴△F 1PF 2内切圆与x 轴的切点坐标为（a ，0）， ∴当P 变化时，I 的轨迹为直线的一部分．故选：A ．【点睛】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义,注意切线长相等的应用 4．已知两点51,4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，54,4B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，给出下列曲线方程：（1）4210x y +-=；（2）223x y +=；（3）2214y x -=；（4）2214y x +=，在曲线上存在点P 满足PA PB =的所有曲线是（） A ．（1）（2）（3）（4） B ．（2）（3） C ．（1）（4） D ．（2）（3）（4）【答案】B【解析】求出线段MN 的垂直平分线方程，然后分别和题目给出的四条曲线方程联立，利用判别式判断直线和曲线的交点情况，从而判断给出的曲线上是否存在点P ，使得||P A |＝|PB |．【详解】由A （1，54），B （﹣4，54-），得()55144142ABk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--，A 、B 的中点坐标为（32-，0）， ∴AB 的垂直平分线方程为y ﹣0＝﹣2（x 32+），即y ＝﹣2x ﹣3．（1）∵直线y ＝﹣2x ﹣3与直线4x +2y ﹣1＝0平行， ∴直线4x +2y ﹣1＝0上不存在点P ，使|P A |＝|PB |；（2）联立22233y x x y =--⎧⎨+=⎩，得5x 2+12x +6＝0，△＝122﹣4×5×6＝24＞0． ∴直线y ＝﹣2x ﹣3与x 2+y 2＝3有交点，曲线x 2+y 2＝3上存在点P 满足|P A |＝|PB |；（3）联立222314y x y x =--⎧⎪⎨-=⎪⎩，得1312x =-，方程有解，∴直线y ＝﹣2x ﹣3与x 224y -=1有交点，曲线x 224y -=1上存在点P 满足|P A |＝|PB |；（4）联立222314y x y x =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，得8x 2+12x +5＝0，△＝122﹣4×8×5＝﹣16＜0． ∴直线y ＝﹣2x ﹣3与x 224+=y 1没有交点，曲线x 224+=y 1上不存在点P 满足|P A |＝|PB |．∴曲线上存在点P 满足|P A |＝|PB |的所有曲线是（2）（3）．故选：B ．【点睛】本题考查了曲线与方程，训练了线段的垂直平分线方程的求法，考查了利用判别式法判断两条曲线的位置关系，是中档题．二、填空题 5．复数2i的虚部是______. 【答案】-2【解析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【详解】()()222i i i i i -==--,故虚部为-2 故答案为：-2 【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题． 6．直线342x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 是参数，t R ∈）的一个方向向量是______.【答案】（1，14-）【解析】化直线的参数方程为普通方程为：x +4y ﹣11＝0，由直线的方向向量得：该直线的斜率k 14=-，即该直线的一个方向向量为（1，14-），得解．【详解】将直线342x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 是参数，t ∈R ）化为普通方程为：x +4y ﹣11＝0，可得该直线的斜率k 14=-，即该直线的一个方向向量为：（1，14-）故答案为：（1，14-）【点睛】本题考查了直线的参数方程与普通方程的互化及直线的方向向量，属简单题．7．已知椭圆2221x y a+=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =________【解析】由抛物线的标准方程可得其焦点坐标为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设椭圆的焦点坐标为：()()12,0,,0F c F c -，则：1211,0,,022F F c FF c ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意有：11,03,022c c ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则：11322c c ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求解关于c 的方程可得：1c =，则：a ==.8．已知点(23)A ，，(1,0)B ，动点P 在y 轴上，当||||PA PB +取最小值时，点P 的坐标为______. 【答案】()0,1【解析】作出A 关于y 轴的对称点()'2,3A -,连接'A B ,与y 轴交于P ,即为所求，求出直线AB 的方程，令0x =可得P 的坐标. 【详解】作出A 关于y 轴的对称点()'2,3A -, 连接'A B ,与y 轴交于P ,即为所求，此时PA PB +取最小值'A B ，由'A B 的斜率为30121-=---，可得方程()1y x =--，令0x =，可得1y =，即为()0,1P ，故答案为()0,1. 【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.9．已知复数(),z a bi a b R =+∈，满足1z =，则ab 的最小值是______. 【答案】12-【解析】由1z =得,a b 的关系，再利用基本不等式求最值即可【详解】 ∵|z |＝1，=1，即a 2+b 2＝1，则1＝a 2+b 2≥2|ab |，当且仅当|a |=|b |=2等号成立即|ab |12≤，则12-≤ab 12≤，，故答案为：12-【点睛】本题主要考查复数模长的应用，结合基本不等式求最值是解决本题的关键．10．已知{}n a 是无穷等比数列，若{}n a 的每一项都等于它后面所有项的k 倍，则实数k 的取值范围是______.【答案】（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．【解析】无穷等比数列{a n }的各项和为A ，前n 项和为S n ，公比为q ，0＜|q |≤1，q ≠1．可得A 11a q =-，S n ()111na q q-=-，由题意可得：a n ＝k （A ﹣S n ），代入化为：k ()1n q q q -=，分类讨论即可得出．【详解】解：无穷等比数列{a n }的各项和为A ，前n 项和为S n ，公比为q ，0＜|q |≤1，q ≠1．则A 11a q =-，S n ()111na q q-=-，由题意可得：a n ＝k （A ﹣S n ）， ∴a 1q ＝k （()11111na q a qq----），化为：k ()1nq q q-=，1＞q ＞0时，k ＞0，n →+∞时，k →+∞．﹣1≤q ＜0时，可得：n 为偶数时，k ∈（﹣∞，﹣2]；n 为奇数时，k ＞0． ∴k ∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．综上可得：k ∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、极限性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知12F F 、是双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点,过点1F 且斜率为2的直线l 交双曲线的左支于点P,若直线2PF l ⊥，则双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】2y x =±【解析】先求出过点1F 且斜率为2的直线的方程，再利用垂直关系得出直线1PF 的方程，求出它们的焦点坐标及点P 的坐标，利用点P 在双曲线上，代入求得,,a b c 的关系式，进而求得其渐近线的方程，得到答案．【详解】由题意，过过点1F 且斜率为2的直线l 的方程为2()y x c =+，因为2PF l ⊥，所以直线1PF 的斜率为12-，所以直线1PF 的方程为1()2y x c =--，两直线联立方程组，解得交点P 的坐标为34(,)55c c-，如图所示，将点P 代入双曲线的方程，可得222234()()551c c a b --=，整理得22222291625b c a c a b -=，又由222b c a =-，代入得222222229()1625()c a c a c a c a --=-，整理得4224950250c a c a -+=，解得225c a =，可得224b a =，即2b a =，所以双曲线的渐近线的方程为2y x =±．故答案为：2y x =±．、【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．12．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，24a =，平面内三个不共线的向量OA ，OB ，OC 满足()()()*1112,n n n OC a OA a a OB n n N -+=-++≥∈，若点A ，B ，C在同一直线上，则2019S =______. 【答案】8【解析】由题意得出a n ﹣1+a n +1＝a n ，由S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，a 2＝4，得到数列{a n }是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，由此能求出S 2019 【详解】因为OC =（1﹣a n ）OA +（a n ﹣1+a n +1）OB （n ≥2，n ∈N ），A ，B ，C 在同一直线上，则a n ﹣1+a n +1+1﹣a n ＝1，∴a n ﹣1+a n +1＝a n ， ∵S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，a 2＝4，∴数列{a n }为：2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，… 即数列{a n }是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2， ∵2019＝6×336+3，∴S 2019＝336×（2+4+2﹣2﹣4﹣2）+2+4+2＝8．故答案为：8 【点睛】本题考查数列的前n 项和的求法，考查周期数列、共线向量性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 13．已知平面向量a ，b ，c 满足a b ⊥，且{}{},,1,2,3a b c =，则a b c ++的最大值是______.【答案】3【解析】分别以a b ，所在的直线为x ，y 轴建立直角坐标系，分类讨论：当{|a |，|b |}＝{1，2}，|c |＝3，设()c x y ，=，则x 2+y 2＝9，则a b c ++=（1+x ，2+y ），有|++a b c |=的最大值，其几何意义是圆x 2+y 2＝9上点（x ，y ）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【详解】分别以a b ，所在的直线为x ，y 轴建立直角坐标系， ①当{|a |，|b |}＝{1，2}，|c |＝3，则()12a b +=，，设()c x y ，=，则x 2+y 2＝9，∴a b c ++=（1+x ，2+y ），∴|++a b c |的最大值，其几何意义是圆x 2+y 2＝9上点（x ，y ）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为3=3②当{|a |，|b |}＝{1，3}，|c |＝2，则()13a b +=，，x 2+y 2＝4， ∴a b c ++=（1+x ，3+y ） ∴|++a b c|=x 2+y 2＝4上点（x ，y ）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2=2， ③当{|a |，|b |}＝{2，3}，|c |＝1，则()23a b +=，，设()c x y ，=，则x 2+y 2＝1∴a b c ++=（2+x ，3+y ） ∴|++a b c|=x 2+y 2＝1上取点（x ，y ）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1=1∵133++++ 故|++a b c |的最大值为3故答案为：3【点睛】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r +d （r 为该圆的半径，d 为该点与圆心的距离）．14．设m 为实数，若{}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，，，则m 的取值范围是．【答案】403m ≤≤ 【解析】【详解】如图可得440033m m -≤-≤∴≤≤ 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1202n n n a S S n -+⋅=≥，112S =，设n n b na =，则以下四个命题：（1）1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）{}n b 中最大项是1b ；（3）{}n a 通项公式是()121n a n n =--；（4）lim 0n n a →∞=.其中真命题的序号是______. 【答案】（1）（2）（4）【解析】运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，即可判断（1），（3），由数列的单调性可判断（2），（4）．【详解】a n +2S n ﹣1•S n ＝0（n ≥2），S 112=，可得S n ﹣S n ﹣1＝﹣2S n ﹣1•S n ＝0（n ≥2），即有111n n S S --=2， {1n S }是首项、公差均为2的等差数列，故（1）正确；可得1n S =2+2（n ﹣1）＝2n ，即S n 12n=，可得a 1＝S 112=，n ≥2时，a n ()121n n =--，对n ＝1不成立，故（3）错误；由a n ()121n n =--在n ≥2递增，当n →∞时，可得n lim →∞a n ＝0，故（4）正确； b n ＝na n ()1121221n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥-⎪⎩，，，可得n ≥2时，b n 递增，且b n ＜0，则{b n }中最大项是b 1，故（2）正确．故答案为：（1）（2）（4）．【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列的单调性，考查化简运算能力和推理能力，注意利用S n 12n=求a n 检验首项是否成立属于中档题．16．已知函数()21x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于点A ，B 两点，若动点P 满足4PA PB +=，则点P 的轨迹方程是______.【答案】（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4．【解析】函数f （x ）21x x -==-111x --，可得f （x ）的对称中心为Q （1，1）．直线g （x ）＝mx +1﹣m 即y ＝m （x ﹣1）+1，经过定点Q （1，1）．可得两图象相交的两点A ，B 关于点Q 对称．设A （x 0，y 0），B （2﹣x 0，2﹣y 0）．设P （x ，y ）．利用动点P 满足|PA PB +|＝4，即可得出．【详解】函数f （x ）21x x -==-111x --，可得f （x ）的对称中心为Q （1，1）．直线g （x ）＝mx +1﹣m 即y ＝m （x ﹣1）+1，经过定点Q （1，1）．则两图象相交的两点A ，B 关于点Q 对称．设A （x 0，y 0），B （2﹣x 0，2﹣y 0）．设P （x ，y ）． ∵PA PB +=（2﹣2x ，2﹣2y ）．∵动点P 满足|PA PB +|＝4，=4，化为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4．故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4．【点睛】本题考查了函数的对称性、轨迹方程、向量坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，准确推理两函数均关于点（1,1）对称是关键，属于中档题．三、解答题17．已知复数z 满足2641iz i-+=--. （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若w z ai =+，且w z ≤，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）82z i =--（2）﹣4≤a ≤0【解析】（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出；（2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出．【详解】（1）()()2614822i i z i -++=-=-+，∴82z i =--．（2）由（1）z =w ＝﹣8+（2+a ）i ，∴w ==∵|w |≤|z |，则68+4a +a 2≤68，a 2+4a ≤0，﹣4≤a ≤0，所以，实数a 的取值范围是：﹣4≤a ≤0．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．18．已知定点()0,1A ，()0,1B -，()1,0C ，动点P 满足2AP BP k CP ⋅=. （1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当2k =时，求AP BP +的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）[2，6]【解析】（1）设P （x ，y ），则AP =（x ，y ﹣1），BP =（x ，y +1），CP =（x ﹣1，y ），动点P 满足AP BP ⋅=k |CP |2．可得x 2+y 2﹣1＝k [（x ﹣1）2+y 2]，对k 分类讨论即可得出．（2）当k ＝2时，方程为：（x ﹣2）2+y 2＝7．由|AP BP +|＝|（2x ，2y ）|＝求出原点到圆心的距离d ．即可对称|AP BP +|的取值范围．【详解】（1）设P （x ，y ），则AP =（x ，y ﹣1），BP =（x ，y +1），CP =（x ﹣1，y ）， ∵动点P 满足AP BP ⋅=k |CP |2． ∴x 2+y 2﹣1＝k [（x ﹣1）2+y 2]，k ＝1时，化为：x ﹣1＝0，此时点P 的轨迹为直线． k ≠1时，化为：2()1k x k -+-y 221(1)k =-．由21(1)k -＞0，得点P 的轨迹为圆，圆心为01k k ⎛⎫⎪-⎝⎭，（2）当k ＝2时，方程为：（x ﹣2）2+y 2＝1．|AP BP +|＝|（2x ，2y ）|＝．原点到圆心（2,0）的距离d ＝22-1=1，最大为2+1=3∴|AP BP +|＝[2，6]．【点睛】本题考查了圆的定义标准方程及其性质、分类讨论方法、向量坐标运算性质、数量积运算性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．从数列{}n a 中取出部分项组成的数列称为数列{}n a 的“子数列”.（1）若等差数列{}n a 的公差0d ≠，其子数列{}n k a 恰为等比数列，其中11k =，25k =，317k =，求12n k k k ++⋅⋅⋅+；（2）若32n a n =-，4n n b =，判断数列{}n b 是否为{}n a 的“子数列”，并证明你的结论. 【答案】（1）3n﹣1﹣n （2）见解析【解析】（1）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，求得首项和公差的关系，可得等比数列的公比，结合等比数列的通项公式，可得k n ＝2•3n ﹣1﹣1，再由数列的分组求和，即可得到所求和；（2）数列{b n }为{a n }的“子数列”．由3k ﹣2＝4n ，可得3k ＝4n+2，运用二项式定理即可得证．【详解】（1）等差数列{a n }的公差d ≠0，其子数列{a n k }恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，可得a 1k =a 1，a 2k =a 5，a 3k =a 17，且有a 52＝a 1a 17，即（a 1+4d ）2＝a 1（a 1+16d ），化为a 1＝2d ，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝（n +1）d ，子数列{a n k }为首项为2d ，公比为51a a =3的等比数列，则a n k =2d •3n ﹣1＝（k n +1）d ，可得k n ＝2•3n ﹣1﹣1，则k 1+k 2+…+k n ＝（2+6+…+2•3n ﹣1）﹣n()21313n -=--n ＝3n﹣1﹣n ；（2）若a n ＝3n ﹣2，b n ＝4n，数列{b n }为{a n }的“子数列”．由3k ﹣2＝4n ，可得3k ＝4n+2，由4n ＝（1+3）n ＝1+C 1n •3+C 2n •32+…+3n ，即有4n +2＝3（1+C 1n +C 2n •3+…+3n ﹣1），显然为3的倍数，故数列{b n }为{a n }的“子数列”．【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．20．设复数(),x yi x y R β=+∈与复平面上点(),P x y 对应.（1）若β是关于t 的一元二次方程()220t t m m R -+=∈的一个虚根，且2β=，求实数m 的值；（2）设复数β满足条件()()31331nna a ββ++--=+-（其中*n N ∈、常数3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），当n 为奇数时，动点(),P x y 的轨迹为1C ，当n 为偶数时，动点(),P x y 的轨迹为2C，且两条曲线都经过点(D ，求轨迹1C 与2C 的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹2C 上存在点A ，使点A 与点()()00,00B x x >的最小距，求实数0x 的取值范围.【答案】（1）m ＝4；（2）C 1的方程是：22136x y -=（x ≥，C 2的方程是：221123x y +=．（3）00x ≤＜或0x ≥．【解析】（1）由实系数方程虚根成对，利用韦达定理直接求出m 的值．（2）方法一：分n 为奇数和偶数，化出a 的范围，联立双曲线方程，求出a 值，推出双曲线方程即可．方法二：由题意分a 的奇偶数，联立方程组，求出复数β，解出a ，根据双曲线的定义求出双曲线方程．（3）设点A 的坐标，求出|AB |表达式，根据x 范围，x的对称轴讨论002x ≤＜，02x ＞时，|AB |的最小值，不小于3，求出实数x 0的取值范围．【详解】（1）β是方程的一个虚根，则β是方程的另一个虚根，则2||4m βββ⋅===，所以m ＝4（2）方法1：①当n 为奇数时，| β +3|﹣| β﹣3|＝2a ，常数332a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，），轨迹C 1为双曲线一支，其方程为222219x y a a -=-，x ≥a ； ②当n 为偶数时，| β +3|+| β﹣3|＝4a ，常数332a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，），轨迹C 2为椭圆，其方程为22221449x y a a +=-；依题意得方程组42224222421445990449421536019a a a a a a a a ⎧+=⎪⎧-+=⎪-⇒⎨⎨-+=⎩⎪-=⎪-⎩解得a 2＝3，因为332a ＜＜，所以a =此时轨迹为C 1与C 2的方程分别是：22136x y -=，x ≥，221123x y +=．方法2：依题意得334333332a a a a ββββββ⎧++-=⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨-=+--=⎪⎩⎪⎩ 轨迹为C 1与C 2都经过点(2D，且点(2D对应的复数2β=+，代入上式得a =即33ββ+--=C 1是双曲线，方程为22136x y -=；33ββ++-=对应的轨迹C 2是椭圆，方程为221123x y +=．（3）由（2）知，轨迹C 2：221123x y +=，设点A 的坐标为（x ，y ），则22222001||()()34AB x x y x x x =-+=-+-22220000334123()34433x x x x x x x =-++=-+-，0x ⎡∈-⎣当0403x ≤＜即002x ≤＜时，220014||3033min AB x x =-≥⇒≤＜当043x ＞0x时，00|min AB x x =-≥⇒≥，综上00x ≤＜0x ≥．【点睛】本题考查复数的基本概念，轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．21．抛物线22y x =的准线与x 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线于A ，B 两点. （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于()0,0N x ，求证：032x >；（3）若直线l 的斜率依次为12，14，18，…，12n ，…，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为1N ，2N ，3N ，…，n N ，…，求12231111n nN N N N N N -++⋅⋅⋅+. 【答案】（1）k ∈（﹣1，0）∪（0，1）；（2）见解析（3）111194n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】（1）求得抛物线的准线方程，可得M 的坐标和直线l 的方程，联立抛物线方程，运用判别式大于0，即可得到所求范围；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得AB 的垂直平分线方程，可令y ＝0，求得x ，即可得证；（3）设N m （x m ，0），求得142mm x =+，所以1114434m m m m m N N ---=-=⋅，由等比数列的求和公式，即可得到所求和．【详解】（1）抛物线y 2＝2x 的准线为x 12=-， 102M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，设l ：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线的方程：()22222120242y k x k k x k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⇒+-+=⎝⎭⎨⎪=⎩（）．因为l 交抛物线于两点，所以k ≠0且二次方程（）根的判别式△＞0，即（k 2﹣2）2﹣k 4＞0，解得k ∈（﹣1，0）∪（0，1）；（2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理可得21222k x x k -+=-，()121221y y k x x k +=++=，所以AB 中点的坐标为22212k k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，所以AB 中垂线方程为221122k y x k k k ⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭，令y ＝0，可得0211322x k =+＞．（3）设N m （x m ，0），由直线l 的斜率依次为11112482n ，，，，，，可得x m 2112k =+，则142mm x =+，所以1114434mm m m m N N ---=-=⋅，1223111113n nN N N N N N -+++=（11144n -++）13=•111144114n -⎛⎫- ⎪⎝⎭-，所以11223111111194n n n N N N N N N --⎡⎤⎛⎫+++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，同时考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2018年闵行区高三数学二模试卷

闵行区2017学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a = ． 2．若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，，则12c c += . 3．设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = ． 4．定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= .5．直线l 的参数方程为112x t y t =+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数），则l 的一个法向量为 .6．已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n ∈N ，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅ .7．已知向量a 、b 的夹角为60，1a =，2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 .8．若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为．9．若平面区域的点(,)x y 满足不等式14x yk +≤(0)k >，且z x y =+的最小值为5-，则常数k = .10．若函数2()log (1)af x x ax =-+(01)a a >≠且没有最小值，则a 的取值范围是 . 11．设{}1234,,,1,0,2x x x x ∈-，那么满足123424x x x x ≤+++≤的所有有序数组1234(,,,)x x x x 的组数为 .12．设*n ∈N ，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦([]x 表示不超过实数x 的最大整数).则22()()n n t b c -++的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．“0x y =”是“00x y ==且”成立的 ( )．（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件14．如图，点A BC 、、分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cosθ= ( )．（A ）43 （B （C ）23 （D ）23- 15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是 ( )．（A ）若30S >，则20180a > （B ）若30S <，则20180a < （C ）若21a a >，则20192018a a > （D ）若2111a a >，则20192018a a <16．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数g()x 2()x D ∈,使得函数()()f x g x12()x D D ∈是偶函数；命题2：存在函数()f x 、g()x 及区间D ，使得()f x 、g()x 在D 上均是增函数, 但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、g()x （定义域均为D ），使得()f x 、g()x 在0x x =0()x D ∈处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值.那么真命题的个数是 ( )．（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3AA 1 D C BD 1C 1B 1F•• E三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()cos f x x x ωω=+，（1）当03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且1ω<时，求ω的值；（2）在ABC △中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.19.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完.据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t *()t ∈N 天的关系满足：10,110()=10200,1020t t f t t t ≤≤⎧⎨-+<≤⎩，，2()20g t t t =-+(120)t ≤≤，产品A 每件的销售利润为40,115()20,1520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩，(单位：元)（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式；（2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>，其左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P Q 、两点，1sin 3BFO ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12PF PF 的值；（2）若b =l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F E 、关于直线l 成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）设直线1l:y 上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)无穷数列{}n a *()n ∈N ，若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T .集合{}*,n P p p a n ==∈N.（1）若(1)n n a =-，*n ∈N ，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且1481,3,2,{1,2,3}a a a P ====，求20a 的值；（3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i ia p =的项，记1k k kb i i +=-*()k ∈N ，证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.。

2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期开学考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期开学考试数学试题一、单选题 1．“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】先考查充分性，再考虑必要性得解. 【详解】当tan a θ=时，21cos22sin sin sin 22sin cos cos a θθθθθθθ-===，但是当=0θ时，1cos2sin 2θθ-分母为零，没有意义. 所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的非充分条件；当1cos2sin 2a θθ-=时，2(),2k k k Z x πθπ≠∈∴≠. 所以21cos22sin sin =tan sin 22sin cos cos a θθθθθθθθ-===，所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的必要条件.所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的必要非充分条件.故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的定义域和三角恒等变换，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知f （x ）=2x 4x 3,x 02x 2x 3,x 0-+≤⎧⎪--+>⎨⎪⎩，不等式f （x+a ）＞f （2a-x ）在[a ，a+1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.(),2∞--B.(),0∞-C.()0,2D.()2,0-【答案】A【解析】试题分析：二次函数243y x x =-+的对称轴为2x =，则该函数在(,0)-∞上单调递减，则2433x x -+≥，同样函数223y x x =--+在(0,)+∞上单调递减，2-233x x ∴-+<()f x ∴在R 上单调递减；由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a <；则2x a <在[,1]a a +上恒成立；则2(1),2a a a +<∴<-，实数a 的取值范围是(,2)-∞-，故选A ；【考点】1.分段函数的单调性；2.恒成立问题；3．有下列命题：（1）终边相同的角的同名三角比的值相等；（2）终边不同的角的同名三角比的值不同；（3）若sin 0α>，则α是第一或第二象限角；（4）△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >；其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】（1），根据终边相同的角的同名三角函数值相等，判断命题正确；（2），根据终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，判断命题错误；（3），当sin 0α>时，α是第一或第二象限角，或为终边在y 轴的正半轴上，判断命题错误；（4），根据大角对大边，利用正弦定理即可判断结论正确．【详解】对于（1），终边相同的角的同名三角函数值相等，所以比值相等，（1）正确；对于（2），终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，如5sin sin66ππ=，所以比值也可能相同，（2）错误；对于（3），若sin 0α>，则α是第一或第二象限角，或终边在y 轴的正半轴上，（3）错误；对于（4），ABC ∆中，若A B >，则a b >，由正弦定理得2sin sin a bR A B==， 2sin 2sin R A R B ∴>，sin sin A B ∴>，（4）正确；综上，其中正确命题的序号为（1）和（4），共2个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，涉及三角函数的定义，角的取值和三角函数的符号，是基础题．4．设()f x 是定义域为R 的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间(6,6)-内解的个数的最小值为（） A.15 B.13C.11D.9【答案】A【解析】根据题意，由奇函数的性质可得(0)0f =，结合函数的周期性可得f （3）0=，(3)0f -=，结合f （2）0=分析可得f （2）f =（5）(1)0f =-=，进而可得(2)(5)f f f -=-=（1）0=和f （1）f =（4）0=，(4)(1)0f f -=-=；结合奇偶性与周期性可得33()()022f f -==，进而可得99()()022f f -==，综合可得答案．【详解】根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，又由()f x 是周期为3的周期函数，则f （3）0=，(3)0f -=，又由f （2）0=，则f （2）f =（5）(1)0f =-=，又由函数为奇函数，则(2)(5)f f f -=-=（1）0=，则有f （1）f =（4）0=，(4)(1)0f f -=-=，又由函数()f x 是以3为周期的奇函数，故有33()()22f f -=-且33()()22f f -=，则有33()()022f f -==，则有99()()022f f -==，综合可得：方程()0f x =在区间(6,6)-内解至少有：5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2，3，4，5，92-，32-，32，92，共15个；故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析33()()022f f -==，属于基础题．二、填空题5．已知函数()f x 是幂函数，且2(4)(16)f f =，则()f x 的解析式为________ 【答案】12x【解析】设()f x x α=，根据条件建立方程求出α的值即可．【详解】设()f x x α=，2f （4）(16)f =， 2416αα∴⨯=，即1624αα=，则42α=，12α=，即12()f x x =，故答案为：12()f x x = 【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．6．已知cos()6πα-=，则5cos()6πα+=_________ 【答案】【解析】试题分析：因为，cos()63πα-=，所以，5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--=。

上海市七宝中学2017-2018学年高三模拟考试理数试题 Word版含解析

上海市七宝中学2017-2018学年高三模拟考试理数试题一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分．）1.函数y =______________. 【答案】(0,1] 【解析】试题分析：由0log 5.0≥x 得10≤<x ，应填答案(0,1]. 考点：对数不等式的解法．2.已知{}2,M y y x x R ==∈，{}222,,N x x y x y R =+=∈，则M N =_____.【答案】⎢⎣【解析】试题分析：因02≥=x y ,而2222≤-=y x ,故22≤≤-x ,所以]2,0[=N M .考点：集合的交集运算．3.在41(1)(1)x x++的展开式中2x 项的系数为______________.【答案】10考点：二项式定理及通项公式的运用．4.已知地球的半径为R ，在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045西经060有一座城市B ，则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是______________.（飞机的飞行高度忽略不计）【答案】3R π【解析】试题分析：已知纬圆所在的纬度为045,则纬圆的半径为R 22,纬圆周的两点B A ,的弦长为R R AB =⋅=222,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π.考点：球面距离及计算．【易错点晴】球面距离的定义是经过球心的大圆上的劣弧的长.解答本题的关键是求出经过B A ,大圆的圆心角AOB ∠,为此先求045纬圆上这两点B A ,连线段的长AB ,即纬圆上的弦长AB .求的长时借助纬度的概念,求出了球心与纬圆面之间的距离=d R 22与纬圆的半径相等.由经度的定义可知0190=∠B AO ,所以R R AB =⋅=222,这样AOB ∆就是等边三角形,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π,即球面距离是R 3π.5.已知一随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D ξ=______________.【答案】11 【解析】试题分析：因为3)840(41)(,20)64160(41)(2=++==++=x E x E ,所以11920)()(22=-=-=x E x E D ξ.考点：数学期望和方差的计算． 6.在极坐标系中，点(2,),(2,)2A B ππ，C 为曲线2cos ρθ=的对称中心，则三角形ABC 面积等于________. 【答案】3 【解析】试题分析：将点B A ,化为直角坐标为)2,0(),0,2(B A -,极坐标方程化为直角坐标为0222=-+x y x ,所以圆心为)0,1(C ,所以ABC ∆的面积为32321=⨯⨯=S . 考点：极坐标方程及运用．7.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示）【答案】3135【解析】试题分析：从7名学生中选3名的种数为3512356737=⨯⨯⨯⨯=C ,其中无女生的种数为41434==C C ,所以至少含有一个女生的概率为35313541=-=P . 考点：古典概型的计算公式及排列数组合数公式的运用．8.在复数范围内，若方程22012690x x ++=的一个根为α，则α=______________.考点：复数的模及计算．9.将()f x =sin cos xx 的图象按(,0)(0)n a a =->平移，所得图象对应的函数为偶函数，则a 的最小值为______________. 【答案】56π 【解析】试题分析：因为()f x =sin cos xx )6cos(sin cos 3π+=-=x x x ,所以按向量平移后所得的函数为)6cos()(π++=a x x g ,由题设可得1)60cos()0(±=++=πa g ,即ππk a =+6,也即6ππ-=k a ,所以a 的最小值为56π.考点：行列式的计算及三角函数的图象和性质．10.已知()y f x =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图象关于点(6,0)对称，若实数,x y满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则22x y +的取值范围是______________. 【答案】[16,36]考点：函数的单调性和圆的方程的等知识的综合运用．11.函数()f x 对任意12,[,]x x m n ∈都有1212()()f x f x x x -≤-，则称()f x 为在区间[,]m n 上的可控函数，区间[,]m n 称为函数()f x 的“可控”区间，写出函数2()21f x x x =++的一个“可控”区间是________. 【答案】1[,0]2-的子集都可以【解析】试题分析：因为)](1)(2[)()(212121x x x x x f x f -++=-,由可控函数的定义可得1|1)(2|21≤++x x ,即0121≤+≤-x x ,所以区间[,]m n 应为]0,21[-的一个子区间.考点：定义新概念和综合运用所学知识．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是不等式的有关知识及推理判断的能力.结论的开放性和不确定性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,合理有效地利用好可控函数及可控区间等新信息和新定义,并以此为基础进行推理论证,从而写出满足题设条件的答案.解答本题时,借助绝对值不等式的性质进行巧妙推证,从而探寻出符合题设条件的一可控区间的区间.12.椭圆22221(0)43x y a a b+=>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点,A B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是______________.【答案】acb S 23=考点：椭圆的定义和几何性质．13.用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3,( 1.2]2π=-=-，有下列命题：①若函数()(],f x x x x R =-∈，则()f x 的值域为[1,0)-；②若(1,4)x ∈，则方程1(]5x x -=有三个根；③若数列{}n a 是等差数列，则数列{}(]n a 也是等差数列；④若57,{,3,}32x y ∈，则(](]2x y∙=的概率为29P =. 则下列正确命题的序号是______________. 【答案】①②④ 【解析】试题分析：由定义0](1<-≤-x x ,所以其值域为[1,0)-,故①正确；由于5.0](=-x x ,因此可求得2.3,2.2,2.1=x ,所以②正确；对于③,如取数列7.4,9.2,1.1成等差数列,但4]7.4(,2]9.2(,1]1.1(===不成等差数列；对于④很容易验证是正确的.故应填①②④.考点：函数的性质及分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题以符号函数为背景，考查的是函数与方程、等差数列和等比数列、概率等许多有关知识和运算求解及推理判断的能力.定义新概念运用新信息是解答本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,对题设中提供的几个命题进行分析推断最后作出真假命题的判断.对于命题,举出一个反例,进行了推断从而说明它是假命题.运用反例是否定一个命题是真命题的有效方式和方法.14.设()cos 2()cxf x ax bx x R =++∈，,,a b c R ∈且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{}n x（*n N ∈），使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组,,a b c 的值【答案】0,0,0a b c ≠=>（答案不唯一，一组即可）【解析】试题分析：由题设可取1,0,1===c b a ,此时x x x f 2cos )(+=,存在数列25,23,2πππ,满足题设,应填答案1,0,1===c b a .考点：函数与等差等比数列以及分析探究的能力．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是等差数列和等比数列的有关知识及推理判断的能力.开放性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,想方设法构造出一个满足题设条件的数列.由于本题是一道结论开放型的问题,因此它的答案是不唯一的,所以在求解时只要求出一组符合题目要求的数据即可.如本题的解答时取1,0,1===c b a ,函数xx x f 2cos )(+=,取数列}25,23,2{πππ,则253322)25(,2)23(,2)2(ππππππ===f f f 成等比数列,故答案应填1,0,1===c b a . 二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）15.若直线l 的一个法向量(3,1)n =，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为（） A ．(1,3);arctan3d α== B ．(1,3);arctan(3)d α=-=- C ．(1,3);arctan3d απ==- D ．(1,3);arctan3d απ=-=- 【答案】D 【解析】试题分析：由题设可知直线l 的一个方向向量是)3,1(-=,其斜率3-=k ,即3tan -=α,故3arctan -=πα,应选D.考点：直线的法向量和反正切函数．16.在ABC ∆中，“cos cos cos 0A B C ∙∙<”是“ABC ∆为钝角三角形”的（） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A试题分析：由题设条件可知C B A cos ,cos ,cos 中必有一个是负数,即三个内角中必有一个是钝角,所以是钝角三角形,是充分条件;反之,若三角形是钝角三角形,则C B A cos ,cos ,cos 的积必为负数,即是必要条件,应选答案A. 考点：解三角形．【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力. 解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了.解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误,将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起,从而误判得出不正确的答案.17.定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—半随函数”.有下列关于“λ—半随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—半随函数”；② “12—半随函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“λ—半随函数”；其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【答案】A考点：函数及新定义的概念的灵活运用．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是函数的零点等有关知识及推理判断的能力. 命题的真假的判断及分析求解的能力是解答好本题的关键,本题给出的三个命题的真假的判断成为解答这道试题的重中之重.对于命题①,实数λ的取值是不唯一的,因此该命题是假命题；对于命题②,运用定义可得结论,显然这个方程0)(21)21(=-=+x f x f 的解是不唯一的,所以是真命题；对于命题③找不到实数λ满足题设,因此是假命题整个求解过程充满了推理和判断.18.已知数据123,,,,n x x x x 是上海普通职工n （3n ≥，*n N ∈）个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变；B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大；C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变；D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变. 【答案】B 【解析】试题分析：由题设可知选择支中的A,C,D 都是不正确的，所以应选B. 考点：中位数平均数方差等概念的理解和计算．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，090BAC ∠=，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于060，设1AA a =. （1）求a 的值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.【答案】(1)1；(2)3．【解析】试题分析：(1)运用平几的勾股定理等知识求解；(2)运用等积法求解. 试题解析：（1）∵11//BC B C ，∴1A BC ∠就是异面直线1A B 与11B C 所成的角，即0160A BC ∠=,又连接1AC ，AB AC =，则11A B AC = ∴1A BC ∆为等边三角形，由1AB AC ==，090BAC ∠=BC ⇒=∴11A B a =⇒==.（2）易知11//B C 平面1A BC ，又D 是11B C 上的任意一点，所以点D 到平面1A BC 的距离等于点1B 到平面1A BC 的距离. 设其为d ，连接1B C ，则由三棱锥11B A BC -的体积等于三棱锥11C A B B -的体积，求d ，11A B B ∆的面积12S =，1A BC ∆的面积'242S ==，又1CA A A ⊥，CA AB ⊥，∴CA ⊥平面11A B C ，所以'11333S AC S d d ∙∙=∙∙⇒=，即11B C 到平面1A BC 的距离等于3. 考点：空间的直线与平面的位置关系及几何体的体积公式．【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也是上海市历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与直线所成角的计算问题和直线与平面的距离的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件中异面直线所成角的概念,通过解直角三角形而获解.关于第二问中直线与平面之间的距离问题,解答时巧妙运用转化的思想,将其转化为三棱锥的高的问题来处理,使得问题的求解过程简捷明快.20.（本小题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）某海域有,A B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发出过鱼群。

上海市2018-2019学年度七宝中学高三第二学期数学开学考试卷(解析版)

上海市2018-2019学年度七宝中学高三第二学期数学开学考试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 函数f(x)=sin2x +√3cos2x 的最小正周期为( )A. π4B. π2C. πD. 2π【答案】C【解析】解：∵f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)， ∴最小正周期T =2π2=π．故选：C ．由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f(x)=2sin(2x +π3)，利用三角函数的周期公式即可求值得解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，三角函数的周期公式的应用，属于基础题．2. 二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解的必要非充分条件是( )A. 系数行列式D ≠0B. 比例式a 1a 2≠b1b 2 C. 向量(a 2a 1),(b 2b1)不平行 D. 直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行【答案】D【解析】解：当两直当两直线共面时，直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行，二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解当两直线异面，直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行，二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1无解，故直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行是二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解的必要非充分条件．故选：D ．利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A ，B ，C 为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．3. 某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)，而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：( )A. 110B. 120C. 140D. 1120【答案】B【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A 1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤： ①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A 33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A 66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙(包括两端的位置)中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A 72种方法．根据分步计数原理(乘法原理)，共有A 33⋅A 66⋅A 72种方法． ∴一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)，而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：P =A 33⋅A 66⋅A 72A 1010=120．故选：B ．由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有A 1010；满足条件的事件要得到需要分为三步，根据分步计数原理得到结果，再根据古典概型公式得到结果．本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．4. 对于函数f(x)，若存在区间A =[m,n]，使得{y|y =f(x),x ∈A}=A ，则称函数f(x)为“可等域函数”，区间A 为函数f(x)的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：①f(x)=sin(π2x)；②f(x)=2x 2−1； ③f(x)=|1−2x |； ④f(x)=log 2(2x −2)．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( ) A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ②③④【答案】B【解析】解：①函数f(x)=sin(π2x)的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A =[0,1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A =[−1,0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．②当A=[−1,1]时，f(x)∈[−1,1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[−1,1]一个．③A=[0,1]为函数f(x)=|2x−1|的“可等域区间”，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，函数单调递增，f(0)=1−1=0，f(1)=2−1=1满足条件，∴m，n取值唯一.故满足条件．④∵f(x)=log2(2x−2)单调递增，且函数的定义域为(1,+∞)，若存在“可等域区间”，则满足{log2(2n−2)=nlog2(2m−2)=m，即{2n−2=2n2m−2=2m，∴m，n是方程2x−2x+2=0的两个根，设f(x)=2x−2x+2，f′(x)=2x ln2−2，当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，∴f(x)=2x−2x+2=0不可能存在两个解，故f(x)=log2(2x−2)不存在“可等域区间”．故选：B．根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知复数z满足z(1+i)=2(i是虚数单位)，则|z|=______．【答案】√2【解析】解：∵z(1+i)=2，∴z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i，则|z|=√2．故答案为：√2．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．6.已知集合A={x||x−1|<2,x∈R}，B={x|2x≥1,x∈R}，则A∩B=______．【答案】[0,3)【解析】解：A={x||x−1|<2,x∈R}={x|−1<x<3}，B={x|2x≥1,x∈R}={x|x≥0}，则A∩B={x|0≤x<3}=[0,3)故答案为：[0,3)求出集合的等价条件，结合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．7.已知f(x)=x+12x，其反函数为f−1(x)，则f−1(0)=______．【答案】−1【解析】解：f(x)=x+12x，∴f−1(x)=12x−1，∴f−1(0)=−1故答案为：−1先求出反函数，再代值计算即可．本题考查了反函数的求法及函数值的计算，属于简单题．8. 已知a ，b >0，2a =3b =m ，且a 、ab 、b 成等差数列，则m =______ 【答案】√6【解析】解：∵a ，b >0，2a =3b =m ≠1， ∴a =lgmlg2，b =lgm lg3．∵a 、ab 、b 成等差数列，∴2ab =a +b ，∴2×lgm lg2×lgm lg3=lgm lg2+lgmlg3.∴lgm =12(lg2+lg3)=12lg6=lg √6．则m =√6．故答案为：√6．a ，b >0，2a =3b =m ≠1，利用对数换底公式化为a =lgmlg2，b =lgm lg3.根据a 、ab 、b 成等差数列，可得2ab =a +b ，代入利用对数运算性质即可得出．本题考查了对数换底公式、等差数列、指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 若二项式(x +ax )6展开式的常项数为20，则a =______．【答案】1【解析】解：二项式(x +ax )6展开式的通项公式：T r+1=∁6r x 6−r(ax)r =a r ∁6r x 6−2r ，令6−2r =0，解得r =3．∴常项数为20=a 3∁63，则a =1．故答案为：1．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 实数x ，y 满足不等式组{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3，那么目标函数z =2x +4y 的最小值是______．【答案】−6【解析】解：约束条件{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3对应的平面区域如下图示：当直线z =2x +4y 过(3,−3)时，Z 取得最小值−6．故答案为：−6．本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11.长方体ABCD−A1B1C1D1内接于球O，且AB=BC=2，AA1=2√2，则A、B两点之间的球面距离为______．【答案】2π3【解析】解：由AB=BC=2，AA1=2√2，得AC1=BD1=4，∴△ABO为正三角形，∠AOB=π3，∴A，B两点间的球面距离为2×π3=2π3，故答案为：2π3．利用长方体外接球直径为其体对角线长求得外接球半径，及AB所对球心角，得解．此题考查了长方体外接球问题，难度不大．12.已知F1，F2分别是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则|PF1−PF2|PF1的取值范围是______．【答案】[0,2]【解析】解：|PF1−PF2|PF1=|PF1−(8−PF1)|PF1=|PF1−(8−PF1)PF1|=|2−8PF1|，因为2≤PF1≤6且函数y=2−8x在x∈[2,6]上单调递增，所以−2≤2−8PF1≤23，故|2−8PF1|∈[0,2]．故答案为：[0,2]．利用椭圆的定义，化简|PF 1−PF 2|PF 1，再利用函数的单调性，即可求出|PF 1−PF 2|PF 1的取值范围．本题考查椭圆的定义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．13. 已知数列{a n }中，若a 1=0，a i =k 2(i ∈N ∗,2k ≤i <2k+1,k =1,2，3，…)，则满足a i +a 2i ≥100的i 的最小值为 ______．【答案】128【解析】解：∵a i =k 2(i ∈N ∗,2k ≤i <2k+1,k =1,2，3，…)， ∴a i +a 2i =k 2+(k +1)2≥100，故k ≥7；故i 的最小值为27=128，故答案为：128．由题意可得a i +a 2i =k 2+(k +1)2≥100，从而解得．本题考查了数列，注意i 与2i 的关系对k 的影响即可．14. 若边长为6的等边三角形ABC ，M 是其外接圆上任一点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．【答案】18+12√3【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2√3，以外接圆圆心O 为原点建立平面直角坐标系，设A(2√3,0)，B(−√3,3)．设M(2√3cosθ,2√3sinθ)，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√3,3)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3cosθ−2√3,2√3sinθ)． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−18cosθ+6√3sinθ+18=12√3sin(θ−π3)+18．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是18+12√3．故答案为18+12√3．求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成θ的三角函数，求出最.大值本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．15. 已知函数f(x)={x 2−3tx +18,x ≤3(t −13)√x −3,x >3，记a n =f(n)(n ∈N ∗)，若{a n }是递减数列，则实数t 的取值范围是______．【答案】(53,4)【解析】解：要使函数f(x)=x 2−3tx +18在x ≤3(x ∈N ∗)时单调递减，则3t2>52，解得t >53；要使函数f(x)=(t −13)√x −3在x >3单调递减，则必须满足t −13<0，解得t <13．又函数f(x)在x ∈N ∗时单调递减，则f(3)=27−9t >f(4)=(t −13)⋅√4−3，解得t <4．故t 的取值范围是(53,4)．故答案为：(53,4)．要使函数f(x)=x 2−3tx +18在x ≤3(x ∈N ∗)时单调递减，则3t2>52，解得t ，解得t ；要使函数f(x)=(t −13)√x −3在x >3单调递减，则必须满足t −13<0，解得t ；又函数f(x)在x ∈N ∗时单调递减，则f(3)>f(4)，解得t.联立解得即可．本题考查了利用函数的单调性研究数列的单调性、二次函数的单调性、一次函数的单调性，属于难题．16. 设整数n ≥3，集合P ={1,2，…，n}，A ，B 是P 的两个非空子集.则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A,B)的个数为：______．【答案】(n −2)⋅2n−1+1【解析】解：设A 中的最大数为k ，其中1≤k ≤n −1，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k −1，可在A 中，故A 的个数为：C k−10+C k−11+⋯+C k−1k−1=2k−1， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：C n−k 1+C n−k 2+⋯+C n−k n−k =2n−k −1，从而集合对(A,B)的个数为2k−1⋅(2n−k −1)=2n−1−2k−1，∴a n =∑k =1n −1(2n−1−2k−1)=(n −1)⋅2n−1−1−2n−11−2=(n −2)⋅2n−1+1．故答案为：(n −2)⋅2n−1+1．设A 中的最大数为k ，其中1≤k ≤n −1，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k −1，可在A 中，B 中必不含元素1，2，…，k ；元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中.由此能求出a n ．本题考查数列的第3项的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1=2，E 为棱CC 1的中点．(1)求异面直线AE 与BC 1所成角的大小； (2)求三棱锥B 1−ADE 的体积．【答案】解：(1)取BC 的中点，连接EF 、AF ，因为EF//BC 1，所以∠AEF(或其补角)为异面直线AE 与BC 1所成角，又AE =√AC 2+CE 2=3，EF =√2，AF =√5，所以cos∠AEF =AE 2+EF 2−AF 22×AE×EF=√22，又0<∠AEF <π，所以异面直线AE 与BC 1所成角的大小为π4，故答案为π4(2)取BB 1的中点H ，连接EH ，则EH//AD ，则V B1−ADE =V E−ADB1=V H−ADB1=V D−AB1H=13×12×1×2×2=23，故答案为：23．【解析】(1)由异面直线所成角的求法得：∠AEF(或其补角)为所求，又AE=√AC2+CE2=3，EF=√2，AF=√5，即cos∠AEF=AE2+EF2−AF22×AE×EF =√22，即异面直线AE与BC1所成角的大小为π4，(2)利用等体积法求三棱锥的体积得：则V B1−ADE =V E−ADB1=V H−ADB1=V D−AB1H=1 3×12×1×2×2=23，得解．本题考查了异面直线所成角的求法及利用等体积法求三棱锥的体积，属中档题．18.已知向量m⃗⃗⃗ =(sinx,−1)，n⃗=(√3cosx,−12)，函数f(x)=m⃗⃗⃗ 2+m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−2．(Ⅰ)求f(x)的最大值，并求取最大值时x的取值集合；(Ⅱ)已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f(B)=1，求1tanA +1tanC的值．【答案】解：(Ⅰ)f(x)=m⃗⃗⃗ 2+m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−2=(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⋅m⃗⃗⃗ −2=(sinx+√3cosx,−32)⋅(sinx,−1)−2=sin2x+√3sinxcosx−12=1−cos2x2+√32sin2x−12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)．故f(x)max=1，此时2x−π6=2kπ+π2,k∈Z，得x=kπ+π3,k∈Z．所以取得最大值的x的集合为{x|x=kπ+π3,k∈Z}.(Ⅱ)由f(B)=sin(2B−π6)=1，又∵0<B<π2，∴−π6<2B−π6<56π．∴2B−π6=π2，∴B=π3．由a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴sin2B=sinAsinC．∴1+1=cosA+cosC=sinCcosA+cosCsinA=sin(A+C)sin2B =1sinB=√32=2√33．【解析】(Ⅰ)把给出的向量的坐标代入函数解析式，化简整理后得到f(x)=sin(2x−π6)，直接由2x−π6=2kπ+π2,k∈Z即可得到使函数取得最大值1的x的取值集合；(Ⅱ)由B为锐角，利用f(B)=1求出B的值，把要求的式子切化弦，由a，b，c成等比数列得到sin2B=sinAsinC，代入化简后即可得到结论．本题考查了平面向量数量积的运算，考查了正弦定理，解答此题的关键是“降幂化积”，“角边互化”.是解决此类问题常用到的办法，此题是中档题．19. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，其中所有奇数项之和为S n ′，所有偶数项之和为S n ″.(1)若{a n }是等差数列，项数n 为偶数，首项a 1=1，公差d =32，且S n ″−S n ′=15，求S n ；(2)若数列{a n }的首项a 1=1，满足2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)，其中实常数t ∈(35,3)，且S n ′−S n ″=52，请写出满足上述条件常数t 的两个不同的值和它们所对应的数列．【答案】解：(1)若数列{a n }项数n 为偶数，由已知，得，解得n =20，Sn =1×20+20×192×32=305．(2)在2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)中，令n =1，得a2=3(t−1)2t，∵2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)①可得2tS n −3(t −1)S n−1=2t(n ∈N ∗,n >1)② ①减去②得：a n+1a n=3(t−1)2t，且a 2a 1=3(t−1)2t，∵t ∈(35,3)， ∴0<|3(t−1)2t |<1，.(当t =1时，数列为1，0，0…，显然不合题意)所以，{a n }是首项a 1=1，公比q =3(t−1)2t的等比数列，且公比0<|q|<1，设项数n =3，，∴1−q +q2=52∴q2−q −32=0，解得q =1−√72或q =1+√72(舍)，由1−√72=3(t−1)2t解得，t =√7−2∈(35,3)，所以，当t =√7−2时，对应的数列为1，1−√72，(1−√72)2．设数列{a n }为无穷数列，由题意，得，S″=q1−q 2，，∴11+q =52， ∴q =−35，由3(t−1)2t=−35解得t =57∈(35,3)，∴当t =57时，对应的数列为：1，−35，(−35)2，…(−35)n−1….【解析】(1){a n }是等差数列，则S″−S′=(a 2−a 1)+(a 4−a 3)…(a 2n −a 2n−1)=d +d +⋯d =d ×n2求出n ，再利用等差数列前n 项和公式计算． (2)根据S n 与a n 的固有关系a n ={sn −sn −1 n ≥2s1 n=1，得出a n+1a n=3(t−1)2t，借助于等比数列性质解决．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．20. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 为圆C ：x 2+y 2−4x +3=0的圆心．(1)求抛物线的方程与其准线方程；(2)直线l 与圆C 相切，交抛物线于A ，B 两点；①若线段AB 中点的纵坐标为4√3，求直线l 的方程；②求FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【答案】解：(1)由圆C ：x 2+y 2−4x +3=0配方可得：(x −2)2+y 2=1，可得圆心C(2,0)．∴抛物线的焦点F(2,0)． ∴p2=2，解得p =4．∴抛物线的准线方程为：x =−2．(2)设直线l 的方程为：my +t =x ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). ∵直线l 与圆C 相切， ∴√1+m 2=1，化为：(t −2)2=m 2+1≥1．∴t ≥3，或t ≤1．联立{y 2=8x my+t=x，化为：y 2−8my −8t =0，△=64m 2+32t >0.∴t >−2m 2． ∴t ≥3，或−2m 2<t ≤1． ∴y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−8t ． ①∵线段AB 中点的纵坐标为4√3， ∴4m =4√3， ∴m =√3，∴(t −2)2=m 2+1=4，解得t =0或t =4，故直线l 的方程为x −√3y =0或x −√3y −4=0②FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=(my 1+t −2)(my 2+t −2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m(t −2)(y 1+y 2)+(t −2)2=−8t(m 2+1)+8m 2(t −2)+(t −2)2=−8t(t −2)2+8[(t −2)2−1](t −2)+(t −2)2=−15t 2+52t −44，=−15(t −2615)2+1615∈(−∞,−7]． ∴FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(−∞,−7]．【解析】(1)由圆C：x2+y2−4x+3=0配方可得：(x−2)2+y2=1，可得圆心C(2,0).可得抛物线的焦点F(2,0).因此p2=2，解得p，即可得出．(2)设直线l的方程为：my+t=x，A(x1,y1)，B(x2,y2).由直线l与圆C相切，可得：(t−2)2=m2+1≥1.t≥3，或t≤1.联立，化为：y2−8my−8t=0，△>0.进而得到t≥3，或−2m2<t≤，根与系数的关系可得y1+y2=8m，y1y2=−8t，①根据中点坐标公式即可求出m的值，可得直线方程，②利用数量积运算性质，再利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、直线与抛物线相交问题、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域 D上是“k−利普希兹条件函数”．(1)若函数f(x)=√x，(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；(2)判断函数f(x)=log2x是否是“2−利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1−利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f(x1)−f(x2)|≤1．【答案】解：(1)若函数f(x)=√x，(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，则对于定义域[1,4]上任意两个x1，x2(x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，不妨设x1>x2，则k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x恒成立．∵1≤x2<x1≤4，∴14<√x+√x<12，∴k的最小值为12．(2)f(x)=log2x的定义域为(0,+∞)，令x1=12，x2=14，则f(12)−f(14)=log212−log214=−1−(−2)=1，而2|x1−x2|=12，∴f(x1)−f(x2)>2|x1−x2|，∴函数f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”．证明：(3)设f(x)的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0,2]内f(a)=M，f(b)=m，则|f(x1)−f(x2)|≤M−m=f(a)−f(b)≤|a−b|．若|a−b|≤1，显然有|f(x1)−f(x2)|≤|a−b|≤1．若|a−b|>1，不妨设a>b，则0<b+2−a<1，∴|f(x1)−f(x2)|≤M−m=f(a)−f(b+2)≤|a−b−2|<1．综上，|f(x1)−f(x2)|≤1．【解析】(1)根据新函数的定义求出k关于x1，x2的不等式，根据x1，x2的范围即可得出k的最小值；(2)令x1=12，x2=14即可举出反例，得出结论；(3)设f(x)的最大值为M，最小值为m，在一个周期内f(a)=M，f(b)=m，根据|a−b|与1的大小关系和“1−利普希兹条件函数”的性质得出结论．本题考查了抽象函数的性质与应用，属于中档题．。

上海市2018-2019学年度七宝中学高三第二学期数学开学考试卷(解析版)

2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷（3月份）一、填空题1．已知复数z满足z（1+i）＝2（i是虚数单位），则|z|＝．2．已知集合A＝{x||x﹣1|＜2，x∈R}，B＝{x|2x≥1，x∈R}，则A∩B＝．3．已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），则f﹣1（0）＝．4．已知a，b＞0，2a＝3b＝m，且a、ab、b成等差数列，则m＝5．若二项式（x+）6展开式的常项数为20，则a＝．6．实数x，y满足不等式组，那么目标函数z＝2x+4y的最小值是．7．长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，且AB＝BC＝2，AA1＝2，则A、B两点之间的球面距离为．8．已知F1，F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是．9．已知数列{a n}中，若a1＝0，a i＝k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k＝1，2，3，…），则满足a i+a2i ≥100的i的最小值为．10．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为．11．已知函数f（x）＝，记a n＝f（n）（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．12．设整数n≥3，集合P＝{1，2，…，n}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：．二、选择题13．函数的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π14．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行15．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A．B．C．D．16．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f（x）＝sin（x）；②f（x）＝2x2﹣1；③f（x）＝|1﹣2x|；④f（x）＝log2（2x﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A．①②③B．②③C．①③D．②③④三、解答题17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1＝2，E为棱CC1的中点．（1）求异面直线AE与BC1所成角的大小；（2）求三棱锥B1﹣ADE的体积．18．已知向量，，函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B 为锐角，且f（B）＝1，求的值．19．记数列{a n}的前n项和为S n，其中所有奇数项之和为S n′，所有偶数项之和为S n″．（1）若{a n}是等差数列，项数n为偶数，首项a1＝1，公差d＝，且S n″﹣S n′＝15，求S n；（2）若数列{a n}的首项a1＝1，满足2tS n+1﹣3（t﹣1）S n＝2t（n∈N*），其中实常数t∈（，3），且S n′﹣S n″＝，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列．20．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F为圆C：x2+y2﹣4x+3＝0的圆心．（1）求抛物线的方程与其准线方程；（2）直线l与圆C相切，交抛物线于A，B两点；①若线段AB中点的纵坐标为4，求直线l的方程；②求的取值范围．21．若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）＝，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）＝log2x是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y＝f（x）（x∈R）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．参考答案一、填空题1．【解答】解：∵z（1+i）＝2，∴，则|z|＝．故答案为：．2．【解答】解：A＝{x||x﹣1|＜2，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2x≥1，x∈R}＝{x|x≥0}，则A∩B＝{x|0≤x＜3}＝[0，3）故答案为：[0，3）3．【解答】解：f（x）＝，∴f﹣1（x）＝，∴f﹣1（0）＝﹣1故答案为：﹣14．【解答】解：∵a，b＞0，2a＝3b＝m≠1，∴a＝，b＝．∵a、ab、b成等差数列，∴2ab＝a+b，∴2××＝+．∴lgm＝＝＝lg．则m＝．故答案为：．5．【解答】解：二项式（x+）6展开式的通项公式：T r+1＝x6﹣r＝a r x6﹣2r，令6﹣2r＝0，解得r＝3．∴常项数为20＝a3，则a＝1．故答案为：1．6．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：当直线z＝2x+4y过（3，﹣3）时，Z取得最小值﹣6．故答案为：﹣6．7．【解答】解：由AB＝BC＝2，AA1＝2，得AC1＝BD1＝4，∴△ABO为正三角形，∠AOB＝，∴A，B两点间的球面距离为2×＝，故答案为：．8．【解答】解：，因为2≤PF1≤6且函数在x∈[2，6]上单调递增，所以，故．故答案为：[0，2]．9．【解答】解：∵a i＝k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k＝1，2，3，…），∴a i+a2i＝k2+（k+1）2≥100，故k≥7；故i的最小值为27＝128，故答案为：128．10．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴＝﹣18cosθ+6sinθ+18＝12sin（θ﹣）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．11．【解答】解：要使函数f（x）＝x2﹣3tx+18在x≤3（x∈N*）时单调递减，则＞，解得t；要使函数f（x）＝在x＞3单调递减，则必须满足t﹣13＜0，解得t＜13．又函数f（x）在x∈N*时单调递减，则f（3）＝27﹣9t＞f（4）＝（t﹣13）•，解得t ＜4．故t的取值范围是．故答案为：．12．【解答】解：设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，故A的个数为：++…+＝2k﹣1，B中必不含元素1，2，…，k，另元素k+1，k+2，…，n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：++…+＝2n﹣k﹣1，从而集合对（A，B）的个数为2k﹣1•（2n﹣k﹣1）＝2n﹣1﹣2k﹣1，∴a n＝（2n﹣1﹣2k﹣1）＝（n﹣1）•2n﹣1﹣＝（n﹣2）•2n﹣1+1．故答案为：（n﹣2）•2n﹣1+1．二、选择题13．【解答】解：∵＝2sin（2x+），∴最小正周期T＝＝π．故选：C．14．【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．15．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A72种方法．根据分步计数原理（乘法原理），共有A33•A66•A72种方法．∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：．故选：B．16．【解答】解：①函数f（x）＝sin（x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A＝[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A＝[﹣1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．②当A＝[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A＝[﹣1，1]一个．③A＝[0，1]为函数f（x）＝|2x﹣1|的“可等域区间”，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，函数单调递增，f（0）＝1﹣1＝0，f（1）＝2﹣1＝1满足条件，∴m，n取值唯一．故满足条件．④∵f（x）＝log2（2x﹣2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），若存在“可等域区间”，则满足，即，∴m，n是方程2x﹣2x+2＝0的两个根，设f（x）＝2x﹣2x+2，f′（x）＝2x ln2﹣2，当x ＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）＝2x﹣2x+2＝0不可能存在两个解，故f（x）＝log2（2x﹣2）不存在“可等域区间”．故选：B．三、解答题17．【解答】解：（1）取BC的中点，连接EF、AF，因为EF∥BC1，所以∠AEF（或其补角）为异面直线AE与BC1所成角，又AE＝＝3，EF＝，AF＝，所以cos∠AEF＝＝，又0＜∠AEF＜π，所以异面直线AE与BC1所成角的大小为，故答案为（2）取BB1的中点H，连接EH，则EH∥AD，则V＝V＝V＝V＝＝，故答案为：．18．【解答】解：（Ⅰ）＝＝﹣2＝＝＝．故f（x）max＝1，此时，得．所以取得最大值的x的集合为{x|}．（Ⅱ）由f（B）＝，又∵0＜B＜，∴．∴，∴．由a，b，c成等比数列，则b2＝ac，∴sin2B＝sin A sin C．∴＝＝．19．【解答】解：（1）若数列{a n}项数n为偶数，由已知，得S″﹣S'＝15＝，解得n ＝20，Sn＝1×20+＝305．（2）在2tS n+1﹣3（t﹣1）S n＝2t（n∈N*）中，令n＝1，得a2＝，∵2tS n+1﹣3（t﹣1）S n＝2t（n∈N*）①可得2tS n﹣3（t﹣1）S n﹣1＝2t（n∈N*，n＞1）②①减去②得：＝，且，∵t∈（，3），∴0＜||＜1，．（当t＝1时，数列为1，0，0…，显然不合题意）所以，{a n}是首项a1＝1，公比q＝的等比数列，且公比0＜|q|＜1，设项数n＝3，∵S'﹣S″＝，∴∴，解得或（舍），由解得，∈（，3），所以，当t＝﹣2时，对应的数列为1，，．设数列{a n}为无穷数列，由题意，得S'＝，S″＝，∵S'﹣S″＝，∴＝，∴q＝﹣，由＝﹣解得∈（，3），∴当t＝时，对应的数列为：1，﹣，，……．20．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣4x+3＝0配方可得：（x﹣2）2+y2＝1，可得圆心C（2，0）．∴抛物线的焦点F（2，0）．∴＝2，解得p＝4．∴抛物线的准线方程为：x＝﹣2．（2）设直线l的方程为：my+t＝x，A（x1，y1），B（x2，y2）．∵直线l与圆C相切，∴＝1，化为：（t﹣2）2＝m2+1≥1．∴t≥3，或t≤1．联立，化为：y2﹣8my﹣8t＝0，△＝64m2+32t＞0．∴t＞﹣2m2．∴t≥3，或﹣2m2＜t≤1．∴y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8t．①∵线段AB中点的纵坐标为4，∴4m＝4，∴m＝，∴（t﹣2）2＝m2+1＝4，解得t＝0或t＝4，故直线l的方程为x﹣y＝0或x﹣y﹣4＝0②•＝（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（my1+t﹣2）（my2+t﹣2）+y1y2＝（m2+1）y1y2+m（t﹣2）（y1+y2）+（t﹣2）2＝﹣8t（m2+1）+8m2（t﹣2）+（t﹣2）2＝﹣8t（t﹣2）2+8[（t﹣2）2﹣1]（t﹣2）+（t﹣2）2＝﹣15t2+52t﹣44，＝﹣15（t﹣）2+∈（﹣∞，﹣7]．∴的取值范围是（﹣∞，﹣7]．21．【解答】解：（1）若函数f（x）＝，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥＝恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）＝log2x的定义域为（0，+∞），令x1＝，x2＝，则f（）﹣f（）＝log2﹣log2＝﹣1﹣（﹣2）＝1，而2|x1﹣x2|＝，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）＝log2x不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）＝M，f（b）＝m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m＝f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m＝f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。

20172018学年上海市七宝中学高三下学期综合测试数学试卷

2016学年七宝中学高三第二学期综合测试卷一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分）1. 假设集合{}{}|1,|21x A x x B x =<=>，那么A B = .2. 若a 为实数，那么()12a i i ia ⎛⎫++=⎪⎝⎭，那么1ai += .()12cos sin 2xf x x =的最小正周期为 .23001x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩的封锁图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的主观图面积为 .5．多项式()7111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 .{}n a 知足423a a a =+，那么limnn n na S →∞=.7.A 盒中有3张足球票和3张篮球票，B 盒中有2张足球票和4张篮球票，甲盒A 中任意抽取一张票，乙从B 盒中任取抽取一张票，那么两人至少抽到一张足球票的概率为 .9310x x m m +⋅+-=有唯一解，那么实数m 的取值范围是 .12,F F ，斜率为1的直线l 过椭圆的右核心()21,0F ，且与椭圆在第一象限交于点P ，1215PF F ∠=那么椭圆的长轴长为 .()()1f x x ax x R =-+∈存在反函数，那么a 的取值范围是 .()()22,f x x g x x ax==-，关于不相等的实数12,x x ，设()()()()12121212,f x f x g x g x m n x x x x --==--，都有现有如下命题：①关于不相等的实数12,x x ，都有0m >；②关于任意实数a 及不相等的实数12,x x ，都有0n >；③对于任意实数a 及不相等的实数12,x x ，都有m n =；④存在实数a ，锐任意不相等的实数12,x x ，都有m n =，其中所有的真命题是 .ABC ∆中，内角A B C <<，记{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，那么sin sin min ,sin sin B C A B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的取值范围为 .二、选择题：12:10,310l mx y l x y +-=-+=“3m ”是“直线1l 与直线2l 的夹角为60”的A. 必要不充分条件B. 充分没必要要条件()2ax cf x x b +=+的图象如下图，那么以下结论成立的是A. 0,0,0a b c ><<B. 0,0,0a b c >><C. 0,0,0a b c <>>D. 0,0,0a b c ><>15．在平面直角坐标系xoy 中，两个非零向量,OA OB 与x 轴正半轴的夹角别离为6π和23π，向量OC 知足320OA OB OC ++=，那么OC 与x 轴正半轴夹角的取值范围是A. 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B. 5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭16．已知函数()3log ,032sin ,3182x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，集合(){}|,A x f x k n N ==∈，假设不相等的实数,a b A ∈且都有a b Z +∈，那么知足条件的,a b （不考虑,a b 的顺序）的组数为A. 36B. 58C. 62D. 74三、解答题：17.（此题总分值14分）某小区打造休闲场地，将一块直角三角形空地ABC 用一条长为16m 的道路MN 分成两部份（点M 在边AB 上）.别离种植花卉和铺设草坪，其中花卉面积为1S ，草坪面积为2S ，且12S S ≤，已知32,24,90AB m AC m A ==∠=，求1S 的最大值（此题中道路都指线段）.18.（此题总分值14分）如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱111ABC A B C -，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱11,BB CC 的交点记为E,F.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求三棱柱中异面直线AE 与1A F 所成角的大小.19.（此题总分值14分）函数()f x 对任意的x R ∈知足:()()()(),2f x f x f x f x -=-+=，当()0,1x ∈时，()2.1x f x x =+（1）求出函数在R 上零点；（2）求知足不等式()()sin cosf fθθ>-的实数θ的范围.20.（此题总分值16分）已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的左右极点别离为(),,2,0A B A-.直线:1l x =和两条渐近线交于点,E F ，点E 在第一象限且EF =，P 是双曲线上的任意一点.（1）求双曲线的标准方程；（2）是不是存在点P 使得OEP ∆为直角三角形？假设存在，求出点P 的个数；（3）直线,PA PB 与直线l 别离交于点,M N ，证明：以MN 为直径的圆必过定点.21.（此题总分值16分）已知n 位数知足以下条件：①各个数字只能从集合{}1,2,3,4当选取；②假设其中有数字4，那么在4的前面不含2.将如此的n 位数的个数记为.n a（1）求23,a a ；（2）探讨1n a +与n a 之间的关系，求出数列{}n a的通项公式；（3）关于每一个正整数k ，在1a 与1k a +之间插入12k -个13取得一个新数列{}n b，设n S 是数列{}n b 的前n 项和，试探讨2017n S =可否成立？写出你探讨取得的结论并给出证明.。

上海市七宝中学2017-2018学年下学期高三3月月考数学试题-精选文档

2019-2019年七宝中学高三下3月月考2019.03一. 填空题1. 已知集合{|3}{|1}A x x x x =≥<-，则C A =R2. 复数1i z i=-（其中i 为虚数单位）的模为 3. 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为4. 从编号0，1，2，⋅⋅⋅，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为5. 设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-，若当[0,5]x ∈时，()f x 的图像如图，则不等式()0f x <的解是6. 若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 7. 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆22:2O x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是8. 在ABC ∆中，D 是BC 的中点，8AD =，20BC =，则AB AC ⋅的值为9. 设x 、y 、z 是实数，9x 、12y 、15z 成等比数列，且1x 、1y 、1z 成等差数列，则x z z x + 的值是10. 设实数a 、b 、c 满足221a b c +≤≤，则a b c ++的最小值为11. 若不等式2(1)[3(1)1]0mx m x m --+-≥对任意(0,)m ∈+∞恒成立，则实数x 的值为12. 设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且11a ≥，2424a ≥，12168S ≤，则29a d -的取值范围是二. 选择题13. 若函数2()21xx f x =-+，则该函数在(,)-∞+∞上是（） A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值 C. 单调递增无最大值 D. 单调递增有最大值14. “22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的（）条件A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要15. 已知a 、b 是单位向量，0a b ⋅=，若向量c 满足||1c a b --=，则||c 的取值范围是（）A. 1]B. 2]C. 1]D. 2]+16. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A. 3B. 23+C. 43+ D. 3 三. 解答题17. 在ABC ∆中，已知9AB AC ⋅=，16AB BC ⋅=-，求：（1）AB 的值；（2）sin()sin A B C-的值. 18. 如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，AD ∥BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，13AD AA ==.（1）证明：1AC B D ⊥；（2）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.19. 将52名志愿者分成A 、B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植 200捆沙棘树苗，假定A 、B 两组同时开始种植.（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时，应如何分配A 、B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.20. 已知左焦点为(1,0)F -的椭圆过点(1,3E ，过点(1,1)P 分别作斜率为1k 、2k 的椭圆的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求1k ；（3）若121k k +=，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.21. 已知数列{}n a 满足212n a a a n ++⋅⋅⋅+=（n ∈*N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的k ∈*N ，是否存在,p r ∈*N （k p r <<）使1ka 、1p a 、1r a 成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组），若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为1n a 、2n a 、3n a .参考答案1、[)1,3- 2 3、18 4、76 5、()(]2,02,5- 6、4a >7、1y =+ 8、36- 9、3415 10、12- 11、1x = 12、2498,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13-16、AAAC17、（1）5；（2）72518、（1）证明略;（2）7 19、（1）A 组20人，B 组32人；（2）277小时 20、（1）22132x y +=；（2）23-；（3）20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 21、（1）21n a n =-；（2）21p k =-，2452r k k =-+；（3）证明略。

2018届七宝中学高三下开学考试卷

2018届七宝中学高三下寒假摸底卷I. Listening Comprehension (25%)Section ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. Spend more time working on chemistry problems.B. Talk to his advisor about dropping the course.C. Work on the assignment with a classmate.D. Ask graduate assistants for help.2. A. Go home to get the washing. B. Send dirty clothes to the laundry.C. Pick up the washing.D. Remind the woman to hurry up.3. A. The woman could use his calculator.B. He’ll finish the adding up for the woman.C. The woman’s calculator is better than his.D. He’s faster at adding numbers up than the woman.4. A. The final will begin next week.B. The man should talk with his doctor again.C. She hopes the man will be able to play in the final.D. She wants the man to watch the soccer game with her.5. A. The advisor will approve of the man’s class schedule.B. The advisor is not easy to make an appointment with.C. The man should work harder next semester.D. The man should go to see his advisor.6. A. An educational policy. B. An economic issue.C. A heated debate.D. A famous economist.7. A. The former is more valued than the latter.B. Views on them vary from person to person.C. The former is less valued than the latter.D. Neither of them should be valued so much.8. A. Disappointed. B. Puzzled. C. Astonished. D. Relieved.9. A. Why the woman took up this job.B. Why there are ice-cream tasting schools.C. How the man went into the ice-cream business.D. How it feels to work as an ice-cream taster.10.A. They can go to the theatre on foot.B. The theatre is on the other side of the town.C. This town is big enough to walk around.D. Everything in the town is worth visiting.Section BDirections: In Section B, you will hear two short passages, and you will be asked to questions on each of the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11.A. A doctor. B. A model. C. A TV host. D. A magazine editor.12.A. Kirsty is very likely to develop an eating disorder.B. Teen programmes talk a lot about appearance.C. Being thin is a common trend.D. Magazines are informative.13.A. How to develop a healthy diet.B. Whether the media are a bad influence.C. How to follow famous people’s lifestyles.D. Whether your appearance should matter or not.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14.A. Peary wasn’t an experienced explorer.B. He had reached the pole before Peary did.C. Peary had announced his success too late.D. Peary’s exploration wasn’t thoroughly investigated.15.A. They interviewed Peary himself.B. They examined the tools that Peary used.C. They talked to one of Peary’s companions.D. They conducted a computer analysis of his photographs.16.A. Exploration of space. B. Doctor Cook’s exploration.C. Exploration of the South Pole.D. The Navigation Foundation’s conclusions.Section CDirections: I n Section C, you will hear a longer conversation. The conversation will be read twice. After you hear the conversation, you are required to answer the following questions.Questions 17 through 20 are based on the following conversation.17.A. A biologist. B. A psychologist. C. An artist. D. A reporter.18.A. Talents play a role in children’s overall development.B. Typical parental involvement is not as important as thought.C. Arts training will improve children’s performance in other subjects.D. Children need to be assigned to different groups according to their ability.19.A. Its subjects were young children.B. It showed what skill is essential to maths.C. It illustrated why abstract reasoning is important.D. Its results helped explain why parents turn to arts education.20.A. By helping activate children’s brains.B. By helping raise educators’ awareness.C. By helping children learn how to learn.D. By helping scientists find a rich environment.II. Grammar and vocabulary (20%)Section ADirections: Read the following two passages. Fill in the blanks to make the passage coherent. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper from of the given word. For the other blanks, fill in each blank with one proper word. Make sure that your answers are grammatically correct.Most of the people who appear most often and most gloriously in the history books are great conquerors and generals and soldiers, while the people ____21____(help) civilization forward are often never mentioned at all. We do not know who first set a broken leg, or launched a seaworthy boat, or calculated the length of the year, or manured (施肥)a field; but we know all about the killers and destroyers.People think a great deal of them, so much that on all the highest pillars (纪念柱)in the great cities of the world you will find the figure of a conqueror or a general or a soldier. And I think most people believe that the greatest countries are ____22____ that have beaten in battle the greatest number of other countries and ruled over them as conquerors. It is just possible they are, but they are not ____23____(civilized). Animals fight; so ___24_____ savages（野蛮人）; so to be good at fighting is to be good in the way in which an animal or a savage is good, but it is not to be civilized. Even being good at getting other people to fight for you and telling them how to do it most efficiently — this, after all, is ___25_____ conquerors and generals have done — is not being civilized. People fight___26_____(settle) quarrels. Fighting means killing, and civilized peoples ought to be able to find some ways of settling their disputes other than by seeing which side ____27____ kill off greater number of the other side, and then saying that the side which has killed most____28____(win). It means ____29____(say) that power is right.This is what the story of mankind has on the whole been like. Even our own age has fought the two greatest wars, ____30____ millions of people were killed or disabled. And while today it is true that people do not fight and kill each other in the streets — while, that is to say, we have got to the stage of keeping the rules and behaving properly to each other in daily life — nations and countries have not learnt to do this yet, and still behave like savages.Section BDirections: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only becare for a newborn child. Last spring one of the two, Australia, gave up the bad distinction by setting up paid family leave starting in 2011. I wasn't surprised when this didn't make the news here in the United States-we're now the only wealthy country without such a policy.The United States does have one explicit family policy, the Family and Medical Leave Act, passed in 1993. It ____31____ workers to as much as 12 weeks' unpaid leave for care of a newborn or dealing with a family medical problem. Despite the ____32____ of the benefit, the Chamber of Commerce and other business groups fought it bitterly, describing it as "government-run personnel management" and a "dangerous precedent (先例)". In fact, every step of the way, as (usually) Democratic leaders have tried to introduce work-family balance measures into the law, business groups have been strongly ____33____.As Yale law professor Anne Alstott, argues, ____34____ parental support depends on defining the family as a social good that, in some sense, society must pay for. Parents are ____35____ in many ways in their lives: there is "no exit" when it comes to children. Society expects parents to provide their children with continuity of care, meaning the ___36_____and intimate care that human beings need to develop their intellectual, emotional and moral capabilities. And society expects parents to persist in their roles for 18 years, or longer if needed.While most parents do this out of love, there are public punishments for not providing care. What parents do, in other words, is of deep ____37____ to the state, for the obvious reason that caring for children is not only ____38____ urgent but important to the future of society. The state recognizes this in the large body of family laws that govern children’s welfare, yet parents receive little help in meeting the life-changing obligations society ____39_____. To classify parenting as a personal choice for which there is no collective responsibility is not merely to ignore the social benefits of good parenting; really, it is to steal those benefits because they accrue (累积) to the whole of society as today's children become tomorrow's citizens. In fact, by some ____40____, the value of parental investments in children, investments of time and money, is equal to 20%～30% of GDP. If these investments bring huge social benefits-as they clearly do-the benefits of providing more social support for the family should be that much clearer.III. Reading Comprehension (45%)Section ADirections: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Before 1815 manufacturing in the United States had been done in homes or shops by skilled artisans. As master craft workers, they imparted the knowledge of their trades to apprentices(学徒) and journeymen(熟练工). _____41_____, women often worked in their homes part-time, making finished articles from raw material supplied by merchant capitalists. After 1815 this older form of manufacturing began to ____42____ factories with machinery tended by unskilled or semiskilled laborers. ____43_____ transportation networks, the rise of cities, and the availability of capital and credit all stimulated the shift to factory production.Apprentices were considered part of the family, and masters were responsible not only for teaching their apprentices a trade but also for providing them with some education and for ____44_____ their moral behavior. Journeymen knew that if they ____45____ their skill, they could become respected master artisans with their own shops. Also, skilled artisans did not work by the clock.The factory changed that. Goods produced by factories were not as finished or elegant as those done by hand, and pride in craftsmanship gave way to the ___46_____ to increase rates of productivity. The new methods of doing business involved a new and stricter sense of time. Absenteeism and lateness hurt productivity and, since work was specialized, ____47____ the regular factory routine. Industrialization not only produced a fundamental change in the way work was organized; it ____48_____ the very nature of work.The first generation to experience these changes did not adopt the new attitudes easily. The factory clock became the symbol of the new work rules. One mill worker who finally ____49____ complained revealingly about "obedience to the ding-dong of the bell-just as though we are so many living machines." With the ____50____ of personal freedom also came the loss of standing in the community. Unlike artisan workshops in which apprentices worked ____51____ with the masters supervising them, factories sharply separated workers from management. Few workers rose through the ranks to supervisory positions, and even well-paid workers sensed their____52____ in status.In this newly emerging economic order, workers sometimes organized to protect their rights and traditional ways of life. The labor movement gathered some momentum(动力，势头) in the decade before the Panic of 1837, but in the depression that followed, labor's strength____53____. During hard times, few workers were willing to strike or ____54_____ collective action. And skilled craft workers, who led the union movement, did not feel a particularly strong bond with semiskilled factory workers and unskilled laborers. More than a decade of agitation(激烈争论) did finally bring a workday shortened to 10 hours to most industries by the 1850’s, and the courts also recognized workers' right to strike, but these ____55___ had little immediate impact.41. A. Otherwise B. Moreover C. However D. Therefore42. A. give way to B. make up for C. get rid of D. end up with43. A. Expensive B. Public C. Difficult D. Cheap44. A. displaying B. supervising C. respecting D. predicting45. A. shared B. assessed C. perfected D. applied46. A. pressure B. disappointment C. freedom D. hatred47. A. followed B. broke C. established D. fixed48. A. ignored B. demanded C. guaranteed D. transformed49. A. succeeded B. recovered C. quitted D. revenged50. A. restoration B. change C. loss D. protection51. A. closely B. efficiently C. independently D. diligently52. A. stability B. independence C. decline D. security53. A. maintained B. developed C. returned D. collapsed54. A. protest against B. give up C. account for D. engage in55. A. emphases B. limits C. evidences D. gainsSection BDirections: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.AThe person who set the course of my life was a school teacher named Marjorie Hurd. When I stepped off a ship in New York Harbor in 1949, I was a nine-year-old war refugee, who had lost his mother and was coming to live with the father he did not know. My mother, Eleni Gatzoyiannis, had been imprisoned and shot for sending my sisters and me to freedom.I was thirteen years old when I entered Chandler Junior High. Shortly after I arrived, I was told to select a hobby to pursue during “club hours.” The idea of hobbies and clubs made no sense to my immigrant ears, but I decided to follow the prettiest girl in my class. She led me into the presence of Miss Hurd, the school newspaper adviser and English teacher.A tough woman with salt-and-pepper hair and determined eyes, Miss Hurd had no patience with lazy bones. She drilled us in grammar, assigned stories for us to read and discuss, and eventually taught us how to put out a newspaper. Her introduction to the literary wealth of Greece gave me a new perspective on my war-torn homeland, making me proud of my origins. Her efforts inspired me to understand the logic and structure of the English language. Owing to her inspiration, during my next twenty-five years, I became a journalist by profession.Miss Hurd retired at the age of 62. By then, she had taught for a total of 41 years. Even after her retirement, she continually made a project of unwilling students in whom she spied a spark of potential. The students were mainly from the most troubled homes, yet she alternately bullied and charmed them with her own special brand of tough love, until the spark caught fire.Miss Hurd was the one who directed my grief and pain into writing. But for Miss Hurd, I wouldn’t have become a reporter. She was the catalyst that sent me into journalism and indirectly caused all the good things that came after.56. Which of the following caused the author to think of his homeland differently?A. Stepping on the American soil for the first time.B. Her mother’s miserable death.C. Being exposed to Greek literary works.D. Following the prettiest girl in his class.57. It can be inferred from Paragraph Four that ____________.A. Miss Hurd’s contribution was recognized across the nationB. Students from troubled homes preferred Miss Hurd’s teaching styleC. The students Miss Hurd taught were all finally firedD. Miss Hurd employed a unique way to handle these students58. The passage is mainly concerned with _____________.A. how the author became a journalistB. the importance of inspiration in one’s lifeC. the teacher who shaped the author’s lifeD. factors contributing to a successful careerBSettling in to life at OxfordWhen you first arrive in Oxford, it may take a little while for you to find your way around. The university is a large organization that is fully integrated into the city and has been evolving for 800 years. Some of the first things our students do when they arrive include finding a bike (most students in Oxford find cycling is the best way to go around)，setting up a bank account, getting their computer and mobile phone working, finding their department, getting to know their college and working out the best places to socialize.One of the major events you will experience shortly after “coming up” to Oxford is matriculation. Matriculation is held at the University’s Sheldonian Theatre and is the ceremony at which you are formally admitted to the university.International students are invited to an orientation day at the start of the academic year. Sessions run throughout the day that will give you practical information about living and studying in UK and introduce you to other graduate students from for all over the world who are starting their studies at Oxford at the same time as you, as well as to current Oxford graduate students and staff who will be able to help and advise you. The day covers topics such as studying and learning in the Oxford system, University services, information on living in Britain and culture differences, as well as addressing practical issues such as employment, immigration and visas, health and safety. You can choose which talks to attend and at the end of the day there is a social hour so you can meet fellow students.Another good thing to experience early on is college dining. Most colleges have a tradition of regular formal hall dinners, which consist of three or four courses, and the atmosphere of an evening out in a nice restaurant. On some of these occasions you can invite people around to your college for dinner and then they may return the favor. In this way, you can get to know people studying your own and other subjects at the same time as visiting many of the historical college grounds and dining halls.Further information on your first few weeks at Oxford is available via the Student Gateway on our website, and your can get first-hand accounts of what life at Oxford is like by watching videos of students talking about their experiences on our Wall of 100 Faces.59. Which of the following is NOT the first thing for a new comer to Oxford to do?A. to find a best place to socializeB. to set up a bank accountC. to go to the Sheldonian TheatreD. to get mobile phone working60. When do students feel they are truly admitted to Oxford University?A. They arrived in Oxford and settled down on campus.B. They received the offer from the admission office.C. They met the staff and took some required courses.D. They experienced the matriculation in the university.61. Why is an orientation important for international students?A. It is a good chance to ask the staff for help.B. It offers practical information about living and studying.C. It helps get students’ computers hooked to the Internet.D. It can help deal with the problem of culture differences.62. “return the favor” in the passage probably means __________________.A. inviting you for dinnerB. visiting your historic college in returnC. sharing favorite videosD. providing you with some good adviceCIn the college-admissions wars, we parents are the true fighters. We’re pushing our kids to get good grades, take SAT preparatory courses and build resumes so they can get into the college of our first choice. I’ve twice been to the wars, and as I survey the battlefield, something different is happening. We see our kids’ college background as a prize demonstrating how well we’ve raised them. But we can’t acknowledge that our obsession is more about us than them. So we’ve come up with various justifications that turn out to be half-truths, prejudices or myths. It actually doesn’t matter much whether Aaron and Nicole go to Stanford.We have a full-blown prestige panic; we worry that there won’t be enough prizes to go around. Fearful parents urge their children to apply to more schools than ever. Underlying the hysteria(歇斯底里) is the belief that scarce elite degrees must be highly valuable. Their graduates must enjoy more success because they get a better education and develop better contacts. All that is plausible—and mostly wrong. We haven’t found any convincing evidence that selectivity or prestige matters. Selective schools don’t systematically employ better instructional approaches than less selective schools. On two measures—professors’ feedback and the number of essay exams selective schools do slightly worse.By some studies, selective schools do enhance their graduates’ lifetime earnings. The gain is considered at 2-4% for every 100-point increase in a school’s average SAT scores. But even this advantage is probably a statistical fluke(偶然). A well-known study examined students who got into highly selective schools and then went elsewhere. They earned just as much as graduates from higher-status schools.Kids count more than their colleges.Getting into Yale may signify intelligence, talent and ambition. But it’s not the only indicator and its significance is declining. The reason: so many similar people go elsewhere. Getting into college is not life’s only competition. In the next competition—the job market and graduate school—the results may change. Old-boy networks are breaking down. Princeton economist Alan Krueger studied admissions to one top Ph.D. program. High scores on the GRE helped explain who got in; degrees of prestigious universities didn’t.So, parents, lighten up. The stakes(风险) have been vastly exaggerated. Up to a point, we can rationalize(合理化) our pushiness. America is a competitive society; our kids need to adjust to that. But too much pushiness can be destructive. The very ambition we impose on our children may get some into Harvard but may also set them up for disappointment. One study found that, other things being equal, graduates of highly selective schools experienced more job dissatisfaction. They may have been so conditioned to being on top that anything less disappoints.63. Why does the author say that parents are the true fighters in the college-admissions wars?A. They have the final say in which university their children are to attend.B. They know best which universities are most suitable for their children.C. They care more about which college their children go to than the children themselves.D. They have to carry out intensive surveys of colleges before children make an application.64. What does the author mean by “kids count more than their colleges” Line1, para.4?A. Continuing education is more important to a person’s success.B. Kids’ actual abilities are more important than their college background.C. A person’s happiness should be valued more than their education.D. What kids learn at college cannot keep up with job market requirements.65. What does Krueger’s study tell us?A. Getting into Ph.D. programs may be more competitive than getting into college.B. Graduates from prestigious universities do not care much about their GRE scores.C. Connections built in prestigious universities may be sustained long after graduation.D. Degrees of prestigious universities do not guarantee entry to graduate programs.66. According to the passage, one possible result of pushing children into elite universities isthat______.A. they experience more job dissatisfaction after graduationB. they earn less than their peers from other institutionsC. they turn out to be less competitive in the job marketD. they overemphasize their qualifications in job applicationSection CDirections: Complete the following passage by using the sentences given below. Each sentence canIn business, there is a speed difference: It’s the difference between how important firm leaders say speed is to their competitive strategy and how fast the company actually moves. The difference is important regardless of industry and company size. _________67____________ In our study of 343 businesses, the companies that choose to go, go, go to try to gain an edge ended up with lower sales and operating incomes than those that paused at key moments to make sure they were on the right track. What’s more, the firms that “slowed down to speed up “improved their top and bottom lines, averaging 40% higher sales and 52% higher operating incomes over a three-year period.__________68___________ They thought differently about what “slower” and “faster” mean. Firms sometimes fail to understand the difference between operation speed (moving quickly )and strategic speed (reducing the time it takes to deliver value ).Simply increasing the speed of production, for example ,may be one way to try to reduce the speed difference .But that often leadsto reduced value over time, in the form of lower-quality products and services.In our study, higher-performing companies with strategic speed always made changes when necessary. They became more open to ideas and discussion. __________69___________ And they allowed time to look back and learn. By contrast, performance suffered at firms that moved fast all the time, paid too much attention to improving efficiency, stuck to tested methods, didn’t develop team spirit among their employees, and had little time thinking about changes.Strategic speed serves as a kind of leadership. __________70___________That kind of strategy must come from the top.第II 卷I．Summary (10%)Directions: Read the following passage. Summarize in no more than 60 words the main idea of the passage and how it is illustrated. Use your own words as far as possible.It is found that American students spend less than 15% of their time in school. While there’s no doubt that school is important, a number of recent studies remind us that parents are even more so.A study published earlier this month by researchers at North Carolina State University, for example, finds that parental involvement —checking homework, attending school meetings and events, discussing school activities at home —has a more powerful influence on students’ academic performance than anything about the school the students attend.So parents matter. But it is also revealed in researches that parents, of all backgrounds, don’t need to buy expensive educational toys or digital devices for their kids in order to give them an advantage. What they need to do with their children is much simpler: talk.But not just any talk. Recent research has indicated exactly what kinds of talk at home encourage children’s success at school. For example, a study conducted by researchers at the UCLA School of Public Health found that two-way adult-child conversations were six times as potent in promoting language development as the ones in which the adult did all the talking. Engaging in this back-and-forth gives children a chance to try out language for themselves, and also gives them the sense that their thoughts and opinions matter.The content of parents’ conversations with kids matters, too. Children who hear talk about counting and numbers at home start school with much more extensive mathematical knowledge. While the conversations parents have with their children change as kids grow older, the effect of these exchanges on academic achievement remains strong. Research finds that parents play an important role in what is called “academic socialization”—setting expectations and making connections between current behavior and future goals. Engaging in these sorts of conversations has a greater impact on educational accomplishment.II．Translation (15%)Directions: Translate the following sentences into English, using the words given in the brackets.1.意识到犯了大错，我马上向在场所有的人表达了诚挚的歉意。

上海市七宝中学高三期中数学考试试卷(含答案)(2018.11)

七宝中学高三期中数学试卷2018.11一. 填空题1.集合A {0,1,2018}的真子集有个2.设全集U R，M {x x| 2 4}，N {x | 3x 1}，则图中阴影部分所表示的集合是（用区间表示）3.命题“若实数a、b满足a b 5，则a 2 或b 3”是命题（填“真”或“假”）4.某个时钟时针长 6cm，则在本场考试时间内，该时针扫过的面积是cm21 ax5.函数f x( ) x log1是奇函数，则实数a的值为 2 x 1a6.函数y x 在(1,2) 上单调递增，则实数a的取值范围为x7.在△ ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若a 3 ，c 2 ，A，3则△ ABC 的面积为8.已知函数f x( ) x，则f (3x1) f (1 x2) 的解集是9.若关于x的不等式| 2x a | x 1在[0,2] 上恒成立，则正实数a的取值范围为2x 6 110.已知常数a 0 ，函数f x( ) x 的图像经过点P p( , )、Q q( ,) ，若2 ax 5 52p q16pq ，则a11.已知函数f x( ) 3x3 3x 3x 3x 3 ，若f (3a2) f b( 21) 6 ，则a 1b2 的最大值是2 x 1 x 212.已知函数f x( ) 1 ，如果函数g x( ) f x( ) k x( 1) 恰有三个不同f (2 )x0 x 12的零点，那么实数k的取值范围是二. 选择题13.“函数f x( ) （x R）存在反函数”是“函数f x( ) 在R上为单调函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14.若函数f x( ) 的反函数为f 1( )x ，则函数f x( 1) 与f 1(x1) 的图像可能是（）A. B. C. D.15.在△ ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，给出四个命题：（1）若sin2A sin2B，则△ ABC 为等腰三角形；（2）若sin A cosB，则△ ABC 为直角三角形；cos A sinB cosC（3）若，则△ ABC 为等腰直角三角形；a b c（4）若cos(A B)cos(B C)cos(C A) 1，则△ ABC 为正三角形；以上正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 416. f x( ) 是定义在D 上的函数，且3 D ，若f x( ) 的图像绕原点逆时针旋转后与原6图像重合，则在以下各项中，f ( 3) 的可能取值只能是（）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题3 417. 已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A、B两点，其中A点坐标( , ) .5 51sin2（1）求的值；cos2（2）若sin() ，求B点坐标.18. 如图，某公园有三个警卫室A、B、C 有直道相连，AB 2 千米，AC 4 千米，BC 23 千米.（1）保安甲沿CA从警卫室C 出发行至点P处，此时PC 1，求PB的直线距离；（2）保安甲沿CA从警卫室C 出发前往警卫室A，同时保安乙沿AB从警卫室A出发前往警卫室B，甲的速度为 1 千米/小时，乙的速度为 2 千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过 3 千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到0.01 小时）学习上述解法并解决下列问题：1 2问题：正数a、b满足a b1，求的最小值. ab1 2 1 2 b 2a其中一种解法是： ( )(a b) 1 2 3 2 2 ，当且仅当a b a b a bb 2a且a b1时，即a 2 1且b 2 2 时取等号.a b满足x22 y22 1 2 2和(x y)2的大小，（1）若实数a、b、x、y并指明，试比较ab a b 等号成立的条件；（2）利用（1）的结论，求函数f t( ) 2t 3 t 2 的值域.720. 定义区间(m n,) 、[m n,] 、(m n,]、[m n,) 的长度均为n m，已知不等式1的6 x解集为A.（1）求A的长度；(a2 a x) 1（2）函数f x( ) 2 （a R，a 0）的定义域与值域都是[m n, ] （n m），a x求区间[m n,] 的最大长度；（3）关于x的不等式log2 x log (2 tx 3 )t 2 的解集为B，若A B 的长度为 6，求实数t 的取值范围.1 x1 x2 对任意的实数21. 已知定义在D 上的函数f x( ) 满足：[ f x( 1) f x( 2)] f ( )2 2x x1, 2 D 都成立，当且仅当x1 x2 时取等号，则称函数f x( ) 是D 上的S 函数，已知S 函1x1 x2 x n （n N*，n 2 ）数f x( ) 具有性质：[ (f x1) f x( 2) f x( n)] f ( ) n n对任意的实数x i D （i N*）都成立，当且仅当x1 x2 x n 时取等号.（1）试判断函数f x( ) log a x （a 0 且a 1）是否是(0,) 上的S 函数，说明理由；（2）求证：f x( ) sin x是(0,)上的S 函数，并求sin A sinB sinC的最大值（其中A、B、C 是△ ABC 三个内角）；（3）若f x( ) 定义域为R，① f x( ) 是奇函数，证明：f x( ) 不是R上的S 函数；② f x( ) 最小正周期为T ，证明：f x( ) 不是R上的S 函数.参考答案一. 填空题1. 72. [1,2]3. 真4. 58.5. 16. a 17. (,1)(2,)29. a 1或a 2 10. 4 11. 12. (,]二. 选择题13. B 14. A 15. B 16. C三. 解答题17.（1）7 ；（2）(18.（1）BP 7 ；（2）.x2 y219.（1）a2 b2 (x y)2 ， 2 2 1且b x4 2 a y4 2等号成立；（2）[ ,) . a b 220.（1）7 ；（2）；（3）(0,].3 321.（1）a 1，是 S 函数；0 a 1，不是 S 函数；（2）略，最大值；（3）略.2。

2018年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷(J)

2018年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷(J)副标题一、选择题（本大题共4小题，共4.0分）1.若椭圆C的方程为，则是曲线C的焦点在x轴上的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】C【解析】解：椭圆C的方程为，若曲线C的焦点在x轴上，，故椭圆C的方程为，则是曲线C的焦点在x轴上的充要条件，故选：C．根据椭圆的性质即可得到曲线C的焦点在x轴上则再根据充要条件的定义即可判断．本题考查充要条件的判断与应用，椭圆的简单性质，基本知识的考查．2.方程的解的个数有A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：由于，所以，由此得到方程无解．故选：A．利用反三角函数，判断等式两侧表达式的范围，即可推出结果．本题考查反三角函数的应用，基本知识的考查．3.已知实数x，y满足，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设为圆上的任意一点，则P到直线的距离，P到原点的距离，．设圆与直线相切，则，解得，的最小值为，最大值为，，．故选：B．构造直线，过圆上一点P作直线的垂线PM，则，求出的范围即可得出答案．本题考查了直线与圆的位置关系，距离公式的应用，属于中档题．4.实数a，b满足，，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：实数a，b满足，，可得，，令，，可得，它的可行域如图：A在与的交点，，，是双曲线关于对称，显然在A处取得最大值：，在B处取得最小值：．则的取值范围是：．故选：B．求出a，b的范围，利用换元法画出可行域，利用目标函数的几何意义求解范围即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，利用换元法同时考查转化思想，数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共12小题，共12.0分）5.若，则______．【答案】2【解析】解：，．故答案为：2．利用对数的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查对数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.已知直线l垂直于直角坐标系中的y轴，则l的倾斜角为______．【答案】0【解析】解：由直线倾斜角的定义可得，垂直于直角坐标系中的y轴的直线l的倾斜角为0．故答案为：0．直接由直线的倾斜角的定义得答案．本题考查直线倾斜角的定义，是基础题．7.在复平面内，点对应的复数z，则______．【答案】【解析】解：在复平面内，点对应的复数z，则．故答案为：．求出复数，然后求解复数的模．本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．8.若角的终边经过点，则的值为______【答案】【解析】解：角的终边经过点，可得．则．故答案为：．利用角的终边经过点，求出，然后求解即可．本题考查三角函数的定义，反三角函数的化简求值，是基本知识的考查．9.若不等式的解集为，则实数t等于______【答案】1【解析】解：因为不等式的解集为，即是方程的根，所以，不等式化为，解得．所以．故答案为：1．由题目给出的绝对值不等式的解解为，可知为不等式所对应方程的两个根，求出a，然后求解实数t即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了数学转化思想方法，若该题采用去绝对值的办法，去绝对值后需要分类讨论，解法变得复杂，该题属基本知识的考查．10.由参数方程为参数，，所表示的曲线的右焦点的坐标为______【答案】【解析】解：根据题意，参数方程变形为普通方程为，为双曲线，其中，，且其焦点在x轴上，则所表示的曲线的右焦点的坐标为；故答案为：．根据题意，将参数方程变形为普通方程，分析其表示的曲线为双曲线，由双曲线的几何性质分析可得答案．本题考查参数方程与普通方程的互化，关键是将参数方程变形为普通方程．11.直角坐标系xOy内有点，，，，将四边形ABCD绕直线旋转一周，所得到的几何体的体积为______．【答案】【解析】解：直角坐标系xOy中，点，，，，如图所示，由图形知四边形ABCD是矩形，将矩形ABCD绕直线旋转一周，所得几何体为底面半径为1，高为2的圆柱，该圆柱的体积为．故答案为：．由题意知四边形ABCD是矩形，矩形ABCD绕直线旋转一周得圆柱，求出圆柱的体积即可．本题考查了矩形旋转后是圆柱体的应用问题，是基础题．12.A，B二校各推荐两篇课题放在一起评比，则四篇课文在排序中没有A校命题相邻的概率为______．【答案】【解析】解：A，B二校各推荐两篇课题放在一起评比，基本事件总数，四篇课文在排序中没有A校命题相邻包含的基本事件个数，四篇课文在排序中没有A校命题相邻的概率为．故答案为：．基本事件总数，四篇课文在排序中没有A校命题相邻包含的基本事件个数，由此能求出四篇课文在排序中没有A校命题相邻的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.已知平面直角坐标系中的两点，，O原点，有，设：，，是平面曲线上任意三点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：由，得．该曲线表示以为圆心，以为半径的圆．如图，圆内接三角形面积最大时三角形为正三角形，且最大面积为．．故答案为：．化圆的方程为标准方程，求出圆的半径，结合已知及圆内接正三角形面积最大求解．本题考查曲线与方程，明确圆内接正三角形面积最大是关键，是中档题．14.设点O在的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且，则______．【答案】2【解析】解：点D，E分别为边AC，BC的中点，，，，故答案为：2．根据向量的几何意义即可求出．本题考查了平面向量加法的几何意义，是基础题．15.设函数，数列的首项，且，若数列不是单调递增数列，则的取值范围______．【答案】【解析】解：；假设，则．若，则，由此可证得是单调递增数列，这矛盾．所以．故答案为：．通过数列与函数的关系式，结合不等式，转化求解的取值范围．本题考查数列与函数的综合应用，反证法的应用，考查转化思想以及计算能力．16.给定曲线，为参数，则这些曲线在直线上所截得得弦长的最大值是______．【答案】【解析】解：将代入曲线方程得，．令，则，，弦长．故弦长的最大值是，故答案为：．联立直线与曲线方程可求交点的横坐标，，要使曲线族在直线上所截得的弦长的最大，则只要最大即可，即t最大即可，根据函数的性质即可求出．本题主要考查了直线与曲线相交求解交点、弦长，解题的关键是灵活利用三角函数的性质及弦长公式，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）17.已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，OA与母线所成角为，试用r表示圆柱的表面积S；若圆柱体积为，求点C到平面OEF的距离．【答案】解：连接AP，由题意可知：OA与母线所成角为，，所以：，---2分，---4分，---6分，，---10分---14分【解析】利用已知条件，通过求解三角形推出圆柱的高，然后求解圆柱的表面积S．利用圆柱的体积，求出底面半径，通过，求解点C到平面OEF的距离．本题考查空间点线面的距离的求法，几何体的体积的求法，考查了直角三角形的解法，是基础题．18.已知向量和向量，且．求函数的最小正周期和最大值；已知的三个内角分别为A，B，C，若有，，，求AC的长度．【答案】解：，，化为．函数的周期为，最大值为2．得，即，由正弦定理得，又，，则．【解析】利用向量共线定理、两角和差的正弦公式、三角函数的性质即可得出；利用正弦定理即可得出．本题考查了向量共线定理、两角和差的正弦公式、三角函数的性质、正弦定理，属于中档题．19.业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为为常数元，之后每年会投入一笔研发资金，n年后总投入资金记为，经计算发现当时，近似地满足，其中为常数，已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍问研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；研发启动后第几年的投入资金的最多．【答案】解：由题意知，．所以解得所以．令，得，解得，即，所以．所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍．由知第n年的投入资金，当且仅当，即等号，此时．所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多．【解析】由题意知，，代入求出p，q的值，即可得到函数的解析式，再代值计算即可求出n的值，利用作差法，求出第n年的投入资金，利用基本不等式即可求出答案．本题考查了函数模型在实际生活中的应用，以及基本不等式的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．20.平面直角坐标系xOy中，抛物线：的焦点为F，过F的直线l交曲线于B，C两点．若l垂直于x轴，且线段BC的长为1，求曲线方程；若l的斜率为k，求；设抛物线上异于B，C的点A满足若的重心在x轴上，求得重心的坐标．【答案】解：联立方程，所以BC长，从而的方程为分设，，l：．由、，得到分，所以分若l垂直于x轴，则由，此时重心坐标为．以下设l：，，．设线段BC中点，则，，所以直线AD的斜率，分此时，从而直线AD：与x轴的交点即为的重心．综合有，的重心为或者分【解析】若l垂直于x轴，联立直线与抛物线方程，通过线段BC的长为1，求曲线方程即可；若l的斜率为k，设，，写出l：通过联立直线与抛物线方程，结合韦达定理转化求解；若l垂直于x轴，则由，此时重心坐标为设l：，，设线段BC中点，求出D的坐标，AD的斜率，求出直线系方程，得到定点坐标即为的重心．本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21.设函数在上有定义，实数a，b满足若在区间上不存在最小值，则称在区间上具有性质p．当，且在区间上具有性质p时，求常数C的取值范围；已知，且当时，，判别在区间上是否具有性质p；若对于满足的任意实数a，b；在区间上具有性质p，且对于任意，当时，有：，证明：当时，．【答案】解：当时，在上存在最小值；当时，在上存在最小值；当时，在上单调递增，所以不存在最小值．所以．因为时，，所以在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到另一方面，在区间上不存在最小值，所以在区间上具有性质P．首先证明对于任意，．当时，由可知介于和之间若，则在区间上存在最小值，矛盾．利用归纳法和上面结论可得：对于任意k，，当时，．其次证明当且时，；当且时，．任取，设正整数k满足，则．若存在使得，则，即由于当时，，所以在区间有最小值，矛盾．类似可证，当且时，．最后证明：当时，．当时，成立当时，由可知，存在使得，所以．当时，有：若，则，所以在上存在最小值，故不具有性质p，故不成立．若，则假设，则在上存在最小值，故不具有性质p，故假设不成立．所以当时，对于任意都成立．又，故当、，所以，即．所以当时，则存在正整数m使得，则所以当时，，同理可证得当时，．所以当时，必然存在正整数n，使得，所以；当时，显然成立；所以综上所述：当时，．【解析】分别讨论图象的对称轴与1和2的关系，即可得出是否存在最小值，从而求出C的取值范围；由题目条件可得出在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到，又在区间上不存在最小值，所以在区间上具有性质P；首先证明对于任意，；其次证明当且时，；当且时，；最后证明：当时，．本题考查了函数与方程的综合运用，需要对题目的条件充分理解和利用，证明用到了数学归纳法，属于难题．。

2018届上海市闵行区高三第二学期质量调研考试理科数学试题及答案

闵行区2018学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷（理科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分． 1．已知集合35|22A x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，U =R ，则U A =ð ． 2．若复数z 满足(2)(1)2z i i ++=（i 为虚数单位），则z = ．3．函数()cos f x x x =,若1()2f a =，则()f a -= ．4．计算 22lim 2nn C n n→∞=+ ． 5．设)0(24)(1≥-=+x x f x x ,则=-)0(1f .6．已知2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sin cos 22θθ-=，则cos θ= ．7. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 .学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………8．已知集合{1,3}M =，在M 中可重复的依次取出三个数,,a b c，则“以,,a b c 为边长恰好构成三角形”的概率是．9．已知等边ABC △的边长为3，M 是ABC △的外接圆上的动点，则AB AM ⋅的最大值为．10．函数1122log log y =+取最小值时x 的取值范围是． 11．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12()log g x x=,记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()()5F x h x x =+-所有零点的和为 .12．已知12F F 、是椭圆22122:14x y m m Γ+=-和双曲线22222:14x y n n Γ-=-的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则mn的最大值为 .13．在ABC △中，记角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，设S 是ABC △ 的面积，若2sin ()sin S A BA BC B <⋅，则下列结论中：①222a b c <+； ②222c a b >+； ③cos cos sin sin B C B C >； ④ABC △是钝角三角形．其中正确．．结论的序号是． 14．已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．已知圆22:1O x y +=和直线:l y kx =，则1k =是圆O 与直线l 相切的（）(A)充要条件. (B)充分不必要条件.(C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件. 16．8(2展开式中各项系数的和为( )(A) 1-. (B)1. (C)256. (D)256-. 17．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，下列命题正确的是( )(A)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且在(),a b 内有零点，则有()()0f a f b ⋅<.(B)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅>，则其在(),a b 内没有零点.(C)若()f x 在(),a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在(),a b 内有零点.(D)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又()()0f a f b ⋅<成立，则其在(),a b 内有且只有一个零点. 18．数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若记数据1232015,,,,a a a a ⋅⋅⋅的方差为1λ，数据3201512,,,,1232015S S S S ⋅⋅⋅的方差为2λ，12k λλ=.则 ( )(A) 4k =. (B) 2k =. (C) 1k =. (D) k 的值与公差d 的大小有关.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90,2ACB AC BC ∠=== ，直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小1C 1B1A为55arctan ．求三棱锥11C A BC -的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本．设该公司一年内共生产电饭煲x 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为()R x 万元，且2440040000()10100R x x xx=-<<，，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W (万元). （注：利润=销售收入-成本）(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(2)为了让年利润W 不低于2760万元，求年产量x 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点分别为12F F 、，上顶点为A ，已知椭圆Γ过点4(,)33bP ，且220F A F P ⋅= ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C D 、关于点1(1,)2M 对称，求||CD ．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．已知函数22π()cos 2sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足2[()]()0f t t m -->，求实数m 的取值范围；（3）对任意的1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，是否存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立，请说明理由.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，其前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在,p q *∈N ，使得222()2020p q a b +-=成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由. （3）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n na a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.闵行区2018学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．[]1,4-；2．1i -+； 3．12-； 4．14； 5． 1； 6．54-； 7．33π；8． 58；9．，； 10． 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； 11． 5；12．13． ④；14． {}1,3,67---二. 选择题 15． B ； 16． B ； 17．D ； 18． A ．三. 解答题 19． [解]法一： 1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线BA 1与平面CC BB 11所成的角．…………………4分设1CCy =1BC ==11111tan 4AC A BC y BC ∴∠===⇒=， ……………8分所以11111111*********C A BCA C BC C BC V V S A C BC CC A C --==⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分法二：如图，建立空间直角坐标系，设1CCy =1(00)C y ，，，1(20)A y ，，．则1(22)A B y =--，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，．分设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，则11sin46A B nyA B nθ⋅===⇒=⋅，……………8分所以111111111111183323C A BC A C BC C BCV V V S A C BC CC A C--===⋅=⋅⋅⋅⋅=△． (12)分20．[解] (1)40000()(1640)164360W xR x x xx=-+=--+10100x<<，……6分(2) 解400001643602760W xx=--+≥ (12)分得2(50)0x-≤时，所以50x=.答：为了让年利润W不低于2760万元，年产量50x=. …………………14分21．[解] (1)因为椭圆Γ过点4(,)33bP,所以2161199a+=,解得22a=……3分又以AP为直径的圆恰好过右焦点2F，所以220F A F P⋅=又24(,),(,0),(0,)33bP F c A b得2(,)F A c b=-，24(,)33bF P c=-，所以24()033bc c--+=而22222b ac c=-=-，所以2210c c-+=得1c=………………6分故椭圆Γ的方程是2212xy+=．………………………………7分（2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+= ………9分由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=-- 所以CD所在直线的方程为32y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||CD x x =-=== ………14分法二：设点C D 、的坐标分别为1111(,)(2,1)x y x y --、，………9分则2222111122,(2)2(1)2x y x y +=-+-= 两等式相减得1132y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||CD x x =-===．……14分22．[解]（1）221()cos 22sin cos 22f x x x x x =++-1πcos 22cos 2sin 226x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2分函数()f x 的最小正周期T π= ………………………………4分（2）当,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20,62t ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，π()sin 216f t t ⎛⎫⎤=- ⎪⎦⎝⎭6分[]22()[()]()[()22,1F t f t t f t ⇒=-=--∈-- …………………8分存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m ->的实数m的取值范围为(),1-∞-.……10分（3）存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立. ………………12分当1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，12,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，11π()sin 216f x x ⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭2211π()sin 21()6f x x f x ⎛⎫⎤==- ⎪⎦⎝⎭[]21π1sin 2=1,16()x f x ⎛⎫⇒--- ⎪⎝⎭ ………………14分设11()a f x =，则[]1,1a ∈-，由2πsin 2=6x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 得22ππ22arcsin 2=2arcsin ,66x k a x k a k πππ-=+-+-∈Z 或所以2x 的集合为2221π17π|arcsin +arcsin +,212212x x k a x k a k ππ⎧⎫=+⋅=-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z 或 ∵1π17π5arcsin +,arcsin +6212332126a a ππππ-≤⋅≤≤-⋅≤∴2x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在唯一的值21πarcsin 212x a =⋅+使12()()1f x f x ⋅=成立. 16分23． [解] （1）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q 。

2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期开学考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期开学考试数学试题一、单选题 1．“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】先考查充分性，再考虑必要性得解. 【详解】当tan a θ=时，21cos22sin sin sin 22sin cos cos a θθθθθθθ-===，但是当=0θ时，1cos2sin 2θθ-分母为零，没有意义. 所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的非充分条件；当1cos2sin 2a θθ-=时，2(),2k k k Z x πθπ≠∈∴≠. 所以21cos22sin sin =tan sin 22sin cos cos a θθθθθθθθ-===，所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的必要条件.所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的必要非充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的定义域和三角恒等变换，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知f （x ）=2x 4x 3,x 02x 2x 3,x 0-+≤⎧⎪--+>⎨⎪⎩，不等式f （x+a ）＞f （2a-x ）在[a ，a+1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A.(),2∞-- B.(),0∞-C.()0,2D.()2,0-【答案】A【解析】试题分析：二次函数243y x x =-+的对称轴为2x =，则该函数在(,0)-∞上单调递减，则2433x x -+≥，同样函数223y x x =--+在(0,)+∞上单调递减，2-233x x ∴-+<()f x ∴在R 上单调递减；由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a <；则2x a <在[,1]a a +上恒成立；则2(1),2a a a +<∴<-，实数a 的取值范围是(,2)-∞-，故选A ；【考点】1.分段函数的单调性；2.恒成立问题；3．有下列命题：（1）终边相同的角的同名三角比的值相等；（2）终边不同的角的同名三角比的值不同；（3）若si n 0α>，则α是第一或第二象限角；（4）△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >；其中正确命题的个数是（） A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】（1），根据终边相同的角的同名三角函数值相等，判断命题正确；（2），根据终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，判断命题错误；（3），当sin 0α>时，α是第一或第二象限角，或为终边在y 轴的正半轴上，判断命题错误；（4），根据大角对大边，利用正弦定理即可判断结论正确．【详解】对于（1），终边相同的角的同名三角函数值相等，所以比值相等，（1）正确；对于（2），终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，如5sin sin66ππ=，所以比值也可能相同，（2）错误；对于（3），若sin 0α>，则α是第一或第二象限角，或终边在y 轴的正半轴上，（3）错误；对于（4），ABC ∆中，若A B >，则a b >，由正弦定理得2sin sin a bR A B==， 2sin 2sin R A R B ∴>，sin sin A B ∴>，（4）正确；综上，其中正确命题的序号为（1）和（4），共2个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，涉及三角函数的定义，角的取值和三角函数的符号，是基础题．4．设()f x 是定义域为R 的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间(6,6)-内解的个数的最小值为（） A.15 B.13C.11D.9【答案】A【解析】根据题意，由奇函数的性质可得(0)0f =，结合函数的周期性可得f （3）0=，(3)0f -=，结合f （2）0=分析可得f （2）f =（5）(1)0f =-=，进而可得(2)(5)f f f -=-=（1）0=和f （1）f =（4）0=，(4)(1)0f f -=-=；结合奇偶性与周期性可得33()()022f f -==，进而可得99()()022f f -==，综合可得答案．【详解】根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，又由()f x 是周期为3的周期函数，则f （3）0=，(3)0f -=，又由f （2）0=，则f （2）f =（5）(1)0f =-=，又由函数为奇函数，则(2)(5)f f f -=-=（1）0=，则有f （1）f =（4）0=，(4)(1)0f f -=-=，又由函数()f x 是以3为周期的奇函数，故有33()()22f f -=-且33()()22f f -=，则有33()()022f f -==，则有99()()022f f -==，综合可得：方程()0f x =在区间(6,6)-内解至少有：5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2，3，4，5，92-，32-，32，92，共15个；故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析33()()022f f -==，属于基础题．二、填空题5．已知函数()f x 是幂函数，且2(4)(16)f f =，则()f x 的解析式为________ 【答案】12x【解析】设()f x x α=，根据条件建立方程求出α的值即可．【详解】设()f x x α=，2f （4）(16)f =， 2416αα∴⨯=，即1624αα=，则42α=，12α=，即12()f x x =，故答案为：12()f x x = 【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．6．已知cos()6πα-=，则5cos()6πα+=_________ 【答案】【解析】试题分析：因为，cos()63πα-=，所以，5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--=。

上海市七宝中学2018届高三9月开学考试数学试题

七宝中学高三开学考2017.9一. 填空题1. 集合2{|20}A x x x =-<，{|||1}B x x =<，则A B =2. 已知函数211()1log f x x =，则1(1)f -= 3. 若复数1112i b i ++-()b ∈R 的实部与虚部相等，则b = 4. 若一个圆锥的母线与轴的夹角为1arcsin 3，则该圆锥的侧面积是底面积的倍 5. 设x ∈R ，向量(,1)a x =，(1,2)b =，且a b ⊥，则||a b +=6.若一个球的体积为，则它的表面积为7. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为 3cm8. 已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，*n ∈N 且28n ≤≤，则n = 9. 对所有的x ∈R ，不等式2|20||5|2x x a a ---≤+恒成立，实数a 的取值范围是 10. 若圆222x y r +=(0)r >和曲线||||134x y +=恰有六个公共点，则r 的取值集合是 11. 已知数列{}n a 满足1,2,n n n n n a t a t a t a a t +-≥⎧=⎨+-<⎩，且11t a t <<+(2)t >，若n k n a a +=对任意*n ∈N 恒成立，则正整数k 的最小值是12. 已知正四面体1234A A A A ，点5A 、6A 、7A 、8A 、9A 、10A 分别是所在棱的中点，如图，则当110i ≤≤，110j ≤≤，且i j ≠时，数量积12i j A A A A ⋅的不同数值的个数为二. 选择题13. 数列{}n a 中，2221,12016,20172n n n a n n n n⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，则数列{}n a 的极限值为（） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在14. 函数()cos2f x x x =在区间[0,2]π上的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 515. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要16. 已知函数23,1()2,1x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，已知a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+ 在R 上恒成立，则a 的取值范围是（） A. 47[,2]16-B. 4739[,]1616-C. [2]-D. 39[]16-三. 解答题17. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，3ABC π∠=，OA ⊥底面ABCD ，1OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，求异面直线OC 与MN 所成角的余弦值.18. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点A 、B .（1）若A 、B 都在双曲线的左支上，求实数k 的取值范围；（2）若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值.19. 如图，已知在Rt △ABC 中，90C ︒∠=，CBA θ∠=，BC a =，它的内接正方形DEFG 的一边EF 在斜边BA 上，D 、G 分别在边BC 、CA 上，设△ABC 的面积为1S ，正方形DEFG 的面积为2S .（1）试用a 、θ分别表示1S 和2S ；（2）设21()S f S θ=，求()f θ的最大值，并求出此时的θ.20. 对于定义在[0,)+∞上的函数()f x ，若函数()()y f x ax b =-+满足：① 在区间[0,)+∞上单调递减；② 存在常数p ，使其值域为(0,]p ，则称函数()g x ax b =+为()f x 的“渐近函数”.（1）设2()23f x x x =++，若()0f x a x a --<在[0,)x ∈+∞上有解，求实数a 取值范围；（2）证明：函数()1g x x =+是函数223()1x x f x x ++=+，[0,)x ∈+∞的渐近函数，并求此时实数p 的值；（3）若函数()f x =[0,)x ∈+∞，()g x ax =，证明：当01a <<时，()g x 不是()f x 的渐近函数.21. 设n A 为数列{}n a 前n 项的和，2(1)n n A a =-()n ∈*N ，数列{}n b 的通项公式32n b n =+()n ∈*N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1212{,,,,}{,,,,}n n d a a a b b b ∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则称d 为数列{}n a 与{}n b 的公共项，将数列{}n a 与{}n b 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列{}n d ，求1231111nd d d d +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅的值；（3）是否存在正整数r 、s 、t ()r s t <<使得2050r s t a a a b ++=成立，若存在，求出r 、s 、t ；若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. (1,2)-2. 43. 24. 35.6. 12π7. 32 8. 5 9. (,5][3,)-∞-+∞ 10. {3} 11. 4 12. 9二. 选择题13. B 14. D 15. C 16. A三. 解答题17. 8.18.（1）；（2）1k =±.19.（1）211tan 2S a θ=，2222sin (1sin cos )a S θθθ=+；（2）49，4πθ=.20.（1）)+∞；（2）略，2p =；（3）略.21.（1）2n n a =；（2）24n n d =⋅，数列和的值为16；（3）3r =，11s =，12t =.。

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